Cours PCSI Final 2019-20

BÉGYN Arnaud
Cours de mathématiques
PCSI
2
PCSI1, Lycée Saliège, Toulouse. http://mathcpge.org/

TABLE DES MATIÈRES 3
Table des matières
1 Logique - Théorie des ensembles 5
2 Arithmétique, dénombrement et manipulation des symboles Σ et Π 47
3 Nombres complexes 79
4 Généralités sur les fonctions numériques 109
5 Dérivées, primitives et équations différentielles 141
6 Suites réelles et complexes 157
7 Calcul matriciel et systèmes linéaires 185
8 Compléments sur les suites 221
9 Limites et comparaison des fonctions numériques 237
10 Continuité des fonctions numériques 277
11 Polynômes 297
12 Dérivabilité des fonctions numériques 323
13 Introduction aux espaces vectoriels 349
14 Espaces probabilisés finis 377
15 Espaces vectoriels de dimension finie 401
16 Intégration sur un segment 413
17 Applications linéaires 435
18 Variables aléatoires discrètes finies 457
19 Compléments sur les matrices 477

4 TABLE DES MATIÈRES
20 Séries numériques 507
21 Produits scalaires et espaces euclidiens 529
22 Couples de variables aléatoires 551

5
Chapitre 1
Notions élémentaires de logique et de théorie
des ensembles
Sommaire
1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1 Prédicats et opérations sur les prédicats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Implication et équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Autres types de raisonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Raisonnements par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3 Produits cartésiens et familles d’éléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2 Loi de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.3 Injection, surjection, bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.4 Fonctions caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.5 Images directe et réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.6 Relations d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5 Compétences à acquérir sur ce chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6 C HAPITRE 1 : Logique - Théorie des ensembles
1 Notations
Traditionnellement, les objets mathématiques (nombres, fonctions...) sont notés avec une lettre
de l’alphabet pouvant être minuscule, majuscule, capitale etc...
Lorsqu’on se donne une liste de n objets on utilise un indice : x1 , x2 , . . . , xn .
On peut aussi utiliser un indice supérieur, placé entre parenthèses pour ne pas le confondre
avec la puissance : x (1) , x (2) , . . . , x (n) .
Lorsqu’on considère un tableau de nombres, on a recourt au double-indiçage : xi ,j désigne
l’élément situé à l’intersection de la ligne i et de la colonne j .
Pour varier les notations, on utilise aussi l’aplhabet grec, dont nous rappelons ci-dessous les
minuscules et majuscules. Il est impératif de bien le connaitre (sous peine de faire sourire son
examinateur à l’oral).
Minuscule Majuscule Nom Minuscule Majuscule Nom
α A Alpha ν N Nu
β B Bêta ξ Ξ Xi
γ Γ Gamma o O Omicron
δ ∆ Delta π Π Pi
ǫ E Epsilon ρ P Rhô
ζ Z Dzéta σ Σ Sigma
η H Êta τ T Tau
θ Θ Thêta υ Υ Upsilon
ι I Iota ϕ Φ Phi
κ K Kappa χ X Chi
λ Λ Lambda ψ Ψ Psi
µ M Mu ω Ω Omega
On utilisera aussi les abréviations suivantes :

- cqfd = ce qu’il fallait démontrer :
- ie = id est = c’est-à-dire ;
- p/r = par rapport à ;
- resp. = respectivement.
Ce cours de mathématiques est organisé selon une série de définitions, signalées par un cadre
vert et par une série de théorèmes signalés par un cadre rouge.
Le tout est illustré par des exemples et des exercices, ces derniers étant signalés par un crayon à
papier. Certains chapitres comportent des explications sur la manière de rédiger ; celles-ci sont
elles aussi en italique.
Le mot théorème est réservé à des résultats mathématiques jugés importants. Dans le cas d’un
théorème « facile », on utilise le mot proposition. Parfois, on reformule certains théorèmes dans
des cas simples, directement utilisables en pratiques : on parle alors de corollaire. Enfin
certaines démonstrations plus ardues que les autres nécessiteront de démontrer des petites
propositions intermédiaires appelées lemmes.

2 Logique 7
2 Logique
2.1 Prédicats et opérations sur les prédicats
Un prédicat (ou une assertion) est un énoncé mathématique qui est soit juste, soit faux. On dit
qu’un prédicat ne peut prendre que deux valeurs logiques : V ou F (i.e. Vrai ou Faux).
Par convention, lorsqu’on énonce un prédicat, on sous-entend toujours qu’il est vrai.
Exemple : « La fonction f est croissante sur l’intervalle I . »
Soient A et B deux prédicats. On définit les opérations suivantes.
• Négation. La négation (ou contraire) de A est notée non(A). Elle est définie par la table de
vérité suivante :
A non(A)
V F
F V
On voit facilement que non(non(A)) et A prennent les mêmes valeurs dans la table de vérité.
³ ´
• « Et ». Le prédicat A e t B est défini par :
A B A et B
V V V
F V F
V F F
F F F
³ ´ ³ ´
On voit facilement que A e t B et B e t A prennent les mêmes valeurs dans la table de vérité.
³ ´
• « Ou ». Le prédicat A ou B est défini par :
A B A ou B
V V V
F V V
V F V
F F F
³ ´ ³ ´
On voit facilement que A ou B et B ou A prennent les mêmes valeurs dans la table de vérité.
Remarquons qu’il s’agit d’un « ou » inclusif, c’est-à-dire que les deux prédicats peuvent être vrais
en même temps (contrairement au « ou » exclusif).

Proposition 1 – Lois de Morgan

³ ´
1. Les prédicats non(A e t B) et non(A) ou non(B) prennent les mêmes valeurs
dans une table de vérité.
³ ´
2. Les prédicats non(A ou B) et non(A) e t non(B) prennent les mêmes valeurs
dans une table de vérité.
2.2 Implication et équivalence

• Implication : Le prédicat A =⇒ B est défini par :
A B A =⇒ B
V V V
F V V
V F F
F F V
En français, on traduit le prédicat A =⇒ B par :

⋆ si A est vrai alors B est vrai ;
⋆ pour que A soit vrai il faut que B soit vrai ;
⋆ pour que B soit vrai il suffit que A soit vrai.
On dit aussi que :
⋆ A est une condition suffisante pour B ;
⋆ B est une condition nécessaire pour A.
Exemple. On pose A = « Paul est en Sup1 » et B = « Paul est en PCSI ». Il est clair que A =⇒ B
est vrai. Par contre on n’a pas B =⇒ A (Paul est peut-être en Sup2). Dans ce cas, on dit que la
réciproque de l’implication A =⇒ B est fausse. On peut donc dire :
⋆ « pour que Paul soit en Sup1, il faut qu’il soit en PCSI »
⋆ « pour que le Paul soit en PCSI, il suffit qu’il soit en Sup1 ».
B On ne peut pas dire « pour que Paul soit en PCSI, il faut qu’il soit en Sup1 ».
Rédaction. Pour montrer que A =⇒ B, on doit procèder de la façon suivante : on suppose que le
prédicat A est vrai ; on doit alors montrer que B est vrai.
Exemple. Soit n un entier naturel. Montrer que : 6 divise n =⇒ 3 divise n.
Proposition 2 – Raisonnement par contraposée
Les prédicats A =⇒ B et non(B) =⇒ non(A) prennent les mêmes valeurs dans une table de
vérité.

2 Logique 9
Pour montrer que A =⇒ B, on peut donc à la place montrer que non(B) =⇒ non(A) : cela
s’appelle le raisonnement par contraposée. Il est parfois beaucoup plus simple que le raison-
nement « direct ».
Exemple. Soit n un entier naturel. En raisonnant par contraposée, montrer que :

n 2 est pair =⇒ n est pair.
Proposition 3 – Négation d’une implication

³ ´
Les prédicats A =⇒ B et non(A) ou B prennent les mêmes valeurs dans une table de
³ ´
vérite. La négation de A =⇒ B est donc A e t non(B) .
Pour montrer qu’une implication est fausse, on montre donc que A est vraie et que B est fausse.

³ Exemple. Donner une
´ valeur de l’entier naturel n, pour laquelle la réciproque de
6 divise n =⇒ 3 divise n est fausse.
B Pour une implication ne pas confondre sa réciproque, sa contraposée et son contraire

(= négation).
Exemple. Donner la réciproque, la contraposée et le contraire de l’implication

« Paul est en PCSI » =⇒ « Paul est en Sup1 ».
• Équivalence : Le prédicat A ⇐⇒ B est défini par :
A B A ⇐⇒ B
V V V
F V F
V F F
F F V
Il est clair que les prédicats A ⇐⇒ B et B ⇐⇒ A prennent les mêmes valeurs dans une table de
vérité.
En français, on traduit la proposition A ⇐⇒ B par :
⋆ A est vrai si et seulement si = (ssi) B est vrai ;

⋆ pour que A soit vrai il faut et il suffit que B soit vrai.
On dit aussi que B est une condition nécessaire et suffisante pour A.

Proposition 4 – Double implication

³¡ ¢ ¡ ¢´
Les prédicats A ⇐⇒ B et A =⇒ B e t B =⇒ A prennent les mêmes valeurs dans une
table de vérité.
Pour montrer qu’une équivalence est vraie on raisonne donc généralement par double
implication : on montre que A =⇒ B est vrai puis que la réciproque B =⇒ A l’est aussi.
Rédaction. Pour montrer que A ⇐⇒ B, on procède par double implication.

⇒ On suppose que le prédicat A est vrai ; on doit alors montrer que B est vrai.
On en déduit que A =⇒ B.
⇐ On suppose que le prédicat B est vrai ; on doit alors montrer que A est vrai.
On en déduit que B =⇒ A.
On peut alors conclure que A ⇐⇒ B.
Exemple. Soit n un entier naturel. Montrer que : n 2 est pair ⇐⇒ n est pair.
2.3 Autres types de raisonnement

• Raisonnement par l’absurde. Pour montrer qu’un prédicat A est vrai, on peut choisir de
raisonner par l’absurde : on suppose que A est faux, et on essaye d’aboutir à une contradiction
évidente du type 2 < 1 ou 0 < x < 0 etc...
p
Exemple. Montrer que 2 n’est pas un nombre rationnel.
B Ne pas confondre avec le raisonnement par contraposée qui sert à prouver une implication.
• Raisonnement par disjonction de cas. Pour montrer qu’un prédicat A est vrai, on peut choisir
de le montrer dans différents cas particuliers plus simples, à condition que l’union de tous ces
cas particuliers redonne le cas général. Il est préférable que ces différents cas soient disjoints,
mais ce n’est pas une obligation.
n(n + 1)
Exemple. Montrer que si n est un entier naturel alors en est un aussi.
2
• Raisonnement par analyse-synthèse. Le raisonnement par analyse-synthèse permet de
déterminer toutes les solutions d’un problème.
La partie analyse consiste à raisonner sur une hypothétique solution au problème (on suppose
donc qu’il en existe au moins une). On accumule alors des déductions de propriétés qu’elle doit
vérifier, du seul fait qu’elle est solution.
La partie synthèse consiste à examiner tous les objets vérifiant les conditions nécessaires
précédemment accumulées (ce sont les seuls candidats pouvant être des solutions) et on
détermine, parmi eux, lesquels sont réellement des solutions.
Exemple. Résoudre l’équation x 2 + x + 1 = 0 par analyse-synthèse.

2 Logique 11
2.4 Raisonnements par récurrence

Soit P (n) un prédicat qui dépend d’un entier naturel n.
Exemple. P (n) = « 6 divise n » ou P (n) = « 3 divise 2n ».
N
On se donne aussi un entier naturel n 0 ∈ fixé, et on souhaite démontrer que P (n) est vraie
pour tout les entiers naturels n supérieurs ou égaux à n 0 .
Pour cela on ne peut pas le vérifier en égrénant une à une les valeurs de n, puisqu’il y en a une
infinité ! Cette méthode prendrait donc un temps infini.
Par contre on peut utiliser un raisonnement par récurrence, qui consiste à montrer une
initialisation (ou amorce) et une hérédité pour le prédicat P (n).
Ce raisonnement se décline sous plusieurs formes.
Théorème 5 – Récurrence simple
Initialisation. P (n 0 ) est vrai. ³ ´

Hérédité. Pour n entier naturel fixé tel que n ≥ n 0 , on a : P (n) vrai =⇒ P (n + 1) vrai
Conclusion. Alors on sait que P (n) est vrai pour tout entier naturel n tel que n ≥ n 0 .
C’est un peu comme une chaîne infinie de dominos : l’initialisation consiste à faire tomber le
premier domino, et l’hérédité consiste à s’assurer que chaque domino va entraîner le domino
suivant dans sa chute. La conclusion est que tous les dominos vont tomber.
Exemple. Pour n entier naturel non nul, montrer par récurrence simple que
n(n + 1)
1 +2 +3 +···+n = .
2
B Ne pas oublier l’initialisation ! Le prédicat P (n) = « 3 divise 2n » est héréditaire mais n’est
jamais initialisé.

Théorème 6 – Récurrence à deux pas
Initialisation à deux pas. P (n 0 ) et P (n 0 + 1) sont vrais.

Hérédité à deux pas. ³ ´
Pour n entier naturel fixé tel que n ≥ n 0 , on a : P (n) et P (n + 1) vrais =⇒ P (n + 2) vrai
On peut reprendre l’analogie des dominos mais cette fois ils sont plus difficiles à faire tomber :
il faut le poids de deux dominos successifs pour faire tomber le suivant (c’est l’hérédité à deux
pas), et pour amorcer le processus il faut pousser assez fort pour faire tomber les deux premiers
dominos (si on ne pousse que le premier, son poids ne suffit pas à faire tomber le second).
Exemple. On pose F0 = F1 = 1 et pour n entier naturel, Fn+2 = Fn +Fn+1 (suite de Fibonacci).

Montrer par récurrence à deux pas que pour n entier naturel, Fn ≥ 0.
Ce principe se généralise : on peut démontrer un propriété par récurrence à trois pas, à quatre
pas. . .et même à p pas pour p un entier naturel fixé.
Théorème 7 – Récurrence forte

Initialisation. P (n 0 ) est vrai.
Hérédité forte.
Pour n entier naturel fixé³ tel que n ≥ n 0 , on a : ´
P (n 0 ), P (n 0 + 1), . . . , P (n) vrais =⇒ P (n + 1) vrai
Cette fois les dominos sont de plus en plus difficiles à faire tomber : pour faire tomber un
domino, il faut le poids de tous les dominos précédents. Pour amorcer il suffit de pousser le
premier.
2¡ ¢
Exemple. On pose u 1 = 3 et pour n ≥ 1, u n+1 = u1 + u2 + · · · + un .
n
Montrer par récurrence forte que pour n ≥ 1, u n = 3n.
3 Ensembles
3.1 Définitions
Définition 8 – Ensembles
Un ensemble E est une collection d’objets appelés éléments.
On note x ∈ E lorsque x est élément de E , et on dit que x appartient à E . On note x ∉ E dans le

cas contraire, et on dit que x n’appartient pas à E .

3 Ensembles 13
Exemple. Un ensemble peut être défini par extension ie en énumérant la liste de ses
éléments entre accolades :
{a} = ensemble formé d’un unique élément a, appelé « singleton a »
E = ensemble des couleurs d’un jeu de 32 cartes = {coeur, carreau, trèfle, pique}
N= ensemble des entiers naturels = {0, 1, 2, 3, . . .} (infinité d’éléments)
Soit P (x) un prédicat dépendant de x élément de E .
Définition 9 – Quantificateurs
1. Lorsque P (x) est vrai pour tous les éléments x de E , on le note :
∀x ∈ E , P (x)
Le symbole ∀ est appelé quantificateur « quel que soit ».

2. Lorsque P (x) est vrai pour au moins un élément x de E , on le note :
∃x ∈ E ; P (x)
Le symbole ∃ est appelé quantificateur « il existe ».

3. Lorsque P (x) est vrai pour un unique élément x de E , on le note :
∃!x ∈ E ; P (x)
Le symbole ∃! est appelé quantificateur « il existe un unique ».
Rédaction.
1. Pour montrer que « ∀x ∈ E , P (x) », on procède de la manière suivante : on se donne x ∈ E
fixé quelconque et le but est alors de montrer que P (x) est vrai pour cet x.
2. Pour montrer que « ∃x ∈ E ; P (x) », on procède de la manière suivante : on doit trouver x ∈ E
tel que P (x) soit vrai, par exemple en résolvant une équation d’inconnue x et en prouvant
que cette équation a au moins une solution.
3. Pour montrer que « ∃!x ∈ E ; P (x) », on procède de la manière suivante : on doit trouver un
unique x ∈ E tel que P (x) soit vrai, par exemple en résolvant une équation d’inconnue x et
en prouvant que cette équation a une unique solution.
Remarque importante. Pour montrer qu’un prédicat P (n) est vrai pour tout entier naturel n, on
peut donc faire une preuve « directe » à la place d’une preuve par récurrence. On fixe n entier
naturel quelconque, et on montre que P (n) est vrai. On obtient alors qu’il est vrai pour tout
entier naturel n.
B Pour montrer que « ∀n ∈ N, P (n) est vrai », il ne faudra donc pas mélanger preuve par
récurrence et preuve directe.
N
Exemple. Montrer que ∀n ∈ , 2n+1 ≥ 2.

Il faut connaître la négation de ces quantificateurs.
Proposition 10 – Négation des quantificateurs

¡ ¢ ¡ ¢
1. Les prédicats non ∀x ∈ E , P (x) et ∃x ∈ E ; non P (x) sont égaux.
¡ ¢ ¡ ¢
2. Les prédicats non ∃x ∈ E ; P (x) et ∀x ∈ E , non P (x) sont égaux.
En particulier dire que « il n’existe pas x ∈ E pour lequel le prédicat P (x) est vrai » revient à dire
que « pour tout x ∈ E , le prédicat P (x) est faux ».
Nous allons maintenant voir comment comparer deux ensembles.
Définition 11 – Inclusion
Soient E et F deux ensembles. On dit que F est inclus dans E et on le note F ⊂ E ou F ⊆ E ,
lorsque tout élément de F est aussi élément de E , i.e. lorsque :
∀x ∈ F, x ∈ E
ou encore :
x ∈ F =⇒ x ∈ E
On dit aussi que F est un sous-ensemble de E , ou que F est une partie de E .
Dans le cas contraire, on le note F 6⊆ E et on le traduit par : ∃x ∈ F ; x ∉ E .
Exemple. N ⊂ Z.
Exemple. L’ensemble des élèves de Sup1 est inclus dans l’ensemble des élèves du lycée.
R
B ATTENTION : dans l’ensemble des nombres réels, on peut toujours comparer deux nombres
x et y : on a x ≤ y et x ≥ y. On dit que la relation d’ordre ≤ est totale. Mais ce n’est pas le cas
pour la relation d’inclusion sur les ensembles : si F et E sont deux ensemble quelconques, on
peut avoir F 6⊆ E et E 6⊆ F .
Exemple. Dans R, si F = Z et E = R+ = [0, +∞[, alors F 6⊆ E et E 6⊆ F .

Exemple. Sur l’exemple suivant, on a : F 6⊆ E et E 6⊆ F .
F E

3 Ensembles 15
Rédaction. Pour montrer que F ⊆ E on se donne x ∈ F fixé quelconque, et on démontre que x ∈ E .
Exemple. Montrer que N ⊆] − 1, +∞[.

Proposition 12 – Propriétés élémentaires de la relation d’inclusion
Si E , F , G sont trois ensembles :

1. on a E ⊆ E ;
2. si G ⊆ F et F ⊆ E alors G ⊆ E .
B Ne pas confondre les symboles ∈ et ⊆. Ils sont liés par la propriété :
x ∈ E ⇐⇒ {x} ⊆ E
Définition 13 – Egalité de deux ensembles
Soient E et F deux ensembles.

On dit que E = F lorsque E ⊆ F et F ⊆ E , i.e. lorsque : x ∈ E ⇐⇒ x ∈ F .
Dans le cas contraire on le note E 6= F .
Exemple. Ecrire le prédicat E 6= F avec des quantificateurs.
Si F ⊆ E mais E 6⊆ F alors on dit que F est strictement inclus dans E , et on le note F ( E .
Exemple. N ( Z.
Exemple. L’ensemble des élèves de Sup1 est strictement inclus dans l’ensemble des élèves
du lycée.
B Ne pas confondre les symboles :

• non inclus F 6⊆ E
F E
• strictement inclus F ( E
E
Dans les deux cas F 6= E .

Rédaction. Pour montrer que E = F on procède donc par double-inclusion.

⊆ On se donne x ∈ E fixé quelconque ; on doit alors montrer que x ∈ F . On en déduit que E ⊆ F .
⊇ On se donne x ∈ F fixé quelconque ; on doit alors montrer que x ∈ E . On en déduit que F ⊆ E .
On peut alors conclure que E = F .
Exemple. On peut dire que l’ensemble E des élèves de Sup1 est égal à l’ensemble F des
élèves du lycée qui ont des cheveux bruns, si tous les élèves de Sup1 ont les cheveux bruns
(E ⊆ F ) et si tous les élèves du lycée qui ont des cheveux bruns sont en Sup1 (F ⊆ E ).
On définit un ensemble particulier qui ne possède pas d’élément.
Définition 14 – Ensemble vide

On appelle ensemble vide, noté ;, l’ensemble qui ne posséde aucun élément.
Il est inclus dans tout autre ensemble.
Il ne possède qu’un sous-ensemble : lui-même.
Très souvent on définit un sous-ensemble par compréhension ie en imposant que ses éléments
vérifient une certaine propriété.
Définition 15 – Sous-ensemble défini par compréhension
Soient E un ensemble et P (x) une propriété dépendant de x élément de E . L’ensemble F

des éléments de E vérifiant la propriété P (x) est noté : F = {x ∈ E ; P (x)}.
C’est un sous-ensemble de E .
Avec cette notation il n’est plus nécessaire d’énumérer les éléments (comme dans la définition
par extension), ce qui est très pratique pour les ensembles infinis. Pour montrer que x ∈ F il est
donc équivalent de montrer que P (x) est vrai.
R
Exemple. A = {x ∈ ; x 2 − 3x + 2 ≥ 1} est une partie de R.
©
R
Exemple. Montrer que x ∈ ; x 2 − 2x + 1 = 0 = {1}.
ª
Définition 16 – Ensemble des parties
Si E est un ensemble, on note P (E ) l’ensemble des parties de E .

On a donc pour F un ensemble quelconque :
F ⊆ E ⇐⇒ F ∈ P (E )
Un ensemble E a toujours comme parties ; et E , donc on a toujours ; ∈ P (E ) et E ∈ P (E ).
Exemple. Si E est vide

¡ :P
¢ (;)
© = {;}ª 6= ; (ensemble à un élément : l’ensemble vide).
Si E est un singleton : P ¡{a} =¢ ;,©{a} . ª
Si E a deux éléments : P {a, b} = ;, {a}, {b}, {a, b} .

3 Ensembles 17
© ª
Exemple. On a donc : x ∈ E ⇐⇒ {x} ⊆ E ⇐⇒ {x} ∈ P (E ) ⇐⇒ {x} ⊆ P (E ).
Terminons ce paragraphe par un paradoxe célèbre et d’énoncé simple, appelé paradoxe de
Russel : il n’existe pas d’ensemble de tous les ensembles. Ce paradoxe est plus facile à
comprendre sous la forme du paradoxe du barbier : il n’existe pas de barbier qui raserait tous
les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes (et seulement ceux-là). En effet, qui raserait ce
barbier ?
3.2 Opérations sur les ensembles

Définition 17 – Intersection et union de deux parties d’un ensemble
Soient A et B deux parties d’un ensemble E .

1. On définit l’intersection de A et B, notée A ∩ B, comme étant l’ensemble des élé-
ments de E qui appartiennent à A et à B, ie :
³ ´
∀x ∈ E , x ∈ A ∩ B ⇐⇒ x ∈ A et x ∈ B
2. On définit l’union de A et B, notée A ∪ B, comme étant l’ensemble des éléments de

E qui appartiennent à A ou à B, ie :
³ ´
∀x ∈ E , x ∈ A ∪ B ⇐⇒ x ∈ A ou x ∈ B
A ∩ B et A ∪ B sont donc deux parties de E .
Les figures suivantes représentent l’union et l’intersection de deux ensembles A et B.
Proposition 18 – Règles de calcul
Si A, B et C sont trois parties d’un ensemble E :

1. A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B
¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢
2. Associativité : A ∩ B ∩C = A ∩ B ∩C et A ∪ B ∪C = A ∪ B ∪C
3. A ∩ A = A ∪ A = A A ∩; = ; A ∪; = A
4. Commutativité : A ∩ B = B ∩ A et A ∪B = B ∪ A
¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢
5. Distributivité de ∩ par rapport à ∪ : A ∩ B ∪C = A ∩ B ∪ A ∩C

¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢
Distributivité de ∪ par rapport à ∩ : A ∪ B ∩C = A ∪ B ∩ A ∪C
La propriété d’associativité de l’union permet de se dispenser des parenthèses et d’utiliser la

notation A ∪ B ∪ C pour l’union de trois ensembles : en effet, cette notation désigne
indifféremment (A ∪ B) ∪ C ou A ∪ (B ∪ C ), et ces deux quantités sont égales donc cela ne pose
pas de problème de confusion.
La même remarque est valable pour l’intersection : on peut utiliser la notation A ∩ B ∩C .
B Par contre, dans une expression mélangeant union et intersection, on ne peut pas se
dispenser des parenthèses.
Par exemple la notation A ∪ B ∩ C n’a aucun sens ! En effet, elle peut désigner (A ∪ B) ∩ C ou
A ∪ (B ∩C ), et comme ces deux quantités sont différentes, on ne sait plus de quoi on parle !
Les figures suivantes représentent l’union et l’intersection de trois ensembles A, B et C .
Les propriétés de distributivité sont aussi très importantes : elle sont à rapprocher de la
distributivité de la multiplication par rapport
¡ ¢ à l’addition
¡ ¢ ¡ des ¢nombres.
¡ Les¢ figures
¡ ¢suivantes
¡ ¢
permettent de visualiser les formules A∩ B ∪C = A∩B ∪ A∩C et A∪ B ∩C = A∪B ∩ A∪C .

3 Ensembles 19
Définition 19 – Parties disjointes/incompatibles
On dit que deux parties A et B d’un ensemble E sont disjointes ou incompatibles lorsque
A ∩ B = ;.
B ATTENTION ! Ne pas confondre A et B disjoints : A ∩ B = ;, et A et B distincts : A 6= B. Deux

ensembles disjoints sont distincts (ou vides), mais deux ensembles distincts ne sont en général
pas disjoints.
Les figures suivantes représentent deux ensembles distincts mais non disjoints, et deux
ensembles disjoints (donc distincts).
A B A B
Définition 20 – Complémentaire
Soit A une partie d’un ensemble E . Le complémentaire de A dans E , noté ∁E A, est défini
par : © ª
∁E A = x ∈ E ; x ∉ A
Lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté sur E , ∁E A est noté plus simplement A.
Les figures suivantes représentent une partie A et son complémentaire (E est représenté par un
rectangle).
Si A est une partie de E :

1. A = A ;
2. ; = E et E = ; ;
3. A ∪ A = E et A ∩ A = ;.
Exemple. Soient A et B parties de E . Montrer que A ∩ B = ; ⇐⇒ A ⊆ B.

Théorème 22 – Lois de Morgan
Si A et B sont deux parties de E : A ∩B = A ∪B et A ∪ B = A ∩ B.
Les deux figures suivantes permettent de visualiser les lois de Morgan.
Définition 23 – Différence
Si A et B sont deux parties de E , on appelle différence de A et B, notée A − B ou A\B, la
partie de E définie par : © ª
A\B = A ∩ B = x ∈ A; x ∉ B
3.3 Produits cartésiens et familles d’éléments

Définition 24 – Produit cartésien
1. Soient E et F deux ensembles.
On note E × F l’ensemble des couples (x, y) tels que x ∈ E et y ∈ F :
© ª
E × F = (x, y); x ∈ E et y ∈ F
E × F est appelé produit cartésien de E et de F .

2. Plus généralement, si E 1 , E 2 , . . . , E n sont n ensembles, on note E 1 × E 2 × · · · × E n
l’ensemble des n-uplets (x1 , . . . , xn ) tels que x1 ∈ E 1 , x2 ∈ E 2 , . . . , xn ∈ E n .
3. Si E 1 = E 2 = · · · = E n = E , alors E 1 × E 2 × · · · × E n est noté E n , et ses éléments sont
appelés n-listes d’éléments de E .

3 Ensembles 21
Exemple. R3 = R × R × R = ©(x, y, z); x ∈ R, y ∈ R et z ∈ Rª.

Définition 25 – Famille finie d’éléments de E
Soient I = {i 1 , i 2 , . . . , i n } un ensemble fini (appelé ensemble d’indices), et E un ensemble.
On dit que (xi )i ∈I est une famille d’éléments de E indexée par I lorsque, pour chaque i ∈ I ,
xi est un élément de E .
Exemple. Pour I = {1, 2, . . ., n}, (xi )i ∈I = (x1 , . . . , xn ) est un n-uplet d’éléments de E .

Une famille généralise donc les n-uplets à des éléments qu’on veut indicer de manière générale,
alors que pour les n-uplets on les numérote toujours de 1 à n. Les n-uplets sont donc des cas
particuliers de famille.
Exemple. (xPierre , xPaul , xJacques ) est une famille de 3 éléments mais n’est pas un 3-uplet.
Dans la suite, I = {i 1 , i 2 , . . . , i n } est un ensemble fini.
Définition 26 – Famille finie de parties de E
On dit que (A i )i ∈I est une famille de parties de E , lorsque pour i ∈ I , A i est une partie de E .
Dans ce cas (A i )i ∈I est une famille d’éléments de P (E ), au sens de la définition donnée

précédemment.
µ· ·¶
Exemple. 1, 1 +
1
k 1≤k≤n
est une famille de parties de . R
Définition 27 – Union/Intersection d’une famille finie de parties
Si
[(A i )i ∈I est une famille finie de parties de E , on définit l’union des A i pour i ∈ I , notée
A i , par :
i ∈I µ ¶
[
∀x ∈ E , x∈ A i ⇐⇒ ∃i ∈ I ; x ∈ A i
i ∈I
\
De même on définit aussi leur intersection A i , par :
i ∈I
µ ¶
\
∀x ∈ E , x∈ A i ⇐⇒ ∀i ∈ I ; x ∈ A i
i ∈I
n
[ n
\
Lorsque I = {1, 2, . . . , n} ces deux parties sont notées A k et A k et vérifient :
k=1 k=1
µ n ¶
[
∀x ∈ E , x∈ A k ⇐⇒ ∃k ∈ {1, 2, . . ., n}; x ∈ A k
k=1
µ n ¶
\
∀x ∈ E , x∈ A k ⇐⇒ ∀k ∈ {1, 2, . . ., n}; x ∈ A k
k=1

n · · n · · · ·
[ 1 \ 1 1
Exemple. Montrer que 1, 1 + = [1, 2[ et 1, 1 + = 1, 1 + .
k=1 k k=1 k n
Si B est une partie de E et (A i )i ∈I est une famille de parties de E , alors :

Ã !
[ [¡ ¢
1. Distributivité de ∩ par rapport à ∪ : Ai ∩ B = Ai ∩ B ,
Ã ! i ∈I i ∈I
\ \¡ ¢
et de ∪ par rapport à ∩ : Ai ∪ B = Ai ∪ B .
i ∈I i ∈I
[ \ \ [
2. Lois de Morgan : Ai = Ai et Ai = Ai .
i ∈I i ∈I i ∈I i ∈I
Définition 29 – Famille de parties deux à deux disjointes
Si (A i )i ∈I famille de parties de E , on dit que les A i sont deux à deux disjointes lorsque :
∀(i , j ) ∈ I 2 , i 6= j =⇒ A i ∩ A j = ;
B Si A, B et C sont des parties de E deux à deux disjointes alors A ∩ B ∩C = ; :
B
A
Par contre il est possible que A ∩ B ∩ C = ; mais que A, B et C ne soient pas deux à deux
disjointes :
A B

4 Applications 23
B Prendre garde aux notations.

Les accolades définissent des ensembles et les parenthèses définissent des familles.
Pour les ensembles, les répétitions ne sont pas prises en compte, contrairement aux familles :
{a, a, b} = {a, b} mai (a, a, b) 6= (a, b)
Pour les ensembles l’ordre n’est pas pris en compte, contrairement aux familles :
{a, b} = {b, a} mais (a, b) 6= (b, a)
4 Applications
4.1 Définitions
Définition 30 – Application
Soient E et F deux ensembles. Une application définie sur E à valeurs dans F se note :
f : E −→ F
x 7−→ f (x)
est une "relation" qui à chaque x ∈ E associe un unique élément y ∈ F , noté f (x).
f
On la note plus simplement f : E −→ F ou x ∈ E 7−→ f (x) ∈ F .
f (x) est appelé image de x, et si y = f (x) alors x est appelé antécédent de y.
Vocabulaire :
• f : E −→ F se lit « f est une application de E vers F » ou encore « f est une application définie
sur E à valeurs dans F ».
• x 7−→ f (x) se lit « à x on associe f (x) ».
• f (x) se lit aussi f évaluée en x.
Lorsque f n’est pas définie sur E tout entier, on dit que f est une fonction, mais les confusions
de vocabulaire entre applications et fonctions sont fréquentes.
B On suppose donc dans tout ce chapitre que les applications sont définies sur E tout entier.
On ne donnera donc pas l’ensemble de définition de f , puisque ce sera à chaque fois E tout
entier.
Si à chaque x ∈ E la « relation » associe plusieurs éléments de F , on ne parle pas d’application

mais de correspondance de E vers F (mais ce n’est pas du tout au programme).
Exemple. On associe à x ∈ R sa valeur absolue : c’est une application de R vers R.

Exemple. On associe à n ∈ N ses diviseurs positifs : c’est une correspondance de N vers N.
Exemple. f : R2 −→ R définie par f (x, y) = x 2 + x y est une application.

Définition 31 – Graphe d’une application
Le graphe de f est le sous-ensemble de E × F donné par :

© ª
G = (x, f (x)) ∈ E × F ; x ∈ E
Notation. On note F (E , F ) ou F E l’ensemble de toutes les applications définies sur E à valeurs

dans F .
Une application peut être représentée par un diagramme :
Sur le diagramme précédent on voit qu’un élément de l’ensemble d’arrivée peut n’avoir aucun
antécédent, ou en avoir plusieurs.
Important. Lorsque f : E −→ F , ie f va de E vers F , on suppose en particulier que :
∀x ∈ E , f (x) ∈ F
Définition 32 – Égalité de deux applications
Soient f : E −→ F et g : E ′ −→ F ′ deux applications. On dit que f et g sont égales, et on le

note f = g , lorsque E = E ′, F = F ′ et :
∀x ∈ E , f (x) = g (x)
En particulier, si E = E ′ et F = F ′ alors f 6= g si et seulement si : ∃x ∈ E ; f (x) 6= g (x).
B On considère que les applications sin : R −→ R et sin : R −→ [−1, 1] sont différentes.

B L’égalité f = g a lieu dans F E alors que l’égalité f (x) = g (x) a lieu dans F . Ne pas confondre
les deux ! f = g entraîne toujours que f (x) = g (x), par contre f (x) = g (x) doit être vraie pour tout
x ∈ E pourqu’on puisse en déduire f = g .

4 Applications 25
Définition 33 – Applications constantes
Soient E et F deux ensembles. Une application f : E −→ F est dite constante lorsqu’il existe
a ∈ F tel que :
∀x ∈ E , f (x) = a
On dit alors que f est constante égale à a.
Si F = R on dit que f est constante nulle lorsque ∀x ∈ R, f (x) = 0.
B Ne pas confondre f constante nulle avec f s’annule : ∃x0 ∈ E ; f (x) = 0.
Définition 34 – Application identité
Si E est un ensemble on définit l’application :
idE : E −→ E
x 7−→ idE (x) = x
Exemple. Le graphe de la fonction numérique idR est la droite d’équation y = x appelée

première bissectrice.
Nous verrons plus loin qu’elle joue le rôle d’élément neutre pour la loi de composition.
Définition 35 – Restriction
Soit f : E −→ F une application.
1. Si E 1 ⊆ E alors on appelle restriction de f à E 1 , notée f |E 1 , l’application :
f |E 1 : E 1 −→ F
x 7−→ f |E 1 (x) = f (x)
On a donc : ∀x ∈ E 1 , f |E 1 (x) = f (x).

2. Soient E 1 ⊆ E et F1 ⊆ F tel que : ∀x ∈ E 1 , f (x) ∈ F1 .
|F
On appelle restriction de f à E 1 au départ et à F1 à l’arrivée, notée f |E 11 , l’application :
|F
f |E 1 : E 1 −→ F1
1
|F
x 7−→ f |E 11 (x) = f (x)
|F
On a : ∀x ∈ E 1 , f |E 11 (x) = f (x).
Exemple. La fonction sin : R|[0,1]

−→ R peut être restreinte à [0, π] au départ et à [0, 1] à l’arrivée.
La restriction est alors notée sin|[0,π] .

E F
× ×
E1 × F1
×
× |F
x f |E 1 (x) = f (x)
1
Définition 36 – Prolongement

1. Si E ⊆ E 2 alors on appelle prolongement de f à E 2 toute application g : E 2 −→ F telle
que g |E = f ie telle que : ∀x ∈ E , g (x) = f (x).
2. Si E ⊆ E 2 et F ⊆ F2 , alors on appelle prolongement de f à E 2 au départ et F2 à l’arri-
|F
vée, toute application g : E 2 −→ F2 telle que g |E = f ie telle que :
∀x ∈ E , g (x) = f (x).
4.2 Loi de composition

Définition 37 – Composée d’applications
Soient deux applications f : E −→ F et g : F ′ −→ G telles que F ⊆ F ′ .

On définit l’application composée g ◦ f : E −→ G par :
¡ ¢
∀x ∈ E , (g ◦ f )(x) = g f (x)
On a le diagramme de composition :
g
FO /G
⑧⑧?
f ⑧⑧
⑧⑧⑧ g ◦f
⑧
E
B Ne pas écrire g (x) ◦ f (x) à la place de g ◦ f (x) !
En effet la notation g (x) ◦ f (x) n’a pas de sens, et tout calcul qui l’emploie est donc
irrémédiablement faux.
B A la place de (g ◦ f )(x) on écrit souvent g ◦ f (x) mais ce n’est pas la fonction g composée avec
l’élément f (x) (ce qui n’a pas de sens), c’est l’application g ◦ f évaluée en x.
Exemple. On considère les applications f : x ∈ R 7−→ x 2 ∈ R+ et g : x ∈ R+ 7−→ px ∈ R+.

Les applications f ◦ g et g ◦ f existent-elles ? Si oui, donner leur expression.
Exemple. Même question avec f : x ∈ R 7−→ x 2 ∈ R+ et g : x ∈ R+ 7−→ px ∈ R.

4 Applications 27
Exemple.
½ On définit deux applications ½ f et g de [0, 1] vers [0, 1] par
1/2 − x si 0 ≤ x < 1/2 0 si 0 ≤ x < 1/2
f (x) = et g (x) =
0 sinon x − 1/2 sinon
Montrer que les fonctions f ◦ g et g ◦ f sont définies et donner leur expression.
Proposition 38 – Propriété de l’application identité
Soit f : E −→ F une application. On a f ◦ idE = f et idF ◦ f = f .
C’est pour cette raison que l’identité à un rôle d’élément neutre (un peu comme 0 pour
l’addition et 1 pour la multiplication des nombres).
Proposition 39 – Associativité de la loi de composition

f g h
On se donne trois applications E −→ F −→ G −→ H.
On a la propriété d’associativité : h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g ) ◦ f .
On peut donc sans ambiguité utiliser ³la notation h ◦ g ◦ f (les parenthèses sont omises).
¡ ¢´
On a alors pour x ∈ E : h ◦ g ◦ f (x) = h g f (x) .
p
Exemple. Soient les applications f : x 7−→ 1 + x 2 , g : x 7−→ x et h : x 7−→ ln(1 + x). Montrer
que h ◦ g ◦ f est définie et donner l’expression de h ◦ g ◦ f (x).
4.3 Injection, surjection, bijection
Définition 40 – Application injective

On dit que f est injective sur E (ou que f est une injection) lorsque :
∀(x1 , x2 ) ∈ E 2 , f (x1 ) = f (x2 ) =⇒ x1 = x2
ou encore par contraposée :
∀(x1 , x2 ) ∈ E 2 , x1 6= x2 =⇒ f (x1 ) 6= f (x2 )
Deux points distincts ont donc toujours des images distinctes.

De manière équivalente ont peut dire que les points de F ont au plus un antécédent par f .
Rédaction. Pour montrer que f est injective sur E on fixe x1 et x2 éléments de E tels que
f (x1 ) = f (x2 ). On doit alors montrer que x1 = x2 .
Pour montrer que f n’est pas injective sur E on cherche deux éléments distincts x1 et x2 dans E
tels que f (x1 ) = f (x2 ).

Exemple. Montrer que f : R −→ R définie par f (x) = x 2 n’est pas injective sur R, et
g : R −→ R définie par g (x) = x 2 est injective sur R+ .
+
Définition 41 – Application surjective
Soit f : E −→ F une application. On dit que f est surjective de E vers F (ou que f est une
surjection) lorsque :
∀y ∈ F, ∃x ∈ E ; y = f (x)
De manière équivalente on peut dire que les points de F ont tous au moins un antécédent
dans E .
Rédaction. Pour montrer que f est surjective de E vers F on fixe y élément quelconque de F . On
doit alors trouver au moins un x élément de E tel que f (x) = y.
Pour montrer que f n’est pas surjective de E vers F on cherche y élément de F qui n’a pas
d’antécédent par f dans E , ie tel que f (x) 6= y pour tout x ∈ E .
Exemple. Montrer que f : R −→ R définie par f (x) = x 2 n’est pas surjective de R vers R, et
g : R −→ R+ définie par g (x) = x 2 est surjective de R vers R+ .
B Attention à la subtilité suivante : si x ∈ E on peut toujours poser y = f (x) et on définit y ∈ F .

Par contre si y ∈ F , on ne peut pas en général définir x ∈ E en posant y = f (x). En effet ceci
suppose que y a un antécédent par f . Si f est surjective, il est possible de définir x en posant
y = f (x), mais il est plus clair de dire « on note x un antécédent de y par l’application surjective
f » ; en effet, x n’est en général pas unique.
Définition 42 – Application bijective
Soit f : E −→ F une application. On dit que f est bijective de E vers F (ou que f est une
bijection) lorsque f est à la fois injective et surjective :
∀y ∈ F, ∃!x ∈ E ; y = f (x)
Un point de F a donc toujours un unique antécédent dans E .
Rédaction.
1. Pour monter que f est bijective de E vers F on fixe y élément quelconque de F . On doit alors
trouver un unique x élément de E tel que f (x) = y.
2. On peut aussi procéder en deux temps en montrant que f est injective, puis surjective.

4 Applications 29
Le diagramme suivant illustre ces notions d’injection/surjection/bijection.
B Attention, en général une application n’est ni injective, ni surjective.

R R
Considérer par exemple f : −→ définie par f (x) = x 2 .
Exemple. Montrons que f : R −→ R+ définie par f (x) = x 2 n’est pas bijective de R sur R+,
g : R+ −→ R définie par g (x) = x 2 n’est pas non plus bijective de R+ sur R, mais h : R+ −→ R+
définie par h(x) = x 2 est bijective de R+ sur R+ .
Proposition 43 – Composée d’injections/surjections/bijections

f g
Soient deux applications E −→ F −→ G.
1. Si f est injective sur E et g injective sur F , alors g ◦ f est injective sur E .
2. Si f est surjective de E vers F et g surjective de F vers G, alors g ◦ f est surjective de
E vers G.
3. Si f est bijective de E vers F et g bijective de F vers G, alors g ◦ f est bijective de E
vers G.
Le diagramme suivant donne un exemple montrant qu’on peut avoir g ◦ f et g surjectives, mais
f non surjective.

Définition 44 – Inversibilité pour la loi de composition

On dit qu’elle est inversible pour la loi de composition lorsqu’il existe une application g :
F −→ E telle que g ◦ f = idE et f ◦ g = idF .
Une telle fonction g est appelée application réciproque de f .
Proposition 45 – Unicité de l’inverse pour la loi de composition
Soit f : E −→ F inversible pour la loi de composition.

Alors elle admet une unique application réciproque : on la note f −1 .
Si elle existe, l’application réciproque de f : E −→ F a donc les propriétés suivantes :

• f −1 : F −→ E
• f −1 ◦ f = idE et f ◦ f −1 = idF
• Pour x ∈ E et y ∈ F : f (x) = y ⇐⇒ x = f −1 (y)
B Lorsque f est à valeurs dans R∗ (ou dans C∗), ne pas confondre f −1 avec l’inverse de f pour
1
la multiplication ! Pour cette raison, l’inverse de f pour la multiplication est souvent notée .
f
Théorème 46 – Théorème de la bijection réciproque
Soit f : E −→ F une application. On a équivalence de :

(i) f est bijective de E vers F ;
(ii) f est inversible pour la loi de composition.
L’application f −1 est donc bijective de F sur E , on l’appelle aussi la bijection réciproque de
¡ ¢−1
f . De plus, f −1 =f.
Sur un diagramme, l’inverse f correspond à inverser le sens des flèches.

4 Applications 31
On dispose donc de trois méthodes pour montrer qu’une application f est bijective :
1. Montrer que f est injective et surjective.
2. Pour y ∈ F , résoudre l’équation y = f (x) d’inconnue x ∈ E .

Si on obtient une unique solution, on montre que f est bijective. De plus, l’expression
obtenue donne la fonction f −1 : x = f −1 (y).
3. On cherche une fonction g : F −→ E telle que : f ◦ g = idF et g ◦ f = idE .

Si on trouve une telle fonction, on montre que f est bijective. De plus f −1 = g .
Remarquez que les deux dernières méthodes donnent aussi la fonction réciproque de f , en plus
de la bijectivité.
Exemple. Montrons
p que f : x ∈ R+ 7−→ ex
2
∈ [1, +∞[ est bijective de réciproque
f −1
: y ∈ [1, +∞[7−→ ln(y) ∈ R
+
.
Exemple. Montrons que ϕ : z ∈ C −→ z ∈ C est bijective et ϕ−1 = ϕ (on dit alors que ϕ est
une involution).
Exemple. Montrons que idE est bijective et id−1

E = idE .
B On peut avoir g ◦ f = idE et f ◦ g 6= idF . Dans ce cas f n’est pas une bijection. Considérer
R R R R p
f : + −→ et g : −→ + définies par f (x) = x et g (x) = x 2 . On peut aussi visualiser cette
propriété sur le diagramme suivant (où f est non surjective) :

Dans le cas d’une fonction définie sur un intervalle de R R

et à valeurs dans , on a aussi une
quatrième méthode pour démontrer la bijectivité qui repose sur le théorème suivant.
Théorème 47 – Théorème de la bijection monotone
R
Soit f : I −→ . On suppose que :
R
(i) I est un intervalle de ;
(ii) f est continue sur I ;
(iii) f est strictement monotone sur I .
Alors f induit une bijection de I vers un intervalle J , à déterminer avec le tableau de varia-
tions.
« f induit une bijection de I vers J » signifie que c’est la restriction f |I|J est bijective. En général
R
f : D f −→ ne l’est pas, donc il faut toujours préciser les intervalles I et J .
Exemple. Pour n ∈ N∗, la fonction f : x ∈ R+ 7−→ x n ∈ R induit une bijection de R+ vers R+.
Définition 48 – Fonction racine n-ième
La bijection réciproque de la fonction f : x ∈

p
R+ 7−→ x n ∈ R+ est appelée fonction racine
n-ième notée n .
R p
Pour x et y dans + , on a : x n = y ⇐⇒ x = n y.
Bp
n n’est définie que sur R+. Par exemple p−1 n’est pas défini, bien que (−1)3 = −1.
3
Proposition 49 – Bijection réciproque d’une composée

f g ¡ ¢−1
Soient E −→ F −→ G bijectives. Alors g ◦ f est bijective et g ◦ f = f −1 ◦ g −1 .
L’ordre a été inversé, mais cela paraît logique intuitivement : pour inverser f composée par g ,
il faut inverser g puis ensuite f .

4 Applications 33
4.4 Fonctions caractéristiques
Définition 50 – Fonction caractéristique d’une partie
Soit A une partie d’un ensemble E .

On appelle fonction caractéristique de A ou encore fonction indicatrice de A l’application :
1 A : E −→ {0, 1}
½
1 si x ∈ A
x 7−→ 1 A (x) =
0 si x ∉ A
Exemple. La fonction 1; est constante égale à 0.

La fonction 1E est constante égale à 1.
Soient A, B parties de E .
1. On a : A ⊆ B ⇐⇒ ∀x ∈ E , 1 A (x) ≤ 1B (x),
et : A = B ⇐⇒ ∀x ∈ E , 1 A (x) = 1B (x) ;
2. ∀x ∈ E , 1 A (x) = 1 − 1 A (x) ;
3. ∀x ∈ E , 1 A∩B (x) = 1 A (x) × 1B (x) ;
4. ∀x ∈ E , 1 A∪B (x) = 1 A (x) + 1B (x) − 1 A (x) × 1B (x).
Exemple. Redémontrer les lois de Morgan à l’aide des fonctions caractéristiques.
4.5 Images directe et réciproque

Dans tout ce qui suit f : E −→ F est une application.
Définition 52 – Image directe/réciproque
1. Si A ⊆ E , on appelle image directe de A par f l’ensemble :

© ª
f (A) = f (x); x ∈ A
= ensemble des y ∈ F qui ont un antécédent dans A
On a f (A) ⊆ F . De plus, si y ∈ F : y ∈ f (A) ⇐⇒ ∃x ∈ A; y = f (x)

2. Si B ⊆ F , on appelle image réciproque de B par f l’ensemble :
© ª
f −1 (B) = x ∈ E ; f (x) ∈ B
= ensemble des x ∈ E qui ont leur image dans B
On a f −1 (B) ⊆ E . De plus, si x ∈ E : x ∈ f −1 (B) ⇐⇒ f (x) ∈ B.

B La notation f −1 (B) ne suppose pas que f est bijective, et donc f −1 n’est pas la bijection
réciproque de f (puisqu’il n’en existe pas !).
Si f est bijective (et donc f −1 existe), f −1 (B) peut désigner deux choses : l’image réciproque de
B par f ou l’image directe de A par f . Heureusement, on peut montrer que ces deux quantités
sont égales ! Il n’y a donc pas d’incertitude dans la notation employée.
On a f (;) = ; et f −1 (;) = ;.
¡ ¢ ¡ ¢
Exemple. Montrer que A ⊆ f −1 f (A) et que f f −1 (B) ⊆ B.
Proposition 53 – Règles de calculs
On considère A 1 et A 2 deux parties de E et B 1 et B 2 deux parties de F .

1. On a : f (A 1 ∪ A 2 ) = f (A 1 ) ∪ f (A 2 ) et f (A 1 ∩ A 2 ) ⊆ f (A 1 ) ∩ f (A 2 )
2. On a : f −1 (B 1 ∪ B 2 ) = f −1 (B 1 ) ∪ f −1 (B 2 ) et f −1 (B 1 ∩ B 2 ) = f −1 (B 1 ) ∩ f −1 (B 2 )
Proposition 54 – Restriction surjective
Si f : E −→ F est une application, alors f induit une surjection de E sur f (E ).

De plus, f est surjective de E vers F si et seulement si f (E ) = F .
| f (E )
f induit une surjection signifie que c’est une restriction de f qui est surjective : ici f |E .
Définition 55 – Partie stable

Soient f : E −→ E une application et A ⊆ E . On dit que A est stable par f ou que A est
f -stable lorsque f (A) ⊆ A, ie ∀x ∈ A, f (x) ∈ A.
Exemple. Pour l’application f : x 7−→ x 2 , étudier si les parties suivantes sont stables : A = R+,
B = [0, 2], C = [2, +∞[ ?
4.6 Relations d’équivalence

On commence par la notion de relation binaire.
Définition 56 – Relation binaire

On appelle relation binaire R sur un ensemble E toute propriété vraie pour certains couples
(x, y) d’éléments de E , et fausse pour les autres. Lorsqu’un couple (x, y) vérifie la relation
R, on écrit xR y ; sinon, on écrit xR y.

4 Applications 35
Exemple. Egalité, inférieur ou égal et inclusion sont des relations binaires classiques.
R
Exemple. Sur E = , on définit une relation binaire R par xR y ⇐⇒ sin(x) = sin(y).
π
Alors 0Rπ et 0R .
2
Définition 57 – Propriétés des relations binaires
Si R est une relation binaire sur E , on dit que :

• R est réflexive si ∀x ∈ E , xRx ;
• R est symétrique si ∀(x, y) ∈ E 2, xR y =⇒ yRx ;
• R est transitive si ∀(x, y, z) ∈ E 3 , xR y et yRz =⇒ xRz ;
• R est antisymétrique si ∀(x, y) ∈ E 2 , xR y et yRx =⇒ x = y.
Exemple. Les relations d’ordre sont, par définition, les relations réflexives, antisymétriques
et transitives.
On définit ensuite la notion de relation d’équivalence.
Définition 58 – Relation d’équivalence
On appelle relation d’équivalence toute relation binaire à la fois réflexive, symétrique et

transitive.
Exemple. L’égalité est une relation d’équivalence sur n’importe quel ensemble E .
R
Exemple. Sur E = , considérons la relation R définie par xR y ⇐⇒ sin(x) = sin(y).
On vérifie aisément que R est une relation d’équivalence.
Exemple. Plus généralement, pour f : E −→ F , la relation R donnée par

xR y ⇐⇒ f (x) = f (y) est une relation d’équivalence sur E .
En fait une relation d’équivalence peut se comprendre comme « une égalité modulo certains
critères ».
Exemple. On fixe a ∈ R
. Sur E = R
, considérons la relation R définie par
Z
xR y ⇐⇒ ∃k ∈ ; x = y + ka.
On vérifie aisément que R est une relation d’équivalence.
On l’appelle congruence modulo a et on le note : x = y [a] ou x ≡ y [a] ou x ≡ y (mod a)

5 Compétences à acquérir sur ce chapitre

➥ S’exprimer de manière rigoureuse en français ou à l’aide de quantificateurs.
✪ Lorsqu’on utilise un élément x, préciser avant dans quel ensemble il est, et s’il est
quelconque ou non.
➥ Montrer une implication A =⇒ B.

✪ Supposer que A est vrai et montrer que B est vrai.
✪ Raisonner par contraposée : montrer que non(B) =⇒ non(A).
➥ Montrer une équivalence A ⇐⇒ B.

✪ Par double-implication : montrer que A =⇒ B et que B =⇒ A.
➥ Raisonner par l’absurde.

✪ Pour montrer A, on supposer que A est vrai et on cherche une contradiction évidente.
➥ Raisonner par disjonction de cas.

✪ Montrer A dans différents cas particuliers dont le regroupement redonne le cas général.
➥ Résoudre un problème par analyse-synthèse.

✪ Pour l’analyse se donner une solution du problème et essayer de la calculer.
✪ Pour la synthèse prendre la solution du calcul précédent et vérifier qu’elle est une vraie
solution du problème.
➥ Raisonner par récurrence et être capable de choisir entre récurrence simple, à deux pas ou
forte.
➥ Montrer une inclusion entre deux ensembles F ⊆ E .

✪ Fixer x ∈ F quelconque, et montrer que x ∈ E .
➥ Montrer l’égalité de deux ensembles E = F .

✪ Raisonner par double-inclusion : montrer que E ⊆ F et que F ⊆ E .
✪ Montrer l’égalité de leurs fonctions indicatrices.
➥ Connaître les règles de calcul sur les parties d’un ensemble E avec les opérations : union,
intersection, complémentaire.
➥ Connaître les règles de calcul sur les fonctions indicatrices des parties d’un ensemble E .
➥ Connaître et différencier les notions de produits cartésiens et de familles.
➥ Utiliser un diagramme de composition d’applications.

5 Compétences à acquérir sur ce chapitre 37
➥ Étudier l’injectivité d’une application f : E −→ F .

✪ Pour montrer qu’elle est injective : supposer que (x1 , x2 ) ∈ E 2 et que f (x1 ) = f (x2 ), puis
montrer que x1 = x2 .
✪ Pour montrer qu’elle n’est pas injective : donner deux valeurs distinctes de x1 et x2 dans
E telles que f (x1 ) = f (x2 ).
✪ Pour montrer qu’elle est injective, on peut aussi l’écrire comme une composée de deux
injections.
➥ Étudier la surjectivité d’une application f : E −→ F .

✪ Pour montrer qu’elle est surjective : supposer que y ∈ F et montrer l’existence de x ∈ E tel
que y = f (x).
✪ Pour montrer qu’elle n’est pas surjective : donner une valeur de y dans F pour laquelle
y 6= f (x) pour tout x ∈ E .
✪ Pour montrer qu’elle est surjective, on peut aussi l’écrire comme une composée de deux
surjections.
➥ Montrer la bijectivité d’une application f : E −→ F .

✪ Montrer qu’elle est injective et surjective.
✪ Supposer que y ∈ F et montrer l’existence d’un unique x ∈ E tel que y = f (x).
✪ Montrer que f est inversible en donnant g : F −→ E telle que g ◦ f = idE et f ◦g = idF , puis
conclure avec le théorème de la bijection réciproque.
✪ Si E = I intervalle de R et F = f (I ), utiliser le théorème de la bijection monotone.
✪ L’écrire comme une composée de deux bijections, ou comme une application réciproque.
➥ Déterminer l’application réciproque d’une application f : E −→ F , c’est-à-dire calculer f −1 (y)

pour y ∈ F (ce qui va prouver sa bijectivité).
✪ Supposer que y ∈ F et montrer l’existence d’un unique x ∈ E tel que y = f (x) : dans ce cas
f −1 (y) = x.
✪ Donner g : F −→ E telle que g ◦ f = idE et f ◦ g = idF : dans ce cas f −1 = g .
✪ Dans le cas où la bijectivité de f est connue, donner g : F −→ E telle que g ◦ f = idE ou
telle que f ◦ g = idF : dans ce cas f −1 = g .
✪ L’écrire comme une composée de deux bijections, et utiliser la formule d’inversion d’une
composée.
➥ Connaître les définitions de l’images directe d’une partie, de l’image réciproque d’une partie,
et de partie stable.
➥ Connaître la définition d’une relation d’équivalence.

6 Exercices
Logique et
raisonnements
EXERCICE 1. Quantificateurs et connecteurs

Écrire avec les quantificateurs et les connecteurs appropriés les propositions mathématiques
suivantes :
p p
1. Il existe un rationnel compris entre 3 et 5.
2. Il n’existe pas d’entier naturel supérieur ou égal à tous les autres.
3. Si la somme de deux entiers naturels est nulle, alors ces deux entiers naturels sont nuls.
EXERCICE 2. Un peu de logique

Les propositions suivantes sont-elles vraies ? Sinon donner leur négation :
R N
p
1. ∃A ∈ ∗+ ; ∀n ∈ , n É A
2. ∀x ∈ R∗+ , ∃n ∈ N∗ ; n1 É x
3. ∀x ∈ R, ∃n ∈ N∗ ; n1 É x
EXERCICE 3. Des maths vers le français

R
Soit I un intervalle de et f : I −→ R une fonction définie sur I et à valeurs réelles. Exprimer en
français les prédicats suivants :
1. ∃C ∈ R;³∀x ∈ I , f (x) = C ´
2. ∀x ∈ I , f (x) = 0 =⇒ x = 0
3. ∀y ∈ R, ∃x ∈³I ; f (x) = y ´
4. ∀(x, y) ∈ I 2 , x ≤ y =⇒ f (x) ≤ f (y)
³ ´
5. ∀(x, y) ∈ I 2 , f (x) = f (y) =⇒ x = y
EXERCICE 4. Du français vers les maths

R R
Soit I un intervalle de et f : I −→ une fonction définie sur I et à valeurs réelles. Exprimer à
l’aide de quantificateurs les assertions suivantes :
1. « la fonction f s’annule »
2. « la fonction f est la fonction nulle »
3. « f n’est pas une fonction constante »
4. « f ne prend jamais deux fois la même valeur »
5. « la fonction f présente un minimum »
6. « f prend des valeurs arbitrairement grandes »
7. « f ne peut s’annuler qu’une seule fois »

6 Exercices 39
EXERCICE 5. Raisonnements par récurrence
1. Montrer que pour tout entier n ∈ N∗ , on a : n! ≥ 2n−1 .

2. On définit une suite réelle (u n )n∈N par : u 0 = u 1 = 3 et ∀n ∈ N, un+2 = un+1 + 2un . Établir
que :
N
∀n ∈ , u n = 2n+1 + (−1)n
3. On définit une suite réelle (u n )n∈N par : u 0 = 0, u 1 = 1, u 2 = 2 et ∀n ∈ N, un+3 = 7un+2 −

16u n+1 + 12u n . Établir que :
∀n ∈ N, u n = −2 × 3n + 2n+1 + 3n2n−1
EXERCICE 6. La différence symétrique de deux parties

Soit E un ensemble. Pour toutes parties A et B de E , on pose :
A∆B = (A ∪ B)\(A ∩ B).
1. Montrer que : A∆B = (A\B) ∪ (B\A).

2. Soient A, B et C trois parties de E vérifiant : A∆B = A∆C . Montrer que : B = C .
Si A ∪ B = A ∪C peut-on dire que B = C ?
EXERCICE 7. Ensemble des parties d’un ensemble
1. Déterminer P (E ) pour E = {a, b, c, d } ; a, b, c, d étant distincts deux à deux.

2. Déterminer P (E ) et P (P (E )) pour un ensemble à deux éléments.
EXERCICE 8. Équations ensemblistes

Soient E un ensemble et A, B et C trois parties de E .
1. Montrer que : A ⊂ B ⇐⇒ A ∪ B = E .
½
A ∪ B = A ∪C
2. Démontrer que : ⇐⇒ B =C.
A ∩ B = A ∩C
½
A ∪ B = A ∩C
3. Démontrer que : ⇐⇒ A = B =C.
A ∩ B = A ∪C
EXERCICE 9. Une nouvelle opération sur les parties d’un ensemble

Soit E un ensemble non vide. ¡ ¢ ¡ ¢
Si A et B sont deux parties de E , on pose A∗B = A∩B ∪ A∩B , où A désigne le complémentaire
de A dans E .
1. Représenter sur un dessin l’ensemble A ∗ B.
2. Soient A, B, C trois parties de E .
(a) Calculer A ∗ A et A ∗ E .
(b) Vérifier que : A ∗ B = B ∗ A. Comment s’appelle cette propriété ?
(c) Montrer que : (A ∗ B) ∗C = A ∗ (B ∗C ). Comment s’appelle cette propriété ?

3. Soient A, B, C trois parties de E . Démontrer les formules suivantes :

(a) A ∗ B = A ∗ B .
(b) A ∗ B = A ∗ B = A ∗ B.
(c) A ∗ B = A ∗C =⇒ B = C .
Applications
EXERCICE 10. Théorème de la bijection monotone

On considère l’application f définie par :
f : R −→ R
x 7−→ sin(x) + 2x
1. Est-ce que l’application f est injective ? surjective ? bijective ?

2. Montrer que l’équation f (x) = 2 admet une unique solution réelle, et que cette solution
est strictement positive.
EXERCICE 11. La fonction carré

On considère l’application :
f : R −→ R+
x 7−→ x2
R ? surjective de R sur R+ ?
1. Est-elle injective sur
2. Montrer que f |R est bijective de R+ sur R+ et déterminer son application réciproque.
+
3. De même montrer que f |R est bijective de R− sur R+ et déterminer son application

−
réciproque.
4. f est-elle injective sur N ? bijective de N sur N ? de Z sur N ?
EXERCICE 12. Une homographie
f : R\{1} −→ R
x −2
x 7−→
x −1
Montrer que ∀x ∈ R \{1}, f ( f (x)) = x. Que peut-on en déduire ?
EXERCICE 13. Inversibilité à gauche ou à droite pour la loi de composition

Soient E , F deux ensembles et f : E → F et g : F → E deux applications.
1. Montrer que si g ◦ f = I d E , alors g est surjective et f est injective.
2. On suppose que g ◦ f = I d E , et que l’une des deux applications f ou g est bijective. Mon-
trer que l’autre est aussi bijective.
3. Monter que si g ◦ f et f ◦ g sont bijectives, alors f et g sont bijectives.

6 Exercices 41
EXERCICE 14. Réciproques partielles pour les composées d’injection/surjection

Soient E , F , G trois ensembles et f : E → F et g : F → G deux applications.
1. Montrer que : g ◦ f injective =⇒ f injective.
2. Montrer que : g ◦ f surjective =⇒ g surjective.
³ ¢
3. Montrer que : g ◦ f injective et f surjective =⇒ g injective.
³ ¢
4. Montrer que : g ◦ f surjective et g injective =⇒ f surjective.
EXERCICE 15. Applications idempotentes

Soient E un ensemble quelconque et g : E −→ E une fonction idempotente, c’est-à-dire telle que
g ◦g = g.
Montrer que les propositions suivantes sont deux à deux équivalentes :
(i) g est injective ;
(ii) g est surjective ;
(iii) g est la fonction identité de E .
EXERCICE 16. Une variante

Soient E un ensemble quelconque et f : E −→ E une fonction telle que f ◦ f ◦ f = f .
Montrer que les propositions suivantes sont deux à deux équivalentes :
(i) f est injective ;
(ii) f est surjective ;
(iii) f est bijective.
EXERCICE 17. Applications et produits cartésiens

Soient f : E −→ F et g : E −→ G deux applications. On considère l’application suivante :
h: E −→ ¡F ×G ¢
x 7−→ f (x), g (x)
1. Montrer que si f ou g est injective alors h l’est aussi. La réciproque est-elle vraie ?
2. Montrer que si h est surjective, alors f et g le sont aussi. La réciproque est-elle vraie ?
Dans la recherche de contre-exemples, on pourra considérer les fonctions f : x ∈ R −→ x 2 ∈ R+ et
R
g : x ∈ −→ (x − 1)2 ∈ + . R
EXERCICE 18. Propriétés des images directes et réciproques
Soient E , F deux ensembles et f : E → F une application. On considère A 1 et A 2 deux parties de
E et B 1 et B 2 deux parties de F .
1. (a) Si f est injective sur E , montrer que : f (A 1 ∩ A 2 ) = f (A 1 ) ∩ f (A 2 ).
¡ ¢
2. (a) Si f est injective sur E , montrer que : f E \A 1 ⊂ F \ f (A 1 ).
¡ ¢
(b) Si f est surjective de E sur F , montrer que : F \ f (A 1 ) ⊂ f E \A 1 .
¡ ¢
(c) Si f est bijective de E sur F , montrer que : f E \A 1 = F \ f (A 1 ).
¡ ¢
3. (a) Si f est injective sur E , montrer que : f −1 f (A 1 ) = A 1 .
¡ ¢
(b) Si f est surjective de E sur F , montrer que : f f −1 (B) = B.

EXERCICE 19. Parties stables par une application

Soient E un ensemble et h : E −→ E une application.
On dit qu’une partie X de E est h-stable (on dit aussi stable par h) si et seulement si
h(X ) ⊂ X .
1. Dans cette question, on suppose que h est constante, c’est-à-dire qu’il existe a ∈ E tel
que : ∀x ∈ E , h(x) = a.
Montrer que, si A ∈ P (E ) : A est h-stable ⇐⇒ a ∈ A.
2. On se replace dans le cas général h : E −→ E .
[
(a) Montrer que si A i , i ∈ I , sont des parties h-stables, alors A i est h-stable.
i ∈I
(b) Établir le même type de résultat pour l’intersection.
© ± ª
3. Soit X une\ partie de E . On pose C (X ) = A ∈ P (E ) A est h − stable et X ⊂ A et
m(X ) = A = intersection de tous les parties A qui appartiennent à C (X ).
A∈C (X )
(a) Montrer que E ∈ C (X ).
(b) Vérifier que m(X ) ∈ C (X ).
(c) Dans le cas où X est h-stable, montrer que m(X ) = X .
EXERCICE 20. Par analyse-synthèse

R R
Montrer que toute fonction f : −→ se décompose de manière unique en la somme d’une
fonction paire et d’une fonction impaire.
Sujets de synthèse
EXERCICE 21. Propriétés d’une mesure sur un ensemble E

Soient E un ensemble non vide et m : P (E ) −→ R+ telle que
∀(A, B) ∈ P (E )2 , A ∩ B = ; =⇒ m(A ∪ B) = m(A) + m(B)
Démontrer les propriétés suivantes :

1. m(;) = 0
2. ∀(A, B) ∈ P (E )2 , m(A ∪ B) = m(A) + m(B) − m(A ∩ B)
2
3. ∀(A, B) ∈ P (E ) , A ⊂ B =⇒ m(A) É m(B)
EXERCICE 22. Une application ensembliste

Soit E un ensemble. Soient A et B deux parties non vides de E . On note P (E ) l’ensemble des
parties de E . On définit l’application suivante :
f : P (E ) −→ P (A) × P (B)
X 7−→ (X ∩ A, X ∩ B)
1. Déterminer f (E ), f (;), f (A), f (B), f (A ∪ B), f (A ∩ B).

6 Exercices 43
2. (a) On suppose que f est injective. En déduire une relation entre A, B et E .

(b) On suppose que A ∪ B = E . Montrer que f est injective.
3. (a) Soit X ∈ P (E ) tel que X ∩ A = A. Quelle relation y a-t-il entre A et X ?
(b) Soit X ∈ P (E ) tel que X ∩ B = ;. Quelle relation y a-t-il entre B et X ?
(c) On suppose que f est surjective de P (E ) sur P (A) × P (B). Montrer que A ∩ B = ;.
4. On suppose que A ∩ B = ;.
Soit Y une partie de A et Z une partie de B, déterminer f (Y ∪ Z ).
5. Déterminer une condition nécesaire et suffisante sur les parties A et B, pour que f soit
bijective. Dans ce cas donner l’application réciproque de f .
EXERCICE 23. Applications de N dans N

Soit p un entier naturel.
Le but de cet exercice est de déterminer s’il existe une application f : N −→ N telle que, pour
N
tout n de , f ◦ f (n) = n + p.
Cas I : p est pair.
Donner un exemple d’une telle application dans le cas où p est pair.
Cas II : p est impair.
N N
Dans le cas où p est impair, on se donne une application f : −→ telle que, pour tout n de
N , f ◦ f (n) = n + p. © ± ª
−1
On note I = ¡0, p − 1 =
¢ © {0, . .±. , p − 1}. On
ª note aussi I 1 = I ∩ f (I ) = i ∈ I f (i ) ∈ I
et I 2 = I ∩ f −1 p, +∞ = j ∈ I f ( j ) Ê p .
1. Montrer que f est injective sur N.
N
2. (a) Pour n ∈ , calculer de deux manières différentes f ◦ f ◦ f (n). En déduire que, pour
N
tout n ∈ , f (n + p) = f (n) + p.
(b) Vérifier alors que, pour tout j ∈ N : ∀n ∈ N, f (n + j p) = f (n) + j p.
3. Montrer que I = I 1 ∪ I 2 et que I 1 ∩ I 2 = ;.
4. (a) Montrer que f (I 1 ) ⊂ I 2 .
(b) Soit j ∈ I 2 . Notons k = f ( j ) − p. À l’aide de la question 2.(a), établir que j = f (k).
(c) En déduire que f (I 1 ) = I 2 .
5. (a) Déduire des questions 1. et 4.(c) que f induit une bijection de I 1 sur I 2 (c’est-à-dire
que f |I 1 est bijective de I 1 sur I 2 ).
(b) Grâce à la question 3., en déduire que Card(I ) est pair.
(c) Conclure.
EXERCICE 24. Une autre application ensembliste

On fixe, dans tout l’exercice, un ensemble ¡ E et ¢deux parties A et B de cet ensemble.
Si X est une partie de E , on note f (X ) = X ∩ A ∪ B.
On définit ainsi une application f : P (E ) −→ P (E ).
1. (a) On suppose, pour cette question, A = ;. Calculer f (X ) pour tout X ∈ P (E ).
(b) Même question si B = E . Que remarque-t-on dans ces deux cas particuliers ?

(c) Calculer, dans le cas général où A et B sont deux parties quelconques de E : f (;), f (A),
f (B) et f (E ).
2. (a) Montrer que la fonction f est croissante au sens de l’inclusion, c’est-à-dire que, pour
X et X ′ deux parties de E vérifiant X ⊆ X ′ , on a f (X ) ⊆ f (X ′ ).
(b) Soit Y une partie de E . Montrer que les propositions suivantes sont deux à deux
équivalentes :
(i) Y admet un antécédent dans P (E ) pour la fonction f ;
(ii) B ⊆ Y ⊆ A ∪ B ;
(iii) f (Y ) = Y .
3. (a) Résoudre l’équation f (X ) = A (où l’inconnue X est une partie de E ).

(b) Résoudre l’équation f (X ) = B.
4. (a) Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les parties A et B pour que la
fonction f soit constante.
(b) Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les parties A et B pour que la
fonction f soit surjective.
(c) Déterminer que cette dernière est aussi une condition nécessaire et suffisante sur les
parties A et B pour que la fonction f soit injective.
EXERCICE 25. Théorème de Cantor-Bernstein

Soient M et N deux ensembles. On suppose qu’il existe une injection f : M −→ N et une injec-
tion g : N −→ M. On souhaite démontrer qu’il existe une bijection ϕ : M −→ N .
On définit l’application
F : P (M) −→ P (M) ¡ ¢
A 7−→ F (A) = M\g N \ f (A)
³\ ´ \
1. (a) Soit (A i )i ∈I une famille de parties de M. Montrer que f Ai = f (A i ).
i ∈I i ∈I
³[ ´ [
(b) Soit (B i )i ∈I une famille de parties de N . Montrer que g B i = g (B i ).
i ∈I i ∈I
³\ ´ \
(c) En déduire que si (A i )i ∈I est une famille de parties de M, alors F A i = F (A i ).
i ∈I i ∈I
0
2. Dans la suite on pose F = idP (M) et pour tout k ∈ N:F k+1
= F ◦F . k
(a) Démontrer que F est croissante pour l’inclusion.

(b) Établir par récurrence que : ∀k ∈ N,
F k+1 (M) ⊆ F k (M)
\ k
3. On définit E comme étant l’ensemble E = F (M).
k∈ N
(a) Montrer que E est une partie de M.
(b) Montrer que F (E ) = E .
(c) En déduire que si x ∈ M et x ∉ E , alors x a un unique antécédent y x ∈ N par la fonction
g . De plus, vérifier que y x ∉ f (E ).

6 Exercices 45
4. Dans cette question on considère l’application ϕ : M −→ N définie par :

(
f (x) si x ∈ E
∀x ∈ M, ϕ(x) =
y x si x ∉ E
où y x a été défini à la question 3.(c).

¡ ¢
(a) Montrer que g −1 (M\E ) = N \ f (E ) . En déduire que ϕ est surjective de M vers N .
(b) Montrer que ϕ|E est injective sur E et que ϕ|M\E est injective sur M\E . En déduire que
ϕ est injective sur M. Conclure


47
Chapitre 2
Arithmétique, dénombrement et
manipulation des symboles Σ et Π
Sommaire
1 Ensemble de nombres usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2 Rudiments d’arithmétique dans Z........................... 48
2.1 Divisibilité dans Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3 PGCD et PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.4 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3 Ensembles finis - Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.1 Ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2 Dénombrement des ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3 Dénombrement des applications entre ensembles finis . . . . . . . . . . . 56
3.4 Coefficients binômiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5 Techniques de dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4 Calculs de sommes et de produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.1 Sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2 Sommes usuelles à connaître . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.3 Formule du binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.4 Sommes doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.5 Produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

48 C HAPITRE 2 : Arithmétique, dénombrement et manipulation des symboles Σ et Π
1 Ensemble de nombres usuels

N
• Ensemble des entiers naturels : = {0, 1, 2, . . .}.
On définit des intervalles d’entiers, notés avec des doubles crochets :
N N
si (n, p) ∈ 2 est tel que n ≤ p, on note n, p = {k ∈ / n ≤ k ≤ p}.
• Ensemble des entiers relatifs : Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}.

½ ¾
• Ensemble des nombres rationnels : =
p
q
Q
; p ∈ ,q ∈ Z N ∗
.
Il contient strictement l’ensemble D des décimaux.
• Ensemble des nombres réels : . R

Les intervalles sont notés avec des crochets simples [a, b[ etc. . .
• Ensemble des nombres complexes : C = {a + i b; (a, b) ∈ R2}.

Ils vérifient la chaîne d’inclusions : N ( Z ( D ( Q ( R ( C.
C R Q D Z N
La propriété d’intégrité de la multiplication est ¡fondamentale dans

¢ la résolution d’équations :
si a et b sont deux nombres alors : ab = 0 ⇐⇒ a = 0 ou b = 0
¡ ¢
On en déduit que : ac = bc ⇐⇒ c = 0 ou a = b
2 Rudiments d’arithmétique dans Z

2.1 Divisibilité dans Z
Définition 1 – Diviseur/Multiple
Z
Soit (a, b) ∈ 2 .
Z
On dit que b divise a lorsqu’il existe k ∈ tel que a = kb.
On le note alors b | a.
On dit alors que b est un diviseur de a, et que a est un multiple de b.
Exemple. 2 est un diviseur de 6 ; 6 est donc un multiple de 2.

L’ensemble des diviseurs de 6 est {−6, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 6}.
L’ensemble des diviseurs positifs de 6 est {1, 2, 3, 6}.
Exemple. 2 ne divise pas 3.

2 Rudiments d’arithmétique dans Z 49
Z
Exemple. Pour tout b ∈ , b | 0. Par contre pour tout a ∈ Z : 0 | a ⇐⇒ a = 0.
Exemple. Si a ∈ Z alors a admet toujours 1 et |a| pour diviseurs positifs.
Proposition 2 – Divisibilité et relation d’ordre
Z
Soit (a, b) ∈ 2 tel que a 6= 0.
Si b | a alors |b| ≤ |a|.
Donc les diviseurs d’un entier relatif a 6= 0 sont tous dans l’intervalle −|a|, |a|.
Proposition 3 – Règles de calcul pour la relation de divisibilité
Soit (a, b, c, d ) ∈ Z4.

1. Transitivité. c | b et b | a =⇒ c | a
2. Réflexivité. a | a
3. b | a et a | b =⇒ a = ±b
4. c | a et c | b =⇒ c | (a + b) et c | (a − b)
5. b | a et d | c =⇒ bd | ac
6. b | a =⇒ ∀p ∈ N, b p | a p
Exemple. Soit (a, d ) ∈ Z2 tel que d | a et d | a2 + a + 1. Montrer que d = ±1.
2.2 Division euclidienne

Le résultat suivant est fondamental.
Théorème 4 – Division euclidienne dans Z

Pour tout a ∈ Z et b ∈ N∗, il existe un unique couple (q, r ) ∈ Z2 tel que :
a = bq + r et 0 ≤ r ≤ b − 1
q et r sont respectivement appelés le quotient et le reste de la division euclidienne de

a par b.
Exemple. Pour a = 23 et b = 6, on a : q = 3 et r = 5.
Pour a = 12 et b = 3, on a : q = 4 et r = 0.
Pour a = 5 et b = 9, on a : q = 0 et r = 5.
N
Exemple. Soit n ∈ . Pour a = 2n+1 − 1 et b = 2, on a : q = 2n − 1 et r = 1.

Proposition 5 – Division euclidienne et divisibilité
Pour tout a ∈ Z et b ∈ N∗, on a équivalence de :

(i) b | a ;
(ii) le reste de la division euclidienne de a par b est nul.
2.3 PGCD et PPCM

Définition 6 – PGCD
Soient a et b deux entiers relatifs non tous les deux nuls.
On appelle PGCD de a et b le plus grand diviseur commun à a et b, c’est-à-dire le plus
grand entier naturel d tel que d | a et d | b.
On le note pgcd(a, b) ou encore a ∧ b.
Noter qu’on a toujours pgcd(a, b) ≥ 0.
Par convention pgcd(0, 0) = 0.
On peut aussi remarquer que par définition : pgcd(a, b) = pgcd(b, a).
Proposition 7 – PGCD et divisibilité
Soit (a, b) ∈ 2 .N
Si b | a alors pgcd(a, b) = b.
Exemple. pgcd(1, a) = 1 et pgcd(0, a) = a.
Proposition 8 – Algorithme d’Euclide
Z
Soient a ∈ et b ∈ ∗ . N
En notant r le reste de la division euclidienne de a par b on a :
pgcd(a, b) = pgcd(b, r )
On en déduit l’algorithme d’Eculide qui permet de calculer le PGCD de deux entiers naturels a
et b :
− on veut calculer d = pgcd(a, b). On pose a0 = max(a, b) et a1 = min(a, b), de sorte que
a1 ≤ a0 et d = pgcd(a0 , a1 ).
− Etape 1. Si a1 = 0 alors d = a0 et l’algorithme s’arrête.
Si a1 6= 0 alors on note a2 le reste de la division euclidienne de a0 par a1 .
On a alors d = pgcd(a1 , a2 ) et a2 < a1 . On passe alors à l’étape suivante.

2 Rudiments d’arithmétique dans Z 51
− Etape 2. Si a2 = 0 alors d = a1 et l’algorithme s’arrête.

Si a2 6= 0 alors on note a3 le reste de la division euclidienne de a1 par a2 .
On a alors d = pgcd(a2 , a3 ) et a3 < a2 . On passe alors à l’étape suivante.
− Et ainsi de suite. . .
Ce processus s’arrête car a0 ≥ a1 > a2 > a3 > · · · ≥ 0 et comme ces nombres sont des entiers
N
naturels, il va exister m ∈ tel que am+1 = 0. On alors d = pgcd(am , am+1 ) = pgcd(am , 0) = am ,
c’est-à-dire que le PGCD cherché est le dernier reste non nul.
Exemple. Pour a = 24 et b = 9 :
24 = 9 × 2 + 6, 9 = 6 × 1 + 3 et 6 = 3 × 2 + 0. Le pgcd de 24 et 9 vaut 3.
Définition 9 – PPCM
Soient a et b deux entiers relatifs tous les deux non nuls.
On appelle PPCM de a et b le plus petit multiple commun à a et b, c’est-à-dire le plus petit
entier naturel m tel que a | m et b | m.
On le note ppcm(a, b) ou encore a ∨ b.
Par convention si a = 0 ou b = 0, on pose ppcm(a, b) = 0.
On peut aussi remarquer que par définition : ppcm(a, b) = ppcm(b, a).
Proposition 10 – PPCM et divisibilité
N
Soit (a, b) ∈ 2 .
Si b | a alors ppcm(a, b) = a.
Exemple. ppcm(1, a) = a et ppcm(0, a) = 0.
Lemme 11 – Propriétés arithmétiques du PGCD et du PPCM
Soient (a, b) ∈Z2 .

1. Soit δ ∈ N. Alors :
¡ ¢
δ | a et δ | b ⇐⇒ δ | pgcd(a, b)
2. Soit µ ∈ N. Alors :
¡ ¢
a | µ et b | µ ⇐⇒ ppcm(a, b) | µ
Théorème 12 – Calcul du PPCM

Pour tout entiers relatifs a et b :
pgcd(a, b) × ppcm(a, b) = |a| × |b|
L’algorithme d’Euclide permet de calculer pgcd(a, b), et on peut ensuite en déduire ppcm(a, b).

2.4 Nombres premiers
Définition 13 – Nombres premiers
N
Soit p ∈ tel que p ≥ 2.
On dit que p est premier si ses seuls diviseurs positifs sont 1 et p.
Sinon, l’entier p est dit composé.
On note P l’ensemble des nombres premiers.
Exemple. 2, 3, 5, 7, 11 sont premiers alors que 4, 6, 8, 9, 10, 12 sont composés.

B 1 n’est ni un nombre premier, ni un nombre composé.
Pour calculer des nombres premiers, on peut utiliser le crible d’Eratosthène qui consiste à
éliminer les nombres composés.
On figure dans un tableau, les entiers allant par exemple de 1 à 100.
− on élimine 1 qui est à part ;
− 2 est un nombre premier et on élimine tous les multiples de 2 qui sont, de fait, des nombres
composés ;
− le premier entier restant, ici 3, est alors un nombre premier et on élimine tous ses
multiples ;
− le premier entier restant, maintenant 5, est un nombre premier, on élimine tous ses
multiples ;
− le premier entier restant, désormais 7, est un nombre premier, on élimine tous ses
multiples ;
p
− enfin puisque l’entier qui suit est 11 > 10 = 100, on est assuré que tous les entiers restant
sont premiers !
p
En effet les entiers composés inférieur à 100 possède un facteur premier inférieur à 100 et ont
donc été éliminés.
Théorème 14 – Décomposition primaire d’un entier naturel
N
Pour tout n ∈ tel que n ≥ 2, il existe N ∈ N∗, p 1, . . ., p N nombres premiers deux à deux
N
distincts et α1 , . . ., αN ∈ tels que :
α α α
n = p 1 1 p 2 2 . . . p NN
De plus cette décomposition est unique à l’ordre près des facteurs.

Elle est appelée décomposition primaire de l’entier naturel n.
Les p 1 , . . ., p N s’appellent les facteurs premiers de n.
Exemple. 12 = 22 × 3, 50 = 2 × 52 , 84 = 22 × 3 × 7.

3 Ensembles finis - Dénombrement 53
3 Ensembles finis - Dénombrement
3.1 Ensembles finis
Définition 15 – Cardinal
Soit E un ensemble non vide.
On dit qu’il est fini lorsqu’il existe un entier naturel n 6= 0 et une bijection ϕ : E −→ 1, n.
Le choix de n est alors unique : on l’appelle le cardinal de E , noté Card(E ), #E ou |E |.
On adopte aussi la convention suivante : ; est un ensemble fini de cardinal égal à 0.
Si E est fini de cardinal n 6= 0 alors on peut numéroter ses éléments de 1 à n :

E = {x1 , x2 , . . . , xn }. Le choix de la numérotation est donné par la bijection ϕ : E −→ 1, n.
Proposition 16 – Un exemple important
N
Soit (n, p) ∈ 2 tel que
¡ n ≤¢ p, alors n, p est
¡ un ensemble
¢ fini et Card
¡
n, p
¢
= p − n + 1.
En particulier Card 0, n = n + 1 et Card 1, n = n.
Pour dénombrer un ensemble fini de manière rigoureuse, il faut le mettre en bijection avec
un ensemble de référence, et utiliser le théorème suivant. En pratique, cette méthode sera peu
utilisée.
Théorème 17 – Ensembles finis en bijection
Soient E et F deux ensembles. On suppose que :

(i) E est fini ;
(ii) il existe une bijection ψ : E −→ F .
Alors F est fini et Card(E ) = Card(F ).
Théorème 18 – Parties d’un ensemble fini

Soit E un ensemble fini.
1. Toute partie A de E est finie et vérifie Card(A) ≤ Card(E ).
2. Si A ⊆ E : A = E ⇐⇒ Card(A) = Card(E ).
B ATTENTION : en général si Card(A) ≤ Card(E ), on ne peut pas dire que A ⊆ E .

Et bien sûr si Card(A) = Card(E ), on ne peut pas dire que A = E .

Théorème 19 – Principe des tiroirs
Soient E et F deux ensembles finis et f : E −→ F une application.

1. f est injective =⇒ Card(E ) ≤ Card(F )
2. f est surjective =⇒ Card(E ) ≥ Card(F )
3. Si Card(E ) = Card(F ) alors :
f est injective ⇐⇒ f est surjective ⇐⇒ f est bijective
Pour les deux premières implications les réciproques sont fausses (en général).
Ce résultat est aussi connu sous le nom de Schubfachprinzip de Dirichlet : « Si n chaussettes

occupent m tiroirs, et si n > m, alors au moins un tiroir doit contenir strictement plus d’une
chaussette. »
Une autre formulation serait que m tiroirs ne peuvent contenir strictement plus de m
chaussettes avec une seule chaussette par tiroir ; ajouter une autre chaussette obligera à
réutiliser l’un des tiroirs.
Exemple. Si on se donne 11 réels dans l’intervalle [0, 10[, alors au moins deux d’entre eux
ont la même partie entière.
Définition 20 – Ensembles infinis

Si E n’est pas fini, on dit qu’il est infini. On dit aussi qu’il est de cardinal transfini.
B Les cardinaux transfinis ne sont pas tous égaux : on peut ordonner les différents « infinis »
N
selon leur taille. Par exemple on peut montrer que Card( ) < Card( ). R
3.2 Dénombrement des ensembles finis

Théorème 21 – Dénombrement des parties d’un ensemble fini
¡ ¢
Si E est fini alors P (E ) l’est aussi et Card P (E ) = 2Card(E ) .
Exemple. Un ensemble à n éléments a donc 2n sous-ensembles.
Exemple. Un groupe de 10 personnes effectue l’ascension de l’Everest. Combien y a-t-il de

possibilités pour la composition du groupe de survivants au retour ?

Théorème 22 – Principe d’addition
1. Si A et B sont deux ensembles finis et disjoints alors A ∪ B est fini et :

Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B).
2. Si A 1 , . . . , A p sont des ensembles finis et deux à deux disjoints :
Card(A 1 ∪ A 2 ∪ · · · ∪ A p ) = Card(A 1 ) + Card(A 2 ) + · · · + Card(A p ).
Dans le cas où les parties A 1 , . . . , A p ont toutes le même cardinal, ce résultat porte le nom de
principe des bergers : « Quand les bergers veulent compter leurs moutons, ils comptent leurs
pattes et divisent par quatre ».
Exemple. Une classe est composée de 14 filles et 15 garçons. Combien y a-t-il d’élèves au
total ?
Corollaire 23 – Cardinal d’une différence

Si A et B sont deux finis alors B\A l’est aussi et : Card(B\A) = Card(B) − Card(A ∩ B).
Exemple. Dans une classe de 35 élèves, 20 sont des filles et parmi elles 12 font de l’anglais.
Déterminons le nombre d’élèves de sexe féminin qui n’étudient pas l’anglais.
Corollaire 24 – Cardinal d’une union quelconque
Si A et B sont deux ensembles finis alors A ∩ B et A ∪ B sont finis et :
Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B) − Card(A ∩ B)
Exemple. Dans une classe de 40 élèves, 30 font de l’anglais et 23 font de l’allemand.

Déterminons le nombre d’élèves qui étudient les deux langues.
Ces formules se retrouvent facilement à l’aide d’un diagramme, où le cardinal d’un ensemble
est représenté par son aire :

Corollaire 25 – Cardinal du complémentaire
Si E est fini et A est une partie de E alors : Card(A) = Card(E ) − Card(A).
Exemple. Un classe est formée de 50 élèves. 27 ont des lunettes. Déterminer le nombre
d’élèves qui ne portent pas de lunettes.
Théorème 26 – Principe de multiplication
Si E et F sont finis alors E × F est fini et Card(E × F ) = Card(E ) × Card(F ).
Exemple. On lance deux dés à 6 faces distinguables (par exemple un dé rouge et un dé

blanc). Déterminer le nombre de déroulements possibles.
Exemple. Donner le cardinal de {−1, ; 1}2 .
3.3 Dénombrement des applications entre ensembles finis
Théorème 27 – Dénombrement de F E
¡ ¢
Si E et F sont deux ensembles finis alors F E est fini et Card F E = Card(F )Card(E ) .
Exemple. En 2012, l’ONU reconnaissait 197 pays dans le monde.

Un élève de PCSI dispose de 25 crayons de couleurs différentes, et veut attribuer une couleur à
chacun de ces pays.
De combien de façons différentes peut-il colorier une carte du monde ?
Définition 28 – Listes
On appelle p-liste d’éléments d’un ensemble F , tout élément de F p .
Une p-liste est donc un cas particulier de p-uplet (qui est un cas particuler de famille).
Théorème 29 – Dénombrement des p-listes

¡ ¢p
Le nombre de p-listes d’éléments de F est égal à Card(F ) .
Exemple. Une urne contient 10 boules numérotées. On en tire 4 avec remise.

Combien y a-t-il de déroulements possibles ?
On va maintenant dénombrer les applications injectives. Pour cela, commençons par définir la
notion de factorielle d’un entier naturel.

Définition 30 – Factorielle
N
Si n ∈ ∗ , on pose n! = 1 × 2 × 3 × · · · × n.
On adopte aussi la convention 0! = 1.
N
Ainsi n! est définie pour tout n ∈ . On l’appelle la factorielle de n.
Par exemple 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120.
Définition 31 – Arrangements
N
Soient F un ensemble fini de cardinal n, et p ∈ ∗ tel que p ≤ n.
On appelle arrangement de p éléments de F , toute p-liste d’éléments de F dont les élé-
ments sont deux à deux distincts.
Théorème 32 – Dénombrement des arrangements
Le nombre d’arrangements de p éléments parmi n est égal à :


 n × (n − 1) × (n − 2) × · · · × (n − p + 1) = n! si n ≥ p
p
An = (n − p)!

0 si n < p
Exemple. A 73 = 0 et A 37 = 7 × 6 × 5.
Exemple. Une urne contient 10 boules numérotées. On en tire 4 sans remise. Combien y
a-t-il de déroulements possibles ?
Exemple. Donner le nombre d’arrangements de 2 éléments de {−1, 1}.
Théorème 33 – Dénombrement des applications injectives
Soient E et F deux ensembles finis. On note p = Card(E ) et n = Card(F ).

n! p
1. Si p ≤ n, il y a au total = A n applications injectives définies sur E et à valeurs
(n − p)!
dans F .
2. Si p > n, il y n’a aucune application injective définie sur E à valeurs dans F .
Exemple. On reprend l’exemple de l’élève de PCSI qui veut colorier la carte du monde
constituée de 197 pays, mais cette fois il dispose de 250 crayons de couleurs différentes.
De combien de façons différentes peut-il colorier la carte du monde, de telle sorte que deux pays
distincts ne soient pas de la même couleur ?

Corollaire 34 – Dénombrement des bijections
Si p = n alors le nombre de bijections de E sur F est égal à n!.

Si p 6= n alors il n’existe pas de bijection de E vers F .
Définition 35 – Permutations
On appelle permutation de E toute bijection de E sur E .
Une permutation modélise un « mélange » des éléments de E , puisqu’on a modifié leur

numérotation.
Théorème 36 – Dénombrement des permutations
Si E est fini de cardinal n, le nombre de permutations de E est égal à n!.
Exemple. De combiens de façons différentes peut-on mélanger un jeu de 32 cartes ?.
Le dénombrement des surjections est plus compliqué et n’est pas au programme.
3.4 Coefficients binômiaux

Définition 37 – Coefficients binômiaux
N
Soient (n,Ã p)! ∈ 2 tel que p ∈ 0, n.
p
n n! An
On pose = = et on le lit « p parmi n ».
p p!(n − p)! p!
p
Dans certains ouvrages on utilise la notation C n , mais celle-ci n’est plus utilisée en France
depuis longtemps.
Nous allons voir que ces nombres interviennent dans de très nombreuses formules.
Si (n, p) ∈ Z2Ã et!que l’une des deux conditions n ≥ 0 ou p ∈ 0, n n’est pas vérifiée on adopte la
n
convention = 0.
p
Ã ! Ã ! Ã !
6 6! 2 6
Exemple. = = 15, =0= .
2 4! × 2! 6 −2
Définition 38 – Combinaisons
Si F est un ensemble fini et p ∈ N, on appelle p-combinaison de F toute partie de F dont
le cardinal est égal à p.

Théorème 39 – Dénombrement des combinaisons

Ã !
Si F est fini de cardinal n et p ∈ N , le nombre de p-combinaisons de F est égal à
n
p
.
Noter que ce résultat est vrai même si p > n (car 0 = 0).
Exemple. Une urne contient 10 boules numérotées. On en tire 4 simultanément en un seul

tirage. Combien y a-t-il de déroulements possibles ?
Soit (n, p) ∈ Z2. Ã ! Ã !

n n n −1
1. Factorisation ou formule du pion. Si p 6= 0, = ×
p p p −1
Ã ! Ã !
n n −1
La formule p × =n× est valable même si p = 0.
p p −1
Ã ! Ã ! Ã !
n n n +1
2. Addition ou formule de Pascal. + = (sauf si n = p = −1)
p p +1 p +1
Ã ! Ã !
n n
3. Symétrie. =
p n−p
Ã ! Ã ! Ã ! Ã ! Ã ! Ã !
n n n n n n(n − 1) n
4. Si n ≥ 0 : =1= =n = et = =
0 n 1 n −1 2 2 n −2
Ã !
n
En pratique on peut calculer les à l’aide de leur définition avec des factorielles :
p
Ã !
n n! n × (n − 1) × · · · × (n − p + 1)
= =
p p! × (n − p)! p!
Ã !
20 20 × 19 × 18
Exemple. = = 20 × 19 × 3 = 1140.
3 3×2×1
Pour de petites valeurs de n la formule de factorisation permet de construite le triangle de

Pascal. DansÃun ! tableau dont les lignes et les colonnes sont numérotées à partir de 0, on place
n
la valeur de à l’intersection de la ligne n et la colonne p. La formule de Pascal donne que
p
la somme de deux coefficients consécutifs sur la même ligne (colonnes p et p + 1), donne le
coefficient situé sur la ligne suivante,colonne p + 1. Au départ on part d’un tableau avec des 1
sur la colonne 0 et sur la diagonale.

1 1
1 1 1 1
1 1 1 2 1
1 1 1 3 3 1
Exemple. 1 1 donne 1 4 6 4 1
1 1 1 5 10 10 5 1
1 1 1 6 15 20 15 6 1 ←− 6
↑
3
Ã !
6
et on en déduit = 20.
3
Visualisations de la formule du pion et de la formule de Pascal
Proposition 41 – Les coefficients binômiaux sont des entiers naturels

Ã !
Pour tout (n, p) ∈Z2
:
n
p
∈ . N
3.5 Techniques de dénombrement

Pour bien dénombrer les éléments d’un ensemble fini E il faut :
⋆ ne compter que les éléments de E ;
⋆ ne pas en oublier ;
⋆ ne pas compter plusieurs fois le même élément, ou penser à rectifier le résultat final.
Principe de multiplication. Si on dénombre des objets en les décrivant par étapes successives
(pour une carte : on choisit sa couleur puis sa hauteur), il faut à la fin multiplier les résultats.
Principe d’addition.Si on dénombre par disjonction des cas, il faut à la fin additionner les
résultats.

• p-listes : si on choisit p éléments dans un ensemble à n éléments, avec répétition autorisée,

l’ordre des tirages étant pris en compte, alors on a n p possibilités au total.
Exemple. Le nombre de coloriages possibles d’une carte des 27 pays de l’UE, avec 4 couleurs
est égal à 427 .
Exemple. Le nombre de tirages successifs avec remise de p boules dans une urne de n
boules est égal à n p .
• Arrangements : si on choisit p éléments dans un ensemble à n éléments, sans répétition,

p
l’ordre des tirages étant pris en compte, alors on a A n possibilités au total.
Exemple. Le nombre de coloriages possibles d’une carte des 27 pays de l’UE, avec
40 couleurs, de telle sorte que chaque pays ait une couleur différente de celle des autres est
égal à A 27
40 .
Exemple. Le nombre de tirages successifs sans remise de p boules dans une urne de n
p
boules est égal à A n .
• Combinaisons : si on choisit p éléments dans un ensemble Ã ! à n éléments, sans répétition,

n
l’ordre des tirages n’étant pas pris en compte, alors on a possibilités au total.
p
Exemple.
Ã ! Le nombre d’équipes de football possibles dans une classe de 45 élèves est
45
égal à .
11
Exemple.
Ã ! Le nombre de tirages simultanés de p boules dans une urne de n boules est
n
égal à .
p
B Le cas du choix de p éléments dans un ensemble à n éléments, avec répétition, l’ordre des
tirages n’étant pas pris en compte, n’est pas au programme.
• Permutations : si on permute n éléments, alors on a n! possibilités au total. n! est aussi le

nombre de façons de choisir successivement, un à un, tous les éléments d’un ensemble de
cardinal n ; en effet A nn = n!.
Exemple. Le nombre de façons de ranger 10 manteaux dans une penderie est égal à 10!.
B Lorsqu’on permute les éléments, certains peuvent revenir à leur position intiale ! (on parle
de points fixes).

• Le modèle des urnes.

⋆ Urne bicolore. On dispose d’une urne de n boules dont n 1 sont noires et n 2 sont blanches.
On tire p boules dans cette urne. Le nombre de tirages différents donnant p 1 blanches et
p 2 noiresÃ (p!Ã 1 + p! 2 = p) qu’on peut obtenir est :
n1 n2
−→ si les boules sont tirées simultanément ;
p1 p2
| {z }
Choix des boules Ã !Ã !
p1 p2 p p − p1
−→ A n1 A n2 ×
| {z } p1 p2
Choix des boules | {z }
Choix des tirages
si les boules sont tirées Ã successivement
!Ã ! et sans remise ;e
p p p p − p1
−→ n1 1 n2 2 ×
| {z } p1 p2
Choix des tirages
si les boules sont tirées successivement et avec remise.
⋆ Urne tricolore. On dispose d’une urne de n boules dont n 1 sont noires, n 2 sont blanches
et n 3 sont rouges. On tire p boules dans cette urne. Le nombre de tirages différents don-
nant pÃ1 noire,
!Ã !Ã p 2 blanches
! et p 3 rouges (p 1 + p 2 + p 3 = p) qu’on peut obtenir est :
n1 n2 n3
−→ si les boules sont tirées simultanément ;
p1 p2 p3
| {z }
Choix des boules Ã !Ã !Ã !
p1 p2 p3 p p − p1 p − p1 − p2
−→ An An An ×
| 1 {z2 }3 p1 p2 p3
Choix des tirages
si les boules sont tirées Ã !Ã successivement
!Ã et
! sans remise ;
p p p p p − p1 p − p1
−→ n1 1 n2 2 n3 3 ×
| {z } p1 p2 p2
Choix des tirages
si les boules sont tirées successivement et avec remise.
⋆ Etc. . . Ces formules se généralisent facilement 4 couleurs ou plus.
Exemple. Une urne est constituée de 3 boules blanches, 6 boules noires et 5 boules bleues.
On en tire 5 au hasard. Donner le nombre de déroulements possibles qui vont donner 2 blanches,
2 noires et 1 bleue si :
i. on tire les 5 boules simultanément ;
ii. on tire une par une sans remise ;
ii. on tire une par une avec remise.
Exemple. Une urne contient 10 boules numérotées de 1 à 10. On en tire simulaténement 5.

