Df : Une loi de composition interne sur E est dite commutative ssi tous les

Structures algbriques (11h)

lments de E commutent deux deux. Le magma (E , ) est alors dit

commutatif.
b) associativit
Df : Une loi de composition interne sur E est dite associative ssi

I. Loi de composition interne

E dsigne un ensemble.
1) Dfinition
Df : On appelle loi de composition interne (l.c.i.) ou opration sur E toute
application de E E vers E .
Lorsque cette loi de composition interne est note , on note x y

a ,b ,c E , (a b ) c = a (b c ) .
Le magma (E , ) est alors dit associatif.
4) Elments particuliers

limage du couple (x , y ) par lapplication prcdente.

Llment x y est appel compos de x par y via .
Les l.c.i. sont gnralement notes , , , +,,
,...

Soit (E , ) un magma
a) lment rgulier
Df : On appelle lment rgulier de (E , ) tout lment x de E tel que
a ,b E , x a = x b a = b (rgularit gauche)
et a x = b x a = b (rgularit droite).

Df : On appelle magma tout couple (E , ) form dun ensemble E et dune loi

de composition interne sur E .

b) lment neutre
Df : On appelle lment neutre de (E , ) tout lment e de E tel que x E
e x = x (neutre gauche) et x e = x (neutre droite).

2) Partie stable
Df : On appelle partie stable dun magma (E , ) toute partie A de E telle que

x , y A, x y A .

Prop : Si (E , ) possde un lment neutre celui-ci est unique.

Df : Soit A une partie stable dun magma (E , ) .

AA A
dfinit une loi de composition
Lapplication restreinte

(x , y ) x y

Df : On appelle monode tout magma (E , ) associatif et possdant un lment

neutre.
Si de plus est commutative, le monode (E , ) est dit commutatif.

interne sur A appele loi de composition interne induite par .

c) lment symtrisable
Soit (E , ) un monode dlment neutre e .

On la note |A ou plus couramment et on peut ainsi donner un sens au

magma (A, ) .

Df : On appelle lment symtrisable de (E , ) tout lment x de E tel quil

existe y E pour lequel x y = e (symtrisabilit gauche) et y x = e
(symtrisabilit droite).
Prop : Si x est symtrisable alors !y E tel que x y = y x = e .

3) Proprits dune loi de composition interne

a) commutativit
Df : Soit une loi de composition interne sur E . On dit que deux lments a
et b de E commutent pour la loi ssi a b = b a .

Df : Si x est symtrisable, lunique lment y de E tel que x y = y x = e

est appel symtrique de x et on le note y = sym(x ) .

-1/7-

Prop : Si x est symtrisable alors sym(x ) lest aussi et sym(sym(x )) = x .

De plus, un lment x = (x1 ,, x n ) est symtrisable ssi i {1,, n } , x i

Prop : Si x et y sont symtrisables alors x y lest aussi et

lest, et si tel est le cas, sym(x ) = (sym(x1 ),,sym(x n )) .

sym(x y ) = sym(y ) sym(x ) .

b) structure sur F (X , E )

Prop : Si x est un lment symtrisable de (E , ) alors x est rgulier.

Soit (E , ) un magma et X un ensemble non vide.

5) Itr dun lment

Df : On dfinit une loi de composition interne, encore note , sur F (X , E )

par f , g F (X , E ) on pose x X , ( f g )(x ) = f (x ) g (x ) .

Soit (E , ) un monode de neutre e .

Prop : Si (E , ) est un monode (resp. commutatif) dlment neutre e alors

Soit x E . Pour n * , on note x n = x x x ( n termes)

Ainsi x

= x ,x

= x x . De plus on pose x

(F (X , E ), ) est un monode (resp. commutatif) dlment neutre

:x e .
De plus, un lment f F (X , E ) est symtrisable ssi x X , f (x ) lest,
et si tel est le cas, (sym f )(x ) = sym( f (x )) .

=e .

Ainsi on donne un sens x n pour n .

Df : x n est appel itr dordre n de llment x .
Prop : p , q , x p x q = x ( p +q ) et (x p ) q = x ( pq ) .

7) Notation additive et multiplicative

Df : Un monode est dit not additivement (resp. multiplicativement) ssi sa loi
de composition interne est note + (resp. )

Supposons que x soit symtrisable.

