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    Fonctions Logarithmiques

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    Ce document résume les propriétés de base de la fonction logarithme népérien ln, y compris ses propriétés algébriques et dérivées, ainsi que l'extension aux logarithmes de base a.

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    Résumé de Cours

    PROF : ATMANI NAJIB La fonction logarithme népérien 2ème BAC Sciences ex (pc-svt…)

    La fonction logarithme népérien : 2)Si 𝑢 est une fonction dérivable sur 𝐼 et ne s’annule pas sur
    La fonction logarithme népérien notée ln est l’unique
    u  x 
    fonction, définie et dérivable sur ]0, +∞ [et Vérifiant ln1= 0 𝐼 alors les fonctions primitives de la fonction x  sont
    u  x
    et pour tout réel x > 0,  ln x  
    1
    0
    x les fonctions ;𝐹(𝑥) = 𝑙 𝑛(|𝑢(𝑥)|) + 𝐶𝑡𝑒
    Il est continu et strictement croissant sur ]0, +∞ [. FONCTIONS LOGARITHMIQUES DE BASE 𝑎
    Soit  a 0  et  a  1
    Premières propriétés (directement liées à la définition)

    Pour tous réels : x 0 ; y 0 ; r 


    On note log a la fonction logarithmique de base 𝒂
    1) ln x  ln y  x  y 2) x  y  ln x  ln y
    ln x
    définie sur ]0, +∞[ par :(∀𝑥 ∈]0, +∞[) ( log a  )
    3) lnx  0  x  1 4) lnx  0  0  x  1 ln a

    5) ln  x  y   ln x  ln y 6) e 2,71828  et ln e   1 x 0 ; y 0 ; r 

    7) ln     ln x
    1
    8) ln  x   ln x  ln y 1) log a  x  y   log a x  log a y 2) log a 1/ x    log a x
    x  y
    3) log a  x / y   log a x  log a y 4) log a  x   1/ 2  log a x
    1
    9) ln a  lna 10) ln x    r ln x
    r

    2
       r log
    5) log a x
    r
    x
    e  x   x 0 
    a
    11) ln  e x   x x 
    ln x
    12)
    ln x
    6) log e   ln x
    ln e
    13) e x  y  x  ln y x  et y 0
    ∀𝑥 ∈]0, +∞[ ;  log a  x   
    1
    donc La fonction log a
    x ln a
    (Limites usuelles) est une bijection de ]0, +∞[ vers ℝ
    1) lim lnx   2) lim ln x   1) (∀𝑥 > 0)(∀𝑦 > 0)( log a (𝑥) = log a (𝑦) ⟺ 𝑥 = 𝑦)
    x x 0

    2) (∀𝑥 > 0)(∀𝑟 ∈ ℚ)( log a  x   r ⟺ x  a


    ln x
    3) lim 0 r
    x  x
    ln x
    4) lim r  0 (où r ∈ 
     ) 3) log a strictement croissante si  a 1
    x  x

    5) lim x ln x  0 (où r ∈ 
    log a strictement décroissante si  0 1
    r
     ) a
    x 0

    ln x Cas particulier 𝒂 = 𝟏𝟎 ; logarithme décimal :


    6) lim 1
    x 1 x 1 La fonction logarithmique de base 10 s’appelle la fonction
    ln  x  1 logarithmique décimal et se note par 𝒍𝒐𝒈 et (∀𝒙 ∈]𝟎, +∞[)
    7) lim 1
    x 0 x ( log x  ln x ) et on a : 𝑙𝑜𝑔(10) = 1
    Dérivée et primitives de la fonction 𝒙 → 𝒍𝒏(𝒖(𝒙)) ln10
    1)Si 𝑢 est une fonction dérivable sur 𝐼 et ne s’annule pas sur
    1) (∀𝑥 > 0)(∀𝑟 ∈ ℚ)(𝑙𝑜𝑔(𝑥) = 𝑟 ⟺ x  10 )
    r
    𝐼 alors la fonction :𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(|𝑢(𝑥)|) est dérivable sur 𝐼
    u  x  r
    2) (∀𝑟 ∈ ℚ)( 𝑙𝑜𝑔( 10 ) = 𝑟 3) 𝑙𝑜𝑔(𝑥) > 𝑟 ⟺ 𝑥 > 10
    r
    et (∀𝑥 ∈ 𝐼) ( f   x   )
    u  x
    « C’est en forgeant que l’on devient forgeron »
    Dit un proverbe.
    Prof/ATMANI NAJIB 1

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