De combien de manières peut-on avoir un plus grand numéro égal à 7 ?

4 Calculs de sommes et de produits 63
4 Calculs de sommes et de produits

4.1 Sommes
Nous allons définir des notations qui permettent de manipuler des additions avec un nombre
quelconque de termes.
X
Définition 42 – Symbole
Soient a0 , a1 , . . . , an des nombres complexes.

n
X
On pose : ak = a0 + a1 + · · · + an .
k=0
n
X
Si p ∈ 0, n, on pose aussi : ak = a p + a p+1 + · · · + an .
k=p
Plus généralement si (ai )i ∈I est une famille finie de nombres complexes, on pose :
X
ai = somme de tous les nombres de la famille (ai )i ∈I
i ∈I
X
Dans le cas où I = ;, on adopte la convention : ai = 0.
i ∈I
Soient (ai )i ∈I et (b i )i ∈I deux familles finies de nombres complexes.

X X
1. Linéarité. Si λ ∈ : C (λ × ai ) = λ × ai .
i ∈I i ∈I
X X X
2. Linéarité. (ai + b i ) = ai + bi .
i ∈I i ∈I i ∈I
3. Relation de Chasles. Si I = p, n et q ∈ I :
n
X q
X n
X q−1
X n
X
ak = ak + ak = ak + ak
k=p k=p k=q+1 k=p k=q
Remarquer que la relation de Chasles permet de modifier les bornes de la somme, sans toucher
au terme général. La pluaprt du temps on l’utilisera pour isoler le premier ou le dernier terme :
Ã !
Xn n
X n−1
X
ak = a p + ak = ak + an
k=p k=p+1 k=p
L’indice de la somme est une variable muette :

X X X n
X n
X n
X
ai = aj = ak ou encore ak = aj = ai
i ∈I j ∈I k∈I k=p j =p i =p

On en déduit la propriété de changement d’indices, qui va permettre de modifier le terme gé-

néral de la somme (et aussi ses bornes).
Proposition 44 – Changements d’indice
De plus on peut décaler les indices. Si on fixe q ∈ Z , et si on pose k ′ = k + q :
n
X n+q
X
ak = a p + a p+1 + · · · + an = a(p+q)−q + a(p+q+1)−q + · · · + a(n+q)−q) = ak ′ −q
k=p k ′ =p+q
D’autre part on peut aussi inverser l’ordre des termes de la somme, en posant k ′ = n − k :
n
X n−p
X
ak = a p + a p+1 + · · · + an−1 + an = an + an−1 + · · · + a p+1 + a p = an−k ′
k=p k ′ =0
Proposition 45 – Sommation par paquets
Si I = I 1 ∪ I 2 avec I 1 ∩ I 2 = ; alors :
X X X
ai = ai + ai
i ∈I i ∈I 1 i ∈I 2
La sommation par paquets peut s’effectuer selon les indices pairs ou impairs :
n
X n
X n
X
ak = ak + ak
k=0 k=0 k=0
k∈2 N N
k∈2 +1
n
X n
X
= ak + ak
k=0 k=0
k=0 [2] k=1 [2]
⌊n/2⌋
X ⌊(n−1)/2⌋
X
= a2k ′ + a2k ′ +1
k ′ =0 k ′ =0
où la notation ⌊x⌋ désigne la partie entière de x.
4.2 Sommes usuelles à connaître

n
X
• Sommes télescopiques. Pour toute famille (ak )p≤k≤n+1 dans C: (ak+1 − ak ) = an+1 − a p .
k=p
n
X n
X
De même (ak − ak+1 ) = a p − an+1 et (ak − ak−1 ) = an − a p−1
k=p k=p
• Sommes à terme général constant. Pour tout a ∈

n
C:
X
a = (n − p + 1)a = (nb de termes) × a.
k=p

n
X n
X
• Sommes arithmétiques. Pour tout n ∈ N, on a : k= k = 1 +2 +··· +n =
n(n + 1)
2
.
k=0 k=1
n n
N, on a :
X X n(n + 1)(2n + 1)
• Somme d’Euler. Pour tout n ∈ k2 = k 2 = 12 + 22 + · · · + n 2 = .
k=0 k=1 6
• Sommes géométriques. On a :

Xn  n +1 si q = 1
qk = 1 + q + q2 + ··· + qn = 1 − q n+1 .
k=0
 si q 6= 1
1−q
n 1
X
Exemple. Pour n ∈ N∗, calculer k
.
k=1 2
4.3 Formule du binôme de Newton

C’est une des formules les plus importantes sur les sommes.
C
Commençons par rappeler la convention suivante : si z ∈ on pose z 0 = 1. En particulier 00 = 1.
Théorème 46 – Formule du binôme

Si a et b sont deux nombres complexes et n un entier naturel :
Ã ! Ã !
Xn n Xn n
(a + b)n = a k b n−k = b k a n−k
k=0 k k=0 k
On a donc :
Ã ! Ã ! Ã !
n n n n 0 n(n − 1) 2 n−2
(a+b)n = a0bn + a 1 b n−1 +· · ·+ a b = b n +nab n−1 + a b +· · ·+nba n−1 +a n
0 1 n 2
1
1 1
Ã !
n 1 2 1
Exemple. Grâce au triangle de Pascal on calcule les : 1 3 3 1
k
1 4 6 4 1
.. .. .. .. .. . .
. . . . . .
Donc :
(a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2
(a + b)3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a + b)4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4

Corollaire 47 – Cas particuliers à connaître

Ã !
Xn n
1. (a − b)n = (−1)n−k a k b n−k
k=0 k
Ã !
Xn n
n
2. (1 + a) = ak
k=0 k
Ã ! Ã ! (
Xn n Xn n
3. Pour tout n ∈ : N = 2n et (−1)k = 0n =
1 si n = 0
k=0 k k=0 k 0 si n ≥ 1
n h
X i n
X
N
Exemple. Soit n ∈ . Calculer (k + 1)4 − k 4 et en déduire la valeur de k 3.
k=0 k=0
4.4 Sommes doubles
Si (xi j ) 1≤i ≤n est un « tableau » de nombres à n lignes et p colonnes on note :

1≤ j ≤p
X
xi j = somme de tous les nombres du tableau
1≤i ≤n
1≤ j ≤p
Visualisons le tableau :
x11 x12 ... x1j ... x1p

x21 x22 ... x2j ... x2p
.. .. .. .. .. ..
. . . . . .
xi 1 xi 2 ... xi j . . . xi p
.. .. .. .. .. ..
. . . . . .
xn1 xn2 ... xn j . . . xnp
Nous avons encadré la ligne i et la colonne j .
p
X
Notons S i la somme des nombres de la ligne i : S i = xi j ; et notons T j la somme des nombres
j =1
n
X
de la colonne T j : T j = xi j .
i =1
Il est clair que la somme des sommes obtenues pour chaque ligne (resp. chaque colonne) donne
la somme de tous les nombres du tableau. On en déduit le théorème suivant sur les sommes
doubles.

Théorème 48 – Théorème de Fubini
Ã !
X n
X n
X p
X
xi j = Si = xi j
1≤i ≤n i =1 i =1 j =1
1≤ j ≤p
Ã !
p
X p
X n
X
= Tj = xi j
j =1 j =1 i =1
Plus généralement :
Ã !
X X X X
xi j = Si = xi j
i ∈I i ∈I i ∈I j ∈J
j ∈J
Ã !
X X X
= Tj = xi j
j ∈J j ∈J i ∈I
X
Dans un calcul, on peut donc permuter deux signes consécutifs.
Ã !
n n
N
X X
Exemple. Pour n ∈ ∗ , calculer S n = (i + j ) .
i =1 j =1
Examinons maintenant le cas plus compliqué d’un tableau triangulaire (xi j ) 1≤ j ≤n à n lignes et n
j ≤i ≤n
colonnes. On note :
X
xi j = somme de tous les nombres de ce tableau
1≤ j ≤i ≤n
Visualisons le :
x11
x21 x22
.. .. ..
. . .
xj1 xj2 ... xj j
.. .. .. .. ..
. . . . .
xi 1 xi 2 ... xi j . . . xi i
.. .. .. .. .. .. ..
. . . . . . .
xn1 xn2 ... xn j . . . xni . . . xnn
Encore une fois, nous avons encadré la ligne i et la colonne j . Si S i est la somme des nombres
i
X n
X
de la ligne i : S i = xi j ; si T j est la somme des nombres de la colonne j : T j = xi j . Avec
j =1
i= j
même raisonnement que ci-dessus on obtient le théorème suivant.

Théorème 49 – Théorème de Fubini triangulaire
 
X n
X n
X i
X 
xi j = Si =  xi j 
i =1 i =1 j =1
1≤ j ≤i ≤n
 
p
X X n  X n 
= Tj =  xi j 
 
j =1 j =1
i= j
Ã !
X n Xn j
Exemple. Pour n ∈ N ∗
, calculer S n = .
j =1 i =j i
Nous allons maintenant voir une formule pour calculer le produit de deux sommes.
Ã ! Ã !
X X X
B En général ai × b i 6= ai × bi !
Le théorème suivant donne la bonne formule. Remarquer que le résultat est une somme double.
Théorème 50 – Produit de deux sommes

Si (ai )i ∈I et (b j ) j ∈J sont deux familles finies de nombres complexes, on a :
Ã ! Ã ! Ã ! Ã !
X X X X X X
ai × bj = ai × b j = ai × b j
i ∈I j ∈J i ∈I j ∈J j ∈J i ∈I
4.5 Produits
Définition 51 – Symbole Π
n
Y
Soient a0 , a1 , . . . , an des nombres complexes. On pose : ak = a0 × a1 × · · · × an .
k=0
Plus généralement
Y si (ai )i ∈I est une famille finie de nombres complexes (ie I est fini), on
pose : ai = produit de tous les nombres de la famille (ai )i ∈I .
i ∈I Y
Dans le cas où I = ;, on adopte la convention : ai = 1.
i ∈I
Y
On peut remarquer qu’on a ai = 0 dès qu’un nombre (ai )i ∈I est nul.
i ∈I

Soient (ai )i ∈I et (b i )i ∈I deux familles finies de nombres complexes.

Y Y
C
1. Factorisation. Si λ ∈ : (λ × ai ) = λCard(I ) × ai .
i ∈I i ∈I
Ã ! Ã !
Y Y Y
2. Multiplicativité. (ai × b i ) = ai × bi .
Y 1 1
3. Inverse. Si tous les ai sont non nul alors : =Y
i ∈I a i ai
i ∈I
Y
ai
Y ai i ∈I
4. Quotient. Si tous les b i sont non nul alors : =Y
i ∈I bi bi
i ∈I
n
Y
Il faut connaître la formule suivante : pour tout n ∈ N∗, on a k = n!.
k=1
n
Y n
Y
N
Exemple. Soit n ∈ . Calculer A n = (2k) et B n = (2k + 1).
k=1 k=0
De plus on peut aussi calculer les produits télescopiques. Si (a p , a1 , . . . , an ) est une famille de
nombres complexes non nuls :
n a
Y an+1
k+1
=
k=p a k ap
X Y
Les symboles et sont liés l’un à l’autre par les fonctions ln et exp. On a en effet les formules
suivantes.
X Y
Théorème 53 – Liens entre et
1. Si a, b > 0, on a ln(a × b) = ln(a) + ln(b), et si (a, b) ∈ R2, on a ea+bÃ = ea!× eb .

X Y
2. Plus généralement, si (ai )i ∈I famille finie de nombre réels : exp ai = ea i ,
Ã ! i ∈I i ∈I
Y X
et si les (ai )i ∈I sont strictement positifs : ln ai = ln(ai ).
i ∈I i ∈I


Z
➥ Connaître la définition et les règles de calcul de la relation de divisibilité dans .
➥ Effectuer une division euclidienne.

✪ Utiliser l’algorithme d’Euclide pour en déduire PGCD et PPCM.
➥ Connaître les formules de dénombrement.

✪ Principes des tiroirs, d’addition et de multiplication.
✪ Nombre de parties, de listes, de combinaisons, d’arrangements, de permutations.
✪ Connaître le modèle de l’urne bicolore et l’adapter à un dénombrement de succès.
✪ Connaître le modèle de l’urne tricolore et l’adapter à un dénombrement avec condition
sur le min ou le max des numéros obtenus.
➥ Connaître les propriétés des coefficients binomiaux.

✪ Définition avec des factorielles.
✪ Formules du pion, de Pascal et de symétrie.
✪ Calcul d’un coefficient donné avec des factorielles ou avec le triangle de Pascal.
X Y
➥ Calculer en utilisant les symboles et .
✪ Bien connaître les formules pour les sommes arithmétiques et géométriques.
✪ Bien connaître la formule générale du binôme mais aussi savoir l’appliquer pour de
petites puissances avec le triangle de Pascal.
✪ Voir une double somme
X comme deux sommations successives, et être capable
d’échanger les signes avec les théorèmes de Fubini.

6 Exercices 71
6 Exercices
Arithmétique
EXERCICE 1. Équation de divisibilité

Déterminer les x ∈ N tels que (x − 2) | (x + 2).
EXERCICE 2. Recherche de solutions entières
Résoudre dans N2 l’équation x y + 1 = 3x + y.
EXERCICE 3. Algorithme d’Euclide
Déterminer le PGCD et le PPCM des entiers a et b suivants :
1. a = 33 et b = 24 ;
2. a = 37 et b = 27 ;
3. a = 270 et b = 105.
EXERCICE 4. Une propriété remarquable
1. Montrer que si r est le reste de la division euclidienne de a ∈ N par b ∈ N∗ alors 2r − 1 est

le reste de la division euclidienne de 2a − 1 par 2b − 1.
2. Montrer que pgcd(2a − 1, 2b − 1) = 2pgcd(a,b) − 1.
Dénombrements
EXERCICE 5. Numéros de téléphone

Combien de numéros de téléphone peut-on attribuer en France, sachant que :
• L’indicatif de région est 01, 02, 03, 04 ou 05.
• Les deux chiffres suivant doivent être distincts.
• De nouveaux numéros "internet" sont disponibles, commençant tous par 08.
EXERCICE 6. Coloriages
Un étudiant en PCSI veut colorier ses notes de cours en attribuant la même couleur pour chaque
matière : physique, chimie, SI, mathématiques, informatique, LV1 et français. Il dispose de 10
couleurs différentes.
1. Combien y a-t-il de coloriages possibles ?
2. Combien y a-t-il de coloriages, de sorte que chaque matière ait une couleur différente des
autres ?
3. On choisit autant de couleurs différentes qu’il y a de matières. Combien y a t-il de colo-
riages possibles en utilisant seulement ces couleurs ? De sorte que chaque matière ait une
couleur différente des autres ?

4. Combien y a-t-il de coloriages, de sorte qu’au moins deux matières aient la même cou-
leur ?
5. Combien y a-t-il de coloriages, de sorte qu’exactement deux matières aient la même cou-
leur ?
EXERCICE 7. Formule de Pascal

Dans une urne, on place n boules blanches et une noire. On tire simultanément k boules.
1. Combien y-a-t-il de tirages sans boule noire.
2. Combien y-a-t-il de tirages avec au moins une boule noire ?
3. Combien y-a-t-il de tirages possibles en tout ? Quelle propriété du cours venez-vous de
démontrer ?
EXERCICE 8. Formule de Vandermonde

Dans une urne, p boules sont blanches et q sont noires. On pioche simultanément n boules.
1. Soit k ∈ 0, n. Combien y-a-t-il de tirages vont donner exactement k boules blanches ?
2. En déduire la formule de Vandermonde :
Ã ! Ã ! Ã !
Xn p q p +q
× =
k=0 k n −k n
EXERCICE 9. Dans une urne (. . .)

On dispose d’une urne avec 8 boules blanches, 7 boules noires et 5 boules vertes.
1. Quel est le nombre de tirages simultanés de 5 boules donnant 2 blanches, 1 noire et 2
vertes ?
2. Quel nombre de tirages successifs et sans remise de 5 boules donnant 2 blanches, 1 noire
et 2 vertes ? 2 blanches, 1 noire et 2 vertes dans cet ordre ?
3. Mêmes questions avec des tirages successifs et avec remise de 5 boules dans l’urne.
EXERCICE 10. Dénombrement de k-uplets

Soit E l’ensemble de cardinal 1, n.
1. Combien y-a-t-il de parties de E formées de k éléments ?
2. Combien y-a-t-il de k-uplets d’éléments de E ?
3. Combien y-a-t-il de k-uplets d’éléments deux à deux distincts de E ?
4. Combien y-a-t-il de k-uplets d’éléments deux à deux distincts de E , tel que le premier
élément est le plus petit et le dernier élément est le plus grand ?
5. Combien y-a-t-il de k-uplets d’éléments de E ordonnés dans l’ordre strictement crois-
sant ?

6 Exercices 73
EXERCICE 11. Anagrammes et cie
1. Combien d’anagrammes peut-on former avec les lettres du mot PCSI ? du mot SCIENCE ?
du mot ANAGRAMME ?
2. Combien y a-t-il de mots composés de 5 lettres ? de 5 lettres distinctes ? de 5 lettres dis-

tinctes dans l’ordre alphabétique ? de 5 lettres et de sorte qu’il soit un palindrome ?
EXERCICE 12. Nombre de surjections dans des cas simples

N p
Soit (n, p) ∈ . On note S n le nombre de surjections d’un ensemble à p éléments sur un en-
semble à n éléments.
1. Calculer S 14 , S 41 et S 44 .
p
2. Plus généralement calculer S 1 , S n1 et S nn .
EXERCICE 13. Dénombrements de permutations

Soit n ∈ N. Combien y a-t-il de façons de mélanger n éléments :
1. de n’importe quelle manière ?
2. de sorte qu’un seul élément change de place ?
3. de sorte que seulement deux éléments changent de place ?
4. de sorte que seulement trois éléments changent de place ?
5. de sorte que le premier élément change de place ?
6. de sorte que le permier et le dernier éléments changent de place ?
EXERCICE 14. Cardinal de A ∪ B ∪C

Dans une classe il y a autant de filles que de garçons. Tous les éléves étudient au moins une
langue. Parmi eux : 10 étudient l’espagnol, 15 étudient l’allemand, 20 étudient l’anglais, 7 étu-
dient l’espagnol et l’allemand, 8 étudient l’allemand et l’anglais, 9 étudient l’anglais et l’espa-
gnol. Quel est l’effectif de la classe ?
EXERCICE 15. Le poker

Un joueur de poker reçoit une "main" de 5 cartes d’un jeu de 32 cartes (sans joker). Donner
le nombre total de mains différentes que le joueur peut obtenir. Quel est le nombre de mains
contenant :
1. une seule paire ? 2. deux paires ? 3. un brelan ?

4. un carré ? 5. un full ? 6. une couleur ?
7. une paire de roi ? 8. au moins un coeur ?

Manipulations
X des Y
symboles et
EXERCICE 16. Calculs de sommes et de produits

Calculer les sommes et produits suivants, pour tout entier n ∈ N (éventuellement non nul) :
n µ ¶ n µ ¶ n n n n µ ¶
X 1 X 2 X 1 Y k Y k2
X k(k − 1)
1. ln 1 + , ln 1 − , , , e , ln
k=1 k k=3 k k=1 k(k + 1) k=1 k + 1 k=1 k=2 k2
Ã ! Ã !
Xn X n Xn Xn Xn Xi n X
X n
2. 1, i + j , 1, (i + j )
i =1 j =1 i =1 j =1 i =1 j =1 i =1 j =1
EXERCICE 17. Un calcul abstrait de somme

Soient n ∈ N∗ et (a0 , a1 , . . . , an+1 ) une famille de nombre complexes. Alors montrer que :
n
X n
X
k(ak+1 − ak ) = nan+1 − ak
k=0 k=1
EXERCICE 18. Calculs de sommes faisant intervenir des coefficients binomiaux

Calculer les sommes et produits suivant, pour tout entier n ∈ N (éventuellement non nul) :
Ã ! Ã ! Ã ! Ã ! Ã ! Ã ! Ã !
Xn n n−1
X 1 n n
X n n
X 1 n n
X n n
X n −1 n
X n +1
2 k−1 k/2
, k k
, k , , k , 2 2
k=1 k k=0 3 k=0 k k=0 k + 1 k k=0 k k=1 k k=0 k −1
EXERCICE 19. Formules de combinatoire
1. Soient n et p deux entiers naturels tels que n ≥ p. Calculer la somme :

Ã !Ã !
X p
n n −i
i =0 i p −i
Ã !
Xn p +k
2. Pour (n, p) ∈ N 2
, calculer la somme
k
.
k=0
Ã !
Xp
3. Pour (n, p) ∈ N 2
tel que p ≥ n, calculer la somme
k
.
k=n n
Ã Ã !Ã !!
n
X n
X
4. Pour (n, p) ∈ N 2
, calculer la somme 3 n−k n k
k p
.
p=0 k=p

6 Exercices 75
EXERCICE 20. Sur les sommes géométriques

Soit n ∈ N et x ∈ R tel que x 6= 1.
n
X 1 − x n−p+1
1. Si p ∈ 0, n, montrer que xk = xp par deux méthodes différentes :
k=p 1−x
(a) en utilisant la relation de Chasles,
(b) en utilisant un changement d’indice.
Xn n
X
2. En déduire la valeur de sommes x 2k et x 2k+1 .
k=0 k=0
n
X
3. On suppose n 6= 0 et on pose S n = kx k−1 .
k=1
nx n+1 − (n + 1)x n + 1
Vérifier que S n = de trois manières différentes :
(1 − x)2
(a) en dérivant la formule de la question 1.,
(b) en calculant (1 − x)S n ,
Ã !
n
X k
X k−1
(c) en remarquant que S n = x .
k=1 ℓ=1
EXERCICE 21. Calculs de sommes doubles

X n X n j X
N
Soit n ∈ ∗ . Calculer les sommes : et i j.
j =1i =j i 1≤j <i ≤n
EXERCICE 22. Exemples de sommations par paquets

Soit n ∈ N. On considère les sommes
Ã ! Ã ! Ã ! Ã !
Xn n n
X n X n X n
An = , Bn = (−1)k , Sn = , Tn = .
k=0 k k=0 k 0≤2k≤n 2k 0≤2k+1≤n 2k + 1
1. Calculer A n et B n en fonction de n et en déduire S n et Tn en fonction de n.

Ã !
Xn 2n
2. Déterminer .
k=0 2k
Sujets de synthèse
EXERCICE 23. Dénombrements de parties

Soit n ∈ N∗ et E un ensemble possédant n éléments.
1. Déterminer le nombre de couples (A, B) de parties de E tels que A ⊂ B.
2. Déterminer le nombre de couples (A, B) de parties de E tels que A ∩ B = ;.
3. Déterminer le nombre de triplets (A, B,C ) de parties de E qui sont deux à deux disjointes
et telles que A ∪ B ∪C = E .

EXERCICE 24. Nombre de surjections

N N p
Pour n ∈ ∗ et p ∈ ∗ , on note S n le nombre de surjections d’un ensemble à p éléments vers un
ensemble à n éléments.
p
1. Calculer S n1 , S nn et S n pour p > n.
2. On suppose p ≤ n et considère a un élément de l’ensemble de départ noté E . En remar-
quant que la restriction d’une surjection à E \{a} est ou n’est pas surjective montrer que :
p ¡ p−1 p ¢
S n = p × S n−1 + S n−1
Ã !
p
X
p p n
3. En déduire que S n = (−1)p−k k .
k=0 k
EXERCICE 25. Nombre de partitions d’un entier

Pour n ∈ N∗ et p ∈ N, on note σnp le nombre de n-uplets (x1, . . . , xn ) ∈ Nn tels que x1 +· · ·+xn = p.
p p
1. Déterminer σ0n , σ1n , σ2n , σ1 et σ2 .
2. Vérifier que :
p
X
p
σn+1 = σkn
k=0
Ã !
p n +p −1
3. En déduire que σn = . Aurait-on pu trouver ce résultat directement ?
p
EXERCICE 26. Formule d’inversion de Pascal
1. On considère deux suites de nombres réels (u n )n∈N et (v n )n∈N vérifiant :

Ã !
n n
X
∀n ∈ N, u n = vk
k=0 k
Montrer la relation réciproque suivante :

Ã !
n
X n
n−k
∀n ∈ N, vn = (−1) uk
k=0 k
N
2. Pour n ∈ , on appelle dérangement d’un ensemble à n éléments une permutation où les
n éléments changent de place, et on note d n le nombre de dérangements d’un ensemble
à n éléments (avec la Ãconvention
! d 0 = 1).
Xn n
Vérifier que : n! = d n−k .
k=0 k
En déduire la valeur de d n en fonction de n.
N N p
3. Pour n ∈ et p ∈ ∗ , on note S n le nombre de surjections d’un ensemble à p éléments
p
vers un ensemble à n éléments
Ã ! (avec la convention S 0 = 0).
Xn n
p
Vérifier que : n p = Sk .
k=0 k
p
En déduire la valeur de S n en fonction de n et p.

6 Exercices 77
EXERCICE 27. Applications croissantes et strictement croissantes

Soient n et p deux entiers naturels non nuls.
1. Déterminer le nombre d’applications strictement croissantes de 1, n vers 1, p.
2. Déterminer le nombre d’applications croissantes de 1, n vers 1, p.
EXERCICE 28. Chemins monotones

Un point mobile se déplace sur le quadrillage
en reliant O(0, 0) à un point M de ce quadrillage
de coordonnées entières (x, y). 3
Le point mobile est contraint de se déplacer par
pas de longueurs 1, soit vers la droite, soit vers 2
le haut. Un tel parcours est appelé un chemin
monotone.La figure ci-contre représente un tel 1
chemin de O(0, 0) à M(3, 4).
1. Un exemple.
0
(a) Dessinez un chemin monotone de l’origine O au1 point2 M de3 coordonnées
4
(6, 6).
(b) Dans un chemin monotone reliant l’origine au point de coordonnées (6, 6), combien
le point effectue-t-il de déplacements.
(c) Dans un chemin monotone reliant l’origine au point de coordonnées (6, 6), combien
de déplacements vers le haut effectue le point mobile ? Même question vers la droite.
(d) En déduire le nombre de chemins monotones de l’origine O au point de coordonnées
(6, 6).
2. Soit p ∈ 0, n. Combien existe-t-il de chemins monotones reliant l’origine O au point de
coordonnées (n − p, p) ?
3. En remarquant que le premier pas d’un chemin monotone de l’origine au point (n − p, p)
se fait soit vers le haut, soit vers la droite, démontrez la formule d’addition de Pascal :
Ã ! Ã ! Ã !
n n −1 n −1
= +
p p −1 p
4. Reprenez l’exemple en début de partie. Tracez sur ce graphique la droite (∆) d’équation
y = 6 − x. Remarquez que tout chemin monotone reliant O(0, 0) au point de coordonnées
(6, 6) coup nécessairement (∆).
De manière générale, on admettra que tout chemin reliant O au point A de coordonnées
(n, n) coupe la droite (∆) d’équation x + y = n.
5. Soit k ∈ 0, n, on note B k le point de (∆) d’abscisse k. Précisez l’ordonnée de k.
(a) Combien y a-t-il de chemins monotones de l’origine jusqu’à B k ?
(b) Combien existe-t-il de chemins de B k jusqu’à A ?
(c) En déduire le nombre de chemins monotones de l’origine à A qui passent par B k .
6. Déduisez de ce qui précède la formule :
Ã ! Ã !
n n 2
X 2n
=
k=0 k n
qui est un cas particulier de la formule de Van der Monde.


79
Chapitre 3
Nombres complexes
Sommaire
1 Propriétés des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
1.1 Construction rapide de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
1.2 Notions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
1.3 Rappels et compléments de trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
1.4 Nombres complexes de module 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
1.5 Forme trigonométrique d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . 90
1.6 Applications des formules de De Moivre et d’Euler . . . . . . . . . . . . . . 92
1.7 Exponentielle d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2 Équations polynômiales complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.1 Racines n-ièmes réelles d’un nombre réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.2 Racines carrées complexes d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . 94
2.3 Équations du second degré à coefficients complexes . . . . . . . . . . . . . 96
2.4 Équations du second degré à coefficients réels . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.5 Racines n-ièmes de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.6 Racines n-ièmes d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3 Nombres complexes et géométrie plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.1 Alignement et orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.2 Transformations planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

80 C HAPITRE 3 : Nombres complexes
1 Propriétés des nombres complexes

1.1 Construction rapide de C
R
Dans , l’équation x 2 = −1 n’a pas de solution. On va donc construire un ensemble C,
R
contenant , et dans lequel cette équation a des solutions.
On se place dans R2 munit des opérations :

(a1 , b 1 ) + (a2 , b 2 ) = (a1 + a2 , b 1 + b 2 ) et (a1 , b 1 ) × (a2 , b 2 ) = (a1 a2 − b 1 b 2 , a1 b 2 + a2 b 1 )
R
De plus on identifie a ∈ avec (a, 0) ∈ 2 : a = (a, 0). R
Si on pose i = (0, 1), alors on a i 2 = (−1, 0) = −1. On a donc donné une solution à l’équation
x 2 = −1. On pose :
C ©
R
= z = (a, b); (a, b) ∈ 2
ª
De plus on remarque que si (a, b) ∈ R2 , a +i b = (a, 0)+(0, 1)×(b, 0) = (a, 0)+(0, b) = (a, b), donc :
C = ©z = a + i b; (a, b) ∈ R2ª
On a R C
⊆ et on peut démontrer que les règles de calcul sont les mêmes que dans . Les R
C
éléments de sont appelés nombres CR
complexes, ceux de \ sont appelés nombres complexes
©
R
purs, et ceux de i = i b; b ∈
ª
R
nombres complexes imaginaires purs.
Théorème 1 – Identités remarquables
Pour (a, b) ∈ C2 et n ∈ N :
1. (a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2 et (a − b)2 = a 2 − 2ab + b 2
2. a 2 − b 2 = (a + b) × (a − b) et a 2 + b 2 = (a + i b) × (a − i b)
3. Formule du binôme.
Ã ! Ã !
Xn n Xn n
n
(a + b) = a k b n−k et (a − b) = n
(−1)n−k a k b n−k
k=0 k k=0 k
4. Formule de Bernoulli .
¡ ¢ n−1
X k n−1−k
a n − b n = (a − b) a n−1 + a n−2 b + a n−3 b 2 + · · · + ab n−2 + b n−1 = (a − b) a b
k=0
¡ ¢n
Si n est impair on a b n = − (−b) = (−1)n (−b)n = −(−b)n donc :
¡ ¢ n−1
X
a n +b n = a n −(−b)n = (a+b) a n−1 −a n−2 b+a n−3 b 2 −· · ·−ab n−2 +b n−1 = (a+b) (−1)k a k b n−1−k
k=0

1 Propriétés des nombres complexes 81
1.2 Notions de base

Définition 2 – Parties réelles et imaginaires
C R
Si z = a + i b ∈ avec (a, b) ∈ 2 , alors le choix des réels a et b est unique.
Le réel a est appelé partie réelle de z, notée Re(z).
Le réel b est appelée partie imaginaire de z, notée Im(z).
On a donc Re(z) ∈ R, Im(z) ∈ R et z = Re(z) + i Im(z).

¡ → − →−¢
On munit le plan d’un repère orthonormé O; i , j . Géométriquement,¡ un ¢nombre complexe
z est représenté dans le plan par le point M z de coordonnées Re(z)), Im(z) . On dit alors que
M z est le point d’affixe z. De même, si →
−
v = (a, b) est un vecteur du plan, on dit que →
−
v est d’affixe
z = a + i b.
Si z 1 et z 2 sont deux nombres complexes, alors le nombre complexe z 1 + z 2 est réprésenté par le
point M z1 +z2 défini par :
−−−−−−→ −−−−→ −−−−→
OM z1 +z2 = OM z1 + OM z2
M z1 +z2
M z1 M z2
→
−
j
O →
−
i
Soient z 1 , z 2 , . . . , z n ∈ C.
1. Re(z 1 + z 2 ) = Re(z 1 ) + Re(z
Ã 2 ) !et Im(z 1 + z 2 ) = Im(z
Ã 1 ) +!Im(z 2 )
n
X n
X n
X Xn
Plus généralement : Re zk = Re(z k ) et Im zk = Im(z k ).
k=1 k=1 k=1 k=1
½
Re(z 1 ) = Re(z 2 )
2. z 1 = z 2 ⇐⇒
Im(z 1 ) = Im(z 2 )
3. Si λ ∈ R: Re(λ × z 1 ) = λ × Re(z 1 ) et Im(λ × z 1 ) = λ × Im(z 1 ).
4. Re(z 1 z 2 ) = Re(z 1 ) Re(z 2 ) − Im(z 1 ) Im(z 2 )
et Im(z 1 z 2 ) = Re(z 1 ) Im(z 2 ) + Re(z 2 ) Im(z 1 ).
5. z 1 ∈ R ⇐⇒ Im(zµ 1) ¶= 0 et R
z 1 ∈ i ⇐⇒ Re(z 1 ) = 0.
µ ¶
1 Re(z 1 ) 1 Im(z 1 )
6. Si z 1 6= 0 : Re = 2 2
et Im =− .
z1 Re(z 1 ) + Im(z 1 ) z1 Re(z 1 )2 + Im(z 1 )2

B Par contre : Re(z 1 × z 2 ) 6= Re(z 1 ) × Re(z 2 ) et Im(z 1 × z 2 ) 6= Im(z 1 ) × Im(z 2 )

CR
Et si λ ∈ \ , Re(λ × z 1 ) 6= λ × Re(z 1 ) et Im(λ × z 1 ) 6= λ × Im(z 1 ).
C
Exemple. Si z ∈ , Re(i z) = − Im(z) et Im(i z) = Re(z).
Définition 4 – Conjugué
C
Si z ∈ , on définit le conjugué de z : z = Re(z) − i Im(z)
On a donc : Re(z) = Re(z) et Im(z) = − Im(z)
Géométriquement le point M z est le symétrique orthogonal du point M z par rapport à l’axe des
abscisses :
Mz
→
−
j
O →
−
i
Mz
Soient z 1 , z 2 , . . . , z n ∈ C.
1. z 1 = z 1
1 1
2. Re(z 1 ) = (z 1 + z 1 ) et (z 1 − z 1 )
Im(z 1 ) =
2 2i
R
3. z 1 ∈ ⇐⇒ z 1 = z 1 R
et z 1 ∈ i ⇐⇒ z 1 = −z 1
µ ¶
z1 z1
4. z 1 + z 2 = z 1 + z 2 , z 1 × z 2 = z 1 × z 2 et =
z2 z2
X n n
X n
Y n
Y
Plus généralement : zk = zk et zk = zk
k=1 k=1 k=1 k=1
De plus : si λ ∈ R, λz 1 = λz 1 et si n ∈ N, z 1n = z 1 n
5. z 1 × z 1 = Re(z 1 )2 + Im(z 1 )2 ∈ R+

Définition 6 – Module
p p
Pour z ∈ C, on pose |z| = Re(z)2 + Im(z)2 = zz
−−−→
Graphiquement, le module de z est égal à la norme du vecteur OM z , ie à la longueur OM Z .
Soient z 1 , z 2 , . . . , z n ∈ C.
R
1. Dans , valeur absolue et module coïncident.
¯ ¯ ¯ ¯
2. ¯ Im(z 1 )¯ ≤ |z 1 | et ¯ Re(z 1 )¯ ≤ |z 1 |
¯ ¯
3. ¯z 1 ¯ = |z 1 | = | − z 1 |
4. |z 1 | ≥ 0 et |z 1 | = 0 ⇐⇒ z 1 = 0
De plus : z 1 = |z 1 | ⇐⇒ z 1 ∈ R+
5. |z 1 × z 2 | = |z 1 | × |z¯2 | ¯ donc si λ ∈ R+, |λz1| = λ|z1|
N
Pour tout n ∈ : ¯z 1n ¯ = |z 1 |n
¯ ¯
¯ z 1 ¯ |z 1 |
6. Si z 2 6= 0 : ¯¯ ¯¯ =
z 2 |z | 2
B En général |z 1 + z 2 | 6= |z 1 | + |z 2 |. Par contre il faut connaître le calcul suivant :

¡ ¢
|z 1 + z 2 |2 = (z 1 + z 2 ) × (z 1 + z 2 ) = z 1 z 1 + z 1 z 2 + z 1 z 2 + z 2 z 2 = |z 1 |2 + |z 2 |2 + 2 Re z 1 z 2
1
Exemple. Déterminer parties réelle et imaginaire de .
2+i
Exemple. Si z ∈ C déterminer les parties réelles et imaginaire de 1+i z, ainsi que son module.
Exemple. Si |z| = 1, que dire de z ?
On aussi l’encadrement suivant, fondamental en analyse.
Théorème 8 – Inégalité triangulaire
Si z 1 , z 2 ∈ C, on a : ¯ ¯
¯|z 1 | − |z 2 |¯ ≤ |z 1 + z 2 | ≤ |z 1 | + |z 2 |
¯ ¯
¯Xn ¯ X n
Plus généralement si z 1 , z 2 , . . . , z n ∈ : ¯ C ¯ ¯
zk ¯ ≤
¯k=1 ¯ k=1 k
|z |.
Puisque | − z| = |z| on a aussi |z 1 − z 2 | ≤ |z 1 | + |z 2 |.

−−−−−−→
Si z 1 et z 2 sont deux nombres complexes, z 2 − z 1 est l’affixe du vecteur M z1 M z2 , donc |z 2 − z 1 | est
la longeur M z1 M z2 .
©
Le cercle de centre Ω d’affixe ω et de rayon r > 0 est donc z ∈ C; |z − ω| = r ª.
Le disque ouvert de centre Ω d’affixe ω et de rayon r > 0 est z ∈ C; |z − ω| < r .
© ª
Le disque fermé de centre Ω d’affixe ω et de rayon r > 0 est z ∈ C; |z − ω| ≤ r .

© ª
1.3 Rappels et compléments de trigonométrie

R
Les fonctions cos et sin sont définies géométriquement : si x ∈ est la longueur algébrique d’un
arc de cercle sur le cercle trigonométrique (qui est le cercle de centre O d’affixe 0 et de rayon 1)
alors le point obtenu a pour affixe cos(x) + i sin(x).
b x
sin(x)
1
cos(x)
Proposition 9 – Propriétés de symétrie
1. ∀x ∈ R, sin(x + 2π) = sin(x) et cos(x + 2π) = cos(x)

∀k ∈ ,Z sin(x + 2kπ) = sin(x) et cos(x + 2kπ) = cos(x)
2. ∀x ∈ R, sin(−x) = − sin(x) et cos(−x) = cos(x)

Proposition 10 – Valeurs remarquables
x 0 π/6
π/4 π/3 π/2
p p
sin(x) 0 1/2 2/2 3/2 1
p p
cos(x) 1 3/2 2/2 1/2 0
Pour retrouver ces valeurs ont peut se rappeler que :
r r p r p r r
0 1 1 2 2 3 3 4
0= = = = et 1=
4 2 4 2 4 2 4 4
Proposition 11 – Formules de bases
1. ∀x ∈ R, sin2 (x) + cos2 (x) = 1

³ π´ ³ π´
2. ∀x ∈ R, sin x + = cos(x) et cos x + = − sin(x)
³π 2 ´ ³π 2 ´
sin − x = cos(x) et cos − x = sin(x)
2 2
3. ∀x ∈ R, sin (x + π) = − sin(x) et cos (x + π) = − cos(x)
sin (π − x) = sin(x) et cos (π − x) = − cos(x)
Toutes ces formules se retrouvent aisément à l’aide du cercle trigonométrique !
Proposition 12 – Formules fondamentales
1. ∀x ∈ R, cos(a + b) = cos(a) × cos(b) − sin(a) × sin(b)

cos(a − b) = cos(a) × cos(b) + sin(a) × sin(b)
sin(a + b) = sin(a) × cos(b) + sin(b) × cos(a)
sin(a − b) = sin(a) × cos(b) − sin(b) × cos(a)
2. ∀a ∈ R, cos(2a) = cos2 (a) − sin2 (a) = 2 cos2 (a) − 1 = 1 − 2 sin2 (a)
sin(2a) = 2 sin(a) × cos(a)
1 + cos(2a) 1 − cos(2a)
donc cos2 (a) = et sin2 (a) =
2 2

Ces formules se démontrent géométriquement. Par exemple la formule d’addition pour le sinus
se démontre à l’aide des figures suivantes, où les triangles sont tous d’hypothénuse de longueur
égale à 1 : l’aire du quadrilatère à gauche est égale à la somme des aires des deux rectangles à
droite.
a
sin(a)
×cos(b)
sin(a + b)
sin(b)cos(a)
b
b
Proposition 13 – Formules de transformation
1³
∀(a, b) ∈ R2, cos(a) × cos(b) =
2
cos(a + b) + cos(a − b)
¢
1³ ¢
sin(a) × sin(b) = cos(a − b) − cos(a + b)
2
1³ ¢
sin(a) × cos(b) = sin(a + b) + sin(a − b)
2
½ ½
A l’aide des formules
p = a +b
q = a −b
⇐⇒
a = (p + q)/2
b = (p − q)/2
, on obtient pour tout (p, q) ∈ R2 :
³p +q ´ ³p −q ´
cos(p) + cos(q) = 2 cos cos
2 2
³p +q ´ ³p −q ´
cos(p) − cos(q) = −2 sin sin
2 2
³p +q ´ ³p −q ´
sin(p) + sin(q) = 2 sin cos
2 2
³p +q ´ ³p −q ´
sin(p) − sin(q) = 2 cos sin
2 2

nπ o
On définit la fonction tangente par tan(x) =
sin(x)
cos(x)
et on pose
π
2
Z
+π =
2
+ kπ; k ∈ . Z
Proposition 14 – Fonction tangente
nπ o n o ³π ´
1. Dtan = R² 2
+ kπ; k ∈ Z = x∈ R; x 6= π2 [π] = R\ 2
+π Z
x 0
π/6 π/4 π/3 π/2
2. p p
tan(x) 0 1/ 3 1 3 +∞
3. ∀x ∈ R, ∀k ∈ Z, tan(x + kπ) = tan(x) et tan(−x) = − tan(x)
tan(a) + tan(b)
4. Si a, b, a + b ∈ Dtan : tan(a + b) =
1 − tan(a) × tan(b)
tan(a) − tan(b)
si a, b, a − b ∈ Dtan : tan(a − b) =
1 + tan(a) × tan(b)
Elle peut s’interpréter géométriquement :
x
tan(x)
b b
sin(x)
b
P b
1
cos(x)

On rappelle que a = b [π] lorsqu’il existe k ∈ Z tel que a = b + kπ. On le lit « a = b modulo π ».
On défnit de même [2π], [π/2] . . .
Autre notation : si a ∈ R, on note aZ = {ak; k ∈ Zª et on a alors : a = b [π] ⇐⇒ a − b ∈ πZ.

Corollaire 15 – Équations trigonométriques
1. On a :
cos(x) = 0 ⇐⇒ x =
π
2
π
[π] ⇐⇒ x − ∈ π
2
Z
et :
cos(x) = cos(y) ⇐⇒ x = y [2π] ou x = −y [2π]

Z
⇐⇒ x − y ∈ 2π ou x + y ∈ 2π Z
2. On a :
sin(x) = 0 ⇐⇒ x = 0 [π] ⇐⇒ x ∈ π Z
et :
sin(x) = sin(y) ⇐⇒ x = y [2π] ou x = π − y [2π]

Z
⇐⇒ x − y ∈ 2π ou x + y − π ∈ 2π Z
3. On a :
tan(x) = 0 ⇐⇒ x = 0 [π] ⇐⇒ x ∈ π Z
et :
tan(x) = tan(y) ⇐⇒ x = y [π] ⇐⇒ x − y ∈ π Z
Exemple. Résoudre dans R : sin(x) = sin(2x)
Pour résoudre des inéquations, on s’aide du cercle trigonométrique.
Exemple. Résoudre dans R : sin(x) ≤ 12

1.4 Nombres complexes de module 1
Définition 16 – Exponentielle d’un imaginaire pur
R
Pour tout θ ∈ , on pose ei θ = cos(θ) + i sin(θ).
On définit ainsi la fonction exponentielle sur i . R
¡ ¢ ¡ ¢
On a donc par définition Re ei θ = cos(θ) et Im ei θ = sin(θ).
π 3π
Exemple. Calculer ei 0 , ei 2 , ei π , ei 2 et ei 2π .

ei θ = cos(θ) + i sin(θ)
b
θ
sin(θ)
1
cos(θ)
Les propriétés des fonctions trigonométriques permettent de démontrer les propriétés suivantes.
Proposition 17 – Règles de calcul pour l’exponentielle d’un imaginaire pur
R
Si (θ, α) ∈ 2 .
¯ ¯
1. ¯ei θ ¯ = 1
1
2. ei θ 6= 0 et = e−i θ = ei θ = cos(θ) − i × sin(θ)
ei θ
ei θ
3. ei (θ+α) = ei θ × ei α et ei (θ−α) =
ei α
Z
4. ∀n ∈ , ei nθ = ei θ
¡ ¢n
5. θ 7−→ ei θ est 2π-périodique : Z

∀k ∈ , ei (θ+2kπ) = ei θ
iθ iα
6. e = e ⇐⇒ θ = α [2π]
et en particulier : ei θ = 1 ⇐⇒ θ = 0 [2π] ⇐⇒ θ ∈ 2π Z
7. Formules d’Euler :
ei θ + e−i θ ei θ − e−i θ
cos(θ) = et sin(θ) =
2 2i
8. Formule de De Moivre :
∀n ∈ ,
¡
Z ¢n ¡ ¢n
cos(θ) + i × sin(θ) = ei θ = ei nθ = cos(nθ) + i × sin(nθ)
9. Factorisation de l’angle µ moyen¶ : µ ¶
θ+α θ − α i θ+α θ−α
ei θ + ei α = 2ei 2 × cos et e −eiθ iα
= 2i e 2 × sin
2 2
On retrouve notamment la propriété de « morphisme » de l’exponentielle : elle transforme

l’addition en multiplication. De plus elle ne s’annule pas sur i . R
R
Exemple. Pour θ ∈ , factoriser 1 + ei θ et 1 + e−i θ .

Exemple. Pour x ∈ R et n ∈ Z, simplifier cos(x + nπ) et sin(x + nπ).

Dans la suite on notera U l’ensemble des nombres complexes de module 1 :
©
U= z ∈ C; |z| = 1ª
Géométriquement, ce sont les points d’affixe z situés sur le cercle trignométrique.
Proposition 18 – Lien entre U et ei θ
L’ensemble U coïncide avec l’ensemble des nombres complexes de la forme ei θ , où θ ∈ R:

©
U = ei θ ; θ ∈ Rª
Par 2π-périodicité de θ 7−→ ei θ on a plus simplement :
© ª
U = ei θ ; θ ∈ [0, 2π[
© ª
ou encore U = ei θ ; θ ∈] − π, π] .
On peut énoncer ce résultat de manière plus complète.
Théorème 19 – Surjectivité de l’exponentielle complexe
L’application :
R −→ U
θ 7−→ ei θ
est non injective, mais est surjective.
Si on considère sa restriction à [0, 2π[, on obtient une bijection de [0, 2π[ vers U.
1.5 Forme trigonométrique d’un nombre complexe

→
− → −
On munit le plan d’un repère orthonormé direct (0; i , j ).
Définition 20 – Argument
C →
− −−→
Soit z ∈ ∗ . On appelle argument de z tout mesure de l’angle ( i , OM ) où M est le point
d’affixe z.
On le note arg(z).

z
b
Im(z)
arg(z)
Re(z)
Définition 21 – Forme trigonométrique

³ ´
C
Si z ∈ ∗ , on a z = |z| × cos(arg(z)) + i sin(arg(z)) = |z|ei .arg(z)
On dit qu’on a mis le nombre complexe z sous forme trigonométrique.
On a donc : Re(z) = |z| × cos(arg(z)) et Im(z) = |z| × sin(arg(z))
B Le nombre 0 ne peut pas être mis sous forme trigonométrique. En effet son argument n’est
pas défini.
Proposition 22 – Règles de calcul pour l’argument
Soient z 1 , z 2 ∈ C∗.
1. Forme trigonométrique −→ Forme algébrique :
¡ ¢ ¡ ¢
z 1 = |z 1 | × cos arg(z 1 ) + i × |z 1 | × sin arg(z 1 )
| {z } | {z }
=Re(z1 ) =Im(z1 )
2. Forme algébrique −→ Forme trigonométrique :
¡ ¢ Re(z 1 ) ¡ ¢ Im(z 1 )
cos arg(z 1 ) = et sin arg(z 1 ) =
|z 1 | |z 1 |
½
|z 1 | = |z 2 |
3. z 1 = z 2 ⇐⇒
arg(z 1 ) = arg(z 2 ) [2π]
¡ ¢
4. arg z 1 = −arg(z 1 ) [2π]
5. arg(z 1 × z 2 ) = arg(z 1 ) + arg(z 2 ) [2π]
³ ´
6. arg zz21 = arg(z 1 ) − arg(z 2 ) [2π]
7. ∀n ∈ , Z arg(z n ) = n × arg(z) [2π]
Exemple. Donner la forme trigonométrique de 1 + i .
Exemple. Donner la forme algébrique de ei 2π/3 .

La forme trigonométrique peut servir à factoriser des expressions trigonométriques.
Proposition 23 – Factorisation de a cos(θ) + b sin(θ)
R
Soient (a, b) ∈ 2 tel que (a, b) 6= (0, 0) et θ ∈ .R
C
Notons z = a + i b ∈ , r = |z| et α = arg(z) [2π] de telle sorte que z = a + i b = r ei α .
Alors :
a cos(θ) + b sin(θ) = r cos(θ − α)
Application. On peut résoudre des équations du type a cos(θ) + b sin(θ) = c.
Exemple. Résoudre dans R : cos(2x) − p3 sin(2x) = 1.
1.6 Applications des formules de De Moivre et d’Euler

• Transformation de cos(nθ), sin(nθ) en polynômes en cos(θ), sin(θ).
Les formules de De Moivre et du binôme de Newton donnent :

Ã !
¢n Xn n
∀n ∈ N, ∀θ ∈ R, ¡
cos(nθ) + i sin(nθ) = cos(θ) + i sin(θ) =
k
cosn−k (θ)i k sink (θ)
k=0
d’où en séparant parties réelles et imaginaires, et en tenant compte du fait que i k = (−1)k/2 si k
est pair et i k = i (−1)(k−1)/2 si k est impair, on a :
Ã!
X p n
cos(nθ) = (−1) cosn−2p (θ) sin2p (θ)
0≤2p≤n 2p
Ã ! Ã !
n n
= cosn (θ) − cosn−2 (θ) sin2 (θ) + cosn−4 (θ) sin4 (θ) − . . .
2 4
Ã !
X n
sin(nθ) = (−1)p cosn−2p−1 (θ) sin2p+1 (θ)
0≤2p+1≤n 2p + 1
Ã ! Ã !
n n−1 n
= cos (θ) sin(θ) − cosn−3 (θ) sin3 (θ) + . . .
1 3
Exemple. cos(2θ) = cos2 (θ) − sin2 (θ) = 2 cos2 (θ) − 1, cos(3θ) = 4 cos3 (θ) − 3 cos(θ).
• Linéarisation de polynômes en cos(θ), sin(θ).

Inversement on peut « linéariser » des expressions polynômiales en cos(θ) et sin(θ). En effet par-
ei θ + e−i θ ei θ − e−i θ
tant de cos(θ) = et sin(θ) = , on peut développer cosn (θ) et sinn (θ) grâce à la
2 2i
formule du binôme de Newton, et obtenir des expressions en cos(pθ) et sin(pθ).

Exemple. Linéarisation de sin3 (x) × cos2 (x) :

µ ¶3 µ i x ¶2
3 2 ei x − e−i x e + e−i x
sin (x) × cos (x) = ×
2i 2
1 ³ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ −i x ¢3 ´
ix 3 i x 2 −i x i x −i x 2
= − 5 e −3 e e + 3e e − e
2 i ³¡ ¢
2 ¡ ¢2 ´
× ei x + 2ei x e−i x + e−i x
1 ³ ´ ³ ´
= − 5 ei 3x − 3ei x + 3e−i x − e−i 3x × ei 2x + 2 + e−i 2x
2 i
1 ³ ´
= − 5 ei 5x − ei 3x − 2ei x + 2e−i x + e−i 3x − e−i 5x
2 i
1³ ´
= − 4 sin(5x) − sin(3x) − 2 sin(x)
2
Retrouver le résultat avec les formules usuelles de trigonométrie.
Ce genre de calcul prendra toute son importance en calcul intégral.
1.7 Exponentielle d’un nombre complexe

On va définir la fonction exponentielle sur l’ensemble C.
Définition 24 – Exponentielle d’un nombre complexe
Soit z ∈ C. Alors on pose :

h ¡ ¢ ¡ ¢i
ez = eRe(z) × cos Im(z) + i . sin Im(z) = eRe(z) × ei .Im(z)
Le nombre complexe ez , aussi noté exp(z), est appelé exponentielle de z.

La fonction exp : z 7−→ ez est appelée fonction exponentielle complexe.
La fonction exponentielle complexe a les propriétés suivantes.
Proposition 25 – Propriétés de l’exponentielle complexe
C
¯ ¯ ¡ ¢
1. Si z ∈ , ¯ez ¯ = eRe(z) et arg ez = Im(z).
2. Pour tout z ∈ C, ez 6= 0.
3. Si z 1 , z 2 ∈ C : ez +z = ez × ez .
1 2 1 2
4. Si z 1 , z 2 ∈ C : ez = ez ⇐⇒ z 1 = z 2 [2i π] ⇐⇒ ∃k ∈ Z; z 1 = z 2 + 2i kπ.
1 2
La propriété de « morphisme » est donc valable sur C.

2 Équations polynômiales complexes

2.1 Racines n-ièmes réelles d’un nombre réel
N
Rappel. Pour n ∈ ∗ , la fonction x 7−→ x n est une bijection de R+ sur R+. Elle admet donc une
R R 1
bijection réciproque de + sur + notée x 7−→ x n = n x.
p
R R p
Ainsi si x ∈ + , a ∈ + : x n = a ⇐⇒ x = n a.
p
Exemple. 3 8 = 2.
p
• Si n est pair et a > 0, l’équation x n = a a deux solutions réelles : x = ± n a.
Si a = 0 elle a une unique solution : a = 0.
Si a < 0, elle n’a pas de solution réelle car x n = (x 2 )n/2 ≥ 0.
• Si n est impair, et a quelconque dans

p
R, l’équation x n = a a une unique solution : x = pa si
n
a ≥ 0 et x = − n −a si a < 0.
En particulier si a ≥ 0 :
p
x 2 = a ⇐⇒ x = ± a
et si a < 0 cette équation n’a pas de solution réelle.
p
Exemple. x 2 = 2 ⇐⇒ x = ± 2 et x 2 = −1 n’a pas de solution réelle.
De plus :
p
si a ≥ 0 : x 3 = a ⇐⇒ x = a 3
3 p
si a < 0 : x = a ⇐⇒ x = − 3 −a
Exemple. x 3 = 1 ⇐⇒ x = 1 et x 3 = −1 ⇐⇒ x = −1.
¡ ¢p ¡ ¢n
Si n et p sont deux entiers naturels non nuls et x un réel positif, on sait que x n = x np = x p .
On en déduit que :
q q
¡ 1/n ¢1/p 1/(np)
¡ 1/p ¢1/n p pn
p
np n p
p
x =x = x ie x= x= x
Si n est pairpet x est un réel quelconque, alors l’expression x n est un réel positif et donc
n
l’expression x n a donc un sens mais attention :
(
p
n x si x ≥ 0
x n = |x| =
−x si x < 0
p
En particulier x 2 = |x| 6= x en général.
2.2 Racines carrées complexes d’un nombre complexe

Dans ce paragraphe on considère a ∈ C et on cherche z ∈ C tel que z 2 = a.
Si a = 0, on sait d’après le paragraphe précédent que z = 0. Dans la suite on suppose donc a 6= 0.

2 Équations polynômiales complexes 95
Proposition 26 – Racines carrées sous forme trigonométrique
Si a 6= 0 on le note sous forme trigonométrique a = r ei θ avec r > 0 et θ ∈ [0, 2π[.

Alors l’équation z 2 = a a deux solution complexes données par :
p
z = ± r ei θ/2
Ces deux solutions sont appelées racines carrées de a. Elles sont opposées l’une de l’autre.
B Il y a deux racines carrées. On ne dit donc pas « la » racine carrée de a, mais « une » racine
carrée de a.
p
B On ne peut utiliser la notation a car on ne sait pas quelle racine carrée on veut désigner.
Si a ≥ 0, on a montré qu’une des deux racines carrées de a est positive, et c’est celle-ci qu’on
p
note a, mais dans le cas général les racines carrées sont des nombres complexes, et elle n’ont
donc pas de signe.
Cas particulier où a est un réel non nul.

p
Si a > 0 ses racines carrées complexes sont ± a ; elles sont réelles.
p
Si a < 0 ses racines carrées complexes sont ±i a ; elles sont imaginaires pures.
1
Exemple. Les deux racines carrées de i sont ±ei π/4 = ± p (1 + i ).
2
Racines carrées sous forme trigonométrique. En général on a besoin de connaître les deux
racines carrées sous forme algébrique. La proposition précédente les donne sous forme
trigonométrique, et on ne peut pas en déduire la forme algébrique car on ne connaît pas les
valeurs de cos(θ/2) et sin(θ/2). On a donc besoin d’une autre méthode de calcul des deux ra-
cines carrées qui les donne directement sous forme algébrique.
On note donc z = x + i y et a = s + i t où x, y, s et t sont des nombres réels (x et y sont les

inconnues).
½
2 z2 = a
L’astuce consiste à remarquer que l’égalité z = a est équivalente aux deux égalités
|z|2 = |a|

2 2
 x −y =s

On obtient le système d’inconnue x et y : 2x y = t .
 x 2 + y 2 = ps 2 + t 2

Les première équaqtion et la troisième (ajoutée grâce à l’astuce) permettent de calculer x 2 et

y 2 , puis x et y au signe près (cela donne 4 solutions). On utilise alors la seconde équation pour
déterminer si x et y sont de même signe ou non (et ne retenir que 2 solutions).
Exemple. Donner les racines carrées de 1 + i . En déduire les valeurs de cos(π/8) et sin(π/8).

2.3 Équations du second degré à coefficients complexes
On veut résoudre dans C l’équation (E ) d’inconnue z : az 2 + bz + c = 0, (a, b, c) ∈ C3 et a 6= 0.
Pour cela on introduit le discriminant de l’équation : ∆ = b 2 − 4ac ∈ C. On note δ et −δ les deux

racines carrées du nombre complexe ∆ (δ = −δ = 0 si ∆ = 0).
Théorème 27 – Solutions des équations du second degré à coefficients complexes
b
1. Si ∆ = 0 : (E ) a une unique solution z = − .
2a
−b ± δ
2. Si δ 6= 0 : (E ) a deux solutions z = .
2a
Dans le premier cas, on dis que l’équation a une racine double. Dans le second, on dit qu’elle a
deux racines simples.
Exemple. Résoudre dans C l’équation 2z 2 − (1 + 5i )z − 2(1 − i ) = 0.
Inversement si on connaît les solutions de l’équation (E ), on peut retrouver ses coefficients.
Théorème 28 – Relations coefficients-racines

On note z 1 et z 2 les solutions de (E ) (avec z 1 = z 2 si ∆ = 0).
1. On a :
∀z ∈ C, az 2 + bz + c = a × (z − z 1 ) × (z − z 2 )
½
z 1 + z 2 = − ba
et donc :
z 1 × z 2 = ac
½
x+y =s
2. Réciproquement si x et y sont solutions du système « somme-produit »
x×y =p
alors x et y sont les racines de l’équation : z 2 − sz + p = 0.
Dans les pays anglo-saxons, ce résultat est appelé théorème de Viète.
Exemple. Trouver les racines de l’équation 3z 2 − (2 + 7i )z − 1 + 7i = 0
½
Exemple. Résoudre dans C 2
le système somme-produit
x + y = −1
x × y = 1−i

2.4 Équations du second degré à coefficients réels

On veut cette fois résoudre dans C l’équation (E ) d’inconnue z : az 2 + bz + c = 0, (a, b, c) ∈ R3 et
a 6= 0.
B a, b, c sont des nombres réels.
p
Dans ce cas le discriminant
p ∆ est un réel. Si ∆ > 0, ses racines carrées sont ± ∆ ; si ∆ < 0, ses
racines carrées sont ±i −∆ ; si ∆ = 0, il a une seule racine carrée qui est 0.
Théorème 29 – Résolution des équations du second degré à coefficients réels
b
1. Si ∆ = 0, (E ) a une unique solution réelle z = − .
2a
p
−b ± ∆
2. Si ∆ > 0, (E ) a deux solutions réelles distinctes : z = .
2a
p
−b ± i −∆
3. Si ∆ < 0, (E ) a deux solutions complexes pures conjuguées : z = .
2a
Dans R connaître les racines permet de faire une étude de signe.

Corollaire 30 – Signe d’un trinôme du second degré à coefficients réels
Si (a, b, c) ∈ R3 avec a 6= 0.
1. Si ∆ > 0 alors ax 2 + bx + c est « du signe de a en dehors des racines ».
Plus précisément, si x1 et x2 sont les deux racines réelles de l’équation
ax 2 + bx + c = 0, avec x1 < x2 , alors pour a > 0 :
x −∞ x1 x2 +∞
signe de −
+ 0 0 +
ax 2 + bx + c
et pour a < 0 :
x −∞ x1 x2 +∞
signe de − −
0 + 0
ax 2 + bx + c
R
2. Si ∆ ≤ 0 alors ax 2 + bx + c est du signe de a sur (donc de signe constant).
R
Si ∆ < 0 alors ax 2 + bx + c est du signe de a sur , au sens strict.
Si ∆ = 0 alors ax 2 + bx + c s’annule en un unique réel x0 , et est du signe de a sur
R\{x0 } au sens strict.
Exemple. Donner le signe sur R des expressions x 2 + x + 1, −x 2 + 3x − 2 et x 2 − 4x + 4.

2.5 Racines n-ièmes de l’unité
Soit n ∈ N∗. On va résoudre l’équation z n = 1 d’inconnue z ∈ C.
Dans R, les solutions sont z = 1 si n impair, et z = ±1 si n pair.
Dans C, on a le résultat suivant.
Théorème 31 – Racines n-ièmes de l’unité
L’équation z n = 1 a exactement n solutions distinctes : ei 2kπ/n pour k ∈ 0, n − 1.
Ces nombres complexes sont appelés racines n-ièmes de l’unité.
On note Un l’ensemble de ces nombres ; c’est une partie de U.
2π
On pose aussi ωn = ei n . Ce complexe est appelé racine primitive n-ième de l’unité. Les racines
n-ièmes de l’unité sont alors :
© ª
Un = 1, ωn , ω2n , . . . , ωnn−1
c’est-à-dire que toutes les racines n-ièmes s’expriment en fonction de la racine n-ième
primitive.
B On doit dire une racine n-ième, et la racine n-ième primitive.
Exemple. Pour n = 1, U1 = {1} et ω1 = 1 ; pour n

p= 2, U2 = {−1, 1} et ω2 = −1.
2π 1 3
Pour n = 3, U3 = {1, j , j } avec j = ω3 = ei 3 = − +i .
2 2
Pour n = 4, U4 = {1, −1, i , −i } et ω4 = i .
Exemple. Si n ≥ 2, la somme des racines n-ièmes de l’unité est égale à 0.
Proposition 32 – Interprétation géométrique
Les racines n-ièmes de l’unité forment les sommets d’un polygone régulier à n côtés.

La figure suivante représente les racines cubiques, 4-ièmes et 6-ièmes de l’unité :
i p
1 3
j 2 +i 2 = 1+ j
−1 1
0
p
j 1
−i 3
= 1+ j
2 2
−i
Et celle-ci les racines 11-ièmes de l’unité (pour la lisibilité ω11 est noté ω) :
ω3
4 ω2
ω
ω = e2i π/11
ω5
1
0
ω6
ω10
ω7
ω9
ω8
2.6 Racines n-ièmes d’un nombre complexe

Soient n ∈ N∗ et a ∈ C. On va résoudre l’équation z n = a d’inconnue z ∈ C.
Si a = 0, on a une unique solution : z = 0.
Si a 6= 0, on a le résultat suivant.
Théorème 33 – Racines n-ièmes d’un nombre complexe
Pour tout nombre complexe a = ρei α non nul, l’équation z n = a admet exactement n so-
lutions distinctes appelées racines n-ièmes de a.
p p
Elles sont de la forme n ρ × ei (α+2kπ)/n = z 0 × ωkn , k ∈ 0, n − 1, où z 0 = n ρei α/n est une
racine « évidente » de z n = a.
Exemple. Les racines 4-ièmes de 1−i sont : 21/8e−i π/16 , −21/8 e−i π/16 , 21/8 ei 7π/16 et 21/8e−i 9π/16

3 Nombres complexes et géométrie plane

¡ →− → −¢
On munit le plan d’un repère orthonormé direct O; i , j .
3.1 Alignement et orthogonalité
Commençons par rappeler le lien entre le calcul vectoriel dans la plan et le calcul avec les
nombres complexes.
Proposition 34 – Calculs d’affixes
Soient −
→
u et →
−
v deux vecteurs du plan, z et z ′ deux nombres complexes, M et M ′ deux points
du plan.
1. Si →
−
u est d’affixe z et →
−
v d’affixe z ′ alors →
−
u +→
−
v est d’affixe z + z ′ .
2. Si →
−
u est d’affixe z et λ un réel alors λ.→ −
u est d’affixe λz.
−−→
3. Si M est d’affixe z alors OM est d’affixe z et inversement.
−−−→
4. Si M est d’affixe z et M ′ d’affixe z ′ alors M M ′ est d’affixe z ′ − z.
On peut traduire l’alignement de trois points du plan en termes d’affixe.
Proposition 35 – Affixes et alignement
Soient A, B et C trois points du plan deux à deux distincts, d’affixes respectives a, b et c.

Alors : µ ¶
A, B,C alignés ⇐⇒ arg
a −b
a −c
= 0 [π] ⇐⇒
a −b
a −c
∈ R
Exemple. Les points d’affixes i , 0 et −i sont alignés.
On peut aussi traduire l’orthogonalité de deux vecteurs en termes d’affixe.
Proposition 36 – Affixes et orthogonalité
Soient A, B et C trois points du plan deux à deux distincts, d’affixes respectives a, b et c.

Alors : µ ¶
−→ −→
AB et AC sont orthogonaux ⇐⇒ arg
a −b
a −c
π
= [π] ⇐⇒
2
a −b
a −c
∈i R
Exemple. Les vecteurs d’affixe 1 et i sont orthogonaux.

3 Nombres complexes et géométrie plane 101
3.2 Transformations planes

Définition 37 – Rotations planes
On appelle rotation plane de centre O et d’angle θ ∈ R, l’application qui à un point M du

−−−→
−−→
plan associe le point M tel qu’une mesure de l’angle orienté (OM , OM ′ ) est θ.
′
Proposition 38 – Rotations planes et affixes
R
Soit θ ∈ .
L’application z 7−→ ei θ z de C dans C est la rotation plane de centre O et d’angle θ.
M′
→
− M
j
O →
−
i
π
Exemple. La multiplication par i correspond donc à la rotation de centre O et d’angle .
2
Définition 39 – Translations
→−
On appelle translation de vecteur u , l’application qui à un point M du plan associe le point
−−−→
M ′ tel que M M ′ = →
−
u.
Proposition 40 – Translations et affixes
C
Soit b ∈ .
L’application z 7−→ z + b de C dans C est la translation de vecteur →
−
u d’affixe b.
M′
M
→
−
→
− u
j
O →
−
i

L’addition avec un complexe revient donc géométriquement à faire une translation.

→
−
Exemple. L’addition avec i correspond donc à la translation de vecteur j .
Définition 41 – Homothéties
On appelle homothétie de centre O et de rapport k ∈
−−−→ −−→
R∗, l’application qui à un point M du
plan associe le point M ′ tel que OM ′ = k OM.
Proposition 42 – Translations et affixes
R
Soit k ∈ ∗ .
L’application z 7−→ kz de C dans C est l’homothétie de centre O et de rapport k.
−−−→ −−→
OM ′ = 3OM
M′
→
−
j M
O →
−
i
La multiplication par un complexe a 6= 0 correspond donc géométriquement à une rotation

d’angle arg(a) suivie d’une homothétie de rapport |a|.
→
−
On rappelle aussi que la conjugaison correspond à la symétrie axiale d’axe (0; i ) (l’axe des
abscisses).


➥ Calculer avec des nombres complexes sous forme algébrique ou trigonométrique.
✪ Savoir passer d’une forme à l’autre.
✪ Connaître les propriérés des parties réelles et imaginaires.
✪ Connaître les propriétés de l’argument et du module (notamment l’ingéalité
triangulaire).
➥ Connaître les fonctions trigonométriques circulaires cos, sin et tan, et le formulaire associé.
➥ Simplifier les calculs de trigonométrie grâce l’exponentielle complexe.

✪ Utiliser les formules d’Euler et de De Moivre.
✪ Pour une somme d’exponentielles complexes, utiliser la factorisation de l’angle moyen.
✪ Pour linéariser, utiliser la formule de De Moivre et la formule du binôme.
➥ Connaître les racines de l’unité et résoudre des équations polynomiales complexes.

✪ Connaître les racines carrées, cubiques et 4-ièmes de l’unité.
✪ Différencier la racine n-ième primitive de l’unité des (n − 1) autres racines n-ièmes de
l’unité.
✪ Trouver les deux racines carrées d’un complexes a sous forme algébrique ou
trigonométrique.
✪ Trouver les racines n-ièmes d’un complexe a sous forme algébrique.
✪ Résoudre une équation du second degré à coefficients réels ou complexes grâce au
discriminant.
✪ Étudier le signe d’un polynôme du second degré à coefficients réels grâce à ses racines.

5 Exercices
Calculs dans C
EXERCICE 1. Parties de C
Déterminer les nombres complexes z tels que
|z| = |z − 6 + 5i | |z + i | = 2 z(2z + 1) = 1 |z 2 | = |z|

µ ¶ µ ¶
z + 4i z −1 z +i π
∈R Re =0 Arg = − [π]
5z − 3 z +1 z −i 4
EXERCICE 2. Représentations d’un nombre complexe

p
1. (a) Donner les formes algébriques et trigonométriques de (1 + i )3 et (1 + i 3)11 .
1 − 4i
(b) Donner la forme algébrique de .
1 + 5i
1 − eiθ
2. Soit θ ∈ [0, 2π]. Déterminer module et argument de 1 + e i θ , 1 − e i θ et .
1 + eiθ
EXERCICE 3. Identité du parallélogramme

Montrer que : ¡ ¢
∀(z 1 , z 2 ) ∈ C2 , |z 1 + z 2 |2 + |z 1 − z 2 |2 = 2 |z 1 |2 + |z 2 |2 .
Interpréter géométriquement.
Trigonométrie
EXERCICE 4. Equations et inéquations trigonométriques

Résoudre
¡ dans
¢ R ples équations 1ou inéquations trigonométriques suivantes
¡ ¢ :
π π
2 cos 2x + 3 = 3 ; sin x ≤ − 2 ; cos(2x) ≥ 0 ; tan x ≤ 1 ; tan x + 4 > −1 ;
p
2 cos¡2 x + 3 cos
¢ x + 1¡= 0 ; ¢ sin2
x + 3 cos x − 1 < 0 ; cos(2x) − 3 sin(2x) = 1 ;
sin2 2x + π6 = cos2 x + π3 .
EXERCICE 5. Nombre de solutions d’une équation trigonométrique

Soit n ∈ N∗ . Résoudre dans ]0, π[ l’équation : cos(nθ) = 0. Donner le nombre exact de solutions.
EXERCICE 6. Linéarisation
Linéariser les expressions :
cos6 x ; cos2 x sin4 x ; sin5 x ; cos3 (2x) sin3 x ; cos(2x) cos3 x.
EXERCICE 7. Sommes trigonométriques

n
X n
X
Calculer les sommes : cos(kx) et sin(kx) pour x ∈ R et n ∈ N.
k=0 k=0

5 Exercices 105
EXERCICE 8. Somme trigonométrique

Calculer la somme pour tout entier n ∈ N :
Ã !
n
X n k
(−1) sin(kb + a)
k=0 k
où a et b sont deux réels donnés.
EXERCICE 9. Somme trigométrique

Xn cos(kx)
N
Soit n ∈ . Résoudre dans : R k
= 0.
k=0 cos(x)
EXERCICE 10. Antilinéarisation

Calculer cos(5α) et sin(5α) en fonction respectivement de cos(α) et sin(α). En déduire la valeur
π
de cos 10 .
Equations
polynomiales
EXERCICE 11. Equations du second degré

Résoudre dans C les équations : z 2 − 2i z − 1 + 2i = 0 et z 4 − (5 − 14i )z 2 − 2(12 + 5i ) = 0.
EXERCICE 12. Le nombre complexe j
Simplifier les expressions (1 + j )5 , 1
(1+j )4
,
¡ ¢n
(1 + j )n et 1 + j 2 (n ∈ N).
EXERCICE 13. Racines n-ièmes d’un nombre complexe
1. Résoudre les équations suivantes : z 3 = −1, z 4 − i = 0 et z 3 = −(2 + i )3 .

2. Résoudre dans C : z 6 − 2z 3 + 2 = 0 et z 6 − (3 − 2i )z 3 + (2 − 2i ) = 0.
EXERCICE 14. Systèmes somme-produit
½
1. Résoudre dans R : (S) x+y = 2
x y = −1
.
2π
2. On pose : ω = e i 7 , u = ω + ω2 + ω4 et v = ω3 + ω5 + ω6 . Calculer u + v , uv et en déduire la
valeur de u et v .
EXERCICE 15. Racine n-ième d’un nombre complexe

µ ¶ µ ¶
z +1 3 z −1 3
Résoudre dans C : + = 1.
z −1 z +1
EXERCICE 16. Racine n-ième d’un nombre complexe
Soit n ∈ N∗ . Résoudre dans C : (z + 1)n = i (1 − z)n .

EXERCICE 17. Racine n-ième de l’unité

n−1
X
N 2π
Soit n ∈ ∗ . On pose : ω = e i n et S n = (k + 1)ωk . Calculer (1 − ω) × S n et en déduire S n .
k=0

X
N
Soit n ∈ ∗ . Calculer : |z − 1|.
z∈Un

n−1
X
Soit n ∈ N∗. On pose : ω = e i 2π
n . Calculer : (1 + ωk )n .
k=0
Sujets de synthèse
EXERCICE 20. Une fonction numérique à valeurs complexes

On note E = {z ∈ C/ I m(z) > 0} et F = {z ∈ C/ |z| < 1}.
µ ¶
z −i
1. Montrer que : ∀z ∈ C, z ∈ E =⇒ ∈F .
z +i
2. On définit alors l’application :
f :E −→ F
z −i
z 7−→
z +i
Établir que f est bijective de E sur F . Déterminer l’application f −1 .

3. On considère le plan muni d’un repère orthonormé direct.
© ª
(a) On note E 1 = z ∈ E ; Re(z) = 0 . Déterminer l’ensemble f (E 1 ) et le représenter
graphiquement.
© ª
(b) On note E 2 = z ∈ E ; |z| = 1 . Déterminer l’ensemble f (E 2 ) et le représenter
graphiquement .
EXERCICE 21. Une fonction numérique à valeurs complexes

¡ ¢
Soit f : C∗ → C définie par f (z) = 12 z + z1 . On identifie z ∈ C et le point M z d’affixe z.
1. Quels sont les points z invariants par f ?
2. Quelle est l’image par f du cercle trigonométrique T ?
3. Quelle est l’image réciproque par f de la droite réelle ?
EXERCICE 22. Surjectivité de l’exponentielle complexe

Montrer que la fontion exponentielle est un surjection de C vers C∗. Est-elle injective ?
5 Exercices 107
EXERCICE 23. Cas d’égalité dans l’inégalité triangulaire

Il s’agit de montrer que, pour n Ê 2, on a :
µ ¯¯ n ¯
¯ n ¶
¯X ¯ X
C ∗ n
∀(z 1 , . . . , z n ) ∈ ( ) , ¯ z ¯= |z | ⇐⇒ tous les z k ont le même argument
¯k=1 k ¯ k=1 k
1. Montrer que :
¯ ¯
¯Xn ¯ X n
¯ ¯
tous les z k ont le même argument =⇒ ¯ zk ¯ = |z |
¯k=1 ¯ k=1 k
2. (a) Vérifier que, pour z 1 et z 2 non nuls :
|z 1 + z 2 | = |z 1 | + |z 1 | =⇒ z 1 et z 2 ont le même argument
(b) En déduire par récurrence que, pour n Ê 2 :

µ ¯¯ n ¯
¯ Xn ¶
X
C ∗ n
∀(z 1 , . . . , z n ) ∈ ( ) ,
¯
¯
¯
z ¯= |z | =⇒ tous les z k ont le même argument
¯k=1 k ¯ k=1 k


109
Chapitre 4
Généralités sur les fonctions numériques
Sommaire
1 Étude d’une fonction réelle d’une variable réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
1.1 Fonction réelle d’une variable réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
1.2 Ensemble de définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
1.3 Représentation graphique de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
1.4 Opérations sur les fonctions numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
1.5 Formules de dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
1.6 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
1.7 Extremums d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
2 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
2.1 Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
2.2 Fonctions logarithmes et exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
2.3 Fonctions logarithmes et exponentielles en base a . . . . . . . . . . . . . . 126
2.4 Fonctions puissances réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
2.5 Croissances comparées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2.6 Fonctions sinus et cosinus hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
2.7 Fonctions circulaires réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

110 C HAPITRE 4 : Généralités sur les fonctions numériques
1 Étude d’une fonction réelle d’une variable réelle

¡ →− → −¢
On munit le plan d’un repère orthonormé O; i , j .
1.1 Fonction réelle d’une variable réelle

Définition 1 – Fonction réelle d’une variable réelle
On appelle fonction réelle d’une variable réelle toute application f : A −→ R, où A est une
partie non vide de . R
Pour simplifier on dira que f est une fonction réelle.
B ATTENTION : il faut veiller à ne pas confondre les notations f et f (x). f désigne l’application
et f (x) désigne l’image de x. L’application f peut être aussi notée x 7−→ f (x).
1.2 Ensemble de définition

Définition 2 – Ensemble de définition
L’ensemble définition d’une fonction réelle f est le sous-ensemble de R, noté D f , formé
R
des x ∈ pour lesquels l’expression f (x) est définie.
p
Exemple. f (x) = x donne D f = R+ = [0, +∞[.
Exemple. f (x) = ln(x) donne D f = R∗+ =]0, +∞[.
Exemple. f (x) = ex donne D f = . R
Exemple. f (x) =
1
1 − x2
donne D f = R\{−1, 1} =] − ∞, −1[∪] − 1, 1[∪]1, +∞[.
1.3 Représentation graphique de f

Définition 3 – Graphe de f
Soit f : D f −→ R. Le graphe de f est le sous-ensemble de R2, noté G f , défini par :

©¡ ¢± ª
Gf = x, f (x) x ∈ D f
¡ →
− →−¢
Représenter f c’est représenter G f dans le repère O; i , j . On obtient une courbe du plan,
appelée représentation graphique de f , notée C f .

1 Étude d’une fonction réelle d’une variable réelle 111
© ª
Exemple. f : x 7−→ ln(x) donne G f = (x, ln x)/ x > 0 .
3
Cf
2
−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1
−2
−3
−4
Définition 4 – Périodicité
R
Soient f : D f −→ et T > 0.
La fonction f est dite périodique de période T , ou encore T -périodique, lorsque :
(i) ∀x ∈ D f , x + T ∈ D f
(ii) ∀x ∈ D f , f (x + T ) = f (x).
R
On peut remarquer que si D f = , la condition (i) est automatiquement vérifiée. On montre
facilement que la condition (ii) entraîne que :
∀x ∈ R, ∀k ∈ Z, f (x + kT ) = f (x)
Interprétation graphique de la périodicité. Si f est T -périodique alors son graphe est invariant
→
−
par toute translation de vecteur kT. i , avec k ∈ . Z
Il suffit donc d’étudier f £sur un¤ intervalle de longueur T , ie du type [a, a + T ] avec a ∈ (on R
choisit souvent [0, T ] ou − T2 , T2 ). Le reste du graphe de f se déduit ensuite par translations de
→
−
vecteurs kT. i , k ∈ . Z
Exemple. La fonction cos est 2π-périodique.
→
− 1 →
−
M ′′ −2π. i M 2π. i M′ C cos
b b b
−3π −π π 3π 5π 7π
−2π 2 −π 2 2 π 2 2π 2 3π 2
−1

Définition 5 – Parité
Soient f : D f −→ R et A ⊆ D f .
1. La fonction f est dite paire sur A lorsque :
(i) ∀x ∈ A, −x ∈ A
(ii) ∀x ∈ A, f (−x) = f (x).
2. La fonction f est dite impaire sur A lorsque :
(i) ∀x ∈ A, −x ∈ A
(ii) ∀x ∈ A, f (−x) = − f (x).
Évidemment si D f = R, la condition (i) est automatiquement vérifiée.
Interprétation graphique de la parité
1. Si f est paire alors son graphe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (0y).
R
On peut donc restreindre l’étude à D f ∩ + ou D f ∩ − . R
2. Si f est impaire alors son graphe est symétrique par rapport au point O.
R
On peut donc restreindre l’étude à D f ∩ + ou D f ∩ − . R
Exemple. La fonction x 7−→ x 2 est paire sur R, et x 7−→ x 3 est impaire sur R.
4
Cf
3
4 Cf
2 b
3 M
1
2
b b
M′ M −2 −1 1 2
1
−1
′
M
−2 −1 1 2
b
−2
−1
−3
−4

1.4 Opérations sur les fonctions numériques
Définition 6 – Somme de deux fonctions

Soient f et g deux fonctions numériques définies sur le même intervalle I .
R
La fonction f + g est définie sur I et à valeurs dans . Elle vérifie :
∀x ∈ I , ( f + g )(x) = f (x) + g (x)
B Le signe + peut donc désigner différentes additions : celle des nombres ou celle des fonc-
tions.
Définition 7 – Produit de deux fonctions

Soient f et g deux fonctions numériques définies sur le même intervalle I .
R
La fonction f × g est définie sur I et à valeurs dans . Elle vérifie :
∀x ∈ I , ( f × g )(x) = f (x) × g (x)
Souvent la fonction f × g est noté f g .
La somme et le produit de fonctions numériques héritent des propriétés de la somme et du

produit de nombres : associativité, commutativité, distributivité etc...
Définition 8 – Composée de deux fonctions
Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I et à valeurs dans un intervalle
noté J .
Soit g une fonction numérique définies sur l’intervalle J .
R
La fonction g ◦ f est définie sur I et à valeurs dans . Elle vérifie :
¡
∀x ∈ I , (g ◦ f )(x) = g f (x))
Cette opération est associative mais non commutative : même si les deux composées g ◦ f et
f ◦ g sont possibles, il n’y a aucune rauson qu’elles soient égales.
Certaines opérations simples ont une bonne interprétation géométrique.
Représentation graphique de x 7−→ f (x + a)

R
Soit a ∈ . Le graphe de la fonction x 7−→ f (x + a) se déduit du graphe de f par translation de
→
−
vecteur −a i .

Représentation graphique de x 7−→ f (x) + a
→
−
R
Soit a ∈ . Le graphe de la fonction x 7−→ f (x) + a se déduit du graphe de f par translation de
vecteur a j .
Représentation graphique de x 7−→ f (a − x)

Soit a ∈
a
R. Le graphe de la fonction x 7−→ f (a − x) se déduit du graphe de f par symétrie d’axe
x= .
2
Représentation graphique de x 7−→ f (ax)

Soit a ∈ R. Le graphe de la fonction x 7−→ f (ax) se déduit du graphe de f par « contraction » ou
1
« dilatation » selon l’axe des abscisses de rapport .
a
Représentation graphique de x 7−→ a f (x)

R
Soit a ∈ . Le graphe de la fonction x 7−→ a f (x) se déduit du graphe de f par « contraction » ou
« dilatation » selon l’axe des ordonnées de rapport a.

Représentation graphique d’une bijection réciproque

Si f est une bijection d’un intervalle I vers un intervalle J , alors elle admet une bijection
réciproque f −1 : J −→ I . Son graphe se déduit de celui de f grâce à la symétrie d’axe y = x.
1.5 Formules de dérivation

Pour le moment nous admettrons la dérivabilité des fonctions numériques étudiées.
On se donne donc f une fonction numérique définie et dérivable sur un intervalle I .
L’existence de la dérivée en un
¡ point x¢0 ∈ I s’interprète graphiquement par l’existence d’une
droite tangente à C f au point x0 , f (x0 ) . Son équation est la suivante :
y = f ′ (x0 ) × (x − x0 ) + f (x0 )
Si f et g sont deux fonctions numériques dérivables sur un intervalle I , et si λ est une constante
réelle, alors les fonctions f + g , λ f et f g sont elles aussi dérivables sur I et on a, pour tout x ∈ I :
( f + g )′ (x) = f ′ (x) + g ′ (x)

(λ f )′ (x) = λ f ′ (x)
( f g )′ (x) = f ′ (x)g (x) + f (x)g ′ (x)
1 f
Si on suppose de plus que la fonction g ne s’annule pas sur I , alors les fonctions et sont
g g
elles aussi dérivables sur I et on a, pour tout x ∈ I :
µ ¶′
1 g ′ (x)
(x) = −
g g (x)2
µ ¶′
f f ′ (x)g (x) − f (x)g ′ (x)
(x) =
g g (x)2

Proposition 9 – Dérivée d’une composée
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et à valeurs dans un intervalle J .

Soit g une dérivable sur J .
Alors la fonction g ◦ f est dérivable sur I , et :
¡ ¢
∀x ∈ I , (g ◦ f )′ (x) = f ′ (x) × g ′ f (x)
On en déduit la formule de dérivée d’une bijection réciproque.
Proposition 10 – Dérivée d’une bijection réciproque
Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I .

On note J son intervalle image : J = f (I ).
La fonction f est alors bijective de I vers J , et admet une bijection réciproque f −1 : J −→ I .
Si f est dérivable sur I et si f ′ ne s’annule pas sur I alors f −1 est dérivable sur J et :
1
∀y ∈ J , ( f −1 )′ (y) = ¡ ¢
f ′ f −1 (y)
Si f est plusieurs fois dérivable sur I , on peut définir ses dérivées successives f ′ , f ′′ = ( f ′ )′ , . . .
Soit n ∈ N∗. Si f est n fois dérivable sur un intervalle I , on note f (n) sa dérivée n fois.
¡ ¢′
On adopte aussi la convention f (0) = f . On a la formule de récurrence f (n) = f (n−1) .
1.6 Monotonie
Définition 11 – Fonction croissante

Soit f fonction définie sur un intervalle I de R.
On dit que f est croissante sur I lorsque :
∀(x, y) ∈ I 2 , x < y =⇒ f (x) ≤ f (y)
Dans ce cas la réciproque est fausse, mais on a tout de même :
f (x) < f (y) =⇒ x < y
B Si on a seulement l’inégalité large f (x) ≤ f (y), alors on ne peut pas comparer x et y.

Définition 12 – Fonction strictement croissante

Soit f fonction définie sur un intervalle I de . R
On dit que f est strictement croissante sur I lorsque :
∀(x, y) ∈ I 2 , x < y =⇒ f (x) < f (y)
La réciproque est vraie :

x < y ⇐⇒ f (x) < f (y)
On peut utiliser des inégalités larges :
x ≤ y ⇐⇒ f (x) ≤ f (y)
Il est clair qu’une fonction strictement croissante sur I est un cas particulier de fonction
croissante sur I .
On comprend donc, à la vue de ces propriétés, pourquoi on préfèrera utiliser des fonctions
strictement croissantes à des fonctions croissantes.
Exemple. x 7−→ x 2 est strictement croissante sur R+ = [0, +∞[, donc croissante sur R+.
Exemple. x 7−→ ⌊x⌋ est croissante sur R, mais n’est pas strictement croissante sur R.
Définition 13 – Fonction décroissante/strictement décroissante

1. f est décroissante sur I lorsque :
∀(x, y) ∈ I 2 , x < y =⇒ f (x) ≥ f (y)
2. f est strictement décroissante sur I lorsque :
∀(x, y) ∈ I 2 , x < y =⇒ f (x) > f (y)
Exemple. x 7−→ x 2 est strictement décroissante sur R− =] − ∞, 0], donc décroissante sur R−.
Définition 14 – Fonction monotone/strictement monotone

1. f est dite monotone sur I lorsqu’elle est croissante ou décroissante sur I .
2. f est dite strictement monotone sur I lorsqu’elle est strictement croissante ou stric-
tement décroissante sur I .

Exemple. x 7−→ x 2 n’est pas monotone sur R.

Résolution graphique d’équations ou d’inéquations
Pour des fonctions non monotones, on peut utiliser leur représentation graphique pour ré-
soudre des équation ou des inéquations.
1
Exemple. Résoudre ≤ 1.
x
p p
Exemple. Si a > 0, résoudre x 2 = a, |x| = a, x = a, x 2 ≤ a, |x| ≤ a, x ≤ a, x 2 ≥ a, |x| ≥ a et
p
x ≥ a.
p p
Exemple. Résoudre x + 1 ≤ x − 1 et x + 1 ≥ x − 1.
On rappelle deux théorèmes bien connus qui seront démontrés dans le chapitre sur les fonc-
tions numériques dérivables.
Théorème 15 – Monotonie et signe de la dérivée
On suppose que f est une fonction dérivable sur un intervalle I .

1. f est croissante sur I ⇐⇒ ∀x ∈ I , f ′ (x) ≥ 0
2. f est décroissante sur I ⇐⇒ ∀x ∈ I , f ′ (x) ≤ 0
3. f est constante sur I ⇐⇒ ∀x ∈ I , f ′ (x) = 0
Dans le théorème suivant, on dira qu’une propriété pour tout réel x dans un intervalle I sauf
N
en des points isolés, lorsqu’il existe une partie (finie ou infinie) A de et une famille de points
(xk )k∈A dans I tels que la propriété est vrai pour tout x ∈ I \{xk ; k ∈ A}.
Théorème 16 – Stricte monotonie et signe de la dérivée
On suppose que f est une fonction dérivable sur un intervalle I .

1. f ′ (x) > 0 pour tout x ∈ I sauf éventuellement en des points isolés =⇒ f strictement
croissante sur I
2. f ′ (x) < 0 pour tout x ∈ I sauf éventuellement en des points isolés =⇒ f strictement
décroissante sur I
B ATTENTION : si f est strictement croissante sur un intervalle I , on ne peut pas dire que
f ′ (x) > 0 pour tout x ∈ I , comme le montre l’exemple de la fonction x 7−→ x 3 .
Exemple. La fonction f : x 7−→ x − ln(1 + x 2 ) est strictement croissante sur R.

Exemple. La fonction f : x 7−→ x + cos(x) est strictement croissante sur R.
Théorème 17 – Monotonie et bijection réciroque
Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I .

Alors sa bijection réciproque f −1 est strictement monotone sur J , de même sens de
variation que f .
1.7 Extremums d’une fonction
Dans tout le paragraphe, f est une fonction définie sur un intervalle I .
Définition 18 – Fonction majorée
On dit que f est majorée sur I lorsque :
∃M ∈ R; ∀x ∈ I , f (x) ≤ M
Le réel M est alors appelé majorant de f sur I .
Dans ce cas, le réel M n’est pas unique puisque tout réel M ′ ≥ M : ∀x ∈ I , f (x) ≤ M ≤ M ′ .
On ne dit donc pas le majorant, mais un majorant de f sur l’intervalle I .
Exemple. x 7−→
1
1 + x2
est majorée sur R.
Définition 19 – Fonction minorée
On dit que f est minorée sur I lorsque :
∃m ∈ R; ∀x ∈ I , m ≤ f (x)
Le réel m est alors appelé minorant de f sur I .
Le réel m n’est pas unique.
Exemple. x 7−→ x 2 − 2x + 2 est minorée sur R.

Si on note − f la fonction x 7−→ − f (x) on peut facilement vérifier que :
f est minorée sur I ⇐⇒ − f est majorée sur I

Définition 20 – Fonction bornée
On dit que f est bornée sur I lorsqu’elle est à la fois majorée et minorée sur I :
∃(m, M) ∈ R2; ∀x ∈ I , m ≤ f (x) ≤ M

Dans les inégalités, on a souvent besoin de manipuler des nombres positifs. De plus la définition
précédente demande un double travail : trouver un majorant et un minorant. On préfèrera donc
utiliser la caractérisation suivante d’une fonction bornée.
Proposition 21 – Caractérisation des fonctions bornées
On a :
f est bornée sur I ⇐⇒ | f | est majorée sur I
Exemple. cos et sin sont bornées sur R.

Exemple. x 7−→
sin(x)
1 + x2
est bornée sur R.
Définition 22 – Maximum global
Soit x0 ∈ I .
On dit que f admet un maximum global en x0 sur I , lorsque f est majorée sur I par f (x0 ) :
∀x ∈ I , f (x) ≤ f (x0 )
Une fonction qui admet un maximum global est une fonction majorée.
B Une fonction majorée peut ne pas avoir de maximum global.
1
Exemple. La fonction x 7−→ 1− est majorée sur I =]0, +∞[ mais n’a pas de maximum global
x
sur I .
Définition 23 – Minimum global
Soit x0 ∈ I .
On dit que f admet un minimum global en x0 sur I , lorsque f est minorée sur I par f (x0 ) :
∀x ∈ I , f (x) ≥ f (x0 )
Une fonction qui admet un minimum global est une fonction minorée.
On peut remarquer que : f a un minimum global en x0 sur I si, et seulement si, − f a un

maximum global en x0 sur I .

Définition 24 – Extremum global
Soit x0 ∈ I .
On dit que f admet un extremum global en x0 sur I , lorsque f admet en x0 un maximum
global ou un minimum global sur I .
Ces notions peuvent être localisées.
Définition 25 – Maximum local

Soit x0 ∈ I .
On dit que f admet un maximum local en x0 sur I , lorsqu’il existe δ > 0 tel que f est
majorée par f (x0 ) sur ]x0 − δ, x0 + δ[∩I :
∃δ > 0; ∀x ∈]x0 − δ, x0 + δ[∩I , f (x) ≤ f (x0 )
On voit facilement que si f a un maximum global en x0 sur I , alors f a un maximum local en x0

sur I .
B La réciproque est fausse : f peut avoir un maximum local en x0 sur I , sans avoir de maximum
global en x0 sur I .
Exemple. La fonction x 7−→ (2x 3 − 3x 2 )/5 a un maximum local en 0 sur R, qui n’est pas un
maximum global sur R.
M
b
Définition 26 – Minimum local

Soit x0 ∈ I .
On dit que f admet un minimum local en x0 sur I , lorsqu’il existe δ > 0 tel que f est mino-
rée par f (x0 ) sur ]x0 − δ, x0 + δ[∩I :
∃δ > 0; ∀x ∈]x0 − δ, x0 + δ[∩I , f (x) ≥ f (x0 )
Si f a un minimum global en x0 sur I , alors f a un minimum local en x0 sur I . La réciproque est

fausse.
On peut remarquer que : f a un minimum local en x0 sur I si, et seulement si, − f a un maximum
local en x0 sur I .

Définition 27 – Extremum local

Soit x0 ∈ I .
On dit que f admet un extremum local en x0 sur I , lorsque f admet en x0 un maximum
local ou un minimum local sur I .
Pour simplifier la recherche d’extremums d’une fonction, on utilise sa dérivée (lorsque c’est
possible).
◦
Si I est un intervalle, on notera I son intérieur, c’est-à-dire l’intervalle I privé de ses bornes.
Théorème 28 – Condition nécessaire d’extremum local

Soit f fonction dérivable sur un intervalle I et telle que :
(i) f admet un extremum local en x0 ∈ I
◦
(ii) x0 ∈ I , ie x0 ∈ I et x0 n’est pas une borne de I .
Alors f ′ (x0 ) = 0.
La tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse x0 est donc horizontale.
B La réciproque est fausse comme le montre l’exemple de la fonction x 7−→ x 3 en 0.

◦
B L’hypothèse x0 ∈ I est essentielle, comme le montre l’exemple de la fonction x 7−→ x sur [0, 1].
Ce résultat donne donc des points x0 candidats à être des points où f a un extremum local. On
◦
les appelle points critiques de f ; ils vérifient x0 ∈ I et f ′ (x0 ) = 0.
Il faut ensuite vérifier, pour chaque point critique, si on trouve bien un extremum local.
Pour terminer l’étude, il faut déterminer si les bornes de l’intervalle donnent d’autres extre-
mums (ces points exclus de la recherche précédente).
En pratique, tout est résumé dans le tableau de variations de f .
Exemple. Déterminer les extremums locaux et globaux de la fonction f : x 7−→ x 2 sur [−1, 2].
Exemple. Déterminer les extremums locaux et globaux de la fonction

f : x 7−→ −8x 3 + 2x 4 + 8x 2 − 1 sur R, puis sur [3/2, +∞[.
2 Fonctions usuelles
2.1 Fonctions trigonométriques
Les fonctions cos et sin sont dérivables (donc continues) sur R et :
∀x ∈ R, sin′ (x) = cos(x) et cos′ (x) = − sin(x)

2 Fonctions usuelles 123
³ π´
Sur leur représentation graphique, on retrouve que ∀x ∈ R, sin x+
2
= cos(x) :
C cos
1
C sin
−3π −π π 3π 5π
−2π 2 −π 2 2 π 2 2π 2
−1
Proposition 29 – Limites usuelles
1. Sans forme indéterminée : lim sin(x) = 0 = sin(0) et lim cos(x) = 1 = cos(0)

x→0 x→0
sin(x) 1 − cos(x) 1
2. Avec forme indéterminée : lim =1 et lim =
x→0 x x→0 x2 2
La fonction tan est dérivable (donc continue) sur Dtan = R\© π2 + kπ; k ∈ Zª et :
1
∀x ∈ Dtan , tan′ (x) = = 1 + tan2 (x)
cos2 (x)
Représentation graphique :
3 C tan
−3π −π π 3π 5π
2 −π 2 2 π 2 2π 2
−1
−2
−3
−4
−5

1. Sans forme indéterminée : lim tan(x) = 0 = tan(0)

x→0
tan(x)
2. Avec forme indéterminée : lim =1
x→0 x
2.2 Fonctions logarithmes et exponentielles

La fonction exponentielle est, pour le moment, définie comme étant l’unique fonction dérivable
R
sur , égale à sa dérivée, et prenant la valeur 1 en 0. On la note exp ou x 7−→ ex .
Proposition 31 – Propriétés de la fonction exponentielle
1. ∀x ∈ R, ex > 0 et donc ex 6= 0
2. e0 = 1
ea
3. ∀(a, b) ∈ R2 , ea+b = ea × eb , e−a =
1
ea
et ea−b =
eb
4. ∀a ∈ R , ∀n ∈ , Z ¡ a ¢n
e = ena
5. ∀x ∈ R
¡ x ¢′
, e = ex
1 p 1
Ainsi on a e 2 = e, e−1 = . . .
e
Représentation graphique :
C exp
−5 −4 −3 −2 −1 1 2
−1

1. Sans forme indéterminée :

lim ex = 1 = e0 lim ex = +∞ lim ex = 0
x→0 x→+∞ x→−∞
2. Avec forme indéterminée :
ex − 1 ex
lim =1 lim = +∞ lim xex = 0
x→0 x x→+∞ x x→−∞
La fonction exp est continue (car dérivable) et strictement croissante sur R:
x −∞ +∞
exp +∞
0
D’après le théorème de la bijection monotone, elle induit une bijection de R sur R∗+ =]0, +∞[.
On note ln : R∗+ −→ R sa bijection réciproque. Cette fonction est appelée logarithme népérien.
On démontrera dans le chapitre sur la dérivabilité qu’elle est dérivable (donc continue) sur R∗+ .
Par définition de la bijection réciproque, on a ∀x ∈ R, ln ex = x et ∀x > 0, eln(x) = x. De plus :

¡ ¢
∀x ∈ R, ∀y > 0, ex = y ⇐⇒ x = ln y
Proposition 33 – Propriétés de la fonction logarithme népérien
1. ln(x) = 0 ⇐⇒ x = 1 et ln(x) = 1 ⇐⇒ x = e
µ ¶ ³a´
R
¡ ∗ ¢2
2. ∀(a, b) ∈ + , ln(ab) = ln(a) + ln(b), ln
1
a
= − ln(a) et ln
b
= ln(a) − ln(b)
Z
3. ∀a > 0, ∀n ∈ , ln(a n ) = n ln(a)
¡ ¢′ 1
4. ∀x > 0, ln(x) =
x
1. Sans forme indéterminée :

lim ln(x) = 0 = ln(1) lim ln(x) = +∞ lim ln(x) = −∞
x→1 x→+∞ x→0+
2. Avec forme indéterminée :
ln(x) ln(1 + h) ln(x)
lim = lim =1 lim =0 lim x ln(x) = 0
x→1 x − 1 h→0 h x→+∞ x x→0+

Les courbes représentatives de exp et ln sont symétriques par rapport à y = x :
C exp
y =x
7
C ln
2
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7
−1
−2
−3
−4
−5
2.3 Fonctions logarithmes et exponentielles en base a

Soit a > 0 tel que a 6= 1, ie a ∈]0, 1[∪]1, +∞[. On définit les fonctions logarithmes et exponentielles
en base a par :
∀x > 0, loga (x) =
ln(x)
ln(a)
et R
∀x ∈ , a x = ex ln(a)
Pour a = e, on retrouve les fonctions logarithme népérien et exponentielle.
On peut montrer qu’elles sont bijections réciproques l’une de l’autre :
∀x > 0, a loga (x) = x et

¡
R
∀x ∈ , loga a x ) = x
Exemple. log2 (256) = log2 (28 ) = 8

On utilisera principalement que : ∀n ∈ N, log10(10n ) = log2(2n ) = n.
La fonction loga est dérivable (donc continue) sur R∗+ , de dérivée :
1
∀x > 0, log′a (x) =
x ln(a)

R
La fonction x 7−→ a x est dérivable (donc continue) sur , de dérivée :
¡ ¢′
R
∀x ∈ , a x = ln(a)a x
Ces formules permettent l’étude du signe de la dérivée, puis des variations de

¡ la fonction.
¢
B Pour dériver x 7−→ u(x)v (x) , il faut revenir à la définition u(x)v (x) = ev (x)×ln u(x)
.
Exemple. Calculer la dérivée de x x .
2.4 Fonctions puissances réelles

Soit α ∈ R. La fonction puissance α est définie sur R∗+ =]0, +∞[ par :
∀x > 0 x α = eα ln(x)
Si α > 0, on pose aussi 0α = 0. De plus 00 = 1.
Donc si α ≥ 0 la fonction puissance α est définie sur R+.