Pour n * , on note x (n ) = sym(x ) sym(x ) sym(x ) ( n termes)
Ainsi x (1) = sym(x ) , x (2) = sym(x ) sym(x ) ,...

Lorsquon adopte la notation additive ou multiplicative dun monode, on adopte

les conventions de notations du tableau ci-dessous :
Notation par dfaut
Notation additive
Notation multiplicative

+
ou .

On donne ainsi un sens x n avec n lorsque x est symtrisable.

Prop : Soit x un lment symtrisable de E .
n , x n est symtrisable et sym(x n ) = x (n ) .

p , q , x p x q = x ( p +q ) et (x p ) q = x ( pq ) .
6) Structures produits
a) structure sur E n
Soit (E , ) un magma et X un ensemble non vide.

e
x y

0
x +y

1
xy ou x .y

sym(x )

x 1

xi

i =1

Df : On dfinit une loi de composition interne, encore note , sur E n par

x n

(x1 ,, x n ),(y1 ,, yn ) E n on pose

(x1 ,, x n ) (y1 ,, yn ) = (x1 y1 ,, x n yn ) .
Prop : Si (E , ) est un monode (resp. commutatif) dlment neutre e alors

(E n , ) est un monode (resp. commutatif) dlment neutre = (e ,,e ) .

-2/7-

x
i =1

n .x

n
i

x
i =1

xn

II. Groupes

b) groupe des racines nme de lunit

1) Dfinition

Soit n * et U n = {z / z n = 1} .
Prop : (U n ,) est un groupe ablien.

Df : On appelle groupe tout magma (G , ) tel que

1) est associative,

Pour n = 1,U 1 = {1} .

2) (G , ) possde un lment neutre e ,

3) tout lment de (G , ) est symtrisable.

Pour n = 2,U 2 = {1, 1} . On a 1

1 .

Si de plus est commutative, le groupe (G , ) est dit commutatif ou plus

couramment ablien.

1 1

j2

j2

j2

j2

j2

1
1

j
i

1 i

1 i

Pour n = 4,U 4 = {1, i , 1, i } . On a i

Prop : Si (G , ) est un groupe alors (G , ) lest aussi.

Pour n = 3,U 3 = {1, j , j 2 } . On a

Prop : Si (G , ) est un groupe alors (F (X ,G ), ) lest aussi.

2) Sous-groupe
a) dfinition
Soit (G , ) un groupe dlment neutre e .
Df : On appelle sous-groupe de (G , ) toute partie H de G telle que :
1) e H ,
2) x H ,sym(x ) H (stabilit par passage au symtrique),

1 i

1 .

1 1 i

c) groupes gomtrique
P le plan gomtrique de direction P .

tu : translation de vecteur u .

3) x , y H , x y H (stabilit).
Thorme :
Si H est un sous-groupe de (G , ) alors (H , ) est un groupe.

HO , : homothtie de centre O et de rapport .

Si de plus (G , ) est ablien alors (H , ) lest aussi.

RotO , : rotation de centre O et dangle .


Prop : T = {tu / u P } est un sous-groupe de (S(P ),
) .

Prop : (Caractrisation rapide des sous-groupes)

Soit H une partie de G . On a quivalence entre :
(i) H est un sous-groupe de (G , ) ,

H
(ii)
.

x , y H , x sym(y ) H

Prop : Soit O P . HO = {HO , / *} est un sous-groupe de (S(P ),
) .

Prop : Soit H 1 , H 2 deux sous-groupes de (G , ) .

On appelle isomtrie du plan tout f S(P ) telle que A, B P ,

Prop : Soit O P . RO = {RotO , / } est un sous-groupe de (S(P ),
) .

H 1 H 2 est un sous-groupe de (G , ) .

f (A) f (B ) = AB .
Prop : Lensemble I des isomtries du plan est un sous-groupe de (S(P ),
) .

-3/7-

Df : Soit f : G G un morphisme de groupes.

On appelle image de f , lensemble Im f = f (G ) . Cest un sous-groupe de

3) Morphisme de groupes
Soit (G , ) , (G , ) et (G , ) trois groupes dlments neutres e ,e et e .
a) dfinition

(G , ) .

Df : On appelle morphisme du groupe (G , ) vers (G , ) toute application

On appelle noyau de f , lensemble ker f = f 1 ({e }) . Cest un sousgroupe de (G , ) .