On peut vérifier qu’on généralise ainsi sur R∗+ les fonctions puissances entières, et racines
n-ièmes, à des puissances quelconques.
B ATTENTION : la fonction x 7−→ x α est définie au moins sur ]0, +∞[. Par exemple la fonction
R
x 7−→ x 2 est définie sur tout entier ! ! De plus la formule x α = eα ln(x) n’est intéressante que si
Z
α ∉ : par exemple écrire x 2 = e2ln(x) n’est pas plus simple que x 2 = x × x.
Les propriétés algébriques sont inchangées.
Proposition 35 – Propriétés des fonctions puissances
On se donne x > 0, y > 0 et (α, β) ∈ 2 . R

1 xα
1. x α x β = x α+β , α = x −α et β = x α−β ;
x x
¡ α ¢β αβ
¡ β α
2. x =x = x ) ;
3. (x y)α = x α y α = y α x α = (y x)α .
R
La fonction x 7−→ x α est dérivable (donc continue sur ∗+ ), de dérivée :
¡ ¢′
∀x > 0, x α = αx α−1
On en déduit qu’elle est strictement croissante si α > 0, strictement décroissante si α < 0

(et constante égale à 1 si α = 0).
Il faut connaître par coeur les limites suivantes :



0
 si α > 0
α
lim x = 1 si α = 0
x→0+ 

+∞ si α < 0

et : 
 si α > 0
+∞

α
lim x = 1 si α = 0
x→+∞ 

0 si α < 0
On a les tableaux de variations :
Cas α > 0 Cas α < 0
x 0 +∞ x 0 +∞
+∞ +∞
x 7−→ x α 0 x 7−→ x α 0
et les représentations graphiques (les cas α < 1 et α > 1 seront étudiés dans le chapitre sur la
dérivabilité) :
4 α>1 α=1
0<α<1
2
α=0
1
α<0
−1 1 2 3 4
R
Pour α > 0, la fonction f : x 7−→ x α est continue et strictement croissante sur + et f ( + ) = + R R
R
donc d’après le théorème de la bijection monotone, elle est bijective de + vers + . De plus R
pour x et y réels positifs :
x α = y ⇐⇒ x = y 1/α
donc la bijection réciproque de x 7−→ x α est y 7−→ y 1/α .

Pour α < 0, la fonction f : x 7−→ x α est continue et strictement décroissante sur R∗+ et
R R
f ( ∗+ ) = ∗+ donc d’après le théorème de la bijection monotone, elle est bijective de R∗+ vers
R ∗
+ . De plus pour x et y réels strictement positifs :
x α = y ⇐⇒ x = y 1/α
donc la bijection réciproque de x 7−→ x α est y 7−→ y 1/α .
2.5 Croissances comparées

On peut montrer que pour tout x > 0 : ln(x) ≤ x − 1 et donc ln(x) ≤ x.
2 α/2
Soit α > 0. Si x > 0 on a x α/2 > 0, donc l’inégalité précédente donne : ln(x) ≤ x .
α
ln(x) 2 −α/2
On en déduit que pour x ≥ 1 : 0 ≤ ≤ x .
xα α
ln(x)
Le théorème des gendarmes permet de conclure que lim = 0.
x→+∞ x α
µ ¶
(ln x)β ln x β
Plus généralement si α > 0 et β > 0 : = .
xα x α/β
On obtient le premier résultat suivant.
Théorème 36 – Croissances comparées
(ln x)β
Si α > 0 et β > 0 : lim =0
x→+∞ x α
1
En posant x = on obtient un résultat analogue en 0+ .
X
Si α > 0 et β > 0 : lim | ln x|β x α = 0

x→0+
³ ´
eαx x α−β lnxx
D’autre part pour α > 0 et β > 0 : =e .
xβ
ln x
Comme lim = 0 on obtient un nouvelle croissance comparée.
x→+∞ x
eαx
Si α > 0 et β > 0 : lim = +∞
x→+∞ xβ
En posant x = −X on obtient un dernier résultat.

Si α > 0 et β > 0 : lim |x|β eαx = 0

x→−∞
De manière mnémotechnique, on peut retenir que : ln ≪ puissance ≪ exp
2.6 Fonctions sinus et cosinus hyperboliques

On appelle fonctions sinus hyperbolique et cosinus hperbolique les fonctions sh et ch définies
par :
ex − e−x ex + e−x
∀x ∈ , R sh(x) =
2
et ch(x) =
2
La fonction sh est impaire, et la fonction ch est paire :
∀x ∈ R, sh(−x) = − sh(x) et ch(−x) = ch(x)
On a ∀x ∈ R, ch x ≥ 1 et sh(x) ≥ 0 ⇐⇒ x ≥ 0.
Ces deux fonctions sont dérivables (donc continues) sur R:

∀x ∈ R, (sh)′ (x) = ch(x) et (ch)′ (x) = sh(x)
D’autre part :
lim sh(x) = lim ch(x) = +∞ et lim sh(x) = −∞ et lim ch(x) = +∞

x→+∞ x→+∞ x→−∞ x→−∞
On a donc le tableau de variation suivant pour ch :
x −∞ 0 +∞
sh(x) − 0 +
+∞ +∞
ch
1
et pour sh :
x −∞ 0 +∞
ch(x) +
+∞
sh 0
−∞

Leurs représentation graphiques :
C ch 2
−4 −3 −2 −1 1 2 3
−1
C sh −2
−3
−4
2.7 Fonctions circulaires réciproques
Les fonctions circulaires ne sont évidemment pas bijectives sur tout leur ensemble de définition,
mais certaines restrictions convenablement choisies peuvent l’être. Les bijections réciproques
correspondantes définissent de nouvelles fonctions qui sont très importantes, notamment en
calcul intégral.
2.7.1 Arc sinus

h π πi
La fonction sin est continue et strictement croissante sur − , . Elle induit donc une bijection
h π πi 2 2
de − , vers l’intervalle image qui est ici [−1, 1].
2 2
h π πi
Sa bijection réciproque est appelée fonction arc sinus, notée arcsin : [−1, 1] −→ − , .
2 2
Elle est définie par :

 

 x = arcsin(y) 
sin(x) = y
 h π πi  h π πi
x∈ − , ⇐⇒ x ∈ − ,

 2 2 
 2 2
 
y ∈ [−1, 1] y ∈ [−1, 1]

y = arcsin(x)
y = sin(x)
− π2 −1 1 π
2
Proposition 40 – Propriétés de la fonction arc sinus
1. arcsin est impaire : ∀y ∈ [−1, 1], arcsin(−y) = − arcsin(y)

2. arcsin est continue et strictement croissante sur [−1, 1].
h π πi
3. ∀y ∈ [−1, 1], sin(arcsin(y)) = y et ∀x ∈ − , , arcsin(sin(x)) = x
2 2
4. On a les valeurs remarquables :
p
1 1 3
y 0 p 1
22 2
arcsin(y) 0 π/6 π/4 π/3 π/2
5. arcsin est dérivable sur ] − 1, 1[ et :

1
∀y ∈] − 1, 1[, arcsin′ (y) = p
1 − y2
En −1 et 1, arcsin n’est pas dérivable et sa courbe représentative admet des demi-tangentes

verticales en ces points.

¡ ¢
B Attention à ne pas simplifier abusivement : arcsin sin(x) qui est défini sur
h π πi
R.
arcsin(sin(x)) = x si, et seulement si, x ∈ − , .
2 2
2.7.2 Arc cosinus
La fonction cos est continue et strictement décroissante sur [0, π]. Elle induit donc une bijection
de [0, π] vers l’intervalle image qui est ici [−1, 1].
Sa bijection réciproque est appelée fonction arc cosinus, notée arccos : [−1, 1] −→ [0, π].

 
 
x = arccos(y)
 cos(x) = y

x ∈ [0, π] ⇐⇒ x ∈ [0, π]

 

 y ∈ [−1, 1]  y ∈ [−1, 1]
Proposition 41 – Propriétés de la fonction arc cosinus
1. arccos est continue et strictement décroissante sur [−1, 1].

2. ∀y ∈ [−1, 1], cos(arccos(y)) = y et ∀x ∈ [0, π], arccos(cos(x)) = x
p
1 1 3
y 0 p 1
22 2
arccos(y) π/2 π/3 π/4 π/6 0
4. arccos est dérivable sur ] − 1, 1[ et :

1
∀y ∈] − 1, 1[, arccos′ (y) = − p
1 − y2
La fonction arccos n’est ni paire ni impaire.
En −1 et 1, arccos n’est pas dérivable et sa courbe représentative admet des demi-tangentes

verticales en ces points.
¡ ¢
B Attention à ne pas simplifier abusivement : arccos cos(x) qui est défini sur R.
arccos(cos(x)) = x si, et seulement si, x ∈ [0, π].

y = arccos(x)
y = cos(x)
−1 1 π π
2
Remarque : La fonction x 7−→ arcsin(x) + arccos(x) est dérivable sur ] − 1, 1[ et sa dérivée est
π
nulle : cette fonction est donc constante sur cet intervalle. La valeur de cette constante est
2
(valeur en 0). Comme on a aussi :
π π
arcsin(1) + arccos(1) = et arcsin(−1) + arccos(−1) =
2 2
on peut conclure :
π
∀x ∈ [−1, 1], arcsin(x) + arccos(x) =
2
2.7.3 Arc tangente

i π πh
La fonction tan est continue et strictement croissante sur − , . Elle induit donc une bijec-
i π πh 2 2
tion de − ,
2 2
vers l’intervalle image qui est ici . R
i π πh
Sa bijection réciproque est appelée fonction arc tangente, notée arctan : R −→ − , .
2 2

 

 x = arctan(y) 
tan(x) = y
  i π πh
y∈
i
R h ⇐⇒ x ∈ − ,
  2 2
x ∈ − π , π
R
 

2 2 y∈

y = tan(x)
π
2
y = arctan(x)
− π2 π
2
− π2
Proposition 42 – Propriétés de la fonction arc tangente
1. arctan est impaire : ∀y ∈ R, arctan(−y) = − arctan(y)

2. arctan est continue et strictement croissante sur R.
i π πh
3. ∀y ∈ R, tan(arctan(y)) = y et ∀x ∈ − , , arctan(tan(x)) = x
2 2
π π
4. lim arctan(y) = et lim arctan(y) = −
y→+∞ 2 y→−∞ 2
1 p
y p 01 3 +∞
3
arctan(y) 0 π/6 π/4 π/3 π/2
6. arctan est dérivable sur R et :

∀y ∈ R, arctan′ (y) =
1
1 + y2
¡ ¢
B Attention à ne pas simplifier abusivement : arctan tan(x) qui est défini sur Dtan .
i π πh
arctan(tan(x)) = x si, et seulement si, x ∈ − , .
2 2


➥ Savoir réduire l’intervalle d’étude d’une fonction nuémrique en exploitant les propriétés de
parité ou de symétrie.
➥ Connaître les opérations sur les fonctions et les formules de dérivation associées.
➥ Savoir exprimer les propriétés de monotonie et d’existence d’extremum à l’aide des

quantificateurs.
➥ Faire une étude de signe de la dérivée et en déduire la monotonie et les extremums d’une
fonction.
➥ Connaître les fonctions usuelles sin, cos, tan, ln, exp, x 7−→ x α , sh, ch, arcsin, arccos et arctan.
✪ Connaître les limites usuelles obtenues par continuité ou dérivabilité en 0.
✪ Connaître les limites dites de « croissances comparées » entre les fonctions puissances,
logarithme et exponentielle.

4 Exercices 137
4 Exercices
Généralités sur les
fonctions
EXERCICE 1. Involutions de R croissantes

Soit f : R → R une application croissante telle que : ∀x ∈ R, f ◦ f (x) = x.
Montrer que ∀x ∈ R, f (x) = x.
EXERCICE 2. Opérations sur les fonctions monotones

Soit I un intervalle de R. Montrer que :
1. Si f et g sont croissantes sur I alors f + g est croissante sur I .
2. Si f est croissante sur I et g croissante sur J , tel que f (I ) ⊂ J , alors g ◦ f croissante sur I .
3. Si f et g sont croissantes positives sur I alors f × g est croissante sur I .
EXERCICE 3. Fonction périodiques et monotones

Soit f : R −→ R une fonction périodique de période T > 0. On suppose que f est monotone.
Montrer que f est constante.
Logarithme et
exponentielle
EXERCICE 4. Approximations de e
1. Montrer que : ∀x > −1, ln(1 + x) ≤ x.

¡ ¢n ¡ ¢−n
2. En déduire que pour tout n Ê 2 : 1 + n1 ≤ e ≤ 1 − n1 .
EXERCICE 5. Preuve d’une inégalité par étude de f ′′

ln(1 + ax)
Soit 0 < a ≤ b. On pose f : x ∈ R+
∗ 7−→ . Etudier la monotonie de f et en déduire que
ln(1 + bx)
³ µ ¶
a´ b
ln 1 + ln 1 + ≤ (ln 2)2 .
b a
EXERCICE 6. Propriétés algébriques de ln et exp

µ ¶
1
ln x x
¡ ¡ ¢¢
Pour x > 0 simplifier exp x 2 x
.
EXERCICE 7. Puissances
Parmi les relations suivantes lesquelles sont exactes :
¡ ¢c ¡ ¢2
1) a b = a bc 2) a b a c = a bc 3) a 2b = a b
c c ¡ ¢c ¡ ¢c
5) a b = a (b )
c
4) (ab)c = a 2 b 2 6) a b = (a c )b ?

Fonctions
hyperboliques
EXERCICE 8. Trigonométrie hyperbolique
1. Montrer les formules suivantes, valables pour tout (x, y) ∈ R2 :
ch x + sh x = e x ; ch x − sh x = e −x ; ch2 x − sh2 x = 1
2. Calculer, pour tout x, y ∈ R, ch(x + y), ch(x − y), sh(x + y) et sh(x − y) en fonction de ch x,
sh(x), ch y et sh y.
3. En déduire des formules de transformation de sommes en produits de fonctions hyper-
boliques.
EXERCICE 9. Fonctions hyperboliques réciproques
1. Montrer que la fonction sh est bijective de R vers R et déterminer une expression de sa

bijection réciproque.
R
2. Montrer que la fonction ch est bijective de + vers [1, +∞[ et déterminer une expression
de sa bijection réciproque.
R
3. Pour tout x ∈ , on pose th(x) =
sh(x)
ch(x)
. Montrer que la fonction th est bijective de vers R
] − 1, 1[ et déterminer une expression de sa bijection réciproque.
EXERCICE 10. Fonctions hyperboliques réciproques

Donner l’ensemble de définition, puis simplifier les expressions suivantes :
¡ p ¢ ¡ p ¢ ¡ p ¢ ¡ p ¢
ch ln(x + x 2 − 1) sh ln(x + x 2 − 1) ch ln(x + x 2 + 1) sh ln(x + x 2 + 1)
EXERCICE 11. Calculs de sommes

R
Soient (a, b) ∈ 2 et n ∈ .
n
N
n
X X
Calculer ch(a + kb) et sh(a + kb).
k=0 k=0
Fonctions circulaires
réciproques
EXERCICE 12. Composée de cos et arccos

Représenter graphiquement les fonctions f et g définies par :
f (x) = cos(arccos(x)) et g (x) = arccos(cos(x))

4 Exercices 139
EXERCICE 13. Quelques formules. . .

Simplifier les expressions :
cos(arctan(x)) sin(arctan(x)) tan(2 arctan(x))

tan(arcsin(x)) tan(arccos(x)) cos(4 arctan(x))
EXERCICE 14. Formule de Machin

µ ¶ µ ¶
π 1 1
Démontrer : = 4 arctan − arctan
4 5 239
EXERCICE 15. Obtention d’une formule par dérivation

µ ¶
2x
Simmplifier arcsin
1 + x2
EXERCICE 16. Calculs de dérivées

Etudier la dérivabilité des fonctions suivantes et calculer leur dérivée :
µ ¶
1+x
1. f (x) = arcsin
1−x
s
1 − arcsin(x)
2. f (x) =
1 + arcsin(x)
µ ¶
1
3. f (x) = arctan
1 + x2
s
1 − sin(x)
4. f (x) = arctan .
1 + sin(x)
EXERCICE 17. Un calcul de somme
1. Soit p ∈ N. Calculer arctan(p + 1) − arctan(p).

2. Etudier la convergence et la limite de la suite (S n ) définie par :
n µ ¶
X 1
Sn = arctan 2
p=0 p +p +1
EXERCICE 18. Une simplification

Simplifier l’expression :
f (x) = cos(arccos x − arcsin x) − sin(arccos x − arcsin x)

Equations et
inéquations
EXERCICE 19. Equations et inéquations

Résoudre les équations et inéquations suivantes.
6 2
1) e 2x+1 = e x 2) e 2x−1 > e −x +3
3) e 2x − 2e x − 3 = 0 4) |x 2 + 2x − 3| < 6
5) |x 2 + 2x| < 3|x| 6) ln(2x) = ln(x 2 − 1)
p
7) ln(2x) ≥ ln(x 2 − 1) 8) x + 1 ≤ 5 − x
p
9) x + x 2 + 1 > 0 10) 5x − 5x+1 + 23x−1 = 0
p p p p p p
11) x + 2 + x + 3 + x + 6 = 3 12) x + 1 + x + 10 + x + 100 = 12
13) 2 ln(x + 1) + ln(3x + 5) + ln 2 14) e x + e 1−x = e + 1
= ln(6x + 1) + ln(x − 2) + ln(x + 2)
p ¡p ¢x
15) x x = x 16) 22x − 3x−1/2 = 3x+1/2 − 22x−1
EXERCICE 20. Système d’équations

Résoudre les systèmes suivants :
( (
8x = 10y e x e 2y = 1
a) b)
2x = 5y 2x y = 1

141
Chapitre 5
Dérivées, primitives et équations
différentielles
Sommaire
1 Rappels et compléments de calcul différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
1.1 Dérivée d’une fonction numérique réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
1.2 Dérivée d’une fonction numérique complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
1.3 Primitives d’une fonction numérique réelle ou complexe . . . . . . . . . . 143
1.4 Intégrale d’une fonction continue sur un segment [a, b] . . . . . . . . . . . 146
2 Notions sur les équations différentielles linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
2.1 Équations différentielles linéaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . 148
2.2 Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants 150
4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

142 C HAPITRE 5 : Dérivées, primitives et équations différentielles
1 Rappels et compléments de calcul différentiels

1.1 Dérivée d’une fonction numérique réelle
Si u est dérivable sur un intervalle I et à valeurs dans¡ un ¢ second intervalle J , et si v est dérivable
sur cet intervalle J , alors la fonction v ◦ u : x 7−→ v u(x) est dérivable sur le premier intervalle I :
JO
v /
? R
u
v ◦u
I
et pour tout x ∈ I : ¡ ¢
(v ◦ u)′ (x) = u ′ (x) × v ′ u(x)
On obtient le tableau des formules de dérivations usuelles :
µ ¶′
1 u ′ (x) ¡p ¢′ u ′ (x)
(x) = − 2 u (x) = p
u u (x) 2 u(x)
¡ ¢′ ¢′ ¡ ¡ ¢
u α (x) = α × u ′ (x) × u(x)α−1 sin(u) (x) = u ′ (x) × cos u(x)
¡ ¢′ ¡ ¢ ¡ ¢′ ³ ¡ ¢´ u ′ (x)
′ ′ 2
cos(u) (x) = −u (x) × sin u(x) tan(u) (x) = u (x) × 1 + tan (u(x) = ¡ ¢2
cos u(x)
¡ ¢′ ¡ ¢′ u ′ (x)
eu (x) = u ′ (x) × eu(x) ln(u) (x) =
u(x)
¡ ¢′ u ′ (x) ¡ ¢′ u ′ (x) ¡ ¢′
arctan(u) (x) = arcsin(u) (x) = p = − arccos(u) (x)
1 + u(x)2 1 − u(x)2
¡ ¢′ ¡ ¢ ¡ ¢′ ¡ ¢
sh(u) (x) = u ′ (x) × ch u(x) ch(u) (x) = u ′ (x) × sh u(x)
Dans le cas d’une fonction de deux variables :
R
f : 2 −→ R
(x, y) 7−→ f (x, y)
on note :
∂f
• (x, y) la dérivée partielle de f par rapport à x, c’est-à-dire la dérivée par rapport à x en
∂x
considérant que y est une constante ;
∂f
• (x, y) la dérivée partielle de f par rapport à y, c’est-à-dire la dérivée par rapport à y en
∂y
considérant que x est une constante.
∂f ∂f
Pour alléger les notations, est aussi noté ∂1 f , et est notée ∂2 f .
∂x ∂y
p ∂f ∂f
Exemple. Pour f (x, y) = x 5 + 3x 2 y 3 + ln(y) + x 2 y, calculer les dérivées partielles et .
∂x ∂y
du du
Pour les fonctions d’une variable t , la dérivée u ′ (t ) est aussi parfois notée (t ), et même
dt dt
par abus de notation.

1 Rappels et compléments de calcul différentiels 143
1.2 Dérivée d’une fonction numérique complexe

Si u est une fonction définie sur un intervalle I de R
et à valeurs dans C, on note α et β les
fonctions Re(u) et Im(u) définies sur I et à valeurs dans : R
∀x ∈ I , u(x) = α(x) + i β(x)
On dit alors que u est dérivable sur l’intevralle I lorsque α et β le sont et on définit la fonction
C
u ′ : I −→ par :
∀x ∈ I , u ′ (x) = α′ (x) + i β′ (x)
On peut montrer que les formules connues pour les fonctions à valeurs réelles sont encore
valables pour les fonctions à valeurs complexes (dérivée d’un produit. . .).
Proposition 1 – Dérivée de exp(ϕ)
C
Soit ϕ : I −→ une fonction dérivable sur l’intervalle I .
La fonction exp(ϕ) est alors dérivable sur I et :
¡ ϕ ¢′
∀x ∈ I , e (x) = ϕ′ (x) × eϕ(x)
C, la fonction x 7−→ eλx est dérivable sur R et :

En particulier, si λ ∈
∀x ∈ R, eλx = λeλx
¡ ¢′
Exemple. x 7−→ ei x est dérivable sur R et ∀x ∈ R, ei x = i ei x .

¡ ¢′

1.3 Primitives d’une fonction numérique réelle ou complexe

Définition 2 – Primitive d’une fonction numérique
R
Soit f une fonction définie sur un intervalle I , à valeurs dans (resp. dans ). C
On appelle primitive de f sur l’intervalle I , toute fonction F définie et dérivable sur I , à
R C
valeurs dans (resp. dans ) et telle que F ′ = f .
Proposition 3 – Description de l’ensemble des primitives d’une fonction
R
Soit f une fonction définie sur un intervalle I , à valeurs dans (resp. dans ). C
On suppose qu’il existe au moins une primitive F de f sur l’intervalle I .
Dans ce cas, f possède une infinité de primitives sur l’intervalle I . De plus elles sont toutes
de la forme x 7−→ F (x) +C où C est une constante réelle (resp. complexe).
C’est pour cette raison qu’on ne dit pas la primitive mais une primitive.

Proposition 4 – Cas des fonctions à valeurs complexes
C
Si f est à valeurs dans et si on note α et β ses parties réelles et imaginaires, alors toute
primitive F de f sur l’intervalle I est de la forme F : x 7−→ A(x)+i B(x) où A est une primitive
de α sur I , et B est une primitive de β sur I .
Application. Soit λ un nombre complexe non nul de parties réelle et imaginaire notée a et b. En
R 1
remarquant qu’une primitive sur de x 7−→ eλx est la fonction x 7−→ eλx , et en identifiant les
R
λ
parties réelles et imaginaires, on obtient une primitive sur des fonctions x 7−→ eax cos(bx) et
x 7−→ eax sin(bx).
Exemple. Déterminer une primitive sur R de x 7−→ ex cos(2x).

On rappelle les primitives des fonctions usuelles.
Fonction Primitive Intervalle et conditions
x α+1
xα x > 0 (au minimum. . .) et α 6= −1
α+1
1
ln(x) x >0
x
ex ex x∈ R
ln(x) x ln(x) − x x >0
sin(x) − cos(x) x∈ R
cos(x) sin(x) x ∈R
i π h
1 + tan2 (x) =
1
cos2 (x)
tan(x)
π
x ∈ − + kπ, + kπ où k ∈
2 2
Z
ch(x) sh(x) x∈ R
sh(x) ch(x) x ∈R
x ∈R
1
arctan(x)
1 + x2
1
p arcsin(x) ou x ∈] − 1, 1[
1 − x2 − arccos(x)
Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I , à valeurs dans J , et si f est dérivable sur ce
même intervalle J , on a vu que f ◦ u est dérivable sur I et que :
¡ ¢
∀x ∈ I , ( f ◦ u)′ (x) = u ′ (x) × f ′ u(x)
Ce résultat, combiné avec le tableau précédent, permet d’établir le tableau des primitives des
fonctions composées usuelles.

Fonction Primitive Condition
u(x)α+1
u ′ (x) × u(x)α α 6= −1
α+1
u ′ (x)
ln(|u(x)|) aucune
u(x)
u ′ (x) × eu(x) eu(x) aucune
¡ ¢ ¡ ¢
u ′ (x) × cos u(x) sin u(x) aucune
¡ ¢ ¡ ¢
u ′ (x) × sin u(x) − cos u(x) aucune
h ¡ ¢i u ′ (x) ¡ ¢
u ′ (x) × 1 + tan2 u(x) = ¡ ¢ tan u(x) aucune
cos2 u(x)
¡ ¢ ¡ ¢
u ′ (x) × ch u(x) sh u(x) aucune
¡ ¢ ¡ ¢
u ′ (x) × sh u(x) ch u(x) aucune
u ′ (x) ¡ ¢
arctan u(x) aucune
1 + u(x)2
u ′ (x) ¡ ¢
p arcsin u(x)
¡ ou ¢ aucune
1 − u(x)2 − arccos u(x)
Pour terminer ce paragraphe nous allons voir comment trouver une primitive d’une fonction de
1
la forme x 7−→ où a, b et c sont trois réels tels que a 6= 0.
ax 2 + bx + c
On commence par déterminer le signe du discriminant ∆ = b 2 − 4ac du dénominateur.
Si ∆ > 0. Le polynôme ax 2 + bx + c admet deux racines réelles distinctes r 1 et r 2 . On cherche

1 1 λ µ
une décomposition de la forme 2
= = + où λ et µ sont
ax + bx + c a(x − r 1 )(x − r 2 ) x − r 1 x − r 2
deux constantes réelles à déterminer. Ensuite chaque terme se primitive avec un logarithme.
Si ∆ = 0. Le polynôme ax 2 + bx + c admet une racine réelle r et on a la factorisation

1 1 1
2
= 2
. Sous cette forme une primitive est x 7−→ − .
ax + bx + c a(x − r ) a(x − r )
Si ∆ < 0. Le polynôme ax 2 + bx + c n’admet pas de racine réelle. En le factorisant sous forme

canonique, on trouve une primtive utilisant la fonction arctan.
1 1
Exemple. Donner une primitive des fonctions x 7−→ , x 7−→
x 2 − 3x + 2 x 2 + 2x + 1
1
et x 7−→ .
x2 + x + 1

1.4 Intégrale d’une fonction continue sur un segment [a, b]

On appelle segment un intervalle fermé et borné [a, b].
Zb
Si f est une fonction continue sur un segment [a, b] et à valeurs dans R, on note f (t ) dt le
a
nombre réel l’aire algébrique du domaine du plan délimitée par l’axe des abscisses, les droites
d’équation x = a et x = b, et la courbe représentative de f .
L’aire des parties du domaine situées au-dessus de l’axe des abscisses sont comptées
positivement ; celle des parties du domainesituées en-dessous sont comptées négativement.
Za Za Zb
Ensuite, on pose aussi f (t ) dt = 0 et f (t ) dt = − f (t ) dt (on dira que les bornes étaient
a b a
dans le « mauvais sens »).
Zb
Dans la notation f (t ) dt la variable t est muette : elle peut être remplacée par tout autre lettre
a
non utilisée.
Le théorème suivant est appelé théorème fondamental de l’analyse.
Théorème 5 – Intégrale dépendant d’une de ses bornes
Soient I un intervalle de R, f : I −→ RZune

x
fonction continue et x0 un point de I .
On définit une fonction ϕ par : ϕ(x) = f (t ) dt .
x0
La fonction ϕ est alors définie et dérivable sur I et : ∀x ∈ I , ϕ′ (x) = f (x).
Autrement dit ϕ est l’unique primitive de f sur I qui s’annule en x0 : ϕ(x0 ) = 0.
C’est à cause de ce théorème qu’on emploit les mots « intégrer » et « primitiver » comme des
synonymes.
Zx 2
ln t
Exemple. Montrer que la fonction x 7−→ dt est dérivable sur ]0, +∞[ et calculer sa
x t2
dérivée.
Théorème 6 – Calcul d’une intégrale à partir d’une primitive
Soit f une fonction continue sur le segment [a, b].

Si on connaît une primitive F de f sur [a, b], alors :
Zb
f (t ) dt = F (b) − F (a)
a
£ ¤t=b £ ¤b
La quantité F (b) − F (a) est souvent noté F (t ) t=a , ou encore F (t ) a s’il n’y a pas de confusion
possible entre les variables.
Z1 Z2π
−2t
Exemple. Calculer e dt et cos(t ) dt .
0 0

Une fonction f définie sur un intervalle I est dite de classe C 1 sur I , lorsqu’elle est dérivable sur
I et que sa dérivée f ′ est continue sur I .
B Cela sous-entend qu’il existe des fonctions dérivables dont la dérivée n’est pas continue.
Théorème 7 – Calcul d’une intégrale par intégration par parties
Si f et g sont deux fonctions de classe C 1 sur un segment [a, b] :

Zb Zb
′
£ ¤b
f (t ) × g (t ) dt = f (t ) × g (t ) a − f (t ) × g ′ (t ) dt
a a
Cette formule permet de remplacer une fonction par sa dérivée, ce qui peut être utile pour les
N
fonctions x 7−→ x n (où n ∈ ), ln, arccos et arcsin.
Cette formule n’a d’intérêt que si l’expression de f ′ (t ) est plus simple que celle de f (t ), et si
l’expression de g (t ) n’est pas trop compliquée par rapport à celle de g ′ (t ).
Z2 Z1
Exemple. Calculer ln(t ) dt et t 2 et dt .
1 0
Théorème 8 – Calcul d’une intégrale par changement de variable
On suppose que :
• ϕ est de classe C 1 sur un segment [α, β] ;
£ ¤
• f est continue sur le segment ϕ(α), ϕ(β) .
Alors : Zϕ(β) Zβ
¡ ¢
f (x) dx = f ϕ(t ) × ϕ′ (t ) dt
ϕ(α) α
En pratique on pose x = ϕ(t ) et on écrit formellement « dx = ϕ′ (t ) dt ». Il ne faut pas oublier de

déterminer les bornes de la nouvelle intégrale.
Z1
ex
Exemple. Calculer I = dx en posant x = ln(t ).
0 1 + e2x
Z1 p
Exemple. Calculer 1 − x 2 dx en posant x = sin(t ).
0

2 Notions sur les équations différentielles linéaires

2.1 Équations différentielles linéaires du premier ordre
Définition 9 – Équation différentielle linéaire du premier ordre

Soit I un intervalle de R. On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre sur I
toute relation du type
(E ) : ∀t ∈ I , y ′ (t ) + a(t ).y(t ) = b(t )
où les coefficients a et b sont des fonctions continues sur I à valeurs réelles ou complexes,
et y est une fonction inconnue dérivable sur I à valeurs réelles ou complexes.
Toute fonction y qui satisfait (E ) sur I est appelée une solution.
Dans la pratique, on omet la variable de l’inconnue y pour alléger l’écriture de (E ), ce qui donne
(E ) : y ′ + a(t ).y = b(t )
On appelle équation homogène associé l’équation différentielle (E 0 ) : y ′ + a(t ).y = 0.
Dans la suite on notera K un ensemble qui peut être au choix R ou C (mais une fois fait ce choix
doit rester le même).
Théorème 10 – Résolution de l’équation homogène
K
Soient a une fonction continue sur l’intervalle I à valeurs dans , et A une primitive quel-
conque de a sur I .
Les solutions de l’équation homogène (E 0 ) : y ′ + a(t ).y = 0 sont toutes les fonctions de
la forme t 7−→ C e−A(t)
avec C quelconque dans . K
Pour éviter toute erreur de signe, on peut mettre l’équation sous la forme y ′ = −a(t ).y.
Noter qu’il y a une infinité de solutions.
Exemple. Résoudre sur R : y ′ + t .y = 0.

Exemple. Résoudre sur R∗+ : y ′ + y = 0.
1

t
Exemple. Résoudre l’équation homogène sur R dans le cas où a est une fonction constante.
Théorème 11 – Résolution de l’équation entière
Si y 1 désigne une solution particulière de l’équation (E ) alors les solutions de (E ) sont

toutes les fonctions de la forme t 7−→ y 1 (t ) + y 0 (t ) avec y 0 solution de l’équation homo-
gène associée (E 0 ).
Afin de trouver une solution particulière, il arrive parfois qu’on décompose le second membre
en plusieurs fonctions plus simples ; on peut alors exploiter le résultat suivant.

2 Notions sur les équations différentielles linéaires 149
Proposition 12 – Principe de superposition des solutions
Soit (E ) : y ′ + a(t ).y = b 1 (t ) + b 2 (t ) avec a, b 1 et b 2 des fonctions continues sur I .

Si, pour i ∈ {1, 2}, y i est solution de l’équation (E i ) : y ′ + a(t ).y = b i (t ) alors la fonction
y 1 + y 2 est solution de (E ).
Si on ne trouve pas de solution de manière « intuitive » (la plupart du temps en s’inspirant du

second membre), on peut utiliser la méthode suivante, dite méthode de variation de la constante.
Elle consiste à chercher une solution particulière y 1 sous la forme y 1(t ) = C (t ).e−A(t) où C est une
fonction dérivable sur I et A est une primitive de a sur I . On part donc de la solution générale
de l’équation homogène et on remplace la constante C par une fonction t 7−→ C (t ).On injecte
alors y 1 dans l’équation différentielle ce qui donne C ′(t ) puis C (t ) puis y 1 (t ).

Zt
On peut montrer que si t0 ∈ I alors C (t ) = b(s)e A(s) ds mais cette formule est trop compliquée
t0
pour être retenue, c’est pourquoi on préfère faire le calcul précédent où il suffit de réinjecter
dans l’équation différentielle sans connaître de formule supplémentaire.
Lorsqu’on réinjecte on obtient :
∀t ∈ I , C ′ (t )e−A(t) −C (t ) × a(t ) × e−A(t) +C (t ) × a(t ) × e−A(t) = 0

| {z }
=0
donc on peut retenir que pour le membre de gauche on ne garde que le premier terme.
Exemple. Résoudre sur R l’équation y ′ + 1 +2tt 2 y = 1 +1 t 2 .

Exemple. Résoudre sur ] − 1, 1[ l’équation (1 − t 2 ).y ′ − t .y = 1.
Exemple. Résoudre sur R l’équation y ′ − t .y = t .

En plus de la méthode pratique de résolution, il faut aussi connaître le résultat théorique
suivant.
Définition 13 – Problème de Cauchy
On appelle problème de Cauchy la donnée d’une équation différentielle et d’une condition

initiale : (
y ′ + a(t ).y = b(t )
y(t0 ) = γ
où a et b sont des fonctions continues sur un intervalle I à valeurs dans K, t0 est un point
de I et γ un élément donné de . K

Théorème 14 – Solution d’un problème de Cauchy
Un problème de Cauchy admet une unique solution sur l’intervalle I où il est défini.
(
(1 − t 2 ).y ′ − t .y = 1
Exemple. Résoudre sur ] − 1, 1[ le problème de Cauchy
y(0) = 1
2.2 Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants
Définition 15 – Équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants

R
Soit I un intervalle de . On appelle équation différentielle linéaire du second ordre à
coefficients constants sur I toute relation du type
(E ) : ∀t ∈ I , y ′′ (t ) + a.y ′ (t ) + b.y(t ) = f (t )
où les coefficients a et b sont des constantes réelles ou complexes, f est une fonction
continue sur I à valeurs réelles ou complexes, et y est une fonction inconnue deux fois
dérivable sur I à valeurs réelles ou complexes.
Toute fonction y qui satisfait (E ) sur I est appelée une solution.
Dans la pratique, on omet la variable de l’inconnue y pour alléger l’écriture de (E ), ce qui donne
(E ) : y ′′ + a.y ′ + b.y = f (t )
On appelle équation homogène associé l’équation différentielle (E 0 ) : y ′′ + a.y ′ + b.y = 0.
Définition 16 – Équation caractéristique

On appelle équation caractéristique associée à l’équation homogène (E 0 ) l’équation :
r 2 + ar + b = 0
d’inconnue r ∈ C.
Théorème 17 – Solutions complexes de l’équation homogène
On note ∆ le discriminant de l’équation caractéristique.

1. Si ∆ 6= 0.
L’équation caractéristique possède deux racines disctinctes α et β et les solutions de
R
(E 0 ) sur sont les fonctions de la forme y(t ) = λeαt + µeβt avec (λ, µ) ∈ 2 . C
2. Si ∆ = 0.
L’équation caractéristique possède une racine double α et les solutions de (E 0 ) sur
R sont les fonctions de la forme y(t ) = (λt + µ)eαt avec (λ, µ) ∈ 2 . C

2 Notions sur les équations différentielles linéaires 151
Noter que ce résultat donne les solutions y : R −→ C que les coefficients a et b soient réels ou
complexes.
Exemple. Résoudre sur R l’équation y ′′ + (1 + 2i )y ′ + (i − 1)y = 0.

Théorème 18 – Solutions réelles de l’équation homogène
On suppose ici que a et b sont des réels.

On note ∆ le discriminant de l’équation caractéristique.
1. Si ∆ > 0.
L’équation caractéristique possède deux racines réelles disctinctes α et β et les
solutions de (E 0 ) sur R
sont les fonctions de la forme y(t ) = λeαt + µeβt
avec (λ, µ) ∈ 2
.R
2. Si ∆ = 0.
L’équation caractéristique possède une racine réelle double α et les solutions de (E 0)
R
sur sont les fonctions de la forme y(t ) = (λt + µ)eαt avec (λ, µ) ∈ 2 . R
3. Si ∆ < 0.
L’équation caractéristique possède deux racines complexes disctinctes
conjuguées α ± i ω et les solutions de (E 0 ) sur R
sont les fonctions de la forme
¡ ¢ αt
y(t ) = λ. cos(ωt ) + µ. sin(ωt ) .e avec (λ, µ) ∈ 2
. R
Exemple. Résoudre sur R les équations y ′′ + 4y ′ + 4y = 0, y ′′ + 2y ′ + 2y = 0, y ′′ + ω2 y = 0

(avec ω > 0) et y ′′ − ω2 y = 0.
Théorème 19 – Résolution de l’équation entière
Si y 1 désigne une solution particulière de l’équation (E ) alors les solutions de (E ) sont

toutes les fonctions de la forme t 7−→ y 1 (t ) + y 0 (t ) avec y 0 solution de l’équation
homogène associée (E 0 ).
Afin de trouver une solution particulière, il arrive parfois qu’on décompose le second membre
en plusieurs fonctions plus simples ; on peut alors exploiter le résultat suivant.
Proposition 20 – Principe de superposition des solutions
Soit (E ) : y ′′ + a.y ′ + b.y = f 1 (t ) + f 2 (t ) avec f 1 et f 2 des fonctions continues sur I .

Si, pour i ∈ {1, 2}, y i est solution de l’équation (E i ) : y ′′ + a.y ′ + b.y = f i (t ) alors la
fonction y 1 + y 2 est solution de (E ).
Pour trouver une solution particulière il faut s’inspirer de la forme du second membre f (t ). En
particulier il faut connaître le cas particuliers suivants.

Théorème 21 – Cas où f (t ) = r.eθt

On suppose que (r, θ) sont des constantes réelles ou complexes et que f est la fonction
R
continue sur définie par f (t ) = r.eθt .
On peut alors trouver une solution particulière de (E ) sous la forme :
 θt
 ρ.e si θ n’est pas racine de l’équation caractéristique
y(t ) = ρ.t .eθt si θ est racine simple de l’équation caractéristique

ρ.t 2 .eθt si θ est racine double de l’équation caractéristique
où ρ est une constante à déterminer par le calcul.
Exemple. Résoudre sur R l’équation y ′′ + 3y ′ + 2y = 2 ch(t ).

Exemple. Résoudre sur R l’équation y ′′ + 2y ′ + 2y = cos(t ) + sin(t ).
En plus de la méthode pratique de résolution, il faut aussi connaître le résultat

théorique suivant.
Définition 22 – Problème de Cauchy
On appelle problème de Cauchy la donnée d’une équation différentielle et d’une double

condition initiale : 
 ′′ ′
 y + a.y + b.y = f (t )

y(t0 ) = δ


 y ′ (t ) = γ
0
où a et b sont des constantes, f une fonction continue sur un intervalle I à valeurs dans
K , t0 est un point de I , δ et γ sont deux éléments donnés de . K
Théorème 23 – Solution d’un problème de Cauchy
Un problème de Cauchy admet une unique solution sur l’intervalle I où il est défini.
(
y ′′ + 2y ′ + 2y = cos(t ) + sin(t )
Exemple. Résoudre sur R le problème de Cauchy y(0) = y ′ (0) = 0


➥ Maîtriser le calcul intégro-différentiel.
✪ Connaître les formules de dérivation/intégration des fonctions usuelles.
✪ Connaître les formules de dérivation/intégration pour les opérations sur les fonctions.
✪ Savoir dérivéer une intégrale fonction de ses bornes.
✪ Faire une intégration par parties.
✪ Faire un changement de variable.
➥ Savoir étudier une équation différentielle linéaire du premier ordre.

✪ Connaître les résultats théoriques sur l’ensemble des solutions, avec ou sans condition
initiale.
✪ Connaître la forme générale des solutions de l’équation homogène..
✪ Trouver une solution particulière par variation de la constante.
✪ Trouver une solution particulière « à vue ».
➥ Savoir étudier une équation différentielle linéaire du premier ordre.

✪ Connaître les résultats théoriques sur l’ensemble des solutions, avec ou sans condition
initiale.
✪ Connaître la forme générale des solutions de l’équation homogène, dans les cas réelles
ou complexes.
✪ Plonger l’équation dans l’ensemble des complexes pour simplifer la recherche de solu-
tions particulières.
✪ Connaître la forme des solutions particulières lorsque le second membre a une
expression de la forme r eθt .
✪ Trouver une solution particulière « à vue ».

4 Exercices
Equations
différentielles d’ordre 1
EXERCICE 1. Calculs de primitives
1. Déterminer « à vue » les primitives des fonctions suivantes en précisant l’intervalle :
2 x2 ln(x) x
a) x 7−→ xex b) x 7−→ c) x 7−→ d ) x 7−→ p
1 + x3 x 1 + x2
1 x
e) x 7−→ cos(x) sin(x) f ) x 7−→ g ) x 7−→ h) x 7−→ tan(x)
x ln(x) 1 + x4
2. Déterminer à l’aide d’une intégration par partie les primitives des fonctions suivantes en
précisant l’intervalle :
a) x 7−→ ln(x) b) x 7−→ x arctan(x) c) x 7−→ (x 2 − x + 1)e−x

d) x −
7 → (x − 1) sin(x) e) x −7 → (x + 1) ch(x) f) x− 7 → x sin(x)3
3. Déterminer à l’aide du changement de variable indiqué les primitives des fonctions

suivantes en précisant l’intervalle :
1 p ln(x)
a) x 7−→ p p u= x b) x 7−→ z = ln(x)
x+ x3 x + x(ln x)2
e2x 1
c) x 7−→ x y = ex d ) x 7−→ p w = 1/x
e +1 x x2 − 1
EXERCICE 2. Sans variation de la constante
R
Résoudre les équation différentielles suivantes sur . Pour trouver une solution particulière, on
essaiera de deviner une solution proche du second membre, plutot que d’utiliser la méthode de
variation de la constante.
1. y ′ − et y = 3et
2. y ′ + y = cos t + sin t
3. y ′ + 2y = t 2 − 2t + 3

4 Exercices 155
EXERCICE 3. Avec variation de la constante

Résoudre les équations différentielles suivantes sur l’intervalle I donné.
t −1
1. (1 − t )y ′ + y = sur I =]1, +∞[
t
2. y ′ + y =
1
1 + et
sur I = R
3. t 2 y ′ − y = (t 2 − 1)et sur I =] − ∞, 0[
4. t y ′ − 2y = t 3 sur I =]0, +∞[
5. t y ′ + y = arctan t sur I =]0, +∞[
EXERCICE 4. Equation intégrale

Déterminer toutes les fonctions f : R −→ R telles que :
Zt
∀t ∈ R, 2 f (t ) = 3t × f (x) dx
0
Equations
différentielles d’ordre 2
EXERCICE 5. Équations différentielles linéaires d’ordre 2

Résoudre les équations différentielles.
1. y ′′ − y = sin(2t ) et y(0) = y ′ (0) = 0
2. y ′′ + y = sin(t ) et y(0) = y ′ (0) = 0
3. y ′′ − 2y ′ + y = 5et
4. y ′′ − 2y ′ + y = −e−t
5. y ′′ + 4y = sin2 t et y(0) = y ′ (0) = 0
6. y ′′ − 3y ′ + 2y = t 2 − t + 3
7. y ′′ − 2y ′ + 5y = e−2t cos(2t )
EXERCICE 6. Second membre à linéariser

Réosudre sur R l’équation différentielle y ′′ − 2y ′ + 5y = 2 cos2(t )
EXERCICE 7. Changement de variable
R ¡ ¢
Résoudre sur l’équation différentielle y ′′ + 4et − 1 y ′ + 4e2t y = 0 à l’aide du changement de
variable x = et .
EXERCICE 8. Changement d’inconnue

Résoudre sur R∗+ l’équation différentielle t 2 y ′′ − t y ′ + y = 0 à l’aide du changement d’inconnue
y(t ) = t × z(t ).

EXERCICE 9. Equation intégrale

Déterminer toutes les fonctions f : R −→ R continues et telles que :
Zt
∀t ∈ R, f (t ) = sin(t ) + 2 ×
0
et−x f (x) dx
EXERCICE 10. Une équation fonctionnelle

On cherche les fonctions f : R −→ R deux fois dérivable et satisfaisant la relation :
(R) : ∀(x, t ) ∈ R2 , f (x + t ) + f (x − t ) = 2 f (x) f (t ).
1. Soit f une fonction deux fois dérivable qui satisfait (R). On suppose que f n’est pas
constante nulle.
(a) Montrer que f (0) = 1 et f ′ (0) = 0.
(b) Montrer qu’il existe une constante réelle k telle que f satisfait l’équation différentielle
y ′′ + k y = 0.
(c) En discutant suivant les valeurs de k, en déduire une expression de f (x).
2. Donner toutes les fonctions f : R −→ R deux fois dérivables et satisfaisant la relation (R).

157
Chapitre 6
Suites réelles et complexes
Sommaire
1 Propriétés générales des suites réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
1.1 Rappels sur les propriétés de R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
1.2 Définitions et généralités sur les suites réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
1.3 Propriétés des suites réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
2 Limite d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
2.1 Convergence ou divergence d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
2.2 Propriétés des suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
2.3 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
2.4 Existence de limites à l’aide d’inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
2.5 Limite des suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
2.6 Suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
2.7 Brève extension aux suites complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

158 C HAPITRE 6 : Suites réelles et complexes
1 Propriétés générales des suites réelles

1.1 Rappels sur les propriétés de R
1.1.1 Relation d’ordre
Si (x, y) ∈ R2, on note x < y lorsque x ≤ y et x 6= y. On a donc : x < y =⇒ x ≤ y.

De plus le contraire de x < y est x ≥ y, alors que le contraire de x ≤ y est x > y.
Proposition 1 – Compatibilité avec le passage à l’opposé
Soient x et y deux nombres réels tels que x ≤ y. On a alors −y ≤ −x.
Proposition 2 – Compatibilité avec l’addition
Soient x, x ′ , b, et b ′ des nombres réels tels que x ≤ b et x ′ ≤ b ′ .

On a alors x + x ′ ≤ b + b ′ .
En particulier pour tout réel a, on a x + a ≤ x ′ + a.
Majorer un nombre réel x c’est trouver un réel b tel que x ≤ b ; le minorer c’est trouver
un réel c tel que c ≤ x.
c ≤x ≤b c + c ′ ≤ x + x′ ≤ b + b′
Des inégalités entre nombres réels on tire
c ′ ≤ x′ ≤ b′ c − b′ ≤ x − x′ ≤ b − c ′
Autrement dit :
Pour majorer (resp. minorer) une somme de deux nombres réels, on majore (resp. minore) chacun
des termes. Pour majorer une différence x − x ′ , on majore x et on minore x ′ ; pour minorer x − x ′ ,
on minore x et on majore x ′ .
c ≤x ≤b
B On ne peut donc jamais soustraire deux inégalités : les inégalités ne donnent
c ′ ≤ x′ ≤ b′
pas c − c ′ ≤ x − x ′ ≤ b − b ′ .
Les propriétés suivantes sont donnés pour des nombres positifs. Si ce n’est pas le cas, il faut
commencer par changer leur signe en passant à l’opposé.
Proposition 3 – Compatibilité avec le passage à l’inverse

1 1
Soient x et y deux nombres réels tels que 0 < x ≤ y. On a alors 0 < ≤ .
y x

1 Propriétés générales des suites réelles 159
Proposition 4 – Compatibilité avec la multiplication
Soient x, x ′ , b, et b ′ des nombres réels tels que 0 ≤ x ≤ b et 0 ≤ x ′ ≤ b ′ .

On a alors 0 ≤ xx ′ ≤ bb ′ .
En particulier pour tout réel a positif, on a 0 ≤ ax ≤ ax ′ .
0<c ≤x ≤b
Lorsqu’il s’agit de nombres strictement positifs, les inégalités donnent
0 < c ′ ≤ x′ ≤ b′
0 < cc ′ ≤ xx ′ ≤ bb ′
c x b
0< ′ ≤ ′ ≤ ′
b x c
Autrement dit :
Pour majorer (resp. minorer) un produit de deux nombres strictement positifs, on majore (resp.
minore) chacun des facteurs. Pour majorer un quotient x/x ′ de deux nombres strictement
positifs, on majore le numérateur et on minore le dénominateur ; pour minorer x/x ′ , on minore
le numérateur et on majore le dénominateur.
0<c ≤x ≤b
B On ne peut donc jamais diviser deux inégalités : les inégalités ne donnent
0 < c ′ ≤ x′ ≤ b′
pas c/c ′ ≤ x/x ′ ≤ b/b ′ .
1.1.2 Intervalles
Soient a et b deux réels tels que a < b. On définit les notations suivantes :
• [a, b] = {x ∈ R/ a ≤ x ≤ b} intervalle fermé borné = segment ;
• [a, b[= {x ∈ R/ a ≤ x < b} intervalle borné ;
• ]a, b] = {x ∈ R/ a < x ≤ b} intervalle borné ;
• ]a, b[= {x ∈ R/ a < x < b} intervalle ouvert borné ;
• [a, +∞[= {x ∈ R/ a ≤ x} intervalle fermé ;
• ]a, +∞[= {x ∈ R/ a < x} intervalle ouvert ;
• ] − ∞, b] = {x ∈ R/ x ≤ b} intervalle fermé ;
• ] − ∞, b[= {x ∈ R/ x < b} intervalle ouvert ;
• ] − ∞, +∞[= R intervalle ouvert et fermé.
© ª
Exemple. [a, b] = t a + (1 − t )b; t ∈ [0, 1] .
Théorème 5 – Caractérisation des intervalles

Soit I ⊆ R. Alors :
³ ´
I est un intervalle ⇐⇒ ∀(a, b) ∈ I 2 , a < b =⇒ [a, b] ⊆ I

Exemple. R∗ n’est pas un intervalle puisque −1 ∈ R∗, 1 ∈ R∗ mais [−1, 1] 6⊆ R∗.
Définition 6 – Intérieur et extérieur d’un intervalle

Soit I un intervalle. On pose :
◦
• I = I privé de ses bornes = intérieur de I . C’est un intervalle ouvert.
• I = I union ses bornes = adhérence de I . C’est un intervalle fermé.
◦
On a bien évidemment I ⊆ I ⊆ I .
B Attention : ne pas confondre la notation de l’adhérence avec celle du complémentaire.
◦
Exemple. Pour I = [0, 1[ les bornes sont 0 et 1, I =]0, 1[ et I = [0, 1].
Le complémentaire de I (dans R) est R\I =] − ∞, 0[∪[1, +∞[.
1.1.3 Valeur absolue
Définition 7 – Valeur absolue

½
Pour tout x ∈ R, on pose |x| = max(x, −x) = x si x ≥ 0
−x si x < 0
.
Une valeur absolue est donc toujours positive. Elle sera donc souvent utilisée dans les inégalités
qui ne se sont conservées par produit que si on multiplie par un nombre positif.
Exemple. Exprimer l’expression |x 2 − 4| − |x + 2| + |x − 3| sans valeur absolue.
Sachant que la valeur absolue coïncide avec le module pour les nombres réels, on obtient les
propriété suivantes.
Soient x et y deux réels.

1. | − x| = |x|.
N, ¯x n ¯ = |x|n .
¯ ¯
2. |x × y| = |x| × |y| donc ∀n ∈
Proposition 9 – Valeur absolue et inégalités
Soient x et y deux réels.

1. −|x| ≤ x ≤ |x|.
2. Si α ≥ 0 : |x| ≤ α ⇐⇒ −α ≤ x ≤ α.

Une inégalité du type |x − a| ≤ b signifie que a − b ≤ x ≤ a + b, c’est-à-dire que x ∈ [a − b, a + b] ;

x est donc dans un intervalle centré en a et de rayon b.
Si x est un réel inconnu et a est un réel connu, on dit que a est une valeur approchée de x à la
précision ε (où ε est un réel strictement positif), lorsque |x − a| ≤ ε. On dit aussi que a est une
valeur approchée de x à ε près.
Plus précisément si 0 ≤ a − x ≤ ε, on dit que a est une valeur approchée de x par excés à la
précision ε ; si 0 ≤ x − a ≤ ε, on dit que a est une valeur approchée de x par défaut à la
précision ε.
Proposition 10 – Inégalité triangulaire
Soient x et y deux réels. On a :

¯ ¯
¯|x| − |y|¯ ≤ |x + y| ≤ |x| + |y|
avec égalité à droite si et seulement si x et y de même signe.
¯ ¯
¯Xn ¯ X n
¯ ¯
On a donc |x − y| ≤ |x| + |y| et plus généralement si x1 , x2 , . . . , xn sont réels : ¯ xk ¯ ≤ |x |
¯k=1 ¯ k=1 k
1.1.4 Partie entière
Définition 11 – Partie entière

R Z
Si x ∈ , on admet qu’il existe un unique n ∈ tel que n ≤ x < n + 1.
On le note n = ⌊x⌋ ou E (x), et on l’appelle la partie entière de x.
Le nombre ⌊x⌋ est donc caractérisée par : ⌊x⌋ ∈ Z et ⌊x⌋ ≤ x < ⌊x⌋ + 1.
On a aussi l’inégalité : x − 1 < ⌊x⌋ ≤ x.
Exemple. Si x est un réel et n un entier relatif, montrer que ⌊x + n⌋ = ⌊x⌋ + n.

⌊10n x⌋
Soit x un réel fixé. Pour n un entier naturel, on lui associe les nombres décimaux et
10n
⌊10n x⌋ + 1
. Il sont appelés approximations décimales de x de rang n.
10n
Proposition 12 – Approximations décimales d’un réel
⌊10n x⌋
Pour tout entier naturel n, est une valeur approchée de x par défaut à la précision
10n
−n ⌊10n x⌋ + 1
10 , et est une valeur approchée de x par excés à la précision 10−n .
10n

1.2 Définitions et généralités sur les suites réelles
Définition 13 – Suite réelle

Une suite réelle est une application u : N −→ R.
L’ensemble des suites réelles peut donc se noter F ( , ) ou NR RN. ou encore S (R).
N
Notations : pour n ∈ , le réel u(n) est noté u n .
La suite u est alors notée (u n )n∈N , ou plus simplement (u n ).
B Attention : il ne faut pas confondre le réel u n et la suite (u n ).
Pour ne pas faire cette confusion, on note parfois la suite u sous la forme (u 0 , u 1 , . . . , u n , . . . )
(comme une famille de réels indexée par ). N
Une suite (u n )n∈N peut être définie de trois manières :
• explicitement : on donne l’expression de u n en fonction de la variable n ;
• implicitement : u n est définie comme l’unique solution d’une équation dépendant de la
variable n ;
• par récurrence : on donne les premiers termes, puis une formule permattant de calculer
u n en fonction de u n−1 , u n−2 , . . ., u 0 .
Exemple. (u n )n∈N est la suite définie par ∀n ∈ N, un = 21n .
Exemple. (u n )n∈N est la suite définie par : ∀n ∈ N, un est l’unique solution de l’équation
ex = x + n + 1.
Exemple. (u n )n∈N est la suite définie par u 0 = 1 et ∀n ∈ N, un+1 = sin(un ).

Définition 14 – Opérations sur les suites
Soient (u n )n∈N et (v n )n∈N deux suites réelles.

1. Addition. (u n )n∈N + (v n )n∈N = (u n + v n )n∈N .
2. Multiplication par un réel. Si λ ∈ R, λ × (un )n∈N = (λ × un )n∈N .
3. Multiplication. (u n )n∈N × (v n )n∈N = (u n × v n )n∈N .
Les règles de calcul sont les mêmes que dans R.

Définition 16 – Suite définie à partir d’un certain rang
N
Soit n 0 ∈ . On appelle suite réelle définie à partir du rang n 0 toute application
R
u : n 0 , +∞[−→ . Cette suite est notée (u n )n≥n0 .
µ ¶
¡ n
¢ ¡ n¢ 1
Exemple. (−1) n∈N , 2 n∈N et .
n n≥1
Définition 17 – Propriété vraie à partir d’un certain rang
N
Soit P (n) un prédicat qui dépend de n ∈ . On dit que P (n) est vraie à partir d’un certain
N
rang (a.p.c.r.) lorsqu’il existe n 0 ∈ tel que, pour tout n ≥ n 0 , P (n) est vraie.
1.3 Propriétés des suites réelles

Définition 18 – Suites majorée, minorées, bornées
1. On dit que (u n )n∈N est majorée lorsqu’il existe un réel M tel que : ∀n ∈ N, un ≤ M.
2. On dit que (u n )n∈N est minorée lorsqu’il existe un réel m tel que : ∀n ∈ N, u n ≥ m.
3. On dit que (u n )n∈N est bornée lorsqu’il existe deux réels m et M tel que :
N
∀n ∈ , m ≤ u n ≤ M.
Ces notions peuvent être définies à partir d’un certain rang.
B Les nombres m et M ne doivent pas dépendre de n.
Théorème 19 – Caractérisation des suites bornées

On a : ¡ ¢
(u n )n∈N bornée ⇐⇒ |u n | n∈N majorée
¡ ¢
Exemple. La suite (−1)n n∈ N est bornée.
Définition 20 – Suites monotones

1. On dit que la suite (u n )n∈N est croissante lorsque : ∀n ∈N, un ≤ un+1 .
2. On dit que la suite (u n )n∈N est décroissante lorsque : ∀n ∈ N, u n ≥ u n+1 .
3. On dit que la suite (u n )n∈N est stationnaire lorsque : ∀n ∈ N, u n = u n+1 .
4. On dit que la suite (u n )n∈N est monotone lorsqu’elle est croissante ou décroissante.
Exemple. Une suite est stationnaire si, et seulement si, elle est à la fois croissante
et décroissante.

Ces notions peuvent être définies à partir d’un certain rang.
B Attention : en général une suite n’est pas monotone, c’est-à-dire ni croissante

ni décroissante.
Définition 21 – Suites strictement monotones

On dit que la suite (u n )n∈N est strictement croissante lorsque : ∀n ∈ N, un < un+1 .
On définit de même les notions de suites strictement décroissantes, puis strictement monotone.
On peut aussi définir ces notions à partir d’un certain rang.
Pour les suites on ne s’intéresse généralement pas à leur monotonie stricte, mais seulement à
leur monotonie au sens large (c’est une différence notable avec l’étude des fonctions
numériques).
Étude pratique de la monotonie d’une suite (u n ) :
N
1. On fixe n ∈ , et on détermine le signe de u n+1 − u n . S’il ne dépend pas de n à partir d’un
rang n 0 alors (u n ) est monotone à partir du rang n 0 .
Plus précisément si u n+1 − u n ≥ 0 pour n ≥ n 0 , alors (u n ) est croissante à partir du rang n 0 ;
si u n+1 − u n ≤ 0 pour n ≥ n 0 , alors (u n ) est décroissante à partir du rang n 0 .
2. Autre méthode, utilisée si l’expression de u n comporte beaucoup de produits.
u n+1
(a) Si u n > 0 a.p.c.r. alors on compare avec 1 :
un
u n+1
− si ≥ 1 à partir d’un rang n 0 , alors (u n ) est croissante à partir du rang n 0 ;
un
u n+1
− si ≤ 1 à partir d’un rang n 0 , alors (u n ) est décroissante à partir du rang n 0 .
un
u n+1
(b) Si u n < 0 a.p.c.r. alors on compare avec 1 :
un
u n+1
− si ≥ 1 à partir d’un rang n 0 , alors (u n ) est décroissante à partir du rang n 0 ;
un
u n+1
− si ≤ 1 à partir d’un rang n 0 , alors (u n ) est croissante à partir du rang n 0 .
un
µ ¶ µ n¶
1 ¡ n
¢ 2
Exemple. Étudier la monotonie des suites , (−1) n∈N et .
n n≥1 n! n∈N

2 Limite d’une suite 165
2 Limite d’une suite

2.1 Convergence ou divergence d’une suite
Définition 22 – Suite convergente
On dit que la suite (u n ) converge vers ℓ ∈ R lorsque :

∀ε > 0, ∃n 0 ∈ N; ∀n ≥ n 0 , |u n − ℓ| ≤ ε
On le note lim u n = ℓ ou lim u n = ℓ, ou encore u n −→ ℓ.

n→+∞ n→+∞
Dans cette définition on peut remplacer |u n − ℓ| ≤ ε par |u n − ℓ| < ε, sans en changer le sens.
De plus |u n − ℓ| ≤ ε signifie que u n ∈ [ℓ − ε, ℓ + ε] : donc a.p.c.r. u n est « aussi proche que l’on
veut » de ℓ.
Remarquez que le n 0 qui apparaît dans la définition dépend de ε. Parfois on le note n 0 (ε) pour
ne pas perdre de vue cette dépendance.
B La plupart du temps, une suite n’a pas de limite, et on ne peut donc pas utiliser la
notation lim u n dans un raisonnement sans avoir prouvé auparavant son existence. Pour
n→+∞
éviter ce genre d’erreur on utilisera de préférence la notation u n −→ ℓ qui ne fait pas
n→+∞
apparaître le symbole limu n .
1
Exemple. Montrer que −→ 0.
n n→+∞
Exemple. Une suite (u n )n∈N stationnaire converge vers u 0 .
B Attention : la limite ne doit pas dépendre de n.

1
Par exemple on ne peut pas dire que u n −→ , cela n’a aucun sens !
n→+∞ n
Théorème 23 – Unicité de la limite

Si une suite converge, alors sa limite est unique.
Définition 24 – Suite divergente
Lorsqu’une suite n’est pas convergente, on dit qu’elle est divergente.

Définition 25 – Limite +∞
On dit que la suite (u n ) a pour limite +∞ lorsque :
∀A ∈ R, ∃n0 ∈ N; ∀n ≥ n0, un ≥ A
On le note lim u n = +∞ ou lim u n = +∞, ou encore u n −→ +∞.
n→+∞ n→+∞
Dans cette définition on peut remplacer u n ≥ A par u n > A, sans en changer le sens.
Remarquez que le n 0 qui apparaît dans la définition dépend de A. Parfois on le note n 0 (A) pour
ne pas perdre de vue cette dépendance.
Exemple. n 2 −→ +∞.
n→+∞
On peut définir de même une suite qui a pour limite −∞ :
∀A ∈ R, ∃n0 ∈ N; ∀n ≥ n0, un ≤ A
Proposition 26 – Propriétés des suites qui ont pour limite +∞ ou −∞
1. Une suite qui a pour limite +∞ ou −∞ n’est pas bornée.

2. u n −→ +∞ ⇐⇒ −u n −→ −∞
n→+∞ n→+∞
Définition 27 – Divergence de première ou seconde espèce
Les suites divergentes sont classées en deux catégories :

• une suite qui a pour limite +∞ ou −∞ est dite divergente de première espèce ;
• une suite qui n’a pas de limite est dite divergente de seconde espèce.
B La plupart des suites sont divergentes de seconde espèce.

Si une suite ne converge pas, on ne peut pas dire qu’elle a pour limite +∞ ou −∞ ; à priori elle
n’a pas même pas de limite !
¡ ¢
Exemple. La suite (−1)n n∈ N est divergente de seconde espèce (nous en verrons la preuve
plus tard).
Théorème 28 – Premiers termes et nature d’une suite

En modifiant un nombre fini de termes d’une suite (u n ), on ne change pas sa nature (ie le
fait qu’elle soit convergente ou divergente).
Dans le cas où la suite est convergente, on ne modifie pas non plus la valeur de sa limite.

2.2 Propriétés des suites convergentes

Lemme 29 – La bornitude commence dès le rang 0
Une suite bornée a.p.c.r. est bornée à partir du rang 0.
Théorème 30 – Convergence et bornitude
Une suite convergente est bornée.
B La réciproque est fausse : une suite bornée n’est en général pas convergente, comme le
¡ ¢
montre l’exemple de la suite (−1)n n∈N .
Par contre, on verra qu’une suite monotone et bornée converge.
Par contraposée, on obtient qu’une suite non bornée n’est pas convergente. Par exemple, une
suite qui a pour limite ±∞ ne peut pas être convergente.
Le théorème suivant relie le signe de la limite avec le signe de u n pour de grandes valeurs de n.
Théorème 31 – Limite et signe
1. Si une suite (u n ) converge vers un réel ℓ > 0, alors u n > 0 a.p.c.r..

2. Si une suite (u n ) converge vers un réel ℓ < 0, alors u n < 0 a.p.c.r..
3. Si une suite (u n ) converge vers un réel ℓ 6= 0, alors u n 6= 0 a.p.c.r..
B Par contre si (u n ) converge vers 0 elle peut changer indéfiniment de signe.

(−1)n
Par exemple si u n = .
n
Théorème 32 – Stabilité des inégalités larges par passage à la limite
Soient (u n ) et (v n ) deux suites réelles telles que u n ≤ v n a.p.c.r..

Si (u n ) converge vers ℓ et (v n ) converge vers L, alors ℓ ≤ L.
Ce théorème est aussi appelé « prolongement des inégalités ».
B Attention les inégalités strictes ne sont pas conservées :
u n < v n a.p.c.r. ne donne pas ℓ < L, mais seulement ℓ ≤ L.

1 2
Contre-exemple : si u n = et v n = on a ℓ = L = 0.
n n
B Si (u n ) converge vers ℓ et u n > 0 a.p.c.r. alors on est sûr que ℓ ≥ 0 ; c’est le théorème 32.
Par contre il est possible que ℓ = 0. La réciproque du théorème 31 est donc fausse en général.

Corollaire 33 – Localisation de la limite

Si (u n ) est a.p.c.r. à valeurs dans un intervalle I d’extrémités a et b, et si (u n ) converge
vers ℓ, alors ℓ ∈ [a, b].
2.3 Opérations sur les limites

2.3.1 Somme
Lemme 34 – Cas où une suite diverge vers +∞
Si (u n ) est une suite minorée et v n −→ +∞, alors u n + v n −→ +∞

n→+∞ n→+∞
Théorème 35 – Somme de limites
Soient ℓ et ℓ′ deux réels.

1. Si u n −→ ℓ et v n −→ ℓ′ , alors u n + v n −→ ℓ + ℓ′
n→+∞ n→+∞ n→+∞
2. Si u n −→ ℓ et v n −→ +∞, alors u n + v n −→ +∞
n→+∞ n→+∞ n→+∞
3. Si u n −→ ℓ et v n −→ −∞, alors u n + v n −→ −∞
n→+∞ n→+∞ n→+∞
4. Si u n −→ +∞ et v n −→ +∞, alors u n + v n −→ +∞
n→+∞ n→+∞ n→+∞
5. Si u n −→ −∞ et v n −→ −∞, alors u n + v n −→ −∞
n→+∞ n→+∞ n→+∞
B Si u n −→ +∞ et v n −→ −∞, alors on ne peut absolument rien dire de général sur la limite

n→+∞ n→+∞
de la suite (u n + v n ). On dit que ∞ − ∞ est une forme indéterminée.
Par passage à l’opposé, on obtient les résultats sur les différences de limites.
Corollaire 36 – Différence de limites

1. Si u n −→ ℓ et v n −→ ℓ′ , alors u n − v n −→ ℓ − ℓ′
n→+∞ n→+∞ n→+∞
2. Si u n −→ ℓ et v n −→ +∞, alors u n − v n −→ −∞
n→+∞ n→+∞ n→+∞
3. Si u n −→ ℓ et v n −→ −∞, alors u n − v n ) −→ +∞
n→+∞ n→+∞ n→+∞
4. Si u n −→ +∞ et v n −→ −∞, alors u n − v n −→ +∞
n→+∞ n→+∞ n→+∞
5. Si u n −→ −∞ et v n −→ +∞, alors u n − v n −→ −∞
n→+∞ n→+∞ n→+∞
Exemple. On suppose que les suites (u n ) et (u n + v n ) convergent. Montrer que la suite (v n )

converge.

B En général u n −v n −→ 0 ne donne pas lim u n = lim v n ; il faudrait en effet que lim u n

n→+∞ n→+∞ n→+∞ n→+∞
et lim v n existent !
n→+∞
Contre-exemple : u n = v n = (−1)n .
2.3.2 Produit
Lemme 37 – Cas où une suite diverge vers +∞ ou −∞
On suppose que (u n ) est minorée a.p.c.r. par un réel ρ > 0.

1. Si v n −→ +∞, alors u n v n −→ +∞.
n→+∞ n→+∞
2. Si v n −→ −∞, alors u n v n −→ −∞.
n→+∞ n→+∞
B Si (u n ) est minorée a.p.c.r. par un réel ρ > 0, alors elle est aussi minorée à partir du rang 0,
mais le minorant n’est peut-être plus strictement positif (par exemple si u n = n − 5).
Théorème 38 – Produit de limites

1. Si u n −→ ℓ et v n −→ ℓ′ , alors u n v n −→ ℓℓ′
n→+∞ n→+∞ n→+∞
½
+∞ si ℓ > 0
2. Si u n −→ ℓ avec ℓ 6= 0 et v n −→ +∞, alors u n v n −→
n→+∞ n→+∞ n→+∞ −∞ si ℓ < 0
½
−∞ si ℓ > 0
3. Si u n −→ ℓ avec ℓ 6= 0 et v n −→ −∞, alors u n v n −→
n→+∞ n→+∞ n→+∞ +∞ si ℓ < 0
4. Si u n −→ +∞ et v n −→ +∞, alors u n v n −→ +∞
n→+∞ n→+∞ n→+∞
5. Si u n −→ +∞ et v n −→ −∞, alors u n v n −→ −∞
n→+∞ n→+∞ n→+∞
6. Si u n −→ −∞ et v n −→ −∞, alors u n v n −→ +∞
n→+∞ n→+∞ n→+∞
B Si u n −→ 0 et v n −→ +∞ ou −∞, alors on ne peut absolument rien dire de général sur la

n→+∞ n→+∞
limite de la suite (u n v n ). On dit que 0 × ∞ est une forme indéterminée.
Exemple. Déterminer la limite de (n 2 − n).
2.3.3 Passage à l’inverse
Définition 39 – Notations ℓ+ et ℓ−
Soit (u n ) une suite réelle et ℓ un réel.
1. Lorsque u n > ℓ a.p.c.r. et u n −→ ℓ, on le note u n −→ ℓ+
n→+∞ n→+∞
2. Lorsque u n < ℓ a.p.c.r. et u n −→ ℓ, on le note u n −→ ℓ−
n→+∞ n→+∞

1
Exemple. On peut écrire −→ 0+
n n→+∞
Théorème 40 – Inverse d’une limite

Soit ℓ un réel.
1 1
1. Si u n −→ ℓ avec ℓ 6= 0, alors −→
n→+∞ u n n→+∞ ℓ
1
2. Si u n −→ 0+ , alors −→ +∞
n→+∞ u n n→+∞
1
3. Si u n −→ 0− , alors −→ −∞
n→+∞ u n n→+∞
1
4. Si u n −→ +∞, alors −→ 0+
n→+∞ u n n→+∞
1
5. Si u n −→ −∞, alors −→ 0−
n→+∞ u n n→+∞
2.3.4 Quotient de limites
Théorème 41 – Quotient de limites

un ℓ
1. (a) Si u n −→ ℓ et v n −→ ℓ′ avec ℓ′ 6= 0, alors −→ ′
n→+∞ n→+∞ v n n→+∞ ℓ
½
+ un +∞ si ℓ > 0
(b) Si u n −→ ℓ avec ℓ 6= 0 et v n −→ 0 , alors −→
n→+∞ n→+∞ v n n→+∞ −∞ si ℓ < 0
½
− un −∞ si ℓ > 0
Si u n −→ ℓ avec ℓ 6= 0 et v n −→ 0 , alors −→
n→+∞ n→+∞ vn n→+∞ +∞ si ℓ < 0
un
(c) Si u n −→ ℓ et v n −→ +∞ ou −∞, alors −→ 0
n→+∞ n→+∞ v n n→+∞
½
un +∞ si ℓ′ > 0
2. (a) Si u n −→ +∞ et v n −→ ℓ′ avec ℓ′ 6= 0, alors −→ ′
n→+∞ n→+∞ v n n→+∞ −∞ si ℓ < 0
un
(b) Si u n −→ +∞ et v n −→ 0+ , alors −→ +∞
n→+∞ n→+∞ v n n→+∞
un
Si u n −→ +∞ et v n −→ 0− , alors −→ −∞
n→+∞ n→+∞ v n n→+∞
½
′ ′ un −∞ si ℓ′ > 0
3. (a) Si u n −→ −∞ et v n −→ ℓ avec ℓ 6= 0, alors −→ ′
n→+∞ n→+∞ v n n→+∞ +∞ si ℓ < 0
un
(b) Si u n −→ −∞ et v n −→ 0+ , alors −→ −∞
n→+∞ n→+∞ v n n→+∞
un
Si u n −→ −∞ et v n −→ 0− , alors −→ +∞
n→+∞ n→+∞ v n n→+∞

B Si u n −→ 0 et v n −→ 0, alors on ne peut absolument rien dire de général sur la limite de

n→+∞ n→+∞
un 0
la suite . On dit que est une forme indéterminée.
vn 0
B Si u n −→ +∞ ou −∞ et v n −→ +∞ ou −∞, alors on ne peut absolument rien dire de

n→+∞ n→+∞
un ∞
général sur la limite de la suite . On dit que est une forme indéterminée.
vn ∞
n3 + n + 1 n2 − 1
Exemple. Déterminer la limite de et 2 .
n2 + 1 n +1
2.3.5 L’ensemble R
On pose R = R ∪ {−∞; +∞} = [−∞, +∞]. L’ensemble R est appelé droite numérique achevée.
On prolonge partiellement l’addition à R en posant, pour tout réel x :
x + (+∞) = +∞ et x + (−∞) = −∞
ainsi que :
(+∞) + (+∞) = +∞ et (−∞) + (−∞) = −∞
B L’opération (+∞) + (−∞) n’est pas définie.
On prolonge partiellement la multiplication à R en posant, pour tout réel x non nul :

+∞ si x > 0 −∞ si x > 0
x × (+∞) = et x × (−∞) =
−∞ si x < 0 +∞ si x < 0
ainsi que :
(+∞) × (+∞) = (−∞) × (−∞) = +∞ et (+∞) × (−∞) = −∞
B Les opérations 0 × (+∞) et 0 × (−∞) ne sont pas définies.
Enfin on prolonge la relation d’ordre ≤ en posant, pour tout réel x :
−∞ ≤ x x ≤ +∞ et − ∞ ≤ +∞
2.3.6 Composition de limites
Théorème 42 – Composition d’une fonction avec une suite
R
Soit f : I −→ une fonction numérique définie sur un intervalle I et (u n ) une suite réelle
telle que u n ∈ I a.p.c.r..
n→+∞
R
Si u n −→ a ∈ et f (x) −→ ℓ ∈ R alors f (u n ) −→ ℓ.
x→a n→+∞

En particulier la valeur absolue est compatible avec la notion de limite :

R
si u n −→ a ∈ , alors |u n | −→ |a| ∈ .
n→+∞ n→+∞
R
Si f est continue sur l’intervalle I et si a ∈ I alors f (x) −→ f (a), et donc u n −→ a et a ∈ I donne
x→a n→+∞
f (u n ) −→ f (a).
n→+∞
B Ceci est faux si a ∉ I (ce qui est possible si a est une borne de l’intervalle I ).
µ ¶
p p 1 ¡p p ¢
Exemple. Déterminer lim n + 1, lim n × sin p , lim n + 1 − n , lim n 1/n et
µ ¶
n→+∞ n→+∞ n n→+∞ n→+∞
1 n
lim 1 + .
n→+∞ n
³ ´ lim b n
B En général lim anbn 6= lim an n→+∞ .
n→+∞ n→+∞
Exemple. Montrer que la fonction sin n’a pas de limite en +∞.
2.4 Existence de limites à l’aide d’inégalités

Théorème 43 – Théorème de convergence par encadrement
Soient (u n ), (v n ) et (w n ) trois suites réelles telles que u n ≤ v n ≤ w n a.p.c.r., et (u n ) et (w n )

convergent vers la même limite ℓ.
Alors (v n ) converge vers ℓ.
Ce théorème porte aussi le nom de théorème des gendarmes.

B Ne pas le confondre avec le théorème de prolongement des inégalités larges. Dans le théo-
rème de convergence par encadrement, on montre l’existence de la limite de (v n ), alors que
dans l’autre théorème c’est une des hypothèses de départ.
n
X 1
Exemple. Déterminer lim (2 + sin n)1/n et lim p .
n→+∞ n→+∞
k=1 n + k
La difficulté de ce théorème, c’est qu’il nécessite deux inégalités bien choisies pour pouvoir
conclure. Dans le cas où on peut deviner la valeur de la limite cherchée, on utilise le résultat
suivant qui ne demande qu’une seule inégalité.
Lemme 44 – Suites convergentes et valeur absolue
1. Soit ℓ ∈ R. On a : un n→+∞
−→ ℓ ⇐⇒ (u n − ℓ) −→ 0
n→+∞
2. On a : u n −→ 0 ⇐⇒ |u n | −→ 0
n→+∞ n→+∞
Donc si ℓ ∈ R, on a :
u n −→ ℓ ⇐⇒ |u n − ℓ| −→ 0
n→+∞ n→+∞

Théorème 45 – Théorème de convergence par majoration de l’erreur
Soit ℓ un réel et soient (u n ) et (αn ) deux suites réelles telles que |u n − ℓ| ≤ αn a.p.c.r., et
αn −→ 0.
n→+∞
On a alors u n −→ ℓ.
n→+∞
n + sin n
Exemple. Déterminer lim .
n→+∞ n + 1
Ce théorème est aussi très pratique pour prouver la convergence de suites définies par une
somme ou par une intégrale.
n sin k
N
X
Exemple. On pose pour tout n ∈ , u n = 2
. Déterminer lim u n .
k=1 n + k
n→+∞
Z1
Exemple. On pose pour tout n ∈ , u n = N t n cos(nt ) dt . Déterminer lim u n .
n→+∞
0
On en déduit aussi le corollaire suivant qui est facile d’utilisation en pratique.
Corollaire 46 – Produit d’une suite bornée et d’une suite convergente vers 0
Soient (u n ) et (v n ) deux suites telles que (u n ) est bornée et (v n ) est convergente vers 0.
Alors −→ u n v n = 0.
n→+∞
(−1)n cos n
Exemple. Déterminer lim et lim p .
n→+∞ n n→+∞ n
Pour une limite infinie, une seule inégalité suffit.
Théorème 47 – Théorème de divergence par minoration
Soient (u n ) et (v n ) deux suites réelles telles que u n ≤ v n a.p.c.r., et (u n ) diverge vers +∞.
Alors (v n ) diverge elle aussi vers +∞.
Théorème 48 – Théorème de divergence par majoration
Soient (u n ) et (v n ) deux suites réelles telles que u n ≤ v n a.p.c.r., et (v n ) diverge vers −∞.
Alors (u n ) diverge elle aussi vers −∞.
Exemple. Soit (u n ) une suite réelle définie par u 0 > 0 et ∀n ∈ N, un+1 = un + pn. Montrer
que lim u n = +∞.
n→+∞
Xn 1
Exemple. Déterminer lim p .
n→+∞
k=1 k

2.5 Limite des suites monotones

2.5.1 Bornes supérieure et inférieure dans R
Dans tout ce paragraphe, A est une partie de R supposée non vide.
Définition 49 – Partie majorée
Un réel M est un majorant de la partie A lorsque : ∀x ∈ A, x ≤ M.

Si A admet au moins un majorant, on dit que A est une partie majorée.
De même on dit qu’un réel m est un minorant de A lorsque : ∀x ∈ A, m ≤ x. Si A admet au moins

un minorant, on dit que A est une partie minorée.
On dit que A est bornée lorsqu’elle est à la fois majorée et minorée, c’est-à-dire qu’il existe
R
(m, M) ∈ 2 tel que : ∀x ∈ A, m ≤ x ≤ M.
Exemple. [0, 1[ est minorée par 0 et majorée par 1.
Noter qu’une partie majorée admet une infinité de majorants : si M est un majorant, tout réel
plus grand que M est un autre majorant.
Proposition 50 – Partie bornée et valeur absolue
Si A est une partie de R, non vide : A est bornée ⇐⇒ ∃M ∈ R/ ∀x ∈ A, |x| ≤ M.
Définition 51 – Maximum
Un réel b est un maximum de A lorsque b ∈ A et b est un majorant de A : ∀x ∈ A, x ≤ b.

S’il existe, le maximum est unique et est noté : b = max A. On l’appelle aussi le plus grand
élément de A.
De même, un réel a est un minimum de A lorsque a ∈ A et a est un minorant de A : ∀x ∈ A,

a ≤ x. S’il existe, le minimum est unique et est noté : a = min A.On l’appelle aussi le plus petit
élément de A.
Théorème 52 – Cas d’une partie finie et non vide
Si A est une partie finie et non vide, alors elle admet un maximum et un minimum.
Exemple. [0, 1[ admet pour minimum 0 et n’a pas de maximum.
Si A est une partie infinie, on vient de voir que même si elle est bornée, elle peut ne pas avoir de
maximum. Pour palier ce défaut on introduit une notion plus subtile.

Définition 53 – Borne supérieure
R
Si l’ensemble des majorants de A, noté E A = {M ∈ / ∀x ∈ A, x ≤ M}, est non vide et admet
un plus petit élément b, alors b est appelé borne supérieure de A, notée sup A.
sup A est donc le plus petit majorant de A.
Le théorème suivant est fondamental et sera admis.
Théorème 54 – Théorème fondamental de la borne supérieure
Si A est une partie de R non vide et majorée, alors sup A existe.

Exemple. sup[0, 1[= 1.
B En général sup A n’est pas un élément de A.
En particulier A est majorée par sup A : ∀x ∈ A, x ≤ sup A.
Le fait que sup A soit le plus petit majorant de A s’utilise de la façon suivante : si M est un réel
tel que ∀x ∈ A, x ≤ M, alors sup A ≤ M.
B Dans le raisonnement précédent, on n’a pas pu choisir que x = sup A puisqu’on a vu qu’en
général sup A n’est pas un élément de A.
On a en fait deux possibilités pour partie A majorée et non vide :

• si sup A appartient à A alors A admet un maximum égal à sup A ;
• sinon A n’admet pas de maximum.
On définit de même inf A comme étant le plus grand minorant de A. On est assuré de son
existence dès que A est une partie non vide et minorée.
Exemple. Soient A et B sont deux parties non vides de R telles que A ⊆ B. Montrer que :
• si B est majorée, alors A est majorée et sup A ≤ sup B ;
• si B est minorée, alors A est minorée et infB ≤ inf A.
2.5.2 Limite des suites monotones
Théorème 55 – Théorème de la limite monotone

Soit (u n ) une suite réelle.
1. On suppose (u n ) croissante a.p.c.r. :
• si (u n ) est majorée, alors (u n ) est convergente et ∀n ∈ N, un ≤ limun ;
• si (u n ) n’est pas majorée, alors (u n ) diverge vers +∞.
2. On suppose (u n ) décroissante a.p.c.r. :
• si (u n ) est minorée, alors (u n ) est convergente et ∀n ∈ N, lim un ≤ un ;
• si (u n ) n’est pas minorée, alors (u n ) diverge vers −∞.

Retenir qu’une suite monotone a toujours une limite, finie ou infinie.
Important. Ce théorème permet d’étudier la limite de suite dont on ne connaît pas une
expression du terme général.
Xn 1
Exemple. Pour tout n ∈ N, on pose un = k!
. En exploitant l’inégalité k! ≥ 2k−1 , montrer
k=0
que la suite (u n ) est convergente.
Exemple. Pour n ∈ N,
on définit xn comme étant l’unique solution de l’équation
nx + ln x = 0. Montrer que (xn )n∈N est bien définie et qu’elle converge vers 0.
Définition 56 – Suites adjacentes
Soient (u n ) et (v n ) deux suites réelles. On dit qu’elles sont adjacentes lorsque :

(i) (u n ) est croissante et (v n ) est décroissante a.p.c.r. ;
(ii) u n − v n −→ 0.
n→+∞
Sous les conditions (i ) et (i i ), on a u n ≤ v n a.p.c.r..
Les suites adjacentes donnent un cadre très simple pour utiliser le théorème de la limite
monotone, via le théorème suivant.
Théorème 57 – Théorème des suites adjacentes
Si (u n ) et (v n ) sont adjacentes alors elles convergent vers une même limite.
Exemple. Les approximations décimales d’un réel forment deux suites adjacentes qui
convergent vers ce réel. En particulier tout réel est limite d’une suite de nombres rationnels.
2n 1 2n 1
N∗, on pose an =
X X
Exemple. Pour tout n ∈ et b n = . Montrer que les suites (an )
k=n+1 k k=n k
et (b n ) sont adjacentes.
2.6 Suites extraites

Définition 58 – Suite extraite
Soit (u n ) une suite réelle. On appelle suite extraite de (u n ) toute suite de la forme (u ϕ(n) ) où
N N
ϕ : −→ est une application strictement croissante.
L’application ϕ est souvent appelée extractrice.
Exemple. (u n−1 )n≥1 , (u n+1 ), (u 2n ) et (u 2n+1 ) sont des suites extraites de (u n ).

Théorème 59 – Limite des suites extraites

¡ ¢
Si (u n ) admet une limite finie ou infinie alors toute suite extraite u ϕ(n) admet la même
limite.
En particulier les suites extraites (u 2n ) et (u 2n+1 ) ont la même limite que (u n ).
B Si (u n ) est convergente on obtient donc que (u n+1 − u n ) converge vers 0. Mais la réciproque
est fausse, on peut avoir (u n+1 −u n ) qui converge vers 0 et (u n ) divergente. Prendre par exemple
u n = ln(n).
¡ ¢
Exemple. Montrer que la suite (−1)n n’a pas de limite, ie qu’elle est divergente de seconde
espèce.
On a une réciproque dans le cas des suites extraites (u 2n ) et (u 2n+1 ).
Théorème 60 – Théorème des suites extraites recouvrantes

Si les suites extraites (u 2n ) et (u 2n+1 ) ont une même limite, alors la suite (u n ) admet la
même limite.
En particulier si les suites extraites (u 2n ) et (u 2n+1 ) sont adjacentes, alors la suite (u n ) est
convergente.
Xn (−1)k−1
Exemple. Pour tout n ∈ N∗, on pose S n = k
. Montrer que (S n )n≥1 est convergente.
k=1
2.7 Brève extension aux suites complexes

Une suite complexe est une application z : N −→ C. On la note (zn )n∈N .
L’ensemble des suites réelles peut se noter F (N, C) ou CN . ou encore S (C).
On dira que la suite complexe (z n ) converge vers le nombre complexe ℓ ∈ C lorsque :
∀ε > 0, ∃n 0 ∈ N; ∀n ≥ n 0 , |z n − ℓ| ≤ ε
C’est donc la même définition que pour une suite réelle, mais la valeur absolue est remplacée
par le module.
On peut se ramener à des suites réelles en utilisant les parties réelles et ¡imaginaires
¢ ¡: la suite¢
complexe (z n ) converge vers ℓ si, et seulement si, les suites réelles Re(z n ) et Im(z n )
convergent respectivement vers Re(ℓ) et Im(ℓ).
Exemple. lim ei 2π/n = 1.

n→+∞
De même on dira que la suite complexe (z n ) est bornée lorsqu’il existe un réel M positif tel que :
∀n ∈ N, |z n | ≤ M

Exemple. Pour tout n ∈ N, on pose zn = ei n . Alors ∀n ∈ N, |zn | ≤ 1 donc (zn ) est bornée.
Comme pour les suites réelles on peut montrer que pour une suite complexe convergente, il y a
unicité de la limite. De plus toute suite complexe convergente est bornée.
D’autre part les opérations compatibles avec les suites convergentes réelles le sont aussi avec
les suites complexes, à savoir :
• Combinaison linéaire. Si (z n ) et (z n′ ) sont deux suites complexes qui convergent respecti-
vement vers ℓ et ℓ′ , et si α et β sont deux nombres complexes, alors la suite complexe
(α.z n + β.z n′ ) converge vers le complexe αℓ + βℓ′ .
• Produit. Si (z n ) et (z n′ ) sont deux suites complexes qui convergent respectivement vers ℓ et
ℓ′ , alors la suite complexe (z n .z n′ ) converge vers le complexe ℓℓ′ .
• Quotient. Si (z n ) et (z n′ ) sont deux suites complexes qui convergent respectivement vers ℓ
et ℓ′ avec ℓ′ 6= 0, alors la suite complexe (z n /z n′ ) converge vers le complexe ℓ/ℓ′.
• Composition. Si (z n ) est une suite complexe qui ¡converge C C
¢ vers ℓ et si f : −→ est une
application telle que lim f (z) = a, alors la suite f (z n ) converge vers f (a).
z→ℓ
Le dernier point a pour conséquence le résultat suivant : si (z n ) converge vers ℓ alors z n −→ ℓ

n→+∞
et |z n | −→ |ℓ|
n→+∞


➥ Connaître les propriétés générales des suites.
✪ Écrire les propriétés de monotonie ou de bornitude avec des quantificateurs.
✪ Connaître les théorèmes sur les suites convergentes.
✪ Utiliser le théorème de la limite monotone ou le théorème des suites adjacentes pour
étudier la convergence d’une suite.
➥ Étudier une suite.

✪ Déterminer si elle est monotone.
✪ Calculer sa limite par opérations sur les limites.
✪ Calculer sa limite par encadrement.
✪ Étudier sa limite à l’aide de suites extraites.
➥ Connaître la définition et les propriétés des notions de borne supérieure ou inférieure d’une
partie de R.

4 Exercices
Propriétés de R
EXERCICE 1. Quelques inégalités
Montrer que :
p p
1. ∀(a, b) ∈ R2 , (a + b)2 ≤ 2(a 2 + b 2 ) 2. ∀(a, b) ∈ R+¢2, a + b É pa + b
¡
¡ ¢2 p
∀(a, b) ∈ R+ ,
1 a +b
3. ∀(a, b) ∈ R2 , |ab| ≤ (a 2 + b 2 ) 2. ab É
2 2
EXERCICE 2. Partie entière
Soit (x, y) ∈ R2 .
1. Peut-on relier ⌊x + y⌋, ⌊x⌋ et ⌊y⌋ ?
2. Comparer ⌊−x⌋ et ⌊x⌋. Calculer ⌊x⌋ + ⌊−x⌋.
EXERCICE 3. Borne supérieure
Soient A et B deux parties non vides et bornées.
1. Vérifier que sup(A ∪ B) et inf(A ∪ B) existent et les exprimer en fonction de sup A, sup B,
inf A et infB.
2. On suppose que A ∩ B 6= ;. Mêmes questions avec sup(A ∩ B) et inf(A ∩ B).
EXERCICE 4. Une inégalité classique
1. Vérifier que : ∀x > 0, x + x1 Ê 2.
2. Soient a1 , a2 , . . . , an des réels strictement positifs. Montrer que :
µ ¶ µ ¶
1 1 1 X ai a j
(a1 + a2 + · · · + an ) × + +··· + =n+ +
a1 a2 an 1Éi <j Én a j ai
et en déduire que :
µ ¶
1 1 1
(a1 + a2 + · · · + an ) × + +··· + Ê n2
a1 a2 an

4 Exercices 181
Propriétés générales
des suites
EXERCICE 5. Propriétés des suites convergentes
1. Soient (u n ) et (v n ) deux suites réelles qui convergent respectivement vers ℓ et ℓ′ tels que
ℓ < ℓ′ . Montrer que u n < v n a.p.c.r..
2. Soient (u n ) et (v n ) deux suites réelles telles que lim u n v n = 1 et a.p.c.r. 0 ≤ u n ≤ 1 et

n→+∞
0 ≤ v n ≤ 1. Montrer que (u n ) et (v n ) sont convergentes et déterminer leur limite.
3. (a) Si (a, b) ∈ R2, montrer que max(a, b) = 12 ¡a + b + |a − b|¢.

(b) En
¡ déduire que ¢ si (u n ) et (v n ) sont deux suites convergentes alors la suite
max(u n , v n ) est elle aussi convergente.
4. Soit (u n ) une suite réelle à valeurs dans Z, et convergente. Montrer qu’elle est
stationnaire.
EXERCICE 6. Principe de comparaison logarithmique
Soit (u n )n∈N une suite réelle.
N
1. On suppose qu’il existe un réel k ∈ [0, 1[ et un rang n 0 ∈ vérifiants : ∀n Ê n 0 , |u n+1 | É
k|u n |. Montrer que (u n )n∈N converge vers 0.
¯ ¯
¯ u n+1 ¯ existe
2. On suppose que : lim ¯ ¯ ¯ = ℓ, avec 0 É ℓ < 1. Montrer que (u n )n∈N converge vers
n→+∞ u n ¯
0.
µ n¶
x
3. Pour x réel déterminer la limite de la suite .
n!
EXERCICE 7. Convergence en moyenne de Césaro
Soit (u n )n∈N une suite réelle, convergente vers ℓ ∈ R. Pour tout n ∈ N, on pose :
u1 + u2 + · · · + un
Sn =
n
Montrer que (S n )n∈N converge vers ℓ.

La réciproque est-elle vraie ?

Utilisation du théorème
de la limite monotone
EXERCICE 8. Convergence en moyenne de Césaro dans le cas d’une suite monotone
N
Soit (u n ) une suite croissante de limite ℓ. Pour n ∈ ∗ , on pose v n =
u1 + · · · + un
n
.
1. Montrer que (v n ) est croissante.

un + v n
2. Établir que ∀n ≥ 1, v 2n ≥ .
2
3. En déduire que (v n ) converge vers ℓ.
EXERCICE 9. Divergence de la série harmonique

n
P 1
On pose, pour tout n ≥ 1 : S n = k.
k=1
1. Etablir que, pour tout n ≥ 1 : S 2n − S n ≥ 21 .

2. Etudier la monotonie de la suite (S n ).
3. Déterminer la limite de (S n ).
EXERCICE 10. Irrationnalité de e

Xn 1 Xn 1 1 1
Soit an = et b n = + = an +
k=0 k! k=0 k! n.n! n.n!
1. Montrer que (an ) et (b n ) sont strictement monotones et adjacentes.
On admet que leur limite commune est e. On désire montrer que e 6∈ Q et pour cela on raisonne
p
par l’absurde en supposant que e = avec p ∈ et q ∈ ∗ .
q
Z N
2. Montrer que a q < e < b q puis obtenir une contradiction.
EXERCICE 11. Moyenne arithmético-géométrique

p
R
¡ ¢2
1. Pour (a, b) ∈ + , établir 2 ab ≤ a + b.
R
¡ ¢2
Soit (a, b) ∈ + . On considère les suites de réels positifs (u n ) et (v n ) définies par u 0 = a, v 0 = b
et :
∀n ∈ , N p
u n+1 = u n v n et v n+1 =
un + v n
2
2. Montrer que (u n ) et (v n ) convergent vers une même limite.
Cette limite commune est appelée moyenne arithmético-géométrique de a et b et est notée
M(a, b).
3. Calculer M(a, a) et M(a, 0) pour a ∈ R+.
4. Exprimer M(λa, λb) en fonction de M(a, b) pour λ ∈ R+ et (a, b) ∈ ¡R+¢2.

4 Exercices 183
EXERCICE 12. Suite implicite
1. Soit n Ê 1. Montrer que l’équation : x n + x −1 = 0, admet une unique solution x > 0, notée
xn .
2. Montrer que (xn )nÊ1 est majorée par 1.
3. Étudier la monotonie de (xn )nÊ1 .
4. Montrer qu’il est impossible que (xn )nÊ1 converge vers une limite l < 1.
5. Conclure que : lim xn = 1.

n→+∞
EXERCICE 13. Suites récurrentes couplées

Soient 0 < b < a. On considère les suites (u n ) et (v n ) définies par


 u0 = a


 v0 = b

un + v n
 ∀n ∈ N, u n+1 =

 2

 2u n v n
 ∀n ∈ N, v n+1 =
un + v n
1. Montrer que (u n ) et (v n ) sont strictement positives.
2. Montrer que : ∀n ∈ N, v n < un .

3. Établir que (v n ) est croissante et (u n ) est décroissante.
4. (a) Vérifiez que : ∀n ∈ N, 0 < un+1 − v n+1 < 21 (un − v n )

(b) En déduire que les suites (u n ) et (v n ) sont adjacentes.
5. Déterminer la limite des suites (u n ) et (v n ).
Étude de suites
EXERCICE 14. Étude de monotonie

Étudier la monotonie des suites définies par :
Ã !
n 1
X n! ln(n) X2n (−1)k
1. u n = −n 2. u n = 3. u n = 4. u n =
k=0 2
k 2n+1 n k=0 k + 1

EXERCICE 15. Limite par encadrement
1. Etudier la convergence de la suite (S n )n∈N∗ définie par :

n
X n2
Sn = 3 2
k=1 n + k
x2
2. (a) Vérifier que : ∀x > 0, x − É ln(1 + x) É x.
2
n µ ¶
Y k
(b) En déduire la limite de la suite (u n )nÊ1 définie par : u n = 1+ 2 .
k=1 n
¥ ¦
(n + 1)2 x
3. Si x est un réel étudier la convergence de (u n )nÊ2 définie par : u n = .
n2 − n
EXERCICE 16. Une suité définie avec des factorielles

1 × 3 × 5 × · · · × (2n − 1)
On pose u n = .
2 × 4 × 6 × · · · × (2n)
1. Exprimer u n à l’aide de factorielles.
2. Montrer que (u n ) converge.
3. Soit v n = (n + 1)u n2 . Montrer que (v n ) converge puis déterminer lim u n .
n→+∞
EXERCICE 17. Une convergence surprenante

p n p n
Montrer que, pour tout ¡n ∈ N, p n ¤ ¢(3 + 5) + (3 − 5) est un entier pair. En déduire la
£ le nombre
convergence de la suite sin (3 + 5) π n∈N .
EXERCICE 18. Sommes des inverses de coefficients binomiaux

n
N N 1 X
Soit p ∈ \{0; 1}. Pour n ∈ ∗ on pose u n = Ã ! et S n = uk .
n+p k=1
n
1. Montrer que ∀n ∈ N, (n + p + 2)un+2 = (n + 2)un+1 .
1 ¡ ¢
2. Montrer par récurrence S n = 1 − (n + p + 1)u n+1 .
p −1
3. On pose ∀n ∈ N ∗
, v n = (n + p)u n . Montrer que (v n ) converge vers 0.
4. En déduire lim S n .
n→+∞

185
Chapitre 7
Calcul matriciel et systèmes linéaires
Sommaire
1 K
L’espace Mn,p ( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
1.2 K
Opérations dans Mn,p ( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
2 Produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
2.1 Produit d’une matrice par un vecteur colonne . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
2.2 Cas général : produit de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
2.3 Règles de calcul pour le produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
2.4 Cas des matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
2.5 Matrices carrées inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
3 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
3.1 Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
3.2 Matrices symétriques et antisymétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
4 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
4.2 Opérations élémentaires sur les lignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
4.3 Échelonnement d’une matrice et algorithme de Gauss-Jordan . . . . . . . 203
4.4 Application aux systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
5 Opérations élémentaires et calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.1 Matrices élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.2 Compléments sur les matrices carrées inversibles . . . . . . . . . . . . . . . 211
5.3 Méthode du système linéaire pour inverser une matrice . . . . . . . . . . . 213
5.4 Méthode du pivot de Gauss-Jordan pour inverser une matrice . . . . . . . 213
7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

186 C HAPITRE 7 : Calcul matriciel et systèmes linéaires
Dans tout le chapitre la lettre K désigne indifféremment R ou C. Les éléments de K sont appe-
lés les scalaires.
1 L’espace Mn,p ( ) K
1.1 Définitions
On fixe n et p deux entiers naturels non nuls.
Définition 1 – Matrice
On appelle matrice à n lignes et p colonnes à coefficients dans K toute application :
A : 1, n × 1, p −→ K
(i , j ) 7−→ A[i , j ]
On dit aussi que A est une matrice de taille n × p ou (n, p).
Définition 2 – Coefficients
Le scalaire A[i , j ] est appelé coefficient de A sur la ligne i et la colonne j .
Il peut être aussi noté A i ,j ou encore ai ,j . Dans ce cas la matrice A peut être notée ((ai ,j )) 1≤i ≤n .
1≤ j ≤p
A peut aussi être représentée sous forme d’un tableau à n lignes et p colonnes :
colonne j
↓
 
a1,1 a1,2 ... a1,j ... a1,p
 a2,1 a2,2 ... a2,j ... a2,p 
 
 .. .. .. .. 
A =
 . . . . 
 ai ,1 ai ,2 ... ai ,j ... ai ,p 
  ← ligne i
 . .. .. .. 
 .. . . . 
an,1 an,2 ... an,j ... an,p
Notation : L’ensemble des matrices de taille n × p à coefficients dans K est noté Mn,p (K). Re-
R
marquer que Mn,p ( ) ⊆ Mn,p ( ). C
Vocabulaire :
K
• Si n = 1, on dit que A ∈ M1,p ( ) est une matrice ligne.
• Si p = 1, on dit que A ∈ Mn,1 (K) est une matrice colonne.
• Si n = p, Mn,n (K) est aussi noté Mn (K) et on dit que A ∈ Mn (K) est une matrice carrée
d’ordre n.
• La diagonale de A est la famille de ses éléments diagonaux (ai ,i )1≤i ≤min(n,p) .

1 L’espace Mn,p ( ) K 187
Définition 3 – Égalité de deux matrices
K K
Soient n, n ′ , p, p ′ des entiers naturels non nuls, A ∈ Mn,p ( ) et B ∈ Mn′ ,p ′ ( ).
On dit que A = B lorsque n = n ′ , p = p ′ et :
∀(i , j ) ∈ 1, n × 1, p, A[i , j ] = B[i , j ]
Donc deux matrices sont égales si, et seulement si, elles ont même taille et mêmes coefficients.
Définition 4 – Matrices triangulaires supérieures
K
Soit A ∈ Mn ( ). On dit que A est triangulaire supérieure lorsque :
∀(i , j ) ∈ 1, n2, i > j =⇒ A[i , j ] = 0
Une matrice triangulaire supérieure est de la forme :
 
a1,1 a1,2 ... ... a1,n
 0 a2,2 ... ... a2,n 
 
 .. .. 
 0 0 . . 
 
 . .. .. .. .. 
 .. . . . . 
0 0 ... 0 an,n
On définit de même la notion de matrice A triangulaire inférieure :
∀(i , j ) ∈ 1, n2, i < j =⇒ A[i , j ] = 0
Une matrice triangulaire inférieure est de la forme :
 
a1,1 0 0 ... 0
 a2,1 a2,2 0 ... 0 
 
 .. .. .. .. ..
 . . . . .
 
 . . .. .. 
 .. .. . . 0 
an,1 an,2 ... . . . an,n

Définition 5 – Matrices diagonales
K
Soit A ∈ Mn ( ). On dit que A est diagonale lorsque :
∀(i , j ) ∈ 1, n2, i 6= j =⇒ A[i , j ] = 0
Une matrice diagonale est de la forme :
 
λ1 0 0 ... 0
 0 λ2 0 ... 0 
 
 .. .. ..
0 0 . . . = Diag(λ1 , λ2 , . . . , λn )
 
 . .. .. .. 
 .. . . . 0
0 0 ... . . . λn
Notations :
K
• On note Tn+ ( ) l’ensemble des matrices carrées triangulaires supérieures d’ordre n ;
• On note Tn− (K) l’ensemble des matrices carrées triangulaires inférieures d’ordre n ;
• On note D n (K) l’ensemble des matrices carrées diagonales d’ordre n.
Proposition 6 – Lien entre matrices diagonales et triangulaires
K
Soit A ∈ Mn ( ). Alors :
A est diagonale ⇐⇒ A est à la fois triangulaire supérieure et inférieure
K K
Autrement dit : D n ( ) = Tn+ ( ) ∩ Tn− ( ). K
1.2 Opérations dans Mn,p ( ) K

On définit l’addition de deux matrices.
Définition 7 – Addition dans Mn,p ( ) K

K
Soient A = ((ai ,j )) 1≤i ≤n ∈ Mn,p ( ) et B = ((b i ,j )) 1≤i ≤n ∈ Mn,p ( ). K
K
1≤ j ≤p 1≤ j ≤p
On définit une matrice notée A + B = ((ci ,j )) 1≤i ≤n ∈ Mn,p ( ) par :
1≤ j ≤p
∀(i , j ) ∈ 1, n × 1, p, ci ,j = ai ,j + b i ,j

1 L’espace Mn,p ( ) K 189
On a donc :
∀(i , j ) ∈ 1, n × 1, p, (A + B)[i , j ] = A[i , j ] + B[i , j ]
µ
¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶
1 3 2 1 1+2 3+1 3 4
Exemple. + = = .
0 0 4 5 0+4 0+5 4 5
On définit ensuite la multiplication d’une matrice par un scalaire.
Définition 8 – Multiplication par un scalaire d’un élément de Mn,p ( ) K

K
Soient A = ((ai ,j )) 1≤i ≤n ∈ Mn,p ( ) et λ ∈ K.
K
1≤ j ≤p
On définit une matrice notée λ.A = ((d i ,j )) 1≤i ≤n ∈ Mn,p ( ) par :
1≤ j ≤p
∀(i , j ) ∈ 1, n × 1, p, d i ,j = λ × ai ,j
On a donc :
∀(i , j ) ∈ 1, n × 1, p, (λ.A)[i , j ] = λ × A[i , j ]
     
3 2 2×3 2×2 6 4
Exemple. 2. 0 1 = 2 × 0 2 × 1 = 0 2.
1 1 2×1 2×1 2 2
Reste à définir l’élément neutre pour l’addition.
Définition 9 – Matrice nulle

K
Dans Mn,p ( ), on appelle matrice nulle la matrice dont tous les coefficients sont égaux à
0 ; elle est notée 0n,p .
K
Dans Mn ( ), la matrice 0n,n est notée plus simplement 0n .
 
µ ¶ 0 0 0
0 0 0 0
Exemple. 02,4 = et 03 = 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0

Théorème 10 – Règles de calcul dans l’espace Mn,p ( ) K

K
Pour saclaire λ et µ et pour toutes matrices A, B et C dans Mn,p ( ) on a :
1. Commutativité et associativité de l’addition :
¡ ¢ ¡ ¢
A +B = B + A et A + B +C = A + B +C
2. La matrice nulle est l’« élément neutre » pour l’addition :
0n,p + A = A + 0n,p = A
3. (−1).A est l’« opposée » de A :
A + (−1).A = (−1).A + A = 0n,p
4. Multiplication par un scalaire distributive p/r à l’addition des scalaires/matrices :

¡ ¢
(λ + µ).A = λ.A + µ.A et λ. A + B = λ.A + λ.B
5. Associativité de la multiplication par un scalaire :

¡ ¢ ¡ ¢
λ. µ.A = (λ × µ).A = µ. λ.A
6. Le scalaire 1 est l’« élément neutre » pour la multiplication par un scalaire :
1.A = A
Dorénavant la matrice (−1).A sera notée plus simplement −A, et l’opération A + (−1).B sera
notée A − B.
Corollaire 11 – Règles de calcul dans l’espace Mn,p ( ) K

¡
K ¢
¡
K
¢2
Si (λ, µ) ∈ 2 et (A, B) ∈ Mn,p ( ) , on a :
1. λ. A − B = λ.A − λ.B ;
2. λ.0n,p = 0n,p ;
3. (λ − µ).A = λ.A − µ.A ;
4. 0.A = 0n,p ;
¡ ¢
5. (−λ). − A = λ.A ;
6. Intégrité externe : λ.A = 0n,p ⇐⇒ λ = 0 ou A = 0n,p
L’intégrité externe permet de « simplifier » un produit d’une matrice par un scalaire :
λ.A = µ.A ⇐⇒ A = 0n,p ou λ = µ ;

λ.A = λ.B ⇐⇒ λ = 0 ou A = B.

2 Produit matriciel 191
2 Produit matriciel
2.1 Produit d’une matrice par un vecteur colonne

K
Si A = ((ai ,j )) 1≤i ≤n ∈ Mn,p ( ) est une matrice dont les colonnes sont notées C 1 , . . ., C p et si
1≤ j ≤p
 
x1
 x2 
 
K
X =  .  ∈ Mp,1 ( ) est une matrice colonne, on définit le produit A × X ∈ Mn,1 ( ) par :
 .. 
K
xp
X
p 
a1,k × xk
 
 k=1 

 .. 

 . 
X p 
 
 ai ,k × xk  ← ligne i
A × X = x1 .C 1 + x2 .C 2 + · · · + x p .C p =  
 k=1 
 .. 
 . 
 p 
X 
an,k × xk
k=1
ie que pour tout i ∈ 1, n :

p
X
(AX )[i , 1] = ai ,k × xk
k=1
A × X est donc une combinaison linéaire des colonnes de A, dont les coefficients sont
ceux de X .
    
1 2 µ ¶ 1×1+2×2 5
  1
Exemple. −1 −1 ×  
= (−1) × 1 + (−1) × 2 = −3.

2
1 0 1×1+0×2 1
2.2 Cas général : produit de deux matrices

Soient n, p et q des entiers naturels non nuls.
K
On définit le produit de A ∈ Mn,p ( ) par B ∈ Mp,q ( ) ainsi : K
• on note X 1 , . . . , X q les matrices colonnes égales aux colonnes de B,
K
• la matrice A ×B ∈ Mn,q ( ) est la matrice dont les colonnes sont les matrices A × X 1 , . . . , A × X q .
B Nous ne définissons donc le produit A ×B que dans le cas où le nombre de colonnes de A est
égal au nombre de lignes de B.
Dans les autres cas le produit A × B n’est pas défini.

Théorème 12 – Formule du produit matriciel
K
Soient A = ((ai ,j )) 1≤i ≤n ∈ Mn,p ( ), B = ((b i ,j )) 1≤i ≤p ∈ Mp,q ( ). K
K
1≤ j ≤p 1≤ j ≤q
On note A × B = ((ci ,j )) 1≤i ≤n ∈ Mn,q ( ).
1≤ j ≤q
On a alors :
p
X
∀(i , j ) ∈ 1, n × 1, q, ci ,j = ai ,k × b k,j
k=1
Avec d’autres notations :

p
X
∀(i , j ) ∈ 1, n × 1, q, (A × B)[i , j ] = A[i , k] × B[k, j ]
k=1
Comment poser le produit matriciel?

Le coefficient ci ,j situé ligne i et colonne j se calcule en suivant la ligne i de la matrice A et la
colonne j de la matrice B. Une disposition astucieuse des matrices permet de « visualiser » ce
calcul.
q
 
 b 1,1 ... b 1,j ... b 1,q 
 
 
 
 .. .. .. 
 . . . 
 
 
p 
 b k,1 ... b k,j ... b k,q 

 
 
 .. .. .. 
 
 . . . 
 
 
 b n,1 ... b n,j ... b n,q 
p
   
 a1,1 ... a1,k ... a1,p   c1,1 ... c1,j ... c1,q 
   
   
   

 .. .. .. 
  .. .. .. 
 . . .   . . . 
   
   
n  ai ,1 ... ai ,k ... ai ,p   ci ,1 ... ci ,j ... ci ,q  ligne i
   
   
   
 .. .. ..   .. .. .. 
 . . .  
 . . . 

   
   cn,1 
 an,1 ... an,k ... an,p  ... cn,j ... cn,q
colonne j

B Le produit matriciel ne se fait donc pas coefficient par coefficient (contrairement à

l’addition) : (A × B)[i , j ] 6= A[i , j ] × B[i , j ].
   
2 1 µ ¶ 2 2 1 µ ¶
  1 1 0   2 4
Exemple. Pour A = 0 3 et B = on a AB = 0 0 3 et B A = .
0 0 1 1 0
1 0 1 1 0
B Même si les deux produits AB et B A existent (ce qui est rarement le cas), on voit que AB 6= B A
en général. Le produit matriciel n’est donc pas commutatif.
¶ µ µ ¶
0 1 2 0 0
Exemple. Pour A = 6 02 on a A =
= = 02 .
0 0 0 0
B Si AB = 0n,q , on ne peut pas dire que A = 0n,p ou B = 0p,q . Le produit matriciel n’est pas
intègre. Un autre façon de le dire est qu’il existe des diviseurs de 0n,q qui sont non triviaux.
Plus généralement l’égalité AB = AC ne donne donc pas B = C , même si A 6= 0n,p .
Proposition 13 – Lignes de la matrice A × B
On note L 1 , . . . , L n les matrices lignes égales aux lignes de A. Alors la i -ième ligne de la
matrice A × B est égale à L i × B.
2.3 Règles de calcul pour le produit matriciel
Définition 14 – Matrice identité

K
On note I n la matrice de Mn ( ) dont tous les coefficients sont nuls, sauf ceux de la
diagonale qui sont égaux à 1.
On a donc :
 
1 0 0 ... ... 0
0 1 0 ... . . . 0
 
 
0 0 1 ... . . . 0
 
I n =  .. .. .. .. . . .. 
. . . . . .
 
 .. .. .. .. .. 
. . . . . 0
0 0 0 ... 0 1
Avec d’autres notations : ∀(i , j ) ∈ 1, n2, I n [i , j ] = δi ,j .

Théorème 15 – Règles de calcul pour le produit matriciel
K K
1. Associativité. Si A ∈ Mn,p ( ), B ∈ Mp,q ( ) et C ∈ Mq,r ( ) : K
A × (B ×C ) = (A × B) ×C
K ¡ ¢2
2. Distributivité à droite. Si A ∈ Mn,p ( ) et (B,C ) ∈ Mp,q ( ) : K
A × (B +C ) = A × B + A ×C
¡ ¢2
K
3. Distributivité à gauche. Si (A, B) ∈ Mn,p ( ) et C ∈ Mp,q ( ) : K
(A + B) ×C = A ×C + B ×C
4. Compatibilité entre produit matriciel et produit par un scalaire.

K K
Si A ∈ Mn,p ( ), B ∈ Mp,q ( ) et λ ∈ : K
λ.(A × B) = (λ.A) × B = A × (λ.B)
5. Élément neutre à gauche/droite. Si A ∈ Mn,p ( ) : K

A × Ip = In × A = A
K
6. Matrice nulle. Si A ∈ Mn,p ( ) :
A × 0p,q = 0n,q et 0m,n × A = 0m,p
B Rappelons une dernière dois que le produit matriciel est non commutatif et non intègre
K K
(sauf si n = 1 car M1 ( ) = ).
2.4 Cas des matrices carrées

Dans le cas de matrices carrées d’ordre n, les trois opérations définies précédemment donnent
une matrice carrée de même taille. Dans une certaine mesure, elles sont donc plus simples,
puisqu’on reste dans le même espace.
K
Si A est dans Mn ( ) on a :
K
∀A ∈ Mn ( ), A × In = In × A = A et A × 0n = 0n × A = 0n
On peut donc remarquer que la matrice I n commute avec toutes les matrices de Mn ( ). K
K
Plus généralement, pour tout λ ∈ , la matrice λ.I n commute aussi avec toutes les matrices
car (λ.I n )A = A(λ.I n ) = λ.A

Définition 16 – Puissances d’une matrice carrée
K
Si A ∈ Mn ( ) et p ∈ N on définit A p par récurrence : A0 = I n et A p = A × A p−1 .
Si p ∈ N∗, on a donc A p = |A × A × A{z× · · · × A}. On remarque que I np = I n et 0np = 0n .

p fois
¡ ¢ ¡ ¢
B Bien évidemment, on ne peut pas dire que A p [i , j ] = A[i , j ] p .
Par exemple :
µ ¶2 µ ¶ µ 2 ¶
1 2 −1 2 1 22
= 6 =
−1 0 −1 −2 (−1)2 02
Proposition 17 – Règles de calculs des puissances

¡ ¢2
K
Soient (A, B) ∈ Mn ( ) et (p, q) ∈
¡ ¢q ¡ ¢p
N2.
1. A p = A q = A pq
2. A p × A q = A q × A p = A p+q
3. Si A et B commutent : (AB)p = A p B p
4. Si λ est un scalaire : (λ.A)p = λp .A P
En général (AB)p = |AB × AB{z

× · · · × AB}.
p fois
Théorème 18 – Cas des matrices triangulaires supérieures
Si A et B sont triangulaires supérieures d’ordre n, alors AB l’est aussi et sa diagonale est

obtenue en multipliant la diagonale de A avec la diagonale de B.
K
On dit que Tn+ ( ) est stable pour le produit matriciel.
On peut le visualiser ainsi :
     
λ1 µ1 λ1 µ1
 0 λ2     
 ⋆   0 µ2 ⋆   0 λ2 µ2 ⋆ 
 . .. .. × . . . = . .. .. 
 .. . .   .. .. ..   .. . . 
0 0 . . . λn 0 0 . . . µn 0 0 . . . λn µn
On a le même résultat avec des matrices triangulaires inférieures.

Corollaire 19 – Cas des matrices diagonales
Si A et B sont diagonales d’ordre n, alors AB l’est aussi et sa diagonale est obtenue en

multipliant la diagonale de A avec la diagonale de B.
On en déduit que deux matrices diagonales commutent.
B En général, une matrice diagonale ne commute pas avec une matrice quelconque.
On peut le visualiser ainsi :

     
λ1 0 . . . 0 µ1 0 ... 0 λ1 µ1 0 ... 0
 0 λ2 . . . 0   0 µ2 ... 0   0 λ2 µ2 ... 0 
     
 .
. .. . . ..  ×  .. .. .. .. =  . .. .. .. 
 . . . .   . . . .  .. . . . 
0 0 . . . λn 0 0 . . . µn 0 0 . . . λn µn
   
µ1 0 . . . 0 λ1 0 ... 0
 0 µ2 . . . 0  0 λ2 ... 0 
   
=  . .. . . ..  ×  .. .. .. .. 
 .. . . .   . . . . 
0 0 . . . µn 0 0 . . . λn
On sait donc calculer très facilement les puissances d’une matrice diagonales. Il suffit d’élever
sa diagonale à la même puissance :
 p  p 
λ1 0 . . . 0 λ1 0 . . . 0
 0 λ2 . . . 0   0 λp . . . 0 
∀p ∈ ,  .N 
 ..
.
.. . .

. . .. 

 = .
 ..
.
..
2
. .


. . .. 
p
0 0 . . . λn 0 0 . . . λn
De même que pour les nombres réels ou complexes, on peut établir une formule du binôme.
Théorème 20 – Formule du binôme de Newton, version matrice
Soient A et B deux matrices carrées d’ordre n telles que AB = B A :

Ã ! Ã !
p p
N p
X p k p−k p
X p
∀p ∈ , (A + B) = .A × B = (B + A) = .B k × A p−k
k=0 k k=0 k
Ã !
Xp
p
Si A et B commutent, on a donc : (A − B)p = (−1)p−k .A k × B p−k .
k=0 k
B Ce résultat est faux si AB 6= B A.

Par exemple, on a : (A + B)2 = A 2 + AB + B A + B 2 6= A 2 + 2.AB + B 2 .
 
1 0 1 1
 
0 1 0 1
Exemple. On pose M =  . Calculer M n pour tout entier naturel n.
0 0 1 0
0 0 0 1

p
X
Généralisation des sommes géométriques. Si A ∈ Mn ( ) on ne sait pas calculer K A k mais
k=0
par on a tout de même l’identité :
Ã ! Ã !
p
X p
X
(I n − A) × Ak = A k × (I n − A) = I n − A p+1
k=0 k=0
B Ne pas confondre avec la formule du binôme.
2.5 Matrices carrées inversibles

Définition 21 – Matrice inversible
K
Soit A ∈ Mn ( ). On dit que A est inversible lorsqu’il existe B ∈ Mn ( ) telle que : K
AB = B A = I n
Si on a seulement AB = I n on dit que A est inversible à droite ; de même si B A = I n on dit qu’elle

est inversible à gauche.
Proposition 22 – Unicité de l’inverse
K
Soit A ∈ Mn ( ) une matrice inversible.
K
Il y a unicité de la matrice B ∈ Mn ( ) telle que AB = B A = I n .
Définition 23 – Inverse d’une matrice inversible

K
Soit A ∈ Mn ( ) une matrice inversible.
K
On appelle inverse de A l’unique matrice B ∈ Mn ( ) telle que AB = B A = I n .
On la note A −1 .
1
B A −1 n’existe pas toujours. De plus, il ne faut pas la noter .
A
Exemple. I n est inversible et I n−1 = I n .
Exemple. 0n est non inversible.

¶µ µ ¶
1 −1 −1 1 1 1
Exemple. A = est inversible d’inverse A = .
1 1 2 −1 1
µ ¶
0 1
Exemple. N = vérifie N 2 = 02 et n’est donc pas inversible.
0 0
K
Plus généralement on dit qu’une matrice N ∈ Mn ( ) est nilpotente lorsqu’il existe p ∈ N∗ tel
que N p = 0n ; une telle matrice n’est pas inversible.

K
Exemple. Soit A ∈ Mn ( ) telle que A 2 +2A−3I n = 0n . Montrer que A est inversible et donner
A −1 en fonction de A.
K
Notation : On note GL n ( ) l’ensemble des matrices carrées inversibles d’ordre n.
K
GL n ( ) est appelé groupe linéaire d’ordre n sur . K
Théorème 24 – Règles de calcul de l’inverse
Soient A et B deux matrices inversibles de Mn ( ).

¡ ¢−1
K
1. A −1 est inversible et A −1 =A
2. AB est inversible et (AB)−1 = B −1 A −1
3. Si λ ∈K∗, λ.A est inversible et (λ.A)−1 = λ1 .A−1

4. Pour tout p ∈ N, A p est inversible et A p
¡ ¢−1 ¡ −1 ¢p
= A
¶ µ
1 −1
B En général la matrice A + B n’est plus inversible. Considérer par exemple A = et
1 1
B = −A.
Important. L’inversibilité permet de « simplifier » des équations, même en l’absence d’intégrité

du produit matriciel :
AB = 0n 6⇒ A = 0n ou B = 0n
mais :
AB = 0n et A inversible =⇒ B = 0n
et de même :
AB = AC et A inversible =⇒ B = C
et on a bien sûr les mêmes propriétés lorsque A est inversible à droite.
Exemple. Si la matrice I n − A est inversible alors

p
X
A k = (I n − A)−1 × (I n − A p+1 ) = (I n − A p+1 ) × (I n − A)−1
k=0
Définition 25 – Puissances négatives d’une matrice inversible
K
Soit A ∈ Mn ( ) une matrice inversible. ¡ ¢p ¡ ¢−1
Pour tout p entier naturel non nul, on pose A −p = A −1 = A p
Si A est inversible, on a donc donné un sens à A p pour tout p ∈ . Z

Proposition 26 – Règles de calcul des puissances négatives
Z ¡ ¢p ¡ ¢n ¡ ¢n
Si (n, p) ∈ 2 , on a : A n = A np = A p et A n × A p = A n+p = A p × A n et A −1 = A −n .

3 Transposition 199
On a vu que l’on peut affaiblir la condition d’inversibilité d’une matrice, en ne la définissant

qu’à droite ou à gauche. Il se trouve que cela est équivalent au fait d’être inversible, d’après le
théorème suivant.
Théorème 27 – Inversibilité à gauche ou à droite d’une matrice
K
Soit A ∈ Mn ( ). Alors on a équivalence de :
(i) A est inversible ;
(ii) A est inversible à gauche ;
(iii) A est inversible à droite.
K
Autrement dit si A et B sont deux matrices de Mn ( ) telles que AB = I n , alors A et B sont
inversibles, A −1 = B, B −1 = A et donc B A = I n .
K
Exemple. Soit A ∈ Mn ( ) telle que A 2 +2A−3I n = 0n . Montrer que A est inversible et donner
−1
A en fonction de A.
3 Transposition
3.1 Premières propriétés
Définition 28 – Transposée d’une matrice
Soit A = ((ai ,j )) 1≤i ≤n ∈ Mn,p ( ). K

K
1≤ j ≤p
On appelle transposée de A, la matrice B = ((b i ,j )) 1≤i ≤p ∈ Mp,n ( ) définie par :
1≤ j ≤n
∀(i , j ) ∈ 1, p × 1, n, b i ,j = a j ,i
Cette matrice B est notée t A.
Avec d’autres notations, pour tout (i , j ) ∈ 1, p × 1, n :
¡t ¢ ¡ ¢
A [i , j ] = A[ j , i ] ou encore t A i ,j = A j ,i
t  
1 3 µ ¶
0 1 1 0 2
Exemple. = .
2 1 3 1 1
Les colonnes deviennent les lignes, et réciproquement.

Théorème 29 – Règles de calcul de la transposée
Soient A et B deux matrices de même taille et λ ∈ K.

1. t(A + B) = t A + tB et t(λ.A) = λ.t A
¡ ¢
2. t t A = A
Soient A et B deux matrices telles que le produit matriciel AB est défini.
3. t(A × B) = tB × t A
Soit A une matrice carrée.
¡ ¢ ¡ ¢−1
4. A est inversible si, et seulement si, t A l’est. Dans ce cas t A −1 = t A .
Si A est une matrice carrée, on a donc : ∀q ∈ N, t¡ A q ¢ = ¡t A¢q .

Si A est une matrice carrée inversible, on a de plus : ∀q ∈ Z, t A q = t A .
¡ ¢ ¡ ¢q
3.2 Matrices symétriques et antisymétriques

Définition 30 – Matrices symétriques/antisymétriques
K
Soit M ∈ Mn ( ).
1. On dit que M est symétrique lorsque t M = M, ie lorsque :
∀(i , j ) ∈ 1, n2, M[i , j ] = M[ j , i ]
2. On dit que M est antisymétrique lorsque t M = −M, ie lorsque :
∀(i , j ) ∈ 1, n2, M[i , j ] = −M[ j , i ]
Si M est antisymétrique, on a : ∀i ∈ 1, n, M[i , i ] = 0. Donc une matrice antisymétrique a tous
ses coefficients diagonaux égaux à 0.
K
Exemple. I n est symétrique. 0n est la seule matrice de Mn ( ) qui est à la fois symétrique et
antisymétrique.
Exemple. Les matrices diagonales sont symétriques.

 
a b c
Exemple. Une matrice symétrique d’ordre 3 
est de la forme b d e  et une matrice
c e f
 
0 a b

antisymétrique d’ordre 3 est de la forme −a 0 c .
−b −c 0
K K
Notations : on note S n ( ) l’ensemble des matrices symétriques d’ordre n, et A n ( ) l’ensemble
des matrices carrées antisymétriques d’ordre n.

4 Systèmes linéaires 201
B En général, le produit de deux matrices symétriques n’est plus symétrique.

     
1 0 −1 2 0 1 1 3 −2
Considérer par exemple A =  0 2 3  et B = 0 −1 −1 qui donnent AB = 1 −5 −3.
−1 3 0 1 −1 1 0 1 −4
Exemple. Soient A et B symétriques et de même taille. Montrer que A et B commutent si, et

seulement si, AB est symétrique.
4 Systèmes linéaires
Pour commencer, nous allons voir sur deux exemples pourquoi il est indispensable de résoudre
des équations (ou système d’équations) par équivalence.
• On considère l’équation x 2 + x + 1 = 0 d’inconnue x ∈ . R
Si on multiplie par x : x 3 + x 2 + x = 0. Et comme x 2 = −x − 1, on en déduit : x 3 = 1, ie x = 1
puisque x ∈ . R
C’est absurde puisque 1 n’est pas solution de l’équation de départ.
Explications : on a en fait raisonné par implications et obtenu x 2 +x +1 = 0 =⇒ x = 1. Mais
x = 1 serait l’unique solution à condition d’avoir l’équivalence x 2 + x + 1 = 0 ⇐⇒ x = 1. Or
ce n’est pas le cas ici, l’implication x = 1 =⇒ x 2 + x + 1 = 0 est fausse.
On a donc obtenu que l’équation n’a pas  de solution.
 x − y = 1 (1)
• On considère le système d’équation : x + y = 3 (2)

−x + 3y = −3 (3)
(1) + (2) donne 2x = 4 donc x = 2, et (2) + (3) donne 4y = 0 donc y = 0. Le système aurait
donc comme unique couple solution (2, 0) ?
Encore une fois la réponse est non : ce n’est pas une solution.
 x − y = 1 (1)
On a donc : x + y = 3 (2) =⇒ (x, y) = (2, 0) mais la réciproque est fausse. En

−x + 3y = −3 (3)
conclusion le système n’a aucune solution.
Que retenir de ces exemples ?
Qu’il faut résoudre des équations en raisonnant par équivalence !
Si ce n’est pas possible, alors il faut garder en tête qu’on ne trouve pas que des solutions mais
aussi des « candidats solutions ». Il faut alors vérifier au cas par cas si chaque « candidat solution »
est bien une solution.
4.1 Définitions
On se donne deux entiers naturels non nuls n et p, ainsi que np coefficients (ai ,j ) 1≤i ≤n dans
K que nous appellerons coefficients du système, et n autres coefficients b1, . . . , bn dans K qui
1≤ j ≤p
formeront le second membre du système.

On considère alors le système linéaire de n équations à p inconnues :


 a x + a1,2 x2 + . . . + a1,j x j + . . . + a1,p x p = b1
 1,1 1



 a2,1 x1 + a2,2 x2 + . . . + a2,j x j + . . . + a2,p x p = b2



 .. .. ..
. . .
(S)

 a i ,1 x 1 + a i ,2 x 2 + . . . + a i ,j x j + ... + ai ,p x p = bi



 .
.. .. ..

 . .

 a x + a x + ... + a x + ... +
n,1 1 n,2 2 n,j j an,p x p = bn
x1 , x2 , . . . , x p sont appelées inconnues du système. Résoudre le système (S) consiste à trouver

K
l’ensemble S de tous les p-uplets (x1 , . . . , x p ) ∈ p qui sont solutions des équations de S .
On appelle système homogène associé, noté (S 0 ), le système obtenu lorsque b 1 = · · · = b n = 0.

On note S 0 l’ensemble des solutions du système homogène. Remarquez qu’on a toujours
(0, 0, . . ., 0) ∈ S 0 , et donc S 0 6= ;.
On dit que le système (S) est compatible lorsque S 6= ;, et incompatible dans le cas contraire.
D’après la remarque précédente, un système homogène est toujours compatible.
La matrice A = ((ai ,j )) 1≤i ≤n est appelée matrice des coefficients et la matrice colonne
1≤ j ≤p
B = ((b i ,1 ))1≤i ≤n est appelée matrice colonne du second membre.
La concaténation horizontale de ces deux matrices est appelée matrice augmentée du système ;
elle est parfois notée (A|B).
½
x+y = 2
Exemple. Donner la matrice augmentée du système (S)
x + 2y = 3
4.2 Opérations élémentaires sur les lignes

Définition 31 – Opérations élémentaires sur les lignes
On note L 1 , L 2 , . . . , L n les lignes (ie les équations) du système linéaire (S). On définit alors
les opérations élémentaires sur les lignes :
• échange des lignes i et j : L i ←→ L j
K
• multiplication de la ligne i par un scalaire β ∈ ∗ : L i ← β.L i
• pour i 6= j , remplacement de la ligne i par elle-même additionnée du produit de la
K
ligne j par un scalaire α ∈ : L i ← L i + α.L j
Les deux dernières opérations regroupées donnent : L i ← β.L i + α.L j avec β 6= 0 et i 6= j .
Définition 32 – Systèmes équivalents
Deux systèmes linéaires sont dit équivalents si on peut passer de l’un à l’autre par une suite
finie d’opérations élémentaires sur les lignes.

Théorème 33 – Systèmes équivalents
Deux systèmes équivalents ont le même ensemble de solutions.
Ces opérations ont une traduction matricielle.
Définition 34 – Matrices équivalentes en lignes
Deux matrices A et A ′ de même taille sont dites équivalentes en ligne si elles se déduisent
l’une de l’autre par une suite finie d’opérations élémentaires sur les lignes.
On le note A ∼ A ′ .
L
On peut montrer que la relation ∼ est une relation d’équivalence sur l’ensemble Mn,p ( ).
L
K
Théorème 35 – Matrices équivalentes en lignes et sytèmes équivalents
Si on passe d’un système (S) à un autre système (S ′ ) par une suite finie d’opérations
élémentaires sur les lignes, alors la matrice augmentée de (S ′ ) s’obtient en effectuant la
même suite d’opérations élémentaires sur la matrice augmentée de (S) ; et réciproque-
ment.
4.3 Échelonnement d’une matrice et algorithme de Gauss-Jordan

Définition 36 – Matrice échelonnée par lignes
Une matrice est dite échelonnée par lignes si elle vérifie les deux propriétés suivantes :
i . si une ligne est nulle, toutes les lignes suivantes le sont aussi ;
i i . à partir de la deuxième ligne, dans chaque ligne non nulle, le premier coefficient
non nul à partir de la gauche est situé à droite du premier coefficient non nul de la
ligne précédente.
On obtient un schéma « en escalier ».

   
2 3 0 1 1 2 3 0 1 1
0 0 3 5 0 0 0 3 5 0
   
   
Exemple. 0 0 0 7 3 est échelonnée par lignes, mais 0 0 1 −7 3 ne l’est pas.
   
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Définition 37 – Pivots d’une matrice échelonnée par lignes
Si une matrice est échelonnée par lignes, on appelle pivot le premier coefficient non nul
de chaque ligne non nulle.

En pratique on « matérialise » les pivots.

 
2 3 0 1 1
0 0 3 5 0
 
 
Exemple.  0 0 0 7 3.
 
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
Définition 38 – Matrice échelonnée réduite par lignes
Une matrice échelonnée en lignes est dite échelonnée réduite par lignes si elle est nulle, ou
si tous ses pivots sont égaux à 1 et sont les seuls éléments non nuls de leur colonne.
 
1 3 0 1 1
0 0 1 5 0
 
 
Exemple.  0 0 0 1 3 est échelonnée par lignes, sans être échelonnée réduite par
 
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
lignes.
 
1 3 0 0 1
0 0 1 0 0
 
 
Exemple.  0 0 0 1 3 est échelonnée réduite par lignes.
 
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
Exemple. Les matrice O n et I n sont échelonnées réduites par lignes.
L’algorithme du pivot de Gauss-Jordan consiste à répéter des opérations sur les lignes d’une
matrice, de façon à la transformer en une matrice échelonnée par ligne, puis en une matrice
échelonnée réduite par ligne.
Pour la forme échelonnée par ligne il y plusieurs possibilités. Par contre pour la forme
échelonnée réduite par ligne, il y a une unique solution pour la matrice finale ; c’est tout
l’intérêt de cette notion.
On considère la matrice :
 
a1,1 a1,2 . . . a1,j . . . a1,p
a . . . a21,p 
 2,1 a2,2 . . . a2,j 
 . .. .. .. 
 . 
 . . . . 
A= 
 ai ,1 ai ,2 ... ai ,j . . . ai ,p 
 
 .. .. .. .. 
 . . . . 
an,1 an,2 . . . an,j . . . an,p

CAS 1 A est la matrice nulle : dans ce cas elle est déjà échelonnée réduite. FIN
CAS 2 Un des coefficients de la matrice n’est pas nul. On note j l’indice de la première colonne
non nulle et i un indice de ligne où ai ,j 6= 0.
On effectue l’opération élémentaire L 1 ←→ L i . On obtient :

 
′ ′
0 . . . 0 a1,j . . . a1,p
 
 ′ ′ 
 0 . . . 0 a 2,j
. . . a 2,p 
 
 .. .. .. .. 
. . . . 
A ∼  
L 0 . . . 0 ai ,j . . . ai ,p 
′ ′
 
. . . . 
. .. .. .. 
 . 
′ ′
0 . . . 0 an,j . . . an,p
′
avec cette fois a1,j 6= 0.
Le coefficient encadré est utilisé comme « pivot » : on l’utilise pour faire faire apparaître des
zéros à la place des coefficients qui se trouve en-dessous de lui, dans la même colonne. Pour
tout i ∈ 2, n, on effectue les opérations :
ai′ ,j
Li ← Li − ′ L1
a1,j
On a alors :  
′ ′ ′
0 ... 0 a1,j a1,j +1
... a1,p
 
 
 0 ... 0 0 
A ∼  .. .. .. 
L  
 . . . A′ 
0 ... 0 0
où A ′ est matrice comportant une ligne de moins que la matrice A.
CAS 2.1 A ′ est la matrice nulle. Dans ce cas, A est équivalent par lignes à une matrice
échelonnée par ligne. FIN
CAS 2.2 On recommence les opérations décrites ci-dessus sur A ′′ . On obtient :

 
′′ ′′ ′′ ′′ ′′
0 . . . 0 a1,j . . . a1,ℓ−1 a1,ℓ a1,ℓ+1 . . . a1,p
 
 ′′ ′′ ′′

 0 ... 0 0 ... 0 a2,ℓ a2,ℓ+1 . . . a2,p 
 
A ∼ 
 0 . . . 0 0 . . . 0 0


L  
 .. .. .. .. .. 
 . . . . . A ′′ 
0 ... 0 0 ... 0 0
où A ′′ est une matrice comportant deux lignes de moins que la matrice de départ A.
Etc. . .

L’algorithme s’arrête toujours car on enlève une ligne à chaque étape.
À la fin de l’algorithme, on a obtenu une matrice B échelonnée par lignes, et telle que A ∼ B.
L
Théorème 39 – Echelonnement d’une matrice

Pour toute matrice A, il existe une matrice B de même taille qui est échelonnée par lignes
et telle que A ∼ B.
L
B La matrice B n’est pas unique.

 
3 −1 1 5
 
2 1 −1 1
Exemple. Soit A =  . Donner une matrice échelonnée par ligne qui est
1 −1 1 2
4 1 1 3
équivalente à A.
 
2 1 1 1
Exemple. Soit A = 1 −1 −1 2. Donner une matrice échelonnée par ligne qui est
4 −1 −2 6
équivalente à A.
Pour avoir unicité de la matrice échelonnée par ligne qui est équivalent à A, il faut lui imposer
d’être échelonnée réduite par ligne.
Pour cela il faut continuer avec une seconde partie d’algorithme.
Une fois qu’on a obtenu une matrice échelonnée, on divise chaque ligne non nulle par son pivot,
ce qui a pour effet de mettre tous les pivots égaux à 1.
Par opérations élémentaires sur les lignes, on peut mettre à 0 tous les coefficients qui se situent
au-dessus d’un pivot, sur la même colonne. On obtient ainsi une matrice échelonnée réduite
par lignes.
Conformément au programme de PCSI, l’unicité de la matrice obtenue est admise.
Théorème 40 – Echelonnement d’une matrice sous forme réduite

Pour toute matrice A, il existe une unique matrice B de même taille qui est échelonnée
réduite par lignes et telle que A ∼ B.
L
 
3 −1 1 5
 
2 1 −1 1
Exemple. Soit A =  . Donner la matrice échelonnée par lignes qui est
1 −1 1 2
4 1 1 3
équivalente à A.

 
2 1 1 1
Exemple. Soit A = 1 −1 −1 2. Donner la matrice échelonnée par lignes qui est
4 −1 −2 6
équivalente à A.
4.4 Application aux systèmes linéaires

Soit (S) un système linéaire de matrice des coefficients A = ((ai ,j )) 1≤i ≤n et de matrice colonne
1≤ j ≤p
du second membre B = ((b i ,1 ))1≤i ≤n .
On dira que le système linéaire (S) est échelonnée lorsque la matrice A est échelonnée par lignes.
On dira que (S) est échelonné réduit lorsque A est
échelonnée réduite par lignes.
L’algorithme de Gauss-Jordan permet donc de trouver un système linéaire (S ′ ), équivalent à (S),

et qui est échelonné (et même échelonné réduit, mais nous n’irons pas jusque là en pratique).
Pour résoudre (S), il suffit donc de résoudre le système échelonné (S ′ ).
Définition 41 – Inconnues principales et paramètres
Soit (S) un système linéaire et A la matrice de ses coefficients.

On considère B l’unique matrice échelonnée réduite par ligne telle que A ∼ B.
L
Les inconnues qui correspondent à un pivot de B sont appelées inconnues principales.
Les autres inconnues sont appelées paramètres.
Les paramètres sont aussi appelés inconnues secondaires.
Dans un système seulement échelonné, les inconnues principales correspondent encore aux
pivots. En pratique on les « matérialise » pour les différencier des paramètres.


Exemple. Donner les inconnues principales et les paramètres du système linéaire
 2x + y − z = 1
3x + 3y − z = 2

2x + 4y = 2
Définition 42 – Rang d’un système
Soit (S) un système linéaire. Son rang est défini comme étant le nombre d’inconnues
principales ; on le note rg(S).
Pour déterminer le rang d’un système linéaire, il faut donc le mettre au moins sous forme
échelonnée.
Si (S) est un système linéaire de n équations à p inconnues on peut donc dire que
rg(S) ≤ min(n, p).

Définition 43 – Relation entre rang et nombre de paramètres
Si (S) est une système linéaire à p inconnues et de rang r , alors le nombre de paramètres
est égal à p − r .
On sait résoudre un système linéaire échelonné à p inconnues : les paramètres peuvent prendre
K
n’importe quelle valeur dans , et les inconnues principales ont une alors une valeur fixée par
les paramètres. Pour le nombre de solutions, il n’y a donc que trois possiblités :
• aucune solution s’il est incompatible ;
• s’il est compatible et si rg(S) = p alors il a une unique solution ;
• s’il est compatible et si rg(S) < p alors il a une infinité de solutions.
Cela se comprend facilement si p = 2 ou p = 3 : les solutions du système correspondent

respectivement à l’intersection de droites dans le plan et à l’intersection de plans dans l’espace.

 3x − y + z = 5


2x + y − z = 1
Exemple. Résoudre le système linéaire

 x −y +z =2

4x + y + z = 3

 2x + y − z = 1
Exemple. Résoudre le système linéaire 3x + 3y − z = 2

2x + 4y = 2

 2x + y + z = 1
Exemple. Résoudre le système linéaire x − y − z = 2

4x − y − 2z = 6

 x +y +z −t =1
Exemple. Résoudre le système linéaire x − y − z + t = 2

x −y −z −t =3
Exemple. Résoudre le système linéaire x + y + z = 0.
Théorème 44 – Structure de l’ensemble des solutions

Si (S) est un système linéaire à p inconnues et (x1∗ , x2∗ , . . . , x p∗ ) est une solution particu-
lière de (S) alors toute solution de (S) s’écrit comme la somme d’une solution du système
linéaire homogène associé et de la solution particulière (x1∗ , x2∗ , . . . , x p∗ ).

5 Opérations élémentaires et calcul matriciel 209
5 Opérations élémentaires et calcul matriciel
5.1 Matrices élémentaires
Soient i et j deux éléments de 1; n. On note E i ,j la matrice carrée d’ordre n, dont tous les
coefficients sont nuls sauf celui de la i -ième ligne et j -ième colonne qui est égal à 1 :
colonne j
↓
 
0 0 ... 0 ... 0
0 0 ... 0 ... 0
 
 .. .. .. .. 
E i ,j =
. . . . 
0 0 ... 1 ... 0
  ← ligne i
. .. .. .. 
 .. . . .
0 0 ... 0 ... 0
Pour (k, ℓ) ∈ 1; n2, E i ,j [k, ℓ] = δi ,k × δ j ,ℓ où δa,b est le symbole de Kronecker défini par :
(
1 si a = b
δa,b =
0 sinon
Définition 45 – Matrice de transvection

On appelle matrice de transvection toute matrice de la forme I n +λ.E i ,j où λ ∈ K et i , j sont
deux éléments de 1; n tels que i 6= j .
On note souvent Ui ,j (λ) = I n + λ.E i ,j : les coefficients de la diagonale valent 1, celui de la i -ième
ligne et j -ième colonne vaut λ, et tous les autres valent 0.
Proposition 46 – Lien avec les opérations élémentaires
Si λ ∈ K et i , j sont deux éléments de 1; n tels que i 6= j , et si A est une matrice de

K
Mn,p ( ), alors la matrice Ui ,j (λ) × A se déduit de A après l’opération L i ←− L i + λL j .
Proposition 47 – Inversibilité d’une matrice de transvection
K
Si λ ∈ et i , j sont deux éléments de 1; n tels que i 6= j , alors la matrice de transvection
Ui ,j (λ) est inversible et son inverse est Ui ,j (−λ).

Définition 48 – Matrice de transposition
On appelle matrice de tranposition toute matrice de la forme I n − E i ,i − E j ,j + E i ,j + E j ,i où

i , j sont deux éléments de 1; n tels que i 6= j .
On note souvent Ti ,j = I n − E i ,i − E j ,j + E i ,j + E j ,i : les coefficients diagonaux valent 1, sauf le

i -ième et le j -ième qui valent 0 ; le coefficient la i -ième ligne et j -ième colonne vaut 1, ainsi que
celui de la j -ième ligne et i -ième colonne ; les autres valent 0.
K
Si i , j sont deux éléments de 1; n tels que i 6= j , et si A est une matrice de Mn,p ( ), alors
la matrice Ti ,j × A se déduit de A après l’opération L i ←→ L j .
Proposition 50 – Inversibilité d’une matrice de transposition
Si i , j sont deux éléments de 1; n tels que i 6= j , alors la matrice de transposition Ti ,j est
inversible et son inverse elle-même.
Définition 51 – Matrice de dilatation

On appelle matrice de dilatation toute matrice de la forme I n + (λ − 1)E i ,i où λ ∈ K tel que
λ 6= 0, et i ∈ 1; n.
On note souvent D i (λ) = I n + (λ − 1)E i ,i : c’est une matrice diagonale dont les coefficients dia-
gonaux valent 1, sauf le i -ième qui vaut λ.
K K
Si λ ∈ ∗ et i est un élément de 1; n, et si A est une matrice de Mn,p ( ), alors la matrice
D i (λ) × A se déduit de A après l’opération L i ←− λL i .
Proposition 53 – Inversibilité d’une matrice de dilatation
K
Si λ ∈ ∗ et i ∈ 1; n, alors la matrice de dilatation D i (λ) est inversible et son inverse est
D i (1/λ).

L’algorithme de Gauss-Jordan peut lui aussi se traduire matriciellemnt.
Théorème 54 – Décomposition E R d’une matrice
K
Si A est une matrice de Mn,p ( ), alors il existe une matrice E produit de matrices élémen-
taires et une unique matrice échelonnée réduite R telles que A = E R.
La matrice E est inversible. La matrice R est équivalente par ligne à A : A ∼ R.

L
µ ¶
1 −1 2 0
B La matrice E n’est pas unique. Prendre par exemple A = .
1 1 2 1
On peut définir de même les opérations élémentaires sur les colonnes C 1 , . . ., C n d’une matrice
A à n colonnes :
• l’opération C i ←− C i + λC j se traduit par l’opération A ×Ui ,j (λ) ;
• l’opération C i ←→ C j se traduit par l’opération A × Ti ,j ;
• l’opération C i ←− λC i se traduit par l’opération A × D i (λ).
Si A ′ est obtenue après des opérations élémentaires sur les colonnes de A, alors on dit que A et
A ′ sont équivalentes par colonnes et on le note A ∼ A ′ . On repasse à des matrices équivalentes
C
par lignes grâce à la transposée :
A ∼ A ′ ⇐⇒ t A ∼ t A ′
C L
5.2 Compléments sur les matrices carrées inversibles

Les matrices permettent de simplifier les notations des matrices linéaires.
On se donne (S) un système linéaire de n équations à p inconnues, de matrice des coefficients

K K
notée A ∈ Mn,p ( ), de matrice colonne du second membre notée B ∈ Mn,1 ( ), et de matrice
 
x1
 .. 
colonne des inconnues notée X =  .  ∈ Mp,1 ( ). K
xp
Proposition 55 – Écriture matricielle d’un système linéaire
(x1 , . . . , x p ) est solution de (S) ⇐⇒ X est solution de A × X = B
    
x+y = 2
 1 1 µ ¶ 2
  x
Exemple. Le système x − y = 0 s’écrit matriciellement 1 −1 = 0.

 y
3x + y = 4 3 1 4
On généralise la notion de rang aux matrices.

Définition 56 – Rang d’une matrice
K
Si A ∈ Mn,p ( ) on appelle rang de A le rang du système linéaire AX = B. On le note rg(A).
Si R est l’unique matrice échelonnée réduite par ligne équivalente par ligne à A alors
rg(A) = nombre de pivots de R = rg(R).
Proposition 57 – Rang et matrices équivalentes par ligne
Deux matrices équivalentes par lignes ont même rang.
On a le même résultat avec des matrices équivalentes par colonnes.
On a donc rg(A) = nombre de pivots de toute matrice échelonnée et équivalente à A.
Exemple. Le rang d’une matrice diagonale est égale au nombre de coefficients non nuls.
Le résultat fondamental est le suivant.
Théorème 58 – Caractérisation des matrices carrées inversibles

Soit A une matrice carrée d’ordre n. On a équivalence des propriétés suivantes :
(ii) A ∼ I n ie que A est un produit de matrices élémentaires ;
L
(iii) rg(A) = n ie que le système linéaire AX = 0n,1 est de rang n ;
K
(iv) le système linéaire AX = 0n,1 , d’inconnue X ∈ Mn,1 ( ), admet une seule solution,
qui est X = 0n,1 ;
K K
(v) pour tout B ∈ Mn,1 ( ), le système linéaire AX = B, d’inconnue X ∈ Mn,1 ( ), admet
une seule solution ;
K K
(vi) pour tout B ∈ Mn,1 ( ), le système linéaire AX = B, d’inconnue X ∈ Mn,1 ( ), admet
au moins une solution.
K
Exemple. Utiliser ce théorème pour montrer que : si A ∈ Mn ( ) est inversible à droite, alors
elle est inversible.
Exemple. Montrer que si une ligne ou une colonne de A est nulle alors A n’est pas inversible.
Exemple. Montrer que si deux colonnes de A ou deux lignes de A sont égales alors A n’est
pas inversible.
Corollaire 59 – Inversibilité d’une matrice triangulaire
Une matrice triangulaire est inversible si, et seulement si, tous ses coefficients diagonaux
sont non nuls.

   
1 0 −1 1 −3 −1
Exemple. 0 2 1  est inversible mais 0 0 1  ne l’est pas.
0 0 3 0 0 3
Si λ1 , . . ., λn sont des scalaires non nuls, on a pour une matrice diagonale :
 −1  
λ1 0 ... 0 1/λ1 0 ... 0
 0 λ2 ... 0   0 1/λ 2 ... 0 
   
 . .. .. ..  = . .. .. .. 
 .. . . .   .. . . . 
0 0 . . . λn 0 0 . . . 1/λn
Pour une matrice triangulaire supérieure, l’inverse est triangulaire supérieure mais ce n’est pas
au programme de PCSI.
5.3 Méthode du système linéaire pour inverser une matrice

Noter que sachant que A est inversible, on sait très simplement résoudre le système linéaire
AX = B d’inconnue X : la seule solution est X = A −1 B.
Cette remarque est à la base d’une nouvelle méthode pour montrer à la fois l’inversibilité d’une
matrice et calculer son inverse : c’est la méthode du système linéaire.
On se donne deux matrices colonnes X et Y et on résout le système linéaire AX = Y . Si on trouve

une unique solution, c’est que A est inversible, ensuite on calcule cette solution, et comme elle
doit être égale à A −1 Y , on peut donc « lire » les coefficients de A −1 .
K
B Ne pas chercher à trouver A −1 en cherchant B ∈ Mn ( ) telle que AB = I n : c’est un système
linéaire à n 2 inconnues, alors que dans la méthode précédente le nombre d’inconnue n’est que
de n.
   
2 1 1 1 1 −1
1
Exemple. A =  4 1 0 est inversible et A −1 = −4 4 4 .
8
−2 2 1 10 −6 −2
5.4 Méthode du pivot de Gauss-Jordan pour inverser une matrice

Le théorème fondamental précédent donne aussi que A est inversible dès que A ∼ I n . Cela
L
signifie qu’on peut trouver une matrice B composée de produits de matrices élémentaires telle
que : B A = I n . Ceci est remarquable puisqu’en fait B = A −1 .
On en déduit une seconde méthode pour montrer à la fois l’inversibilité d’une matrice et
calculer son inverse : c’est la méthode du pivot de Gauss-Jordan, aussi appelée méthode du mi-
roir.

On détermine via l’algorithme de Gauss-Jordan la matrice échelonné réduite par lignes qui est
équivalente par lignes à A. Si c’est I n alors A est inversible.
Les opérations élémentaires effectués sur les lignes A sont représentées par une matrice B,
qui est donc un produit de matrices élémentaires. Si on effectue ces mêmes opérations sur la
matrice I n , on obtient la matrice A −1 : en effet, B I n = B = A −1 .
En pratique, on ne fait pas deux étapes pour l’algorithme de Gauss-Jordan, mais une seule :
pour chaque pivot on annule les coefficients qui sont en-dessous sur la même colonne, mais
aussi ceux quis sont au-dessus.
   
2 1 1 1 1 −1
1
Exemple. A =  4 1 0 est inversible et A −1 = −4 4 4 .
8
−2 2 1 10 −6 −2


➥ Connaître le vocabulaire relatif aux matrices.
✪ Connaître les notions de taille pour une matrice quelconque, et d’ordre pour une matrice
carrée.
✪ Différencier matrices carrées, matrices triangulaires, matrices diagonales.
➥ Maîtriser le calcul matriciel par rapport à l’addition et la multiplication par un scalaire.

✪ Connaître les propriétés de 0n et I n .
➥ Maîtriser le produit matriciel.

✪ Connaître la définition théorique et l’algorithme de calcul.
✪ Connaître ses propriétés vis à vis des deux autres opérations.
✪ Savoir qu’il n’est pas commutatif et qu’il existe des diviseurs de zéro non triviaux.
✪ Utiliser la formule du binôme.
➥ Maîtriser la transposition.
✪ Connaître ses propriétés vis à vis des trois opérations de calculs.
✪ Connaître les définitions des matrices symétriques et antisymétriques.
➥ Connaître l’algorithme de Gauss-Jordan.

✪ L’utiliser sur un système linéaire pour déterminer son rang, différencier les inconnues
principales des paramètres, et le résoudre.
✪ L’utiliser sur une matrice pour déterminer son rang, et trouver l’unique matrice
échelonnée réduite par ligne qui lui est équvalente.
➥ Maîtriser la notion de matrice inversible.

✪ Prouver l’inversibilité et déterminer l’inverse par produit matriciel.
✪ Prouver l’inversibilité et déterminer l’inverse grâce à l’algorithme de Gauss-Jordan
(méthodes du système linéaire ou du miroir).
✪ Utiliser les matrices inverses pour simplifier des équations.
✪ Caractériser l’inversibilité par fait que le rang est maximal, ou que la matrice s’exprime
comme un produit de matrices élémentaires, ou que les sytèmes linéaires associés ont
une unique solution.

7 Exercices
Produit matriciel
EXERCICE 1. Calculs de produits de matrices
Calculer les produits de matrices suivants :
µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶
1 −3 1 −3 1 2 1 −2
1. × 2. ×
−3 1 −3 1 −3 1 −1 1
µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶
1 −2 1 2 cos α − sin α cos β − sin β
3. × 4. ×
−1 2 −3 1 sin α cos α sin β cos β
µ ¶ µ ¶
cos α sin α cos β sin β
5. ×
sin α − cos α sin β − cos β
EXERCICE 2. Calcul de puissances par conjecture
Déterminer A n en fonction de n ∈ N dans les cas suivants :

 
0 1 1 0  
µ¶ µ ¶   −1 0 2
1 1 1 −1 0 0 1 1
A= ; A= ; A= ; A =  2 1 −2
0 1 −1 1 0 0 0 1
0 0 1
0 0 0 0
EXERCICE 3. Calcul de puissances par récurrence

 
1 −1 −1
On pose A = −1 1 −1. Démontrer qu’il existe deux suites (an )n∈N et (b n )n∈N à valeurs
−1 −1 1
 
an bn bn
réelles telles que : ∀n ∈ N, A n = b n an b n . En déduire l’expression de A n , pour tout n ∈ N.
bn bn an
EXERCICE 4. Calcul de puissances avec un polynôme annulateur

 
1 0 0
On pose A = 1 0 0.
1 1 1
1. Donner une relation entre A 3 , A 2 et A.
2. Montrer qu’il existe deux suites (an)n∈N et (b n )n∈N à valeurs réelles telles que : ∀n ∈ N, A n =
an A + b n A 2 . En déduire l’expression de A n , pour tout n ∈ N∗ .

7 Exercices 217
EXERCICE 5. Calcul de puissances avec la formule du binôme matricielle
   
a 0 0 0 1 1
1. Pour a ∈ R, on pose A =  0 a 0 , N =  0 0 1  et B = A + N . Vérifier que AN =
0 0 a 0 0 0
3 n
N A et N = 0, puis calculer B pour tout n ≥ 3.
   
1 2 2 1 1 1
2. On pose A = 2 1 2 et J = 1 1 1. Calculer J n puis A n pour tout n ∈ . N
2 2 1 1 1 1
EXERCICE 6. Calcul de puissances par diagonalisation

     
0 0 1 1 1 1 2 2 −2
On pose A =  0 0 1 , P =  1 −1 1  et Q = 3 −3 0 .
1 1 1 −1 0 2 1 1 2
1. Calculer PQ et en déduire que P est inversible.
2. On pose D = P −1 AP . Calculer D puis D n pour tout n ∈ N.

3. En déduire A n pour tout n ∈ N.
Matrices inversibles
EXERCICE 7. Calculs d’inverses
Inverser les matrices suivantes :

 
    1 1 0 2
1 1 1 1 1 2  
0 0 −2 0 
1. A = 0 1 1 2. B = 1 2 3
 3. C =  
1 2 0 3
0 0 1 0 −1 3
0 1 0 −3
EXERCICE 8. Polynôme annulateur et inversibilité

µ ¶
4 −10
Soit A = .
1 −3
Vérifer que A 2 − A − 2I 2 = 02 , puis en déduire que A est inversible et calculer A −1 .
EXERCICE 9. Inverse d’une matrice 2 × 2

µ ¶
Soit A =
a b
c d
K
∈ M2 ( ). Vérifier que A 2 − (a + d )A + (ad − bc)I 2 = 02 .
Á quelle condition A est-elle inversible ? Déterminer alors A −1 .

EXERCICE 10. Puissances négatives

 
0 1 −1
Soit A =  1 0 1 .
−1 1 0
1. Calculer (A − I 3 )(A + 2I 3 ). En déduire l’existence et le calcul de A −1 .
2. Soient B = 31 (I 3 − A) et C = 13 (A + 2I 3 ). Déterminer B n et C n pour tout n ∈ N.

3. En déduire l’expression de A n en fonction de n ∈ N.
4. Cette expression est-elle valable pour n ∈ Z?
Algorithme de
Gauss-Jordan
EXERCICE 11. Systèmes linéaires
Déterminer le rang puis résoudre les systèmes linéaires d’inconnues réelles suivants (on préci-
sera les inconnues principales et les paramètres) :

 3x − y + z = 5 

  2x + y − z = 1
2x + y − z = 1
1) 2) 3x + 3y − z = 2

 x −y +z =2 
 2x + 4y = 2
4x + y + z = 3
 
 2x + y + z = 1  x +y +z −t =1
3) x −y −z =2 4) x −y −z +t =2
 
4x − y − z = 3 x −y −z −t =3
 
 3x − y + z = 5  x1 + 2x2 − x3 + 3x4 = 0
5) x + y − z = −2 6) x + x3 − 2x4 + 2x5 = 0
  2
−x + 2y + z = 3 2x1 + x2 − 5x3 − 4x5 = 0
EXERCICE 12. Rang d’une matrice
Mettre les matrices suivantes sous forme échelonnée réduite et déterminer leur rang :
   
    3 −1 1 7 1 1 −1 −1 1
1 0 1 1 2 3    
  9 −3 3 −1 2 1 0 −4 4 
A= 2 −1 −2 B= 1 2 3 
 C =  D = 
0 0 4 −8 1 2 −3 1 −1
−1 −1 −1 1 2 3
0 0 2 −4 0 1 0 1 1

7 Exercices 219
Matrices d’ordre n
EXERCICE 13. Trace d’une matrice

Soit A = ((ai j ))1≤i ,j ≤n ∈ Mn (K). On appelle trace de A, notée Tr(A), la somme de ses coefficients
Xn
diagonaux : Tr(A) = ai i .
i =1
1. Montrer que : ∀(A, B, λ) ∈ Mn (K)2 × K, Tr(A + B) = Tr(A) + Tr(B) et Tr(λ.A) = λ × Tr(A).
2
2. Montrer que : ∀(A, B) ∈ Mn (K) , Tr(AB) = Tr(B A)
En déduire que ∀A ∈ Mn (K), ∀P ∈ Gl n (K), Tr(P AP −1 ) = Tr(A).
K
3. Peut-on trouver deux matrices A et B de Mn ( ) tels que AB − B A = I n ?
EXERCICE 14. Inverse d’une matrice d’ordre n

 
1
 .. 
 . (−1) 
 
 .. 
Soit A =  . . Montrer que A est inversible et donner A −1 .
 
 .. 
 (0) . 
1
EXERCICE 15. Matrices à diagonale strictement dominante

n
X
K
Soit A = ((ai ,j ))1≤i ,j ≤n ∈ Mn ( ) telle que ∀i ∈ 1, n, |ai ,i | > |ai ,j |
j =1
j 6=i
Montrer que A est inversible.
EXERCICE 16. Un calcul abstrait

K
Soit A ∈ Mn ( ) telle que la matrice I n + A soit inversible. On pose B = (I n − A) × (I n + A)−1 .
1. Montrer que B = (I n + A)−1 × (I n − A).
2. Montrer que I n + B est inversible et exprimer A en fonction de B.
EXERCICE 17. Résultats théoriques
K
1. Soit A ∈ Mn ( ) une matrice diagonale dont tous les coefficients diagonaux sont deux à
K
deux distincts. Montrer que, si M ∈ Mn ( ) alors :
A et M commutent si et seulement si M est diagonale
K
2. Montrer que les seules matrices de Mn ( ) qui commutent avec toutes les autres sont les
matrices scalaires, c’est-à-dire les matrices de la forme λI n , avec λ ∈ . K


221
Chapitre 8
Compléments sur les suites
Sommaire
1 Suites usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
1.1 Suites récurrentes d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
1.2 Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
1.3 Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
1.4 Suites arithmético-géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
1.5 Suites récurrentes linéaires d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
2 Comparaison des suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
2.1 Notations de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
2.2 Suites équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
2.3 Propriétés conservées par équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
2.4 Opérations sur les équivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
2.5 Comparaison des suites usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

222 C HAPITRE 8 : Compléments sur les suites
1 Suites usuelles
1.1 Suites récurrentes d’ordre 1
On se donne f une fonction numérique et a un réel. On appelle suite récurrente
autonome d’ordre 1 une suite (u n ) définie par la donnée de u 0 = a et la relation de récurrence
N
∀n ∈ , u n+1 = f (u n ).
Exemple. u 0 = 1 et ∀n ∈ N, un + 1 = ln(1 + un ).
La fonction f est appelée itératrice. Le terme autonome sert à préciser que la fonction f ne
dépend pas de n.
N
Exemple. La suite (u n ) définie par u 0 = 1 et ∀n ∈ , un + 1 = n + u n une suite récurrente
d’ordre 1 non autonome.
Les suites récurrentes autonomes d’ordre 1 sont de nature très complexes, voir chaotiques.
Le fait que f soit monotone ou qu’elle ait une limite en +∞ ne donne pas de conclusion
évidente sur la suite (u n ).
Une première difficulté est de montrer que la suite existe, puisque dans la définition on définit
la suite en fonction d’elle-même, ce qui peut poser problème.
Exemple. Si u 0 = 1 et ∀n ∈ N, un+1 = ln(un ), on trouve u1 = 0 donc u2 n’est pas défini. Cette

suite n’existe pas ; on dit qu’elle n’est pas bien définie.
Pour être sur de l’existence de la suite (u n ) on utilise le théorème suivant.
Théorème 1 – Définition par récurrence
On suppose que I est un intervalle de E stable par f : ∀x ∈ I , f (x) ∈ I .

Pour tout a ∈ I , il existe une unique suite (u n )n∈N vérifiant u 0 = a et ∀n ∈ N, un+1 = f (un ).
N
De plus elle vérifie ∀n ∈ , u n ∈ I .
L’existence se démontre grâce à la théorie des ensembles.
L’unicité se démontre très facilement par récurrence.
On peut noter que : ¡ ¢

u n = f ◦ f ◦ · · · ◦ f (u 0 )
| {z }
n fois
donc pour une fonction f donnée, c’est le premier terme u 0 qui va déterminer le comportement
de toute la suite. Ceci semble contredire le fait que la nature d’une suite ne dépend pas de ses
premiers termes, mais il n’en est rien : pour une suite récurrente autonome d’ordre 1, si on
modifie le premier terme, alors on modifie du même coup tous les termes de la suite, et il peut
donc arriver qu’on change sa nature.
q
N
Exemple. La suite (u n ) définie par u 0 = 1 et ∀n ∈ , u n+1 = 1 + u n2 est bien définie.

1 Suites usuelles 223
Pour étudier la limite de ce genre de suite, on utilise principalement le théorème de la limite

monotone. On dispose aussi du théorème suivant qui permet de savoir vers quelle(s) valeur(s)
la suite peut converger.
Théorème 2 – Limite finie de la suite et points fixes de l’itératrice
E
On suppose que I est un intervalle de stable par f : ∀x ∈ I , f (x) ∈ I .
N
(u n )n∈N est la suite définie par u 0 = a ∈ I et ∀n ∈ , u n+1 = f (u n )
Si (u n ) converge vers ℓ, si ℓ ∈ I , et si f est continue en ℓ alors f (ℓ) = ℓ.
Exemple. Étudier
q l’éventuelle limite de la suite (u n ) définie par u 0 = 1 et
∀n ∈ N, un+1 = 1 + u n2 .
Exemple. Étudier l’éventuelle limite de la suite (u n ) définie par u 0 = 0 et

∀n ∈ N, un+1 = eu .
n
B Si (u n ) converge vers ℓ mais ℓ ∉ I (ℓ est alors une borne de l’intervalle I ), alors il est possible
que ℓ ne soit pas un point fixe de f .
1.2 Suites arithmétiques
Définition 3 – Suite arithmétique
Une suite (u n )n∈N est dite arithmétique de raison r ∈ R lorsque : ∀n ∈ N, un+1 = un + r .
Proposition 4 – Formules autour des suites arithmétiques
N
1. ∀n ∈ , u n = u 0 + nr ;
Plus généralement : ∀(n, p) ∈ N2, un = up + (n − p)r .
2. Pour tout (n, p) ∈ N2 tel que n ≥ p :
n
X up + un
u k = (n − p + 1)
k=p 2
premier terme + dernier terme
= nombre de termes ×
2
Exemple. u 0 = 0 et r = 1 donnent ∀n ∈ N, un = n. On retrouve les formules :

n
X n(n + 1) n
X (n − p + 1)(n + p)
k= et k=
k=0 2 k=p 2

1.3 Suites géométriques
Définition 5 – Suite géométrique
Une suite (u n )n∈N est dite géométrique de raison q ∈ R lorsque : ∀n ∈ N, un+1 = q × un .
Proposition 6 – Formules autour des suites géométriques
N
1. ∀n ∈ , u n = u 0 q n ; Plus généralement : ∀(n, p) ∈ N2, un = up q n−p (si n < p il faut
supposer q 6= 0).

 +∞ si q > 1
n
2. lim q = 1 si q = 1
n→+∞ 
0 si − 1 < q < 1 ie |q| < 1
¡ n¢
et q n’a pas de limite si q ≤ −1.
3. Pour tout (n, p) ∈ N2 tel que n ≥ p, on a pour q 6= 1 :
n
X 1 − q n−p+1 1 − raisonnombre de termes
uk = u0 q p = premier terme ×
k=p 1−q 1 − raison
et pour q = 1 :
n
X
u k = (n − p + 1)u 0 = nombre de termes × premier terme
k=p
B Si (xn ) est une suite à valeurs dans ] − 1, 1[, on ne peut pas dire que lim (xn )n = 0.
µ ¶ n→+∞
1 n 1
Par exemple lim 1 − = .
n→+∞ n e
Ã !
n 1
X
Exemple. Déterminer lim k
.
k=1 2
n→+∞
1.4 Suites arithmético-géométriques
Définition 7 – Suite arithmético-géométrique
Une suite (u n )n∈N est dite arithmético-géométrique de paramètres (a, b) ∈ R2 lorsque :

N
∀n ∈ , u n+1 = au n + b.
Remarquons que si a = 1, alors (u n )n∈N est arithmétique de raison b, et si b = 0, alors (u n )n∈N est
géométrique de raison a. Dans la suite, on supposera que a 6= 1.
On va calculer le terme général u n en fonction de n, mais cette fois la formule est trop
compliquée pour être apprise, il faut donc uniquement retenir la méthode utilisée.

1 Suites usuelles 225
Méthode : on commence par déterminer le point fixe ℓ ∈ R associé à la relation de récurrence.

b
Il vérifie ℓ = aℓ + b, donc ℓ = .
1−a
Ensuite on définit une suite auxiliaire (xn )n∈N par : ∀n ∈ N, xn = un − ℓ. Cette suite est alors
géométrique de raison a, en effet :
∀n ∈ N, xn+1 = u n+1 − ℓ = au n + b − ℓ = a(xn + ℓ) + b − ℓ = axn + |aℓ +{zb − ℓ} = axn

=0
¶
µ
On a donc : ∀n ∈ N n n
, xn = x0 a = (u 0 − ℓ)a puis u n = xn + l = u 0 −
b
1−a
an +
b
1−a
.
On peut alors très facilement en déduire la limite éventuelle de la suite (u n )n∈N .
N
Exemple. On donne u 2 = 2 et ∀n ∈ , u n+1 = 2u n + 1. Donner une expression de u n .
1.5 Suites récurrentes linéaires d’ordre 2

Définition 8 – Suite récurrente linéaire d’ordre 2
Une suite (u n )n∈N est dite récurrente linéaire d’ordre 2 de paramètres (a, b) ∈ R2 lorsque :
N
∀n ∈ , u n+2 = au n+1 + bu n .
Remarquons que si b = 0, alors (u n )n∈N est géométrique de raison a.
On appelle équation caractéristique associée à (u n )n∈N l’équation (E ) d’inconnue z ∈ C:

z 2 = az + b.
Théorème 9 – Calcul du terme général u n en fonction de n
On note ∆ = a 2 + 4b le discriminant de l’équation caractéristique (E ).

1. Si ∆ > 0 (E ) a deux racines réelles distinctes r 1 et r 2 . Il existe alors un unique couple
R
de réels (λ, µ) ∈ 2 tel que :
∀n ∈ N, u n = λr 1n + µr 2n
2. Si ∆ = 0 (E ) a une seule racine réelle r 0 . Il existe alors un unique couple de réels

R
(λ, µ) ∈ 2 tel que :
N
∀n ∈ , u n = (λn + µ)r 0n
3. Si ∆ < 0 (E ) a deux racines complexes pures conjuguées r 1 = ρei θ et r 2 = ρe−i θ . Il

existe alors un unique couple (λ, µ) ∈ 2 tel que : R
∀n ∈ N, ¡
u n = ρ n λ cos(nθ) + µ sin(nθ)
¢
Exemple. Déterminer le terme général de la suite (u n )n∈N définie par u 0 = u 1 = 1 et, pour
tout n ∈ N : un+2 = un+1 + un .
Exemple. Déterminer le terme général de la suite (u n )n∈N définie par u 0 = u 1 = 1 et, pour
tout n ∈ N∗ : un+1 = un − un−1 .
Exemple. Déterminer le terme général de la suite (u n )n∈N définie par u 0 = 1, u 1 = 0 et, pour
tout n ≥ 2 : u n = 4u n−1 − 4u n−2 .
Dans le cas où a et b sont deux nombres complexes, on obtient :

1. Si ∆ 6= 0 (E ) a deux racines complexes distinctes r 1 et r 2 . Il existe alors un unique couple
C
de complexes (λ, µ) ∈ 2 tel que :
∀n ∈ N, u n = λr 1n + µr 2n
2. Si ∆ = 0 (E ) a une seule racine complexe r 0 . Il existe alors un unique couple de

C
complexes (λ, µ) ∈ 2 tel que :
∀n ∈ N, u n = (λn + µ)r 0n
2 Comparaison des suites

Dans ce paragraphe nous allons présenter un cadre mathématique qui va permettre de faire des
approximations de manière rigoureuse.
(u n ) et (v n ) seront deux suites réelles. Pour simplifier les définitions nous supposerons que
v n 6= 0 a.p.c.r..
2.1 Notations de Landau

Définition 10 – Suite négligeable devant une autre suite
On dit que la suite (u n )n∈N est négligeable devant la suite (v n )n∈N lorsque :
un
lim =0
n→+∞ v n
On le notera u n = o (v n ), et on dira que u n est un « petit o » de v n .

n→+∞
On dit parfois aussi que la suite (v n )n∈N est prépondérante devant la suite (u n )n∈N .
B La notation o(v n ) seule n’a pas de sens !

Elle ne désigne pas une suite fixée, mais n’importe quelle suite négligeable devant (v n )n∈N .
En particulier : u n = o (w n ) et v n = o (w n ) ne donnent pas (u n )n∈N = (v n )n∈N .
n→+∞ n→+∞
On peut le vérifier avec le contre-exemple u n = n, v n = n 2 et w n = n 3 .
Exemple. ln(n) = o (n).

n→+∞
Exemple. u n = o (1) signifie que (u n ) converge vers 0.

n→+∞

2 Comparaison des suites 227
Proposition 11 – Règles de calcul pour « le petit o »
On se donne des suites réelles (u n )n∈N , (v n )n∈N , (w n )n∈N , (an )n∈N et (b n )n∈N qui ne s’an-
nulent pas a.p.c.r..
1. Transitivité. un = o (v n ) et v n = o (w n ) donnent u n = o (w n )
n→+∞ n→+∞ n→+∞
2. Produit. un = o (v n ) et an = o (b n ) donnent u n × an = o (v n × b n )
n→+∞ n→+∞ n→+∞
3. Somme. un = o (w n ) et an = o (w n ) donnent u n + an = o (w n )
n→+∞ n→+∞ n→+∞
4. Multiplication par une constante. u n =
n→+∞
o (v n ) donne ∀λ ∈ R, λ × un n→+∞
= o (v n )
5. Multiplication par une suite. un = o (v n ) donne u n × w n = o (v n × w n )
n→+∞ n→+∞
Définition 12 – Suite dominée par une autre suite

µ ¶
un
On dit que la suite (u n )n∈N est dominée par la suite (v n )n∈N lorsque la suite
vn
est bornée.
On le notera u n = O (v n ), et on dira que u n est un « grand o » de v n .
n→+∞
Les remarques sur la notation o(v n ) sont encore valables pour la notation O (v n ).
Exemple. u n = O (1) signifie que la suite (u n ) est bornée.

n→+∞
Proposition 13 – Lien entre « le petit o » et « le grand o »
Si u n = o (v n ) alors u n = O (v n ).
n→+∞ n→+∞
2.2 Suites équivalentes
Définition 14 – Suite équivalente à une autre suite
On dit que la suite (u n )n∈N est équivalente à la suite (v n )n∈N lorsque :

un
−→ 1
v n n→+∞
On le notera u n ∼ vn .
n→+∞
p
Exemple. n2 + n + 1 ∼ n.
n→+∞

Proposition 15 – Propriétés de la relation ∼
La relation ∼ est une relation d’équivalence sur l’ensemble des suites réelles qui ne
s’annulent pas a.p.c.r..
La propriété de symétrie donne que si (u n )n∈N est équivalente à (v n )n∈N , alors (v n )n∈N est
équivalente à (u n )n∈N : on peut donc aussi dire que (u n )n∈N et (v n )n∈N sont équivalentes.
Théorème 16 – Lien entre la relation ∼ et « le petit o »
Pour deux suites réelles (u n )n∈N et (v n )n∈N :
un ∼ v n ⇐⇒ u n − v n = o (v n ) ⇐⇒ v n − u n = o (u n )
n→+∞ n→+∞ n→+∞
On en déduit une méthode simple pour trouver une suite équivalente à une somme.
Corollaire 17 – Équivalent d’une somme

Pour deux suites réelles (u n )n∈N et (v n )n∈N :
un + v n ∼ v n ⇐⇒ u n = o (v n )
n→+∞ n→+∞
Ce résultat indique que dans une somme on garde le terme « prépondérant ». Cela permet de
faire disparaître facilement une forme indéterminée.
1 1 1
Exemple. n − ln(n) + 2 ∼ n et + 2 ∼ .
n→+∞ n n n→+∞ n
Théorème 18 – Composition d’un « petit o » par une suite équivalente
Pour trois suites réelles (u n )n∈N , (v n )n∈N et (an )n∈N qui ne s’annulent pas a.p.c.r. :
si u n = o (v n ) et v n ∼ an , alors u n = o (an ).
n→+∞ n→+∞ n→+∞
2.3 Propriétés conservées par équivalence
Théorème 19 – Équivalent et signe

Si u n ∼ v n , alors (u n )n∈N et (v n )n∈N sont de même signe au sens strict à partir d’un
n→+∞
certain rang.

Théorème 20 – Équivalent et limite
1. Si u n ∼
n→+∞ n→+∞
R, alors un n→+∞
v n et v n −→ ℓ ∈ −→ ℓ.
2. On a une réciproque dans le cas particulier ℓ ∈ R∗ : si u n −→ ℓ alors u n ∼ ℓ.
n→+∞ n→+∞
Le dernier point est très important : les suites dont il sera difficile de trouver un équivalent sont
les suites qui convergent vers 0, ou qui divergent vers ±∞.
B Si lim u n = lim v n , on ne peut pas en déduire que u n ∼ v n .

n→+∞ n→+∞ n→+∞
1 1
Prendre par exemple u n = et v n = 2 .
n n
¡ ¢
B Si u n ∼ v n , on ne peut pas en déduire que lim u n − v n (on peut tomber sur une forme
n→+∞ n→+∞
indéterminée).
Prendre par exemple u n = (n + 1)2 et v n = n 2 .
n +1
Exemple. ∼ 1.
n n→+∞
¡ ¢
Exemple. Déterminer lim n − ln(n) + 2 .
n→+∞
2.4 Opérations sur les équivalents
Proposition 21 – Règles de calcul pour la relation ∼
On se donne des suites réelles (u n )n∈N , (v n )n∈N , (an )n∈N et (b n )n∈N qui ne s’annulent pas
a.p.c.r..
1. Valeur absolue. u n ∼ v n donne |u n | ∼ |v n |.
n→+∞ n→+∞
2. Produit. u n ∼ v n et an ∼ b n donnent u n × an ∼ v n × bn .
n→+∞ n→+∞ n→+∞
3. Puissance. Pour tout p ∈ N, p p

u n ∼ v n donne u n ∼ v n .
R
n→+∞ n→+∞
Plus généralement, pour tout α ∈ telle que les suites (u n )α et (v nα ) soient bien
α p p
définies a.p.c.r. : u nα ∼ v n . En particulier u n ∼ v n donne u n ∼ vn .
n→+∞ n→+∞ n→+∞
4. Inverse. Si u n ∼ v n et si (v n )n∈N ne s’annule pas à partir d’un certain rang, alors
n→+∞
1 1
∼ .
u n n→+∞ v n
5. Quotient. Si u n ∼ v n , an ∼ b n et si (v n )n∈N ne s’annule pas à partir d’un
n→+∞ n→+∞
an bn
certain rang, alors ∼ .
un n→+∞ vn

B Par contre il n’est pas possible de faire les opérations suivantes.

• Somme
u n ∼ v n et an ∼ b n ne donnent pas u n + an ∼ v n + b n .
n→+∞ n→+∞ n→+∞
• Composition par une fonction
Si f est une fonction, u n ∼ v n ne donne pas f (u n ) ∼ f (v n ).
n→+∞ n→+∞
un vn
En particulier u n ∼ v n ne donne ni e ∼ e et ni ln(u n ) ∼ ln(v n ).
n→+∞ n→+∞ n→+∞
• Puissance dépendante de n
α α
u n ∼ v n ne donne pas u n n ∼ vn n .
n→+∞ n→+∞
Noter aussi que n ∼ n + 1, mais en général on n’a pas u n ∼ u n+1 .

n→+∞ n→+∞
µ ¶ p
1 ¡ ¢2 ln(n) + 1 n2 + 1
Exemple. Déterminer un équivalent simple de 1 + n+ln(n) , de p et de p
3
.
n n+ n n3 + 1
Exemple. Montrer que ln(n + 1) ∼ ln(n).

n→+∞
2.5 Comparaison des suites usuelles
On rappelle les limites usuelles suivantes :
• n! −→ +∞ • n n −→ +∞
n→+∞  n→+∞ 
 +∞ si α > 0  +∞ si β > 0
α 1 si α = 0 β 1 si β = 0
• n −→ • (ln n) −→
n→+∞  n→+∞ 
0 si α < 0 0 si β < 0
 
 +∞ si γ > 0  +∞ si a > 1
γn 1 si γ = 0 n 1 si a = 1
•e −→ • a −→
n→+∞  n→+∞ 
0 si γ < 0 0 si − 1 < a < 1
Théorème 22 – Équivalent et polynômes
Soit P est une fonction polynôme de la forme P (x) = a q x q + a q+1 x q+1 + · · · + a p x p , où p et

q sont deux entiers naturels tels que q ≤ p avec
µ a¶q 6= 0 et a p 6= 0.
1 aq
Alors P (n) ∼ a p n p (plus haut degré), et P ∼ (plus bas degré).
n→+∞ n n→+∞ n q
n3 − n2
n→+∞ (2n + 1)(2n + 2)(n + 3)

Théorème 23 – Comparaison de n α , n! et a n
On se donne trois réels α, β et a.

³ ´ µ¶
1 1
1. Si α < β alors n α = o n β , ou encore β = o α .
n→+∞ n n→+∞ n
n α
2. a = o (n!) et n = o (n!)
n→+∞ n→+∞
¡ ¢
Et si a > 1 : n α = o a n .
n→+∞
¡ n¢
3. n! = o n
n→+∞
De manière mnémotechnique, on peut retenir que si a > 1 : n α ≪ a n ≪ n! ≪ n n
2n nn
Exemple. −→ 0 et −→ +∞.
n! n→+∞ n! n→+∞
p ³ n ń
La formule de Stirling donne un équivalent dee n! : n! ∼ 2πn . Mais elle n’est pas au
n→+∞ e
programme de PCSI.
On se donne trois réels α, β et γ.

1. ln(n) = o (n)
n→+∞ ¡ ¢
Et plus généralement, pour α > 0 : (ln n)β = o n α
n→+∞
¡ n¢
2. n = o e
n→+∞ ¡ ¢
Et plus généralement, pour γ > 0 : n α = o eγn
µ n→+∞
¶
−n 1
De manière équivalente e = o
n→+∞ n µ ¶
−γn 1
et plus généralement, pour γ > 0 : e = o α
n→+∞ n
β
¡ γn ¢
3. Si γ > 0 : (ln n) = o e .
n→+∞
De manière mnémotechnique, on peut retenir que si α > 0 et γ > 0 : (ln n)β ≪ n α ≪ eγn
ln(n)
Exemple. −→ 0 et n 2 e−n −→ 0.
n 3 n→+∞ n→+∞

Théorème 25 – Équivalents usuels

Si (xn )n∈N est une suite convergente vers 0.
1. ln(1 + xn ) ∼ xn
n→+∞
2. tan(xn ) ∼ xn
n→+∞
3. sin(xn ) ∼ xn
n→+∞
xn2
4. cos(xn ) ∼ 1 et 1 − cos(xn ) ∼
n→+∞ n→+∞ 2
5. exn ∼ 1 et exn − 1 ∼ xn
n→+∞ n→+∞
6. Pour α ∈ R: (1 + xn )α
∼ 1 et (1 + xn )α − 1 ∼ αxn
n→+∞ n→+∞
7. tan(xn ) ∼ xn
n→+∞
Ces résultats sont à connaître par coeur !

µ ¶
1
Exemple. Déterminer un équivalent simple de ln(n + 1) − ln(n), de (n + 1) × sin p et
µ ¶ n2 + 1
1 1
de tan − 2.
n n
Exemple. Si (xn )n∈N est une suite convergente vers 0, donner un équivalent simple de
arccos(xn ) et de arcsin(xn ).
Terminons par un résultat de non existence de limite.
Théorème 26 – Limite de cos n, sin n et tan n
Les suites (cos n)n∈N , (sin n)n∈N et (tan n)n∈N n’ont pas de limite lorsque n → +∞
(elles sont divergentes de seconde espèce).
sin(n)
B lim sin(n) n’existe pas, mais on ne peut pas en déduire que lim n’existe pas.
n→+∞ n→+∞ n
sin(n)
En effet, par encadrement, on montre que −→ 0.
n n→+∞


➥ Calculer le terme général d’une suite récurrent usuelle.
✪ Suites arithmétiques.
✪ Suites géométriques.
✪ Suites arithémtico-géométriques.
✪ Suites récurrentes linéaires d’ordre deux.
➥ Calculer la limite d’une suite en la comparant à une suite usuelle à l’aide d’équivalents ou de
croissances comparées.
➥ Trouver un équivalent d’une suite.

✪ Utiliser les équivalents usuels et les opérations sur les équivalents.
✪ Faire une conjecture et la prouver en revenant à la définition de deux suites équivalentes.

4 Exercices
Suites usuelles
EXERCICE 1. Suite du type u n+1 = f (u n )

2
On définit une suite (u n )n∈N par : u 0 = 1 et u n+1 = 1 + .
un
2
1. Faire l’étude complète de la fonction f définie sur ]0, +∞[ par : f (x) = 1 + .
x
On déterminera aussi ses éventuels points fixes.
2. Représenter sur le même dessin l’allure de son graphe ainsi que les premiers termes de la
suite (u n ). Que peut-on conjecturer ?
3. On considère les suites extraites (v n )n∈N et (w n )n∈N définies par : v n = u 2n et w n = u 2n+1 .
Étudier leur monotonie.
4. Déterminer leur éventuelle limite.
5. Conclure sur la limite de (u n ).
EXERCICE 2. Opérations sur les suites convergentes

Etudier la limite des suites définies par :
1 + (−1)n 2n − 3n
1. u n = 2. v n = 3. w n = n 2 − n cos(n) + 2
n 2n +µ3n¶n
2n + n 1 n + (−1)n
4. s n = 5. tn = n 2 × × sin (n!) 6. xn = ¡ ¢
2n 2 n − ln n 3
n
7. y n =
α
n
où α ∈ R
EXERCICE 3. Changements de suite
5u n − 2
1. On considère la suite (u n )n définie par u 0 = 0 et u n+1 = , pour tout n ∈ N.
un + 2
(a) Montrer que (u n )n∈N est bien définie et que u n > 1, pour n ≥ 3. En déduire que la suite
un − 2
(v n )n∈N telle que v n = , est bien définie.
un − 1
(b) Montrer que la suite (v n ) est une suite géométrique.
(c) Donner u n en fonction de n et calculer limu n .
un
2. Soit (u n )n∈N la suite définie par : u 0 > 0 et u n+1 = .
2u n + 1
N
(a) Montrer que cette suite est bien définie et que ∀n ∈ , u n > 0.
1
(b) On définit une suite (v n )n∈N par : v n = . Montrer qu’elle est bien définie et donner
un
une relation de récurrence entre v n+1 et v n .
(c) En déduire l’expression de u n en fonction de n, puis la nature de (u n ) et son éventuelle
limite.

4 Exercices 235
EXERCICE 4. Produit de cosinus

n µ ¶
Y π
On pose, pour tout n ≥ 2 : u n = cos .
k=2 2k
1. Montrer que la suite (u n ) est monotone et convergente.

³π´
2. On pose, pour tout n ≥ 2 : v n = u n sin n . Montrer que (v n ) est une suite géométrique.
2
3. En déduire u n en fonction de n puis limu n .
EXERCICE 5. Calcul de u n en fonction de n
Déterminer en fonction de n le terme u n des suites réelles suivantes :
p
1. u 8 = 10 et u n+1 = u n − 3 2. u 5 = 4 et u n+1 = 2u n
3. u 11 = 30 et u n+1 = 2u n + 1 4. u 4 = −2 et u n+1 = −u n + 2
p
5. u 0 > 0 et u n+1 = e u n 6. u 10 = −1 et u n+1 = −u n
n
7. u 0 = 1 et u n+1 = (−1) u n 8. u 0 = 1, u 1 = 2 et u n+1 = 2u n + 3u n−1
9. u 0 = 1, u 1 = 0 et u n+2 = 4u n+1 − 4u n 10. u 0 = 1, u 1 = 1 et u n+2 = u n+1 − u n
11. u 0 = 0 et u n+2 − 2u n+1 + 5u n = 0 12. u 0 = 1, u 1 = 1 et u n = u n−1 + u n−2
13. u 0 = 1, u 1 = e4 et u n+2 × (u n )4 = (u n+1 )4 14. u 0 = 1 et u n = nu n−1 + n!
Comparaison des suites
EXERCICE 6. Équivalents et inégalités

1 2
Soient (u n ) et (v n ) deux suites réelles telles que u n ∼ et v n ∼ .
n→+∞ n n→+∞ n
Montrer que u n < v n a.p.c.r.. Généraliser.
EXERCICE 7. Calculs d’équivalents
Donner un équivalent simple et la limite éventuelle de chacune des suites (u n ) définies par :
p
1. u n = n 2 − 2n 2. n + (ln(n))12 + sin(n) 3. u n = 2n +µ n 2 ¶
un =
p p p p n +1
4. un = n + 1 + n 5. u n = n + 1 − n 6. u n = sin
¡ ¢ n2
1 1 1
sin 1 − cos n cos n
7. u n = 1 n 8. u n = 1
9. u n = ln(n + 1) − ln(n)
e n −1 µ 2e n2 − 1
¶
n +1
10. u n = ln(n + 1) + ln(n) 11. u n = ln
n(n + 1)

EXERCICE 8. γ la constante d’Euler

On pose pour tout x ∈]0, +∞[ :
1 1
φ(x) = + ln(x) − ln(x + 1) et ψ(x) = + ln(x) − ln(x + 1).
x x +1
1. Étudier le signe des fonctions φ et ψ sur ]0, +∞[.

2. En déduire la convergence de (u n )nÊ2 et (v n )nÊ2 définies par :
1 1 1 1
un = 1 + + + · · · + − ln(n) et v n = u n −
2 3 n n
Xn 1
3. Donner un équivalent de lorsque n → +∞.
k=1 k
EXERCICE 9. Obtention d’un équivalent par encadrement

¡p p ¢ 1 ¡p p ¢
1. Montrer que pour tout entier n ≥ 1, on a : 2 n +1− n ≤ p ≤ 2 n − n −1 .
n
2. En déduire la limite et un équivalent lorsque n tend vers +∞ de la suite (u n )nÊ1 de terme
Xn 1
général : u n = p .
k=1 k
EXERCICE 10. Équivalent d’une suite définie implicitement

Pour n Ê 1, on note (E n ) l’équation : x − ln(x) − n = 0.
1. Montrer que (E n ) admet une unique solution supérieure ou égale à 1, notée xn .
2. Déterminer la limite de (xn )nÊ1 .
3. Donner un équivalent de xn quand n → +∞.

237
Chapitre 9
Limites et comparaison des fonctions
numériques
Sommaire
1 Limite en un point de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
1.1 Voisinages d’un point de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
1.2 Limite finie en un point a ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
1.3 Limite infinie en un point a ∈ R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
1.4 Limite finie ou infinie en ±∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
1.5 Propriétés des limites finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
1.6 Limites à droite, limites à gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
1.7 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
1.8 Existence de limites par inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
1.9 Limites des fonctions monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
1.10 Brève extension aux fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . 250
2 Comparaison de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
2.1 Fonctions équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
2.2 Propriétés conservées par équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
2.3 Opérations sur les équivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
2.4 Équivalents usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
2.5 Notations de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
2.6 Croissances comparées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
3 Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
3.1 Développement limité d’ordre n en un point a ∈ R . . . . . . . . . . . . . . 260
3.2 Propriétés générales des développements limités . . . . . . . . . . . . . . . 261
3.3 Développements limités usuels en 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
3.4 Opérations sur les développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
3.5 Applications des développements limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
4 Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

238 C HAPITRE 9 : Limites et comparaison des fonctions numériques
On rappelle que R = R ∪ {−∞, +∞} = [−∞, +∞]
1 Limite en un point de R
1.1 Voisinages d’un point de R

Définition 1 – Voisinage d’un point de R
R
Si a ∈ , on appelle voisinage de a tout intervalle V fermé et centré en a, ie tout intervalle
du type [a − δ, a + δ] où δ > 0.
Remarquer que x0 ∈ V .
Définition 2 – Voisinage de +∞
On appelle voisinage de +∞, tout intervalle V du type V = [A, +∞[, avec A ∈ R.
On définit de même les voisinages de −∞ : tout intervalle V du type V =] − ∞, A], avec A ∈ R.
Si P (x) est un prédicat dépendant de x, on peut donc définir le prédicat « P(x) est vrai au
voisinage de a » :
∃V voisinage de a; ∀x ∈ V ∩ D f , P (x)
Par exemple « f est strictement positive au voisinage de +∞ » s’écrit :
∃A ∈ R; ∀x ∈ [A, +∞[∩D f , f (x) > 0
« f change de signe au voisinage de 1 » s’écrit :
¡ ¢2
∃δ > 0, ∃(x1 , x2 ) ∈ ]1 − δ, 1 + δ[∩D f ; f (x1 ) × f (x2 ) ≤ 0
Proposition 3 – Intersection de voisinages
R
Si a ∈ et si V1 et V2 sont deux voisinages de a, alors V1 ∩ V2 est encore un voisinage de a.
En particulier V1 ∩ V2 6= ;.

1 Limite en un point de R 239
1.2 Limite finie en un point a ∈ R

Soit f une fonction définie sur un intervalle I (donc I ⊆ D f ) ; cet intervalle est supposé non vide
et non réduit à un point.
On suppose que a ∈ I : a est un point de I ou une borne de I (donc a peut ne pas être dans D f ).
Définition 4 – Limite finie en a

On dit que f admet ℓ ∈ R pour limite en a lorsque :
∀ε > 0, ∃δ > 0; ∀x ∈ [a − δ, a + δ] ∩ I , | f (x) − ℓ| ≤ ε
On le note lim f (x) = ℓ, lim f = ℓ ou encore f (x) −→ ℓ.

x→a a x→a
On préfèrera la notation f (x) −→ ℓ qui permet d’éviter de raisonner ou de calculer avec la limite
x→a
de f en a sans avoir prouvé auparavant son existence.
Dans cette définition, on peut remplacer | f (x)−ℓ| ≤ ε par | f (x)−ℓ| < ε, sans en changer le sens.
D’autre part | f (x) − ℓ| ≤ ε signifie que f (x) ∈ [ℓ − ε; ℓ + ε]. On obtient donc une nouvelle écriture
de la définition :
∀W voisinage de ℓ, ∃V voisinage de a ; ∀x ∈ I ∩ V, f (x) ∈ W
Théorème 5 – Lien entre f (a) et lim f (x)

x→a
Si a ∈ D f et si f (x) −→ ℓ ∈
x→a
R alors ℓ = f (a).
Dans ce cas f est continue en a ; cette notion sera développée dans un autre chapitre.
B Si a 6∈ D f , alors ℓ peut prendre toute valeur réelle.
Exemple. Pour f : R∗+ −→ R définie par f (x) = sin(x)

x
vérifie :
f (x) −→ 1 f (0) n’existe pas car 0 6∈ D f

x→0
et
f (x) −→ sin(1) = f (1) 1 ∈ Df
x→1
R R
B Pour le moment, si f : ∗ −→ , on n’a pas défini de notion de limite de f en 0 car R∗ n’est
pas un intervalle. Ce sera fait plus loin avec la notion de limite épointée.

1.3 Limite infinie en un point a ∈ R

On suppose que a 6∈ D f et a ∈ I : a est donc une borne de I .
Définition 6 – Limite +∞ en a
On dit que f admet +∞ pour limite en a lorsque :
∀B ∈ R, ∃δ > 0; ∀x ∈ [a − δ, a + δ] ∩ I , f (x) ≥ B
On le note lim f (x) = +∞, lim f = +∞ ou encore f (x) −→ +∞.
x→a a x→a
De manière équivalente :
∀W voisinage de + ∞, ∃V voisinage de a ; ∀x ∈ Vg , f (x) ∈ W
Exemple. Soit f : R∗+ −→ R définie par f (x) = x1 , alors f (x) x→0

−→ +∞.
−1 1 2
−1
On définit aussi une limite −∞ en a :
∀B ∈ R, ∃δ > 0; ∀x ∈ [a − δ, a + δ] ∩ I , f (x) ≤ B
Exemple. Soit f : R∗− −→ R définie par f (x) = x1 , alors f (x) x→0
−→ −∞.
−3 −2 −1
−1
−2
−3

1.4 Limite finie ou infinie en ±∞

On suppose que +∞ est une borne de I .
Définition 7 – Limite finie en +∞

On dit que f admet ℓ ∈ R pour limite en +∞ lorsque :
∀ε > 0, ∃A ∈ R; ∀x ∈ [A, +∞[∩I , | f (x) − ℓ| ≤ ε
On le note lim f (x) = ℓ, lim f = ℓ ou encore f (x) −→ ℓ.

x→+∞ +∞ x→+∞
∀W voisinage de ℓ, ∃V voisinage de + ∞ ; ∀x ∈ V, f (x) ∈ W
Définition 8 – Limite +∞ en +∞
On dit que f admet +∞ pour limite en +∞ lorsque :
∀B ∈ R, ∃A ∈ R; ∀x ∈ [A, +∞[∩I , f (x) ≥ B

On le note lim f (x) = +∞, lim f = +∞ ou encore f (x) −→ +∞.
x→+∞ +∞ x→+∞
∀W voisinage de + ∞, ∃V voisinage de + ∞ ; ∀x ∈ V, f (x) ∈ W
On définit aussi une limite −∞ en +∞ :
∀B ∈ R, ∃A ∈ R; ∀x ∈ [A, +∞[∩I , f (x) ≤ B

1 ¡ ¢
Exemple. −→ 0, ex −→ +∞ et − x 2 −→ −∞.
x x→+∞ x→+∞ x→+∞
De même on définit :
• f (x) −→ ℓ si
R; ∀x ∈] − ∞, A] ∩ I , | f (x) − ℓ| ≤ ε
x→−∞
∀ε > 0, ∃A ∈
• f (x) −→ +∞ si
R, ∃A ∈ R; ∀x ∈] − ∞, A] ∩ I , f (x) ≥ B
x→−∞
∀B ∈
• f (x) −→ −∞ si
R, ∃A ∈ R; ∀x ∈] − ∞, A] ∩ I , f (x) ≤ B
x→−∞
∀B ∈

Exemple. ex −→ 0, |x| −→ +∞ et x 3 −→ −∞.

x→−∞ x→−∞ x→−∞
y = ex
y = |x|
3
3
2
2
1
1
1
y= x y = ex
−3 −2 −1
−1 1 2
−1
−1
−2
−2
y = x3 −3
−3
−4
−4 y = −x 2
1.5 Propriétés des limites finies

Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I (donc I ⊆ D f et I ⊆ Dg ) ; cet intervalle
est supposé non vide et non réduit à un point.
On suppose que a ∈ I : a est un point de I ou une borne de I (donc a peut ne pas être dans D f
ou dans Dg ).
Théorème 9 – Unicité de la limite

Si f a une limite finie ℓ en a, alors la valeur de ℓ est unique.
Théorème 10 – Limite finie et bornitude

Si f a une limite finie ℓ en a, alors f est bornée au voisinage de a.
f est bornée au voisinage de a signifie qu’il existe un réel M > 0 et un V voisinage de a tel que,
pour tout x ∈ V ∩ I , | f (x)| ≤ M. Par exemple si a est un réel :
∃M > 0, ∃δ > 0; ∀x ∈ [a − δ, a + δ] ∩ D f , | f (x)| ≤ M

Théorème 11 – Stabilité des inégalités larges
Si f (x) −→ ℓ et g (x) −→ ℓ′ , et si f (x) ≤ g (x) au voisinage de a, alors ℓ ≤ ℓ′ .

x→a x→a
B Après passage à la limite, une inégalité stricte devient seulement une inégalité large.
1.6 Limites à droite, limites à gauche

Soit f une fonctions définie sur un intervalle I (donc I ⊆ D f ) ; cet intervalle est supposé non vide
On suppose que a ∈ I : a est un point de I ou une borne de I (donc a peut ne pas être dans D f ).
Définition 12 – Limite à droite en a
R
L’éventuelle limite ℓ ∈ de f |]a,+∞[ est appelée limite à droite de f en a.
On le note lim f (x) = ℓ, lim f (x) = ℓ, lim f = ℓ ou encore f (x) −→ ℓ.
x→a + >
x →a a+ x→a +
Si f (x) −→ ℓ et si ℓ est finie, on la note aussi f (a + ) = ℓ.

x→a +
B Ne pas confondre f (a) qui est la valeur de f évaluée en a (pour a ∈ D f ), et f (a + ) qui est une
limite lorsque x → a + (et pour laquelle on peut avoir a 6∈ D f ).
On définit de même la limite à gauche de f en a comme étant la limite de la fonction f |]−∞,a[ .