:G G telle que : x , y G , f (x y ) = f (x ) f (y ) .
(image de la compose est la compose des images).
Si f est bijective, on dite que f est un isomorphisme.
Si (G , ) = (G , ) , on dit que f est un endomorphisme.

Thorme :
Soit f : G G un morphisme de groupes.
+ f est surjective ssi Im f = G ,
+ f est injective ssi ker f = {e } .

Si (G , ) = (G , ) et f est bijective on dit que f est un automorphisme.

d) morphisme gomtrique
P le plan gomtrique

Prop : Soit a G . :
est un morphisme de groupes.

n a
b) proprits

Prop : Soit O P . HO , est un morphisme de ( *,) vers (S(P ),
)

dimage HO et de noyau {1} .

Prop : Soit f : G G un morphisme de groupes.

f (e ) = e , x G , f (sym(x )) = sym( f (x )) ,

x G , p , f (x
n

) = ( f (x ))

Prop : Soit O P . RotO , est un morphisme de ( , +) vers (S(P ),
)

dimage RO et de noyau 2 .

et

Et si le temps le permet on parle des translations.

x1 ,, x n G , f ( x i ) = f (x i ) .
i =1

i =1

III. Etude du groupe symtrique

Prop : Si f : G G et g : G G sont deux morphismes de groupes alors

g
f : G G est aussi un morphisme de groupes.

1) Permutation de n = {1, 2,..., n }

Prop : Soit f : G G .

Df : Pour n * , on note Sn lensemble des permutations de n .

Si f est un isomorphisme alors f 1 : G G lest aussi.

(Sn ,
) est un groupe dlment neutre Id n = Id appel groupe

c) noyau et image

symtrique dordre n .

Prop : Soit f : G G un morphisme de groupes.

Si H est un sous-groupe de (G , ) alors f (H ) est un sous-groupe de

(G , ) .

1
2
... n
pour visualiser laction
Df : Pour Sn , on note =
(1) (2) ... (n )
de .

Si H est un sous-groupe de (G , ) alors f 1 (H ) est un sous-groupe de

Prop : Pour n 3 le groupe (Sn ,
) nest pas commutatif.

(G , ) .

-4/7-

2) Cycles
Soit p tel que 2 p n .
Soit a1 ,...,a p une liste de p lments deux deux distincts de n .

Thorme :
Lapplication : Sn {1,1} est un morphisme du groupe (Sn ,
) sur

Soit c : n n dfinie par :

Par suite I (
) mme parit que I ( ) + I ( ) ,

({1,1} ,) .

c (a1 ) = a 2 ,c (a 2 ) = a 3 ,...,c (a p 1 ) = a p , c (a p ) = a1 et x n \ {a1 ,..., a p } ,c (x ) = x .

Ainsi est un morphisme de groupes.

Df : c est appele cycle de longueur p (ou p cycle).

On le note c = (a1 a 2

puis (
) = (1)I (
) = (1)I ( )+I ( ) = ( )( ) .

c est une permutation de n .

Cor : Ainsi (1

p ) = (1 ) (p ) .

... a p ) .

p , ( p ) = ( ) p et en particulier ( 1 ) = ( ) .

Lensemble S = {a1 ,...,a p } est appel support du cycle c .

Prop : La signature dun p cycle est (1)p1 .

Df : Les cycles de longueur 2 sont appels transpositions.

Une transposition = (i j ) a pour effet dchanger i et j .
La suite est optionnelle :

Df : Une permutation de signature 1 est dite paire.

Une permutation de signature 1 est dite impaire.
On note An lensemble des permutations paires de Sn .

Prop : Si c est un cycle de longueur p alors c p = Id .

Prop : An est un sous-groupe de (Sn ,
) .

Df : (An ,
) est appel groupe altern dordre n .

3) Dcomposition dune permutation en produit de transpositions

Prop : Tout cycle de longueur p peut se dcomposer en un produit de p 1
transpositions.
Thorme :
Toute permutation de n peut se dcomposer en un produit dau plus
n 1 transpositions.

Prop : Pour n 2 , Card An = n ! 2 .