Si elle est finie, on la note f (a − ).
1 1
Exemple. −→+ +∞ et −→− −∞.
x x→0 x x→0
Z
Exemple. Si n ∈ , alors ⌊x⌋ −→+ n et ⌊x⌋ −→− n − 1.
x→n x→n
Il est clair que si f (x) −→ ℓ alors f (x) −→+ ℓ et f (x) −→− ℓ.

x→a x→a x→a
Définition 13 – Limite épointée en a
Si f admet une limite à droite et à gauche en a, et si celles-ci sont égales , cette valeur
commune est appelée limite épointée de a, notée lim
x→a
f (x) = ℓ ou f (x) −→
x→a
ℓ.
x6=a x6=a
Cette notion sera particulièrement utile pour définir le nombre dérivé d’une fonction en tant
que limite (épointée) d’un taux de variation.
sin(x)
Exemple. −→ 1.
x x→0
x6=0

Différence entre limite et limite épointée.
• Si a 6∈ D f : la limite épointée n’existe que si les limites à gauche et à droite en a coïncident.

Dans ce cas, elle est égale à la limite.
• Si a ∈ D f : on peut avoir f (x) −→
x→a
ℓ et la limite de f en a qui n’existe pas. Plus précisément
x6=a
si ℓ = f (a) alors les deux limites sont égales, et si ℓ 6= f (a) alors f n’a pas de limite en a
(bien qu’elle ait même limite à gauche et à droite en a).
(
Exemple. f (x) =
−x si x ≤ 0
x + 1 si x > 0
Df = R
−2 −1 1 2
−1
Sur cet exemple f (0− ) = 0 6= 1 = f (0+ ). Pas de limite épointée en 0.
(
Exemple. f (x) =
1 − x si x ≤ 1
ex−1 − 1 si x > 1
Df = R Sur cet exemple f (x) −→ 0 et f (x) −→ 0.
x→1 x→1
x6=1
−2 −1 1 2 3
−1


 2
x si x < 0

Exemple. f (x) = 2 si x = 0

Df = R

ex − 1 si x > 0
−2 −1 1 2
−1
Sur cet exemple f (x) n’a pas de limite en 0, bien que f (x) −→ 0. En effet f (0) = 2 6= 0.
x→0
x6=0
1.7 Opérations sur les limites

On suppose que a ∈ I : a est un point de I ou une borne de I (donc a peut ne pas être dans D f
ou dans Dg ).
1.7.1 Combinaison linéaire
Théorème 14 – Somme de limites
Si f (x) −→ ℓ ∈
x→a
R et g (x) x→a
−→ ℓ′ ∈ R, et si l’opération ℓ + ℓ′ a un sens dans R alors
f (x) + g (x) −→ ℓ + ℓ′
x→a
B On rappelle que l’opération ∞ − ∞ est une forme indéterminée.
Théorème 15 – Multiplication par un réel
Si f (x) −→ ℓ ∈
x→a
R et si α est un réel non nul, alors α × f (x) x→a
−→ α × ℓ
On peut de même énoncer un théorème de différences de limites.

1.7.2 Produit
Théorème 16 – Produit de limites
Si f (x) −→ ℓ ∈
x→a
R et g (x) x→a
−→ ℓ′ ∈ R, et si l’opération ℓℓ′ a un sens dans R alors
f (x) × g (x) −→ ℓ × ℓ′
x→a
B On rappelle que l’opération 0 × ∞ est une forme indéterminée.
¡ ¢
Exemple. Déterminer lim x − ln(x) .
x→+∞
¶
µ
1
Exemple. Déterminer lim+ p + ln(x) .
x→0 x
1.7.3 Passage à l’inverse
Définition 17 – Notations ℓ+ et ℓ−
Soit ℓ ∈ R.
1. Lorsque f (x) −→ ℓ et f (x) > ℓ au voisinage de a, on le note f (x) −→ ℓ+
x→a x→a
2. Lorsque f (x) −→ ℓ et f (x) < ℓ au voisinage de a, on le note f (x) −→ ℓ−
x→a x→a
Théorème 18 – Inverse d’une limite
Si f (x) −→ ℓ ∈
x→a
R et si l’opération ℓ1 a un sens dans R, alors f (x)
1
−→
1
x→a ℓ
1 1
On a adopté les conventions suivantes : +
= +∞ et − = −∞.
0 0
1 0 ∞
B On rappelle que les opérations , et sont des formes indéterminées.
0 0 ∞
On peut de même énoncer un théorème de quotient de limites.
¡p p ¢
Exemple. Déterminer lim x2 + 1 − x2 − 1 .
x→+∞

1.7.4 Composition
Théorème 19 – Composition de limites
Soient f : I −→ R et ϕ : J −→ R telles que f¡(I ) ⊆¢J .

Si f (x) −→ b ∈
x→a
R et ϕ(t ) −→
t→b
ℓ ∈ R, alors ϕ f (x) −→ ℓ
x→a
En Terminale,¡ce résultat
¢ était utilisé sous le nom de « changement de variable ». On chercher
la limite de ϕ f (x) lorsque x → a. Pour cela on introduit une nouvelle variable t = f (x). On
détermine la limite de f (x) lorsque x → a ; on la note b. On est donc ramené à déterminer la
limite de ϕ(t ) lorsque t → b.
En particulier si a ∈ R:
f (x) −→ ℓ ⇐⇒ f (a + h) −→ ℓ
x→a h→0
On peut donc toujours se ramener à une limite en 0.

p p
x2 + x + 1 x2 + x + 1
Exemple. Déterminer lim et lim .
x→+∞ x x→−∞ x
p
x
Exemple. Déterminer lim xe− .
x→+∞
Exemple. Déterminer lim+ | ln x|1/ ln x .

x→0
sin(2x)
x→π/2 π − 2x
On rappelle aussi le résultat suivant vu dans le chapitre sur les suites.
Théorème 20 – Composition d’une fonction avec une suite
R
Soit f : I −→ une fonction numérique définie sur un intervalle I et (u n ) une suite réelle
telle que u n ∈ I a.p.c.r..
n→+∞
R
Si u n −→ a ∈ et f (x) −→ ℓ ∈ R alors f (u n ) −→ ℓ
x→a n→+∞
1.8 Existence de limites par inégalités

Soient f , g et h trois fonctions définies sur un intervalle I (donc I inclus dans D f , Dg et Dh ) ;
cet intervalle est supposé non vide et non réduit à un point.
On suppose que a ∈ I : a est un point de I ou une borne de I (donc a peut ne pas être
dans D f ou Dg ou Dh ).

Théorème 21 – Théorème d’encadrement

Si f (x) −→ ℓ ∈ R et h(x) x→a
−→ ℓ ∈ R, et si f (x) ≤ g (x) ≤ h(x) au voisinage de a, alors
R
x→a
g (x) −→ ℓ ∈
x→a
⌊x⌋
x→+∞ x
La difficulté de ce théorème, c’est qu’il nécessite deux inégalités bien choisies pour pouvoir
conclure. Dans le cas où on peut deviner la valeur de la limite cherchée, on utilise le résultat
suivant qui ne demande qu’une seule inégalité, avec deux membres positifs.
Théorème 22 – Théorème de majoration de l’erreur
R
¯ ¯
Si ℓ ∈ , si g (x) −→ 0 et si ¯ f (x) − ℓ¯ ≤ g (x) au voisinage de a, alors f (x) −→ ℓ
x→a x→a
x + sin x
x→+∞ x
ln(x 2 − 1)
x→+∞ ln(x + 1)
Corollaire 23 – Produit d’une fonction bornée et d’une fonction qui tend vers 0
Si f est bornée au voisinage de a et si g (x) −→ 0, alors f (x) × g (x) −→ 0

x→a x→a
µ ¶
1
Exemple. Déterminer lim x cos .
x→0 x
Pour une limite infinie une seule inégalité suffit.
Théorème 24 – Théorème de minoration

Si f (x) −→ +∞ et si f (x) ≤ g (x) au voisinage de a, alors g (x) −→ +∞
x→a x→a
¡ ¢
Exemple. Déterminer lim x 2 + x sin(x) .
x→+∞
Théorème 25 – Théorème de majoration
Si g (x) −→ −∞ et si f (x) ≤ g (x) au voisinage de a, alors f (x) −→ −∞

x→a x→a
µ ¶
1 1
Exemple. Déterminer lim+ cos − .
x→0 x x

1.9 Limites des fonctions monotones

Soient −∞ ≤ a < b ≤ +∞ et f une fonction définie sur ]a, b[.
Théorème 26 – Théorème de la limite monotone pour une fonction croissante
On suppose que f est croissante sur ]a, b[. Alors lim+ f (x) et lim− f (x) existent.
x→a x→b
Plus précisément :
• si f est majorée sur I alors lim f (x) est finie et ∀x ∈]a, b[, f (x) ≤ f (b − )
x→b −
si f n’est pas majorée sur I , alors f (x) −→− +∞
x→b
• si f est minorée sur I alors lim f (x) est finie et ∀x ∈]a, b[, f (x) ≥ f (a + )
x→a +
si f n’est pas minorée sur I , alors f (x) −→ −∞
x→a +
1
Exemple. La figure ci-contre donne
un exemple d’un fonction croissante sur
] − 2, 3[ majorée mais non minorée : −3 −2 −1 1 2 3
f (x) −→ + −∞ et f (3− ) = 2 −1
x→(−2)
−2
−3
−4
Théorème 27 – Théorème de la limite monotone pour une fonction décroissante
On suppose que f est décroissante sur ]a, b[. Alors lim f (x) et lim− f (x) existent. Plus
x→a + x→b
précisément :
• si f est minorée sur I alors lim f (x) est finie et ∀x ∈]a, b[, f (x) ≥ f (b − )
x→b −
si f n’est pas minorée sur I , alors f (x) −→− −∞
x→b
• si f est majorée sur I alors lim f (x) est finie et ∀x ∈]a, b[, f (x) ≤ f (a + )
x→a +
si f n’est pas majorée sur I , alors f (x) −→ +∞
x→a +

1
Exemple. La figure ci-contre donne
un exemple d’une fonction décroissante
sur ] − 3, 2[ majorée mais non minorée : −4 −3 −2 −1 1 2
f ((−3)+ ) = 2 et f −→− −∞ −1
x→2
−2
−3
−4
Corollaire 28 – Existence des limites à droite/gauche et monotonie
Si f est monotone sur un intervalle I alors en tout a ∈ I qui n’est pas une borne de I ,
lim− f (x) et lim+ f (x) existent.
x→a x→a
De plus, on a :
• si f croissante :
lim f (x) ≤ f (a) ≤ lim f (x)
x→a − x→a +
• si f décroissante :
lim f (x) ≤ f (a) ≤ lim f (x)
x→a + x→a −
.
1.10 Brève extension aux fonctions à valeurs complexes

Soient I un intervalle supposé non vide et non réduit à un point et f : I −→ C une fonction
définie sur I et à valeurs complexes.
Exemple. f : R −→ C définie par f (x) = xx +− ii

Exemple. f : R −→ C définie par f (x) = ei x = cos(x) + i sin(x)
On lui aussi les fonctions parties réelles et imaginaires, notées Re( f ) : I −→ R et Im( f ) : I −→ R
définies par, pour tout x ∈ I :
¡ ¢ ¡ ¢
Re( f )(x) = Re f (x) et Im( f )(x) = Im f (x)

Ce sont toutes les deux des fonctions à valeurs réelles.
Définition 29 – Fonction bornée

Une fonction f : I −→ C est dite bornée sur I lorsqu’il existe un réel M > 0 tel que :
¯ ¯
∀x ∈ I , ¯ f (x)¯ ≤ M
B Les notions de majoration, minoration et monotonie ne se généralisent pas aux fonctions à

valeurs complexes.
Proposition 30 – Lien avec les parties réelles et imaginaires
Soit f : I −→ C une fonction à valeur complexe. Alors :

f est bornée sur I ⇐⇒ Re( f ) et Im( f ) sont bornées sur I
Dans la suite, on suppose que a ∈ I ou que a est une borne de I .
Définition 31 – Limite finie en a ∈ R

On dit f a pour limite ℓ ∈ C en a lorsque :
¯ ¯
∀ε > 0, ∃V voisinage de a; ∀x ∈ V, ¯ f (x) − ℓ¯ ≤ ε
On le note f (x) −→ ℓ
x→a
On a donc :
C R
¯ ¯
f (x) −→ ℓ dans ⇐⇒ ¯ f (x) − ℓ¯ −→ 0 dans
x→a x→a
Théorème 32 – Limite finie et bornitude

Si f (x) −→ ℓ ∈
x→a
C, alors f est bornée au voisinage de a.
Proposition 33 – Lien avec les parties réelles et imaginaires
Soient f : I −→ C une fonction à valeur complexe et ℓ un nombre complexe. Alors :

³ ´
f (x) −→ ℓ ⇐⇒ Re( f (x)) −→ Re(ℓ) et Im( f (x)) −→ Im(ℓ)
x→a x→a x→a

Corollaire 34 – Lien avec le module et la conjugaison
C
¯ ¯ ¯ ¯
On suppose que f (x) −→ ℓ ∈ . On alors f (x) −→ ℓ et ¯ f (x)¯ −→ ¯ℓ¯
x→a x→a x→a
Soient f , g : I −→ C deux fonctions à valeurs complexes.

Théorème 35 – Opérations sur les limites
On suppose que f (x) −→ ℓ ∈

x→a
C et g (x) x→a
−→ ℓ′ ∈ C. Alors :
1. f (x) + g (x) −→ ℓ + ℓ′
x→a
2. f (x) × g (x) −→ ℓ × ℓ′
x→a
1 1
3. si ℓ 6= 0, −→
f (x) x→a ℓ
ix 2
Exemple. Déterminer lim et lim e−x+i x
x→+∞ x − i x→+∞
2 Comparaison de fonctions
On suppose que a ∈ I : a est un point de I ou une borne de I (donc a peut ne pas être
dans D f ou dans Dg ).
On va définir plusieurs notions permettant de comparer la fonction f à la fonction g

au voisinage de a.
2.1 Fonctions équivalentes

La définition est similaire à celle de deux suites équivalentes. Pour simplifier les définitions, on
supposera toujours qu’il existe V voisinage de a tel que g ne s’annule pas sur V \{a}.
Définition 36 – Fonctions équivalentes
f (x)
On dit que f est équivalente à g au voisinage de a lorsque : −→ 1.
g (x) x→a
x6=a
On le note f (x) ∼ g (x)
x→a
Exemple. Montrer que x 2 + x + 2 ln(x) ∼ x2

x→+∞
p p
Exemple. Montrer que x 2 + x ∼ x et x2 + x ∼ −x
x→+∞ x→−∞

2 Comparaison de fonctions 253
Exemple. Montrer que x 2 + x + 2 ln(x) ∼ 2 ln(x)

x→0
p p
Exemple. Montrer que x 2 + x ∼ x
x→0
On peut aussi facilement étendre cette définition au cas a ∈ I mais f et g sont seulement
définies sur I \{a}.
1 1
Exemple. Montrer que x + ∼
x x→0 x
Proposition 37 – Propriétés de la relation ∼
On se donne trois fonctions f , g et h définies sur I et vérifiant les hypothèses ad hoc.

1. Transitivité. f (x) ∼ g (x) et g (x) ∼ h(x) donnent f (x) ∼ h(x)
x→a x→a x→x0
2. Symétrie. f (x) ∼ g (x) ⇐⇒ g (x) ∼ f (x)
x→a x→a
3. Réflexivité. f (x) ∼ f (x)
x→a
Autrement dit, la relation ∼ vérifie les propriétés d’une relation d’équivalence.
La propriété de symétrie donne que si f est équivalente à g au voisinage de a, alors g est

équivalente à f au voisinage de a : on peut donc aussi dire que f et g sont équivalentes
au voisinage de a.
2.2 Propriétés conservées par équivalence

On se donne deux fonctions f et g définies sur I et vérifiant les hypothèses ad hoc.
Théorème 38 – Équivalence et signe

Si f (x) ∼ g (x), alors f et g sont de même signe au sens strict au voisinage de a.
x→a
On suppose toujours qu’il existe V voisinage de a tel que g ne s’annule pas sur V \{a} ;
le théorème précédent nous apprend qu’il en est de même pour f .
¡ ¢
Exemple. Montrer que lim+ x − x 2 + x 5 = 0+
x→0
Théorème 39 – Équivalence et limite
1. Si f (x) ∼ g (x) et
x→a
lim g (x) = ℓ ∈
x→a
R, alors lim f (x) = ℓ
x→a
2. On a une réciproque dans le cas particulier ℓ ∈ R∗ : si lim f (x) = ℓ alors f (x) ∼ ℓ
x→a x→a

Les second point nous apprend que les équivalents seront triviaux pour une fonction qui a une
limite finie non nulle. Il faudra utiliser des techniques plus compliquées lorsque la fonction tend
vers 0 ou vers ±∞.
B Écrire f (x) ∼ 0 ou f (x) ∼ +∞ n’a aucun sens.

x→a x→a
¡ ¢
Exemple. Déterminer lim x − x 2 + ln(x)
x→+∞
µ ¶
1
Exemple. Déterminer lim+ ln(x) +
x→0 x
Exemple. Montrer que x 2 + x + 1 ∼ 1

x→0
2.3 Opérations sur les équivalents

On se donne des fonctions f 1 , g 1 , f 2 et g 2 définies sur I , et vérifiant les hypothèses ad hoc.
Proposition 40 – Règles de calcul pour la relation ∼
1. Valeur absolue. f 1 (x) ∼ g 1 (x) donne | f 1 (x)| ∼ |g 1 (x)|

x→a x→a
2. Produit. f 1 (x) ∼ g 1 (x) et f 2 (x) ∼ g 2 (x) donnent f 1 (x) × f 2 (x) ∼ g 1 (x) × g 2 (x)
x→a x→a x→a
3. Puissance. Pour tout p ∈ N, f 1 (x) ∼ g 1 (x) donne
x→a
f 1 (x) p
∼ g 1 (x)p
x→a
Plus généralement, pour tout α ∈ R: f 1 (x)α ∼ g 1 (x)α
x→a
1 1
4. Inverse. Si f 1 (x) ∼ g 1 (x) alors ∼
x→a f 1 (x) x→a g 1 (x)
f 1 (x) g 1 (x)
5. Quotient. Si f 1 (x) ∼ g 1 (x) et f 2 (x) ∼ g 2 (x) alors ∼
x→a x→a f 2 (x) x→a g 2 (x)
B Par contre il n’est en général pas possible de faire les opérations suivantes.
• Somme. f 1 (x) ∼ g 1 (x) et f 2 (x) ∼ g 2 (x) ne donnent pas f 1 (x) + f 2 (x) ∼ g 1 (x) + g 2 (x)
x→a x→a x→a
• Composition par une fonction. Si h est une fonction, f 1 (x) ∼ g 1 (x) ne donne pas
x→a
h ◦ f 1 (x) ∼ h ◦ g 1 (x)
x→a ¡ ¢ ¡ ¢
En particulier f 1 (x) ∼ g 1 (x) ne donne ni e f 1 (x) ∼ eg 1 (x) , ni ln f 1 (x) ∼ ln g 1 (x)
x→a x→a x→a
Mais attention, on peut composer par les fonctions x 7−→ |x| et x 7−→ x α : ce sont les seuls
cas possibles dans le programme de PCSI.
• Puissance dépendante de x. f 1 (x) ∼ g 1 (x) ne donne pas f 1 (x)α(x) ∼ g 1 (x)α(x)
x→a x→a
Ces opérations sont fausses en général et on peut facilement trouver des contre-exemples. Mais
très souvent, elles donneraient le bon résultat ; on peut donc faire une conjecture et ensuite la
f (x)
prouver en revenant à la définition ie vérifier que −→ 1.
g (x) x→a
x6=a

Exemple. Montrer que ln(x + 1) ∼ ln(x) et que ln(x + 1) ∼ x.

x→+∞ x→0
Exemple. Montrer que ln(x + 1) + ln(x) ∼ 2 ln(x)

x→+∞
B Ne pas oublier les constantes multiplicatives dans les équivalents. Par exemple f (x) ∼ 2x
x→0
ne donne pas f (x) ∼ x : le facteur 2 a son importance.
x→0
Dans le résultat suivant, il ne faut pas confondre composition avec substitution.
Théorème 41 – Substitution dans un équivalent
On suppose que f (x) ∼ g (x).

x→a
1. Par une fonction. On suppose qu’on a une fonction x : t 7−→ x(t ) telle que
lim x(t ) = a. Alors :
t→τ ¡ ¢ ¡ ¢
f x(t ) ∼ g x(t )
t→τ
2. Par une suite. On suppose qu’on dispose d’une suite réelle (u n )n∈N de limite a :
lim u n = a. Alors :
n→+∞
f (u n ) ∼ g (u n )
n→+∞
Dans le premier cas on a substitué x(t ) à x et dans le second cas on a substitué u n à x.

En pratique on dirait « on pose x = x(t ) » ou « on pose x = u n ».
µ ¶
1
Exemple. Montrer que ln 1 + ∼ − ln(t )
t t→0+
Exemple. Montrer que ln(n 2 + 1) ∼ 2 ln(n)

n→+∞
2.4 Équivalents usuels

Soit P est une fonction polynôme d’expression P (x) = a q x q + a q+1 x q+1 +· · · + a p x p , où p, q sont
deux entiers naturels tels que p ≥ q. On suppose aussi que a q 6= 0 et a p 6= 0.
Théorème 42 – Équivalent et polynômes

On a :
• en +∞ : P (x) ∼ ap x p (terme de plus haut degré)
x→+∞
• en 0 : P (x) ∼ a q x q (terme de plus bas degré).
x→0
p
x3 + x
Exemple. Déterminer un équivalent de p
3
lorsque x → +∞
x2 + x

Théorème 43 – Équivalents usuels en 0

1. ln(1 + x) ∼ x
x→0
2. tan(x) ∼ x
x→0
3. sin(x) ∼ x
x→0
x2
4. cos(x) ∼ 1 et 1 − cos(x) ∼
x→0 x→0 2
x x
5. e ∼ 1 et e − 1 ∼ x
x→0 x→0
6. Pour α ∈ R tel que α 6= 0 :
(1 + x)α ∼ 1 et (1 + x)α − 1 ∼ αx
x→0 x→0
p x
En particulier : 1+x −1 ∼
x→0 2
7. arctan(x) ∼ x
x→0
Ces résultats sont à connaître par coeur !
µ ¶
p 1
Exemple. Déterminer un équivalent de x 3 + x × sin lorsque x → +∞
x
p
Exemple. Déterminer un équivalent de ln(1 + x 2 ) lorsque x → 0
Exemple. Déterminer un équivalent de ln(1 + x + x 2 ) lorsque x → 0
π
Exemple. Déterminer un équivalent de arcsin(x), arccos(x) et − arccos(x) lorsque x → 0
2
2.5 Notations de Landau
Comme dans les paragraphes précédents, f et g sont deux fonctions définies sur un intervalle
I , a est un point adhérent à I , et on suppose qu’il existe V voisinage de a tel que g ne s’annule
pas sur V \{a}.
Définition 44 – Fonction négligeable
f (x)
On dit que f est négligeable devant g au voisinage de a lorsque −→ 0
g (x) x→a
x6=a
¡ ¢
On le note f (x) = o g (x) , et on le lit « f (x) est un petit o de g (x) lorsque x → a ».
x→a

Définition 45 – Fonction dominée

f
On dit que f est dominée par g au voisinage de a lorsque la fonction est bornée au voisi-
g
nage de a ie :
¯ ¯
¡ ¢ ¯ f (x) ¯
∃M > 0; ∃V voisinage de a; ∀x ∈ V \{a} ∩ I , ¯¯ ¯≤M
g (x) ¯
¡ ¢
On le note f (x) = O g (x) , et on le lit « f (x) est un grand O de g (x) lorsque x → a ».
x→a
¡ ¢ ¡ ¢
On peut aussi définir f (x) = − O g (x) et f (x) = O g (x) .
x→a x→a +
En particulier, on peut retenir que :
f (x) = o (1) ⇐⇒ f (x) −→ 0

x→a x→a
x6=a
et que :
f (x) = O (1) ⇐⇒ la fonction f est bornée sur un voisinage de a

x→a
Proposition 46 – Lien entre « le petit o » et « le grand o »

¡ ¢ ¡ ¢
Si f (x) = o g (x) alors f (x) = O g (x) .
x→a x→a
Par exemple si f (x) = o (x) alors f (x) = O (x). On peut revenir dans l’autre sens en perdant
x→0 x→0
de la précision.
¡ ¢
Exemple. Montrer que si f (x) = O x 2 alors f (x) = o (x).
x→0 x→0
Théorème 47 – Lien entre la relation ∼ et « le petit o »
On a : ¡ ¢
f (x) ∼ g (x) ⇐⇒ f (x) = g (x) + o x→a g (x)
x→a
¡ ¢ ¡ ¢
La notation f (x) = g (x) + o x→a g (x) signifie simplement que f (x) − g (x) = o g (x) .
x→a

On en déduit une méthode simple pour trouver une fonction équivalente à une somme.
Corollaire 48 – Équivalent d’une somme

On a : ¡ ¢
f (x) + g (x) ∼ g (x) ⇐⇒ f (x) = o g (x)
x→a x→a
Dans un somme, un équivalent est donc donné par le terme « prépondérant » (s’il en existe un).
Exemple. Donner un équivalent de x + ln(x) et de x + ln(1 + x) lorsque x → 0.
Proposition 49 – Règles de calcul pour « le petit o »
On se donne des fonctions f 1 , g 1 , h 1 , f 2 , g 2 vérifiant les hypothèses ad hoc.

1. Transitivité.¡ ¢
f 1 (x) = o g 1 (x) et g 1 (x) = o (h 1 (x)) donne f 1 (x) = o (h 1 (x))
x→a x→a x→a
2. Produit. ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢
f 1 (x) = o g 1 (x) et f 2 (x) = o g 2 (x) donne f 1 (x)× f 2 (x) = o g 1 (x) × g 2 (x)
x→a x→a x→a
3. Somme.
f 1 (x) = o (h 1 (x)) et g 1 (x) = o (h 1 (x)) donne f 1 (x) + g 1 (x) = o (h 1 (x))
x→a x→a x→a
4. Multiplication par une constante.
¡ ¢
f 1 (x) = o g 1 (x) donne ∀λ ∈
x→a
R, λ × f 1(x) x→a ¡
= o g 1 (x)
¢
5. Multiplication par une fonction.

¡ ¢ ¡ ¢
f 1 (x) = o g 1 (x) donne f 1 (x) × h 1 (x) = o g 1 (x) × h 1 (x)
x→a x→a
6. Substitution par une fonction équivalente.
¡ ¢
f 1 (x) = o g 1 (x) et g 1 (x) ∼ h 1 (x) donne f 1 (x) = o (h 1 (x))
x→a x→a x→a
On a des règles de calcul similaires pour le « grand O ».
Exemple. Trouver un équivalent en 0 de sin(x) + 1 − cos(x).

3 Développements limités 259
2.6 Croissances comparées
Les croissances comparées peuvent s’exprimer avec les notations de Landau.
On se donne trois réels α, β et γ.

µ ¶
β
¡ α
¢ β 1
1. Pour α > 0 : (ln x) = o x et | ln x| = o α .
x→+∞ x→0+ x
α
¡ γx
¢ α
¡ −γx ¢
2. Pour γ > 0 : x = o e et |x| = o e .
x→+∞ x→−∞
¡ ¢
3. Pour γ > 0 : (ln x)β = o eγx .
x→+∞
De manière mnémotechnique, on peut retenir que : ln ≪ puissance ≪ exp
ln(x)3
Exemple. Calculer lim .
x→+∞ (1 + x)4
2
Exemple. Calculer lim x 2 e−x .
x→+∞
3 Développements limités
¡ ¢
On notera souvent f (x) = g (x) + o x→a h(x) lorsque f (x) − g (x) = o (h(x)).
x→a
On a la caractérisation suivante.
¡ ¢
Lemme 51 – Caractérisation de f (x) = g (x) + o x→a h(x)
¡ ¢
f (x) = g (x) + o x→a h(x)
⇐⇒ ∃ ε fonction définie sur un voisinage V de a telle que :
³ ´
∀x ∈ V, f (x) = g (x) + ε(x) × h(x) et lim ε(x) = 0
x→a
¡ ¢
Important. Ce résultat permet de remplacer l’écriture f (x) = g (x) + o x→a h(x) qui est à
manipuler avec beaucoup de précautions, par l’identité ∀x ∈ V, f (x) = g (x)+ε(x)×h(x) qui
est une vraie égalité, et qu’on peut donc manipuler sans problème.

3.1 Développement limité d’ordre n en un point a ∈ R

n est un entier naturel, f est une fonction définie sur un intervalle I et a est un point
adhérent à I .
Définition 52 – Développement limité d’ordre n en un point a ∈ R

On dit que f admet un développement limité d’ordre n en a, lorsqu’il existe des réels
λ0 ,λ1 , . . . , λn tels que :
¡ ¢
f (x) = λ0 + λ1 (x − a) + λ2 (x − a)2 + · · · + λn (x − a)n + o x→a (x − a)n
Xn ¡ ¢
= λk (x − a)k + o x→a (x − a)n
k=0
En abrégé on dit que f admet un DL n (a).

¡ ¢
Dans l’écriture f (x) = λ0 +λ1 (x − a)+λ2 (x − a)2 +· · ·+λn (x − a)n +o x→a (x − a)n , chaque terme
est négligeable par rapport au précédent.
Le polynôme x 7−→ λ0 + λ1 (x − a) + λ2 (x − a)2 + · · · + λn (x − a)n est appelé partie régulière du

DL n (a) de f .
Exemple. f admet un DL 0 (a) de la forme f (x) = λ0 +o x→a (1) si, et seulement si, f (x) −→
x→a
λ0 .
x6=a
1
Exemple. = 1 + x + x 2 + · · · + x n + o x→0 (x n ).
1−x
Exemple. Soit f : x 7−→ λ0 + λ1 x + λ2 x 2 + · · · + λp x p une fonction polynômiale de degré p.

Pour tout n ∈ N elle admet un DL n (0) obtenu en tronquant à l’ordre n :
(
λ0 + λ1 x + λ2 x 2 + · · · + λp x p + o x→0 (x n ) si n ≥ p
f (x) =
λ0 + λ1 x + λ2 x 2 + · · · + λn x n + o x→0 (x n ) si n < p
Si a est un point intérieur à I , et si f est définie seulement sur I \{a}, on peut définir son DL n (a)
de la même manière.
IMPORTANT. Souvent on se ramènera un DL n (0) en posant g (h) = f (a + h)

ie f (x) = g (x − a).
En effet, f admet un DL n (a) si et seulement si g admet un DL n (0), et les coefficients sont les
mêmes dans les deux développements. Autrement dit :
¡ ¢
f (x) = λ0 + λ1 (x − a) + λ2 (x − a)2 + · · · + λn (x − a)n + o x→a (x − a)n
¡ ¢
⇐⇒ g (h) = λ0 + λ1 h + λ2 h 2 + · · · + λn h n + o h→0 h n

Dans la définition suivante, n est encore un entier naturel et f est une fonction définie sur un
intervalle I du type [A, +∞[.
Définition 53 – Développement limité d’ordre n en +∞
On dit que f admet un développement limité d’ordre n en +∞ (en abrégé DL n (+∞)), lors-
qu’il existe des réels λ0 ,λ1 , . . . , λn tels que :
µ ¶ n λ µ ¶
λ1 λ2 λn 1 X k 1
f (x) = λ0 + + 2 + · · · + n + o x→+∞ n = + o x→+∞
x x x x k=0 x
k xn
On peut définir de la même manière un DL n (−∞) de f .

µ ¶ µ ¶
+ 1 1
IMPORTANT. Souvent, on se ramènera à un Dl n (0 ) en posant g (h) = f , ie f (x) = g .
h x
Alors f admet un DL n (+∞) si et seulement si g admet un DL n (0+ ), et les coefficients sont les
mêmes dans les deux développements. Autrement dit :
µ ¶
λ1 λ2 λn 1
f (x) = λ0 + + 2 + · · · + n + o x→+∞ n
x x x x
¡ ¢
⇐⇒ g (h) = λ0 + λ1 h + λ2 h + · · · + λn h + o h→0+ h n
2 n
Si on cherche un DL n (−∞) de f , on utilise de même un DL n (0− ) de g .
3.2 Propriétés générales des développements limités

Dans ce paragraphe, f est une fonction vérifiant les hypothèses ad hoc pour l’existence d’un
DL n (0).
Théorème 54 – Unicité
Si f admet un DL n (0), celui-ci est unique.
Corollaire 55 – Cas d’une fonction paire ou impaire
Si f admet un DL n (0) et si f est paire, alors la partie régulière de f ne contient que des
termes d’exposants pairs.
De même si f admet un DL n (0) et si f est impaire, alors la partie régulière de f ne contient que
des termes d’exposants impairs.
Soit f : x 7−→ λ0 + λ1 x + λ2 x 2 + · · · + λp x p une fonction polynômiale de degré p. Pour tout n ∈ N,

on appelle troncature de f à l’ordre n la fonction notée Tn ( f ) :
(
λ0 + λ1 x + λ2 x 2 + · · · + λn x n si n ≤ p
Tn ( f ) : x 7−→
f (x) si n ≥ p + 1

Tn ( f )(x) est obtenu en ne gardant que les puissances de x plus petites que n ; si n ≥ p + 1 on
garde toutes les puissances et l’expression de f (x) est inchangée.
Théorème 56 – Troncature d’un DL n (0)

¡ ¢
On suppose que f admet un DL n (0) : f (x) = λ0 + λ1 x + λ2 x 2 + · · · + λn x n + o x→0 x n .
Alors pour tout entier naturel p ∈ 0, n, f admet un DL p (0) obtenu en tronquant son
DL n (0) à l’ordre p :
¡ ¢
f (x) = λ0 + λ1 x + λ2 x 2 + · · · + λp x p + o x→0 x p
Théorème 57 – DL et limite
Si f (x) = λ0 + λ1 x + λ2 x 2 + · · · + λn x n + o x→0 (x n ), alors f (x) −→ λ0 .

x→0
x6=0
Les premiers termes d’un développement limité peuvent être nuls. En numérotant à partir de
l’indice 0 le premier terme non nul, on obtient la forme normalisée d’un développement limité :
³ ´
p 2 n n
f (x) = x λ0 + λ1 x + λ2 x + · · · + λn x + o x→0 (x )
avec λ0 6= 0 . Attention, c’est un développement limité à l’ordre n + p.
Théorème 58 – DL et équivalent
³ ´
Si f (x) = x p λ0 + λ1 x + λ2 x 2 + · · · + λn x n + o x→0 (x n ) avec λ0 6= 0 , alors f (x) ∼ λ0 x p .
x→0
Un développement limité peut donc être utilisé pour trouver le signe local d’une fonction.
3.3 Développements limités usuels en 0

• Exponentielle. Pour tout n ∈ N, on a le DL n (0) de ex :
x2 x3 xn ¡
ex = 1+x + + +··· + + o x→0 x n )
2 3! n!
Xn xk ¡ ¢
= + o x→0 x n
k=0 k!
e e ¡ ¢
Exemple. ex = e + e(x − 1) + (x − 1)2 + (x − 1)3 + o x→1 (x − 1)3 .
2 6

• Logarithme. Pour tout n ∈ N∗, on a le DL n (0) de ln(1 + x) :
x2 x3 xn ¡
ln(1 + x) = x − + + · · · + (−1)n−1 + o x→0 x n )
2 3 n
Xn k
x ¡ ¢
= (−1)k−1 + o x→0 x n
k=1 k
x2 x3 ¡ ¢ (x − 1)2 ¡ ¢
Exemple. ln(1 + x) = x − + + o x→0 x 3 et ln(x) = (x − 1) − + o x→1 (x − 1)2 .
2 3 2
• Puissance. Pour tout n ∈ N∗, on a le DL n (0) de (1 + x)α :
α(α − 1) 2 α(α − 1)(α − 2) 3

(1 + x)α = 1 + αx + x + x +...
2 3!
α(α − 1)(α − 2) × · · · × (α − n + 1) n ¡
··· + x + o x→0 x n )
n!
Xn α(α − 1)(α − 2) × · · · × (α − k + 1) ¡ ¢
= 1+ x k + o x→0 x n
k=1 k!
p x x2 ¡ ¢ 1 x 3 ¡ ¢
Exemple. 1+x = 1+ − + o x→0 x 2 et p = 1 − + x 2 + o x→0 x 2 .
2 8 1+x 2 8
Il faut connaître le cas particulier suivant, pour α = −1 :
1 ¡
= 1 − x + x 2 − x 3 + · · · + (−1)n x n + o x→0 x n )
1+x
n
X ¡ ¢
= (−1)k x k + o x→0 x n
k=0
• Arctan. Pour tout n ∈ N, on a le DL 2n+1 (0) de arctan(x) :
x3 (−1)n 2n+1 ¡
arctan(x) = x − +··· + x + o x→0 x 2n+1 )
3 2n + 1
n k
X (−1) 2k+1 ¡ ¢
= x + o x→0 x 2n+1
k=0 2k + 1
x3 ¡ ¢
Exemple. arctan(x) = x − + o x→0 x 3 .
3

• Sinus. Pour tout n ∈ N, on a le DL 2n+1 (0) de sin(x) :
x3 x5 x 2n+1 ¡
sin(x) = x − + + · · · + (−1)n + o x→0 x 2n+1 )
3! 5! (2n + 1)!
Xn 2k+1
x ¡ ¢
= (−1)k + o x→0 x 2n+1
k=0 (2k + 1)!
x3 ¡ ¢
Exemple. sin(x) = x − + o x→0 x 4 .
6
• Cosinus. Pour tout n ∈ N, on a le DL 2n (0) de cos(x) :
x2 x4 x 2n ¡
cos(x) = 1 − + + · · · + (−1)n + o x→0 x 2n )
2 4! (2n)!
Xn 2k
x ¡ ¢
= (−1)k + o x→0 x 2n
k=0 (2k)!
µ ¶
x2 ¡ ¢ 1³ π ´2 ¡ ¢
π 3
Exemple. cos(x) = 1 − + o x→0 x 3 et sin(x) = 1 − x − + o x→ π x− 2 .
2 2 2 2
• Tangente. Il faut seulement connaître le DL 3 (0) de tan(x) :
x3 ¡
tan(x) = x + + o x→0 x 3 )
3
3.4 Opérations sur les développements limités

On suppose que les fonctions f et g toutes deux un DL n (0) :
f (x) = λ0 +λ1 x +λ2 x 2 +· · ·+λn x n +o x→0 (x n ) et g (x) = µ0 +µ1 x +µ2 x 2 +· · ·+µn x n +o x→0 (x n )
Théorème 59 – Combinaison linéaire de développements limités
Pour tout réels α et β, la fonction α. f + β.g admet un DL n (0) :

n
X ¡ ¢
α. f (x) + β.g (x) = (α.λk + β.µk )x k + o x→0 x n
k=0
Noter que pour obtenir un DL n (0), on part de deux DL n (0) : l’ordre est conservé.
x2 x3 ¡ ¢
Exemple. 1 − cos(x) − sin(x) = −x + + + o x→0 x 3
2 6

p ³ p ³ µ³ ¶
1 3 π´ 1 ³ π ´2 3 π ´3 π ´3
Exemple. cos(x) = − x− − x− + x− + o x→π/3 x −
2 2 3 4 3 12 3 3
p p
p p 2 2 ¡ ¢
Exemple. x = 2+ (x − 2) − (x − 2)2 + o x→2 (x − 2)2
4 32
Théorème 60 – Produit de développements limités
La fonction f × g admet un DL n (0) :

·Ã n
! Ã
n
!¸
X k
X k
¡ ¢
f (x) × g (x) = Tn λk x × µk x + o x→0 x n
k=0 k=0
| {z }
à développer
ex x2 x3 ¡ ¢
Exemple. = 1+ − + o x→0 x 3
1+x 2 3
x4 ¡ ¢
Exemple. cos(x) cosh(x) = 1 − + o x→0 x 4
6
Pour simplifier les calculs, on peut remarquer que multiplier un DL n(0) par x donne un DL n+1 (0) :
¡ ¢
f (x) = λ0 +λ1 x+λ2 x 2 +· · ·+λn x n +o x→0 (x n ) devient x. f (x) = λ0 x+λ1 x 2 +λ2 x 3 +· · ·+λn x n+1 +o x→0 x n+1
x→0
En mettant les développements limités sous forme normalisée, on peut donc prévoir au mieux
les différentes ordres à utiliser pour les calculs.
x2 x3 ¡ ¢
Exemple. ln(1 + x) × ex = x + + + o x→0 x 3
2 3
¡ ¢ x3 x4 ¡ ¢
Exemple. ln(1 + x) × 1 − cos(x) = − + o x→0 x 4
2 4
De même diviser par x transforme un DL n (0) en DL n−1 (0).
sin(x) x2 ¡ ¢
Exemple. = 1− + o x→0 x 3
x 6

Théorème 61 – Substitution dans un développement limité
. Si g (x) −→ 0, on a :
x→0
¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢
f g (x) = λ0 + λ1 g (x) + λ2 g (x)2 + · · · + λn g (x)n + o g (x)n + o x→0 g (x)n
g (x) −→ 0 signifie ici que µ0 = 0.

x→0
¡ ¢
Si g (x) est une puissance entière de x, on obtient un développement limité en 0 de f g (x) .
1 x 2 3x 4 ¡ ¢
Exemple. p = 1+ + + o x→0 x 4
1 − x2 x→0 2 8
¡ ¢
On peut aussi utiliser le DL n (0) de g (x) pour obtenir un DL n (0) de f g (x) : on dit qu’on a
composé les développements limités.
2 3x 2 7x 3 ¡ ¢
Exemple. ex+x = 1 + x + + + o x→0 x 3
2 6
x4 x6 ¡ ¢
Exemple. ln(1 + x 2 + x 3 ) = x 2 + x 3 − − x5 − + o x→0 x 6
2 6
x2 x3 ¡ ¢
Exemple. ln(1 + sin x) = x − + + o x→0 x 3
2 6
p x2 ¡ ¢
Exemple. cos x = 1 − + o x→0 x 2
4
3ex 2 13ex 3 ¡ ¢
Exemple. e1/(1+x) = e − ex + − + o x→0 x 3
2 6
p p
p p 2x 3 2x 2 ¡ ¢
Exemple. 1 + ex = 2 + + + o x→0 x 2
4 32

Théorème 62 – Inverse d’un développement limité

1 1
Si lim f (x) 6= 0 alors a un DL n (0) obtenu par composition avec celui de u 7−→ .
x→0 f 1+u
lim f (x) 6= 0 signifie ici que λ0 6= 0.

x→0
On commence le calcul ainsi :
1 1 1 1 1
= × ³ ´= ×
f (x) λ0 1 + λ1 x + λ2 x 2 + · · · + λn x n λ0 1 + u
λ0 λ0 λ0
1 1 x x3
Exemple. = − + + o x→0 (x 3 )
1 + ex 2 4 48
1 x 2 5x 4
Exemple. = 1+ + + o x→0 (x 4 )
cos x 2 24
On peut alors calculer le développement limité d’un quotient.
Théorème 63 – Quotient de développements limités
f 1
Si lim g (x) 6= 0 alors a un DL n (0) obtenu par produit de f avec .
x→0 g g
B On peut aussi diviser par une puissance de x (bien que dans ce cas lim g (x) = 0), mais l’ordre
x→0
n’est pas conservé.
x 3 2x 5
Exemple. tan x = x + + + o x→0 (x 5 )
3 15
En utilisant les formes normalisées, on peut ajuster au mieux les ordres des développements
limités.
ln(1 + x) − x 2 5x 2
Exemple. = −1 + x − + o x→0 (x 2 )
cosh(x) − 1 3 12

On rappelle qu’on dit que la fonction f est de classe C 1 sur l’intervalle I lorsque f est dérivable
sur I et f ′ est continue sur I .
Théorème 64 – Primitivation d’un développement limité
On suppose que f est de classe C 1 sur I et que f ′ admet un DL n (0) :
f ′ (x) = λ0 + λ1 x + λ2 x 2 + · · · + λn x n + o x→0 (x n )
Alors f admet un DL n+1 (0) obtenu en primitivant terme à terme :
x2 x3 x n+1
f (x) = f (0) + λ0 x + λ1 + λ2 + · · · + λn + o x→0 (x n+1 )
2 3 n +1
B Ne pas oublier le terme f (0) !
Exemple. Retrouver le DL n (0) de ln(1 + x).
Exemple. Retrouver le DL 2n+1 (0) de arctan(x).
Exemple. Déterminer le DL 5 (0) de arccos(x).
3.5 Applications des développements limites

3.5.1 Calculs de limites
Pour calculer une limite, on commence par essayer les opérations sur les limites.
Si on tombe sur une (ou des) forme(s) indéterminée(s), on doit alors utiliser les notions de ce
chapitre :
• pour les termes construits à partir d’addition et de composition, on utilise les DL pour en
trouver un équivalent ;
• pour les termes construits à partir de produits et de quotients, on peut travailler
directement avec les équivalents.
p p
1+x − 1−x
Exemple. Montrer que 2
−→ 1
ex − ex x→0
tan(2x) − 2 tan(x)
Exemple. Montrer que −→ −2
sin(2x) − 2 sin(x) x→0
µ ¶
1 1 2
Exemple. Montrer que 2 − −→
x tan(x)2 x→0 3
µ ¶¶x 2
µ
1 1
Exemple. Montrer que cos −→ p
x x→+∞ e

3.5.2 Étude d’extremums
Proposition 65 – DL et extremums
Soit f une fonction admettant un développement limité à l’ordre 2 en a :

¡ ¢
f (x) = c0 + c1 (x − a) + c2 (x − a)2 + o x→a (x − a)2
1. Si f admet un extremum local en a alors c1 = 0.

2. (a) Si c1 = 0 et c2 > 0, alors f admet un minimum local en a.
(b) Si c1 = 0 et c2 < 0, alors f admet un maximum local en a.
B Si c1 = c2 = 0, on ne peut pas conclure sans augmenter l’ordre du DL.


 sinh(x)
Exemple. La fonction f : [0, π[−→ R définie par f (x) =

sin(x)
si x 6= 0
admet un
1 si x = 0
minimum local en 0.
3.5.3 Étude de droites asymptotes
Asymptotes verticales en un point. Si a ∈ R et f (x) x→a

−→ ±∞ alors la droite d’équation x = a est
asymptote à la courbe de f au voisinage de a.
Asymptotes horizontales en ±∞. Si f (x) −→ ℓ ∈

x→+∞
R alors la droite d’équation y = ℓ est
asymptote à la courbe de f au voisinage de +∞. On a la même chose en −∞.
Asymptotes obliques en ±∞. Si (λ, µ) ∈ R2 et f (x) − λ.x − µ x→+∞

−→ 0 alors la droite d’équation
y = λx + µ est asymptote à la courbe de f au voisinage de +∞.
L’obtention d’une écriture de la forme :
f (x) = λx + µ + o x→+∞ (1)
permet de conclure que la droite d’équation y = λx + µ est asymptote à la courbe de f en +∞

(noter que ce n’est pas un développement limité ; on l’appelle développement asymtptotique).
De plus, l’étude du signe du o(1) (obtenue en continuant le développement asymptotique)

permet de positionner localement la courbe par rapport à cette asymptote.
On a la même chose en −∞.

p
Exemple. Soit f : R −→ R définie par f (x) =
x 2 + x + 1. Montrer que la courbe de f admet
une droite asymptote en +∞, et positionner localement cette droite et la courbe de f .

4 Formulaire
Croissances comparées
Si α > 0 et β ∈ R:
(ln x)β
• −→ 0 • | ln x|β x α −→ 0
x α x→+∞ x→0
eαx
• −→ +∞ • |x|β eαx −→ 0
x β x→+∞ x→−∞
Equivalents usuels
• arctan(x) ∼ x • ln(1 + x) ∼ x • ex − 1 ∼ x
x→0 x→0 x→0
x2
• sin(x) ∼ x • 1 − cos(x) ∼ • tan(x) ∼ x
x→0 x→0 2 x→0
p
• (1 + x)α − 1 ∼ αx si α ∈ ∗
x→0
R donc 1+x −1 ∼
x
x→0 2
Développements limités usuels à l’ordre 3
Au voisinage de 0, on a :
α(α − 1) 2 α(α − 1)(α − 2) 3

• (1 + x)α = 1 + αx + x + x + o x→0 (x 3 )
2 6
p x x2 x3
donc 1+x = 1+ − + + o x→0 (x 3 )
2 8 16
1 1
• = 1 + x + x 2 + x 3 + o(x 3 ) et = 1 − x + x 2 − x 3 + o x→0 (x 3 )
1−x 1+x
x2 x3
• ln(1 + x) = x − + + o x→0 (x 3 )
2 3
x2 x3
• ex = 1 + x + + + o x→0 (x 3 )
2 6
x3
• sin(x) = x − + o x→0 (x 3 )
6
x2
• cos(x) = 1 − + o x→0 (x 3 )
2
x3
• tan(x) = x + + o x→0 (x 3 )
3
x3
• arctan(x) = x − + o x→0 (x 3 )
3
Pour arcsin(x) et arccos(x), on intègre le DL de leur dérivée.


➥ Connaître les différentes notions de limites (classique, à gauche/droite, épointée).
✪ Savoir écrire la définition d’une limite avec les quantificateurs.
✪ Connaître les liens entre les différentes notions de limite.
➥ Calculer la limite d’une fonction.

✪ Utiliser les opérations sur les limites.
✪ Utiliser des encadrements.
✪ Utiliser les croissances comparées et les taux de variation.
✪ Utiliser des produits ou des quotients d’équivalents usuels.
✪ Utiliser des petits o, pour trouver un équivalent d’une somme (qui sera le terme
prépondérant).
✪ Utiliser des sommes de développements limités usuels, pour trouver un équivalent d’une
somme (dans le cas où aucun terme n’est prépondérant).
➥ Trouver un équivalent simple d’une suite ou d’une fonction.

✪ Savoir faire une conjecture et la prouver en revenant à la définition (le quotient des deux
fonctions tend vers 1).
✪ Pour une somme, savoir identifier s’il un terme prépondérant (dans ce cas c’est un
équivalent)
✪ Utiliser les équivalents usuels en 0, et y faire une substitution.
✪ Utiliser les opérations sur les équivalents.
✪ Faire un développement limité et garder le premier terme.
➥ Trouver un développement limité d’une fonction.

✪ Connaître les développements limités usuels.
✪ Faire un changement de variable pour se ramener en 0 et utiliser un développement
limité usuel.
✪ Savoir utiliser les opérations sur les développements limités.
✪ Alléger les calculs en manipulant des développements limités sous forme réduite.

6 Exercices
Limites d’une fonction
EXERCICE 1. Calculs de limites
1. Opérations sur les limites. Déterminer les limites suivantes. Si la limite n’existe pas,
envisager la limite à droite ou la limite à gauche.
p
x− x
(a) lim
x→+∞ ln x + x
(b) lim ln(x) × ln(ln x)

x→1+
(c) lim (ln(sin x) − ln x)

+
x→0
p
(d) lim x 2 e − x
x→+∞
(e) lim x x
x→0+
1
(f) lim
x→0 x(x + 1)
ln(1 + e x )
(g) lim
x→+∞ x
2. Quantité conjuguée. Déterminer les limites suivantes :
x2
(a) lim p
x→0 1 + x 2 − 1
p
2 − x2 + 4
(b) lim p
x→0 x 1 + x − x
3. Limites par encadrement. Déterminer les limites suivantes :

¡ ¢
x cos ex
(a) lim
x→−∞ x2 + 1
(b) lim e x−sin x

x→+∞
¹ º
1
(c) lim+
x→0 x

6 Exercices 273
Fonctions équivalentes
EXERCICE 2. Utilisation des équivalents

Déterminer les limites suivantes.
1. Logarithme et exponentielle.
(a) lim x (ln(1 + x) − ln x)
x→+∞
xx − 1
(b) lim
x→0+ x
ln(1 + x + x 2 )
(c) lim
x→0+ x2
µ ¶
x + 2 2x
(d) lim
x−→+∞ x
µ 2 ¶x
x − 2x + 1
(e) lim
x−→+∞ x 2 − 4x + 2
2. Puissances p réelles.
x x2 + 1
(a) lim+ p
4 x
rx +q
x→0
p p
(b) lim x+ x+ x− x
x→+∞
x x
(c) lim p −p
x→+∞ x + 1 x +2
3. Fonctions trigonométriques.
π
(a) lim x sin
x→+∞ x
sin(3x)
(b) limπ
x→ 3 1 − 2 cos(x)
¡ ¢
cos π2 x
(c) lim π 2 π
x→1 e − 2 x − e − 2
EXERCICE 3. Théorème permettant de composer un équivalent par la fonction ln
1. Soient f et g deux fonctions définies au voisinage de x0 ∈ R et à valeurs strictement

positives.
R
On suppose que f (x) ∼ g (x) et que lim g (x) = l ∈ + \{1}[0, 1[∪]1, +∞].
¡ ¢ x→x0 ¡ ¢ x→x0
Établir que ln f (x) ∼ ln g (x) .
x→x0
¡ ¢
2. En déduire un équivalent en +∞ de f (x) = ln x 2 + 2x .
EXERCICE 4. Le théorème des gendarmes permet de trouver des équivalents

Soit f une fonction telle qu’au voisinage de +∞, on ait :
1
x 2 + ≤ f (x) ≤ x 2 + x.
x
Déterminer un équivalent de f en +∞.

Développements
limités
EXERCICE 5. Calculs de DLs
Calculer les développements limités suivants :
p p
1+x − 1−x 1
1. DL 2 (0) de 3. DL 2 (2) de
x x p
2
sin(x) − x cos(x) cos(x) −
2. DL 3 (0) de 4. DL 3 (π/4) de 2
1+x π − 4x
p p
5. DL 2 (+∞) de (x 2 + x) − xe1/x 6. DL 2 (0) de 2+x
7. DL 3 (0) de sh(x) ch(2x) − ch(x) 8. DL 3 (0) de arctan(ex )
EXERCICE 6. Limites et DLs
Utiliser des développements limités pour calculer les limites suivantes :
¡ ¢ µ ¶
x 2 + cos(x) − 3 sin(x) 1 1
1. lim 3. lim −
x→0
µ x5 ¶ x→0 x ln(1 + x)
1 1 (1 + x)1/x − e
2. lim − 4. lim
x→0 sin2 (x) x2 x→0 x
EXERCICE 7. Plus difficile
À l’aide de développements limités, calculer les limites suivants :
µ ¶ µ ¶
1 1 1 cos(t )
1. lim − et lim − 2 +
t→0 t sin(t ) t→0 t sin2 (t )
³ ´1/ sin2 (x)

2. lim e x − sin(x)
x→0
p
x − ln (1 + x) + ln(2) − 1
3. lim
x→1 ex − ex

6 Exercices 275
EXERCICE 8. DL implicite
µ ¶
1 π
On admettra dans cet exercice que ∀x > 0, arctan(x) + arctan =
x 2
1. Soit
i π n ∈π
∗
N. hMontrer que l’équation tan(x) = x admet dans l’intervalle
− + nπ, + nπ une unique solution, notée xn .
2 2
µ ¶
π 1
2. Montrer que xn ∼ nπ. Remarquer que, pour tout n Ê 1 : xn = − arctan + nπ.
n→+∞ 2 xn
π 1
En déduire : xn − − nπ ∼ − .
2 n→+∞ nπ
1
3. Effectuer un développement limité à l’ordre 2, selon les puissances de , de xn − nπ.
n
En déduire un développement asymptotique à 4 termes de xn lorsque n −→ +∞.
EXERCICE 9. Branches infinies

Déterminer l’ensemble de définition, les limites aux bornes de cette ensemble et étudier les
branches infinies des fonctions suivantes :
s
x ln x x3 − 1
1. x 7−→ 2 2. x 7−→ x +
x −1 x +2


277
Chapitre 10
Continuité des fonctions numériques
Sommaire
1 Continuité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
1.1 Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
1.2 Continuité à droite ou à gauche en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
1.3 Prolongement par continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
1.4 Propriétés des fonctions continues un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
2 Continuité sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
2.1 Définition et théorèmes généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
2.2 Continuité des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
2.3 Opérations arithmétiques sur les fonctions continues . . . . . . . . . . . . 285
2.4 Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
2.5 Théorème de continuité sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
3 Fonctions continues et bijectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
3.1 Propriétés des fonctions numériques bijectives . . . . . . . . . . . . . . . . 289
3.2 Théorème de la bijection monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

278 C HAPITRE 10 : Continuité des fonctions numériques
1 Continuité en un point
f est une fonction définie sur un intervalle I ; cet intervalle est supposé non vide et non réduit à
un point.
1.1 Définition et premières propriétés
Soit a un point de I .
Définition 1 – Continuité en un point a
On dit que f est continue en a lorsque f (x) −→ f (a), ie :

x→a
¯ ¯
∀ε > 0, ∃δ > 0; ∀x ∈ [a − δ, a + δ] ∩ I , ¯ f (x) − f (a)¯ ≤ ε
Dans le cas contraire, on dit que f est discontinue en a.
Le changement de variable x = a + h permet de remplacer la condition f (x) −→ f (a), par

x→a
f (a + h) −→ f (a).
h→0
En fait si la fonction f est définie en a et a une limite finie en a, celle-ci ne peut être que f (a).
Proposition 2 – Continuité en a et limite en a
On a équivalence de :
(i) f est continue en a ;
(ii) f a une limite finie en a.
1.2 Continuité à droite ou à gauche en un point
Définition 3 – Continuité à droite un point
On dit que f est continue à droite en a lorsque f (x) −→+ f (a), ie :

x→a
¯ ¯
∀ε > 0, ∃δ > 0; ∀x ∈]a, a + δ] ∩ I , ¯ f (x) − f (a)¯ ≤ ε
Dans le cas contraire, on dit que f est discontinue à droite en a.
La condition se note aussi : f (a + ) = f (a).

1 Continuité en un point 279
Exemple. x 7−→ ⌊x⌋ est continue à droite en 2.
−1 1 2 3
−1
On définit de même la continuité à gauche en a : f (x) −→− f (a) ou encore f (a − ) = f (a).

x→a
Exemple. x 7−→ ⌊x⌋ est discontinue à gauche en 2.
Théorème 4 – Lien entre continuité en a et continuité à gauche et à droite en a
On suppose que a n’est pas une extrémité de I . Alors on a équivalence de :

(i) f est continue en a
(ii) f (a − ) = f (a + ) = f (a)
(iii) f (x) −→
x→a
f (a)
x6=a
(iv) f est continue à gauche et à droite en a
Supposer que a n’est pas une extrémité de I assure que f est définie à droite et à gauche de a.
(
Exemple. f (x) =
−x si x ≤ 0
x + 1 si x > 0
Df = R
−2 −1 1 2
−1
− +
Sur cette exemple : f (0 ) = 0, f (0 ) = 1 et f (0) = 0. Donc f est continue à gauche en 0, mais
discontinue à droite en 0. À fortiori, elle n’est pas continue en 0.

(
Exemple. f (x) =
1 − x si x ≤ 1
ex−1 − 1 si x > 1
Df = R
−2 −1 1 2 3
−1
Sur cette exemple : f (1− ) = f (1+ ) = f (1) = 0. f est donc continue en 1, puisqu’elle est continue
à gauche et à droite en ce point.

x 2 si x < 0


Exemple. f (x) = 2 si x = 0

Df = R

ex − 1 si x > 0
−2 −1 1 2
−1
Sur cette exemple : f (0− ) = f (0+ ) = 0 et f (0) = 2. Donc f n’est ni continue à gauche, ni continue
à droite en 0. À fortiori, elle n’est pas continue en 0.
Exemple. x 7−→ |x| est continue en 0.
−2 −1 1 2
−1

1 Continuité en un point 281
Z
Exemple. Si a ∉ , x 7−→ ⌊x⌋ est continue en a.
Z
Si a ∈ , x 7−→ ⌊x⌋ est continue à droite en a mais est discontinue à gauche en a.
−2 −1 1 2
−1
−2
1.3 Prolongement par continuité

Dans ce paragraphe, a est une extrémité de I n’appartenant pas à I . La fonction f n’est donc
pas définie en a.
Définition 5 – Prolongement continu
Si g est une fonction définie sur l’intervalle I ∪ {a} on dit qu’elle est un prolongement de f
continu en a lorsque :
1. g est continue en a ;
2. g |I = f
On dit alors que f est prolongeable par continuité en a lorsqu’il existe une fonction g qui est un
prolongement de f continue en a.
Théorème 6 – Prolongement par continuité
1. f est prolongeable par continuité en a ;
2. f admet une limite finie en a ;
3. f admet un DL d’ordre 0 en a.
Dans ce cas le prolongement est unique et c’est la fonction g : I ∪ {a} −→ R définie par :
(
f (x) si x ∈ I
g (x) = lim f (x) si x = a
x→a

En pratique le prolongement g est encore noté f , pour simplifier les notations.
sin x
Exemple. Peut-on prolonger par continuité en 0 la fonction x 7−→ ?
x
1.4 Propriétés des fonctions continues un point

Dans ce paragraphe a est un point de I .
Théorème 7 – Image d’une suite de limite a par une fonction continue en a
On suppose
¡ ¢que f est continue en a. Pour toute suite réelle (u n )n∈N convergente vers a, la
suite f (u n ) n∈N est définie à partir d’un certain rang ; de plus, elle converge vers a :
³ ´
u n −→ a et f continue en a =⇒ f (u n ) −→ f (a)
n→+∞ n→+∞
Application classique.
Si I est un intervalle stable par f on peut définir une suite (u n )n∈N par la donnée de u 0 ∈ I et la
relation de récurrence u n+1 = f (u n ).
Si la suite (u n )n∈N converge vers a, si a ∈ I et si f est continue en a alors f (a) = a : on dit que a
est un point fixe de f .
En plus de la fonction f , on se donne pour le théorème suivant une fonction g définie sur le
même intervalle I .
Théorème 8 – Opérations sur les fonctions continues en a
On suppose que f et g sont continues en a. Dans ce cas :

1. pour tous réels λ et µ, la fonction λ. f + µ.g est continue en a ;
2. la fonction f × g est continue en a ;
f
3. si g ne s’annule pas, la fonction est continue en a.
g
Dans le théorème suivant on suppose que f est à valeurs dans un intervalle J , et que g est une
fonction définie sur cet intervalle J . La fonction g ◦ f est donc définie sur l’intervale I .
Théorème 9 – Composition de fonctions continues
On suppose que f est continue en a, et que g est continue en b = f (a). Dans ce cas, la
fonction g ◦ f est continue en a.
B Ne pas dire que f et g sont toutes les deux continues en a ; à priori g n’est pas même pas
définie au point a. g doit être continue en b = f (a).
En pratique, on fera appel aux deux théorèmes précédents sous le nom de théorèmes généraux.

2 Continuité sur un intervalle 283
2 Continuité sur un intervalle

un point.
2.1 Définition et théorèmes généraux
Définition 10 – Continuité sur un intervalle

On dit que f est continue sur l’intervalle I lorsque f est continue en tout point a ∈ I .
Exemple. f continue sur [0, +∞[ signifie que f est continue en tout a > 0, et que f est conti-
nue à droite en 0.
Exemple. f continue sur ]0, +∞[ signifie que f est continue en tout a > 0.
Exemple. f continue sur ]1, 2] signifie que f est continue en tout a ∈]1, 2[, et que f est conti-
nue à gauche en 2.
Définition 11 – Continuité sur une union d’intervalles

On se donne une famille d’intervalles (I j ) j ∈J deux à deux disjoints, et tels que l’union de
deux d’entre eux ne donne pas un [intervalle.
On dit que f est continue sur A = I j lorsque, pour tout j ∈ J , f est continue sur I j .
j ∈J
Exemple. f continue sur R∗ signifie que f est continue sur ]−∞, 0[ et sur ]0, +∞[, donc que
f est continue en tout a < 0 et en tout a > 0.
B Si f est continue sur deux intervalles I et J alors elle peut ne pas être continue sur leur union
I ∪ J (si I ∪ J est encore un intervalle).
R
Par exemple si f continue sur ] − ∞, 0[ et [0, +∞[ alors ] − ∞, 0[∪[0, +∞[= , mais f peut ne pas
R
être continue sur car on ne sait pas si elle est continue à gauche en 0.
2.2 Continuité des fonctions usuelles

• La fonction x 7−→ ⌊x⌋ est continue sur R\Z. Aux points de Z, elle est seulement continue à
droite.
• Les fonctions polynômes sont continues sur R.

Exemple. La fonction x 7−→ x 3 − x + 1 est continue sur R.
• Les fractions rationnelles ( = quotient de polynômes) sont continues sur leur ensemble de
définition.
x 5 + 3x 2 + 2x − 1
Exemple. La fonction x 7−→
(x − 1)3 x
est continue sur R\{0; 1} et la fonction
x 7−→
1
x2 + x + 1
est continue sur R.
• Les fonctions cos et sin sont continues sur R.

• Les fonctions arccos et arcsin sont continues sur [−1, 1].
nπ o
• La fonction tan est continue sur Dtan = R\ 2
+ kπ; k ∈ Z.
• La fonction arctan est continue sur R.

• La fonction ln est continue sur R∗+, et la fonction exp est continue sur R.
• Les fonctions ch et sh sont continues sur R.
• La fonction x 7−→ |x| est continue sur R.
• Les fonctions x 7−→ x α , où α ∈ R, sont continues au moins sur R∗+. En 0, on a le résultat suivant.
Théorème 12 – Prolongement de la fonction x 7−→ x α en 0
1. Pour α ≥ 0, la fonction x 7−→ x α est prolongeable en 0 en une fonction continue, en

posant 0α = 0 si α > 0 et 00 = 1.
2. Pour α < 0, la fonction x 7−→ x α n’est prolongeable par continuité en 0 puisque sa
limite est +∞.
p
Exemple. x 7−→ x continue sur R+, et x 7−→ 1
3
continue sur R∗+.
x 2
B Pour des puissances entières, l’ensemble de continuité peut être beaucoup plus grand que
R +
R
ou ∗+ .
R 1
Par exemple x 7−→ x 2 est continue sur (polynôme), et x 7−→ 3 est continue sur ∗ (fraction
x
R
rationnelle).

2.3 Opérations arithmétiques sur les fonctions continues

Théorème 13 – Opérations sur les fonctions continues
On suppose que f et g sont continues sur I . Dans ce cas :

1. pour tous réels λ et µ, la fonction λ. f + µ.g est continue sur I ;
2. la fonction f × g est continue sur I ;
f
3. si g ne s’annule pas sur I , la fonction est continue sur I .
g
Théorème 14 – Composition de fonctions continues
On suppose que f est continue sur I , et que g est continue sur J . Dans ce cas, la fonction
g ◦ f est continue sur I .
B Ne pas dire que f et g sont toutes continues sur I ; à priori g n’est pas même pas définie sur
I . g doit être continue sur J tel que f (I ) ⊆ J .
Pour démontrer simplement qu’une fonction est continue, on utilise la continuité des fonctions
usuelles et le théorème précédent.
p
Exemple. La fonction ϕ : x 7−→ ln(1 + x 2 ) + arccos(x) est définie et continue sur [−1, 1].

sin(x)
x
se prolonge en 0 en une fonction continue sur R.
2.4 Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème 15 – Théorème des valeurs intermédiaires
Si f est une fonction continue sur l’intervalle [a, b], alors f prend toute valeur comprise
entre f (a) et f (b) :
∀y 0 ∈ [ f (a), f (b)], ∃x0 ∈ [a, b]/ f (x0 ) = y 0
Ceci peut s’écrire plus succintement :

¡ ¢
[ f (a), f (b)] ⊆ f [a, b]
B Dans la notation [ f (a), f (b)], on ne sous-entend pas que f (a) ≤ f (b), on peut très bien avoir
f (a) > f (b).

y = f (x)
f (b)
y0
a
x0 b
f (a)
B Ce résultat est faux si f n’est pas continue.

3 £ ¤ 3
Par exemple pour f : x 7−→ ⌊x⌋, on a ∈ f (1), f (2) = [1, 2], mais ∀x ∈ [1, 2], f (x) 6= .
2 2
2
3
y=
2
1
−1 1 2 3
−1
Pour la preuve, on fixe y 0 ∈ [ f (a), f (b)]. On cherche x0 ∈ [a, b] tel que f (x0 ) = y 0 .
• Simplification du problème. En posant g (x) = f (x) − y 0 , on est ramené à chercher x0 ∈ [a, b]

tel que g (x0 ) = 0.
On a f (a) ≤ y 0 ≤ f (b) ou f (b) ≤ y 0 ≤ f (a), donc g (a) ≤ 0 ≤ g (b) ou g (b) ≤ 0 ≤ g (a).
Quitte à remplacer g par −g on peut supposer que g (b) ≤ 0 ≤ g (a), et le problème est toujours
de trouver x0 ∈ [a, b] tel que g (x0 ) = 0.
• Définition de deux suites adjacentes par dichotomie. On définit deux suites réelles (an )n∈N
et (b n )n∈N par a0 = a, b 0 = b et :
 µ ¶  µ ¶

 an + bn an + bn 
 an + bn
 si g ≥0  bn si g ≥0
an+1 = 2 µ 2 ¶ et b = µ 2 ¶
an + bn n+1 an + bn an + bn

 

 an si g <0  si g <0
2 2 2
On peut visualiser cette construction.

µ ¶
an + bn
1. dans le cas où g ≥0:
2
y = g (x)
g (an )
³ ´
a n +bn
g 2
x0 b n+1 = b n
an an + bn
2
= an+1
g (b n )
µ ¶
an + bn
2. dans le cas où g <0:
2
y = g (x)
g (an )
b n+1 =
an + bn
2 bn
an+1 = an x0
³ ´
a n +bn
g 2
g (b n )
On vérifie alors par récurrence qu’elles ont les propriétés suivantes :

(i) (an )n∈N est croissante et (b n )n∈N est décroissante ;
N b−a
(ii) ∀n ∈ , a ≤ an ≤ b n ≤ b et b n − an = n ;
2
N
(iii) ∀n ∈ , g (b n ) ≤ 0 ≤ g (an ).
Ceci montre en particulier que (an )n∈N et (b n )n∈N sont adjacentes. Notons x0 leur limite
commune.
• Conclusion. Il reste à vérifier que x0 ∈ [a, b] et que g (x0 ) = 0.

Corollaire 16 – Image d’un intervalle par une fonction continue
Si I est un intervalle et si f est continue sur I alors J = f (I ) est aussi un intervalle.
B Ceci est faux si f n’est pas continue. Par exemple si f : x 7−→ ⌊x⌋, alors f ( ) = R Z n’est pas un
intervalle.
B La nature de l’intervalle (ie le caractère ouvert/fermé/borné. . .) n’est pas conservée. Par

exemple cos est continue sur R R
(intervalle ouvert non borné) et cos( ) = [−1, 1] (intervalle
fermé borné).
Corollaire 17 – Signe d’une fonction continue sur un intervalle
Soit f continue sur un intervalle I .

1. Si f ne s’annule pas sur I , alors f est de signe constant au sens strict sur I .
2. Par contraposée si la fonction change de signe sur I , alors elle s’annule sur I .
B Si la fonction s’annule sur I , elle peut ne pas changer de signe.

Prendre par exemple x 7−→ x 2 sur [−1, 1].
B Ceci est faux si la fonction est discontinue en un

 point : la fonction peut changer de signe
 1 si x ≤ 1
sans s’annuler, comme le montre la fonction x 7−→ −x − 1
 si x > 1
2
2.5 Théorème de continuité sur un segment

On rappelle qu’on appelle segment tout intervalle [a, b] fermé et borné.
Théorème 18 – Théorème de continuité sur un segment

¡ ¢
Soit f continue sur un segment [a, b]. Alors f [a, b] est aussi un segment.
¡ ¢
Cela signifie que f [a, b] = [m, M] où :
m = min f (x) et M = max f (x)

x∈[a,b] x∈[a,b]
Rappelons que, par définition d’un minimum et d’un maximum, ces bornes sont atteintes, donc :
∃α ∈ [a, b]/ m = f (α) et ∃β ∈ [a, b]/ M = f (β)
et ainsi :
∀x ∈ [a, b], f (α) ≤ f (x) ≤ f (β)
Autrement dit : f est bornée et atteint ses bornes.

3 Fonctions continues et bijectives 289
M = f (β)
f (a)
y = f (x)
f (b
α
a β b
m = f (α)
B Ceci est faux si on ne prend pas un segment.

1 1
Par exemple x 7−→ est continue sur ]0, 1] mais n’est pas majorée puisque lim = +∞.
x x→0 x
+
B Le résultat est faux si la fonction

 n’est pas continue.
 1
si x > 0
Par exemple la fonction x 7−→ est définie sur [0, 1] mais n’est pas majorée puisque
 x1 si x = 0
lim f (x) = +∞.
x→0+
3 Fonctions continues et bijectives

3.1 Propriétés des fonctions numériques bijectives
I et J sont deux intervalles.
On rappelle que si f : I −→ J est bijective alors elle admet une fonction réciproque f −1 : J −→ I ,
définie par :
∀x ∈ I , ∀y ∈ J , y = f (x) ⇐⇒ x = f −1 (y)
et caractérisée par les relations :
¡ ¢ ¡ ¢
∀x ∈ I , f −1 f (x) = x et ∀y ∈ J , f f −1 (y) = y
Dans les énoncés de ce paragraphe, f est une bijection de I vers J .
Proposition 19 – Parité de l’application réciproque
Si f est impaire sur I , alors f −1 est impaire sur J .
B Si f est paire, on ne peut pas dire que f −1 est paire. La raison est très simple : si f est paire,
elle ne peut pas être injective, et donc f −1 n’existe pas.

Proposition 20 – Monotonie de l’application réciproque
Si f est strictement monotone sur I , alors f −1 est strictement monotone sur J . Plus préci-
sément :
• si f est strictement croissante sur I , alors f −1 est strictement croissante sur J ;
• si f est strictement décroissante sur I , alors f −1 est strictement décroissante sur J .
Dasn l’énoncé suivant a est un point de I ou une borne de I ; b est un point de J ou une borne
de J .
Proposition 21 – Limites de l’application réciproque
Si f est strictement croissante sur I alors :
lim f (x) = b + ∈
x→a +
R =⇒ y→b
lim
+
f −1 (y) = a + et lim f (x) = b − ∈
x→a −
R =⇒ y→b
lim
−
f −1 (y) = a −
De même, si f est strictement décroissante sur I alors pour tout a ∈ I :
lim f (x) = b − ∈
x→a +
R =⇒ y→b
lim −
f −1 (y) = a + et lim f (x) = b + ∈
x→a −
R =⇒ y→b
lim
+
f −1 (y) = a −
Proposition 22 – Représentation graphique de l’application réciproque
C f −1 se déduit de C f par symétrie orthogonale par rapport à la droite d’équation y = x
3.2 Théorème de la bijection monotone
Théorème 23 – Théorème de la bijection monotone
On suppose que :
(i) I est un intervalle de R;
(ii) f est une fonction continue sur I ;
(iii) f est strictement monotone sur I .
Dans ce cas f est bijective de I vers l’intervalle image J = f (I ).
De plus l’application réciproque f −1 est continue sur J .
B Il n’y pas de réciproque, une fonction bijective peut être ni continue, ni strictement
monotone.

3 Fonctions continues et bijectives 291
Proposition 24 – Calcul de l’intervalle image J = f (I )
On suppose f est strictement croissante et continue sur l’intervalle I . Alors pour tout
(a, b) ∈ I 2 : ¡ ¢ £ ¤ ¡ ¢ £ £
f [a, b] = f (a), f (b) f [a, b[ = f (a), f (b − )
¡ ¢ ¤ ¤ ¡ ¢ ¤ £
f ]a, b] = f (a + ), f (b) f ]a, b[ = f (a + ), f (b − )
Si f est strictement décroissante et continue sur l’intervalle I , alors pour tout (a, b) ∈ I 2 :
¡ ¢ £ ¤ ¡ ¢ ¤ ¤
f [a, b] = f (b), f (a) f [a, b[ = f (b − ), f (a)
¡ ¢ £ £ ¡ ¢ ¤ £
f ]a, b] = f (b), f (a + ) f ]a, b[ = f (b − ), f (a + )
Exemple. La fonction exp est continue et strictement croissante de l’intervalle R sur

l’intervalle ]0, +∞[. Sa bijection réciproque est la fonction ln :]0, +∞[−→ R. On retrouve donc
R
que ln est continue sur ∗+ , strictement croissante et :
lim ex = 0+ et lim ex = +∞ =⇒ lim+ ln(x) = −∞ et lim ln(x) = +∞

x→−∞ x→+∞ x→0 x→+∞
Exemple. Si α 6= 0, la fonction x 7−→ x α est continue et strictement croissante sur R+. Elle est
donc bijective de R+ sur R+. Sa bijection réciproque est la fonction x 7−→ x 1
α .
i πExemple.
πh
La restriction de la fonction tangente est continue et strictement croissante sur
− , . Sa bijection réciproque arctan est donc continue sur .
2 2
R
£ ¤
Exemple. La restriction de la fonction sin est continue et strictement croissante sur − π2 , π2 .
Sa bijection réciproque arcsin est donc continue sur [−1, 1].
Exemple. La restriction de la fonction cos est continue et strictement décroissante sur [0, π].
Sa bijection réciproque arccos est donc continue sur [−1, 1].

I est un intervalle de R et f est une fonction définie sur I et à valeurs dans C.
Définition 25 – Continuité en un point a
On dit que f est continue en a ∈ I lorsque lim f (x) = f (a).

x→a
On peut définir de même les notions de continuité à droite ou à gauche.

Définition 26 – Continuité sur un intervalle

On dit que f est continue sur l’intervalle I lorsque f est continue en tout point a ∈ I .
Théorème 27 – Lien avec les parties réelles et imaginaires
(i) f est continue sur I ;
(ii) Re( f ) et Im( f ) sont continues sur I .
C
Exemple. Pour tout λ ∈ , la fonction t 7−→ eλt est continue sur R.
Dans le théorème suivant on se donne une autre fonction g définie sur l’intervalle I et à valeurs
dans .C
Théorème 28 – Opérations sur les fonctions continues
Si f et g sont continues sur I alors les fonctions λ f , f +g , f ×g , f et | f | sont aussi continues

sur I .
f
Si de plus g ne s’annule pas, alors est continue sur I .
g
Le théorème suivant se généralise pour les fonctions à valeurs complexes.
Théorème 29 – Théorème de continuité sur un segment
Si f : [a, b] −→ C est continue sur le segment [a, b], alors la fonction f est bornée sur [a, b].
B Le théorème des valeurs intermédiaires n’a plus de sens : on ne peut pas parler des valeurs
intermédiaires entre deux complexes.
Par exemple la fonction t 7−→ ei t prend la valeur −1 en π et la valeur 1 en 0, mais elle ne s’annule
jamais.
B De même dire qu’une fonction à valeurs complexes est monotone n’a pas de sens.


➥ Connaître la notion de continuité, en un point de l’ensemble de définition.
✪ L’utiliser pour calculer une limite.
✪ Vérifier que f est continue en a en comparant f (a) et lim
x→a
f (x).
x6=a
✪ Vérifier que f est continue en a en montrant qu’elle est continue à gauche ( f (a − ) = f (a))
et à droite ( f (a + ) = f (a)).
➥ Prolonger une fonction par continuité, en un point qui n’est pas dans l’ensemble de
définition.
✪ Ne pas confondre avec la vérification de la continuité en un point (cas où le point est déjà
dans l’ensemble de définition).
➥ Savoir montrer qu’une fonction est continue sur un intervalle.

✪ Utiliser les théorèmes généraux sur les fonctions continues.
✪ Pour un quotient de fonctions continues ne pas oublier que le dénominateur de doit pas
s’annuler.
✪ Pour une composée de fonctions continues ne pas oublier que les intervalles doivent bien
« s’emboîter ».
➥ Connaître les trois théorèmes fondamentaux sur les fonctions continues.

✪ Le théorème des valeurs intermédiaires qui permet de montrer qu’une fonction s’annule
au moins une fois.
✪ Le théorème de continuité sur un segment qui permet de montrer qu’une fonction est
bornée et que les bornes « sont atteintes ».
✪ Le théorème de la bijection monotone qui permet de définir une bijection réciproque, et
qui permet aussi de montrer qu’une fonction s’annule une seule fois.
➥ Connaître l’algorithme de dichotomie pour approcher numériquement un zéro d’une

fonction continue.

5 Exercices
Continuité d’une
fonction numérique
EXERCICE 1. Étude de la continuité

Étudier la continuité (et les éventuels prolongements par continuité) des fonctions suivantes :
p
x2 + 1 − 1 x
1. f (x) = 2. f (x) =
x 2x + |x|
 1

e x si x < 0

3. f (x) = x x 4. f (x) = x 2 + x si 0 É x < 1


ln(x) + ex si x Ê 1
EXERCICE 2. Exemples plus difficiles
1. Montrer que la fonction f : x −→ ⌊x⌋ +

p
x − ⌊x⌋ est définie et continue sur R.
2. Montrer que la fonction 1Q est discontinue en tout point de R (on dit qu’elle est totale-
ment discontinue.
EXERCICE 3. Étude d’une fonction

³ x ´x−1 µ x + 1 ¶x+1
Soit f la fonction définie par : f (x) = − .
x −1 x
1. Déterminer l’ensemble de définition de f et étudier la continuité de f .
2. Montrer que f est impaire.
3. Peut–on prolonger f par continuité ?
4. Étudier la limite de f en +∞ et −∞.
EXERCICE 4. Prolongement par continuité

¯ ¯
¯ ln(x)¯β
Pour (α, β) ∈ 2
Ret x ∈]0, 1[ on pose f (x) = ¯ ¯ .
¯1 − x ¯α
1. Montrer que f est continue sur ]0, 1[.
2. Pour quelles valeurs de (α, β), f se prolonge-t-elle en une fonction continue sur [0, 1].

5 Exercices 295
EXERCICE 5. Équation fonctionnelle

Trouver toutes les fonctions f : R −→ R continues en 0 et vérifiant : ∀x ∈ R, f (2x) = f (x).
EXERCICE 6. Une condition suffisante de continuité
R∗+ −→ R une fonction croissante telle que la fonction x −→ f (x)

Soit f :
x
est décroissante.
Montrer que f est continue sur R+ .
∗
Théorèmes des valeurs

intermédaires et de
continuité sur un
segment
EXERCICE 7. Théorème des valeurs intermédiaires
1. Soit f : [0, +∞[−→ R une fonction continue. On suppose que f (0) = −1 et que
f (x) −→ 1. Montrer que f s’annule au moins une fois sur ]0, +∞[.
x→+∞
2. Soit f : [0, 1] → [0, 1] une fonction continue. Montrer que f a au moins un point fixe.
Montrer que ce résultat reste vrai si on remplace l’hypothèse f continue par f croissante.
3. Montrer que l’équation x 17 = x 12 + 1 admet au moins une solution dans R+.
4. Déterminer les fonctions f : R −→ Z continues.
5. Déterminer les fonctions f : R −→ R continues et telles que ∀x ∈ R, f (x)2 = 1.
EXERCICE 8. Théorème de continuité sur un segment
1. Montrer que la fonction x 7−→

1 − cos(x)
x2
est bornée sur ∗+ . R
2. Soit f : [0, +∞[−→ R une fonction continue.
On suppose que la limite de f en +∞ existe et est finie. Montrer que f est bornée sur
[0, +∞[.
3. Soit f : [0, +∞[−→ R une fonction continue.
On suppose que f (x) −→ +∞. Montrer que f est minorée sur [0, +∞[ et que sa borne
x→+∞
inférieure est atteinte.
4. Soit I un intervalle de R et f : I −→ R telle que ∀x ∈ I , f (x) > 0. A-t-on x∈I
inf f (x) > 0 ?
Et si I est un segment ?
5. Soient f et g deux fonctions continues sur un segment I = [a, b], telles que :
∀x ∈ [a, b], f (x) < g (x)
Montrer qu’il existe ǫ > 0 tel que : ∀x ∈ [a, b], ǫ + f (x) É g (x).
Ce résultat est-il encore valable si l’intervalle I n’est pas un segment ?

Théorème de la
bijection monotone
EXERCICE 9. Calculs d’applications réciproques

1
1. Soit f définie par f (x) = p . Montrer que f |£− 1 ,+∞£ admet une application réci-
x2 + x + 1 2
proque continue que l’on explicitera.

2. Montrer que cosh|R+ et sinh sont bijectives et déterminer leur application réciproque.
EXERCICE 10. Nombre de solutions d’une équation

1 1 1
Soit t un réel. Discuter le nombre de solutions de l’équation + + = t d’inconnue x
x −1 x x +1
en fonction des valeurs du réel t .
Compléments
EXERCICE 11. Fonctions k-lipschitziennes et leur point fixe

Soient I un intervalle de R et f une fonction définie sur I . On suppose qu’il existe k > 0 telle que
f soit k-lipschitzienne ie :
∀x, y ∈ I , | f (x) − f (y)| ≤ k|x − y|

1. Montrer que f est continue sur I .
2. On suppose que 0 < k < 1, que I = [a, b] est stable par f , et que f a un unique point fixe
ℓ ∈ I.
N
On définit une suite (xn )n∈N par x0 ∈ I et ∀n ∈ , xn+1 = f (xn ).
(a) Montrer que : ∀n ∈ N, |xn − ℓ| ≤ k n |x0 − ℓ|.
(b) En déduire que (xn )n∈N converge vers ℓ.
(c) Déterminer une valeur de l’entier n (en fonction de a, b et k) pour laquelle xn est une
valeur approchée de ℓ à 10−3 près.
EXERCICE 12. Réciproque du théorème de la bijection monotone

Soient I un intervalle de R
et f une bijection continue de I vers J = f (I ) telle que f −1 est
continue sur J .
Montrer que f est strictement monotone sur I .
EXERCICE 13. Une autre condition suffisante de continuité

R
Soit f : [a, b] −→ une fonction croissante et surjective de [a, b] vers [ f (a), f (b)].
Montrer que f est continue sur [a, b].

297
Chapitre 11
Polynômes
Sommaire
1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
1.1 Construction rapide de K[X ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
1.2 Opérations dans K[X ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
1.3 L’indéterminée X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
1.4 Degré d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
1.5 Parité d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
1.6 Fonction polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
2 Racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
2.1 Arithmétique dans K[X ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
2.2 Racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
2.3 Ordre de multiplicité d’une racine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
2.4 Décompositions en facteurs irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
2.5 Somme et produit des racines d’un polynôme scindé . . . . . . . . . . . . . 312
3 Dérivée d’un polynôme et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
3.1 Dérivée d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
3.2 Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
4 Expression par radicaux des racines des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . 316
4.1 Cas du degré 1 ou du degré 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
4.2 Cas du degré 3 : méthode de Cardan (hors-programme) . . . . . . . . . . . 316
4.3 Cas du degré 4 : méthode de Ferrari (hors-programme) . . . . . . . . . . . 317
4.4 Théorème d’Abel-Galois (hors-programme) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

298 C HAPITRE 11 : Polynômes
Dans tout le chapitre K désigne R ou C.
1 Généralités
1.1 Construction rapide de K[X ]
Nous allons construire les polynômes indépendamment de la notion de fonction, comme la
simple succession de ses coefficients. Les polynômes servent en effet à bien d’autres choses
qu’à construire des fonctions.
On rappelle que N est l’ensemble des suites A = (an )n∈N à valeurs dans
K K : A est une
N
application de vers . K
La suite A sera aussi notée A = (a0 , a1 , a2 , . . . ).
Une telle suite (an )n∈N sera dite à support fini si elle est nulle à partir d’un certain rang :
N; ∀n ≥ N , an = 0
∃N ∈
On l’appellera polynôme à coefficients dans K. Les termes de la suite sont appelés coefficients du
polynôme.
L’ensemble des polynômes à coefficients dans K est noté K[X ]. Donc K[X ] ⊆ KN .
Il est clair que R[X ] ⊆ C[X ].
Le polynôme nul est :
0K[X ] = (0, 0, 0, . . .)
Si P est un polynôme, il existe donc un entier N ∈ N tel que :
P = ( a0 , a1 , . . . , a N , 0 , 0 , . . . )
Par définition deux polynômes P = (a0 , a1 , a2 , . . . ) et Q = (b 0 , b 1 , b 2 , . . . ) sont égaux si,

et seulement si tous leurs coefficients sont égaux :
∀k ∈ N, ak = bk
1.2 Opérations dans K[X ]

Si P = (a0 , a1 , a2 , . . . ) et Q = (b 0 , b 1 , b 2 , . . . ) sont deux polynômes on définit leur somme P +Q par :
P +Q = (a0 + b 0 , a1 + b 1 , a2 + b 2 , . . . )
Cette addition est évidemment associative et commutative. L’élément neutre est 0K[X ] :
P + 0K[X ] = 0K[X ] + P = P
On définit le produit P ×Q, aussi noté PQ, par :
P ×Q = (c0 , c1 , c2 , . . . )

1 Généralités 299
k
X X
où on a posé pour tout k ∈ N, ck = ai b k−i = ai b j .
i =0 i +j =k
Cette opération est elle aussi associative et commutative. L’élément neutre est 1K[X ] = (1, 0, 0, . . . ) :
P × 1K[X ] = 1K[X ] × P = P
La mulptiplication est distributive par rapport à l’addition. Si R est un autre polynôme de K[X ] :
P × (Q + R) = P ×Q + P × R
On définit aussi la multiplication par un scalaire λ ∈ K:

λ.P = (λ × a0 , λ × a1 , λ × a2 , . . . )
Le polynôme (−1).P est noté −P et on l’appelle opposé de P . L’opération P + (−1).Q est noté
P −Q. On a évidemment P − P = 0K[X ] .
La multiplication par un scalaire est compatible avec le produit dans le sens suivant :
λ.(P ×Q) = (λ.P ) ×Q = P × (λ.Q)
1.3 L’indéterminée X
On note X la suite (xn )n∈N définie par x1 = 1 et ∀n ∈ N\{1}, xn = 0. Avec d’autres notations :
X = ( 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , ... )
B Ne pas perdre de vue que la lettre X désigne un polynôme et non un élément de l’ensemble
Kdes scalaires.
On vérifie facilement que pour tout k ∈ N:

X k = ( 0 , ... , 0 , 1 , 0 , 0 , ... )
↑
(k + 1) − ième
avec la convention X 0 = 1K[X ] .
Tout polynôme P = ( a0 , a1 , . . . , a N , 0 , 0 , . . . ) peut donc désormais se noter :
N
X
P = a0 + a1 X + a2 X 2 + · · · + a N X N = ak X k
k=0
où pour simplifier les notations on note a0 à la place de a0 1K[X ] = a0 X 0 .
Pour se remémorer que X est l’indéterminée, le polynôme P est aussi noté P (X ).
B P (X ) ne désigne pas une fonction évaluée en X , mais un polynôme.

Résumé des premières propriétés.
• L’unicité des coefficients peut s’énoncer ainsi :
N
X N
X
ak X k = b k X k ⇐⇒ ∀k ∈ 0, N , ak = b k
k=0 k=0
• Multiplication d’un polynôme par un scalaire :
N
X N
X
λ. ak X k = (λ × ak )X k
k=0 k=0
• Somme de deux polynômes :
N1
X N2
X max(N
X1 ,N2 )
ak X k + bk X k = (ak + b k )X k
k=0 k=0 k=0
avec la convention que ak = 0 si k > N1 et b k = 0 si k > N2 .

En particulier :
XN N
X N
X
k=0 k=0 k=0
• Produit de deux polynômes :

Ã ! Ã !
N1
X N2
X N1X
+N2
k k
ak X × bk X = ck X k
k=0 k=0 k=0
k
X
où ck = ai b k−i avec la convention que ak = 0 si k > N1 et b k = 0 si k > N2 .
i =0
En particulier : Ã ! Ã !
N
X N
X 2N
X
ak X k × bk X k = ck X k
k=0 k=0 k=0
k
X
où ck = ai b k−i avec la convention que ak = b k = 0 si k > N .
i =0
N
X
B Dans l’écriture P = ak X k l’entier N n’est pas unique. En effet, il désigne un rang à partir
k=0
duquel les coefficients du polynôme sont nuls, donc si N convient alors N +1, N +2, . . .conviennent
aussi. Par conséquent on utilise aussi la notation :
+∞
X
P= ak X k
k=0
où la somme infinie a un sens puisque ses termes sont nuls à partir d’un certain rang.

Les propriétés suivantes sont alors plus simples à écrire :
+∞
X +∞
X
ak X k = b k X k ⇐⇒ ∀k ∈ N, ak = bk
k=0 k=0
+∞
X +∞
X
λ. ak X k = (λ × ak )X k
k=0 k=0
+∞
X +∞
X +∞
X
Ã !k=0Ã k=0
! k=0
+∞
X +∞
X +∞
X k
X
ak X k × bk X k = ck X k où ck = ai b k−i
k=0 k=0 k=0 i =0
Vocabulaire. Un polynôme n’ayant qu’un seul (resp. deux, resp. trois) coefficient(s) non nul(s)
est appelé monôme (resp. binôme, resp. trinôme).
Exemple. P (X ) = 2X 2 + X 5 est un binôme ; Q(X ) = −X 3 est un monôme.
Un polynôme est donc une somme de monômes.
Avec les règles de calculs données précédemment, on peut montrer une formule du binôme
pour les polynômes.
Théorème 1 – Formule du binôme pour les polynômes
Si P et Q sont deux polynômes et n un entier naturel alors :

Ã !
n n
X
n
(P +Q) = .P k .Q n−k
k=0 k
De plus si n est un entier naturel non nul on a par télescopage :

Ã !
n−1
X
n n k n−1−k
P −Q = (P −Q) × P Q
k=0
et donc : Ã !
n−1
X
P − 1K[X ] = (P − 1K[X ] ) ×
n
P k
k=0
ce qu’on peut voir comme une généralisation des sommes géométriques à K[X ].
Ã ! Ã !
Xn n 2
Exemple. Pour n ∈ N, montrer que
k
=
2n
n
en regardant le coefficient de X n dans le
k=0
polynôme (1 + X )2n .

1.4 Degré d’un polynôme

+∞
X
On se donne P = ak X k un élément de K[X ]. Par définition d’un polynôme il existe un entier
N tel que :
k=0
naturel N ∈
∀k ∈ N, k > N =⇒ ak = 0
Si on suppose de plus que P 6= 0K[X ] , alors : ∃k ∈ 0, N ; ak 6= 0
Définition 2 – Degré d’un polynôme non nul
Si P 6= 0K[X ] alors on appelle degré de P l’entier naturel défini par :

©
deg(P ) = max k ∈ N; ak 6= 0ª
© ª
Avec les notations précédentes on a deg(P ) = max k ∈ 0, N ; ak 6= 0 , donc on est sûr que le
maximum existe puisqu’il est pris dans un ensemble fini (inclus dans 0, N ).
Théorème 3 – Unicité de l’écriture d’un polynôme non nul
Si P 6= 0K[X ] alors :
N
N, (a0 , . . . , aN ) ∈ KN+1
X
1. P s’écrit de manière unique P (X ) = ak X k avec N ∈
k=0
et a N 6= 0 ;
2. dans ce cas N = deg(P ).
¡ ¢
On adopte la convention : deg 0K[X ] = −∞.
En général, pour un polynôme P quelconque, on a donc deg(P ) ∈ {−∞} ∪ N.

L’ensemble des polynômes à coefficients dans K de degré inférieur ou égal à n est noté Kn [X ] :
Kn [X ] = ©P ∈ K[X ]; deg(P ) ≤ n ª
Il est clair que Kn [X ] ⊆ K[X ], que Kn [X ] ⊆ Kn+1 [X ] et plus généralement que :
∀(n, m) ∈ N2, n ≤ m =⇒ K0[X ] ⊆ Kn [X ] ⊆ Km [X ] ⊆ K[X ]
Les éléments de K0[X ] sont appelés polynômes constants. On a donc :
µ ³ ´¶
P est un polynôme constant ⇐⇒ deg(P ) ≤ 0 ⇐⇒ P = 0K[X ] ou P 6= 0K[X ] et deg(P ) = 0
Les polynômes constants se notent P (X ) = a1K[X ] , ou encore par abus de notation P (X ) = a,

avec a ∈ .K
n
X
Pour tout polynôme P non nul, noté P = ak X k = a0 + a1 X + a2 X 2 +· · ·+ an X n avec an 6= 0, on
k=0
appelle :
• terme dominant de P le monôme de plus haut degré, qui est ici an X n ;
• coefficient dominant de P le coefficient du terme dominant , qui est ici an ;
• terme constant de P le coefficient de degré 0, qui est ici a0 .
Définition 4 – Polynôme unitaire
Si P est un polynôme non nul, on dit que P est unitaire lorsque son coefficient
dominant est égal à 1.
Exemple. P (X ) = 4X 5 − 2X + 3 est de degré 5, de terme dominant 4X 5 , de coefficient domi-

nant 4 et de terme constant 3. Il n’est pas unitaire.
Exemple. Quel est la terme dominant de (X + 1)n lorsque n ∈ N?

Dans les résultats suivants on suppose que P et Q sont deux polynômes de K[X ].
Théorème 5 – Intégrité de K[X ]
Si P et Q sont deux polynômes on a :
P ×Q = 0K[X ] ⇐⇒ P (X ) = 0K[X ] ou Q(X ) = 0K[X ]
Théorème 6 – Règles de calcul du degré
1. Si λ est un scalaire non nul : deg(λ.P ) = deg(P ).

¡ ¢
2. En général : deg(P +Q) ≤ max deg(P ), deg(Q)¡ ¢
et si deg(P ) 6= deg(Q), alors deg(P +Q) = max deg(P ), deg(Q) .
3. deg(P ×Q) = deg(P ) + deg(Q).
Exemple. Pour n ∈ N, déterminer le degré du polynôme (X + 1)n .

Exemple. Déterminer les polynômes P ∈ K[X ] tels que P 2 = X puis tels que P 2 = X P + 1.
¡ ¢
B Si deg(P ) = deg(Q), on peut avoir deg(P + Q) < max deg(P ), deg(Q) lorsque les termes
dominants s’annulent.
Exemple. Pour n ∈ N∗, déterminer le degré du polynôme (X + 1)n − X n . n

X
On définit la composition de deux polynômes. Si P et Q sont deux polynômes, avec P = ak X k ,
k=0
alors :
n
X
P ◦Q = ak Q k
k=0

Ce polynôme est aussi noté P (Q(X )).
¡ ¢ n
X n
X
Exemple. P X 2 = ak X 2k . Ne pas confondre avec X 2 P = ak X k+2 .
k=0 k=0
Proposition 7 – Degré d’une composée
Si Q est non nul et P est non constant : deg(Q ◦ P ) = deg(Q) × deg(P )
On peut encore affaiblir l’hypothèse sur P : P peut être constant mais cette valeur ne doit pas
être une racine de Q.
Exemple. Pour n ∈ N, déterminer le degré du polynôme ¡X 2 + 1¢n .

1.5 Parité d’un polynôme
Dans cette section, P est un élément quelconque de K[X ].
Définition 8 – Polynôme pair/impair
1. On dit que P est pair lorsque P (−X ) = P (X ).

2. On dit que P est impair lorsque P (−X ) = −P (X ).
Théorème 9 – Caractérisation de polynômes pairs/impairs
1. P est pair si, et seulement si, tous ses coefficients d’indice impair sont nuls.
2. P est impair si, et seulement si, tous ses coefficients d’indice pair sont nuls.
Exemple. X 5 + X est impair et X 8 + 4X 4 + 3X 2 est pair. Par contre, X 3 + X 2 n’est ni pair,

ni impair.
1.6 Fonction polynomiales

Dans cette section, P et Q sont deux élément quelconques de K[X ].
n
X n
X
Le polynôme P est noté P = ak X k , et Q est noté Q = bk X k .
k=0 k=0
Définition 10 – Fonction polynomiale associée à P
On appelle fonction polynomiale associée à P l’application Pe : K −→ K définie par :

n
K,
X
∀x ∈ Pe(x) = ak x k
k=0

2 Racines d’un polynôme 305
Théorème 11 – Injection entre polynômes et fonctions polynomiales
L’application P 7−→ Pe est une injection.
Par conséquent on notera encore P à la place de Pe. Si x ∈ K le scalaire Pe(x), encore noté P (x),
est appelé P évalué en x.
B Ne pas confondre le scalaire P (x) et le polynôme P (X ).
L’unicité des coefficients, combinée à l’injection précédente, a pour conséquence le résultat

suivant :
n n µ n n ¶ µ ¶
K,
X k
X k
X k
X k
ak X = b k X ⇐⇒ ∀x ∈ ak x = bk x ⇐⇒ ∀k ∈ 0, n, ak = b k
k=0 k=0 k=0 k=0
B Ne pas oublier le quantificateur ∀ pour le scalaire x.
Une autre conséquence du théorème est que les ensembles 0 [X ] et K

sont en bijection. K
K K
Par abus de notation on considère souvent que 0 [X ] = , ie que a1K[X ] = a.
On peut aussi remarquer que P (0K ) = a0 : le terme constant de P est obtenu en évaluant P
en 0K .
On a donc : P est constant ⇐⇒ P = P (0K )
2 Racines d’un polynôme
2.1 Arithmétique dans K[X ]

Dans toute cette section A, B et C sont des polynômes de K[X ].
Définition 12 – Divisibilité dans K[X ]
Si B 6= 0K[X ] , on dit que B divise A lorsqu’il existe Q ∈ K[X ] tel que A(X ) = B(X ) × Q(X ).
Dans ce cas on le note B | A.
On dit que B est un diviseur de A, que A est divisible par B ou que A est un multiple de B.
On peut remarquer que tout polynôme non nul divise 0K[X ] .
Exemple. X − 1 divise X n − 1, pour tout entier naturel n non nul.

Proposition 13 – Propriétés de la relation de divisibilité
1. Transitivité. Si C | B et B | A alors C | A.
2. Réflexivité. On a B | B.
3. Antisymétrie. Si B | C et C | B alors il existe λ ∈ K∗ tel que B = λ.C .
4. Si B | C et C 6= 0K[X ] , alors deg(B) ≤ deg(C )
Lorsque B | C et C | B, on dit que les polynômes B et C sont associés.
K
Un polynôme A ∈ [X ] quelconque est divisible par tout polynôme constant non nul et par tout
polynôme qui lui est associé.
Théorème 14 – Division euclidienne dans K[X ]

Si B 6= 0, alors il existe un unique couple (Q, R) ∈ K[X ]2 tel que A(X ) = B(X ) ×Q(X ) + R(X )
et deg(R) < deg(B).
Q est appelé quotient et R est appelé reste de la division euclidienne de A par B.
Exemple. Effectuer la division euclidienne de X 4 − 3X 3 + 2X 2 + X − 1 par X 2 − X + 1, et de

X 5 − X 4 − 2X 2 − 3X + 1 par X 2 + 2.
Proposition 15 – Division euclidienne et divisibilité
B divise A si, et seulement si, le reste de la division euclidienne de A par B est nul.
Proposition 16 – Division par X − a
Si P est un polynôme et α un scalaire, alors le reste de la division euclidinne de P par X −α

est P (α).
Il existe donc un unique polynôme Q ∈ K[X ] tel que :

P (X ) = (X − α).Q(X ) + P (α)
2.2 Racines d’un polynôme

Dans cette section P est un polynôme et α un scalaire.
Définition 17 – Racine d’un polynôme
On dit que α est racine de P lorsque P (α) = 0K .

Exemple. Le polynôme nul admet une infinité de racines : tous les scalaires. Les polynômes
constants non nuls n’ont pas de racine.
Exemple. Le polynôme X − α a une unique racine qui est α.
Rédaction.
Ne pas écrire X − α = 0 ⇐⇒ X = α puisque cette dernière égalité signifie l’égalité de suites
(0, 1, 0, 0, . . .) = (0, α, 0, 0, . . .) qui est évidemment fausse.
K
Il faut écrire : pour x ∈ , x − α = 0 ⇐⇒ x = α, donc α est l’unique racine de X − α.
Exemple. Soit n ∈ N∗. Les racines du polynôme X n − 1 sont les racines n-ièmes de l’unité.
Théorème 18 – Racine et divisibilité
α est racine de P si, et seulement si, X − α divise P .
Autrement dit : P (α) = 0 ⇐⇒ ∃Q ∈ K[X ]; P (X ) = (X − α) ×Q(X ).
On peut noter que si P est non constant alors deg(Q) = deg(P ) − 1.
Théorème 19 – Cas de racines deux à deux distinctes

Si α1 , . . ., αn sont des scalaires deux à deux distincts, alors :
n
Y
α1 , . . . , αn sont racines de P ⇐⇒ (X − αk ) | P
k=1
Corollaire 20 – Relation entre degré et nombre de racines
Tout polynôme P non nul a un nombre de racines dans K au plus égal à son degré.
Par contraposée, s’il existe n ∈ N tel que deg(P ) ≤ n et P a au moins n + 1 racines distinctes,
alors P est le polynôme nul.
Exemple. Soit (P,Q) ∈ Rn [X ] tel que P et Q coïncident en n + 1 points distincts de R.

Alors P = Q.
Exemple. Montrer que la fonction exponentielle complexe n’est pas polynomiale.

2.3 Ordre de multiplicité d’une racine

Dans cette section P est un polynôme et α un scalaire.
Définition 21 – Racine multiple
L’ordre de multiplicité de α pour P est le plus grand entier k ∈ N tel que (X − α)k | P , ie
N
l’unique entier k ∈ tel que (X − α)k | P et (X − α)k+1 6 |P .
On dit alors que α est racine d’ordre k de P .
B Remarquez que α racine d’ordre 0 signifie en fait que α n’est pas racine de P .
On utilise le vocabulaire suivant :

• si k = 1, on dit que α est racine simple de P ;
• si k = 2, on dit que α est racine douple de P ;
• si k ≥ 3, on dit que α est racine multiple de P .
Théorème 22 – Ordre de multiplicité et divisibilité
α est racine d’ordre k ∈ N

de P si, et seulement si, il existe Q ∈ K[X ] tel que
P (X ) = (X − α)k ×Q(X ) et Q(α) 6= 0.
Exemple. Pour X (X − 2)3 , 0 est racine simple et 2 est racine d’ordre 3. −1 est racine d’ordre 0
(ie n’est pas racine).
Définition 23 – Polynôme scindé
P est dit scindé s’il est non constant et s’il s’écrit comme un produit de polynômes du
premier degré :
Yn
P = λ× (X − αk )
k=1
où λ ∈ K∗
,n∈ N ∗
et α1 , . . . , αn sont des scalaires.
Dans ce cas λ est le coefficient dominant de P , n est son degré et α1 , . . . , αn sont les racines de P .
B Un polynôme de R[X ] peut être scindé dans C[X ] mais pas dans R[X ] : par exemple X 2 + 1.
B Les scalaires α1 , . . . , αn ne sont pas supposé deux à deux distincts.
Si dans la liste (α1 , . . . , αn ) on regroupe les valeurs identiques, alors on a l’écriture :
r
Y
P = λ× (X − µk )νk
k=1
où µ1 , . . . , µr sont les racines distinctes de P et ν1 , . . . , νr sont leurs ordres de multiplicité.

Pour un polynôme scindé, le dégré est supérieur ou égal à la somme des ordres de multiplicité de
ses racines. C’est en fait vrai même si le polynôme n’est pas scindé, d’après le théorème suivant.
Proposition 24 – Factorisation d’un polynôme
K K
1. Soit P ∈ [X ] un polynôme non nul de racines dans distinctes µ1 , . . . , µr d’ordres
K
de multiplicité ν1 , . . . , νr . Il existe alors un polynôme Q ∈ [X ] tel que :
r
Y
P (X ) = Q(X ) × (X − µk )νk et Q n’a pas de racine dans K
k=1
Donc le degré de P est supérieur ou égal à la somme des ordres de multiplicité de

ses racines.
K
2. Un polynôme P non nul est scindé dans [X ] si, et seulement si, son degré est égal
à la somme des ordres de multiplicité de ses racines dans . K
Important. Très souvent, on compte les racines avec leur ordre de multiplicité : cela signifie
qu’une racine est comptée autant de fois que son ordre de multiplicité. On ne parle donc plus
de racines distinctes.
On obtient donc pour un polynôme P non nul :

• le degré de P est supérieur ou égal au nombre de ses racines comptées avec leur ordre de multi-
plicité.
• P est scindé si, et seulement si, son degré est égal au nombre de ses racines comptées avec leur
ordre de multiplicité.
Exemple. Soit n ∈ N∗. Le polynôme X n − 1 est scindé à racines simples dans C[X ].
2.4 Décompositions en facteurs irréductibles
Définition 25 – Polynôme irréductible
K
Un polynôme P de [X ] est dit irréductible lorsqu’il est non constant, et lorsque ses seuls
diviseurs sont les polynômes constants non nuls, et les polynômes qui lui sont associés.
Autrement dit un polynôme P non constant est irréductible si, set seulement si :
µ ¶ µ ¶
∀(Q, R) ∈ K[X ] ,
2
P = QR =⇒ Q est constant non nul ou R est constant non nul
Exemple. Dans K[X ] les polynômes de degré 1 sont irréductibles.

B L’irréductibilité dépend du choix de K : X 2 + 1 est irréductible dans R[X ] mais pas dans
C[X ] ; X 2 − 2 est irréductible dans Q[X ] mais pas dans R[X ].
Le résultat fondamental est le suivant.

Théorème 26 – Théorème de d’Alembert-Gauss

Tout polynôme de C[X ] non constant a au moins une racine dans C.
Remarquer que ce résultat s’applique aux polynômes de R[X ] : ils ont toujours au moins une
racine dans . C
Ce résultat est très puissant : l’introduction des nombres complexes a donné une racine au
polynôme X 2 + 1, et du même coup à tout polynôme de [X ] ! C
Les conséquences sont nombreuses.
Corollaire 27 – Polynômes irréductibles de C[X ]

Les polynômes irréductibles de C[X ] sont exactement les polynômes de degré 1.
Corollaire 28 – Décomposition en irréductibles dans C[X ]

Tout P ∈ C[X ] non constant s’écrit :
n
Y
P (X ) = λ × (X − αi )
i =1
où λ ∈ C∗, n ∈ N∗, (α1, . . . , αn ) ∈ Cn .

Les nombres complexes α1 , . . . , αn sont les racines complexes de P et ne sont pas
nécessairement deux à deux disctintes (chaque racine est répétée autant de fois que son ordre
de multiplicité).
Un autre énoncé possible est le suivant : tous les polynômes non constants de C[X ] sont scindés.
Pour factoriser un polynôme dans C[X ], il suffit donc de déterminer ses racines.
Corollaire 29 – Nombre de racines des polynômes de C[X ]
C
Tout polynôme de [X ] non nul a un nombre de racines, comptées avec leur ordre de
multiplicité, égal à son degré.
C’est faux pour le polynôme nul qui a lui une infinité de racines.
C[X ].
Exemple. Factoriser X 4 − 1 dans
En remarquant que tout polynôme de R[X ] se décompose dans C[X ] on peut établir les
résultats suivants.

Lemme 30 – Racines complexes et polynômes de R[X ]

Si P ∈ R[X ] et α ∈ C. Alors :
α est racine de P ⇐⇒ α est racine de P
R
Pour un polynôme de [X ] les racines complexes non réelles sont deux à deux conjuguées ; elles
sont donc en nombre pair.
Le calcul suivant sera fondamental dans la suite. Si α ∈ C:

(X − α) × (X − α) = X 2 − 2 Re(α)X + |α|2 ∈ R[X ]
Corollaire 31 – Polynômes irréductibles de R[X ]

Les polynômes irréductibles de R[X ] sont :
• les polynômes de degré 1 ;
• les polynômes de degré 2 à discriminant strictement négatifs.
Les polynômes de R[X ] degré 2 à discriminant strictement négatifs, sont ceux qui n’ont pas de
racine réelle.
B Le fait de ne pas avoir de racine réelle ne garantie pas d’être irréductible : X 4 + 1 n’a pas de
racine réelle mais est réductible dans [X ]. R
Corollaire 32 – Décomposition en irréductibles dans R[X ]

Tout P ∈ R[X ] s’écrit :
k
Y ℓ
Y
P (X ) = λ × (X − αi )r i × (X 2 + β j X + γ j )ν j
i =1 j =1
où C
λ ∈ ∗, N
(k, ℓ) ∈ ( ∗ )2 , (α1 , . . . , αk , β1 , . . . , βℓ , γ1 , . . . , γℓ ) ∈ Rk+2ℓ et
N
(r 1 , . . . , r k , ν1 , . . . , νℓ ) ∈
¡ ∗ ¢k+ℓ
, avec ∀ j ∈ 1, ℓ, ∆ j = β2j − 4γ j < 0.
Dans cet écriture, α1 , . . . , αk sont les racines réelles de P et ne sont pas nécessairement deux à
deux disctintes (chaque racine est répétée autant de fois que son ordre de multiplicité).
R
Important. Pour factoriser un polynôme dans [X ], il suffit donc en théorie de déterminer ses
racines complexes, puis de regrouper les racines conjuguées deux à deux.
Exemple. Décomposer X 3 − 1 dans R[X ].

Corollaire 33 – Nombre de racines des polynômes de R[X ]

R
1. Tout polynôme de [X ] non nul a un nombre de racines, comptées avec leur ordre
de multiplicité, inférieur ou égal à son degré.
2. Soit P ∈ R[X ] non nul. On a équivalence des prédicats :
(i) P a un nombre de racines, comptées avec leur ordre de multiplicité, égal à son
degré
(ii) P n’a pas de racine complexe non réelle
(iii) P est scindé dans R[X ]
Corollaire 34 – Cas des polynômes de R[X ] de degré impair

Tout polynôme de R[X ] de degré impair a au moins une racine réelle.
2.5 Somme et produit des racines d’un polynôme scindé
Dans cette section, P est un polynôme de K[X ] noté :

P = a0 + a1 X + a2 X 2 + · · · + an X n
avec an 6= 0.
On suppose P scindé ; il a donc n racines comptées avec leur ordre de multiplicité qu’on note
α1 , . . . , αn .
Théorème 35 – Somme et produit des racines d’un polynôme scindé
On a les formules :
an−1 a0
α1 + α2 + · · · + αn = − et α1 × α2 × . . . αn = (−1)n
an an
Dans le cas d’un trinôme du second degré, on retrouve le théorème de Viète.
Ces formules permettent de calculer des sommes et des produits. Elles ont permis à l’Euler de
deviner que :
1 1 1 π2
1+ + + + · · · =
22 32 42 6
On peut remarquer que chaque coefficient de P donne une formule faisant intervenir les racines
α1 , . . . , αn . Mais à part les deux ci-dessus, elles ne sont pas au programme de PCSI.

3 Dérivée d’un polynôme et applications 313
3 Dérivée d’un polynôme et applications
3.1 Dérivée d’un polynôme
Dans cette section P est un polynôme de K[X ].

Définition 36 – Dérivée d’un polynôme
On définit le polynôme dérivé de P , noté P ′ par :

• si P est constant alors on pose P ′ = 0 ;
n
X
• si deg(P ) ≥ 1 alors on le note P (X ) = ak X k avec an 6= 0.
k=0
n
X n−1
X
On pose alors P ′ (X ) = kak X k−1 = (k + 1)ak+1 X k .
k=1 k=0
3
Exemple. P (X ) = 4X 5 + 9X + donne P ′ (X ) = 20X 4 + 9.
2
K R
Si = si on identifie polynôme et fonction polynomiale, alors on retrouve la dérivée en tant
que fonction numérique.
Proposition 37 – Degré du polynôme dérivé
Si P ∈ K[X ] est un polynôme non constant, ie si deg(P ) ≥ 1, alors deg(P ′) = deg(P ) − 1.

Si P ∈ K[X ] est un polynôme constant, ie si deg(P ) ≤ 0, alors P ′ = 0K[X ].
On a donc :
P est un polynôme constant ⇐⇒ P ′ = 0K[X ]
Théorème 38 – Propriétés de la dérivation
Si (P,Q) ∈ K[X ]2 et λ ∈ K, on a :
(λ.P +Q) = λ.P ′ +Q ′ et (P ×Q)′ = P ′ ×Q + P ×Q ′
et :
(Q ◦ P )′ = P ′ ×Q ′ ◦ P
¡ ¢′ ¡ ¢′
Exemple. X 2 × P (X ) = 2X × P (X ) + X 2 × P ′ (X ) et P (2X ) = 2 × P ′ (2X ).

Définition 39 – Dérivée d’ordres supérieurs
Soit P ∈ K[X ]. On définit par récurrence le polynôme dérivé d’ordre k de P , note P (k) , par :
½
P (0) = P
N ¡
∀k ∈ , P (k+1) = P (k)
¢′
Pour k ∈ N, le polynôme P (k) désigne le polynôme P dérivé k fois.

3
Exemple. P (X ) = 4X 5 + 9X + , P ′ (X ) = 20X 4 + 9, P ′′ (X ) = 80X 3 , P (3) (X ) = 240X 2, P (4) (X ) =
2
480X , P (5) (X ) = 480 et pour k ≥ 6, P (k) (X ) = 0K[X ] .
Proposition 40 – Degré du polynôme P (k)

Soit k ∈ N.
1. Si k > deg(P ), alors P (k) = 0.
¡ ¢
2. Si k ≤ deg(P ), on a deg P (k) = deg(P ) − k
n
X
Si k ≤ deg(P ) et si P (X ) = a j X j , alors :
j =0
n
X n
X j!
P (k) (X ) = j ( j − 1) × · · · × ( j − k + 1) × a j X j −k = a j X j −k
j =k j =k ( j − k)!
n−k
X ( j + k)!
= a j +k X j
j =0 j!
P (k) (0)
et on en déduit que ak =
k!
Exemple. La dérivée de k-ième de X j est 0 si k > j , et si k ≤ j elle vaut

j!
j × ( j − 1) × · · · × ( j − k + 1) × X j −k = X j −k .
( j − k)!
3.2 Formule de Taylor
Théorème 41 – Formule de Taylor
Si n ∈ N et P ∈ Kn [X ] alors :
n P (k) (a)
K,
X
∀a ∈ P= (X − a)k
k=0 k!

3 Dérivée d’un polynôme et applications 315
Exemple. Montrer qu’il existe un unique polynôme P ∈ R2[X ] tel que P (1) = P ′(1) = 1 et
′′
P (1) = −1.
P (k) (0)
L’unicité des coefficients permet donc de dire à nouveau que ak =
k!
On arrive au résultat principal de ce paragraphe, qui permet de déterminer simplement l’ordre

de multiplicité d’une racine.
Lemme 42 – Dérivé et ordre de multiplicité
Soient α ∈ K, P ∈ K[X ] et r ∈ N∗. Alors :

α est racine d’ordre r de P =⇒ α est racine d’ordre r − 1 de P ′
Théorème 43 – Calcul de l’ordre de multiplicité
Soient α ∈ K, P ∈ K[X ] et r ∈ N∗. Alors on a équivalence de :

(i) α est racine d’ordre r de P ;
(ii) P (α) = P ′ (α) = P ′′ (α) = · · · = P (r −1) (α) = 0 et P (r ) (α) 6= 0.
Lorsqu’on factorise un polynôme, on peut donc simplifier la recherche de racines en détermi-

nant les ordres de multiplicité avec ce théorème.
Exemple. Factoriser le polynôme P (X ) = X 5 − 3X 4 + 2X 3 + 2X 2 − 3X + 1 dans C[X ], puis

dans R[X ].
Exemple. Pour n ∈ N ∗
, on pose P n = (X + 1)n (X − 1)n .
Alors ∀k ∈ 0, n − 1, P n (1) = P n (−1) = 0 et de plus P n (1) 6= 0 et P n(n) (−1) 6= 0.
(k) (k) (n)
Corollaire 44 – Caractérisation des polynômes scindés à racines simples
Soit P ∈K[X ] non constant. On a équivalence des prédicats :

(i) P est scindé dans K[X ] et à racines simples
(ii) P a un nombre de racines distinctes supérieur ou égal à son degré
(iii) P est scindé dans K[X ] et n’a pas de racine commune avec P ′.
Exemple. Soient n ∈ N tel que n ≥ 2, et P = X n − X + 1. Montrer que P est scindé à racines

simples dans C[X ].
4 Expression par radicaux des racines des polynômes

« Exprimer par radicaux », signifie exprimer à l’aide de sommes, produits, quotients, et fonction
racines n-ièmes (les fameux radicaux).
4.1 Cas du degré 1 ou du degré 2

Une équation du degré 1 est de la forme x + a = 0, avec a ∈ K2. Elle a pour unique solution
x = −a.
K
Une équation du degré 2 est de la forme x 2 + ax + b = 0, avec (a, b) ∈ 2 . On sait la résoudre à
partir de l’étude de son discriminant ; les solutions s’expriment à partir de produits et quotients
de radicaux d’expressions en a et b.
Ces connaissances se retrouvent dans différentes civilisations jusqu’à 2000 avant JC.
4.2 Cas du degré 3 : méthode de Cardan (hors-programme)

Une équation du degré 3 est de la forme x 3 + ax 2 + bx + c = 0, avec (a, b, c) ∈ K3.
a
On peut simplifier le problème en utilisant le changement de variable y = x + . On obtient
3
l’équation y 3 + p y + q = 0 où p et q s’expriment comme des produits de a, b et c.
p
On se donne alors deux nombres u et v tels que u + v = x et uv = − (ils existent d’après les
3
résultats sur les systèmes sommes-produits). Ces deux nombres vérifient :

 u 3 + v 3 = −q
³ p ´3
 u3v 3 = −
3
Toujours d’après le théorème sur les systèmes somme-produits, on sait calculer u 3 et v 3 en
fonction de radicaux de p et q, donc de a, b et c. On en déduit que u, v puis x s’exprimer par
radicaux en fonction de a, b et c.
On peut obtenir par exemple :

v q v q
u ¡ ¢ u ¡ p ¢3
u p 3 u
3 −q +
t q2 + 4 3 3 −q −
t q2 + 4 3 a
x= + −
2 2 3
avec p et q à remplacer en fonction de a, b et c. Mais dans certains cas ces formules conduisent à
écrire la racine carrée d’un nombre négatif. . . Cardan (1501-1576) aurait alors eu l’idée
d’introduire les nombres complexes pour donner un sens rigoureux à ses calculs.
On pense que cette méthode a été confiée à Cardan par un autre mathématicien du nom de
Tartaglia (1499-1577) qui lui avait fait jurer de la garder secrète. . .
Exemple. Résoudre 6x 3 − 6x 2 + 12x + 7 = 0.

4 Expression par radicaux des racines des polynômes 317
4.3 Cas du degré 4 : méthode de Ferrari (hors-programme)

Une équation du degré 4 est de la forme x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, avec (a, b, c, d ) ∈ K4.
a
On peut simplifier le problème en utilisant le changement de variable y = x + . On obtient
4
4 2
l’équation y = p y + q y + r où p, q et r s’expriment comme des produits de a, b, c et d .
On se donne alors un nombre t tel que q 2 −4(2t +p)(t 2 +r ) = 0, qu’on trouve avec la méthode de
Cardan (ou autre). Pour cette valeur de t , l’expression (2t + p)y 2 + q y +(t 2 +r ) qui est du second
degré en y, a un discriminant nul et peut donc se factoriser sous la forme (αy + β)2 .
On remarque de plus que y 4 = (y 2 + t 2 )2 − 2y 2 t − t 2 donc (y 2 + t 2 ) = (2t + p)y 2 + q x + (t 2 + r ) =

(αy + β)2 . On en déduit que y = −t 2 ± (αy + β). C’est une équation du second degré en y dont la
résolution va donner y exprimé par radicaux en fonction de t , α, β, et donc on aura x exprimé
par radicaux en fonction de a, b, c et d .
Cette méthode a été découverte par le mathématicien Ferrari (1522-1565), élève de Cardan.
Exemple. Résoudre x 4 + 4x 3 + 3x 2 − 8x − 10 = 0.
4.4 Théorème d’Abel-Galois (hors-programme)

A partir du degré 5 les mathématiciens ont échoué à trouver des formules qui expriment par
radicaux les solutions en fonction des coefficients de l’équation.
Les mathématiciens Abel (1802-1829) et Galois (1811-1832) sont parvenus à donner une défi-
nition formelle de l’expression « équation résoluble par radicaux » puis à prouver qu’aucune
formule par radicaux générale n’est possible pour les équations de degré supérieur ou égal à 5.
Pourtant d’après le théorème de d’Alembert-Gauss, on sait que pour une équation de degré n il y
a toujours n racines complexes (comptées avec leur ordre de multiplicité). Mais elles ne peuvent
p
pas être exprimées à l’aide des symboles +, −, ∗, / et n .


➥ Connaître les notions de degré et de coefficient dominant.
✪ Savoir calculer le degré ou le coefficient dominant d’une somme, d’un produit ou d’une
composée de polynômes.
✪ Utiliser ces notions pour simplifier la recherche de solutions d’une équation dont
l’inconnue est un polynôme.
➥ Utiliser l’unicité des coefficients des polynômes.

✪ Différencier une égalité entre deux polynômes et deux fonctions polynomiales.
✪ L’utiliser pour démontrer des identités combinatoires.
✪ L’utiliser pour rechercher les solutions d’une équation dont l’inconnue est un polynôme.
➥ Utiliser le lien entre nombre de racines d’un polynôme et son degré.

✪ Montrer qu’un polynôme est nul grâce à un argument sur son nombre de racines.
✪ Montrer qu’un polynôme est scindé grâce à un argument sur son nombre de racines.
➥ Connaître le lien entre racines d’un polynômes, factorisation en polynômes irréductibles et

racines des polynômes dérivés.
✪ Savoir factoriser un polynôme dans C[X ] et dans R[X ], sur un exemple ou de manière
générale.
✪ Déterminer l’ordre de multiplicité d’une racine en factorisant ou en recherchant les
racines des polynômes dérivés.
✪ Utiliser les coefficients d’un polynôme scindé pour calculer la somme ou le produit de
ses racines.

6 Exercices 319
6 Exercices
Notions de base
EXERCICE 1. Calculs de degrés et de coefficients dominants

Déterminer les degrés et coefficients dominants des polynômes suivants :
n
Y
1. X 3 − X (X − 2 + i ) 2. (X − 2)n − (X + 5)n avec n ∈ N∗ 3. (2X − k)
k=0
n
Y n
Y 2
4. (X − 6)k 5. (k X − 2)k
k=0 k=0
EXERCICE 2. Décomposition en irréductibles

Factoriser les polynômes suivants :
1. X 4 − X 2 + 1, X 8 + X 4 + 1 et X 4 + 1 dans R[X ] et dans C[X ]

2. X 4 + 3X 3 − 14X 2 + 22X − 12 dans R[X ] sachant que i + 1 est racine dans C
EXERCICE 3. Un peu de géométrie

On désire prouver le résultat suivant :
« Si a, b et c sont trois complexes de module 1 vérifiant a + b + c = 1, alors un des ces trois
complexes vaut 1 ».
Supposons que a, b et c soient trois nombres complexes de module 1 tels que a + b + c = 1.
1
1. Justifier l’égalité : a + b1 + 1c = 1.
2. On considère le polynôme P défini par : P = (X − a)(X − b)(X − c).
Justifier l’existence d’une constante complexe α non nulle telle que : P = X 3 −X 2 +αX −α.
3. Conclure.
EXERCICE 4. Détermination d’ensemble de polynômes
1. Déterminer l’ensemble des polynômes P de K[X ] tels que : P (X + 1) = P (X ).

2. Déterminer l’ensemble des polynômes P de K[X ] tels que : P (X 2 ) = (X 2 + 1)P (X ).
3. Soit n ∈ N. Montrer qu’il existe un unique polynôme P n ∈ K[X ] tel que : P n − P n′ = X n .
EXERCICE 5. Division euclidienne

Soit n ∈ N∗. Déterminer le reste de la division euclidienne de A par B lorsque :
1. A = X 2n + 2X n + 1 et B = X 2 + 1 2. A = X 2n + 2X n + 1 et B = (X − i )2
3. A = X n + 2X − 2 et B = (X − 2)2 4. A = X n + 2X − 2 et B = (X − 3)2

EXERCICE 6. Calcul de puissances d’une matrice avec un polynôme annulateur

 
1 0 0
On pose A = 1 0 0.
1 1 1
1. Donner une relation entre A 3 , A 2 et A.
2. Méthode 1 : Montrer qu’il existe deux suites (an )n∈N et (b n )n∈N à valeurs réelles telles que :
∀n ∈ N, A n = an A + b n A 2 . En déduire l’expression de A n , pour tout n ∈ N∗ .
3. Méthode 2 : Déterminer le reste de la division euclidienne de X n par X 3 − 2X 2 + X .
En déduire l’expression de A n , pour tout n ∈ N.
EXERCICE 7. Formule de Vandermonde

Soient N1 et N2 deux éléments de N∗ et n ∈ 0, N1 + N2 .
En considérant le coefficient de X n dans le polynôme (1 + X )N1 × (1 + X )N2 , calculer :
Ã !Ã !
Xn N N2
1
k=0 k n −k
Proposer une autre démonstration de cette formule en dénombrant des tirages simultanés dans
une urne.
Sujets d’étude
EXERCICE 8. Polynômes d’interpolation de Lagrange

Soit n ∈ N. On se donne n +1 réels x0 , x1 , . . . , xn deux à deux distincts, et n +1 réels y 0 , y 1 , . . . , y n .
1. Soit k ∈ 0, n. Déterminer l’unique polynôme L k ∈ Rn [X ] tel que :
½
L k (x j ) = 0 si j 6= k
∀ j ∈ 0, n,
L k (xk ) = 1
n
X
2. En déduire que P = y k L k est l’unique polynôme P ∈ Rn [X ] tel que :
k=0
∀ j ∈ 0, n, P (x j ) = y j .
EXERCICE 9. Calcul d’un produit

Soit n ≥ 2. On pose P = (X + 1)n − 1.
1. Déterminer toutes les racines de P dans C et en déduire la factorisation de P dans C[X ].
2. On note Q le polynôme de C[X ] tel que P = XQ. A l’aide des racines de Q déterminer la
valeur de : µ ¶
n−1
Y kπ
A= sin .
k=1 n

6 Exercices 321
EXERCICE 10. Polynômes de Tchebychev

½
P 0 = 1 et P 1 = X
On considère la suite de polynômes (P n )n∈N définie par :
N
∀n ∈ , P n+2 = 2X P n+1 − P n
1. Pour tout n ∈ N, déterminer le degré et le coefficient du terme de plus haut degré de P n .
2. Déterminer le terme constant de P n et étudier la parité de P n .
3. Etablir que, pour tout n ∈ N et pour tout x ∈ R : Pn (cos x) = cos(nx).
4. En déduire les racines de P n .
5. Donner alors une expression factorisée de P n (X ).
6. À l’aide des formule d’Euler et de De Moivre donner une autre expression de P n (X ).
EXERCICE 11. Localisation des coefficients d’un polynôme
N. On note
Soit n ∈
n
z 0 , z 1 , . . . , z n les racines (n + 1)èmes de l’unité : z k = ei
2kπ
n+1 .
X
ak X k ∈ C[X ], avec an 6= 0, et on pose M = max ¯P (z k )¯.
¯ ¯
On définit P =
k=0 k∈0,n
1. Vérifier que : M > 0.

n
X
2. Soit p ∈ N fixé. Calculer (z k )p en fonction de p.
k=0
¯ ¯
¯Xn ¯
3. (a) Montrer que, pour tout n ∈ N ∗ ¯
, on a : ¯
¯k=0
¯
P (z k )¯ É (n + 1)M.
¯
(b) En déduire que : |a0 | É M.
4. Montrer que : ∀k ∈ 0, n, |ak | É M.


323
Chapitre 12
Dérivabilité des fonctions numériques
Sommaire
1 Dérivabilité d’une fonction numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
1.1 Dérivabilité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
1.2 Dérivabilité à droite ou à gauche en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
1.3 Interprétations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
1.4 Propriétés des fonctions dérivables un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
2 Dérivabilité sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
2.1 Définition et théorèmes généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
2.2 Dérivabilité des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
2.3 Opérations sur les fonctions dérivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
3 Propriétés des fonctions numériques dérivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
3.1 Lien entre extremum et dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
3.2 Théorème de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
3.3 Théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
3.4 Lien entre dérivée et monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
3.5 Théorème de la limite de la dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
4 Dérivées d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
4.1 Dérivées successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
4.2 Fonctions de classe C n , de classe C ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
4.3 Opérations sur les fonctions de classe C n /C ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
4.4 Classe de régularité des fonction usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
4.5 Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

324 C HAPITRE 12 : Dérivabilité des fonctions numériques
1 Dérivabilité d’une fonction numérique

un point.
1.1 Dérivabilité en un point

Définition 1 – Dérivabilité en un point
f (x) − f (a)
On dit que f est dérivable en a lorsque lim existe et est finie.
x→a
x6=a
x −a
f (x) − f (a) f (a) − f (x)

Dans ce cas, on pose : f ′ (a) = lim = lim .
x→a
x6=a
x −a x→a
x6=a
a−x
df
Le réel f ′ (a) est appelé nombre dérivé de f en a. On le note aussi (a).
dx
On peut toujours se ramener au voisinage de 0, en posant x = a + h :
f (x) − f (a) f (a + h) − f (a)

lim = lim = f ′ (a)
x→a
x6=a
x −a h→0 h
h6=0
f (x) − f (a)
Interprétation graphique : représente la pente de la droite passant par les points
¡ ¢ ¡ ¢ ′ x −a ¡ ¢
M x, f (x) et M0 a, f (a) . f (a) représente donc la¡ « pente¢ limite » en M0 a, f (a) , c’est-à-dire la
pente de la tangente à la courbe de f au point M0 a, f (a) .
droite (M M0 )
M0
M
tangente en M0
x x0
y = f (x)

1 Dérivabilité d’une fonction numérique 325
Exemple. f : x 7−→ px + q avec (p, q) ∈ R2. Alors f est dérivable en tout a ∈ R et f ′(a) = p.
Exemple. f : x 7−→ x n avec n ∈ N∗. Alors f est dérivable en tout a ∈ R et f ′(a) = nan−1 .
Exemple. f : x 7−→ cos(x). Alors f est dérivable en tout a ∈ R et f ′(a) = − sin(a).
Exemple. f : x 7−→ sin(x). Alors f est dérivable en tout a ∈ R et f ′(a) = cos(a).
1
Exemple. f : x 7−→ . Alors f est dérivable en tout a ∈
x
R∗ et f ′(a) = − a12 .
p 1
Exemple. f : x 7−→ x. Alors f est dérivable en tout a > 0 et f ′ (a) = p .
2 a
Proposition 2 – Dérivabilité et DL
f est dérivable en a si, et seulement si, f admet un DL d’ordre 1 au point a.
Dans ce cas :
f (a + h) = f (a) + f ′ (a) × h + o h→0 (h)
Corollaire 3 – La dérivabilité entraîne la continuité

Si f est dérivable en a, alors f est continue en a.
1.2 Dérivabilité à droite ou à gauche en un point

Définition 4 – Dérivabilité à droite en un point
f (x) − f (a)
On dit que f est dérivable à droite en a lorsque lim+ existe et est finie.
x→a x −a
f (x) − f (a)
Dans ce cas, on pose : f d′ (a) = lim+ .
x→a x −a
Le réel f d′ (a) est appelé nombre dérivé à droite de f en a.
f (x) − f (a)
On définit de même la dérivabilité à gauche en a lorsque lim− existe et est finie.
x→a x −a
La limite est notée f g′ (a) et est appelée nombre dérivé à gauche de f en a.

Théorème 5 – Lien entre dérivabilité en un point et dérivabilité à droite/gauche
On suppose que a n’est pas une extrémité de I . Alors on a équivalence de :

(i) f est dérivable en a ;
(ii) f est dérivable à droite et à gauche en a avec f g′ (a) = f d′ (a).
Dans ce cas f ′ (a) = f g′ (a) = f d′ (a).
Exemple. f : x 7−→ |x| n’est pas dérivable en 0.

½
0 si x ≤ 0
Exemple. f : x 7−→ est dérivable en 0.
x sin(x) si x > 0
1.3 Interprétations graphiques

¡ ¢
• Cas f dérivable en a. C f admet une tangente au point M0 a, f (a) d’équation :
y = f ′ (a)×(x − a)+ f (a). Dans ce cas on peut utiliser un DL n (a) pour positionner localement en
a la courbe de f et sa tangente au point a.
Exemple. Faire l’étude locale en 0 de la position de la courbe par rapport à sa tangente pour
x 7−→ ex et x 7−→ arctan(x).
• Cas f non dérivable en a. Il y a plusieurs cas possibles.

⋆ Si f est dérivable à droite en a, alors elle admet une demi-tangente à droite en a
d’équation y = f d′ (a) × (x − a) + f (a).
⋆ Si f est dérivable à gauche en x0 , alors elle admet une demi-tangente à gauche
en a d’équation y = f g′ (a) × (x − a) + f (a).
⋆ Si elle est dérivable à droite et à gauche en a, avec f d′ (a) 6= f g′ (a), alors les deux
¡ ¢
demi-tangentes ne sont pas parallèles. On dit que M0 a, f (a) est un point anguleux.
Exemple. En 0 la représentation graphique de x 7−→ |x| admet un point anguleux.
f (x) − f (a)
⋆ Si lim = ±∞ alors f n’est pas dérivable à droite en a, mais C f admet quand
x→a + x −a ¡ ¢
même une demi-tangente verticale en M0 a, f (a) .
On a le même résultat à gauche en a.
p
Exemple. x 7−→ x n’est pas dérivable à droite en 0, et sa courbe admet une tangente
verticale en O(0, 0).
f (x) − f (a) f (x) − f (a)

⋆ Si lim ou lim− n’existe pas, il n’y a d’interprétation graphique.
x→a + x −a x→a x −a

1 Dérivabilité d’une fonction numérique 327
1.4 Propriétés des fonctions dérivables un point

Dans ce paragraphe a est un point de I .
Théorème 6 – Opérations sur les fonctions dérivables en a
On suppose que f et g sont dérivables en a. Dans ce cas :

1. pour tous réels λ et µ, la fonction λ. f + µ.g est dérivable en a et :
¡ ¢′
λ. f + µ.g (a) = λ. f ′ (a) + µ.g ′ (a)
2. la fonction f × g est dérivable en a et :
( f × g )′ (a) = f ′ (a) × g (a) + f (a) × g ′ (a)
f
3. si g ne s’annule pas, la fonction est dérivable en a et :
g
µ ¶′
f f ′ (a) × g (a) − f (a) × g ′ (a)
(a) =
g g (a)2
f
B Si f ou g n’est pas dérivable en a alors il est possible que les fonctions f + g , f × g et le
g
soient quand même.
p p p
Exemple. x 7−→ x − x est dérivable en 0 alors que x 7−→ x ne l’est pas.
Théorème 7 – Composition de fonctions dérivables
On suppose que f est dérivable en a, et que g est dérivable en b = f (a). Dans ce cas, la
fonction g ◦ f est dérivable en a et :
¡ ¢
(g ◦ f )′ (a) = f ′ (a) × g ′ f (a)
B Ne pas dire que f et g sont toutes les deux dérivables en a ; à priori g n’est pas même pas
définie au point a. g doit être dérivable en b = f (a).
B Si f n’est pas dérivable en a ou si g n’est pas dérivable en f (a) alors il est possible que g ◦ f
soit tout de même dérivable en a.
p p
Exemple. x 7−→ x 4 est dérivable en 0 bien que x 7−→ x ne le soit pas.

2 Dérivabilité sur un intervalle

un point.
2.1 Définition et théorèmes généraux
Définition 8 – Dérivabilité sur un intervalle

On dit que f est dérivable sur l’intervalle I lorsque f est dérivable en tout point a ∈ I .
Exemple. f dérivable sur [0, +∞[ signifie que f est dérivable en tout a > 0, et que f est
dérivable à droite en 0.
Exemple. f dérivable sur ]0, +∞[ signifie que f est dérivable en tout a > 0.
Exemple. f dérivable sur ]1, 2] signifie que f est dérivable en tout a ∈]1, 2[, et que f est
dérivable à gauche en 2.
Définition 9 – Dérivabilité sur une union d’intervalles

On se donne une famille d’intervalles (I j ) j ∈J deux à deux disjoints, et tels que l’union de
deux d’entre eux ne donne pas un [ intervalle.
On dit que f est dérivable sur A = I j lorsque, pour tout j ∈ J , f est dérivable sur I j .
j ∈J
Exemple. f dérivable sur R∗ signifie que f est dérivable sur ]−∞, 0[ et sur ]0, +∞[, donc que
f est dérivable en tout a < 0 et en tout a > 0.
B Si f est dérivable sur deux intervalles I et J alors elle peut ne pas être dérivable sur leur union
I ∪ J (si I ∪ J est encore un intervalle).
R
Par exemple si f dérivable sur ] − ∞, 0[ et [0, +∞[ alors ] − ∞, 0[∪[0, +∞[= , mais f peut ne pas
R
être dérivable sur car on ne sait pas si elle est dérivable à gauche en 0.
B Le raisonnement naïf consistant à calculer f ′ (x) et à regarder pour quelles valeurs de x cette
fonction est définie est faux. Il ne donne pas la dérivabilité de la fonction.
Par exemple le raisonnement :
p 1
« pour f (x) = x, on a f ′ (x) = p , et donc f n’est pas dérivable à droite en 0 »
2 x
n’est pas correct (même s’il donne le bon résultat).
Définition 10 – Fonction dérivée

Si f est dérivable sur une partie A de R, on appelle fonction dérivée de f l’application :
f ′ : A −→ R
x 7−→ f ′ (x)

2 Dérivabilité sur un intervalle 329
Théorème 11 – Une fonction dérivable est continue

Si f est dérivable sur une partie A de R, alors f est continue sur A.
2.2 Dérivabilité des fonctions usuelles

• La fonction x 7−→ ⌊x⌋ est dérivable sur R\Z. Aux points de Z, elle est seulement dérivable
à droite.
• Les fonctions polynômes sont dérivables sur R.

Exemple. La fonction x 7−→ x 3 − x + 1 est dérivable sur R.
• Les fractions rationnelles ( = quotient de polynômes) sont dérivables sur leur ensemble
de définition.
x 5 + 3x 2 + 2x − 1
(x − 1)3 x
est dérivable sur R\{0; 1} et la fonction
x 7−→
1
x2 + x + 1
est dérivable sur R.
• Les fonctions cos et sin sont dérivables sur R.
• Les fonctions arccos et arcsin sont dérivables sur ] − 1, 1[ et ne le sont pas en −1 et 1.
nπ o
• La fonction tan est dérivable sur Dtan = R\ 2
+ kπ; k ∈ Z .
• La fonction arctan est dérivable sur R.

• La fonction ln est dérivable sur R∗+, et la fonction exp est dérivable sur R.
• Les fonctions ch et sh sont dérivables sur R.
• La fonction x 7−→ |x| est dérivable sur R∗ . Elle n’est pas dérivable en 0.
• Les fonctions x 7−→ x α , où α ∈ R, sont dérivables au moins sur R∗+. En 0, on a le résultat suivant.
Théorème 12 – Dérivabilité de la fonction x 7−→ x α en 0

1. Pour α ≥ 1, la fonction x 7−→ x α est dérivable en 0 et :
∀x ∈ R+, d ¡ α¢
dx
x = αx α−1
2. Pour α < 1 et α 6= 0, la fonction x 7−→ x α n’est pas dérivable en 0.

Pour α = 0, la fonction est constante, donc dérivable sur R.

p
Exemple. x 7−→ x continue sur R+ mais dérivable seulement sur R∗+, et x 7−→ x 3
2 dérivable
sur R+ .
B Pour des puissances entières, l’ensemble de dérivabilité peut être beaucoup plus grand que
R +
R
ou ∗+ .
R 1
R
Par exemple x 7−→ x 2 est continue sur (polynôme), et x 7−→ 3 est continue sur ∗ (fraction
x
rationnelle).
On peut donc retenir que pour 0 < α < 1, la fonction x 7−→ x α est continue mais non dérivable
(à droite) en 0.
2.3 Opérations sur les fonctions dérivables
Théorème 13 – Opérations sur les fonctions dérivables en a
On suppose que f et g sont dérivables sur I . Dans ce cas :

1. pour tous réels λ et µ, la fonction λ. f + µ.g est dérivable sur I ;
2. la fonction f × g est dérivable sur I ;
f
3. si g ne s’annule pas sur I , la fonction est dérivable sur I .
g
Théorème 14 – Composition de fonctions dérivables
On suppose que f est dérivable sur I , et que g est dérivable sur J . Dans ce cas, la fonction
g ◦ f est dérivable sur I .
B Ne pas dire que f et g sont toutes les deux dérivables sur I ; à priori g n’est pas même pas
définie sur I . g doit être dérivable sur J tel que f (I ) ⊆ J .

2 Dérivabilité sur un intervalle 331
Important. Pour démontrer simplement qu’une fonction est dérivable, on utilisera désormais
la dérivabilité des fonctions usuelles et les théorèmes précédents.
p
Exemple. La fonction ϕ : x 7−→ ln(1 + x 4 ) est définie et dérivable sur R.
Théorème 15 – Dérivabilité d’une bijection réciproque en un point
On suppose que f est une fonction continue et strictement monotone sur l’intervalle I .
Soit a ∈ I tel que f est dérivable en a. Alors :
• si f ′ (a) 6= 0 alors f −1 est dérivable en b = f (a) et :
¡ ¢′ 1 1
f −1 (b) = ′◦ −1
= ′
f f (b) f (a)
• si f ′ (a) = 0, alors f −1 n’est pas dérivable en b = f (a).
Dans le dernier cas, la courbe de f −1 admet une tangente verticale au point d’abscisse b.
B Si f n’est pas dérivable en a, on ne peut rien dire sur la dérivabilité de f −1 en b = f (a).

p
Par exemple x 7−→ x n’est pas dérivable en 0, mais x 7−→ x 2 l’est.
Corollaire 16 – Dérivabilité d’une bijection réciproque sur un intervalle
R
Soient I un intervalle de et f une fonction dérivable et strictement monotone sur I , et
telle que f ′ ne s’annule pas sur I .
Alors f −1 est dérivable sur J = f (I ) et :
¡ ¢′ 1
∀y ∈ J , f −1 (y) =
f ′ ◦ f −1 (y)
Exemple. arctan est dérivable sur R. arcsin et arccos sont dérivables sur ] − 1, 1[ et ne sont
pas dérivable en −1 et 1.
Important. Pour dériver une égalité du type f (x) = g (x), il faut que celle-ci soit vraie pour tout
x dans un intervalle I (et que f et g soient dérivables sur cet intervalle) :
³ ´ ³ ´
∀x ∈ I , f (x) = g (x) =⇒ ∀x ∈ I , f ′ (x) = g ′(x)
Par contre si l’égalité n’est vraie qu’en un point, dériver revient à écrire 0 = 0 (on dérive deux
constantes). En particulier f (0) = 1 ne donne pas f ′ (0) = 0.

3 Propriétés des fonctions numériques dérivables

Dans tout ce paragraphe, on considère une fonction f définie sur un intervalle I .
3.1 Lien entre extremum et dérivée

Théorème 17 – Condition nécessaire d’extremum local
Soit f fonction dérivable sur un intervalle I et telle que :
(i) f admet un extremum local en a ∈ I ;
◦
(ii) a ∈ I , ie a n’est pas une borne de I .
Alors f ′ (a) = 0. La tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse a est donc
horizontale.
3.2 Théorème de Rolle

Intuitivement, pour une fonction f vérifiant f (a) = f (b), on voit sur la figure ci-dessous que sa
courbe admet au moins une tangente horizontale.
f (a) = f (b)
Cf
a c b
Théorème 18 – Théorème de Rolle

Soit f : [a, b] −→ R telle que :
(i) f est continue sur [a, b] ;
(ii) f est dérivable sur ]a, b[ ;
(iii) f (a) = f (b).
Alors :
∃c ∈]a, b[; f ′ (c) = 0
Exemple. Si P ∈ R[X ] est scindé à racines simples, montrer que P ′ est lui aussi scindé à
racines simples. En considérant le polynôme X 3 − 3X 2 + 3X montrer que ce résultat est faux
C
dans [X ].

3 Propriétés des fonctions numériques dérivables 333
3.3 Théorème des accroissements finis

Intuitivement, pour une fonction f , on voit sur la figure ci-dessous
¡ ¢que¡sa courbe
¢ admet au
moins une tangente parallèle à la droite passant par les points a, f (a) et a, f (a) .
f (b)
Cf
f (a)
a c b
Théorème 19 – Théorème des accroissements finis

Soit f : [a, b] −→ R telle que :
(i) f est continue sur [a, b]
(ii) f est dérivable sur ]a, b[
Alors :
f (a) − f (b) f (b) − f (a)
∃c ∈]a, b[; f ′ (c) = =
a −b b−a
Ce théorème permet d’obtenir facilement des inégalités non triviales.

x
Exemple. Montrer que pour tout x ≥ 0, ≤ ln(1 + x) ≤ x.
1+x
Corollaire 20 – Inégalité des accroissements finis
On suppose que :
(i) f est dérivable sur I
(ii) ∃M ∈ R+ tel que ∀x ∈ I , | f ′(x)| ≤ M
Alors :
∀(x, y) ∈ I 2, | f (y) − f (x)| ≤ M × |y − x|
Une fonction vérifiant l’inégalité précédente est appelée fonction M-lispschitzienne.
R
Exemple. Montrer que : ∀t ∈ , | sin(t )| ≤ |t |.
h πi 2
On peut aussi montrer que ∀t ∈ 0, , sin(t ) ≥ t .
2 π

3.4 Lien entre dérivée et monotonie
Théorème 21 – Lien entre dérivée et monotonie au sens large
Soit f : [a, b] −→ R continue sur [a, b]³ et dérivable sur ]a, b[.
´
Alors :
1. f est croissante sur [a, b] ⇐⇒ ∀x ∈]a, b[, f ′ (x) ≥ 0
³ ´
2. f est décroissante sur [a, b] ⇐⇒ ∀x ∈]a, b[, f ′ (x) ≤ 0
³ ´
3. f est constante sur [a, b] ⇐⇒ ∀x ∈]a, b[, f ′ (x) = 0
1
B Ces résultats ne s’appliquent que sur un intervalle. La fonction x 7−→ a une dérivée négative
x
sur R∗, mais n’est pas décroissante sur R∗.
µ ¶ ½ π
Exemple. Démontrer que ∀x ∈ R ∗
, arctan(x) + arctan
1
x
= 2
− π2
si x > 0
si x < 0
Théorème 22 – Lien entre dérivée et stricte monotonie
³
R
Soit f : [a, b] −→ continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Alors :
´
1. ∀x ∈]a, b[, f ′ (x) > 0 =⇒ f est strictement croissante sur [a, b].
³ ´
2. ∀x ∈]a, b[, f ′ (x) < 0 =⇒ f est strictement décroissante sur [a, b].
B Les réciproques sont fausses. Considérer par exemple f : x 7−→ x 3 sur [−1, 1].
Corollaire 23 – Lien entre dérivée et stricte monotonie sur un intervalle

Soient I un intervalle de R et f : I −→ R telle que :
(i) f est continue sur I
(ii) f est dérivable sur I sauf éventuellement en des points isolés
Alors :
1. f ′ (x) > 0 pour tout x ∈ I sauf éventuellement en des points isolés
=⇒ f est strictement croissante sur I .
2. f ′ (x) < 0 pour tout x ∈ I sauf éventuellement en des points isolés
=⇒ f est strictement décroissante sur I .

3 Propriétés des fonctions numériques dérivables 335
3.5 Théorème de la limite de la dérivée

Soit a un point de I et f une fonction dérivable sur l’intervalle I .
Théorème 24 – Théorème de la limite de la dérivée (ou petite règle de l’Hospital)
On suppose que :
(ii) f est dérivable sur I \{a} ;
(iii) lim
x→a
f ′ (x) = ℓ où ℓ est réel ou ±∞.
x6=a
Dans ce cas, on a :
f (x) − f (a)
lim =ℓ
x→a
x6=a
x −a
Si ℓ est réel, alors f est dérivable en a avec f ′ (a) = ℓ. Dans ce cas f est donc dérivable sur tout
f (x) − f (a)
l’intervalle I . Ce résultat n’est pas évident car f ′ (a) = lim alors que
x→a
x6=a
x −a
Ã !
f (t ) − f (x)
ℓ = lim lim .
x→a
x6=a
t →x
t 6=x
t −x
Si ℓ = ±∞, alors f n’est pas dérivable en a, et C f admet des demi-tangentes verticales en ce

point.
B On peut donc corriger le raisonnement (faux) suivant :
p 1
Pour f (x) = x, on a f ′ (x) = p .
2 x
On voit que D f ′ = R ∗
+ ∗ donc f est dérivable sur R∗
+ et n’est pas dérivable à droite en 0.
On peut désormais écrire :
f : x 7−→
p
x est continue sur l’intervalle I = R+ et dérivable sur I \{0} = R∗+,
1
avec : ∀x > 0, f ′ (x) = p .
2 x
De plus lim f ′ (x) = +∞, donc, d’après le théorème de la limite de la dérivée,
x→0+
f n’est pas dérivable à droite en 0 .
B Ne pas dire qu’on prolonge la dérivée f ′ par continuité. On ne lui donne pas une valeur
arbitraire mais on calcule sa valeur en utilisant la définition du nombre dérivé. On ne dit pas
on choisit f ′ (a) = ℓ mais on trouve par le calcul que f ′ (a) = ℓ.
Exemple. Déterminer le solutions sur R de l’équation différentielle x 2 y ′ − y = 0.

B Si lim f ′ (x) n’existe pas, alors on ne peut rien dire dans le cas général, le théorème ne
x→a
x6=a
s’applique pas.
Exemple. Vérifierµ que

¶ le théorème de la limite de la dérivée ne s’applique pas avec la
1
fonction x 7−→ x 2 sin prolongée par continuité en 0.
x
Corollaire 25 – Prolongement du caractère C 1

On suppose que :
(ii) f est de classe C 1 sur I \{a} ;
(iii) lim f ′ (x) = ℓ où ℓ est réel.
x→a
Dans ce cas, f est de classe C 1 sur I et les calculs donnent que f ′ (a) = ℓ.
½
0 si x ≤ 0
Exemple. Soit la fonction f définie par f (x) = −1/x 2
e si x > 0
Montrer f est de classe C sur 1
R.
4 Dérivées d’ordre supérieur

R
Dans cette section A est une union d’intervalle de , deux à deux disjoints et tels que l’union de
deux entre eux n’est pas un intervalle. n est un entier naturel non nul.
On suppose que f est une fonction définie sur A.
4.1 Dérivées successives

On suppose que n ∈ N∗ et que f est une fonction n fois dérivable sur la partie A.
Définition 26 – Dérivées successives
On définit la dérivée n-ième de f sur A par récurrence :
¡ ¢′
f (0) = f et f (n) = f (n−1)
On a donc f (0) = f , f (1) = f ′ et f (2) = f ′′
dn f
On note aussi = f (n)
d xn
Si p ∈ 0, n : µ ¶ µ ¶
(n) d p d n−p f d n−p d p f
f = =
d x p d x n−p d x n−p d x p

4 Dérivées d’ordre supérieur 337
En particulier : µ ¶ µ ¶
(n+1) d dn f dn d f
f = =
d x d xn d xn d x
Ces dernières formules permettent d’effectuer des preuves par récurrence.
Exemple. Montrer que, pour

³ tout
´ n∈ N, la fonction x 7−→ cos(x) est n fois dérivable sur R
avec ∀x ∈ R, cos (n) π
(x) = cos x + n .
2
4.2 Fonctions de classe C n , de classe C ∞
Définition 27 – Fonctions de classe C n

On dit que f est de classe C n sur A lorsque :
(i) f est n fois dérivable sur A ;
(ii) ∀k ∈ 0, n, f (k) est continue sur A.
Donc : f est de classe C 0 sur A ⇐⇒ f est continue sur A
Et : f est de classe C 1 sur A ⇐⇒ f est dérivable sur A et f ′ est continue sur A.
Dans ce dernier cas, on dit aussi que f est continûment dérivable sur A.
 µ ¶
 1
x 2 sin
Exemple. La fonction f : x 7−→

x
si x 6= 0
est dérivable sur R mais n’est pas de
0 si x = 0
classe C 1 sur R.
R
Notations : On note D n (A, ) l’ensemble des fonctions n fois dérivables sur A, et C n (A, ) R
l’ensemble des fonctions de classe C n sur A. Alors :
R R R R R
C 0 (A, ) ) D 1 (A, ) ) C 1 (A, ) ) · · · ) D n (A, ) ) C n (A, ) ) . . .
R
Si f ∈ C n (A, ), alors pour tout p ∈ 0, n : f (p) ∈ C n−p (A, ) R
Proposition 28 – Caractérisation des fonctions de classe C n
N
Soient n ∈ et A une partie de . Alors : R
f est classe C n sur A ⇐⇒ f est n dérivable sur A et f (n) est continue sur A.
Définition 29 – Fonctions de classe C ∞

On dit que f est de classe C ∞ sur A lorsque, pour tout n ∈ N, f est C n sur A.
On dit aussi que f est indéfiniment dérivable sur A.

R
Notation : On note C ∞ (A, ) l’ensemble des fonctions de classe C ∞ sur A.
N R
Pour tout n ∈ : C ∞ (A, ) ( C n (A, ). R
R
Si f ∈ C ∞ (A, ), alors pour tout n ∈ N : f (n) ∈ C ∞(A, R)
4.3 Opérations sur les fonctions de classe C n /C ∞
Dans cette section, n est un entier naturel.
Théorème 30 – Combinaison linéaire de fonctions de classe C n

Soient f et g deux fonctions de classe C n sur une même partie A.
R
Pour tout (λ, µ) ∈ 2 , la fonction λ. f + µ.g est de classe C n sur A et on a :
(λ. f + µ.g )(n) = λ. f (n) + µ.g (n)
Si f et g sont de classe C ∞ sur A, alors la fonction λ. f + µ.g est de classe C ∞ sur A.
Théorème 31 – Théorème de Leibnitz

Soient f et g deux fonctions de classe C n sur une même partie A.
Alors f × g est C n sur A et :
Ã !
Xn n
∀x ∈ A, ( f × g )(n) (x) = . f (k) (x) × g (n−k) (x)
k=0 k
Si f et g sont de classe C ∞ sur une partie A, alors f × g est de classe C ∞ sur A.
n
Exemple. Pour tout n ∈ N et tout x ∈ R, on pose L n (x) = ex × ddx n ¡e−x x n ¢ (polynômes de
Laguerre). Montrer que L n ∈ R[X ] et que son terme dominant est (−1)n X n .
Théorème 32 – Composition de fonctions de classe C n
Soient f une fonction de classe C n sur une partie A, et g une fonction de classe C n sur une
partie B telle que f (A) ⊆ B.
Alors g ◦ f est C n sur A.
Si f est de classe C ∞ sur A, et g est de classe C ∞ sur B, alors g ◦ f est de classe C ∞ sur A.

Corollaire 33 – Quotient de fonctions de classe C n
Soient f et g deux fonctions de classe C n sur une même partie A, telle que g ne s’annule
pas sur A.
f
Alors est C n sur A.
g
f
Si f et g sont de classe C ∞ sur A, et si g ne s’annule pas sur A, alors est de classe C ∞ sur A.
g
Définition 34 – Difféomorphisme
Soient f une fonction définie sur un intervalle I et n ∈ N ∪ {+∞}. On note J = f (I ). On dit

que f est un C n -difféomorphisme lorsque :
(i) f est bijective de I sur J ;
(ii) f est de classe C n sur I ;
(iii) f −1 est de classe C n sur J .
On remarque que si f est un C n -difféomorphisme de I sur J alors f −1 est aussi un C n -difféomorphisme

mais de J sur I .
Théorème 35 – CNS de difféomorphisme
N
Soient f une fonction de classe C n sur un intervalle I , avec n ∈ ∗ ∪{+∞}. On note J = f (I ).
Alors :
f ′ ne s’annule pas sur I ⇐⇒ f est un C n -difféomorphisme de I sur J
i π πh
Exemple. tan est un C ∞ -difféomorphisme de − ,
2 2
sur R.
B Ce résultat ne s’applique pas si n = 0.
4.4 Classe de régularité des fonction usuelles

• Les fonctions polynômes sont C ∞ sur R.
• Les fractions rationnelles ( = quotient de polynômes) sont C ∞ sur leur ensemble de définition.
• Les fonctions cos et sin sont C ∞ sur R et on a :

³ π´ ³ π´
∀k ∈ N, ∀x ∈ R, cos (k)
(x) = cos x + k
2
et sin (k)
(x) = sin x + k
2
• Les fonctions arccos et arcsin sont C ∞ sur ] − 1, 1[.
nπ . o
La fonction tan est C ∞ sur Dtan = \
2
R+ kπ k ∈ . Z
• arctan est C ∞ sur R.
• La fonction ln est C ∞ sur R∗+ et on a :

¢(k) (−1)k−1 (k − 1)!
∀k ∈N , ∀x > −1,
∗
¡
ln(1 + x) =
(1 + x)k
• La fonction exp est C ∞ sur R (vrai en base quelconque) et on a :
∀k ∈ N, ∀x ∈ R, ex
¡ ¢(k)
= ex
• Les fonctions ch et sh sont C ∞ sur R.
• La fonction x 7−→ |x| est continue sur R, mais C ∞ seulement sur R∗ .
• Les fonctions x 7−→ x α , où α ∈ R, sont C ∞ au moins sur R∗+ .
Pour tout α ∈ R, la fonction x 7−→ (1 + x)α est donc C ∞ sur ] − 1, +∞[ (au moins), et on a :
∀k ∈ N, ∀x > −1, (1 + x)α

¡ ¢(k)
= α × (α − 1) × (α − 2) × · · · × (α − k + 2) × (α − k + 1) × (1 + x)α−k
1
Exemple. Simplifier la formule dans le cas α = .
2
Ã !
α × (α − 1) × (α − 2) × · · · × (α − k + 2) × (α − k + 1) α
B Parfois on note = . Mais attention α! n’est
k! k
pas défini si α ∉ .N
4.5 Formule de Taylor-Young
Cette formule donne un développement limité.
Théorème 36 – Formule de Taylor-Young
Soient n ∈ N, a ∈ R et et f une fonction de classe C n sur un voisinage de a. Alors :

Xn f (k) (a) ¡ ¢
f (x) = (x − a)k + o x→a (x − a)n
k=0 k!
En posant x = a + h, on obtient :
Xn f (k) (a) ¡ ¢
f (a + h) = h k + o h→0 h n+1
k=0 k!
Exemple. Donner le DL 3 (0) de tan(x) et en déduire son DL 4 (0).

Retrouver ce résultat en utilisant une équation différentielle dont tan est solution.
Exemple. Donner le DL 3 (0) de arctan(x).

Retrouver le résultat en utilisant que tan(arctan(x)) = x.
f (a + h) + f (a − h) − 2 f (a)
Exemple. Si f est C 2 au voisinage de a, alors : f ′′ (a) = lim .
h→0 h2
h6=0

Corollaire 37 – Existence de développement limité à tout ordre
R
Soient a ∈ et f une fonction de classe C ∞ sur un voisinage de a.
Alors f admet en a un développement limité à tout ordre.
B Si f a un DL n (a) alors f peut ne pas être n fois dérivable en a (sauf si n = 1).

µ ¶
1
Exemple. Si f (x) = x sin 2 alors f (x) = o x→0 (x 2 ) mais f n’est pas deux fois
3
x
dérivable en 0.

I est un intervalle de R et f est une fonction définie sur I et à valeurs dans C.
Définition 38 – Dérivabilité en un point a
f (x) − f (a)
On dit que f est dérivable en a ∈ I lorsque lim existe et est finie.
x→a
x6=a
x −a
On peut définir de même les notions de dérivabilité à droite ou à gauche.
Définition 39 – Dérivabilité sur un intervalle

On dit que f est dérivable sur l’intervalle I lorsque f est dérivable en tout point a ∈ I .
On définit alors la fonction dérivée f ′ : I −→ C.

Théorème 40 – Lien avec les parties réelles et imaginaires
(i) f est dérivable sur I ;
(ii) Re( f ) et Im( f ) sont dérivables sur I .
Dans ce cas :
f ′ = Re( f )′ + i Im( f )′
On en déduit que Re( f )′ = Re( f ′ ) et Im( f )′ = Im( f ′ ).
C
Exemple. Pour tout λ ∈ , la fonction t 7−→ eλt est dérivable sur R et ¡eλt ¢′ = λeλt .
Dans le théorème suivant on se donne une autre fonction g définie sur l’intervalle I et à valeurs
dans .C

Théorème 41 – Opérations sur les fonctions dérivables
Si f et g sont dérivables sur I alors les fonctions λ f , f + g , f × g et f sont aussi

dérivables sur I .
Si f ne s’annule pas, alors | f | est dérivable sur I .
f
Si g ne s’annule pas, alors est dérivable sur I .
g
Le théorème suivant se généralise pour les fonctions à valeurs complexes.
Théorème 42 – Inégalité des accroissements finis

¯ ¯
Si f est dérivable sur I et si il existe M > 0 tel que ∀x ∈ I , ¯ f ′ (x)¯ ≤ M alors :
¯ ¯
∀x ∈ I , ¯ f (x) − f (y)¯ ≤ M × |x − y|
On dit que la fonction f est M-lipschitzienne.
R2, ¯ei x − ei y ¯ ≤ |x − y|.

¯ ¯
Exemple. Montrer que : ∀(x, y) ∈
B Le théorème de Rolle n’est plus valable : la fonction t 7−→ ei t prend la valeur 1 en 0 et 2π, mais
sa dérivée ne s’annule jamais.


➥ Connaître la notion de dérivabilité, en un point de l’ensemble de continuité.
✪ L’utiliser pour calculer une limite (taux d’accroissement).
f (x) − f (a)
✪ Vérifier que f est dérivable en a en calculant lim .
x→a
x6=a
x −a
✪ Vérifier que f est dérivable en a en montrant qu’elle est dérivable à gauche et à droite, et
que f g′ (a) = f d′ (a).
✪ Utiliser le théorème de la limite de la dérivée (ou petite règle de l’Hospital).
➥ Savoir montrer qu’une fonction est dérivable sur un intervalle.

✪ Utiliser les théorèmes généraux sur les fonctions dérivables.
✪ Pour un quotient de fonctions continues ne pas oublier que le dénominateur de doit pas
s’annuler.
✪ Pour une composée de fonctions continues ne pas oublier que les intervalles doivent bien
« s’emboîter ».
✪ Pour une bijection réciproque f −1 sur un intervalle J , il suffit que la dérivée f ′ ne s’annule
par sur l’intervalle I = f −1 (J ).
➥ Savoir montrer qu’une fonction est de classe C n ou C ∞ sur un intervalle.

✪ Utiliser les théorèmes généraux sur les fonctions de classe C n ou C ∞ .
✪ Procéder par récurrence en conjecturant l’expression de f (n) pour montrer que f est de
classe C ∞ .
✪ Pour un produit utiliser le théorème de Leibnitz.
➥ Connaître les deux théorèmes fondamentaux sur les fonctions dérivables.

✪ Le théorème de Rolle qui permet de montrer que la dérivée d’une fonction s’annule au
moins une fois.
✪ Le théorème des accroissements finis qui donne des encadrements sur f à partir
d’encadrements sur f ′ .
➥ Connaître la formule de Taylor-Young.

6 Exercices
Dérivée et étude de
fonctions
EXERCICE 1. Propriété d’une dérivée

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I .
1. Établir que f et f ′ sont de parités contraires.
2. Montrer que f ′ est de même périodicité que f .
EXERCICE 2. Études de fonctions
x4
1. Déterminer le nombre de solutions de l’équation 2 + ln x = .
4
2. On note h l’application de + dans R R
définie par h(0) = 0 et pour tout x > 0, h(x) =
R
x ln(x). Montrer que h est continue sur + et tracer l’allure de son graphe en précisant
les tangentes au point d’abscisse 0 et 1.
x
3. On pose f (x) = 1+|x| . Montrer que f est bijective sur R et déterminer f −1.
EXERCICE 3. Dérivabilité d’une fonction
Pour chacune des fonctions suivantes déterminer son ensemble de continuité (la prolonger
éventuellement par continuité aux bornes de son ensemble de définition), son ensemble de
dérivabilité, puis calculer sa dérivée. Sont-elles de classe C 1 là où elles sont dérivables ?
p ½
1−x 2 1 − ex si x < 0 p
1. x 7−→ arctan x 2. x 7−→ 3. x 7−→ |1 − x 2 |
− ln(1 + x) si x > 0
EXERCICE 4. Fonctions circulaires réciproques

Montrer que pour tout x ∈ R :

µ ¶  −2 arctan(x) − π si x < −1
2x
arcsin = 2 arctan(x) si − 1 ≤ x ≤ 1
1 + x2 
−2 arctan(x) + π si x > 1
EXERCICE 5. Recollement de solutions pour une équation différentielle

Résoudre sur R les équations différentielles suivantes :
1. x y ′ − y = x 2. x y ′ + y = 1
3. x y ′ − 2y = x 4 4. x(1 + x 2 )y ′ − (x 2 − 1)y = −2x

6 Exercices 345
Théorèmes de Rolle et
des accroissements
finis
EXERCICE 6. Un critère de monotonie

Soit f une fonction continue sur R+, dérivable sur R∗+, telle que f (0) = 0 et f ′ croissante sur R∗+.
Établir que :
f (x)
∀x > 0, ≤ f ′ (x).
x
En déduire que la fonction g : x 7−→
f (x)
x
est croissante sur R∗+.
EXERCICE 7. Approximation de e
n 1
N R
1 1 X
Pour tout n ∈ , on pose u n = 1 + + · · · + = et on définit f n : [0, 1] −→ par f n (x) =
1! n! k=0 k!
µ ¶
x xn
e−x 1 + + · · · + .
1! n!
En appliquant l’inégalité des accroissements finis à la fonction f n sur [0, 1], montrer que u n −→
n→+∞
e.
EXERCICE 8. Équivalents de sommes
1. (a) Montrer que :

∀n ∈ N∗, 1
n +1
≤ ln(n + 1) − ln(n) ≤
1
n
Xn 1
(b) En déduire un équivalent de la suite (Hn )n≥1 définie par : Hn = .
k=1 k
2. Soit α ∈]0, 1[.
(a) Établir que :
1−α 1−α 1−α 1−α
∀n ≥ 1, ≤ (n + 1) − n ≤ .
(n + 1)α nα
Xn 1
(b) En déduire un équivalent de la suite (Hn )n≥1 définie par : Hn =
k=1 k
α
EXERCICE 9. Étude de suites récurrentes
1. On considère la fonction f : R∗+ −→ R définie par f (x) = 4 − 41 ln(x).

(a) Montrer que l’équation f (x) = x a une unique solution α sur R∗+ puis que α ∈]3, 4[.
1
(b) Montrer que ]3, 4[ est f -stable et que ∀x ∈]3, 4[, | f ′ (x)| ≤ .
12
N
(c) Soit (xn ) la suite définie par x0 ∈]3, 4[ et ∀n ∈ , xn+1 = f (xn ).
Montrer que (xn ) converge vers α et trouver une appoximation de α à 10−5 près.

2. On considère la fonction f : R∗+ −→ R définie par f (x) = 2 + x12 .

¸ ·
(a) Montrer que l’équation f (x) = x a une unique solution β sur R∗
+
9
puis que β ∈ 2, .
4
¸ · ¸ ·
9 9 1
(b) Montrer que 2, est f -stable et que ∀x ∈ 2, , | f ′ (x)| ≤ .
4 4 4
N
(c) Soit (u n ) la suite définie par u 0 6= 0 et ∀n ∈ , u n+1 = f (u n ).
9
Montrer que ∀n ≥ 1, u n > 2 puis que ∀n ≥ 2, 2 < u n < .
4
En étudiant les sous-suites (u 2n ) et (u 2n+1 ), montrer que (u n ) converge vers β et
trouver une appoximation de β à 10−9 près.
EXERCICE 10. Règle de l’Hospital
1. Soient f et g deux fonctions définies et continues sur [a, b[, dérivables sur ]a, b[, et telles
que g ′ ne s’annule pas sur ]a, b[.
f ′ (x) f (x) − f (a) f ′ (x)
Si lim+ ′ existe alors montrer que lim+ = lim+ ′ .
x→a g (x) x→a g (x) − g (a) x→a g (x)
Indication
¡ : pour¢¡ x > a, appliquer
¢ ¡ le théorème
¢¡ de Rolle
¢ entre a et x à la fonction
t 7−→ f (t ) − f (a) g (x) − g (a) − g (t ) − g (a) f (x) − f (a) .
cos(2x) − 1
2. Calculer lim+ 3 avec la règle de l’Hospital.
x→0 x + 5x 2
2
3. En considérant les fonction f et g définies par f (x) = x 4 et g (x) = x 5 e−i /x , vérifier que la
règle ne s’applique pas pour des fonctions à valeurs complexes.
Dérivées d’ordres
supérieurs
EXERCICE 11. Théorème de Rolle en cascade
N
1. Soient n ∈ ∗ et f une fonction n fois dérivable sur [a, b], s’annulant en n + 1 points
distincts de [a, b]. Montrer que f (n) s’annule au moins une fois sur ]a, b[.
N
2. Soient n ∈ ∗ et a, b deux réels tels que a < b. On considère f une fonction de classe C n
sur [a, b] telle que :
∀k ∈ 0, n − 1, f (k) (a) = f (k) (b) = 0.
Montrer que f (n) s’annule au moins n fois sur ]a, b[.
N
Application : pour n ∈ ∗ , on note P n = (X + 1)n (X − 1)n et L n = P n(n) (polynômes de
Legendre). Montrer que L n admet n racines réelles disctinctes et qu’elles appartiennent
à l’intervalle ] − 1, 1[.
EXERCICE 12. Calculs de dérivées successives

Montrer que les fonctions suivantes sont de classe C ∞ sur leur ensemble de définition et
1 1 1
déterminer leurs dérivées successives : x 7→ , x 7→ et x 7→ .
1−x 1+x 1 − x2

6 Exercices 347
EXERCICE 13. Prolongement C ∞

(
0 si x ≤ 0
Soit f : R −→ R définie par f (x) = 1
e − x si x > 0.
1. Montrer que f est de classe C ∞ sur R∗+ et qu’il existe une suite de polynômes (Pn )n∈N
telle que µ ¶
N, ∀x > 0,
∀n ∈ f (n)
(x) = P n
1 −1
x
e x.
2. En déduire que f est C ∞ sur R.
Sujets d’étude
EXERCICE 14. Croissance polynômiale

Soit f : [a, b] −→ R de classe C 2 telle que f (a) = f (b) = 0.
1. Montrer que :
(x − a)(x − b) ′′
∀x ∈ [a, b], ∃c ∈]a, b[; f (x) = f (c)
2
A
Indication : on considèrera la fonction ϕ(t ) = f (t ) − (t − a)(t − b) où A est une constante
2
bien choisie.
2. En déduire une constante M telle que :
(x − a)(b − x)
∀x ∈ [a, b], | f (x)| ≤ M
2
EXERCICE 15. Suites implicites

1 1
On pose : ∀t > 0, g (t ) = e− t .
t
1. Montrer que g peut-être prolongée en 0 en une fonction dérivable à droite en 0.
N
2. Soit n ∈ ∗ . Montrer que pour n assez grand, l’équation (E n ) : g (t ) =
1
n
admet deux
R
solutions xn et y n sur + vérifiant : 0 < xn < 1 < y n .
3. Donner la monotonie et la limite des suites (xn ) et (y n ).
EXERCICE 16. Suite récurrente

On considère la fonction f définie sur R∗+ par :

 x + 1 ln(x)
× si x 6= 1
f (x) =
 x −1 1 2 si x = 1
1. Montrer que f est C 1 sur son ensemble de définition.

2. Montrer que ∀x > 0, ln(x) É x − 1 avec égalité si et seulement si x = 1.
Construire le tableau de variations de f et montrer que : ∀x > 1, f (x) < x.

N
3. Soit a > 1. Montrer que la suite (xn )n∈N définie par x0 = a et ∀n ∈ , xn+1 = f (xn ) est bien
définie et à valeurs dans ]1, +∞[. Établir qu’elle converge et déterminer sa limite ℓ.
4. Montrer qu’il existe un entier n 0 tel que :
1
∀n Ê n 0 , |xn+1 − ℓ| É |xn − ℓ|
3
En déduire que :
1
∀n Ê n 0 , |xn − ℓ| É |xn0 − ℓ|
3n−n0
¡ 1
¢
5. En déduire que : xn = ℓ+o 2n
.
n→+∞
EXERCICE 17. Dérivabilité d’une bijection réciproque

On définit les deux fonctions ϕ : [0, 2π] −→ [0, 2π] et ψ : [0, 2π] −→ R par , ϕ(t ) = t − sin(t ) et
ψ(t ) = 1 − cos(t ).
1. Montrer que ϕ est C 1 sur [0, 2π] et qu’elle admet une fonction réciproque ϕ−1 qui est
continue sur [0, 2π] et dérivable sur ]0, 2π[.
On définit f : [0, 2π] −→ R par f (t ) = ψ ◦ ϕ−1 (t ).
2. Vérifier que f est continue sur [0, 2π] et dérivable sur ]0, 2π[.
3. Étudier les variations de f sur [0, 2π].
Montrer que la droite d’équation t = π est axe de symétrie pour la courbe
représentative de f .
Déterminer lim+ f ′ (t ). Que peut-on en déduire ?
t→0
4. Tracer l’allure de la courbe représentative de f .
EXERCICE 18. Fonction implicite

Soit a un réel positif ou nul. Pour x ∈ R, on pose Pa (x) = x 3 + ax − 1.
1. Montrer que ce polynôme admet une unique racine réelle u(a).
On note u l’application définie sur R+ qui a tout a associe le réel u(a).
2. Montrer que : u( R+) ⊆ R∗+.
3. Montrer que u est strictement décroissante sur R+.
4. Calculer u(0), puis lim u(a).
a→+∞
5. Déterminer l’application réciproque de u.
6. Montrer que u est continue sur R+.
7. Montrer que u est dérivable sur R+ et calculer u ′ (a), pour tout a ∈ R+ .
8. Esquisser l’allure de la courbe représentative de u.

349
Chapitre 13
Introduction aux espaces vectoriels
Sommaire
1 Généralités sur les espace vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
1.1 Espace vectoriel sur K............................... 350
1.2 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
2 Familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
2.1 Combinaisons linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
2.2 Sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs . . . . . . . . . 355
2.3 Familles génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
2.4 Familles libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
2.5 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
3 Sommes de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
3.1 Sommes de sous-espaces vectoriels de E.................... 365
3.2 Sommes directes de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

350 C HAPITRE 13 : Introduction aux espaces vectoriels
Dans tout ce chapitre K désigne R ou C. Dans cette section, E est un ensemble non vide.
1 Généralités sur les espace vectoriels
1.1 Espace vectoriel sur K

Définition 1 – Espace vectoriel sur K
On dira que E est un espace vectoriel sur K lorsque :
(i) E est muni d’une addition + qui est une application de E2 vers E telle que :
• Commutativité. ∀(x, y) ∈ E2 , x + y = y + x
• Associativité. ∀(x, y, z) ∈ E3 , (x + y) + z = x + (y + z)
• Élément neutre. Il existe un unique élément de E , noté 0E , tel que :
E
∀x ∈ , 0E + x = x + 0E = x.
E E
• Opposé. Pour tout x ∈ , il existe un unique élément de , noté −x et appelé
E
opposé de x, vérifiant : ∀x ∈ , x + (−x) = (−x) + x = 0E .
(ii) E est muni d’une multiplication externe . qui est une application de × vers K E E
telle que :
K E
• ∀(λ, µ, u) ∈ 2 × , (λ + µ).u = λ.u + µ.u
K E
• ∀(λ, u, v ) ∈ × 2 , λ.(u + v ) = λ.u + λ.v
K E
• ∀(λ, µ, u) ∈ 2 × , λ.(µ.u) = (λ × µ).u = µ.(λ.u)
• 1.x = x
K
On dit aussi que -espace vectoriel, ou que E est muni d’une structure de K-espace vectoriel. En
E
abrégé, on dira que est un -ev. K
Les éléments de E sont appelés vecteurs, et ceux de K scalaires.
B Par convention, dans une multplication externe λ.x, la variable de gauche est le scalaire et
celle de droite est le vecteur. Cette convention est indispensable étant donné qu’on ne met pas
de flèche au-dessus des vecteurs.
Dans la suite, l’opération x +(−y) sera notée x − y. On peut donc additionner ou soustraire deux
vecteurs dans un espace vectoriel.
1
Si λ est un scalaire non nul, on peut multiplier un vecteur par , ce qu’on apelle diviser un vec-
λ
teur par λ. Dans un espace vectoriel on peut donc multiplier ou diviser un vecteur par scalaire.
B Dans un espace vectoriel on ne peut donc pas multiplier ou diviser deux vecteurs.
On peut remarquer qu’un espace vectoriel sur C

donne aussi un espace vectoriel sur R, en
R
considérant la restriction à de la multiplication par un scalaire.

1 Généralités sur les espace vectoriels 351
X
Proposition 2 – Règles de calcul avec le signe
E
Si u, u 1 , . . . , u p , v 1 , . . . , v p sont des vecteurs de et λ, λ1 , . . . , λp sont des scalaires dans K on
a:
X p Xp p
X p
X Xp
1. (λ.u k ) = λ. uk 2. (u k + v k ) = uk + vk
k=1 k=1 k=1 k=1 k=1
Ã !
p
X p
X
3. (λk .u) = λk .u
k=1 k=1
Proposition 3 – Règles de calcul avec 0 et 0E
Si λ est un scalaire dans K et u, v sont deux vecteurs de E on a :

1. λ.0E = 0E 2. 0.u = 0E
Intégrité λ.u = 0E ⇐⇒ λ = 0 ou u = 0E
3.
externe : λ.u = µ.u ⇐⇒ u = 0E ou λ = µ
λ.u = λ.v ⇐⇒ λ = 0 ou u = v
Proposition 4 – Règles de calcul avec le signe moins
Si λ, µ sont deux scalaires dans K et u, v sont deux vecteurs de E, on a :

1. −0E = 0E 2. (−1).u = −u
3. (−λ).u = −(λ.u) 4. (−λ).(−u) = λ.u
5. λ.(u − v ) = λ.u − λ.v 6. (λ − µ).u = λ.u − µ.u
Exemple. L’ensemble des vecteurs du plan est un R-ev.

Exemple. {0} est un R-ev et un C-ev.
Exemple. Kn K
Un vecteur x ∈ n est un n-uplet (x1 , x2 , . . . , xn ).
K
Si x = (x1 , . . . , xn ) et y = (y 1 , . . . , y n ) sont deux vecteurs de n , on définit leur somme :
x + y = (x1 , . . . , xn ) + (y 1 , . . . , y n ) = (x1 + y 1 , . . . , xn + y n )
Si λ ∈ K et x ∈ Kn on définit :
λ.x = λ.(x1 , . . . , xn ) = (λ × x1 , . . . , λ × xn )
Alors ( Kn , +, .) est un K-ev. Le vecteur nul est 0K n = (0, . . . , 0).

En particulier pour n = 1 : K est un K-ev pour ses opérations naturelles. R est un R-ev, et C est
C
un -ev donc un -ev. R
R2 correspond à l’ensemble des vecteurs du plan, et R3 à l’ensemble des vecteurs de l’espace.
B R n’est pas un C-ev !
Exemple. FA F K
Soient A un ensemble quelconque et un -ev. On rappelle que F A désigne
F
l’ensemble des fonctions f : A −→ définies sur A à valeurs dans . F
F
Pour f et g éléments de A , on définit la fonction f + g : A −→ par : F
∀x ∈ A, ( f + g )(x) = f (x) + g (x)
et pour λ ∈ K et f élément de F A , on définit la fonction λ. f : A −→ F par :

∀x ∈ A, (λ. f )(x) = λ. f (x)
¡
F ¢
K
Alors A , +, . est un -ev. Le vecteur nul 0F A est la fonction constante égale à 0F .
En particulier : ¡ N
F K
• pour = et A = , N K ¢
, +, . est
¡ un R
-ev (suites réelles ou complexes)
F R
• pour = et I intervalle de , I
R R R
, +, .) est un -ev (fonctions définies sur un intervalle I )
K
Exemple. [X ] On rappelle que K
[X ] est l’ensemble des polynômes à
K
coefficients dans . On a déjà défini une addition et une multiplication externe.
K K
Alors ( [X ], +, .) est un -ev. Le vecteur nul 0K[X ] est le polynôme nul.
K K
Exemple. Mn,p ( ) On rappelle que Mn,p ( ) est l’ensemble des matrices de taille n × p à
K
coefficients dans . On a déjà défini une addition et une multiplication externe.
K K
Alors (Mn,p ( ), +, .) est un -ev. Le vecteur nul 0Mn,p (K) est la matrice nulle 0n,p de taille n × p.
1.2 Sous-espaces vectoriels

Dasn cette section E est un K-ev et F est une partie de E.
Définition 5 – Sous-espace vectoriel
On dit que F est un sous-espace vectoriel de E lorsque :

(i ) F 6= ; ;
(i i ) F stable pour « + » : ∀(x1, x2) ∈ F2, x1 + x2 ∈ F ;
(i i i ) F stable pour « . » : ∀(λ, x) ∈ K × F, λ.x ∈ F
En abrégé, on dira que F est un sev de E.
Exemple. Un K-ev E a toujours deux sev triviaux : {0E } et E.

1 Généralités sur les espace vectoriels 353
Proposition 6 – Propriété du vecteur nul
Si F est un sev de E, alors 0E ∈ F.

Pour montrer que F 6= ;, on vérifie donc la plupart du temps que 0E ∈ F.
Exemple. ; n’est pas un sev de E.
Théorème 7 – Caractérisation des sous-espaces vectoriels de E

F est un sev de E si et seulement si :
(i ) F 6= ; ;
(i i ) F stable par combinaison linéaire : ∀(λ, x1 , x2 ) ∈ K × F2 , λ.x1 + x2 ∈ F
Exemple. Dans R2 : F1 = ©(x, y)©∈ R2± x 2 +±y 2 = 1ª, Fª2 = ©(x, y) ∈ R2± x + y = 1ª et Z2 ne sont
pas des sev de R2 . Par contre F3 = (x, y) ∈ R2 x + y = 0 en est un.
Exemple. L’ensemble des solutions d’un système linéaire homogène à n inconnues et un

sous-espace vectoriel de Kn .
Exemple. Kn [X ] est un sev de K[X ].
Exemple. L’ensemble des vecteurs d’une droite est un sous-espace vectoriel de l’ensemble
des vecteurs du plan.
Exemple. L’ensemble des fonctions continues de R dans R est un sous-espace vectoriel de

RR.
Exemple. L’ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire homogène définie
sur I est sous-espace vectoriel de RI .
Exemple. L’ensemble des suites arithmétiques est un sous-espace vectoriel de RN .
K K K K
Exemple. Tn+ ( ), Tn− ( ), S n ( ) et An ( ) sont des sev de Mn ( ). K
K K
BGL n ( ) n’est pas un sev de Mn ( ) : il ne contient pas le vecteur nul et n’est pas non plus
stable par multiplication externe !
Théorème 8 – Un sev est un K-ev

SiF est un sev de E, alors les restrictions à F des opérations « + » et « . » de E, munissent
F d’une structure de K-ev vérifiant 0F = 0E.
F K
En pratique, pour montrer qu’un ensemble est un espace vectoriel sur (8 conditions), on
K E F F E F
cherche un -ev contenant (ie ⊆ ), et on montre que est un sev de (seulement 2 E
conditions).
Exemple. Pour tout entier naturel n, Kn [X ] est un K-ev puisque c’est un sev de K[X ].
Théorème 9 – Intersection de sev

Si F et G sont des sev de E, alors F ∩ G est aussi un sev de E.
K K
Exemple. D n ( ) est un sev de Mn ( ).
B En général F ∪ G n’est pas un sev de E.
Exemple. On pose F = (x, y) ∈ R2 y = x et G = (x, y) ∈ R2 y = −x . F et G sont des sev

© ± ª © ± ª
de R2 , mais F ∪ G n’en est pas un.
Exemple. Si F et G sont des sev d’un K-ev E, alors F ∪ G est aussi un sev de E si, et
seulement si, F ⊆ G ou G ⊆ F.
2 Familles de vecteurs
Dans toute cette section, E désigne un K-ev et F = (u1, . . . , up ) une famille finie de vecteurs de
l’espace vectoriel . E
2.1 Combinaisons linéaires
Définition 10 – Combinaison linéaire
E
On dit qu’un vecteur x ∈ est combinaison linéaire des vecteurs de la famille F lorsqu’il
K
existe des scalaires (λ1 , . . . , λp ) ∈ p tels que :
p
X
x= λk .u k
k=1
Exemple. Dans R2 : (2, 3) est CL de (1, 0) et (1, 1) car (2, 3) = 3.(1, 1) + (−1).(1, 0).
Exemple. Dans R[X ] : X 3 est CL de la famille de polynômes 1, X − 1, (X − 1)2 , (X − 1)3 car
¡ ¢

X 3 = 1 + 3(X − 1) + 3(X − 1)2 + (X − 1)3 .
Exemple. Un exemple général à connaître dans Kn .

Pour tout i ∈ 1, n, on pose e i = (0, . . . , 0, 1, 0, . . ., 0).
↓
Kn est CL de la famille (e 1, . . . , e n ) :
i−ième position
Alors tout x = (x1 , . . . , xn ) ∈
x = (x1 , . . . , xn )
= (x1 , 0, . . . , 0) + (0, x2 , 0, . . . , 0) + · · · + (0, . . . , 0, xn )
= x1 .(1, 0, . . . , 0) + x2 .(0, 1, 0, . . ., 0) + · · · + xn .(0, . . . , 0, 1)
= x1 .e 1 + x2 .e 2 + · · · + xn .e n
Xn
= xk .e k
k=1

2 Familles de vecteurs 355
Exemple. Un exemple général à connaître dans Kn [X ].

Si P = a0 + a1 X + a2 X + · · · + an X est un élément de Kn [X ], alors P est CL des polynômes 1, X ,
2 n
. . . , X n . Ceci prouve que tout élément de Kn [X ] est CL de la famille (1, X , X 2 , . . . , X n ).
Exemple. Un exemple général à connaître dans Mn,p (K).

Pour tout (i , j ) ∈ 1, n × 1, p, on rappelle qu’on note E i j la matrice de Mn,p (K) dont tous les
coefficients sont nuls, exceptés celui situé à l’intersection de la ligne i et de la colonne j , qui est
K
égal à 1.Si A ∈ Mn,p ( ), alors A est CL des matrices E i ,j , (i , j ) ∈ 1, n × 1, p.
Théorème 11 – Combinaisons linéaires et sev

F E
Si est un sev de et et si u 1 , . . ., u p sont des vecteurs de F, alors toute combinaison
linéaire de ces vecteurs est encore un vecteur de . F
p
X
Ainsi, si F est un sev de E et si u1 ∈ F, . . ., up ∈ F, alors ∀(λ1, . . . , λp ) ∈ Kp , on a λk .u k ∈ F
k=1
2.2 Sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs

On rappelle que F = (u 1 , . . . , u p ) est une famille finie de vecteurs de l’espace vectoriel E.
Définition 12 – Notation Vect(F )
E
On note Vect(F ) l’ensemble des vecteurs de qui sont combinaison linéaire des vecteurs
de la famille F .
On l’appelle partie engendrée par les vecteurs de la famille F .
Vect(F ) est donc la partie de E suivante :

( )
p
X
Vect(F ) = λi .u i ; ∀i ∈ 1, p, λi ∈ K
i =1
Donc pour x ∈ E: p
X
x ∈ Vect(F ) ⇐⇒ ∃(λ1 , . . . , λp ) ∈ Kp ; x = λi .u i
i =1
Vect(F ) est aussi noté Vect(u 1 , u 2 , . . . , u p ) et est appelée partie engendrée par les vecteurs u 1 , u 2 ,
. . ., u p .
On adopte aussi la convention : Vect(;) = {0E }.
Exemple. Vect(0E ) = {0E }.
Exemple. Si →
−
u est un vecteur non nul du plan R2 ou de l’espace R3, alors Vect ¡→
− ¢
u est la
droite engendrée par →
−
u.

Définition 13 – Droite vectorielle

Si u est un vecteur non nul de E, alors la partie Vect(u) est appelé droite vectorielle engen-
drée par u.
Définition 14 – Vecteurs colinéaires

Si u et v sont deux vecteurs de E, on dit qu’ils sont colinéaires lorsqu’il existe λ ∈ K tel que
u = λ.v ou v = λ.u
Pour imposer que ce soit u = λ.v il faut que v 6= 0E .

¡− → ¢
Exemple. Si →
−
u et →
−
v sont deux vecteurs non colinéaires de l’espace, alors Vect →
u ,−
v est le
→
− →−
plan engendré par u et v .
Définition 15 – Plan vectoriel

Si u et v sont deux vecteurs non colinéaires de E, alors Vect(u, v ) est appelé plan vectoriel
engendré par u et v .
Exemple. On a vu au paragraphe 2.1. que Kn = Vect(e 1, . . . , e n ), avec e i = (0, . . . , 0, 1, 0, . . ., 0),

↓
i−ième position
pour i ∈ 1, n.
Exemple. On a vu au paragraphe 2.1. que Kn [X ] = Vect ¡1, X , X 2, . . . , X n ¢

µ ¶
K
Exemple. On a vu au paragraphe 2.1. que Mn,p ( ) = Vect (E i j ) 1≤i ≤n
1≤ j ≤p
Théorème 16 – Propriétés de Vect(F )
1. La partie Vect(F ) est un sev de E qui contient les vecteurs de la famille F .

2. C’est le plus petit sev de E contenant les vecteurs de la famille F .
Vect(F ) sera donc appelée sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs de la famille F .
On a donc ∀k ∈ 1, p, u k ∈ Vect(u 1 , u 2 , . . . , u p ) et si F est un sev de E :

F et u2 ∈ F et . . . et up ∈ F =⇒ Vect(u1, u2, . . . , up ) ⊆ F
u1 ∈
Exemple. Si u est un vecteur de E, alors la droite vectorielle engendrée par u est le plus petit
sev de E contenant u.
Ce résultat peut servir à montrer très rapidement qu’une partie F est un sev de E.
Exemple. F = (x, y, z) ∈ R3 x + 2y = z = Vect (1, 0, 1); (0, 1, 2) .

© ± ª ¡ ¢

E
Si F et G sont deux familles de vecteurs de , telles que tout vecteur de la famille F est un
vecteur de la famille G , on dit que F est une sous-famille de G , ou que G est une sur-famille de
F.
Corollaire 17 – Inclusions de Vect

Si F et G sont deux familles finies de vecteurs de E:
F sous-famille de G =⇒ Vect(F ) ⊆ Vect(G )
Exemple. Si u et v sont deux vecteurs non colinéaires de l’espace, la droite engendrée par u
est incluse dans le plan engendré par (u, v ).
Corollaire 18 – Preuve de Vect(u 1 , u 2 , . . . , u p ) = Vect(v 1 , v 2 , . . . , v q )
Soient (u 1 , u 2 , . . . , u p ) et (v 1 , v 2 , . . . , v q ) deux familles de vecteurs de E. On suppose que

(i) u 1 , u 2 , . . ., u p sont combinaisons linéaires de v 1 , v 2 , . . ., v q
(ii) v 1 , v 2 , . . ., v q sont combinaisons linéaires de u 1 , u 2 , . . ., u p
Alors Vect(u 1 , u 2 , . . . , u p ) = Vect(v 1 , v 2 , . . . , v q ).
¡ ¢ ¡ ¢
Exemple. Montrer que Vect (1, 0, 1); (0, 1, 0) = Vect (1, 1, 1); (−1, 1, −1), (0, 1, 0) .
Dans le corollaire suivant, (u 1 , . . . , u p , u p+1 ) une famille de vecteurs de E.

Corollaire 19 – Règles de calcul sur les Vect
1. Si u p+1 est combinaison linéaire de la famille (u 1 , . . . , u p ), alors on peut « l’enlever » :

Vect(u 1 , . . . , u p , u p+1 ) = Vect(u 1 , . . . , u p )
2. On peut additionner à un vecteur d’une famille toute CL des autres vecteurs :
Ã !
p−1
X
K
∀(λ1 , . . . , λp−1 ) ∈ p−1 , Vect(u 1 , . . . , u p−1 , u p ) = Vect u 1 , . . . , u p−1 , u p + λi .u i
i =1
3. On peut multiplier un vecteur par un scalaire non nul :

∀α ∈ K∗, Vect(u 1 , . . . , u p−1 , u p ) = Vect(u 1 , . . . , u p−1 , α.u p )
4. Vect(u 1 , . . . , u p ) ne dépend pas de l’ordre des vecteurs :
∀σ : 1, p −→ 1, p bijective , Vect(u 1 , . . . , u p ) = Vect(u σ(1) , . . . , u σ(p) )
5. On peut « enlever le vecteur nul d’un Vect » :
Vect(u 1 , . . . , u p , 0E ) = Vect(u 1 , . . . , u p )
Important. Les points 1., 2. et 3. ont été écrits pour le dernier vecteur de la famille. En les com-
binant avec le point 4., on peut les écrire pour n’importe quel autre vecteur.

2.3 Familles génératrices

On rappelle que F = (u 1 , . . . , u p ) une famille finie de vecteurs de l’espace vectoriel E.
Définition 20 – Famille génératrice
On dit que F = (u 1 , . . . , u p ) est une famille génératrice de E, ou que E est engendré par
F (u 1 , . . . , u p ), lorsque :
E = Vect(F ) = Vect(u1, . . . , up )
E
Comme F = (u 1 , . . . , u p ) est une famille de vecteurs de , on a toujours Vect(u 1 , . . . , u p ) ⊆ . E
E E
Donc F = (u 1 , . . . , u p ) est génératrice de si, et seulement si, ⊆ Vect((u 1 , . . . , u p )), ie ssi tout
E
vecteur x ∈ est CL des vecteurs u 1 , . . ., u p .
Rédaction. On suppose que F = (u 1 , . . . , u p ) est une famille de vecteurs de . E

E
Pour montrer que la famille de vecteurs F = (u 1 , . . . , u p ) est génératrice de , on se fixe un vecteur
E
x ∈ , et on cherche des scalaires λ1 , . . . , λp , tels que :
p
X
x= λk .u k
k=1
En considérant cette égalité comme une équation d’inconnue (λ1 , . . . , λp ) ∈ Kp , on doit montrer
qu’il existe au moins une solution.
¡ ¢
Exemple. La famille (1, 1, −1), (1, −1, 1), (−1, 1, 1) est génératrice de R3.
Exemple. F = ©(x, y, z) ∈ R3; x + 2y = z ª est engendré par ¡(1, 0, 1), (0, 1, 2)¢.
Exemple. Pour tout a ∈ K, la famille ¡1, X − a, (X − a)2, (X − a)3¢ est génératrice de K3[X ].
Exemple. En général une famille génératrice vide est génratrice de {0E }.
Exemple. Famille génératrice de Kn On a vu au paragraphe 2.2. que la famille (e 1 , . . . , e n )

est génératrice de K n
, avec e i = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0), pour i ∈ 1, n.
↓
i−ième position
Exemple. Famille génératrice de Kn [X ] On a vu au paragraphe 2.2. que la famille

2 n
(1, X , X , . . . , X ) est génératrice de Kn [X ].
K
Exemple. Famille génératrice de Mn,p ( ) On a vu au paragraphe 2.2. que la famille
(E i j ) 1≤i ≤n est génératrice de Mn,p ( ).
1≤ j ≤p
K
Théorème 21 – Sur-famille d’une famille génératrice
Soient F et G deux familles finies de vecteurs de E. On suppose que :

(i) F sous-famille de G ;
(ii) F est génératrice de . E
Alors G est aussi une famille génératrice de . E
Exemple. F = ©(x, y, z) ∈ R3; x + 2y = z ª est aussi engendré par ¡(1, 0, 1), (0, 1, 2), (1, 1, 3)¢.
Ainsi, si on ajoute des vecteurs de E dans une famille génératrice de E, on obtient encore une
famille génératrice de . E
En pratique ce résultat n’a que très peu d’intérêt. En effet, on préférera avoir des familles généra-
trices de taille minimale (nous verrons pourquoi dans un autre chapitre). Pour cela on utilisera
le théorème suivant.
Théorème 22 – Principe de réduction d’une famille génératrice
Si F = (u 1 , . . . , u p−1 , u p ) est génératrice de E, et si up est CL de la famille Ff = (u1, . . . , up−1),

f est encore génératrice de .
alors F E
E
On peut donc retenir que dans une famille génératrice de , si un vecteur est CL des autres,
alors on peut l’ôter de la famille tout en gardant une famille génératrice de . E
Exemple. Si E = Vect ¡(1, 0), (1, −1), (0, 1)¢ alors E = Vect ¡(1, 0), (0, 1)¢.
2.4 Familles libres
On rappelle que F = (u 1 , . . . , u p ) une famille finie de vecteurs de l’espace vectoriel E.
Définition 23 – Famille libre
On dit que F est une famille libre de vecteurs, ou que les vecteurs u 1 , . . . , u p sont linéaire-
ment indépendants, lorsque la seule CL nulle est celle dont tous les coefficients sont nuls :
p
X
∀(λ1 , . . . , λp ) ∈ K p
, λk .u k = 0E =⇒ λ1 = · · · = λp = 0
k=1
Dans le cas contraire, on dit que la famille de vecteurs F est liée, ou que les vecteurs de la famille
F sont linéairement dépendants. C’est le cas où il exsite une CL nulle dont les coefficients sont
non tous nuls :
p
K
X
∃(λ1 , . . . , λp ) ∈ p ; λk .u k = 0E et (λ1 , . . . , λp ) 6= (0, . . . , 0)
k=1
On adoptera la convention que ; est une famille libre de tout K-ev E.

On peut remarquer que le caractère libre d’une famille de vecteurs F , ne dépend du choix du
K E F F
-ev . Par conséquent si F est une famille de vecteurs de où est un sev de , alors : E
F est libre dans F si, et seulement, si elle est libre dans E
B Ceci est faux pour la notion de famille génératrice qui est intrinsèquement liée à l’espace
vectoriel dans lequel on travaille.
Rédaction. Pour montrer que F est libre, on se fixe des scalaires λ1 , . . . , λp , tels que :
p
X
λk .u k = 0E
k=1
En considérant cette égalité comme une équation d’inconnue (λ1 , . . . , λp ) ∈ Kp , on doit montrer
qu’elle a une unique solution.
Exemple. Dans R2, ¡(1, 2), (1, 3)¢ est libre et ¡(1, 0), (1, 1), (0, 2)¢ est liée.
Exemple. Dans Kn La famille (e 1 , . . . , e n ) est libre, avec e i = (0, . . ., 0, 1, 0, . . . , 0), pour
↓
i−ième position
i ∈ 1, n.
Exemple. Dans Kn [X ] La famille (1, X , X 2 , . . . , X n ) est libre.
K
Exemple. Dans Mn,p ( ) La famille (E i j ) 1≤i ≤n est libre.
1≤ j ≤p
Théorème 24 – Famille libre à un vecteur

Soit u un vecteur de E. Alors :
(u) est une famille libre ⇐⇒ u 6= 0E
Théorème 25 – Famille libre à deux vecteurs

Soient u et v deux vecteurs de E. Alors :
(u, v ) est libre ⇐⇒ u et v non colinéaires
B Ce critère est faux dès qu’on a plus de deux vecteurs. Par exemple pour trois vecteurs, le
critère devient non coplanaires.
¡ ¢
Exemple. Il devient évident que (1, 2), (1, 3) est libre.

Théorème 26 – Caractérisation des familles liées

(i) la famille de vecteurs F est liée ;
(ii) un des vecteurs de la famille de vecteurs F est CL des (p − 1) autres vecteurs.
¡ ¢
Exemple. Il devient évident que (1, 0), (1, 1), (0, 2) est liée.
Exemple. Toute famille de vecteurs contenant le vecteur nul est liée.
Exemple. Toute famille de vecteurs contenant deux vecteurs identiques est liée.
Exemple. Si (u, v ) ∈ E2, alors la famille (u, v, u + v ) est liée.