IV. Anneaux
1) Dfinition
Df : Soit et deux lois de composition internes sur un ensemble E .
On dit que est distributive sur ssi a ,b , c E :

Prop : Toute permutation de n peut se dcomposer en un produit de

transpositions de la forme (1 k ) avec 2 k n .

a (b c ) = (a b ) (a c ) (distributivit gauche)
et (b c ) a = (b a ) (c a ) (distributivit droite).

4) Signature dune permutation

Df : On appelle anneau tout triplet (A, , ) form dune ensemble A et deux

loi de composition internes et tels que :
1) (A, ) est un groupe ablien,

Df : Soit Sn et un couple (i , j ) avec 1 i < j n .

On dit ralise une inversion sur le couple (i , j ) ssi (i ) > ( j ) .
On note I ( ) le nombre de couples (i , j ) (avec 1 i < j n ) sur lesquels
ralise une inversion.

2) (A, ) est un monode,

3) est distributive sur .
Si de plus est commutative, lanneau (A, , ) est dit commutatif.

Df : On appelle signature dune permutation de Sn le rel ( ) = (1)I ( ) .

Prop : La signature dune transposition est 1 .
-5/7-

Prop : Si (A, +,) est un anneau et n * alors (An , +,) est un anneau.

4) Elments inversibles

Prop : Si (A, +,) est un anneau et X un ensemble alors (F (X , A), +,) est un
anneau.

Df : Un lment a A est dit inversible ssi il est symtrisable pour i.e. ssi il
existe b A tel que ab = ba = 1A .
Cet lment b est alors unique, on lappelle inverse de a , on le note a 1 .

2) Sous-anneau

Prop : Si x est inversible alors x 1 est inversible et (x 1 )1 = x .

Df : On appelle sous-anneau dun anneau (A, +,) toute partie B incluse dans
A telle que :
1) 1A B ,

Prop : Si x et y sont inversibles alors xy est inversible et (xy )1 = y 1x 1 .

5) Diviseurs de zro

2) x , y B , x y B ,
3) x , y B , xy B .

Soit (A, +,) un anneau

a) dfinition
Df : Soit a A tel que a 0A . On dit que a est diviseur de zro ssi

Thorme :
Si B est un sous-anneau de (A, +,) alors (B , +,) est un anneau.

b A \ {0A } tel que ab = 0A ou ba = 0A .

Si de plus (A, +,) est commutatif alors (B , +,) lest aussi.

Prop : Un diviseur de zro est non rgulier pour .

3) Rgles de calculs dans un anneau

Soit (A, +,) un anneau de neutres 0 et 1.

Prop : Les lments inversibles de A ne sont pas diviseurs de zro.

b) anneau sans diviseurs de zro

Prop : a A, 0 a = a 0 = 0 .

Prop : Si (A, +,) ne possde pas de diviseurs de zro alors

Prop : a ,b A, (a )b = (ab ) = a (b ) .

a ,b A, ab = 0A a = 0A ou b = 0A (implication dintgrit)

Prop : a ,b A, p , (p.a )b = p.(ab ) = a (p.b ) .

2

Prop : Dans un anneau (A, +,) sans diviseurs de zro tout lment non nul est
rgulier.
c) idempotent et nilpotent

Prop : a ,b A, (a + b ) = a + ab + ba + b , (a + b ) = ...
Thorme : (Formule du binme de Newton)
Soit a ,b A tels que a et b commutent.
n

Df : Un lment a A est dit idempotent ssi a 2 = a .

Df : Un lment a A est dit nilpotent ssi n *, a n = 0A .

()

n , (a + b )n = n a n kb k .
k
k =0

V. Corps

Thorme :
Soit a ,b A tels que a et b commutent.

1) Dfinition

n 1

n ,a b = (a b ) a
n

n 1k k

Df : On appelle corps tout anneau commutatif (K , +,) non rduit {0K }

k =0

dont tous les lments, sauf 0K , sont inversibles.

= (a b )(a n 1 + a n 2b + ... + ab n 2 + b n 1 )

Prop : Un corps na pas de diviseurs de zro.

-6/7-

2) Sous-corps
Soit (K , +,) un corps.
Df : On appelle sous-corps dun (K , +,) toute partie L de K telle que :
1) L est un sous-anneau de (K , +,) ,
2) x L \ {0K } , x 1 L .
Thorme :
Si L est un sous-corps de (K , +,) alors (L , +,) est un corps.

-7/7-