Théorème 27 – Sous-famille d’une famille libre
Soient F et G deux familles finies de vecteurs de E. On suppose que :
(i) F sous-famille de G ;
(ii) G est libre.
Alors la famille F est libre.
¡ ¢
Exemple. (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1) est libre.
On peut donc retenir qu’en enlevant des vecteurs dans une famille libre on obtient encore une
famille libre ; par contraposée, toute sur-famille d’une famille liée est liée ie que si on ajoute des
vecteurs à une famille liée alors elle reste liée.
En pratique ce résultat n’a que très peu d’intérêt. En effet, on préférera avoir des familles libres
de taille maximale (nous verrons pourquoi dans un autre chapitre). Pour cela on utilisera le
théorème suivant.
Théorème 28 – Principe d’extension d’une famille libre
Si F = (u 1 , . . . , u p ) est libre, alors :
(u 1 , . . . , u p , u p+1 ) est libre ⇐⇒ u p+1 ∉ Vect(u 1 , . . . , u p )
Donc par contraposée :
(u 1 , . . . , u p , u p+1 ) est liée ⇐⇒ u p+1 ∈ Vect(u 1 , . . . , u p ) ⇐⇒ u p+1 est CL de (u 1 , . . . , u p )
On peut donc retenir que si on a au départ une famille libre de vecteurs, et si on veut lui ajouter
un nouveau vecteur de telle sorte que la nouvelle famille soit encore libre, alors il faut et il suffit
que ce vecteur ne soit pas CL des vecteurs de la famille initiale.
¡ ¢
Exemple. Former une famille libre à trois vecteurs à partir de (1, 2, 0), (2, 1, 0) .

2.5 Bases
Dans ce paragraphe, la famille de vecteurs de E est notée B = (ε1, . . . , εp ).

Définition 29 – Base d’un K -ev
On dit que B est une base de E lorsque B est à la fois libre et génératrice de E.
Proposition 30 – Base de Vect(B)
Si B est une famille finie de vecteurs de E, alors :

B base de Vect(B) ⇐⇒ B est libre
³ ´
Exemple. B = (1, 0, 1), (0, 1, 2) est une base de F = ©(x, y, z) ∈ R3± x + 2y = z ª.
Exemple. Base canonique de Kn On pose B = (e 1 , . . . , e n ), avec e i = (0, . . . , 0, 1, 0, . . ., 0), pour

↓
K
i−ième position
n
i ∈ 1, n. On a vu au paragraphe 2.3. que B est génératrice de , et au paragraphe 2.4. qu’elle
est libre. Donc B est une base de n
K
, appelée base canonique de n . K
Exemple. Base canonique de Kn [X ] On pose B = (1, X , X 2 , . . . , X n ). On a vu au paragraphe

K
2.3. que B est génératrice de n [X ], et au paragraphe 2.4. qu’elle est libre. Donc B est une base
K
de n [X ], appelée base canonique de n [X ]. K
K
Exemple. Base canonique de Mn,p ( ) On pose B = (E i j ) 1≤i ≤n . On a vu au paragraphe 2.3.
1≤ j ≤p
K
que B est génératrice de Mn,p ( ), et au paragraphe 2.4. qu’elle est libre. Donc B est une base
K
de Mn,p ( ), appelée base canonique de Mn,p ( ). K
IMPORTANT : Extraction d’une base du sev Vect(F ) à partir de la famille F .

• Si F est libre alors F est la base cherchée.
• Si F est liée alors un des vecteurs de cette famille est combinaison linéaire des autres. En
l’enlevant de la famille on obtient une famille F ′ qui est encore génératrice de Vect(F ) d’après
le principe de réduction.
• On recommence le raisonnement avec F ′ . . .
• Cet algorithme termine car la famille est finie et on ne peut donc pas lui enlever une infinité
de vecteurs.
¡ ¢
Exemple. Donner une base de Vect (1, 2, 3, 4), (2, 3, 4, 5), (1, 1, 1, 1) .

Théorème 31 – Caractérisation des bases

Soit B = (ε1 , . . . , εp ) une famille de vecteurs de E. Alors on a équivalence de :
(i) B est une base de E;
p
X
(ii) pour tout x ∈ E, ∃!(λ1, . . . , λp ) ∈ Kp tel que x = λk .εk .
k=1
Le théorème précédent donne que tout x ∈

p
E est caractérisé par l’unique p-liste
X
K
(λ1 , . . . , λp ) ∈ p
tel que x = λk .εk .
k=1
Définition 32 – Coordonnées dans une base

Les scalaires (λ1 , . . . , λp ) sont appelés coordonnées de x dans la base B. On le note :
x = (λ1 , . . . , λp )B
Exemple. Coordonnées dans la base canonique de Kn

Elles sont égales aux composantes du vecteur. Par exemple, si x = (2, 1, 3), alors ses coordonnées
R
dans la base canonique de 3 sont (2, 1, 3).
Exemple. Coordonnées dans la base canonique de Kn [X ]

Elles sont égales aux coefficients de la fonction polynômes. Par exemple, P = X 2 + 2X + 1 a pour
coordonnées (1, 2, 1) dans la base canonique de 2 [X ]. K
Exemple. Coordonnées dans la base canonique de Mn,p ( ) K

¶ µ
1 −1 1
Elles sont égales aux coefficients de la matrice. Par exemple, a pour coordonnées
2 0 1
(1, −1, 1, 2, 0, 1) dans la base canonique de M23 ( ). R
Exemple. Dans F = ©(x, y, z) ∈ R3; x + 2y = z ª. Une base de F est B = ¡(1, 0, 1), (0, 1, 2)¢. Par
exemple : x = (1, 1, 3) = (1, 1)B .
Exemple. Dans R2[X ] muni de la base ¡1, X − 1, (X − 1)2¢, quelles sont les coordonnées de
P = X 2 + 2X + 1 ?
Exemple. Dans E muni d’une base (ε1, . . . , εp ), quelles sont les coordonnées de εk , pour tout
k ∈ 1, p ?

Pour deux vecteurs le critère de liberté est très simple.
Théorème 33 – Liberté d’une famille deux vecteurs

Soient u et v deux vecteurs de . E
La famille (u, v ) est libre si, et seulement si, les coordonnées de u et v dans la base B sont
non proportionnelles.
On donne ensuite un critère simple de liberté pour une famille de vecteurs, à partir de ses
coordonnées dans une base de . E
Définition 34 – Famille de vecteurs de coordonnées échelonnés
E E
Soit B = (ε1 , . . . , εn ) une base de et F = (u 1 , . . . , u p ) une famille de p vecteurs de .
K
On lui associe la matrice A de Mn,p ( ) dont chaque colonne est respectivement formée
des coordonnées des vecteurs de F dans la base B.
On dit que F est de coordonnées échelonnées dans la base B lorsque la matrice A est éche-
lonnée.
¡ ¢
Exemple. La famille de vecteurs (0, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0), (1, −1, 1, 0), (1, 1, −1, −1) est de
coordonnées échelonnées dans la base canonique de 4 . R
¡ ¢
Exemple. La famille de vecteurs (0, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1), (0, 1, −1, 1), (1, 1, −1, −1) est de
coordonnées échelonnées dans la base canonique de 4 . R
Théorème 35 – Liberté d’une famille de vecteurs de coordonnées échelonnés

Si F = (u 1 , . . . , u p ) est une famille de vecteurs non nuls et de coordonnées échelonnées
dans la base B alors F est une famille libre.
¡ ¢
Exemple. La famille de vecteurs (0, 0, 0, 1), (0, 1, −1, 1), (1, 1, −1, −1) est libre dans R4.
¡ ¢
B La famille de vecteurs (0, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1), (0, 1, −1, 1), (1, 1, −1, −1) est de coordonnées
R
échelonnées dans la base canonique de 4 mais n’est pas libre.
Définition 36 – Famille de polynômes de degrés echelonnés
Une famille de polynômes (P 0 , . . . , P n ) est de degrés echelonnés lorsque :
deg(P 0 ) < deg(P 1 ) < · · · < deg(P n )
Corollaire 37 – Liberté d’une famille de polynômes de degrés echelonnés
Une famille (P 0 , . . . , P n ) de polynômes non nuls et de degrés echelonnés est libre.

3 Sommes de sous-espaces vectoriels 365
R3[X ].
Exemple. La famille (1 + X , X 2 − 1, X 3 + X 2 + 1) est libre dans
Exemple. La famille (1 + X )k+1 − X k+1 0≤k≤n est libre dans Rn [X ].

¡ ¢
B Dans Rn [X ] les familles libres ne sont pas toujours de degrés echelonnés.
Exemple. La famille X 2 , X (1 − X ), (1 − X )2 est une famille libre de R2 [X ] formée de poly-

¡ ¢
nômes de même degré.
3 Sommes de sous-espaces vectoriels

3.1 Sommes de sous-espaces vectoriels de E
On considère deux parties de E notés F et G.
Définition 38 – Somme de parties de E
On appelle somme de F et G la partie de E suivante :
F + G = ©x = u1 + u2; u1 ∈ F et u2 ∈ Gª
On a donc x ∈ F + G si, et seulement si, il existe (u1, u2) ∈ F × G tel que x = u1 + u2.
B En général, il n’y pas unicité des vecteurs u 1 et u 2 tels que x = u 1 + u 2 .
Exemple. Dans R3, on note F1 = ©(x, y, z) ∈ R3; x + y − z = 0} et F2 = ©(x, y, z) ∈ R3; z = 0}.

Alors (1, 1, 1) = (0, 1, 1) + (1, 0, 0) = (1, 0, 1) + (0, 1, 0).
∈ F1 ∈ F2 ∈ F1 ∈ F2
Dans la suite, lorsqu’on écrira x = u 1 + u 2 avec (u 1 , u 2 ) ∈ F × G, on dira qu’on a écrit
une décomposition de x dans la somme + . F G
On a les cas particuliers suivants.
Proposition 39 – Cas triviaux
E E EE © ª © ª
On a + = , + 0E = 0E + E = E et ©0E ª + ©0E ª = ©0E ª.
Dans le théorème suivant on suppose que F et G sont des sev de E.

Théorème 40 – Propriétés d’une somme de sev
On a :
1. F + G est un sev de E, contenant F et G ;
2. c’est le plus petit sev de E contenant F et G.

Autrement dit, on a F ⊆ F + G et G ⊆ F + G ; et si H est un sev de E vérifant F ⊆ H et G ⊆ H,

F G H
alors + ⊆ .
E
On se donne deux familles finies de vecteurs de , notées F = (u 1 , . . . , u p ) et G = (v 1 , . . . , v q ). La
famille (u 1 , . . . , u p , v 1 , . . . , v q ) est appelée famille obtenue par concaténation des familles F et G .
Théorème 41 – Famille génératrice d’une somme de sev
On a :
Vect(u 1 , . . . , u p ) + Vect(v 1 , . . . , v q ) = Vect(u 1 , . . . , u p , v 1 , . . . , v q )
F
Autrement dit, si F une famille génératrice d’un sev et si G une famille génératrice d’un sev
G , alors la famille obtenue par concaténation de F et G est une famille génératrice de + . F G
B Ce résultat est faux avec des familles libres : la concaténation de deux familles libres ne donne
pas une famille libre en général.
¡ ¢ ¡ ¢
Exemple. Les familles (1, 0, 1); (0, 1, 1) et (1, 0, 0); (0, 1, 0) sont libres, mais la famille
¡ ¢ =u1 =u2 =u3 =u4
u 1 , u 2 , u 3 , u 4 ne l’est plus car : u 1 − u 2 = u 3 − u 4
B On ne dispose pas de formule pour Vect(u 1 , . . . , u p ) ∩ Vect(v 1 , . . . , v q ).
Par exemple si F = Vect
¡
(−1, 0, 1), (−1, 1, 0)
¢
=
©
(x, y, z) ∈ 3
; x + y + z = 0
ª
Ret
G ¡ ¢ ©
R ª
= Vect (2, 1, 0), (2, 0, 1) = (x, y, z) ∈ 3 ; x − 2y − 2z = 0 , alors le le fait que F ∩ G = ; ne
donne aucune information sur ∩ . F G
3.2 Sommes directes de sous-espaces vectoriels
Dans ce paragraphe, F et G sont des sev de E.
Définition 42 – Somme directe de deux sev
On dit que F et G sont en somme directe, ou que la somme F + G est directe, lorsque :
F ∩ G = ©0E ª
Dans ce cas F + G est notée F G.

Théorème 43 – Première caractérisation d’une somme directe
(i) F et G sont en somme directe ;
(ii) ∀x ∈ F + G, ∃!( f , g ) ∈ F × G; x = f + g
.
F G
Autrement dit : et sont en somme directe si, et seulement si, tout vecteur de F + G a une
unique décomposition dans la somme + . F G
Corollaire 44 – Famille libre d’une somme directe

F G
Si et sont en somme directe, alors la concaténation d’une famille libre de F et d’une
G
famille libre de donne une famille libre de . F G
On rappelle que ce résultat est faux avec deux familles libres quelconques.
Corollaire 45 – Seconde caractérisation d’une somme directe

(i) F et G sont en somme directe ;
(ii) la concaténation d’une base de F et d’une base de G donne une base de F + G.
Ce résultat est alors vrai pour toutes les bases de F et G.
On verra, tout au long de l’année, qu’il est fréquent dans les résultats d’algèbre linéaire, qu’une
propriété vraie sur un cas particulier, s’étende automatiquement au cas général
F G
(ici : si la propriété est vraie pour une base de et , elle est alors vraie pour toutes les bases
F
de et de ). G
Définition 46 – Sous-espaces vectoriels supplémentaires
On dit que F et G sont supplémentaires dans E lorsque F G = E.

B Ne pas confondre avec la notion de complémentaire (qui ne donne pas un sev).
E F G E
Lorsque = et x ∈ , on ne peut pas raisonner par disjonction des cas en disant que
F
x ∈ ou x ∈ . G
F
On peut seulement dire que x = f + g avec f ∈ et g ∈ uniques.G
Théorème 47 – Caractérisations des sous-espaces vectoriels supplémentaires
F et G sont supplémentaires
(i) dans E : E = F G ;
(ii) F + G = E et F ∩ G = 0E ;
© ª
(iii) la concaténation d’une base de F et d’une base de G donne une base de E ;

(iv) ∀x ∈ E, ∃!( f , g ) ∈ F × G; x = f + g
Dans ce cas la concaténation de n’importe quelle base de F, avec n’importe quelle base de
G donne une base de E.
E F G
Lorsque = et qu’une base de E est obtenue par concaténation d’une base de F et d’une
G
base de , on dit qu’on a une base de E adaptée à la somme directe E = F G.
Le point (iv) permet d’interpréter deux sev supplémentaires dans E comme deux « axes » sur
lesquels on peut décomposer les vecteurs de E.

Exemple. R2 = Vect ¡(1, 0)¢ Vect ¡(0, 1)¢, donc F = Vect ¡(1, 0)¢ et G = Vect ¡(0, 1)¤ sont
supplémentaires dans R2 .
Rédaction. Dans la majorité des cas, on utilise le point (iv) pour montrer que F et G sont
supplémentaires dans . E
On a donc deux choses à démontrer : l’existence et l’unicité de la décomposition de tout vecteur
E
de . Il est plus facile commencer par vérifier l’unicité de la décomposition (si elle existe), puis de
vérifier l’existence d’au moins une décomposition (en en donnant un exemple).
On rédige cette démonstration par analyse-synthèse :
• On montre que F et G sont deux sev de E. On a donc F + G ⊆ E.

• On se donne x ∈ E fixé quelconque.
• ANALYSE : on suppose qu’on a trouvé au moins une décomposition de x : x = f + g , avec f ∈ F
G
et g ∈ .
,→ On veut montrer que cette décomposition est unique ; pour cela on cherche à calculer f et g en
fonction de x.
F G
À ce stade, on a montré que et sont en somme directe ; donc + = . F G F G
• SYNTHESE :
,→ On veut montrer que x a au moins une décomposition ; pour cela on utilise les formules
obtenues dans la partie analyse.
On définit donc f et g en fonction de x, à partir des formules obtenues dans la partie analyse. Il
F G
reste à vérifier que ceci donne bien une décomposition de x dans , c’est-à-dire trois points :
F G
(i) f ∈ ; (ii) g ∈ et (iii) f + g = x.
E F G
On alors montré que ⊆ + .
Donc par double-inclusion : E = F G.
Exemple. Montrer que dans RR l’ensemble des fonction paires et l’ensemble des fonctions
impaires sont deux sev supplémentaires.
K K
Exemple. Montrer que Mn ( ) = S n ( ) A n ( ). K
B La synthèse paraît n’être qu’une simple vérification, mais elle est indispensable dans le
raisonnement, il ne faut donc pas la négliger.
Exemple. Les parties de RN définies parª F = ©(an )n∈N ∈ RN; ∀n ∈ N, an = an+1 + an+2 ª et
G = (bn )n∈N ∈ RN ; ∀n ∈ N, bn+1 + bn+2 = 0 forment-elles des sev supplémentaires de RN ?
©

Corollaire 48 – Base scindée en deux

Si (e 1 , . . . , e k , e k+1 , . . . , e n ) base de vecteurs de E alors :
E = Vect(e 1, . . . , e k , e k+1, . . . , e n ) = Vect(e 1, . . . , e k ) Vect(e k+1 , . . . , e n )
Exemple. R2 = Vect ¡(1, 0)¢ Vect ¡(0, 1)¢ et R3 = Vect ¡(1, 0, 0), (0, 1, 0)¢ Vect ¡(0, 0, 1)¢.


➥ Savoir montrer qu’une partie F est un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel de réfé-
rence.
✪ Connaître les espaces vectoriels de référence : K n , K[X ] et E A (où E est un K-ev).
✪ Vérifier que F est non vide et stable par combinaison linéaire : ∀(λ, u, v ) ∈ K×F2 , λ.u+v ∈
F.
✪ Montrer que F est l’intersection de sous-espaces vectoriels.
✪ Montrer que F est égal à l’espace engendré par une famille de vecteurs.
➥ Savoir montrer qu’une famille de vecteurs (e 1 , . . . , e p ) est génératrice d’un espace vectoriel . E
✪ Montrer que les vecteurs e 1 , . . . , e p appartiennent à E (ce qui donne Vect(e 1 , . . . , e p ) ⊆ E)
puis que E ⊆ Vect(e 1 , . . . , e p ).
✪ Montrer que tout vecteur de F est combinaison linéaire des vecteurs e 1 , . . . , e p : pour tout
X p
u ∈ E, l’équation u = λk .e k a au moins une solution (λ1 , . . . , λp ) ∈ Kp .
k=1
✪ Montrer que (e 1 , . . . , e p ) a été obtenu avec le principe de réduction d’une famille généra-
trice de F.
➥ Savoir montrer qu’une famille de vecteurs (e 1 , . . . , e p ) est libre.
✪ Pour une famille à deux vecteurs (e 1 , e 2 ) il faut et il suffit de montrer que e 1 et e 2 sont non
colinéaires.
p
X
✪ Montrer que l’équation λk .e k = 0E a pour unique solution λ1 = · · · = λp = 0.
k=1
✪ Montrer que (e 1 , . . . , e p ) a été obtenu avec le principe d’extension d’une famille libre.
✪ Montrer que (e 1 , . . . , e p ) est une famille de vecteurs de coordonnées échelonnées ou une
famille de polynômes de degrés échelonnés.
➥ Savoir montrer qu’une famille de vecteurs (e 1 , . . . , e p ) est une base d’un espace vectoriel . E
✪ Montrer qu’elle est à la fois libre et génératrice de . E
✪ Montrer que tout vecteur de F est combinaison linéaire unique des vecteurs e 1, . . . , e p :
p
X
pour tout u ∈ E, l’équation u = λk .e k a une unique solution (λ1 , . . . , λp ) ∈ Kp .
k=1
➥ Savoir montrer que deux sous-espaces vectoriels F et G sont en somme directe.

✪ Vérifier que F∩G © ª
= 0E .
✪ Vérifier que tout vecteur de F + G a une unique décomposition.
✪ Vérifier que la concaténation d’une base de F avec une base de G donne une base de
F + G.
➥ Savoir montrer que deux sous-espaces vectoriels F et G sont supplémentaires dans E.

✪ ª que F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E tels que E = F + G et F ∩ G =
©Vérifier
0E .
✪ Vérifier que tout vecteur de E a une unique décomposition dans F + G, en raisonnant
par analyse-synthèse.
✪ Vérifier que la concaténation d’une base de F avec une base de G donne une base de E.

5 Exercices
Espaces vectoriels et
sous-espaces vectoriels
EXERCICE 1. Sous-espaces vectoriels de Kn

Dans chacun des cas suivants, justifier si la partie considérée est un sous-espace vectoriel.
© ª © ª
A = (x, y) ∈ R2 ; x 2 − y 2 = 0 B = (x, y) ∈ R2 ; x 2 + y 2 = 0
© ª © ª
C = (x, y) ∈ R2 ; x − y = 0 D = (a + b, a − b, a); (a, b) ∈ R2
E = {(1 + x, x); x ∈ R} F = Z2 = Z × Z
EXERCICE 2. Sous-espaces vectoriels de RR

On note R l’ensemble des fonctions numériques. Déterminer si les parties suivantes sont des
R
sous-espaces vectoriels de R : R
A = f ∈ R ; f continue
R B = f ∈ R ; f paire R
© ª © ª
C = f ∈ R ; f impaire
R D = f ∈ R ; f s’annule R
© ª © ª
EXERCICE 3. Sous-espaces vectoriels de RN

On note N l’espace vectoriel des suites réelles. Les parties suivantes sont-elles de sous-espaces
R
vectoriels de RN?
A = (u n )n∈N ∈ N ; (u n ) bornée
R B = (u n )n∈N ∈ N ; (u n ) monotone
© ª ©
R ª
C = (u n )n∈N ∈ N ; (u n ) convergente
R D = (u n )n∈N ∈ N ; (u n ) arithmétique
© ª
½
©
¾
R ª
E = (u n )n∈N ∈ N R N
; ∀n ∈ , u n+2 = −u n+1 +
1
un
n +1
EXERCICE 4. Sous-espaces vectoriels de K[X ]
K
On note [X ] l’espace vectoriel des polynômes à coefficients dans K. Les parties suivantes sont-
K
elles de sous-espaces vectoriels de [X ] ?
©
K
A = P ∈ [X ] ; 0 est racine de P
ª
©
K
B = P ∈ [X ] ; 0 est racine double de P
ª
©
K
C = P ∈ [X ] ; 0 est racine au moins d’ordre 2 de P
ª
N ©
K
Pour n ∈ fixé : D = P ∈ [X ]; deg(P ) = n
ª
EXERCICE 5. Sous-espaces vectoriels de Mn ( ) K

½µ ¶ ¾
1. Montrer que la partie = Ea +b b
−b −a − b
; (a, b) ∈ 2
K
est un sev de M2 ( ). K
F
©
R ª
2. La partie = A ∈ M3 ( ) ; A 3 = 03 est-elle un sev de M3 ( ) ?
   
R
0 1 1 0 0 0
On pourra considérer A = 0 0 1 et B = 0 0 0.
0 0 0 1 0 0

5 Exercices 373
Familles libres, familles

génératrices bases
EXERCICE 6. Familles de vecteurs de R3

Les familles suivantes sont-elles libres (si non, on donnera une combinaison linéaire nulle, dont
les coefficients sont non tous nuls) ?
¡ ¢ ¡ ¢
F1 = (2, 4, 3), (1, 5, 7) F2 = (1, 2, 3), (2, 3, 4), (3, 4, 5), (4, 5, 6)
¡ ¢ ¡ ¢
F3 = (1, 1, 0), (2, 1, 0), (0, 1, 1) F4 = (1, 1, 0), (2, 0, 0), (1, 1, 1)
EXERCICE 7. Familles libres/liées

Les famille suivantes sont-elles des familles libres de l’espace vectoriel indiqué ?
¡ ¢
1. F = (X − 1)2 , (X − 2)2 , (X − 3)2 dans [X ]R
¡ ¢
2. F = X 2 + 1, 2X , 2X 2 + X dans [X ] R
¡ ¢
3. F = X + 1, 2, 2X 2 + X dans [X ] R
¡ ¢
4. F = X 2 + 1, 2X , (X + 1)2 dans [X ] R
5. F = x 7→ cos(x), x 7→ x cos(x), x 7→ sin(x), x 7→ x sin(x) dans R
R
¡ ¢
6. F = x 7→ cos(2x), x 7→ cos2 (x), x 7→ 1 dans R R

¡ ¢
7. F = (2n )n∈N , (2n+1 )n∈N , (2n+2 )n∈N dans N R

¡ ¢
8. F = (2n )n∈N , (3n )n∈N , (n)n∈N dans N R

¡ ¢
µµ ¶ µ ¶ µ ¶¶
9. F =
0 1 1 −1 −1 −1
,
1 1 1 1
,
1 0
R
dans M2 ( )
µµ ¶ µ ¶ µ ¶¶
10. F =
0 1 1 0 −1 −1
,
1 0 0 1 −1 −1
, dans M2 ( )R
EXERCICE 8. Sev de Kn définis par une ou plusieurs équation(s) cartésiennes(s).
Montrer que les parties suivantes sont des sev de Kn et en donner une base :
1. E = (x, y, z) ∈ R3 ; x − y + z = 0 et y − 2z = 0
© ª
2. E = (x, y, z) ∈ R3 ; x + y + z = 0 et 2x − y = 0
© ª
3. E = (x, y, z) ∈ R3 ; x + y + z = 0
© ª
4. E = (x, y, z) ∈ R3 ; x − y + 2z = 0
© ª
5. E = (x, y, z, t ) ∈ R4 ; x − y + z = 0 et y − 2t = 0
© ª
6. E = (x, y, z, t ) ∈ R4 ; x − y + z + t = x − y − z + 2t = x − y + 2z + 2t = 0
© ª
7. E = (x, y, z) ∈ C3 ; x − y + i z = 0 et i y − 2z = 0
© ª
8. E = (x, y, z) ∈ C3 ; x + i y + (1 − i )z = 0
© ª

EXERCICE 9. Sev de Kn définis par une famille génératrice.

Montrer que les parties suivantes sont des sev de Kn puis donner une base et un système
d’équation(s) cartésienne(s) :
1. E = ©(2a − 3b + c, a + 2b − c, −b + c, a); (a, b, c) ∈ R3ª.

2. E = (a − b, a + b + 2c, −2a − b − 3c); (a, b, c) ∈ R2 .
© ª
3. E = Vect (1, 2, −1, 0), (0, 1, 3, −1)

¡ ¢
4. E = Vect (2, −1, 0), (1, 3, −1), (1, −4, 1)

¡ ¢
EXERCICE 10. Familles génératrices - Bases
Donner une famille génératrice puis une base des espaces vectoriels suivants :
E = ©(x1, . . . , xn ) ∈ Kn ; x1 + xn = 0ª
1.
2. E = (x1 , . . . , xn ) ∈ Kn ; x2 = x3 = · · · = xn−1 = 0
© ª
3. E = (u n )n∈N ∈ RN ; ∀n ∈ N, u n+1 = 2u n
© ª
4. E = (u n )n∈N ∈ RN ; ∀n ∈ N, u n+2 = u n+1 + u n

© ª
5. E = (u n )n∈N ∈ CN ; ∀n ∈ N, u n+2 = −u n+1 − u n

© ª
6. E = aX 2 + a ; a ∈ K
© ª
7. E = aX 4 + (a + b)X ; (a, b) ∈ K2
© ª
8. E = (a − c)X 3 + (a + b)X 2 + c X + 4a − 3b ; (a, b, c) ∈ K3

© ª
9. E = P ∈ K3 [X ]; 0 est racine de P
© ª
10. E = S 2 (K)
11. E = A 2 (K)
EXERCICE 11. Opération sur une famille libre
E K ¡ ¢
Soit un -ev et e 1 , . . . , e n une famille libre de vecteurs de E.
1. Pour tout k ∈ 1, n − 1,¡on note εk = ¢ e k + e k+1 .
Montrer que la famille ε1 , . . . , εn−1 est libre.
2. On pose aussi
¡ εn = e 1 + e n¢.
La famille ε1 , . . . , εn−1 , εn est-elle libre ?

5 Exercices 375
Sommes directes et
sous-espaces
supplémentaires
EXERCICE 12. Supplémentaires dans n

( )
K
n
X
n
Soient E = (x1 , . . . , xn ) ∈ K ; xk = 0 et F = {(λ, λ, . . . , λ); λ ∈ K}. Montrer que E et F sont des
k=1
sous-espaces vectoriels supplémentaires de Kn .
EXERCICE 13. Sommes de sev dans K[X ]

1. Donner un supplémentaire de F = aX 4 + (a + b)X ; (a, b) ∈ K2 dans K5 [X ].
© ª
2. Soit Q ∈ K[X ] un polynôme non constant.

Donner un supplémentaire de F = P ∈ E; Q divise P dans K[X ].
© ª
3. On pose F = P ∈ K[X ]; X divise P et G = P ∈ K[X ]; (X − 1) divise P .

© ª © ª
En remarquant que 1 = X −(X −1), vérifier que K[X ] = F + G. La somme est-elle directe ?
EXERCICE 14. Supplémentaires dans RR

On note RRn l’ensemble des fonctions
³π´ numériques.
o
R
Soient E = f ∈ R ; f (0) = f = f (π) et F = Vect x 7→ cos(x), x 7→ sin(x) .
¡ ¢
2
R
1. Montrer que R , E et F sont des R-espaces vectoriels.
2. Vérifier que RR = E F.


377
Chapitre 14
Espaces probabilisés finis
Sommaire
1 Vocabulaire et axiomatique des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
1.1 L’univers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
1.2 Évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
1.3 Opérations sur les évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
1.4 Système complet d’évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
2 Probabilité sur un univers fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
2.1 Probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
2.2 Construction de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
3 Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
3.2 Formule des probabilités composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
3.3 Formule des probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
3.4 Formule de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
4 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
4.1 Indépendance de deux évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
4.2 Indépendance mutuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

378 C HAPITRE 14 : Espaces probabilisés finis
1 Vocabulaire et axiomatique des probabilités

1.1 L’univers
Intuitivement, on appelle expérience aléatoire une expérience dont le résultat ne peut pas être
prédit ou calculé à l’avance.
On désigne par Ω l’ensemble des résultats possibles de cette expérience aléatoire.
Ω est appelé univers ou encore espace des possibles, espace des réalisations ou espace des obser-
vations. Les éléments ω ∈ Ω sont appelés observations ou réalisations de l’expérience aléatoire.
Dans ce chapitre, on se limitera toujours au cas où Ω est un ensemble fini, c-est-à-dire qu’on ne
considèrera que des expériences aléatoires ne donnant qu’un nombre fini de résultats différents.
Exemple. On lance un dé à 6 faces : Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} = 1, 6. Un élément ω ∈ Ω est un chiffre

entre 1 et 6 qui représente le chiffre obtenu en lançant le dé.
Exemple. On lance deux dés à 6 faces distinguables : Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} × {1; 2; 3; 4; 5; 6} =

1, 62. Un élément ω ∈ Ω est un couple (ω1 , ω2 ) où ω1 représente le chiffre obtenue avec le
premier dé, et ω2 le chiffre obtenu avec le second.
Exemple. On lance 1 fois une pièce : Ω = {P, F } ou Ω = {0, 1} avec la convention que « 1 »
représente « pile », et « 0 » représente « face ».
Exemple. Soit n ∈ N∗. On lance n fois une pièce : Ω = {P, F }n ou Ω = {0, 1}n avec la conven-
tion que « 1 » représente « pile », et « 0 » représente « face ».
Un élément ω = (ω1 , . . . , ωn ) ∈ Ω est un n-uplet qui représente la liste des résultats obtenus
aux n lancers. Par exemple pour 6 lancers, on peut avoir ω = (P, P, F, P, F, P ) qui se note aussi
ω = (1, 1, 0, 1, 0, 1).
Dans les exemples suivants, n et N sont des entiers naturels.
Exemple. On effectue n tirages successifs avec remise d’une boule, dans une urne de N
boules : Ω = 1, N n . Ceci sous-entend qu’on a numéroté les N boules de 1 à N ; un élément
ω = (ω1 , . . . , ωn ) ∈ Ω est un n-uplet qui représente la liste des numéros tirés.
Par exemple ω = (6, 2, 2, 6, 4, 3, 5) pour 7 tirages avec remise dans une urne de 6 boules.
Exemple. On effectue n tirages successifs sans remise d’une boule, dans une urne de N
boules (dans ce cas n ≤ N ) : Ω = ensemble des arrangements de n éléments de 1, N = ensemble
des n-uplets ω = (ω1 , . . . , ωn ) ∈ 1, N n dont les composantes sont deux à deux distinctes. Encore
une fois ceci sous-entend qu’on a numéroté les N boules de 1 à N ; un élément
ω = (ω1 , . . . , ωn ) ∈ Ω est un n-uplet qui représente la liste des numéros tirés.
Par exemple ω = (6, 2, 3) pour 3 tirages sans remise dans une urne de 10 boules.

1 Vocabulaire et axiomatique des probabilités 379
Exemple. On effectue 1 tirage de n boules prises simultanément dans une urne de N boules
(dans ce cas n ≤ N ) : Ω = ensemble des combinaisons de n éléments de 1, N = ensemble des
parties ω = {ω1 , . . . , ωn } ⊆ 1, N . Encore une fois ceci sous-entend qu’on a numéroté les N boules
de 1 à N ; un élément ω = {ω1 , . . . , ωn } ∈ Ω est une partie qui représente les numéros tirés.
Par exemple ω = {6, 2, 3} pour 1 tirage de 3 boules prises simultanément dans une urne de 10
boules.
Exemple. On mélange un jeu de n cartes : Ω = {ω : 1, n −→ 1, n; ω bijective }. Ceci sous-
entend qu’on a numéroté les cartes de 1 à n en fonction de leur position initiale. Pour la carte
numéro i , l’entier ω(i ) représente sa position après la permutation ω.
Par contre, on n’étudiera pas dans ce chapitre le cas d’une infinité de lancers d’une pièce
(pourtant très instructif !).
1.2 Évènements
Intuitivement, un évènement A est défini par une phrase qui peut être vraie ou fausse selon le
résultat de l’expérience aléatoire.
Exemple. On lance un dé à 6 faces : Ω = 1, 6.

A = « obtenir un 6 » donne la partie de Ω : A = {6}
B = « obtenir un nombre pair » donne la partie de Ω : B = {2; 4; 6}
Exemple. On lance deux dés à 6 faces distinguables : Ω = 1, 62 .

A = « obtenir un double 6 » donne la partie de Ω : A = {(6, 6)}
B = « obtenir un double » donne la partie de Ω :
B = {(i , i ); i ∈ 1, 6}
= {(1, 1); (2, 2); (3, 3); (4, 4); (5, 5); (6, 6)}
C = « obtenir au moins un 6 » donne la partie de Ω :
C = {(i , 6); i ∈ 1, 6} ∪ {(6, j ); j ∈ 1, 6}
= {(1, 6); (2, 6); (3, 6); (4, 6); (5, 6); (6, 6); (6, 1); (6, 2); (6, 3); (6, 4); (6, 5)}
Exemple. On mélange un jeu de n cartes : Ω = {ω : 1, n −→ 1, n/ ω bijective }.

A = « la première cartense retrouve dans la première moitié du paquet » donne la partie de Ω :
¥ n ¦o
A = ω : 1, n −→ 1, n bijective ; ω(1) ≤ 2
Pour i ∈ 1, n fixé, B i =n« la carte numéro i n’a pas changé deoplace » donne la partie de Ω :
B i = ω : 1, n −→ 1, n bijective ; ω(i ) = i
On voit sur ces exemples qu’un évènement A est nécessairement une partie de Ω : A ∈ P (Ω).
Si on note T l’ensemble de tous les évènements qu’on peut associer à l’expérience aléatoire, alors
T ⊆ P (Ω).
On admettra que sous l’hypothèse que Ω est fini, l’ensemble des évènements est T = P (Ω), ie
que toutes les parties de Ω sont des évènements : on pourra donc calculer leur probabilité. Dans
le cas d’un univers infini, certaines parties de Ω ne pourront pas être considérées comme des
évènements ; nous ne développerons pas ce point dans ce chapitre.

Vocabulaire :
• On dit que l’observation ω ∈ Ω réalise l’évènement A lorsque ω ∈ A : cela signifie que si
l’expérience aléatoire a donné le résultat ω, alors l’évènement A est « vrai ». Inversement, si
ω ∉ A, on dit que l’observation ω ne réalise pas A.
• L’évènement ; est appelé évènement impossible.
• L’évènement Ω est appelé évènement certain.
Il est clair qu’aucune observation ne réalise l’évènement impossible ;, et que toutes les obser-
vations réalisent l’évènement certain Ω.
Définition 1 – Évènements élémentaires

On appelle évènements élémentaires les singletons de Ω, ie les évènements de la forme {ω}
avec ω ∈ Ω.
Une remarque importante : tout évènement A est réunion d’évènements élémentaires. En effet,
on a : [
A= {ω}
ω∈A
1.3 Opérations sur les évènements

Soient A et B deux évènements, c’est-à-dire (A, B) ∈ P (Ω)2 . On dispose des opérations sui-
vantes.
Nom Notation Interprétation
Contraire ∁Ω A = A A n’est pas réalisé
Union A ∪B A est réalisé ou B est réalisé
Intersection A ∩B A est réalisé et B est réalisé
Différence A\B = A − B = A ∩ B A est réalisé mais B ne l’est pas
Inclusion A⊆B A est réalisé =⇒ B est réalisé
On peut remarquer que la différence symétrique A∆B permet de définir un « ou » exclusif, mais
ce n’est pas au programme.
Rappels. Si A, B et C sont des évènements :

A\B ⊆ A A ∩B ⊆ A ⊆ A ∪B
A ∩ (B ∪C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩C ) A ∪ (B ∩C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪C )
A ∪B = B ∪ A A ∩B = B ∩ A
A ∪; = A A ∩; = ;
A ∪Ω = Ω A ∩Ω = A
A ∪B = A ∩B A ∩B = A ∪B

1 Vocabulaire et axiomatique des probabilités 381
On généralise à (A i )i ∈I une famille d’évènements :

[ \ \ [
Ai = Ai Ai = Ai
i ∈I Ã i ∈I ! i ∈I Ã i ∈I !
[ [ \ \
B∩ A i = (B ∩ A i ) B∪ A i = (B ∪ A i )
i ∈I i ∈I i ∈I i ∈I
[
L’évènement A i correspond à l’évènement « au moins un des A i est réalisé ».
i\
∈I
L’évènement A i correspond à l’évènement « tous les A i sont réalisés ».
i\
∈I
L’évènement A i correspond à l’évènement « aucun des A i n’est réalisé ».
i ∈I
Définition 2 – Évènements incompatibles

Deux évènements A et B sont dits incompatibles lorsqu’ils sont disjoints : A ∩ B = ;.
Intuitivement, A et B sont incompatibles lorsqu’ils ne peuvent pas se produire simultanément.
Exemple. Lorsqu’on lance un dé à 6 faces : les évènements A = « obtenir un chiffre pair » et

B = « obtenir un chiffre impair » sont incompatibles.
1.4 Système complet d’évènements

Soit (A 1 , A 2 , . . . , A n ) une famille d’évènements de Ω, c’est-à-dire un n-uplet de parties de Ω.
Définition 3 – Système complet d’évènements
On dit que la famille (A 1 , A 2 , . . . , A n ) est un système complet d’évènements (s.c.e.) lorsque :

(i) les A i , i ∈ 1, n, sont deux à deux incompatibles :
∀(i , j ) ∈ 1, n2 , i 6= j =⇒ A i ∩ A j = ;
n
[
(ii) Ai = Ω
i =1
Dans le cas où tous les A i , pour i ∈ 1, n, sont non vides, un système complet d’évènements est
une partition de Ω.
Intuitivement, un s.c.e. correspond à une disjonction des cas, suivant le résultat de l’expérience
aléatoire.
Exemple. On lance deux dés à 6 faces. On définit les évènements A = « obtenir deux chiffres
pairs », B = « obtenir deux chiffres impairs » et C = « obtenir un chiffre pair et un chiffre impair ».
Alors (A, B,C ) est un s.c.e..


¡ Exemple. Si Ω¢ = {ω1 , . . . , ωn } (expérience avec n résultats possibles) alors la famille
¡{ω1 }, {ω2 }, . . . , {ωn } est
¢ un s.c.e.. Par exemple si on lance un dé à 6 faces alors la famille
{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} est un s.c.e. de l’univers 1, 6.
¡ ¢
Exemple. Si A ∈ P (Ω), alors A, A est un s.c.e..
2 Probabilité sur un univers fini

2.1 Probabilité
Définition 4 – Probabilité
On appelle probabilité sur l’univers fini Ω toute application P : P (Ω) −→ [0, 1] telle que :
(i) P(Ω) = 1 ;
(ii) P est additive ie ∀n ∈ N∗, ∀(A1, . . . , An ) familles de parties de Ω :
Ã !
n
[ n
X
(A 1 , . . . , A n ) 2 à 2 incompatibles =⇒ P Ak = P(A k )
k=1 k=1
Si A est un évènement, alors le réel P(A) est appelé probabilité de l’évènement A.
En particulier pour n = 2 la propriété d’additivité donne :

µ ¶
∀A, B parties de Ω, A ∩ B = ; =⇒ P (A ∪ B) = P(A) + P(B)
Définition 5 – Espace probabilisé fini
Un espace probabilisé fini est un couple (Ω, P) où Ω est un univers fini et P est une
probabilité sur Ω.
Dans le théorème suivant, P est une probabilité et A et B sont deux évènements de Ω.
Théorème 6 – Propriétés d’une probabilité
(iii) P(;) = 0
¡ ¢
(iv) P A = 1 − P(A)
¡ ¢ ¢
(v) P A ∩ B = P(A) − P(A ∩ B) et donc si B ⊆ A, alors P(A ∩ B = P(A) − P(B)
(vi) si A ⊆ B, alors P(A) ≤ P(B)
(vii) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
n
X
Exemple. Si (A 1 , . . . , A n ) est un s.c.e. alors P(A k ) = 1 (mais la réciproque est fausse).
k=1

2 Probabilité sur un univers fini 383
¡ ¢
Exemple. Si A, B et C sont trois évènements déterminer P A ∪ B ∪ C en fonction de
P(A), P(B) et P(C ).
En général, si (A 1 , . . . , A n ) est une famille d’évènements quelconques de Ω, on dispose de la

formule du crible de Poincaré :
Ã ! Ã !
n
[ n
X X ¡ ¢
P Ak = (−1)k−1 × P Ai1 ∩ Ai2 ∩ · · · ∩ Aik
k=1 k=1 1≤i 1 <i 2 <···<i k ≤n
mais celle-ci n’est pas au programme de PCSI.
2.2 Construction de probabilités

Pour définir une probabilité P sur Ω, il faut se donner P(A) pour tout A ∈ P (Ω), ce qui n’est pas
toujours possible.
On va démontrer ¡ qu’il
¢ suffit de définir P sur les évènements élémentaires, c’est-à-dire qu’il suffit
de connaître P {ω} pour tout ω ∈ Ω pour connaître P(A) pour tout A ∈ P (Ω). Cela simplifie les
choses car si n = Card(Ω) alors la connaissance des n probabilités des évènements élémentaires
permet de calculer les 2n probabilités de tous les évènements qu’on peut considérer.
Dans la suite, on note n = Card(Ω) et Ω = {ω1 , . . . , ωn }.
¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢
Si P est une probabilité sur Ω, on note p 1 = P {ω1 } , p 2 = P {ω2 } , . . ., p n = P {ωn } . Les réels
p 1 , p 2 , . . ., p n vérifient :
n
X
∀k ∈ 1, n, p k ∈ [0, 1] et pk = 1
k=1
Ce sont les probabilités des évènements élémentaires de Ω.
Nous allons voir que les deux propriétés ci-dessus suffisent à définir complètement une
probabilité sur Ω.
Théorème 7 – Définition d’une probabilité sur un univers fini
On se donne des réels p 1 , . . . , p n vérifiant :

• ils sont positifs ;
Xn
• p i = 1.
i =1
¡ ¢
Alors il existe une unique probabilité P sur Ω telle que : ∀k ∈ 1, n, p k = P {ωk } .
Donc pour tout k ∈ 1, n, p k ∈ [0, 1].

Cette unique probabilité P est définie par :
X
∀A ∈ P (Ω), P(A) = pi
i ∈1,n
ωi ∈A
Par exemple, si A = {ω2 , ω5 , ω6 }, alors : P(A) = p 2 + p 5 + p 6 .
En pratique, il suffit donc de connaître la probabilité des évènements élémentaires, pour être
capable de calculer la probabilité de n’importe quel évènement.
Exemple. On lance un dé à 6 faces : Ω = 1, 6. On définit une probabilité P sur Ω par :
1 1
p1 = p2 = p3 = ; p4 = p5 = p6 =
12 4
ce qui modélise un dé truqué.

7
On a alors P( « Obtenir un chiffre pair » ) = p 2 + p 4 + p 6 = .
12
Exemple. On reprend le même univers Ω et on définit une autre probabilité Q par :
1
q1 = q2 = q3 = q4 = q5 = q6 =
6
ce qui modélise un dé équilibré.

3 1
On a alors Q( « Obtenir un chiffre pair » ) = q 2 + q 4 + q 6 = = .
6 2
On voit sur ces deux exemples qu’on effectue la même expérience aléatoire : lancer un dé à 6
faces. Le choix de la probabilité permet de traduire le fait que le dé est équilibré ou truqué.
Définition 8 – Équiprobabilité
L’unique probabilité définie par :
p 1 = p 2 = · · · = p n = n1
est appelée probabilité uniforme sur Ω.
Pour tout évènement A, on a alors la formule bien connue :
Card(A) nombre de cas favorables à A

P(A) = =
Card(Ω) nombre de cas possibles dans l’univers

3 Probabilités conditionnelles 385
3 Probabilités conditionnelles
Dans tout ce paragraphe, on se place sur un espace probabilisé fini (Ω, P).
3.1 Définition
Intuitivement : si on lance un dé cubique, équilibré, on devine que sachant que le chiffre obtenu
2
est pair, la probabilité d’obtenir un nombre inférieur ou égal à 5 est égale à .
3
D’autre part, on introduit les évènements :
A = « obtenir un chiffre inférieur ou égal à 5 » et B = « obtenir un chiffre pair »
5 1 2
Comme on est en situation d’équiprobabilité, on trouve P(A) = , P(B) = et P(A ∩ B) = .
6 2 6
2 P(A ∩ B)
On remarque alors que = .
3 P(B)
Cet exemple motive la définition suivante.
Définition 9 – Probabilité conditionnelle

Soient A et B deux évènements tels que P(B) 6= 0.
P(A ∩ B)
On appelle probabilité conditionnelle de A sachant B, le réel PB (A) = .
P(B)
B En général on ne peut pas comparer les valeurs de P(A) et PB (A), comme le montre l’exemple
suivant.
Exemple. On lance deux dés distinguables à 6 faces, équilibrés.

On considère les évènements A = « la somme des deux chiffres obtenus est 5 », B = « le premier
dé donne 3 », et C = « le premier dé donne au moins 3 ».
Alors PC (A) < P(A) < PB (A).
PB (A) est aussi notée P(A|B).
B Il n’existe pas d’évènement A|B = « A sachant B ».

Pour cette raison il est préférable d’utiliser la notation PB (A) au lieu de la notation P(A|B). Elle
réprésente la probabilité de A du point de vue de quelqu’un qui sait déjà que B est réalisé.
Théorème 10 – Propriétés de PB
Soit B un évènement tel que P(B) 6= 0.

1. Pour tout A ∈ P (Ω), on a : P(A ∩ B) = P(B) × PB (A).
2. PB est une probabilité sur Ω.

En particulier si A 1 et A 2 sont deux évènements :

¡ ¢
PB (A 1 ∪ A 2 ) = PB (A 1 ) + PB (A 2 ) − PB (A 1 ∩ A 2 ) et PB A = 1 − PB (A)
On utilise rarement la définition pour calculer PB (A) ; on préfère la déduire de l’énoncé de

l’expérience aléatoire. Comme dit ci-dessus, cela revient intuitivement à calculer la
probabilité de A du point de vue d’un observateur qui sait déjà que B est réalisé (un peu comme
s’il arrivait en plein milieu de l’expérience aléatoire).
Exemple. Une urne contient 4 boules blanches et 6 boules noires. On pioche 3 boules une
par une et sans remise. Si les deux premiers tirages donne une boule blanche et une boule noire,
déterminer la probabilité d’obtenir une boule blanche au troisième tirage.
3.2 Formule des probabilités composées
Théorème 11 – Formule des probabilités composées

Ã !
n−1
\
Soit (A 1 , . . . , A n ) des évènements tels que P A k 6= 0. Alors :
k=1
Ã ! Ã ¯ i −1 !
n
\ n
Y ¯\
P A k = P(A 1 ) × P A 1 (A 2 ) × P A 1 ∩A 2 (A 3 ) × · · · × PTn−1 A k (A n ) = P A i ¯¯ Ak
k=1
k=1 i =1 k=1
¯ i −1 Ã !
¯\
avec la convention que, pour i = 1 : P A i ¯¯ A k = P(A 1 ).
k=1
Cette formule est aussi appelée formule du conditionnement multiple.
Interprétation sur un arbre :

D’un
Ã ¯noeud !A i −1 à un noeud A i , on trace une arête étiquetée par la probabilité conditionnelle
¯ i\
−1
P A i ¯¯ A k . La probabilité de la branche complète ( = suite d’arêtes consécutives) est alors
k=1
obtenue en multipliant entre elles les probabilités conditionnelles placées sur les arêtes.
Ã ¯ i −1 !
¯\
P A i ¯¯ Ak
k=1 Ai
A i −1
Ai

Exemple. On considère une urne composée de 6 boules blanches et 7 boules rouges. On

effectue 3 tirages successifs d’une boule sans remise. Pour i = 1, 2 et 3, on pose B i = « le i -ième
tirage donne une boule blanche », et on définit de même l’évènement R i .
B3
5
12 B2
7 R3
11
B1
6
13 B3
R2
R3
B3
B2
R3
R1
B3
R2
R3
6 5 7
Alors : P(B 1 ∩ B 2 ∩ R 3 ) = P(B 1 ) × PB1 (B 2 ) × PB1 ∩B2 (R 3 ) = × ×
13 12 11
A 26 × A 17 6×5×7
On peut retrouver le résultat par dénombrement : P(B 1 ∩ B 2 ∩ R 3 ) = =
A 313 13 × 12 × 11
B ATTENTION : il faut respecter l’ordre chronologique dans le conditionnement ! Sur l’exemple

précédent on pouvait aussi écrire que P(B 1 ∩B 2 ∩R 3 ) = P(R 3 )×PR3 (B 2 )×PB2 ∩R3 (B 1 ) mais cela ne
permet pas de faire le calcul !
3.3 Formule des probabilités totales

Théorème 12 – Formule des probabilités totales
On se donne un système complet d’évènements (A 1 , . . . , A n ) de probabilités non nulles.

Pour tout évènement B, on a :
n
X n
X
P(B) = P(B ∩ A k ) = P(A k ) × P A k (B)
k=1 k=1
Si un des A k est de probabilité nulle, alors P A k (B) n’est pas définie, mais on peut écrire :
n
X
P(B) = P(B ∩ A k )
k=1

Avec la convention que P(A k ) × P A k (B) = 0 lorsque P(A k ) = 0, on retrouve la même formule que
dans le théorème :
n
X
P(B) = P(A k ) × P A k (B)
k=1
Cette convention est souvent utilisée car en pratique, car elle dispense de vérifier que tous les
A k , pour k ∈ 1, n, sont de probabilité non nulle.
La formule des probabilités totales est très utile lorsqu’on effectue une expérience aléatoire
en plusieurs étapes. Elle permet de raisonner par disjonction des cas, suivant le résultat de la
première étape.
Interprétation sur un arbre :
On considère un arbre dont les noeuds de première génération sont A 1 , . . . , A n , et dont les
noeuds de seconde génération sont B et B. Pour calculer P(B), on multiplie les probabilités le
long d’une branche et on additionne les résultats obtenus pour chaque branche.
¡ ¢
Par exemple avec un s.c.e. à deux évènements A, A :
P A (B)
B
P(A) A
¡ ¢ B
PA B
P A (B)
B
¡ ¢
P A A
¡ ¢ B
PA B
On lit sur l’arbre la formule :
¡ ¢
P(B) = P(A) × P A (B) + P A × P A (B)
Exemple. On dispose de deux pièces : l’une honnête, l’autre truquée avec deux faces pile.
3
On choisit une pièce au hasard et on la lance. Alors P( « obtenir pile » ) = .
4
Exemple. Chaîne de Markov. On considère un point qui se déplace sur les sommets d’un
triangle A 1 A 2 A 3 :
A1
b
A2
b
A3

On suppose qu’initialement le point se trouve en A 1 . Ensuite les déplacements s’effectuent de

la manière suivante :
2
• si le point est en A i alors il passe en A j ( j 6= i ) avec probabilité dans les deux cas ;
5
1
• le point reste en A i avec probabilité .
5
On peut résumer ceci grâce à un diagramme de transition :
1
5
A1
2 2 2 2
5 5 5 5
1 2 1
5
A2 5 A3 5
2
5
N
Pour tout n ∈ , on introduit les évènements :
• Un = « Après n déplacements le point se trouve en A 1 » ;
• Vn = « Après n déplacements le point se trouve en A 2 » ;
• Wn = « Après n déplacements le point se trouve en A 3 ».
On pose alors, pour tout n ≥ 1 : u n = P(Un ), v n = P(Vn ) et w n = P(Wn ).
Les conditions initiales sont u 0 = 1, v 0 = 0, w 0 = 0, et grâce à la formule des probabilités totales,

on a : 

 u n+1 = 51 u n + 25 v n + 25 w n




∀n ∈ ∗
N,

v n+1 = 25 u n + 51 v n + 25 w n





w n+1 = 25 u n + 52 v n + 15 w n
On peut alors déterminer les expressions de u n , v n et w n en fonction de n, grâce au calcul
matriciel. En effet, on a :    
u n+1 un
N
∀n ∈ ,  v n+1  = A ×  v n 
w n+1 wn
 
1 2 2
1
où A est la matrice donnée par A =  2 1 2.
5
2 2 1
   
un u0
On en déduit que : ∀n ∈ N   n
, v n = A × v 0 .

wn w0
Le problème est donc ramené au calcul des puissances de la matrice A.

3.4 Formule de Bayes

On va essayer de relier les probabilités conditionnelles PB (A) et P A (B), ce qui permettra en
pratique « d’inverser causes et conséquences ».
Théorème 13 – Formule de Bayes
On se donne un système complet d’évènements (A 1 , . . . , A n ) de probabilités non nulles.

Pour tout évènement B de probabilité non nulle, on a :
P A i (B) × P(A i ) P A i (B) × P(A i )

∀i ∈ 1, n, PB (A i ) = = n
P(B) X
P A k (B) × P(A k )
k=1
¡ ¢
En particulier avec un s.c.e. de la forme A, A :
P A (B) × P(A) P A (B) × P(A)
PB (A) = = ¡ ¢
P(B) P A (B) × P(A) + P A (B) × P A
Exemple. Test d’une maladie rare. Un laboratoire propose un test de dépistage d’une
maladie. La notice précise la qualité du test :
• lorsque le test est appliqué à une personne malade, le test est positif dans 99, 8% des cas ;
• lorsqu’il est appliqué à une personne saine, il est négatif dans 99, 6% des cas.
D’autre part, on sait qu’une personne sur 100 000 est malade. Peut-on avoir confiance en ce test ?
4 Indépendance
Dans tout ce paragraphe, on se place sur un espace probabilisé fini (Ω, P).
4.1 Indépendance de deux évènements

On se donne A et B deux évènements quelconques.
Définition 14 – Indépendance de deux évènements
On dit que A et B sont indépendants lorsque P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
On le note A ⊥ B.
Le résultat suivant donne un sens intuitif à cette définition.
Proposition 15 – Lien entre indépendance et probabilité conditionnelle
Si P(B) 6= 0 : A ⊥ B ⇐⇒ PB (A) = P(A)

4 Indépendance 391
En pratique, l’indépendance n’est pas démontrée, mais fait partie des hypothèses de
modélisation. Elle permet de simplifier les calculs.
Exemple. Lorsqu’on lance plusieurs fois une pièce de monnaie, ou lorsqu’on effectue
plusieurs tirages avec remise dans une urne, on pourra supposer que les répétitions sont ef-
fectuées de manières indépendantes.
B Ce n’est pas aussi simple que cela en à l’air ! Si on lance deux fois une pièce, les évènements
A = « obtenir pile au premier lancer » et B = « obtenir face au second lancer » sont indépendants,
mais les évènements C = « obtenir au moins une fois pile » et B = « obtenir au mpoins une fois
face » ne le sont pas.
B La notion d’indépendance dépend du choix de la probabilité P. En particulier si on a trois

évènements A, B et C , on peut avoir A et B non indépendants pour P, mais A et B indépendants
pour P sachant C (ie pour PC ) :
P(A ∩ B) 6= P(A) × P(B) mais PC (A ∩ B) = PC (A) × PC (B)
Exemple. On dispose de deux pièces : un équilibrée et une truquée (deux piles). On lance un
dé (non truqué) à 6 faces :
• si on obtient le chiffre 1, on lance deux fois la pièce équilibrée ;
• si on obtient un chiffre différent de 1, on lance deux fois la pièce truquée.
On note A = « obtenir pile au premier lancer de la pièce », B = « obtenir pile au second lancer de
la pièce », et C = « le lancer du dé donne le chiffre 1 ».
Alors A ⊥ B pour PC (et pour PC ), mais A⊥ ⊥B pour P.
Proposition 16 – Indépendance et contraire
Si A ⊥
⊥ B, alors A ⊥
⊥ B, A ⊥ B et A ⊥
⊥ B.
B Ne pas confondra avec A et B incompatibles : A ∩ B = ;. Dans ce cas, A et B ne sont jamais

incompatibles puisque B ⊆ A !

4.2 Indépendance mutuelle

On se donne n évènements A 1 , A 2 , . . . , A n .
Définition 17 – Indépendance deux à deux
On dit que A 1 , A 2 , . . . , A n sont deux à deux indépendants lorsque :
∀(i , j ) ∈ 1, n2 , i 6= j =⇒ A i ⊥

⊥ Aj
On a donc : P(A 1 ∩ A 2 ) = P(A 1 )×P(A 2 ). Mais par contre, on ne peut rien dire sur P(A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ).
Pour cela on a besoin d’une notion plus forte.
Définition 18 – Indépendance mutuelle
On dit que A 1 , A 2 , . . . , A n sont mutuellement indépendants lorsque :

Ã !
\ Y
∀J ⊆ 1, n, P Ak = P(A k )
k∈J k∈J
Dans ce cas on peut dire que : P(A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ) = P(A 1 )×P(A 2)×P(A 3 ). L’indépendance mutuelle
est donc la bonne hypothèse de modélisation pour simplifier les calculs.
En pratique, l’hypothèse d’indépendance mutuelle fera partie des hypothèses de modélisation.

Elle ne sera pas démontrée.
4.2.1 Propriétés de l’indépendance
On se donne une famille finie d’évènements (A 1 , . . . , A n ).
Théorème 19 – Lien entre indépendance mutuelle et indépendance deux à deux
Si les évènements (A 1 , . . . , A n ) sont mutuellement indépendants, alors ils sont deux à deux
indépendants.
B ATTENTION : la réciproque est fausse, comme le montre le contre-exemple suivant.
Exemple. On jette deux dès non-pipés, un noir et un blanc. Montrez que les évènements
suivants sont deux à deux indépendants, mais ne sont pas mutuellement indépendants :
• A = « le chiffre du dè noir est pair »,
• B = « le chiffre du dè blanc est impair »,
• C = « les chiffres des deux dès ont même parité ».

4 Indépendance 393
Théorème 20 – Lemme des coalitions

On suppose que les évènements (A 1 , . . . , A n ) sont mutuellement indépendants.
1. Si pour tout k ∈ 1, n, B k = A k ou A k , alors les évènements (B 1 , . . . , B n ) sont encore
mutuellement indépendants.
2. Pour toute partie J ⊆ 1, n, les (A k )k∈J sont aussi mutuellement indépendants.
3. Pour toute partie J ⊆ 1, n, tout évènement construit à partir de (A k )k∈J est indé-
pendant de tout évènement construit à partir de (A k )k6∈ J .
Exemple. On lance 5 fois une pièce de monnaie, et on note A = « obtenir pile aux deux
premiers lancers », B = « obtenir pile aux lancers numéros 3 à 5 » et C = « obtenir pile aux lancers
numéros 2 à 5 ».
Alors A et B sont indépendants, mais A et C (et de même B et C ) pourraient ne pas l’être.


➥ Connaître les notions d’univers et d’évènements.
✪ Maîtriser le formalise qui relie des prédicats en français aux parties de l’univers Ω.
S T
✪ Maîtriser les calculs d’évènements avec les opérations , et complémentaire.
➥ Maîtriser le calcul des probabilités.

✪ Ne pas confondre évènements incompatibles et évènements indépendants.
✪ Connaître les trois grandes formules : formule des probabilités totales, formule des pro-
babilités composés et formule de Bayes.
✪ Reconnaître les situations d’équiprobabilité et utiliser du dénombrement.
✪ Savoir trouver des probabilités conditionnelles directement dans l’énoncé de l’exercice.

6 Exercices 395
6 Exercices
Calcul des probabilités
EXERCICE 1. Inégalité d’Edith Kosmanek
On se donne un espace probabilisé fini (Ω, P).
1. Soient A et B deux évènements. Si A et B sont incompatibles, montrer que

1
P(A)P(B) ≤ .
4
2. Soient A et B deux évènements.
¡ ¢ ¡ ¢
(a) Vérifier que : P(A ∩ B) − P(A)P(B) = P(A ∩ B)P A − P(A)P A ∩ B
¯ ¯ 1
(b) En déduire l’inégalité d’Édith Kosmanek : ¯P(A ∩ B) − P(A)P(B)¯ ≤
4
(c) Peut-on avoir égalité (on demande simplement un exemple) ?
EXERCICE 2. Le problème des anniversaires
On considère une classe de n élèves. Pour chaque élève, on suppose que chaque jour de l’année
a la même probabilité d’être le jour de son anniversaire et on ne prend pas en compte les années
bissextiles.
1. Calculez la probabilité que deux élèves au moins de cette classe aient leur anniversaire
le même jour. À partir de combien d’élèves cette probabilité devient supérieure à 0.5 ?
A 0.8 ? Comment interpréter ce résultat ?
2. Calculez la probabilité qu’au moins un élève soit né le même jour que le professeur.
Comparez le résultat obtenu avec le précédent.
EXERCICE 3. Le biliothécaire fou
Un bibliothécaire fou permute au hasard les n livres de sa bibliothèque.
1. (a) Quelle est la probabilité que les volumes 1 et 2 de “Guerre et Paix” de Tolstoï se
retrouvent côte à côte dans le bon ordre ?
(b) Dans n’importe quel ordre ?
2. (a) Quelle est la probabilité qu’aucun livre n’ait changé de place ?
(b) Qu’exactement un livre ait changé de place ?
(c) Qu’exactement deux livres aient changé de place ?

Probabilités
conditionnelles
EXERCICE 4. Cartes bicolores

On considère trois cartes : une avec les deux faces rouges, une avec les deux faces blanches, et
une avec une face rouge et une face blanche. On tire une carte au hasard, on expose une face au
hasard : elle est rouge.
Quelle est la probabilité que la face cachée soit blanche ? (Construisez d’abord un arbre
adéquat).
EXERCICE 5. Mon voisin a deux enfants

Mon voisin a deux enfants dont une fille. Quelle est la probabilité que l’autre enfant soit un
garçon ?
Ma voisine a deux enfants. Le plus jeune est une fille. Quelle est la probabilité pour que le plus
âgé soit un garçon ?
EXERCICE 6. Le parapluie
On cherche un parapluie qui avec la probabilité p/7 se trouve dans l’un quelconque des sept
étages d’un immeuble (0 ≤ p ≤ 1).
1. Quelle est la probabilité que la parapluie se trouve dans l’immeuble ?
2. On a exploré en vain les six premiers étages. Quelle est la probabilité que le parapluie se
trouve au septième étage ?
EXERCICE 7. Tirages sans remise

Considérons une urne contenant six boules blanches et quatre boules rouges.
1. Quelle est la probabilité de la suite "blanc, blanc, rouge" si on tire 3 boules sans remise ?
2. Quelle est la probabilité d’obtenir au total deux blanches et une rouge si on tire 3 boules
sans remise ?
EXERCICE 8. n urnes
On considère n urnes (n ≥ 1), numérotées de 1 à n. L’urne numérotée k contient k boules
blanches et n − k boules noires. On choisit au hasard une urne puis une boule dans cette urne.
Quelle est la probabilité d’obtenir une boule blanche ?
EXERCICE 9. Le fumeur
Un fumeur décide d’arrêter de fumer. On admet que s’il ne fume pas un jour, la probabilité qu’il
ne fume pas le lendemain est de 0.3. Par contre, s’il fume un jour donné, la probabilité pour
qu’il ne fume pas le lendemain est 0.9. Notons A n l’évènement « la personne fume le jour n » et
p n = P(A n ).
1. Trouver une relation entre p n+1 et p n pour tout n ∈ N∗.
2. Calculer p n en fonction de p 1 et de n pour tout n ∈ N∗ , et en déduire lim p n .
n→+∞

6 Exercices 397
EXERCICE 10. Les Rigolus et les Tristus

Sur Orion, les Rigolus et les Tristus cherchent à faire la paix. Heureusement, il y a trois fois plus
de Rigolus que de Tristus. Pour la paix, les Rigolus sont à 60% favorables, 16% y sont opposés et
24% sont sans opinion. Par contre, pour la guerre, les Tristus sont à 68% favorables, 12% opposés
et 20% sans opinion. Vous rencontrez par hasard un habitant d’Orion et vous lui demandez son
opinion.
1. Calculer la probabilité qu’il soit sans opinion.
2. S’il vous répond qu’il est favorable à la paix, quelle est la probabilité qu’il soit un Rigolus ?
3. Finalement, s’il vous répond qu’il est favorable à la guerre, quelle est la probabilité qu’il
soit un Tristus ?
Indépendance
EXERCICE 11. Trois dés

On jette trois un dé à 6 faces. Calculez :
1. la probabilité d’avoir exactement un 6.
2. la probabilité d’obtenir au moins un 6.
3. la probabilité d’obtenir au moins deux faces identiques.
4. la probabilité d’obtenir une paire.
5. la probabilité d’obtenir un triple.
6. la probabilité d’obtenir dans cet ordre le chiffre 2, un chiffre pair puis un chiffre supérieur
ou égal à 3.
EXERCICE 12. Indépendance mutuelle

On jette deux dès non-pipés, un noir et un blanc. Montrez que les évènements suivants sont
deux à deux indépendants, mais ne sont pas mutuellement indépendants :
• « le chiffre du dè noir est pair »,
• « le chiffre du dè blanc est impair »,
• « les chiffres des deux dès ont même parité ».
EXERCICE 13. Bilan sur les urnes
1. On dispose d’une urne contenant 3 boules blanches numérotées de 1 à 3 et deux boules

noires numérotées de 4 à 5.
(a) On tire une à une successivement trois boules de l’urne, sans remise. Calculer la
probabilité d’obtenir, dans cet ordre, deux boules blanches, puis une noire ? Dans
n’importe quel ordre ?
(b) Mêmes question pour des tirages avec remise.
(c) Calculer la probabilité d’obtenir, deux boules blanches et une noire lors d’un tirage
simultané de trois boules.

2. Dans une urne, on place 7 boules blanches et 3 boules noires. On tire successivement
avec remise quatre boules de l’urne. On note N l’événement "obtenir une boule noire" et
B l’événement "obtenir une boule blanche".
(a) Quelle est la probabilité pour que l’on obtienne le résultat (N , N , B, B) dans cet ordre ?
(b) Quelle est la probabilité d’obtenir deux boules blanches exactement ?
(c) Quelle est la probabilité d’obtenir au moins une boule blanche ?
EXERCICE 14. Le jeu de pile ou face

On considère une suite lancers indépendants d’une pièce truquée pour laquelle la probabilité
d’obtenir "pile" est p et la probabilité d’obtenir "face" est q = 1 − p (p ∈]0, 1[).
1. (a) Pour n Ê 1, on considère l’événement A n : "La séquence PF apparaît pour la première
fois aux lancers (n − 1) et n." Calculer P(A n ).
(b) Par analyse à un pas, vérifier que ∀n ≥ 1, P(A n ) = qP(A n−1 ) + p n−1 q. Retrouver alors
l’expression de P(A n ).
2. Pour n Ê 1, on considère l’événement B n : "La séquence PP apparaît pour la première fois
aux lancers (n − 1) et n sans qu’il n’y ait eu de séquence PF auparavant." Calculer P(B n ).
EXERCICE 15. La pièce et les deux dés

On dispose de 2 dès A et B. Le dé A a 4 faces rouges et 2 faces blanches. Le dé B a 2 faces rouges
et 4 faces blanches. On lance une pièce de monnaie truquée telle que la probabilité d’obtenir
« pile » soit 1/3.
- Si on obtient « pile » on décide de jouer uniquement avec le dè A ;
- Si on obtient « face » on décide de jouer uniquement avec le dè B.
1. Calculer la probabilité d’obtenir « rouge » au premier coup, puis au deux premiers coups.
Les évènements « obtenir rouge au premier coup » et « obtenir rouge au second coup »
sont-ils indépendants ?
2. On a obtenu « rouge » aux deux premiers coups. Calculer la probabilité d’obtenir « rouge »
au troisième coup.
3. On a obtenu « rouge » aux n premiers coups (n ∈ N∗ ). Déterminer la probabilité p n d’avoir
utilisé le dè A.
Sujets d’étude
EXERCICE 16. Alphonse et Bernard

Alphonse et Bernard tirent au pistolet sur une cible suivant les règles suivantes :
• Ils tirent chacun leur tour. Le premier qui atteint la cible a gagné.
• Lorsqu’il tire, Alphonse atteint la cible avec la probabilité a (0 < a < 1) et il la rate avec la
probabilité a = 1 − a.
• Lorsqu’il tire, Bernard atteint la cible avec la probabilité b (0 < b < 1) et il la rate avec la
probabilité b = 1 − b.
• Alphonse tire le premier.

6 Exercices 399
Ainsi, Alphonse (resp. Bernard) n’effectue que des tirs de rang impair (resp. pair).
On considère, pour tout entier n ≥ 1, les événements A 2n−1 : « Alphonse gagne à l’issue du tir
numéro 2n − 1 », B 2n : « Bernard gagne à l’issue du tir numéro 2n ».
1. Calculez, en fonction de a et b, les probabilités des événements A 1 , B 2 et A 3 . Plus
généralement, calculez P(A 2n−1 ) et P(B 2n ).
2. Pour n ≥ 1, on note C n (resp. D n ) l’événement : « Alphonse (resp. Bernard) gagne à un tir
dont le numéro est entre 1 et 2n − 1 (resp. entre 2 et 2n). » Calculer P(C n ) et P(D n ).
3. Calculer α = lim P(C n ) et β = lim P(D n ). Vérifier que α + β = 1.
n→+∞ n→+∞
4. On dit que le jeu est équilibré lorsque α = β = 1/2. Si a = 1/3 pour quelles valeurs de b le
jeu est-il équilibré ?
EXERCICE 17. La ruine du joueur

Un joueur joue à un jeu d’argent contre le casino. On suppose qu’initialement la fortune du
N
joueur est de a ∈ et celle du casino de N − a, avec 0 É a É N et N ∈ . N
Soit p un réel vérifiant 0 < p < 1 et p 6= 1/2.
A chaque répétition du jeu on suppose que le joueur gagne 1 euros avec probabilité p ou perd
1 euros avec probabilité q = 1 − p. Le jeu s’arrête dès que la fortune du joueur prend la valeur 0
(le joueur est ruiné) ou la valeur N (le casino est ruiné).
1. Soit u a la probabilité que le joueur soit ruiné, étant initialement parti d’une fortune de a.
On a en particulier u 0 = 1 et u N = 0.
(a) Montrer que pour tout entier a tel que 1 ≤ a ≤ N − 1, on a :
u a = pu a+1 + qu a−1 .
(b) Vérifier que :

µ ¶a µ ¶N
q q
−
p p
ua = µ ¶N
q
1−
p
Déterminer la limite de u a lorsque N → +∞ et interpréter le résultat.
2. De même, calculer la probabilité v a que le casino soit ruiné, le joueur étant initialement
parti d’une fortune de a.
3. Calculer la somme u a +v a . En déduire la probabilité que le joueur et le casino s’affrontent
indéfiniment.
1
4. Reprendre le calcul dans le cas p = q = .
2


401
Chapitre 15
Espaces vectoriels de dimension finie
Sommaire
1 Espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
1.1 Dimension finie et existence de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
1.2 Dimension d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
1.3 Familles de vecteurs en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
2 Sous-espaces vectoriels en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
2.1 Inclusion et dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
2.2 Rang d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
2.3 Sommes de sev en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

402 C HAPITRE 15 : Espaces vectoriels de dimension finie
Dans tout ce chapitre K désigne R ou C, et E est un espace vectoriel sur K.
1 Espaces vectoriels de dimension finie

1.1 Dimension finie et existence de bases
Définition 1 – Espace vectoriel de dimension finie
On dit que E est de dimension finie lorsqu’il admet une famille génératrice finie.
N∗ et u1, . . . , up vecteurs de E tels que E = Vect(u1, . . . , up ).
Cela signifie qu’il existe p ∈
Dans le cas contraire, on dit que E est de dimension infinie.
Exemple. {0E } est de dimension finie, même si E ne l’est pas.
Exemple. Si p ∈ N∗ et u 1 , . . . , u p sont des vecteurs de E, alors F = Vect(u 1 , . . . , u p ) est de

dimension finie (même si E ne l’est pas).
Exemple. Si n ∈ N∗ , alors Kn , Mn,p (K) et Kn [X ] sont de dimension finie.
Théorème 2 – Existence de bases en dimension finie

Si E est de dimension finie, alors E possède des bases.
On peut préciser la façon d’obtenir des bases.
Corollaire 3 – Extraction de base d’une famille génératrice finie
E
Si est de dimension finie et si F est une famille génératrice finie de E, alors on peut
extraire de F une base de . E
Dire que la famille de vecteurs B est extraite de la famille de vecteurs F signifie que tous les
vecteurs de B sont pris parmi les vecteurs de F .
E ¡ ¢
E¡ ¢
Exemple. Donner une base de = Vect (X −1)2 , X 2 , −2X +1 et de = Vect (1, 0); (1, 1); (0, 2) .
Théorème 4 – Nombre de vecteurs d’une famille libre

Si E est engendré par n vecteurs, toute famille de n + 1 vecteurs est liée.
Corollaire 5 – Condition suffisante de dimension infinie

E
Si admet des familles libres avec un nombre quelconque de vecteurs, alors E est de di-
mension infinie.

1 Espaces vectoriels de dimension finie 403
BLes espaces vectoriels K[X ], KN et RR sont de dimension infinie.
1.2 Dimension d’un espace vectoriel
Théorème 6 – Nombre d’éléments des bases

Si E est de dimension finie, alors toutes ses bases ont le même nombre d’éléments.
Ce théorème permet de définir la notion de dimension.
Définition 7 – Dimension
Si E est de dimension finie, on appelle dimension de E le nombre d’éléments de ses bases.
C’est donc un nombre entier naturel ; il est noté dim( ). E

On peut remarquer que : dim( ) = 0 ⇐⇒ E E = {0E}.
Si E n’est pas réduit au vecteur nul, on peut donc dire que dim(E) ≥ 1.
Exemple. Dans E, les droites vectorielles correspondent aux sous-espaces vectoriels de
dimension 1.
Exemple. Dans E, les plans vectoriels correspondent aux sous-espaces vectoriels de

dimension 2.
Exemple. Si n ∈ N∗, alors Kn est de dimension finie et dim ¡Kn ¢ = n.

Exemple. Si n ∈ N, alors Kn [X ] est de dimension finie et dim ¡Kn [X ]¢ = n + 1.
Exemple. Si (n, p) ∈
¡
N∗¢2, alors Mn,p (K) est de dimension finie et dim ¡Mn,p (K)¢ = n × p.
C
B est de dimension finie en tant que C-ev et aussi en tant que R-ev.
C
Mais : dimC ( ) = 1 et dimR ( ) = 2. C
Exemple. Dans RN, E = ©(un )n∈N ∈ RN ± ∀n ∈ N, un+1 = 2un ª est une droite vectorielle.
Exemple. Soit (a, b) ∈ R2 fixé. Alors E = ©(un )n∈N ∈ CN ; ∀n ∈ N, un+2 = aun+1 + bun ª est un
plan vectoriel.
Exemple. Soit (a, b) ∈ R2 fixé. Alors E = © y ∈ D 2(R; C); ∀t ∈ R, y ′′(t ) + a y ′ (t ) + by(t ) = 0ª est
un plan vectoriel.

1.3 Familles de vecteurs en dimension finie

Dans ce paragraphe, on suppose que E est de dimension finie notée n.
On se donne aussi p ∈ N∗ et F = (u1, . . . , up ) une famille de p vecteurs de E.
Théorème 8 – Familles génératrices en dimension finie : extraction d’une base
E
On suppose que est engendré par la famille de vecteurs F = (u 1 , . . . , u p ).
On a alors les propriété suivantes :
1. on peut extraire de F une famille de vecteurs qui est une base de E;
2. p ≥ n ;
3. F est une base de E ⇐⇒ p = n
On retient souvent ce théorème sous la forme suivante : une famille de vecteurs génératrice et
E
minimale de est une base de . E
E
Si F = (u 1 , . . . , u p ) est une famille de vecteurs de , on a donc :
¡ ¢
dim Vect(u 1 , . . . , u p ) ≤ p
et on connaît le cas d’égalité :
¡ ¢
dim Vect(u 1 , . . . , u p ) = p ⇐⇒ les vecteurs (u 1 , . . . , u p ) forment une famille libre
Théorème 9 – Familles libres en dimension finie : théorème de la base incomplète
On suppose que la famille de vecteurs F = (u 1 , . . . , u p ) est libre.

On a alors les propriétés suivantes :
1. on peut compléter la famille de vecteurs F en une base de E;
2. p ≤ n ;
3. F est une base de E ⇐⇒ p = n
On retient souvent ce théorème sous la forme suivante : une famille de vecteurs libre et
E
maximale de est une base de . E
¡ ¢
Exemple. (1, 1); (1, −1) est une base de 2 . R
Exemple. Si F est une droite vectorielle de E, tout vecteur →
u 6= 0 E élément de F est une
− → −
base de F.
Exemple. Si F est un plan vectoriel de E, tous vecteurs →
−
u et →
−
v non colinéaires et éléments
de F forment une base de F.
Exemple. Dans un espace vectoriel de dimension n, toute famille de n + 1 vecteurs ou plus

est liée.
Exemple. Dans Kn [X ], n + 1 polynômes non nuls de degrés échelonnés forment une base.
2 Sous-espaces vectoriels en dimension finie 405
Corollaire 10 – Version précisée du théorème de la base incomplète
E
Si G est une famille de vecteurs génératrice de , alors on peut choisir des vecteurs dans
G pour compléter la famille de vecteurs F en une base . E
¡ ¢
Exemple. Compléter X 2 , X 2 + 1 en une base de K2[X ].
Corollaire 11 – Principe des tiroirs en algèbre linéaire
E
Si est de dimension n et si F est une famille de n vecteurs de E, alors on a équivalence
des trois propriétés :
(i) F est une base de E;
(ii) F est libre ;
(iii) F est une famille génératrice de E
2 Sous-espaces vectoriels en dimension finie
2.1 Inclusion et dimension

Théorème 12 – Sev d’un K-ev de dimension finie
Si E est de dimension finie, alors tous ses sev F sont aussi de dimension finie et vérifient :
dim(F) ≤ dim(E)
F E
B Il n’y a pas de réciproque : si dim( ) ≤ dim( ), on ne peut pas dire que ⊆ F E.
R
Par exemple dans 3 une droite n’est pas incluse dans n’importe quel plan.
Corollaire 13 – Cas d’égalité
Si E est de dimension finie et si F est un sev de E tel que dim(F) = dim(E), alors F = E.
2.2 Rang d’une famille de vecteurs

Dans ce paragraphe, on se donne p ∈ N∗ et F = (u1, . . . , up ) une famille de p vecteurs de E.
Définition 14 – Rang d’une famille de vecteurs
On appelle rang de la famille de vecteurs F = (u 1 , . . . , u p ) la dimension du sous-espace

E
vectoriel de engendré par cette famille.

On le note rg(F ) ou rg(u 1 , . . . , u p ). On a donc :
¡ ¢ ¡ ¢
rg(F ) = dim Vect(F ) ou encore rg(u 1 , . . . , u p ) = dim Vect(u 1 , . . . , u p )
Proposition 15 – Règles de calcul du rang d’une famille de vecteurs
1. Si α ∈ K tel que α 6= 0 :
¡ ¢ ¡ ¢
rg u 1 , . . . , u p−1 , u p = rg u 1 , . . . , u p−1 , α.u p
¡ ¢ ¡ ¢
2. rg u 1 , . . . , u p−1 , 0E = rg u 1 , . . . , u p−1 .
3. Si (λ1 , . . . , λn−1 ) ∈ Kn−1 :
Ã !
¡ ¢ p−1
X
rg u 1 , . . . , u p−1 , u p = rg u 1 , . . . , u p−1 , u p + λk .u k
k=1
¡ ¢
4. Si u p est CL de la famille de vecteurs u 1 , . . . , u p−1 :
¡ ¢ ¡ ¢
rg u 1 , . . . , u p−1 , u p = rg u 1 , . . . , u p−1
Pour calculer le rang d’une famille de vecteurs, il faut donc extraire de (u 1 , . . . , u p ) une base de
Vect(u 1 , . . . , u p ).
¡ ¢
Exemple. rg (1, 0, 1); (1, 1, 0); (0, −1, 1) = 2.
Théorème 16 – Propriétés du rang d’une famille de vecteurs
1. rg(F ) = 0 ⇐⇒ u 1 = u 2 = · · · = u p = 0E
2. rg(u 1 , . . . , u p ) ≤ p
3. rg(u 1 , . . . , u p ) = p ⇐⇒ (u 1 , . . . , u p ) est libre
Théorème 17 – Propriétés du rang d’une famille de vecteurs en dimension finie
On suppose que E est de dimension finie, notée n.

1. rg(u 1 , . . . , u p ) ≤ min(n, p)
2. rg(u 1 , . . . , u p ) = n ⇐⇒ E est engendré par les vecteurs (u1, . . . , up )
Si E est de dimension finie n et si p = n :
rg(u 1 , . . . , u n ) = n ⇐⇒ la famille de vecteurs (u 1 , . . . , u n ) est une base de E

2 Sous-espaces vectoriels en dimension finie 407
2.3 Sommes de sev en dimension finie

Dans ce paragraphe on suppose que F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E.
Théorème 18 – Existence d’un supplémentaire en dimension finie
E F
On suppose que est de dimension finie et que est un sev de . E
F E
Alors admet des supplémentaires dans et ils sont tous de même dimension égale à
E
dim( ) − dim( ). F
B Il n’y pas unicité d’un supplémentaire mais seulement de sa dimension.
Théorème 19 – Formule de Grassmann

On suppose que F et G deux sev de E de dimension finie. F + G est alors de dimension
finie et :
dim( +F G) = dim(F) + dim(G) − dim(F ∩ G)
F G E
Exemple. Si dim( ) + dim( ) > dim( ) alors ∃x ∈ F ∩ G ; x 6= 0E.
Corollaire 20 – Inégalité pour la dimension d’une somme de sev
On suppose que F et G deux sev de E de dimension finie. Alors :

dim(F + G) ≤ dim(F) + dim(G)
avec égalité si, et seulement si, la somme est directe.
On obtient deux nouvelles caractérisations du fait que F et G sont supplémentaires dans E,

E
dans le cas où est de dimension finie.
Théorème 21 – Caractérisation des sev supplémentaires
(i) F et G sont supplémentaires dans E : E = F G ;
(ii) F + G = E et F ∩ G = 0E ;
© ª
(iii) la concaténation d’une base de F et d’une base de G donne une base de E ;

(c’est alors vrai avec n’importe quelle base de F, et n’importe quelle base de G)
(iv) ∀x ∈ E, ∃!( f , g ) ∈ F × G; x = f + g
(v) E = F + G et dim(E) = dim(F) + dim(G) ;
(vi) F ∩ G = 0E et dim(E) = dim(F) + dim(G).
© ª
Exemple. Dans R3, on considère F = Vect ¡(1, 1, 1)¢ et G = ©(x, y, z) ∈ R3/ x + y + z = 0ª.
R F G
Alors 3 = .


➥ Savoir calculer la dimension d’un espace vectoriel en donnant une base.
➥ Connaître les propriétés des familles libres en dimension finie.

✪ Les utiliser pour montrer rapidement qu’une famille de vecteurs est une base.
➥ Connaître les propriétés des familles génératrices en dimension finie.

✪ Les utiliser pour montrer rapidement qu’une famille de vecteurs est une base.
➥ Savoir montrer l’égalité de deux espaces vectoriels grâce à un argument de dimension.
➥ Connaître les propriétés théoriques du rang d’une famille de vecteurs.
➥ Connaître la formule de Grassmann.
➥ Savoir montrer que deux sous-espaces vectoriels sont supplémentaires grâce à un argument
de dimension.

4 Exercices 409
4 Exercices
Familles libres,
génératrices, bases,
dimension
EXERCICE 1. Dans R3
Les familles suivantes sont-elles des bases de R3 ?
¡ ¢ ¡ ¢
F1 = (0, 1, 2), (1, 2, 0), (2, 0, 1) F2 = (1, 1, 0), (2, 0, 1), (3, 1, 1), (1, 0, 2)
EXERCICE 2. Dimension de C ∞ ( , ) RR
N ¡ ¢
Pour tout n ∈ , montrer que la famille x 7−→ ekx 0≤k≤n est libre.
RR
En déduire que C ∞ ( , ) est de dimension infinie.
EXERCICE 3. Dans R4
E R
On considère le sous-espace vectoriel de 4 défini par
³ ´
E
= Vect (1, −1, 3, −3), (2, −2, 4, −4), (3, −3, 7, −7), (1, −1, 1, −1) .
1. Donner une base et la dimension de E.

2. Déterminer un système d’équations cartésiennes de E.
E ⊂ F, où F est défini par
3. Etablir que
³ ´
F = Vect (1, 0, 1, −1), (0, 1, 2, −2), (1, 0, 0, 0), (0, 0, −1, 1)
³ ´
4. On pose G = Vect (1, 0, 0, 1), (1, 2, 0, 0) . Vérifier que E ∩ G = {0}.
EXERCICE 4. Dans RR
On note RR l’ensemble des fonctions numériques définies sur R. On pose :
E = © f ∈ RR; ∀x ∈ R, f (x) = a cos(x) + b sin(x) + c où (a, b, c) ∈ R3ª
Montrer que E est un R-espace vectoriel de dimension finie et donner une base et sa dimension.
EXERCICE 5. Encore dans RR

Pour α > 0, on note Fα l’ensemble des fonctions de la forme :
x 7−→ P (x)eαx +Q(x)e−αx
où P et Q sont des polynômes de degrés inférieurs ou égaux à 1.

1. Montrer que Fα est un R-espace vectoriel.
2. Déterminer une base B de Fα et en déduire sa dimension.

EXERCICE 6. Exemples de bases de polynômes
1. Soient P 1 = X 2 +1, P 2 = X 2 + X +1 et P 3 = X 2 + X . Montrer que (P 1 , P 2 , P 3 ) est une base de

K 2 [X ].
N
2. Soit n ∈ . Pour tout k ∈ 0, n, on pose P k = (X + 1)k+1 − X k+1 . Montrer que (P 0 , . . . , P n )
K
est une base de n [X ].
F © ª
K
3. Montrer que = P = aX 4 + (a + b)X ; (a, b) ∈ 2 est un sev de [X ]. Donner en une K
base et la dimension.
N
4. Soit n ∈ . Pour tout k ∈ 0, n, on pose P k = X k (X + 1)n−k . Montrer que (P 0 , . . . , P n ) est
K
une base de n [X ].
EXERCICE 7. Dans Mn ( ) K
K K
1. Montrer que les -ev Tn+ ( ), Tn− ( ), S n ( K K et An (K) sont de dimension finie et détermi-
ner leur dimension.
n
X
K
2. Si A = ((ai j ))1≤i ,j ≤n ∈ Mn ( ) on note Tr(A) = akk .
ª k=1
H ©
On pose aussi = A ∈ Mn ( ); Tr(A) = 0 . K
H K
Montrer que est un sev de Mn ( ) et déterminer sa dimension.
Rang d’une famille de

vecteurs
EXERCICE 8. Une formule sur le rang

¡−
→ →¢
−
Soient u 1 , . . . , u n famille de vecteurs de EK
-ev, et p ∈ 1, n.
Montrer que :
¡→ ¢ ¡→ ¢
rg −
u ,...,−
1u→ ≤ rg −
u ,...,−
n u→ + n − p
1 p
Sommes directes et
sous-espaces
supplémentaires
EXERCICE 9. Dans
(
Kn )
n
X
Soient E = (x1 , . . . , xn ) ∈ Kn ;
©
xk = 0 et F = (λ, λ, . . . , λ) ∈ Kn ; λ ∈ Kª.
k=1
1. Déterminer une base de E et de F.

2. Montrer que E et F sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de Kn .

4 Exercices 411
EXERCICE 10. Dans Mn ( ) K

On considère le K-ev Mn (K) des matrices carrées d’ordre n.
On rappelle que S n (K) désigne l’ensemble des matrices carrées symétriques d’ordre n, et que
An (K) désigne l’ensemble des matrices carrées antisymétriques d’ordre n.
Montrer que S n (K) et An (K) sont des sev supplémentaires de Mn (K).
EXERCICE 11. Dans R3

³ ´
Déterminer un supplémentaire dans R3 de F = Vect (0, 1, 1), (1, 0, 2) .
EXERCICE 12. Dans R[X ]

On se© donne un entier ª naturel n ≥ £ 3, on note E le R-espace vectoriel Rn [X ]. Montrer que
F = P ∈ Rn [X ]; X |P et G = Vect X (X − 1), (X − 1)(X − 2), X (X − 2) sont des sev supplémen-
3
¤
taires de E.
EXERCICE 13. Dans RN

On note E l’ensemble des (u n ) ∈ RN telles que : ∀n ∈ N, u n+3 = u n+2 + u n+1 + 2u n ,
F l’ensemble des (an ) ∈ RN telles que : ∀n ∈ N, an+1 = 2an et G l’ensemble des (bn ) ∈ RN telles
que : ∀n ∈ N, b n+2 = −b n+1 − b n .
1. Vérifier que E, F et G sont des R-espaces vectoriels.
2. Déterminer une base et la dimension de F et de G.
3. On admet que dim(E) = 3. En déduire que : E = F G. Donner alors une base de E.
4. Soit (u n )n∈N la suite définie par u 0 = 1, u 1 = 0, u 2 = 2 et :
N
∀n ∈ , u n+3 = u n+2 + u n+1 + 2u n .
Déterminer l’expression de u n en fonction de n.
E
5. Sans admettre que dim( ) = 3, redémontrer que E = F G par analyse-synthèse.
EXERCICE 14. Hyperplans
E K
Soient un -ev de dimension finie notée n. On dira qu’un sev H de E est un hyperplan lorqu’il
D E
existe une droite vectorielle de telle que = . E H D
1. Montrer que :
H est un hyperplan de E ⇐⇒ dim(H) = dim(E) − 1
2. Si H1 et H2 sont deux hyperplans de E, donner la dimension de H1 ∩ H2 .


413
Chapitre 16
Intégration sur un segment
Sommaire
1 Fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
1.1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
1.2 Intégrale sur un segment d’une fonction en escalier . . . . . . . . . . . . . 416
2 Intégrale sur un segment d’une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
2.2 Propriétés de l’intégrale sur un segment d’une fonction continue . . . . . 419
2.3 Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
3 Calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
3.1 Théorème fondamental de l’analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
3.2 Fonctions définies par une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
3.3 Formules de calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
3.4 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
4 Brève extension au cas des fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . 426
6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

414 C HAPITRE 16 : Intégration sur un segment
Dans tout ce chapitre, sauf mention contraire, [a, b] désignera un segment non vide et non ré-
duit à un point, c’est-à-dire tel que a < b.
1 Fonctions en escalier
1.1 Définitions et premières propriétés
Définition 1 – Subdivision de [a, b]
Une subdivision du segment [a, b] est une famille σ = (x0 , . . . , xn ) de n + 1 points de [a, b],
N
avec n ∈ ∗ , telle que :
a = x0 < x1 < · · · < xk < xk+1 < · · · < xn = b
Cela revient à découper le segment [a, b] en n sous-intervalles.
¡ ¢
Exemple. σ = −1, 1, 32 , 3, 4 est une subdivision de 5 points de [−1, 4].
x0 x1 x2 x3 x4
−1 1 3 3 4
2
Définition 2 – Pas d’une subdivision

Si σ = (x0 , . . . , xn ) est une subdivision de n + 1 points de [a, b], alors on appelle pas de cette
subdivision le réel positif : ¡ ¢
|σ| = max xk+1 − xk
0≤k≤n−1
Exemple. Sur l’exemple précédent : |σ| = 2.
Si σ = (x0 , . . . , xn ) est une subdivision de n + 1 points de [a, b], on dit qu’elle est régulière lorsque
la quantité xk+1 − xk ne dépend pas de k. Pour n fixé, il n’y a en fait qu’une seule subdivision
régulière possible. On peut donc parler donc de la subdivision régulière de n +1 points de [a, b].
Elle est donnée par :
b−a
∀k ∈ 0, n, xk = a + k ×
n
On a :
b−a
∀k ∈ 0, n − 1, xk+1 − xk = |σ| =
n

1 Fonctions en escalier 415
¡ ¢
Exemple. σ = −1, 41 , 32 , 11
4 , 4 est la subdivision régulière de 5 points de [−1, 4].
x0 x1 x2 x3 x4
−1 1 3 11 4
4 2 4
Définition 3 – Fonction en escalier sur [a, b]
R
On dit que ϕ : [a, b] −→ est en escalier sur [a, b] lorsqu’il existe un entier n ∈ ∗ et uneN
subdivision σ = (x0 , . . . , xn ) en n + 1 points de [a, b] telle que, pour tout k ∈ 0, n − 1, ϕ est
constante sur ]xk , xk+1 [.
Une telle subdivision σ est dite adaptée à ϕ.
On remarque que les valeurs prises par ϕ aux points x0 , x1 , . . ., xn n’ont pas d’importance.
Exemple. Toute fonction constante sur [a, b] est en escalier.
La subdivision σ n’est pas unique : on peut éventuellement retirer certains points, et on peut
toujours en ajouter de façon arbitraire. On en déduit que toute subdivision contenant une sub-
division adaptée à ϕ est encore adaptée à ϕ.
· ¸
9
Exemple. La fonction suivante est en escalier sur −2, :
2
−2 9
2

R
Notation : on notera E ([a, b]; ) l’ensemble des fonctions en escalier sur le segment [a, b] à va-
leurs réelles.
La remarque suivante est importante dans la suite : ϕ et ψ sont deux fonctions en escaliers sur
[a, b] et si σ et σ′ sont des subdivisions de [a, b] resxpectivement adaptées à ϕ et à ψ alors la
subdivision σ ∨ σ′ , formée de la réunion des points de σ et de σ′ , est une subdivision adaptée
simultanément à ϕ et à ψ.
Proposition 4 – Stabilité de E ([a, b]; ) R

Si ϕ et ψ sont deux fonctions en escaliers sur [a, b] et si λ ∈ R, alors les fonctions λ.ϕ + ψ,
ϕ × ψ et |ϕ| sont elles aussi en escaliers sur [a, b].
1.2 Intégrale sur un segment d’une fonction en escalier

R
Soit ϕ : [a, b] −→ une fonction en escalier sur [a, b] et σ = (x0 , . . . , xn ) une subdivision en n + 1
points de [a, b], adaptée à ϕ. Pour tout k ∈ 0, n−1, on note λk la valeur prise par ϕ sur ]xk , xk+1 [.
On définit alors le nombre réel :
n−1
X
I (σ, ϕ) = λk × (xk+1 − xk )
k=0
On peut montrer que I (σ, ϕ) est indépendante de la subdivision σ choisie adaptée à ϕ. En effet
si l’on forme une subdivision σ′ en adjoignant un point à la subdivision σ, on montre facilement
que I (σ, ϕ) = I (σ′, ϕ). En raisonnant par récurrence, on montre que la propriété perdure pour
toute subdivision σ′ contenant les points de σ. Enfin, en transitant par la réunion des deux
subdivisions, on observe que la propriété est encore valable quand σ et σ′ sont des subdivisions
quelconques toutes deux adaptées à f.
Z
Le réel I (σ, ϕ) est désormais noté ϕ et est appelé intégrale de ϕ sur le segment [a, b].
[a,b]
Z
Géométriquement, ϕ représente l’aire algébrique de la partie du plan délimitée par C ϕ ,
[a,b]
l’axe des abscisses et les droites d’équation x = a et x = b : les aires rectangles situés au-dessus
de l’axe (Ox) sont affectées d’un signe +, et celles des rectangles situés en-dessous de l’axe (Ox)
sont affectées d’un signe −.
Remarque : les valeurs prises par ϕ aux points de la subdivision n’interviennent pas dans le
Z
calcul de ϕ. On en déduit que si on change les valeurs d’une fonction en escalier en un
(a,b]
nombre fini de points, alors on ne change pas la valeur de son intégrale.
Exemple. On reprend la fonction ϕ du paragraphe précédent. Alors :

Z µ ¶ µ ¶ µ ¶
1 1 9 13
ϕ = 1 × (0 − (−2)) + (−2) × − 0 + 2 × 2 − + 0 × (3 − 2) + 2 × (4 − 3) + 5 × − 4 =
[−2,9/2] 2 2 2 2

2 Intégrale sur un segment d’une fonction continue 417
Z
Exemple. Si f est constante égale à λ alors f = λ × (b − a).
[a,b]
Z
Exemple. Si f est nulle sur [a, b] sauf en un nombre fini de points alors f = 0.
[a,b]
Dans la proposition suivante, ϕ et ψ sont deux fonctions en escalier sur [a, b] et λ une constante
réelle.
Proposition 5 – Propriétés de l’intégrale des fonctions en escalier

Z Z Z
1. Linéarité de l’intégrale. (λ × ϕ + ψ) = λ × ϕ+ ψ
[a,b] [a,b] [a,b]
Z
2. Positivité de l’intégrale. Si ∀x ∈ [a, b], ϕ(x) ≥ 0 alors ϕ≥0
[a,b]
Z Z
3. Croissance de l’intégrale. Si ∀x ∈ [a, b], ϕ(x) ≥ ψ(x) alors ϕ≥ ψ
[a,b] [a,b]
¯Z ¯ Z
¯ ¯ ¯ ¯
4. Inégalité triangulaire. ¯ ¯ ϕ¯¯ ≤ ¯ϕ¯
[a,b] [a,b]
5. Relation deZChasles.Z Si c ∈]a,
Z b[ alors les restrictions de ϕ à [a, c] et [c, b] sont en
escalier et ϕ= ϕ+ ϕ
[a,b] [a,c] [c,b]
2 Intégrale sur un segment d’une fonction continue

2.1 Définition
Théorème 6 – Approximation d’une fonction continue par des fonctions en escalier
Soit f une fonction continue sur le segment [a, b] et à valeurs réelles.

Pour tout ε > 0, il existe deux applications ϕ et ψ en escalier sur [a, b] telles que :
∀x ∈ [a, b], ϕ(x) ≤ f (x) ≤ ψ(x) et ∀x ∈ [a, b], 0 ≤ ψ(x) − ϕ(x) ≤ ε

Soit f : [a, b] −→ R+ une fonction continue. On définit les parties de R suivantes :

½Z ¾
e( f ) = ϕ; ϕ ∈ E ([a, b]) et ∀x ∈ [a, b], ϕ(x) ≤ f (x)
[a,b]
et : ½Z ¾
E(f ) = ψ; ψ ∈ E ([a, b]) et ∀x ∈ [a, b], f (x) ≤ ψ(x)
[a,b]
L’ensemble e( f ) étant majoré non vide, et l’ensemble E ( f ) étant minoré et non vide, on peut
définir les réels :
α = sup e( f ) et β = inf E ( f )
De plus α ≤ β.
En fait ces deux nombres sont égaux.
Théorème 7 – Définition de l’intégrale sur un segment d’une fonction continue
Si f est une fonction continue sur le segment [a, b], la borne supérieure des intégrales sur
[a, b] des fonctions en escalier qui minorent f , est égale à la borne inférieure des intégrales
sur [a, b] des fonctions en escalier qui majorent f .
On
Z appelle alors intégrale de f sur [a, b] la valeur commune de ces deux bornes et Zon la note
f . Lorsqu’on veut préciser la variable de la fonction on peut noter l’intégrale f (x)dx
[a,b] [a,b]
Zb
ou encore f (x)dx. La fonction f est appelée intégrande.
a
B Attention : dans la notation précedente, la variable x est muette :

Zb Zb Zb Zb
f (x)dx = f (t )dt = f (u)du = f (z)dz = . . .
a a a a
Zb
Interpétation géométrique : f (x)dx est égale à l’aire algébrique de la portion de plan déli-
a
mitée par la courbe C f , l’axe des abscisses, et les droites d’équation x = a et x = b.
Terminons par une petite précision : si f est à la fois continue sur [a, b], et en escalier sur [a, b],
nous avons donc deux définitions différentes de l’intégrale de f entre [a, b]. En fait f est une
fonction constante sur [a, b] et les deux définitions précédentes coïncident.
Extension de la définition. On pose :

Za Zb Za
f (x) dx = − f (x) dx et f (x) dx = 0
b a a
Zb
Ainsi si f est continue sur un intervalle I , on a défini f (x) dx pour tout (a, b) ∈ I 2 (sans la
a
condition a < b).

2 Intégrale sur un segment d’une fonction continue 419
2.2 Propriétés de l’intégrale sur un segment d’une fonction continue

Nous allons voir que les propriétésZde l’intégrale sont très proches de celles de la somme
X
discrète . Par analogie, on dit que est une somme continue.
Dans le théorème suivant, f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle I à valeurs
réelles, et λ est une constante réelle.
Théorème 8 – Propriétés de l’intégrale des fonctions continues
On se donne a, b et c trois points de I .

Zb Zb Zb
¡ ¢
1. Linéarité de l’intégrale. λ × f (x) + g (x) dx = λ × f (x) dx + g (x) dx
a a a
2. On suppose que a ≤ b.
Zb
(a) Positivité de l’intégrale. Si ∀x ∈ [a, b], f (x) ≥ 0 alors f (x) dx ≥ 0
a
Zb Zb
(b) Croissance de l’intégrale. Si ∀x ∈ [a, b], f (x) ≤ g (x) alors f (x) dx ≤ g (x) dx
a a
¯Zb ¯ Zb
¯ ¯ ¯ ¯
(c) Inégalité triangulaire. ¯¯ f (x) dx ¯¯ ≤ ¯ f (x)¯ dx
a a
Zb Zc Zb
3. Relation de Chasles. f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx
a a c
Pour les trois propriétés qui utilisent une inégalité, il est indispensable que a < b : on dira que
« les bornes sont dans le bon sens ».
Noter que pour la relation de Chasles, on ne suppose pas que a < c < b.
B Prendre garde à la différence avec la relation de Chasles pour les sommes discrètes :
n
p n
X X X
uk = uk + uk
k=0 k=0
k= p+1
Zπ/2
N
Exemple. Soit n ∈ . On pose I n =
0
(cos x)n dx (intégrales de Wallis). Montrer que la suite
(I n )n∈N est convergente.
Exemple. Montrer que, si f continue sur [a, b] tel que a ≤ b :

¯Zb ¯
¯ ¯
¯ f (x) dx ¯ ≤ (b − a). max | f (x)|
¯ ¯ a≤x≤b
a

Corollaire 9 – Linéarité de l’intégrale
Si f 1 , . . . , f n sont des fonctions continues sur [a, b] et λ1 , . . . , λn des nombres réels, alors :
Zb Ã X
n
!
n µ
X Zb ¶
λk . f k (x) dx = λk . f k (x) dx
a k=1 k=1 a
B Ceci est complètement faux avec la multiplication ! En général :

Zb Zb Zb
f (x) × g (x) dx 6= f (x) dx × g (x) dx
a a a
Théorème 10 – Stricte positivité de l’intégrale
Soit f une fonction continue et positive sur un segment [a, b] tel que a < b .
Zb
1. Stricte positivité. f (x) dx = 0 =⇒ ∀x ∈ [a, b], f (x) = 0
a
Zb
2. Contraposée. ∃x0 ∈ [a, b]; f (x0 ) 6= 0 =⇒ f (x) dx > 0
a
B Ce résultat est faux pour l’intégrale des fonctions en escalier.

Zπ/2
N
Exemple. Soit n ∈ . On pose I n = (cos x)n dx. Alors I n > 0.
0
Zb
1
Le réel f (x) dx est appelé valeur moyenne de f sur le segment [a, b].
b−a a
Exemple. Montrer que la valeur moyenne de f sur [a, b] est une valeur prise par f sur [a, b].
2.3 Sommes de Riemann

Définition 11 – Somme de Riemann
R N
Si f : [a, b] −→ est une fonction et n est un entier de ∗ , on appelle somme de Riemann
de f d’ordre n :
µ ¶
1 n−1
X b−a
Sn ( f ) = × f a +k
n k=0 n
b−a
Pour simplifier on note ak = a + k .
n
Interprétation graphique : Pour tout k ∈ 0, n − 1, b−a n
× f (ak ) est l’aire du rectangle de base
[ak , ak+1 ] et de hauteur f (ak ). (b − a)×S n ( f ) est la somme des aires de ces rectangles, le long du
segment [a, b].

3 Calcul intégral 421
Théorème 12 – Théorème de la valeur moyenne
Si f est continue sur [a, b] alors :

Zb
1
S n ( f ) −→ × f (x) dx
n→+∞ b − a a
Cas particulier a = 0 et b = 1 : Si f est continue sur [0, 1], alors :

µ ¶ Z1
1 n−1
X k
× f −→ f (x) dx
n k=0 n n→+∞ 0
X2n 1
Exemple. Montrer que −→ ln(2)
k=n k
n→+∞
On en déduit une méthode numérique de calcul approchée d’une intégrale, appelée méthode
des rectangles.
3 Calcul intégral
3.1 Théorème fondamental de l’analyse
Dans le théorème suivant I est un intervalle de R non vide et non réduit à un point, et f est une
fonction définie sur I à valeurs réelles.
Théorème 13 – Théorème fondamental de l’analyse
On suppose que f est continue sur I et on se donne x0 un

Zpoint de I . x
On définit une fonction F : I −→ R par : ∀x ∈ I , F (x) =
x0
f (t ) dt .
La fonction F est alors de classe C 1 sur I et : ∀x ∈ I , F ′ (x) = f (x).
Autrement dit F est une primitive de f sur I . On peut aussi remarquer que F s’annule en x0 :
F (x0 ) = 0.

Zx Zt Zx
B Les notations f (x) dx et f (t ) dt n’ont pas de sens. Par contre f (x) dt = (x −x0 )× f (x).
x0 x0 x0
Corollaire 14 – Primitives d’une fonction continue

1. Si f est continue sur l’intervalle I alors elle admet une infinité de primitives sur I ,
toutes égales à une constante additive près, et toutes de classe C 1 sur I .
2. Si x0 ∈ I , il existe une unique
Zx primitive F de f sur I telle que F (x0 ) = 0 : elle est
donnée par ∀x ∈ I , F (x) = f (t ) dt
x0
B Une fonction définie sur I mais non continue n’admet pas de primive en général.
Corollaire 15 – Calcul d’une intégrale à l’aide d’une primitive
Si f est continue sur [a, b] et si F est n’importe quelle primitive de f sur [a, b] alors :
Zb h ix=b
f (x) dx = F (b) − F (a) = F (x)
a x=a
Corollaire 16 – Théorème fondamental de l’analyse version 2
Si f est de classe C 1 sur [a, b] alors :

Zb
f ′ (x) dx = f (b) − f (a)
a
Exemple. Démontrer l’inégalité des accroissements finis pour une fonction de classe C 1 sur
intervalle I et à dérivée bornée.
Corollaire 17 – Primitivation d’un développement limité
On suppose que f est de classe C 1 au voisinage de 0 et que f ′ admet un DL n (0) :
f ′ (x) = λ0 + λ1 x + λ2 x 2 + · · · + λn x n + o x→0 (x n )
Alors f admet un DL n+1 (0) obtenu en primitivant terme à terme :
x2 x3 x n+1
f (x) = f (0) + λ0 x + λ1 + λ2 + · · · + λn + o x→0 (x n+1 )
2 3 n +1

3.2 Fonctions définies par une intégrale

On peut définir des fonctions à l’aide d’une intégrale.
On suppose donc que u et v sont deux fonctions numériques et que f est une fonction numé-
rique continue sur un intervalle I .
On définit alors une fonction g par la formule :

Zv (x)
g (x) = f (t ) dt
u(x)
La fonction g peut alors être étudier comme n’importe quelle fonction numérique : dérivée,
variations, limites, équivalents. . . On propose le plan d’étude suivant.
• Ensemble de définition :
f est continue sur [u(x), v (x)] =⇒ x ∈ Dg
On détermine donc la plus grande partie A de R telle que pour tout x ∈ A, f est continue sur le
segment [u(x), v (x)]. On a alors A ⊆ Dg .
RAISONNEMENT IMPORTANT : pour aller plus loin on se donne une autre expression de g (x).
On prend F n’importe quelle primitive de f sur I (F existe car f est continue). On a alors :
¡ ¢ ¡ ¢
∀x ∈ A, g (x) = F v (x) − F u(x) (∗)
C’est cette expression qui va nous permettre de poursuivre notre étude.

Noter pour la suite que F est C 1 sur I .
• Continuité de g : d’après la formule (∗), si u et v sont continues sur A et à valeurs dans I , alors
g est continue sur A.
• Dérivabilité de g : d’après la formule (∗), si u et v sont dérivables sur A et à valeurs dans I ,

alors g est dérivable sur A et :
¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢
∀x ∈ A, g ′ (x) = v ′ (x).F ′ v (x) − u ′ (x).F ′ u(x) = v ′(x). f v (x) − u ′ (x). f u(x)
En général on se sait pas calculer l’expression de F (x), mais ce n’est pas important vu que l’ex-
pression de g ′(x) dépend seulement de celle de f (x).
• Limites ou équivalents de g en certains points : on détermine un encadrement de f , et on en

déduit par croissance de l’intégrale un encadrement de g .
Zp x
et
Exemple. On pose g (x) = p dt . Montrer que g est définie sur ]0, +∞[ et étudier ses
1/ x t
variations. Montrer que ∀x ≥ 1, g (x) ≥ 2 ln(x) et en déduire la valeur de lim g (x).
x→+∞

3.3 Formules de calcul intégral

Théorème 18 – Intégration par parties (IPP)
Si u et v sont deux fonctions de classe C 1 sur [a, b] alors :

Zb h i b Zb
′
u (x).v (x) dx = u(x).v (x) − u(x).v ′ (x) dx
a a a
Méthode : Penser à ce théorème lorsqu’apparaissent :

• des termes en x n . f (x) qu’on simplifie en dérivant n fois x n ;
• des bijections réciproques comme ln, arctan, arccos . . . ;
• des termes en sin, cos, exp dont la dérivée est proche de la fonction intiale.
Exemple. Déterminer les primitives de ln sur R∗+.

Z1
Exemple. Calculer x 2 ex dx.
0
Zπ
Exemple. Calculer ex cos(x) dx.
0
Le théorème
X suivant est l’analogue du théorème de changement d’indice dans une somme dis-
crète .
Théorème 19 – Théorème de changement de variable
Si f est continue sur [a, b] et si ϕ est de classe C 1 sur [α, β] et à valeurs dans [a, b], et véri-
fiant les conditions :
ϕ(α) = a et ϕ(β) = b
alors on a : Zb Zβ
¡ ¢
f (x) dx = f ϕ(t ) .ϕ′ (t ) dt
a α
Zb
En pratique : pour calculer f (x) dx, on pose x = ϕ(t ).
a
On a alors dx = ϕ′ (t ) dt et on détermine α et β tels que ϕ(α) = a et ϕ(β) = b.
Z1
ex
Exemple. Calculer I = dx en posant t = ex .
0 1 + e2x
Z1 p
Exemple. Calculer 1 − x 2 dx en posant x = sin(t ).
0

Corollaire 20 – Intégrale d’une fonction paire/impaire
Soit f une fonction continue sur [−a, a] où a > 0. Alors :

1. Si f est paire sur [−a, a] :
Za Za Z0
f (x) dx = 2 f (x) dx = 2 f (x) dx
−a 0 −a
2. Si f est impaire sur [−a, a] : Za

f (x) dx = 0
−a
Z2 Z2 Zln(2) ³ ¡ ¢´
Exemple. |x| dx = 2 x dx = 4 et arctan sin arctan(x) dx = 0.
−2 0 −ln(2)
3.4 Formules de Taylor
Cette formule est aussi appelée formule de Taylor-Mac Laurin.
Théorème 21 – Formule de Taylor avec reste intégral
Soient n un entier naturel et f une fonction de classe C n+1 sur un intervalle I . Alors, pour
tout (a, b) ∈ I 2 :
Xn f (k) (a) Zb (n+1)
k f (t )
f (b) = (b − a) + (b − t )n dt
k=0 k! a n!
En particulier si f est classe C n+1 sur un intervalle I contenant 0 alors :
Xn f (k) (0) Zx (n+1)

k f (t )
∀x ∈ I , f (x) = x + (x − t )n dt
k=0 k! 0 n!
Xn 1
Exemple. Montrer que −→ e
k=0 k!
n→+∞
h πi x3 x3 x5
Exemple. Montrer que : ∀x ∈ 0, , x− ≤ sin(x) ≤ x − + .
2 6 6 120

On déduit la formule de Taylor-Young qui donne tous les développements limités usuels.
Théorème 22 – Formule de Taylor-Young
Soient n un entier naturel et f une fonction de classe C n sur un intervalle I . Alors, pour
tout a ∈ I , f admet un DL n (a) donné par :
Xn f (k) (a) ¡ ¢
f (x) = (x − a)k + o x→a (x − a)n
k=0 k!
En particulier si f est de classe C n sur un voisinage de 0 :
Xn f (k) (0)
f (x) = x k + o x→0 (x n )
k=0 k!
B Cette fois c’est une formule locale, contrairement à la formule précédente qui était globale.
Corollaire 23 – Existence d’un DL à tout ordre en un point
Si f est classe C ∞ sur un intervalle I contenant le point a, alors pour tout n ∈ N, f admet
un DL n (a).
On en déduit tous les developpements limités usuels.
4 Brève extension au cas des fonctions à valeurs complexes

On se donne I un intervalle de R et f : I −→ C une fonction continue sur I .
Définition 24 – Intégrale sur [a, b] d’une fonction continue à valeurs complexes
Pour tout (a, b) ∈ I 2 on appelle intégrale de f entre a et b le nombre complexe défini par :
Zb Zb Zb
¡ ¢ ¡ ¢
f (x) dx = Re f (x) dx + i Im f (x) dx
a a a
Important. On a donc par définition :

µZ b ¶ Zb µZb ¶ Zb
¡ ¢ ¡ ¢
Re f (x) dx = Re f (x) dx et Im f (x) dx = Im f (x) dx
a a a a
Z2π Z2π Z2π

ix
Exemple. e dx = cos(x) dx + i sin(x) dx = 0 + i 0 = 0.
0 0 0
Z1 Z1 Z1 Z1
dx x −i x dx 1 π
Exemple. = dx = dx − i = ln(2) − i .
0 x +i 0 x2 + 1 0
2
x +1 0 x2 + 1 2 4

4 Brève extension au cas des fonctions à valeurs complexes 427
Comme pour les fonctions à valeurs réelles, l’intégrale peut se calculer à l’aide d’une primitive.
Théorème 25 – Calcul de l’intégrale sur [a, b] d’une fonction à valeurs complexes
Si F est n’importe quelle primitive de f sur l’intervalle I alors :

Zb
£ ¤t=b
f (t ) dt = F (b) − F (a) = F (t ) t=a
a
Z2π · ¸2π
1 e2i π − e0
Exemple. ix
e dx = ei x = = 0.
0 i 0 i
Z2π
Exemple. Pour a ∈ , calculer R eax cos(x) dx.
0
On retrouve la propriété de linéarité de l’intégrale et la relation de Chasles.
Théorème 26 – Propriétés de l’intégrale
C
Si λ ∈ et f , g sont deux fonctions continues sur I et à valeurs dans C, alors pour tout
(a, b, c) ∈ I 2 :
Zb Zb
1. λ × f (x) dx = λ × f (x) dx
a a
Zb Zb Zb
¡ ¢
2. f (x) + g (x) dx = f (x) dx + g (x) dx
a a a
Zb Zb
3. f (x) dx = f (x) dx
a a
Zb Zc Zb
4. f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx
a a c
B Par contre les propriétés de croissance et de positivité n’ont plus de sens dans le cadre des
fonctions à valeurs complexes. Par exemple, la fonction t 7−→ ei t est d’intégrale nulle sur [0, 2π]
et pourtant elle ne s’annule pas.
Théorème 27 – Inégalité triangulaire
Pour tout (a, b) ∈ I 2 tel que a ≤ b :

¯Zb ¯ Zb
¯ ¯ ¯ ¯
¯ f (x) dx ¯¯ ≤ ¯ f (x)¯ dx
¯
a a
Les formules d’intégration par parties, de changement de variable et de Taylor avec reste intégral
restent valables.
Zπ
Exemple. Vérifier que xei x dx = −2 + i π.
0


➥ Connaître les propriétés de l’intégrale.
✪ Savoir utiliser la linéarité ou la relation de Chasles.
✪ Savoir encadrer une intégrale en utilisant la croissance de l’intégrale ou l’inégalité
triangulaire.
➥ Connaître le théorème de la valeur moyenne.

✪ Savoir l’utiliser pour étudier une intégrale à partir de propriétés de suites réelles.
✪ Savoir l’utiliser pour calculer la limite d’une suite réelle.
➥ Connaître les grandes formules du calcul intégral.

✪ Savoir intégrer par parties.
✪ Savoir utiliser un changement de variable.
✪ Savoir encadrer une fonction par des polynômes avec la formule de Taylor avec reste
intégral.
➥ Savoir étudier une fonction définie par une intégrale.

✪ Étudier son ensemble de définition en déterminant les intervalles de continuité de
l’intégrande.
✪ Étudier sa dérivabilité grâce au théorème fondamental de l’analyse.
✪ Utiliser des encadrements pour étudier les limites aux bornes ou chercher des
équivalents.

6 Exercices 429
6 Exercices
Majorations et
minorations
d’intégrales
EXERCICE 1. Encadrement de sommes à l’aide d’intégrales
1. (a) Montrer que :

Zk+1
∀k ∈ N, ∗ 1
k +1
≤
1
x
1
dx ≤ .
k
k
Xn 1
(b) On pose pour tout n ∈ N∗ : Hn = . Montrer que :
k=1 k
∀n ≥ 2, ln(n + 1) ≤ Hn ≤ 1 + ln(n).
¡ ¢
(c) En déduire que la suite Hn − ln(n) n∈N∗ est convergente puis donner un équivalent
de Hn lorsque n → +∞.
ln t
2. (a) Étudier la fonction f : t 7−→ .
t
Xn ln k
(b) Adapter la méthode précédente pour trouver un équivalent de S n = , lorque
k=1 k
n → +∞.
EXERCICE 2. Limite d’une somme

X n µ i ¶n
Pour n ∈ N tel que n ≥ 2, on pose u n = .
i =1 n
−x
1. Démontrer les inégalités, pour x ∈]0, 1[ : ≤ ln(1 − x) ≤ −x
1−x
n−p−1 µ ¶n p µ ¶
X j X k n
Pour p ∈ 0, n − 2, on pose v n,p = et w n,p = 1− .
j =1 n k=0 n
µ ¶n Z( j +1)/n
j
2. Pour j ∈ 1, n−p−1, établir que < n× t n dt puis montrer que 0 ≤ v n,p ≤ e−p .
n j /n
3. Obtenir un encadrement de w n,p .
4. En déduire un encadrement de u n .
5. Montrer que (u n ) possède une limite et la calculer.

Suites définies par une

intégrale
EXERCICE 3. Étude d’une suite

µZ 1 ¶ n1
tn
On considère la suite (u n )nÊ1 définie par : ∀n Ê 1, u n = dt .
0 (1 + t )n
1. Calculer u 1 .
1
2. Établir que : ∀n Ê 1, 0 É u n É .
2
a 1
3. Soit a ∈ [0, 1]. Montrer que : ∀n Ê 1, u n Ê (1 − a) n .
1+a
4. A l’aide d’une suite (an )nÊ1 à valeurs dans [0, 1] judicieusement choisie, montrer que la
suite (u n )nÊ1 converge vers 21 .

On considère la suite (I n )n∈N définie par :
Z1
tn
∀n ∈ N, I n = dt.
0 1+ t2
1. Montrer que (I n )n≥0 converge et donner sa limite.

2. En déduire un équivalent de la suite (J n )n∈N définie par :
Z1
¡ ¢
∀n ∈ N, J n = t n ln 1 + t 2 d t .
0

Z1
Pour n, p ∈ N on pose I n,p = (1 + x)n (1 − x)p d x.
−1
1. Pour n ≥ 1, exprimer I n,p en fonction de I n−1,p+1 , puis I n,p en fonction de I 0,n+p , pour
tout (n, p) ∈ N2 . En déduire la valeur de I n,p en fonction de n et p.
2. Retrouver cette valeur en utilisant la formule du binôme.
Zπ
3. À l’aide du changement de variable x = cos(t ) calculer W2n = sin2n (t ) dt .
0
Fonctions définies par

une intégrale
EXERCICE 6. Un calcul de limite

Zx
1 t2
Calculer : lim dt.
x→1 x − 1 1 1 + t 2

6 Exercices 431

Zx
ln t
Soit : G(x) = dt.
1 1+ t2
x
1. Montrer que G est définie sur ]0, +∞[.

2. Montrer que G est de classe C 1 sur ]0, +∞[.
3. Calculer G ′ . Conclusion ?

Z(sin x)2 Z(cos x)2
p p
Soit la fonction f : x 7−→ arcsin t d t + arccos t d t .
0 0
1. Montrer que f est définie et dérivable sur R.

2. Montrer que f est π-périodique et paire.
£ ¤
3. Montrer que f est constante sur 0, π2 , et en déduire qu’elle est constante sur R.
4. Donner la valeur de cette constante. On commencera par démontrer que :
π
∀x ∈ [−1, 1], arcsin(x) + arccos(x) = .
2

Z2x
1
On considère la fonction f définie par f (x) = dt .
x t + sin(t )
1. Montrer que f est définie sur R ∗
.
2. Vérifier que f est paire.
3. Montrer que f est dérivable sur R∗ et donner f ′(x).
4. A l’aide du théorème des gendarmes, déterminer la limite de f en +∞.
Calcul intégral
EXERCICE 10. Calculs d’intégrales de fractions rationnelles

Z2
u −1
1. Calculer I = du.
1 2u + 1
Z1 µ ¶
x +1 3 1
2. Montrer que 2
d x = ln − .
0 x + 4x + 4 2 6
Z1
x +1 ³p ´ πp 3
3. Montrer que 2
d x = ln 3 + .
0 x +x +1 18

EXERCICE 11. Calculs d’intégrales

Calculer les intégrales ou les primitives suivantes :
Zπ/4 Z Z1 Z1
4 3 −x 2 −x
sin (x) cos (x) d x, e cos(x) d x, x e d x, t arctan(t ) d t
0 0 0
EXERCICE 12. Changements de variables

Au moyen du changement de variable indiqué entre parenthèses calculer les intégrales sui-
vantes :
Zπ/2
dt
1. (u = cos(t ))
π/4 sin(t )
Zπ/4
1
2. dx (u = tan(x))
0 1 + cos2 (x)
Z2 ³ x ´ ln(x)
3. cos dx (x = 1/t )
1/2 1 + x2 x
EXERCICE 13. Utilisation d’une symétrie

Soient a < b deux réels et f continue sur [a, b].
Zb Zb
Montrer au moyen d’un changement de variable affine que f (a + b − x) dx = f (x) dx.
Zπ a a
t sin(t )
Application : calculer 2
dt .
0 1 + cos (t )
EXERCICE 14. Calcul d’une famille d’intégrale

¯ ¯2
Pour a ∈] − 1, 1[, on considère la fonction f a définie par : f a (x) = ¯1 − ae i x ¯ .
1. Pour tout a ∈] − 1, 1[ et tout x ∈ [0, π] vérifier les propriétés suivantes :

¡ ¢2 ¡ ¢2
• 1 − |a| É f a (x) É 1 + |a|
• f a (π − x) = f −a (x)
¡ ¢ ¡ ¢
• f a 2 (x) = f a x2 f −a x2
Zπ
¡ ¢
On pose, pour tout a ∈] − 1, 1[ : g (a) = ln f a (x) dx.
0
2. Montrer que g est une fonction paire.
3. Montrer que : ∀a ∈] − 1, 1[, g (a 2 ) = 2g (a).
4. Montrer que g est continue en 0.
5. En déduire que : ∀a ∈] − 1, 1[, g (a) = 0.

6 Exercices 433
Sommes de Riemann
EXERCICE 15. Limite de sommes

n µ ¶
1 X 2 kπ
1. Calculer la limite de la suite (an )n≥1 définie par : ∀n ≥ 1, an = 3 k sin .
n k=1 n
s
n (2n)!
2. Calculer la limite de la suite (xn )n≥1 définie par : ∀n ≥ 1, xn = .
n!n n
EXERCICE 16. Inégalité de Jensen
1. Vérifier que : ∀t > 0, ln(t ) É t − 1.

xk
2. Soient x1 , x2 , . . . , xn n réels strictement positifs. En utilisant ak = , où x est la moyenne
x
des xk , établir que :
n µ n ¶
1 X 1 X
ln(xk ) É ln xk
n k=1 n k=1
3. Soit f une fonction continue sur [0, 1], à valeurs strictement positives. Montrer que :
Z1 µ Z1 ¶
¡ ¢
ln f (t ) dt É ln f (t ) dt
0 0
Exercices théoriques
EXERCICE 17. Inégalité de Cauchy-Schwarz

Soient f et g deux fonctions continues sur un segment [a, b]. Établir que :
¯Zb ¯ sZb s
Zb
¯ ¯
¯ ¯
f (t ) × g (t ) dt ¯ ≤ 2
f (t ) dt × g (t )2 dt
¯
a a a
Zb
¡ ¢2
Hint : on pourra étudier le signe de la fonction polynômiale x 7−→ P (x) = x. f (t ) + g (t ) dt
a
EXERCICE 18. Lemme de Riemann-Lebesgue

Soit f de classe C 1 sur un segment [a, b]. Montrer que :
Zb
lim f (t ) × sin(nt ) d t = 0.
n→+∞ a

EXERCICE 19. Une formule de la moyenne

On considère deux fonctions f et g définies sur un intervalle I = [a, b] de R. On suppose que f
est de classe C 1 , positive et décroissante sur I et queZg est continue sur I .
x
On considère le fonction G définie sur I par G(x) = g (t ) dt .
a
1. Justifier que G est de classe C 1 sur I .
2. Montrer qu’il existe deux réels m et M tels que : G([a, b]) = [m, M].
3. Montrer que :
Zb Zb
f (t )g (t ) dt = f (b)G(b) − f ′ (t )G(t ) dt
a a
4. En déduire que :
Zb
m f (a) É f (t )g (t ) dt É M f (a).
a
5. Montrer qu’il existe c ∈ [a, b] tel que :
Zb Zc
f (t )g (t ) dt = f (a) g (t ) dt .
a a
Zb
1 − cos t 2+b −a
6. On suppose que a > 0 ; montrer que : dt É .
a t a
Z
1 1 sin t
7. Montrer que : lim 2 dt = 0
x→+∞ x
x
1 t2
EXERCICE 20. Une formule de calcul intégral

Dans cet exercice, a est un réel strictement positif, f : [0, a] −→ R
une fonction continue et
strictement croissante sur [0, a], dérivable sur ]0, a[, nulle en 0. La fonction f est alors bijective
de [0, a] sur [0, f (a)], de réciproque notée g . On veut montrer que, pour tout réel t ∈ [0, a] :
Zt Z f (t)
f (x) dx + g (y) dy = t f (t ) (1).
0 0
1. Vérifier la relation (1) dans le cas où : f (x) = x p , p ∈ N∗.
Pour tout t ∈ [0, a], on note ϕ(t ) la quantité :
Zt Z f (t)
ϕ(t ) = f (x) dx + g (y) dy − t f (t ).
0 0
2. Montrer que ϕ est définie et continue sur [0, a], dérivable sur ]0, a[.
3. En déduire l’égalité (1).
EXERCICE 21. Inégalités de Kolmogorov

RC
Soit f ∈ C n ( ,¯ ) avec¯ n ≥ 2. Pour tout k ∈ 0, n, on suppose que f (k) est bornée sur R et on
note Mk = sup¯ f (k) (x)¯.
x∈ R
M2 M0
1. (a) À l’aide de l’égalité de Taylor-Lagrange, montrer que pour tout h > 0 : M1 ≤ h + .
p 2 h
(b) En déduire que M1 ≤ 2M0 M2 .
2. Pour tout k ∈ 0, n, montrer que : Mk ≤ 2k(n−k)/2 M01−k/n Mnk/n .

435
Chapitre 17
Applications linéaires
Sommaire
1 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
1.2 Opérations sur les applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
1.3 Noyau et image d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
1.4 Structure de l’ensemble de solutions d’une équation linéaire . . . . . . . . 442
1.5 Applications linéaires et sommes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
2 Applications linéaires en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
2.1 Image d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
2.2 Rang d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452

436 C HAPITRE 17 : Applications linéaires
Dans tout ce chapitre K désigne R ou C.
1 Applications linéaires
Dans tout ce paragraphe, E et F désignent deux espaces vectoriels sur K.
Définition 1 – Application linéaire
Soit f une application définie sur E à valeurs dans F. On dit que f est linéaire lorsque :
E2, f (x1 + x2 ) = f (x1) + f (x2)
1. ∀(x1 , x2 ) ∈
2. ∀(α, x1 ) ∈ K × E, f (α.x1 ) = α. f (x1 )
EF
On note L ( , ) l’ensemble des applications linéaires de E dans F : c’est donc une partie de
FE , ensemble de toutes les applications de vers . E F
Vocabulaire et notations.
E F EE E
• Si = , L ( , ) est noté plus simplement L ( ). Les éléments de L ( ) sont appelés E
endomorphismes de . E
EF
• Si f ∈ L ( , ) est bijective de E sur F, alors f est appelée isomorphisme de E sur F.
• Si f est à la fois un endomorphisme de E et un isomorphisme de E sur E, c’est-à-dire
que f : E −→ E est linéaire et bijective de E sur E, alors f est appelée automorphisme de
E. L’ensemble des automorphismes de E est noté GL(E).
• Si F = K alors les applications linéaires f : E −→ K sont appelées formes linéaires sur E.
Exemple. Application nulle de E dans F.
O L (E,F) : E −→ F
x 7−→ O L (E,F) (x) = 0F
Elle est linéaire, donc O L (E,F) ∈ L ( , ). EF
Théorème 2 – Critère de linéarité

Soit f : E −→ F une application. On a équivalence de :
(i) f est linéaire
(ii) ∀(α, x1 , x2 ) ∈ K × E2, f (α.x1 + x2) = α. f (x1) + f (x2)
C’est ce critère qu’on utilise en pratique pour montrer qu’une application est linéaire.

Exemple. Application identité de . E

idE : E −→ E
x 7−→ idE (x) = x
Elle est linéaire et bijective, donc idE ∈ GL( ). E

Exemple. Un exemple de R3 dans R2.
f : R3 −→ R2
u = (x, y, z) 7−→ f (u) = f (x, y, z) = (2x − z, x + y + z)
Elle est linéaire, ce qui se note f ∈ L ( 3 , 2 ). R R

Exemple. Somme des composantes d’un n-uplet de Kn .
S: Kn −→ K n
X
u = (x1 , . . . , xn ) 7−→ S(u) = xk
k=1
Elle est linéaire, donc S est une forme linéaire sur Kn .

Exemple. Intégrale d’une fonction continue. On note C 0 ([a, b]; ) l’ensemble des fonction R
numériques continues sur [a, b] à valeurs réelles.
R
I : C 0 ([a, b]; ) −→ R Zb
f 7−→ I ( f ) = f (t ) dt
a
Elle est linéaire, donc I est une forme linéaire sur C ([a, b]).
Exemple. Dérivation des polynômes.
f : R[X ] −→ R[X ]
P 7−→ f (P ) = P ′
Elle est linéaire, c’est donc un endomophisme de R[X ] : f ∈ L ¡R[X ]¢.

Proposition 3 – Propriétés des applications linéaires
EF
Soit f ∈ L ( , ).
1. f (0E ) = 0F
2. ∀(x1 , x2 ) ∈ E2, f (x1 − x2 ) = f (x1 ) − f (x2 ) donc E
∀x1 ∈ , f (−x1 ) = − f (x1 )
Ã !
n
X n
X
3. ∀n ∈ N∗, ∀(x1, . . . , xn ) ∈ En , ∀(λ1, . . . , λn ) ∈ Kn , f λk .xk = λk . f (xk )
k=1 k=1

1.2 Opérations sur les applications linéaires

1.2.1 Restriction
Soit f une application linéaire de E vers F.

Théorème 4 – Restriction d’une application linéaire à un sev
G
Si est un sous-espace vectoriel de , et si
|H
E H est un sous-espace vectoriel de F tels que
G H
f ( ) ⊆ , alors f |G est linéaire de vers .G H
Autrement dit, la restriction d’une application linéaire à un sous-espace vectoriel est encore une
application linéaire.
1.2.2 Somme et multiplication par un scalaire
EF
Si ( f , g ) ∈ L ( , ) et α ∈ K, on définit les applications f + g : E −→ F et α. f : E −→ F par :
∀x ∈ E, def
( f + g )(x) = f (x) + g (x)
def
(α. f )(x) = α. f (x)
Proposition 5 – Opérations dans L ( , ) EF

EF
On a f + g ∈ L ( , ) et α. f ∈ L ( , ). EF
K-espace vectoriel sur L (E, F)

Corollaire 6 – Structure de
Si E et F sont deux K-espaces vectoriels, alors L (E, F) muni des deux opérations ci-
dessus est aussi un K-espace vectoriel (c’est un sous-espace vectoriel de FE ).
E
En particulier L ( ) est aussi un K-ev.
1.2.3 Composition
Théorème 7 – Composition d’applications linéaires
On se donne un troisième K-ev noté G.

1. Si f ∈ L (E, F) et g ∈ L (F, G), alors g ◦ f ∈ L (E, G).
2. Si f est un isomorphisme de E sur F et g est un isomorphisme de F sur G, alors
g ◦ f est un isomorphisme de E sur G.
3. Si f et g sont deux automorphismes de E, alors g ◦ f est un automorphisme de E.

EF
Proposition 8 – Règles de calcul dans (L ( , ), +, ., ◦)
On se donne ( f 1 , f 2 ) ∈ L (E, F)2 et (g 1 , g 2 ) ∈ L (F, G)2 .

1. ◦ est distributive par rapport à + :
g 1 ◦ ( f 1 + f 2 ) = g 1 ◦ f 1 + g 1 ◦ f 2 et (g 1 + g 2 ) ◦ f 1 = g 1 ◦ f 1 + g 2 ◦ f 1 .
2. Si α ∈ K : g 1 ◦ (α. f 1) = α.(g 1 ◦ f 1) = (α.g 1) ◦ f 1.
Rappelons que ◦ est aussi associative, mais non commutative : g ◦ f 6= f ◦ g en général.
Définition 9 – Puissance d’un endomorphisme
E
Si f ∈ L ( ), on pose f 0 = idE et ∀n ∈ N, f n+1 = f ◦ f n .
N
On a donc ∀n ∈ , f n = f ◦ f ◦ · · · ◦ f .
| {z }
n fois
D’après les résultats précédents, on a : ∀n ∈ N, f n ∈ L (E).

Si (n, p) ∈ N2, on a : ( f n )p = f np = ( f p )n et f n ◦ f p = f n+p = f p ◦ f n .
Par contre, en général : (g ◦ f )n 6= g n ◦ f n .
Lemme 11 – Puissance d’une composée
E
Si ( f , g ) ∈ L ( )2 commutent, ie g ◦ f = f ◦ g , alors : ∀n ∈ N, (g ◦ f )n = g n ◦ f n .
On dispose même d’une formule du binôme.
Théorème 12 – Formule du binôme de Newton, version endomorphisme
E
Si ( f , g ) ∈ L ( )2 commutent, ie g ◦ f = f ◦ g , alors :
Ã ! Ã !
Xn n Xn n
N n
∀n ∈ , ( f + g ) =
k
k
.f ◦ g n−k n
= (g + f ) =
k
.g k ◦ f n−k
k=0 k=0
B ATTENTION : ce résultat est faux si g ◦ f 6= f ◦ g .

Par exemple, on a : ( f + g )2 = f 2 + f ◦ g + g ◦ f + g 2 6= f 2 + 2. f ◦ g + g 2 .

1.2.4 Bijection réciproque
Théorème 13 – Bijection réciproque d’un iso/automorphisme
1. Si f est un isomorphisme deE sur F, alors f −1 est un isomorphisme de F sur E.

2. Si f est un automorphisme de E, alors f −1 est un automorphisme de E.
Définition 14 – Puissances négatives d’un automorphisme
Soit f un automorphisme de . On pose :E

N
• Pour tout n ∈ , f n = f ◦ f ◦ · · · ◦ f ;
| {z }
n fois
ZN
• pour tout n ∈ \ , f n = ( f −1 ) ◦ ( f −1 ) ◦ · · · ◦ ( f −1 )
| {z }
−n fois
Si (n, p) ∈ Z2, on a : ( f n )p = f np = ( f p )n et f n ◦ f p = f n+p = f p ◦ f n et ( f −1)n = f −n = ( f n )−1.
1.3 Noyau et image d’une application linéaire
Théorème 16 – Image directe d’un sous-espace vectoriel
Si f est une application linéaire de vers E F et si G est un sous-espace vectoriel de E alors

G
f ( ) est un sous-espace vectoriel de . F
Si H est un sous-espace vectoriel de F, alors f −1(H) est aussi un sous-espace vectoriel de E.

Définition 17 – Noyau et image
EF
Soit f ∈ L ( , ).
EF
1. Si f ∈ L ( , ), on appelle noyau de f la partie de E suivante :
¡ ¢
E; f (x) = 0F}
Ker( f ) = f −1 {0F } = {x ∈
2. Si f ∈ L (E, F), on appelle image de f la partie de F suivante :
Im( f ) = f (E) = { f (x) ∈ F; x ∈ E}

On a donc pour x ∈ E:
x ∈ Ker( f ) ⇐⇒ f (x) = 0F
Et pour y ∈ F:
y ∈ Im( f ) ⇐⇒ ∃x ∈ E; y = f (x)
Théorème 18 – Ker( f ) et Im( f ) sont des K-ev
Soit f ∈ L (E, F). Alors Ker( f ) est un sev de E et Im( f ) est un sev de F.
Si f est un endomporhisme de E alors Ker( f ) et Im( f ) sont deux sous-espaces vectoriels de E.

Exemple. Montrer que E = {M ∈ Mn (K); Tr(M) = 0} est un K-ev.
Exemple. Montrer que E = { f ∈ RR ; f (0) = 0} est un R-ev.
Exemple. Montrer que E = {P ∈ K[X ]; 3X P ′ = P } est un K-ev.
Exemple. On considère l’application :
f : R3 −→ R2
Déterminer une base de Ker( f ) et Im( f ).
Proposition 19 – Interprétation de la non intégrité de la composition
Si f et g sont deux endomorphismes de E alors :

g ◦ f = 0L (E) ⇐⇒ Im( f ) ⊆ Ker(g )
B En particulier g ◦ f = 0L (E) ne donne pas f = 0L (E) ou g = 0L (E) . Prendre par exemple

f (x, y) = (x, x) et g (x, y) = (x − y, x − y).
B Im( f ) = Im(g ) ne donne pas que f = g . Prendre par exemple f (x, y) = x et g (x, y) = x + y.
Théorème 20 – Critères d’injectivité et de surjectivité
EF
Soit f ∈ L ( , ). Alors :
1. f est injective sur E ⇐⇒ Ker( f ) = {0E }.
2. f est surjective de E sur F ⇐⇒ Im( f ) = F.
Le premier point n’est vrai que si f est linéaire. Par contre le second est vrai en général, quelle
que soit l’application (il ne sera donc pas très utile en pratique).
Exemple. Montrer qu’une forme linéaire sur E est soit nulle soit surjective de E vers K.
EF H E H
Cas d’une restriction : Si f ∈ L ( , ) et sev de , on a Ker( f |H ) = Ker( f ) ∩ . Donc si f est
injective, f |H l’est encore. On a aussi Im( f |H ) ⊆ Im( f ), mais dans le cas général, on ne peut rien
dire de plus.
1.4 Structure de l’ensemble de solutions d’une équation linéaire

Soit f une application linéaire de E vers F et v un vecteur fixé de F. On s’intéresse à l’équation
f (u) = v d’inconnue u ∈ . E
Théorème 21 – Structure de l’ensemble des solutions d’une équation linéaire
E
1. Si v ∈ Im( f ), on suppose qu’on connaît u 0 ∈ tel que f (u 0 ) = v .
L’ensemble des solutions de l’équation f (u) = v est :
© ª
S = u 0 + x; x ∈ Ker( f )
2. Si v ∉ Im( f ) alors l’équation f (u) = v n’a pas de solution.
On le note ainsi : S = u 0 + Ker( f ).
On retrouve le résultat vu dans le chapitre sur les équations différentielles linéaires : une
solution générale de l’équation complète est la somme d’une solution particulière et d’une so-
lution générale de l’équation homogène.
1.5 Applications linéaires et sommes directes

Dans cette section, on suppose que G et H sont deux sous-epsaces vectoriels supplémentaires
E E G H
de : = .
Théorème 22 – Applications linéaires et sev supplémentaires
Une application linéaire f : E −→ F est entièrement déterminée par ses restrictions G et

H.
G F H F
Si on se donne u : −→ et v : −→ deux applications linaéaires, alors f est définie ainsi :
G H
si x = xG + x H dans alors f (x) = u(xG ) + v (x H ).
Dans la suite lorsqu’on écrit x = xG +x H , on supposera qu’on a décomposé x ∈ E dans la somme

G H
directe + .
Définition 23 – Projection
L’application :
p: E −→ E
x = xG + x H 7−→ p(x) = xG
est appelée projection sur G parallèlement à H.

La projection p peut être aussi définie par ses restrictions à G et H : sur G c’est l’identité de G
H
et sur c’est l’application nulle.
De même l’application :
q: E −→ E
x = xG + x H 7−→ q(x) = x H
est appelée projection sur H parallèlement à G.
p et q sont appelés projections associées à la somme directe E = G H.
E G H
Important. Lorsqu’on montre que = par analyse-synthèse, les formules obtenues dans
la partie analyse donnent une expression de p(x).
K
Exemple. Déterminer l’expression de la projection sur S n ( ) parallèlement à An ( ). K
Proposition 24 – Propriétés des projections
1. p et q sont des endomorphismes de E

2. p + q = idE
3. p ◦ q = q ◦ p = 0L (E) , p ◦ p = p et q ◦ q = q ;
4. Pour x ∈E : x ∈ Ker(p) ⇐⇒ p(x) = 0 et x ∈ Im(p) ⇐⇒ p(x) = x ;
5. H = Ker(p) et G = Im(p) = ensemble des points fixes de p
6. E = Ker(p) Im(p)
H = Im(q) = Im(idE − p) et G = Ker(q) = Ker(idE − p).

On a donc aussi
B On a H = Im(idE − p) = Im(p − idE ) et G = Ker(idE − p) = Ker(p − idE ) mais p − idE n’est pas
un projecteur (en général). C’est idE − p qui en est un.
E
B Si p et q sont deux projecteurs de , on n’a pas en général p ◦ q = 0L (E) . C’est vrai si p et q
sont deux projecteurs associés, ie si p + q = idE .
Définition 25 – Projecteurs
Soit f un endomorphisme de E. On dit que f est un projecteur lorsque f ◦ f = f .
Théorème 26 – Caractérisation des projections
E
Soit p un endomorphisme de . Alors p est une projection si et seulement si p est un
projecteur, ie p ◦ p = p.
E
On a alors = Ker(p) Im(p) et p est la projection sur Im(p) parallèlement à Ker(p).
On a donc égalité entre les notions de projections et de projecteurs.

Exemple. Calculer (idE + p)n pour tout n ∈ N, lorsque p est un projecteur de E.

B Si f est un endomorphisme de E, qui n’est pas un projecteur, alors on ne peut pas dire que
E = Ker( f ) Im( f ).
Remarque. Noter que 0L (E) et idE sont les deux projecteurs associés de E associés à la somme
E E
directe = {0E }.
Définition 27 – Symétries
L’application :
s: E −→ E
x = xG + x H 7−→ s(x) = xG − x H
est appelée symétrie par rapport à G parallèlement à H.
Avec les notations précédentes, on a : s = p − q = 2p − idE = idE − 2q.
G parallèlement à H peut être aussi définie par ses restrictions à G

La symétrie s par rapport à
H G
et : sur c’est idG et sur H c’est −idH .
On peut définir de même la symétrie par rapport à H parallèlement à G
Proposition 28 – Propriétés des symétries
1. s est un endomorphisme de E;
2. s ◦ s = idE donc s est un automorphisme de E et s −1 = s
3. G = Ker(s − idE) = ensemble des points fixes de s
4. G = Ker(s + idE ) = ensemble des anti-points fixes de s
Théorème 29 – Caractérisation des symétries
E
Soit s un endomorphisme de . Alors s est une symétrie si et seulement si s ◦ s = idE .
E
On a alors = Ker(s − idE ) Ker(s + idE ) et s est la symétrie par rapport à Ker(s − idE )
parallèlement à Ker(s + idE ).
K
Exemple. En considérant la transposition montrer que dans Mn ( ), les sous-espaces S n ( ) K
K
et A n ( ) sont supplémentaires.
Exemple. En considérant la symétrie s : f ∈ RR 7−→ s( f ) ∈ RR définie par s( f )(x) = f (−x),

R
montrer que, dans R , les sous-espaces des fonctions paires et impaires sont supplémentaires.
Remarque. Noter que idE est une symétrie E associés à la somme directe E = E ©→
− ª
0 E (mais
0L (E) n’en est pas une).

2 Applications linéaires en dimension finie 445
2 Applications linéaires en dimension finie

Dans ce paragraphe, sauf mention contraire, on suppose que les K -espaces vectoriels E et F
sont tous les deux de dimension finie.
2.1 Image d’une famille de vecteurs

Dans tout ce paragraphe, f est une application linéaire de E vers F.
Soit (ε1 , . . . , εp ) une base quelconque de E.
Théorème 30 – Une application linéaire est entièrement déterminée par l’image d’une base
F
Si (v 1 , . . . , v p ) est une famille de vecteurs de , alors il existe une unique application
EF
f ∈ L ( , ) telle que ∀k ∈ 1, p, f (εk ) = v k .
p
X
Elle est définie ainsi : si x ∈ E a pour coordonnées s’écrit x = λk .εk dans B, alors
k=1
p
X
f (x) = λk .v k
k=1
EF
Pour définir f ∈ L ( , ), il suffit donc de se donner l’image d’une base, c’est-à-dire la valeur
des vecteurs f (ε1 ), . . ., f (εp ).
Corollaire 31 – Égalité de deux applications linéaires

Si f et g sont deux applications linéaires de E vers F et si ∀k ∈ 1, p, f (εk ) = g (εk ) alors
f ≡ g.
On dit que deux applications linéaires qui coïncident sur une base sont égales.
n
X (k)
Exemple. Soient α ∈ K et ϕ : P ∈ Kn [X ] −→ P k!(α) (X − α)k . Montrer que ϕ et idK [X ] n
coïncident sur la base canonique de Kn [X ]. Quelle formule vient-on de redémontrer ?

k=0
Théorème 32 – Image d’une famille de vecteurs
¡ ¢ ¡
E
Soient (u 1 , . . . , u p ) une famille de vecteurs de et f ∈ L ( , ).
¢
EF
1. On a : f Vect(u 1 , . . . , u p ) = Vect f (u 1 ), . . . , f (u p )
2. En particulier si (u 1 , . . . , u p ) est génératrice (ou est une base) de E:
¡ ¢
Im( f ) = Vect f (u 1 ), . . . , f (u p )
Ce théorème permet de déterminer facilement l’image d’une application linéaire.

Exemple. : Déterminer une base de Im( f ) lorsque :
f : R3 −→ R2
N
Exemple. Soit n ∈ . On considère l’application linéaire
f : Rn+1 [X ] −→ Rn [X ]
P 7−→ f (P ) = P ′
Montrer qu’elle est surjective de Rn+1 [X ] vers Rn [X ].

Dans les théorèmes suivants f est une application linéaire de E vers F.
Théorème 33 – Applications linéaires et familles libres
1. Si f est injective sur E, alors elle transforme toute famille libre de E en une famille
libre de .F
2. On a équivalence de :
(i) f est injective sur E
E qui est transformée par f en une famille libre de F
(ii) il existe une base de
C’est alors vrai pour toutes les bases de E.
Théorème 34 – Applications linéaires et familles génératrices
E F
1. Si f est surjective de vers , alors elle transforme toute famille génératrice de E
en une famille génératrice de . F
2. On a équivalence de :
(i) f est surjective de E vers F
(ii) il existe une base de E qui est transformée par f en une famille génératrice de F
Corollaire 35 – Isomorphismes et bases
(i) f est un isomorphisme de E vers F
E qui est transformée par f en une base de F
(ii) il existe une base de
Donc un isomorphisme est une application linéaire qui tranforme une famille libre en une fa-
mille libre, une famille génératrice en une famille génératrice, et une base en une base ; cette
dernière condition étant caractéristique des isomorphismes.

En combinant avec le fait qu’une application linéaire est déterminée par l’image d’une base on
obtient le résultat suivant.
Corollaire 36 – Définition géométrique d’un isomorphisme
E F
Si on se donne une base B quelconque de et une base C quelconque de , alors il existe
E F
un unique isomorphisme de vers qui transforme B en C .
On a aussi démontré le théorème suivant, qui n’est pas sans rappeler le « principe des tiroirs »
en dénombrement.
Théorème 37 – Applications linéaires en dimension finie
Soit f linéaire de E vers F.

1. Si f est injective surE, alors dim(E) ≤ dim(F).
2. Si f est surjective de E vers F, alors dim(E) ≥ dim(F).
3. (a) Si f est un isomorphisme de E vers F, alors dim(E) = dim(F).
(b) Si dim(E) = dim(F) alors :
f est bijective ⇐⇒ f est injective ⇐⇒ f est surjective
B Ce résultat est faux en dimension infinie. Considérer par exemple l’application :
ϕ: K[X ] −→ K[X ]
P 7−→ X P
Exemple. L’application :
ϕ: Kn [X ] −→ Kn [X ]
P 7−→ P − 2X P ′
est un automorphisme de Kn [X ].
Corollaire 38 – Endomorphisme bijectif en dimension finie
Un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie est inversible pour la loi de
composition si, et seulement si, il est inversible à gauche ou inversible à droite.
B Ceci n’est vrai qu’en dimension finie ! Considérer comme contre-exemple le morphisme « shift »
sur les suites réelles :
ϕ: RN −→ RN
(u n )n∈N 7−→ (u n+1 )n∈N

Dans la définition suivante, E et F ne sont pas supposés de dimension finie.

Définition 39 – Espaces vectoriels isomorphes
On dit que E et F sont isomorphes lorsqu’il existe un isomorphisme de E vers F.

E F
Si f est un isomorphisme de vers , et si on identifie x ∈ E avec son image f (x), alors les
E F
espaces vectoriels et sont en un certain sens « égaux ».
On suppose à nouveau que E et F sont tous les deux de dimension finie.

Théorème 40 – Espaces vectoriels isomorphes et de dimension finie
(i) E et F sont isomorphes
(ii) dim(E) = dim(F)
N E
Soit n ∈ ∗ . Tout espace vectoriel de dimension n est isomorphe à Kn . Si B = (ε1, . . . , εn ) est
E
un base fixée de on peut lui associer l’isomorphisme canonique
ϕ:
n
E −→ Kn
X
x= xk .εk −→ ϕ(x) = (x1 , . . . , xn )
k=1
Exemple. Retrouver les résultats de début d’année sur les suites récurrentes linéaires d’ordre
2.
Exemple. Retrouver les résultats de début d’année sur les équations différentielles linéaires
d’ordre 2 à coefficients constants.
2.2 Rang d’une application linéaire

E F
Dans ce paragraphe, et sont deux K-espaces vectoriels de dimension quelconque et f est
E
une application linéaire de vers . F
Définition 41 – Rang d’une application linéaire
Si Im( f ) est de dimension finie, alors on dit que f est de rang fini. Dans le cas contraire, on
dit que f est de rang infini.
Si f est de rang fini, alors on appelle rang de f , noté rg( f ), la dimension de Im( f ).
¡ ¢
Pour une application linéaire de rang fini, on a donc : rg( f ) = dim Im( f ) .
Exemple. rg( f ) = 0 ⇐⇒ f = 0L (E,F)

Théorème 42 – Propriétés du rang d’une application linéaire
1. Si E est de dimension finie, alors rg( f ) est de rang fini :

rg( f ) ≤ dim(E)
avec égalité si, et seulement si, f est injective.

2. Si F est de dimension finie, alors rg( f ) est de rang fini :
rg( f ) ≤ dim(F)
avec égalité si, et seulement si, f est surjective.
E
En général on a donc rg( f ) ≤ min(dim( ), dim( )). F
Noter que si E est de dimension finie, et si B = (u1, . . . , up ) est une base de E, alors :
¡ ¢
rg( f ) = rg f (u 1 ), . . . , f (u p )
au sens du rang d’une famille de vecteurs, notion définie dans le chapitre sur les espaces
vectoriels de dimension finie.
Corollaire 43 – Rang et isomorphisme
Si E et F sont de même dimension finie n alors :

f est un isomorphisme de E vers F ⇐⇒ rg( f ) = n
Le théorème suivant est fondamental, puisqu’il relie la dimension du noyau à celle de l’image.
Théorème 44 – Théorème du rang
Si E est de dimension finie, alors f est de rang fini et :

dim(E) = rg( f ) + dim Ker( f )
¡ ¢
E
B Dans le cas f ∈ L ( ), cela ne signifie pas que E = Ker( f ) Im( f ) : il manque la condition
Ker( f ) ∩ Im( f ) = {0E }.
La démonstration repose sur le lemme suivant.
Lemme 45 – Isomorphisme entre les supplémentaires du noyau et l’image
E
Si est de dimension finie et si H est un supplémentaire de Ker( f ) dans E, alors H est
isomorphe à Im( f ).

Terminons par un résultat qui sera utile pour calculer le rang de manière algorithmique.
E, F et G sont trois espaces vectoriels de dimension finie sur K. f ∈ L (E, F) et g ∈ L (F, G).
Théorème 46 – Rang d’une composée - Invariance du rang par isomorphisme
1. Rang d’une composée. rg(g ◦ f ) ≤ min(rg(g ), rg( f ))

2. Invariance du rang par isomorphisme.
Si g est un isomorphisme : rg(g ◦ f ) = rg( f )
Si f est un isomorphisme : rg(g ◦ f ) = rg(g )
Exemple. En utilisant le théorème du rang avec l’application linéaire g | Im f , montrer que :

¡ ¢
rg(g ◦ f ) = rg( f ) − dim Ker g ∩ Im f


➥ Savoir montrer qu’une application entre deux espaces vectoriels est linéaire.
✪ Pour un endomorphisme, ne pas oublier de vérifier que l’espace de départ et l’espace
d’arrivée sont égaux.
✪ Ne pas confondre les notions d’endomorphisme, d’isomorphisme et d’automorphisme.
➥ Effectuer des calculs algébriques avec des applications linéaires.

✪ Dans les calculs voir l’opération de composition ◦ comme un « produit ».
➥ Connaître les notions de noyau et d’image d’une application linéaire.

✪ Savoir déterminer une base du noyau en utilisant une résolution d’équation.
✪ Savoir déterminer une base de l’image en utilisant qu’elle est engendrée par l’image d’une
base de l’espace de départ.
✪ Connaître le lien entre noyau/image et injectivité/surjectivité.
➥ Connaître la notion de projections p et q associées à une somme directe.

✪ Connaître la caractérisation p ◦ p = p.
✪ Savoir déterminer leur noyau et leur image.
✪
➥ Connaître la notion de symétries s associé à une somme directe.

✪ Connaître la caractérisation s ◦ s = id.
✪ Savoir déterminer son noyau et son image.
✪
➥ Savoir qu’une application linéaire est déterminée par l’image d’une base.
✪ Savoir que les isomorphismes sont les applications linéaires qui envoient une base sur
une base.
✪ Savoir que si les espaces de départ et d’arrivée ont même dimension finie, alors les
isomorphismes coïncident avec les applications linéaires injectives ou surjectives, ou
encore avec les applications linéaires inversibles à gauches ou à droite.
✪ Savoir qu’en dimension finie les automorphismes coïncident avec les endomorphismes
injectifs ou surjectifs, ou encore avec les endomorphismes inversibles à gauche ou à droite.
➥ Connaître les propriétés théoriques du rang d’une application linéaire.

4 Exercices
Exemples
d’applications linéaires
EXERCICE 1. Dérivation dans R[X ]

R[X ] −→ R[X ] les applications définies par :
Soient f , g :
∀P ∈ R[X ], f (P ) = P ′ et g (P ) = X P
1. Montrer que f et g sont des endomorphismes de R[X ].

2. Déterminer f ◦ g − g ◦ f .
EXERCICE 2. Exemples d’applications linéaires de Kp vers Kn

1. Soit f : R3 −→ R3 définie par : f (x, y, z) = (x 2 + z, y + z, z + 1). f est-elle linéaire ?
2. Soit ϕ : R4 −→ R3 définie par : ϕ(x, y, z, t ) = (x − y + t , 2x + y − z, y + z). Montrer que ϕ est
linéaire et déterminer Ker ϕ et Im ϕ.
EXERCICE 3. Endomorphismes de RN
Vérifier que les applications suivantes sont des endomorphismes de RN et déterminer leur
noyau et leur image :
1.
ϕ: RN −→ NR
u = (u n )n∈N 7−→ ϕ(u) = (u n+1 )n∈N
2.
ψ: RN −→ N R
u = (u n )n∈N 7−→ ψ(u) = (u n+1 − 2u n )n∈N
EXERCICE 4. Endomorphismes de RR
Vérifier que les applications suivantes sont linéaires et déterminer leur noyau et leur image :
1.
ψ: RR −→ RR
f 7−→ ψ( f ) = g
où g (x) = f (x) + f (−x).

2.
ϕ: RR −→ R
f 7−→ f (1)

4 Exercices 453
EXERCICE 5. Endomorphisme de C 0 ([0, 1], ) R

On ϕ l’application Zqui à une fonction f continue sur [0, 1] associe la fonction g définie par :
x
∀x ∈ [0, 1], g (x) = f (t ) dt .
0
1. Montrer que ϕ est un endomorphisme de C 0 ([0, 1], ). R
2. Est-il injectif ? Surjectif ?
EXERCICE 6. Étude d’un endomorphisme de R[X ]

ϕ: R[X ] −→ R
[X ]
P 7−→ (X 2 − 1)P ′′ + X P ′ − 4P
1. Montrer que ϕ est un endomorphisme de R[X ].

2. Soit P ∈ R[X ] tel que P 6= 0. Déterminer deg(ϕ(P )).
3. Déterminer Ker ϕ.
EXERCICE 7. Dérivation dans Rn [X ]

Soient n ∈ N∗ et D l’application
D: Rn [X ] −→ R
n [X ]
′
P 7−→ P
1. Vérifier que D est un endomorphisme de Rn [X ].

2. On pose Γ = idRn [X ] + D + D 2 + · · · + D n . Montrer que Γ est un automorphisme de Rn [X ]
et déterminer son application réciproque.
EXERCICE 8. Utilisation d’un polynôme annulateur pour un endomorphisme

Soient E un K-ev et f ∈ L (E) tel que f 2 − 3 f + 2idE = 0.
1. Montrer que f est un automorphisme et donner f −1 en fonction de f .
2. Montrer qu’il existe deux suites (an ) et (b n ) de scalaires telles que, pour tout n ∈ N :
f n = an idE + b n f . En déduire f n en fonction de n.
3. Montrer par analyse-synthèse que E = Ker( f − idE) Ker( f − 2idE).
EF
EXERCICE 9. Structure d’espace vectoriel de L ( , )
Soient E, F, E′ , F′ des K-ev, ϕ un isomorphisme de E sur E′ , et ψ un isomorphisme de F sur
F′. Montrer que l’application :
Θ : L (E, F) −→ L (E′ , F′ )
f 7−→ ψ ◦ f ◦ ϕ−1
est bien définie et est un isomorphisme.

Noyau, image et rang
EXERCICE 10. Propriétés des noyaux et des images

Soient E un K-ev et f , g deux endomorphismes de E.
¡ ¢
1. Montrer que Ker( f ) ⊂ Ker(g ◦ f ), Im(g ◦ f ) ⊂ Im(g ) et que Ker(g ) ∩ Im( f ) = f Ker(g ◦ f ) .
2. On suppose que f et g commutent i.e. f ◦ g = g ◦ f . Montrer que Ker(g ) et Im(g ) sont
stables par f .
EXERCICE 11. Rang d’un endomorphisme nilpotent de R3

Soit f ∈ L ( R3 ) tel que f 3 = 0 et f 2 6= 0.
1. Montrer que Ker( f ) 6= Ker( f 2 ).
2. En déduire que Ker( f 2 ) = Im( f ) et Im( f 2 ) = Ker( f ).
3. Conclure que rg( f ) = 2 et rg( f 2 ) = 1.
EXERCICE 12. Une propriété du rang

Soient E et F deux K-ev tels que F est de dimension finie.
1. Soient f et g deux applications linéaires de E dans F. Montrer que :
| rg( f ) − rg(g )| É rg( f + g ) É rg( f ) + rg(g )
2. Soient f et g deux endomorphismes de E

tels que f ◦ g = 0L (E) et f + g est un
E
automorphisme de . Montrer que rg( f ) + rg(g ) = dim . E
EXERCICE 13. CNS pour que E = Ker( f ) ⊕ Im( f )
1. Soient E un K-ev de dimension finie et f ∈ L (E). Établir que :
E = Ker( f ) ⊕ Im( f ) ⇐⇒ Ker( f ) = Ker( f 2 ) et Im( f ) = Im( f 2 )
2. Soient E un K-ev de dimension quelconque et f ∈ L (E). Établir que :

E = Ker( f ) + Im( f ) ⇐⇒ Im( f ) = Im( f 2 )
et :
Ker( f ) ∩ Im( f ) = {0E } ⇐⇒ Ker( f ) = Ker( f 2 )
Conclure.

4 Exercices 455
Projections et symétries
EXERCICE 14. Projections et symétries définie géométriquement

E K
Soit un -ev de base B = (e 1 , e 2 , e 3 ).
E F G
On considère les sev de suivant : = Vect((1, 0, 0)B , (1, 1, 1)B ) et = Vect((1, 2, 0)B ).
Montrer que et F G E
sont supplémentaires dans , et déterminer l’expression analytique du
F G
projecteur sur parallèlement à , et de la symétrie par rapport à parallèlement à . F G
EXERCICE 15. Projection définie analytiquement
R R
Soit f : 3 −→ 3 définie par : f (x, y, z) = (x + z, y + z, 0). Montrer que f est un projecteur et
préciser son support et sa direction.
EXERCICE 16. Projections dans la même direction

Soient p et q deux projecteurs d’un K-ev E.
1. Montrer que p et q ont même image si et seulement si p ◦ q = q et q ◦ p = p.
2. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que p et q projettent selon la
même direction.
EXERCICE 17. Somme de deux projections

Soient p et q deux projecteurs d’un K-ev E.
1. Montrer que p + q est un projecteur si et seulement si p ◦ q = q ◦ p = 0L (E) .
2. Dans ce cas, vérifier que : Ker(p + q) = Ker p ∩ Ker q et Im(p + q) = Im p ⊕ Im q.
Cas de la dimension
finie
EXERCICE 18. Un isomorphisme

R
On considère l’application ϕ : 2 [X ] −→ R3 définie par ϕ(P ) = (P (0), P ′(0), P (1)). Montrer que ϕ
R
est un isomorphisme de 2 [X ].
EXERCICE 19. Un endomorphisme de Rn [X ]

R R
Soit θ : n [X ] −→ n [X ] définie par : θ(P ) = P −(X +1)P ′ . Montrer que θ est un endomorphisme
et déterminer une base de son noyau et de son image.
EXERCICE 20. Polynômes de Lagrange

Soit n ∈ N et x0, x1, . . . , xn des réels 2 à 2 distincts. On considère l’application
ϕ : Rn [X ] −→ Rn+1
P 7−→ ϕ(P ) = (P (x0 ), P (x1 ), . . . , P (xn ))
1. Montrer que ϕ est un isomorphisme de Rn [X ] sur Rn+1 .

2. En déduire que si y 0 , . . . , y n sont des réels donnés alors il existe un unique polynôme P de
degré inférieur ou égal à n tel que :
∀i ∈ 0, n, P (xi ) = y i
3. Pour tout j ∈ 0, n, on note L j l’unique polynôme de Rn [X ] tel que :

½
1 si i = j
∀i ∈ 0, n, L j (xi ) = δi j =
0 si i 6= j
R
Vérifier que B = (L 0 , L 1 , . . . , L n ) est une base de n [X ].
R
Si P ∈ n [X ], quelles sont les coordonnées de P dans cette base ?
EXERCICE 21. Surjectivité en dimension finie

Soit ∆ : C[X ] −→ C[X ] l’application définie par ∆(P ) = P (X + 1) − P (X ).
1. Vérifier que ∆ est un endomorphisme de C[X ] et que si P est un polynôme non constant
alors deg(∆(P )) = deg(P ) − 1.
N
2. Pour n ∈ , déterminer ker(∆|Cn+1 [X ] ) et en déduire que ∆ induit une surjection de Cn+1[X ]
C
sur n [X ].
3. En déduire que ∆ est surjective de C[X ] sur C[X ].
EXERCICE 22. Une propriété des endomorphismes nilpotents
E K
Soient un -ev et f ∈ L ( ). E
On suppose que f est nilpotent d’ordre p : c’est-à-dire qu’il existe p ∈ N∗ tel que f p = 0L (E) et
f p−1 6= 0L (E) .
¡ ¢
1. Montrer que si x ∈ E\{0E } est tel que f p−1 (x) 6= 0E , alors la famille F = x, f (x) , . . . , f p−1 (x)
est libre.
E
2. Si n = dim( ) < +∞, en déduire que p ≤ n.

457
Chapitre 18
Variables aléatoires discrètes finies
Sommaire
1 Variables aléatoires discrètes finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
1.2 Évènements associés à une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
1.3 Loi de probabilité d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
1.4 Transfert de loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
2 Espérance mathématique d’une VAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
2.2 Théorème de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
2.3 Variance d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
2.4 Inégalités de Markov et Bienaymé-Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . 466
3 Lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
3.1 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
3.2 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
3.3 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472

458 C HAPITRE 18 : Variables aléatoires discrètes finies
Dans tout le chapitre, on considère une expérience aléatoire modélisée par un espace probabi-
lisé fini (Ω, P). E est un ensemble quelconque supposé non vide.
1 Variables aléatoires discrètes finies

1.1 Définitions
Définition 1 – Variable aléatoire
On appelle variable aléatoire à valeurs dans E toute application définie sur Ω et à valeurs
dans E .
Lorsque E = R, on dit que X est une variable aléatoire réelle, noté VAR en abrégé.
Notations : L’ensemble
¡ ¢X (Ω) est un ensemble fini.
On note n = Card X (Ω) et X (Ω) = {x1 , x2 , . . . , xn } avec x1 < x2 < · · · < xn .
Dans la plupart des exemples que nous utiliserons, X (Ω) sera une partie de N et ∀k ∈ 0, n,
xk = k.
Exemple. On lance deux dès cubiques distinguables : Ω = 1, 62 .

On note X = Nombre de 6 obtenus. Alors X est une VAR et X (Ω) = {0, 1, 2}.
B Ne pas confondre variable aléatoire et évènement. Une variable aléatoire est un nombre aléa-
toire, et un évènement est un prédicat aléatoire, c’est-à-dire une phrase qui peut être vraie ou
fausse.
Sur l’exemple précédent, on ne peut pas dire que « Nombre de 6 obtenus » est vrai ou faux, X
n’est donc pas un évènement.
Exemple. On considère une urne de 10 boules numérotées, composée de 6 boules blanches

et 4 rouges. On effectue p tirages successifs d’une boule avec remise : Ω = 1, 10p .
On note X = Nombre de boules rouges obtenues. Alors X est une VAR et X (Ω) = 0, p.
1.2 Évènements associés à une variable aléatoire

Notation : Si X est une variable aléatoire et A une partie de E , l’image réciproque de A par X :
© ± ª
X −1 (A) = ω ∈ Ω X (ω) ∈ A
est une partie de Ω, donc un évènement. Il sera noté plus simplement {X ∈ A} ou (X ∈ A).
Cas particuliers :
• Si A = {a} où a ∈ E , alors (X ∈ {a}) est noté plus simplement (X = a).
R R ¡ ¢
• Si E = , et A =] − ∞, x] où x ∈ ¡, alors X ¢∈] − ∞, x] est noté plus simplement (X ≤ x).
R
Si A = [x, y[ où (x, y) ∈ 2 , alors X ∈ [x, y[ est noté plus simplement (x ≤ X < y) etc. . .

Notation : Si X est une variable

¡ aléatoire
¢ et A une partie de E , alors (X ∈ A) est un évènement,
¡ et
¢
on peut donc calculer P (X ∈ A) . Pour simplifier les notations on notera P(X ∈ A) = P (X ∈ A) .
B Si A est une partie de E , (X ∈ A) est un évènement, et on peut donc calculer P(X ∈ A).
Par contre P(X ) ne veut absolument rien dire. . .en effet X n’est pas un évènement mais une
variable aléatoire.
Exemple. On lance simultanément deux dès distinguables : Ω = 1, 62 .

On pose X = Somme des deux chiffres obtenus. On a alors X (Ω) = 2, 12 et on peut considérer
les évènements :
© ª 2
• (X = 11) = (6, 5); (5, 6) donc P(X = 11) =
36
© ª 3
• (X > 10) = (6, 5); (5, 6); (6, 6) = (X = 11) ∪ (X = 12) donc P(X > 10) =
36
• (X ≤ 1) = ; évènement impossible, donc P(X ≤ 1) = 0
• (X ≤ 12) = Ω = (X ≥ 0) évènement certain, donc P(X ≥ 0) = 1
On peut comparer les évènements associés à X .
• Par exemple (X ≤ 5) ⊆ (X ≤ 7) donc P(X ≤ 5) ≤ P(X ≤ 7) :
en effet ∀ω ∈ Ω, X (ω) ≤ 5 =⇒ X (ω) ≤ 7.
• De plus (X ≥ 4) = (X > 3), donc P(X ≥ 4) = P(X > 3), car : ∀ω ∈ Ω, X (ω) ≥ 4 ⇐⇒ X (ω) > 3.
¡ ¢
• De même (X = 3) = (X ≥ 3) ∩ (X < 4) donc P(X = 3) = P (X ≥ 3) ∩ (X < 4) .
B Il faut bien comprendre que ces résultats viennent du fait que X ne prend que des valeurs
entières.
Théorème 2 – Système complet d’évènements associés à une variable aléatoire

¡ ¢
Si X est une variable aléatoire, alors la famille [X = x] x∈X (Ω) est un système complet d’évè-
nements.
¡ ¢
Autrement dit : si X (Ω) = {x1 , . . . , xn }, alors la famille [X = x1 ], [X = x2 ], . . . , [X = xn ] est un s.c.e..
1.3 Loi de probabilité d’une variable aléatoire

Définition 3 – Loi de probabilité d’une variable aléatoire
Si X est une variable aléatoire de Ω vers E , on appelle loi de probabilité de X l’application
PX : E −→ [0, 1]
x 7−→ P(X = x)
B Si x ∉ X (Ω), on a P(X = x) = 0, donc avant de déterminer la loi de X , on commence par

déterminer X (Ω), c’est-à-dire les valeurs prises par la variable aléatoire X .

Si on note X (Ω) = {x1 , . . . , xn }, déterminer la loi de X c’est donc calculer P(X = xk ), pour tout
k ∈ 1, n. Pour de petites valeurs de n, on peut représenter les résultats sous forme d’un tableau
à une entrée :
x x1 x2 . . . . . . xn
P(X = x) ? ? ?
ou d’un diagramme en bâtons.
Théorème 4 – La loi d’une VAR est une probabilité
La loi de X est une probabilité sur l’univers X (Ω).
Corollaire 5 – Propriétés élémentaires d’une loi de probabilité
Soit X une variable aléatoire. On a alors :

X
∀x ∈ X (Ω), P(X = x) ∈ [0, 1] et P(X = x) = 1
x∈X (Ω)
Donc si X (Ω) = {x1 , . . . , xn } alors :

n
X
P(X = xk ) = 1
k=1
Dans le tableau représentant la loi de X , la somme des cases de la seconde linge doit donc être
égale à 1.
Exemple. On lance deux dés distinguables et on note X = Sommes des deux chifres obtenus.
Alors X (Ω) = 2, 12 et la loi de probabilité de X est :
k 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P(X = k) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
On obtient le diagramme en bâtons :
0.15
0.10
0.05
−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−0.05

Théorème 6 – Existence d’une variable aléatoire ayant une loi de probabilité donnée
On se donne des réels p 1 , . . . , p n , vérifiant :

(i) ∀k ∈ 1, n, p k ≥ 0 ;
Xn
(ii) p k = 1.
k=1
Alors pour tous réels deux à deux distincts x1 , . . . , xn , il existe une variable aléatoire X
définie sur un espace probabilisé (Ω, P) telle que :
X (Ω) = {x1 , . . . , xn } et ∀k ∈ 1, n, p k = P(X = xk )
Et donc pour tout k ∈ 1, n, p k ∈ [0, 1].
Il n’y a unicité, ni de (Ω, P), ni de la variable aléatoire X .
Exemple. Soit n ∈ N. Alors il existe une variable aléatoire X , à valeurs dans 0, n, et de loi
donnée par : Ã !
1 n
∀k ∈ 0, n, P(X = k) = n
2 k
Cas particulier où X (Ω) ⊆ 0, n : Dans ce cas, la donnée des probabilités P(X = k) équivaut à
celle des probabilités P(X ≤ k) ou P(X ≥ k). On dispose en effet des formules suivantes (à savoir
redémontrer), valables pour tout k ∈ 0, n :
P(X = k) = P(X ≤ k) − P(X ≤ k − 1) = P(X ≥ k) − P(X ≥ k + 1)
et :
k
X n
X
P(X ≤ k) = P(X = j ) et P(X ≥ k) = P(X = j )
j =0 j =k
On a le même type de formules avec des inégalités strictes en remarquant que :
P(X ≤ k) = P(X < k + 1) et P(X ≥ k) = P(X > k − 1).
Exemple. Dans une urne de n boules numérotées, on effectue n tirages d’une boule sans
remise (l’urne est vidée).
On note X = nombre de tirages nécessaires pour obtenir un numéro supérieur ou égal au pré-
cédent, avec la convention que X = n + 1 si ceci ne se produit pas au bout des n tirages.
Donner la loi de X .
1.4 Transfert de loi

On se donne F un ensemble non vide.
On considère une variable aléaztoire X : Ω −→ E et une fonction f : E −→ F telle que X (Ω) ⊆ D f .

On a alors le schéma de composition :
f
Df ⊆ E /F
①;
O ①①
X ①①
①①①f ◦X
①①
Ω

L’application Y = f ◦ X est aussi une variable aléatoire définie sur Ω. On la note plus simplement
Y = f (X ).
Connaissant la loi de X et l’expression de la fonction f , nous souhaiterions déterminer la loi de

la variable aléatoire Y = f (X ) : c’est ce qu’on appelle un transfert de loi (la loi de X est transférée
par la fonction f ).
Valeurs prises par Y :

© ª
Si X est une VARD finie telle que X (Ω) = {x1 , . . . , xn }, alors Y (Ω) = f (x1 ), . . . , f (xn ) . On peut
aussi noter Y (Ω) = {y 1 , . . . , y p } avec y 1 < y 2 < · · · < y p ; dans ce cas p ≤ n (car f peut ne pas être
injective).
Exemple. X (Ω) = {−2, −1, 0, 1, 2} et Y = X 2 donne Y (Ω) = {0, 1, 4}.
On peut maintenant s’intéresser à la loi de Y . Pour cela il est important de comprendre le point
suivant : si on prend y ∈ Y (Ω) une valeur prise par la VARD Y , alors, par définition, y a un
antécédent par f dans X (Ω) : ∃x ∈ X (Ω) tel que y = f (x). Et comme f est en général non injec-
tive, il y a plusieurs valeurs de x possibles, voire même une infinité !
Exemple. Sur l’exemple précédent, 1 a deux antécédents : −1 et 1.
Théorème 7 – Formule de transfert de loi

La loi de Y = f (X ) est donnée par :
X
∀y ∈ Y (Ω), P(Y = y) = P(X = x)
x∈X (Ω)
tq f (x)=y
On somme sur tous les antécédents de y.
Exemple. Si la loi de X est donnée par :
k −2 −1 0 1 2
P(X = k) 1/5 1/10 1/10 1/5 2/5
et si Y = X 2 , alors Y (Ω) = {0, 1, 4} et :
k 0 1 4
P(Y = k) 1/10 3/10 3/5

2 Espérance mathématique d’une VAR 463
2 Espérance mathématique d’une VAR

Dans tout ce paragraphe, X est une variable aléatoire réelle avec X (Ω) = {x1 , . . . , xn }.
2.1 Définition
Définition 8 – Espérance mathématique d’une VAR
On appelle espérance de X le réel :

n
X
E(X ) = xk × P(X = xk )
k=1
On peut aussi écrire la formule de la manière suivante :
E
X
(X ) = x × P(X = x)
x∈X (Ω)
Exemple. On lance deux dés distinguables et on note X = Sommes des deux chifres obtenus.
k 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P(X = k) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
Puisque X est une VARD finie, E(X ) existe et :

E(X ) = 2× 361 +3× 362 +4× 363 +5× 364 +6× 365 +7× 366 +8× 365 +9× 364 +10× 363 +11× 362 +12× 361
Donc E(X ) = 7.
C’est la notion d’espérance qui justifie historiquement l’introduction de la notion de variable
aléatoire en plus de celle d’évènements. Par exemple si on lance n fois une pièce, et si on note
E i = « le i -ième lancer donne pile » et X = « nombre de piles obtenus sur les n lancers » alors
l’évènement (X = k) se décompose en unions/intersections d’évènements E i . On peut donc
se demander quel est l’intérêt d’utiliser la VARD X . . . ? L’intérêt est qu’on voudrait calculer le
E
nombre moyen de piles obtenus sur les n lancers, ie calculer (X ), et cette quantité ne s’exprime
pas en fonction des E i !
2.2 Théorème de transfert

On reprend les notations du paragraphe sur le transfert de loi avec E = F = R:
Df ⊆
O
R f
✇✇;
/ R
✇
X ✇✇
✇✇✇f ◦X
✇✇
Ω

On a vu que la loi de la variable aléatoire Y = f (X ) se calcule par la formule :

X
∀y ∈ Y (Ω), P(Y = y) = P(X = x)
x∈X (Ω)
tq f (x)=y
On veut cette fois calculer son espérance :

  
E(Y ) =
X X   X 
y × P(Y = y) = y ×  P(X = x)
y∈Y (Ω) y∈Y (Ω) x∈X (Ω)
tq f (x)=y
On peut voir que le calcul est compliqué. On va donc essayer d’avoir une formule simple,
E
donnant (Y ) connaissant la loi de X , et sans avoir à calculer la loi de Y .
Théorème 9 – Théorème de transfert

Soit f : R → R telle que X (Ω) ⊆ D f . Alors Y = f (X ) est aussi une VAR et :
n
X
E(Y ) = E¡ f (X )¢ = f (xk ) × P(X = xk )
k=1
Ce résultat sera très utile en pratique, car dans beaucoup de cas on ne sait pas calculer
simplement la loi de la VAR Y = f (X ).
On peut aussi écrire la formule de la manière suivante :

X
E(Y ) = E¡ f (X )¢ = f (x) × P(X = x)
x∈X (Ω)
Remarque. On a donc :
X X
y × P( f (X ) = y)) = f (x) × P(X = x)
y∈ f (X (Ω)) x∈X (Ω)
d’où le nom de « transfert ».
Exemple. On lance deux dés distinguables et on note X = Sommes des deux chiffres obtenus.
k 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P(X = k) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
E(X 2) = 22 × 361 + 32 × 362 + . . . + 122 × 361 = 329

6

2 Espérance mathématique d’une VAR 465
Corollaire 10 – Linéarité de l’espérance (version 1)
Pour tout (a, b) ∈ R2, E(aX + b) :

E(aX + b) = aE(X ) + b
En particulier si a = 0, on a pour tout b ∈ R : E(b) = b. Et donc pour b = E(X ), on obtient
E¡E(X )¢ = E(X ), puis E¡X − E(X )¢ = 0.
Le théorème suivant sera admis.
Théorème 11 – Linéarité de l’espérance (version 2)
Soient X et Y deux VAR, définies sur le même espace de probabilité. Pour tout (a, b) ∈ R2 :
E(aX + bY ) = a.E(X ) + b.E(Y )
On en déduit deux propriétés fondamentales de l’espérance.
Corollaire 12 – Positivité et croissance de l’espérance
1. Positivité. Si X est à valeurs dans R+. Alors E(X ) ≥ 0.

2. Croissance. Soient X et Y deux VAR, définies sur le même espace de probabilité.
On suppose que X ≤ Y ie que ∀ω ∈ Ω, X (ω) ≤ Y (ω).
E E
Alors (X ) ≤ (Y ).
2.3 Variance d’une variable aléatoire

Définition 13 – Variance d’une variable aléatoire
On appelle variance de X , notée V (X ) ou Var(X ) :
h¡ ¢2 i
V (X ) = E
X − (X )E
La variance sert à mesurer la dispersion quadratique de X autour de sa valeur moyenne (= son

espérance).
Théorème 14 – Règles de calcul de la variance
1. V (X ) ≥ 0 ;
2. V (X ) = 0 ⇐⇒ X est constante.
E
Dans ce cas : X = (X ).
3. Pour tout (a, b) ∈ R2 :
V (aX + b) = a 2V (X )

Théorème 15 – Formule de Koenig-Huyghens
On a :
V (X ) = E¡X 2¢ − ¡E(X )¢2
E
¡ ¢ ¡
Puisque V (X ) ≥ 0, on a X 2 ≥ (X ) . E¢2
C’est cette formule qu’on utilise en pratique pour calculer la variance d’une VAR.
Exemple. On lance deux dés distinguables et on note X = Sommes des deux chiffres obtenus.
k 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P(X = k) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
Donc : V (X ) = 329 2 35
6 −7 = 6
Définition 16 – Écart-type d’une VAR

p
On appelle écart-type de X le réel : σ(X ) = V (X ).
Contrairement à la variance, l’écart-type possède la même unité que X , et s’interprète donc

mieux en pratique. Il sert à mesurer la dispersion de X autour de sa valeur moyenne.
2.4 Inégalités de Markov et Bienaymé-Tchebychev
Théorème 17 – Inégalité de Markov
1. Si X est une VAR à valeurs dans R+, alors :

∀a > 0, P(X ≥ a) ≤
E(X )
a
2. On a :
∀a > 0, P(|X | ≥ a) ≤
E¡ ¢
|X |
a
Exemple. Si X est une variable aléatoire, alors :
lim P(X > a) = 0

a→+∞

3 Lois usuelles 467
On a aussi un résultat plus précis.
Théorème 18 – Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
On a :
∀ε > 0,
¡
E ¢ Var(X )
P |X − (X )| ≥ ε ≤
ε2
Cette inégalité confirme l’utilisation de l’écart-type comme mesure de dispersion.
3 Lois usuelles
Dans tout ce paragraphe X est une VAR définie sur un espace probabilisé fini (Ω, P).
3.1 Loi uniforme

Définition 19 – VAR de loi uniforme
Soit A une partie de R finie et non vide. On dit que X suit la loi uniforme sur A lorsque
X (Ω) = A et :
1
∀a ∈ A, P(X = a) =
Card(A)
On le note X ,→ U (A).
1
Si A = {a1 , . . . , an } avec n = Card(A), alors : ∀k ∈ 1, n, P(X = ak ) = .
n
Si A est un singleton, A = {a}, alors X est constante égale à a.
¡ ¢
Exemple. Si X ,→ U 1, n , alors X (Ω) = 1, n et :
1
∀k ∈ 1, n, P(X = k) =
n
¡ ¢
Théorème 20 – Espérance et variance d’une VAR de loi U 1, n
Soit X une VARD de loi U (1, n). Alors X :
n2 − 1
E(X ) = n +2 1 et V (X ) =
12
¡ ¢
B Ces formules sont fausses si X ,→ U 0, n .

Modélisation 1 : On choisit au hasard un nombre dans A, partie finie non vide de R. On note X
= Nombre obtenu. Alors X ,→ U (A).
Exemple. On dispose d’une urne de 10¡ boules¢ numérotées. On tire une boule au hasard et
on note X = Numéro obtenu. Alors X ,→ U 1, 10 .
Exemple. Un gardien doit ouvrir une porte dans le noir, avec n clef dont une seule est la
bonne. On note X le nombre d’essais nécessaires pour trouver la bonne clef. On suppose
¡ ¢ que
le gardien essaie les clefs une à une, sans utiliser deux fois la même. Alors X ,→ U 1, n et le
n +1
nombre moyen d’essais pour trouver la bonne clef est donc .
2
3.2 Loi de Bernoulli
Définition 21 – VAR de loi de Bernoulli

On dit que X suit la loi de Bernoulli de paramètre p ∈]0, 1[ lorsque X (Ω) = {0, 1} et :
P(X = 1) = p et P(X = 0) = 1 − p = q
On le note X ,→ B(p).
Théorème 22 – Espérance et variance d’une VAR de loi B(p)
Soit X une VAR de loi B(p). Alors :
E(X ) = p et V (X ) = pq = p(1 − p)
Modélisation : On considère une expérience aléatoire qui n’a que deux issues possibles : succès
ou échec. ½
1 si l’expérience est un succès
On note p la probabilité qu’elle donne un succès et X =
0 si l’expérience est un échec
Alors X ,→ B(p).
Exemple. On dispose d’une pièce de monnaie truquée, de telle sorte qu’elle donne Pile avec
probabilité p½∈]0, 1[.
1 si la pièce donne Pile
On note X = Alors X ,→ B(p).
0 si la pièce donne Face
Exemple.½On tire une carte dans un jeu de 32 cartes.µ ¶

1 si la carte est un coeur 1
On note X = Alors X ,→ B .
0 sinon 4

3 Lois usuelles 469
Théorème 23 – Caractérisation de la loi de Bernoulli

Soit X une VAR. Alors :
X suit une loi de Bernoulli ⇐⇒ X (Ω) = {0, 1}
et dans ce cas le paramètre est p = E(X ) = P(X = 1).
Exemple. Si X ,→ B(p), alors X 2 ,→ B(p).

¡ ¢
Exemple. Si A est un évènement tel que P(A) ∉ {0, 1}, alors X = 1 A est une VAR de loi B P(A) .
En particulier on obtient que E(1 A ) = P(A), formule qui relie probabilité d’un évènement et
espérance d’une VAR.
3.3 Loi binomiale

Définition 24 – VAR de loi binomiale
N
On dit que X suit la loi binomiale de paramètres n ∈ ∗ et p ∈]0, 1[ lorsque X (Ω) = 0, n
et : Ã !
n k
∀k ∈ 0, n, P(X = k) = p (1 − p)n−k
k
On le note X ,→ B(n, p).
On a B(1, p) = B(p).
Ã !
Z
Si k ∈ , k ∉ 0, n, on a encore P(X = k) =
n k
k
p (1 − p)n−k puisque 0 = 0. Ainsi :
Ã !
∀k ∈ ,Z P(X = k) =
n k
k
p (1 − p)n−k
Théorème 25 – Espérance et variance d’une VAR de loi B(n, p)
Soit X une VAR de loi B(n, p). Alors :
E(X ) = np et V (X ) = npq = np(1 − p)
Modélisation : On considère une expérience aléatoire qui n’a que deux issues possibles : succès
avec probabilité p ou échec avec probabilité q = 1 − p.
On effectue n répétitions indépendantes de cette même expérience.
On note X = Nombre de succès obtenus.
Alors X ,→ B(n, p).

Exemple. On dispose d’une pièce de monnaie truquée, de telle sorte qu’elle donne Pile avec
probabilité p ∈]0, 1[.
On la lance n fois de manières indépendantes.
On note X = Nombre de Piles obtenus.
Alors X ,→ B(n, p).
Exemple. On dispose d’une urne de N boules : N1 boules blanches et N2 boules noires.

On effectue n tirages successifs d’une boule avec remise.
On note X = Nombre
µ ¶ de boules blanches obtenues.
N1
Alors X ,→ B n, .
N


➥ Savoir déterminer la loi d’une variable aléatoire.
✪ Déterminer l’univers image X (Ω).
✪ Calculer les probabilités P(X = k) pour tout k ∈ X (Ω).
➥ Savoir calculer l’espérance d’une variable aléatoire.

✪ En utilisant la définition et la loi de la variable aléatoire.
✪ En utilisant le théorème de transfert et la loi d’une autre variable aléatoire.
➥ Savoir calculer la variance d’une variable aléatoire.

✪ Calculer le moment d’odre deux avec le théorème de transfert.
✪ Conclure avec la formule de Koenig-Huyghens.
➥ Connaître les lois usuelles et les reconnaître dans la modélisation.

✪ Connaître aussi leur espérance et leur variance.

5 Exercices
Lois usuelles
EXERCICE 1. Lois usuelles

Dans chacune des expériences qui suivent, reconnaître la loi de X .
1. On range au hasard 20 objets dans 3 tiroirs.
X = nombre d’objets dans le premier tiroir.
2. Un enclos contient 15 lamas, 15 dromadaires et 15 chameaux. On sort un animal au
hasard de cet enclos.
X = nombre de bosses.
3. Une urne contient 6 boules vertes, 3 boules rouges et 5 boules bleues. On tire successive-
ment et avec remise 10 boules de l’urne.
X = nombre de boules vertes tirées.
4. On suppose que la probabilité de naissance d’une fille et d’un garçon sont identiques.
X = nombre de garçons d’une famille de 3 enfants.
5. On suppose que 1% des trèfles possédent 4 feuilles. On cueille 100 trèfles.
X = nombre de trèfles à 4 feuilles cueillis.
EXERCICE 2. Transfert de loi

¡ ¢
Si X ,→ U 1, n et Y = X /n. Calculer E(Y ) et V (Y ). Déterminer la loi de Y .
EXERCICE 3. Une utilisation du théorème de transfert
µ ¶
Si X ,→ B(n, p) calculer E1
X +1
.
Calculs de lois par

dénombrement
EXERCICE 4. Jeux d’argent

Un jeu est dit équitable losque l’espérance du gain relatif du joueur est nulle. Pour chacun des
jeux suivants, déterminer si le jeu est équitable.
1. Le joueur lance 2 dès. S’il sort 7, il gagne 5 euros, sinon il perd 1 euro.
2. Le joueur mise sur rouge ou noir à la roulette au casino (composée de 18 rouges, 18 noirs
et du zéro qui est vert). Pour une mise donnée, la casino paye deux fois la mise en cas de
sortie de la bonne couleur (la mise est perdue dans tous les cas).
3. Toujours à la roulette, il joue un numéro plein : s’il gagne, la casino lui paye 36 fois sa mise
en cas de sortie du numéro choisi.
4. Le joueur remplit une grille de loto qui coûte ǫ euros : il choisit 6 numéros entre 1 et 49.
Si ses numéros sortent, il gagne un million d’euros.

5 Exercices 473
EXERCICE 5. Somme des numéros

Une urne contient deux boules marquées 1, deux marquées 2 et une marquée 3. On prélève
simultanément deux boules au hasard et on appelle X la somme des numéros marqués sur les
deux boules. Déterminer la loi de X son espérance et son écart-type.
EXERCICE 6. Les quatre dés

On lance 4 dès équilibrés, on note X ="le nombre de numéros différents sortis".
1. Vérifier que la loi de X est la suivante :
k 1 2 3 4
P(X = k) 1/216 35/216 120/216 60/216
2. Calculer l’espérance et la variance de X .
EXERCICE 7. Plus grand numéro obtenu lors d’un tirage simultané

On effectue un tirage simultané de n boules dans une urne composée de N boules numérotées
de 1 à N . On note X le plus grand des numéros obtenus.
1. Reconnaître la loi de X si n = 1.
2. Vérifier que X (Ω) = n, N et que pour tout k ∈ n, N :
¡k−1¢
P(X = k) = n−1
¡N ¢
n
Ã ! Ã !
XN
3. Démontrer que pour tout n ∈ 0, N :
k
=
N +1
, et en déduire E(X ).
k=n n n +1
4. Calculer V (X ).
EXERCICE 8. Loi hypergéométrique
1. On dispose d’une urne de N boules : N1 boules blanches et N2 boules noires.

On effectue n tirages successifs d’une boule avec remise.
On note X = Nombre de boules blanches obtenues.
Déterminer la loi de X .
On effectue n tirages successifs d’une boule sans remise.


On effectue un tirage simultané de n boules.
Calculs de lois par

conditionnement
EXERCICE 9. Urne vidée de ses boules blanches

On considère une urne de taille N > 1, contenant r boules blanches et N − r boules noires
(0 < r < N ). Dans cette urne, on prélève les boules une à une et sans remise, jusqu’à l’obtention
de toutes les boules blanches, et on note X le nombre de tirages qu’il est nécessaire d’effectuer
pour cela.
1. Dans les cas r = 1 et r = N , reconnaître la loi de X et donner son espérance.
2. Le cas général : 1 < r < N .
¡k−1¢
(a) Déterminer l’ensemble X (Ω) et pour k ∈ X (Ω) vérifier que : P(X = k) = ¡r N
−1
¢
r
r (N + 1)
(b) Montrer que : E(X ) = .
r +1
EXERCICE 10. n-ième succès lors de tirages sans remise

Une urne contient N ≥ 1 boules dont r ≥ 1 sont rouges et les autres sont blanches. On tire
successivement et sans remise toutes les boules. Soit n ∈ 1, r . On appelle X n le rang
d’apparition de la n ème boule rouge. Trouver la loi de X n .
Faire le lien avec l’exercice précédent.
EXERCICE 11. Modèle de Galton-Watson

Soit p ∈]0, 1[.
On considère une plante qui peut donner naissance à deux descendants avec la probabilité p,
N
ou à aucun descendant avec la probabilité 1 − p. Pour n ∈ , on note X n le nombre de descen-
dants issus de la n ème génération, c’est-à-dire le nombre de descendants de notre plante à la
(n + 1)ème génération.
On note aussi f la fonction définie sur [0, 1] par : f (x) = px 2 + (1 − p).
N
1. On définit une suite (u n )n∈N par u 0 = 1 − p et ∀n ∈ , u n+1 = f (u n ) Montrer qu’elle est
bien définie, puis étudier sa monotonie et sa convergence.
2. Pour n ∈ N, donner une relation entre P(X n+1 = 0) et P(X n = 0).
3. En déduire lim P(X n = 0). Interpréter ce résultat.
n→+∞

5 Exercices 475
Plusieurs variables
aléatoires
EXERCICE 12. Exemple de couple discret

On choisit au hasard un nombre X entre 1 et n. On choisit alors au hasard avec équiprobabilité
un entier Y entre 1 et X .
1. Pour (i , j ) ∈ 1, n2 , déterminer P([X = i ] ∩ [Y = j ]).
2. Donner la loi de Y .
EXERCICE 13. Minimum et maximum lors de tirages simultanés

On considère une urne contenant N jetons numérotés de 1 à N . On tire simultanément n jetons
de l’urne (n < N ) et on note X le plus petit des numéros obtenus et Y le plus grand.
1. Déterminer les lois de X et Y .
2. Pour (i , j ) ∈ X (Ω) × Y (Ω), déterminer P([X = i ] ∩ [Y = j ]).
EXERCICE 14. Expérience en deux étapes

N
On dispose de n ∈ ∗ urnes numérotées de 1 à n : U1 , U2 , . . . , Un . L’urne Uk contient k boules
numérotées de 1 à k. On choisit au hasard une urne, on note X le numéro de l’urne choisie, puis
on tire une boule au hasard dans l’urne choisie, on note Y le numéro de la boule tirée.
1. Pour (i , j ) ∈ 1, n2 , déterminer P([X = i ] ∩ [Y = j ]), en déduire la loi de Y .
2. Déterminer l’espérance de Y .
3. Donner un équivalent de E(Y ) lorsque n → +∞.
Un peu de théorie
EXERCICE 15. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

On effectue n lancers indépendants d’une pièce équilibrée. A l’aide de l’inégalité de Bienaymé-
Tchebychev, déterminer le nombre de lancers nécessaires pour que la moyenne empirique du
nombre de "Piles" obtenus se situe dans l’intervalle ]1/2 − 0.01, 1/2 + 0.01[, avec une probabilité
supérieure ou égale à 95%.
EXERCICE 16. Théorème d’antirépartition
1. Soient N ∈N et X uneN−1
VAR vérifiant : X (Ω) ⊂ 0, N .
X
Montrer que : E(X ) = P(X > k).
k=0
2. On considère une urne de N boules numérotées. On effectue un tirage simultané de n
boules, et on note X le plus grand numéro obtenu. Déterminer (X ). E
EXERCICE 17. Entropie de la loi d’une variable aléatoire discrète

½
R
On considère la fonction f définie sur + par f (x) =
−x ln(x) si x > 0
0 si x = 0
.
Soit Ω un univers fini et X une variable aléatoire définie sur Ω et à valeurs dans R+. On appelle
entropie de la loi de X le réel, noté H(X ), défini par :
X ¡ ¢
H(X ) = f P(X = x)
x∈X (Ω)
¡ ¢
On pose aussi N = Card X (Ω) .
1. Déterminer H(X ) lorsque X suit une loi uniforme. Même question lorsque X est constante.
2. Dans le cas général, déterminer le signe de H(X ).
R
3. Etudier¡le signe sur ¢ + de la fonction h(x) = f (x) − 1 + x. En déduire le signe du réel :
P
f N × P(X = x) , puis l’inégalité : H(X ) ≤ ln N .
x∈X (Ω)
4. Etablir que l’entropie est minimale si, et seulement si, X est constante.
5. Etablir que l’entropie est maximale si, et seulement si, X suit une loi uniforme.
EXERCICE 18. Fonction génératrice d’une variable aléatoire discrète

Soit X une variable aléatoire sur un univers Ω supposé fini, et à valeurs dans N. On appelle
R
fonction génératrice de X la fonction G X : −→ définie par : R
X
R
∀t ∈ , G X (t ) = P(X = k).t k
k∈X (Ω)
1. Pour tout t ∈R, exprimer E(t ¡X ) en fonction de G X .

2. Pour tout n ∈ N∗ , exprimer E X (X − 1) . . .(X − n + 2)(X − n + 1) en fonction de G X ou de
¢
ses dérivées.
3. Montrer que la fonction génératrice de X caractérise la loi de X .
4. Relier E(X ) et Var(X ) à G X et G ′X . ¡ ¢
5. Déterminer G X dans les cas suivants : X ,→ B(p), X ,→ B(N , p) et X ,→ U 1, N .

477
Chapitre 19
Compléments sur les matrices
Sommaire
1 Représentation matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
1.1 Matrice d’une famille finie de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
1.2 Matrice d’une application linéaire dans des bases . . . . . . . . . . . . . . . 479
1.3 Matrice d’un endomorphisme dans une base . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
1.4 Interprétation du produit d’une matrice par un vecteur colonne . . . . . . 483
1.5 Interprétation du calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
1.6 Matrices inversibles et isomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
1.7 Changement de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487
2 Noyau, image et rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
2.1 Noyau et image d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
2.2 Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
2.3 Lien avec les autres notions de rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
2.4 Théorème du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
3 Déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
3.1 Déterminant d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
3.2 Propriétés du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
3.3 Déterminant et produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496
3.4 Développement par rapport à une ligne ou par rapport à une colonne . . 498
3.5 Déterminant d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500
5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502

478 C HAPITRE 19 : Compléments sur les matrices
Dans tout ce chapitre K désigne R ou C.
E et F sont deux espace vectoriels sur K de dimension finie.
1 Représentation matricielles
Dans¡ tout ce paragraphe, et sauf mention contraire, B =

¡
e 1 , e 2 , . . . , e p
¢
est une base de E et
¢
C = ε1 , ε2 , . . . , εn est une base de . F
1.1 Matrice d’une famille finie de vecteurs

n
F s’écrit de manière unique u =
X
On a vu que tout u ∈ ai .εi où les scalaires (a1 , . . . , an ) sont les
i =1
coordonnées de u dans la base C .
On associe alors à u la matrice colonne :
 
a1
 a2 
 
U = Mat(u) = Mat(u; C ) =  .  ∈ Mn,1 ( )
C  .. 
K
an
F
Plus généralement, si (u 1 , . . . , u p ) est une famille finie de vecteurs de , on lui associe la matrice
K
A ∈ Mn,p ( ) telle que la j -ième colonne de A est égale aux coordonnées du vecteur u j dans la
base C :
u1 ... uj ... up
↓ ↓ ↓
 
a1,1 ... a1,j ... a1,p ← ε1
 .. .. ..  ..
 . . .  .
A = Mat(u 1 , . . . , u p ) = Mat(u 1 , . . . , u p ; C ) =  
 ai ,1 ... ai ,j ... ai ,p 
C
  ← εi
 . .. ..  ..
 .. . .  .
an,1 ... an,j ... an,p ← εn
n
X
où les ai ,j sont définis par : ∀ j ∈ 1, p, u j = (a1,j , . . . , an,j )C = ai ,j .εi
i =1

1 Représentation matricielles 479
Définition 1 – Matrice d’une famille finie de vecteurs

On dit que la matrice Mat(u 1 , . . . , u p ) est la matrice associée à la famille (u 1 , . . . , u p ) dans la
C
base C .
K
Réciproquement, toute matrice A ∈ Mn,p ( ) définit une famille (u 1 , . . . , u p ) de p vecteurs de E
telle que :
A = Mat(u 1 , . . . , u p )
C
On en déduit que l’application
Fp −→ Mn,p ( ) K
(u 1 , . . . , u p ) 7−→ Mat(u 1 , . . . , u p )
C
est une bijection de Fp vers Mn,p (K). Sa bijection réciproque est l’application :
Mn,p ( ) −→K p
F
A 7 → (u 1 , . . . , u p )
−
n
X
où u j = ai ,j .εi
i =1
En particulier A définit p vecteurs de Kn en choisissant E = Kn muni de sa base canonique.

 
1 2
Exemple. A = 0 1 donne dans la base canonique de R3 la famille ¡(1, 0, 3); (2, 1, 0)¢.
3 0
¡ Exemple. La
¢ même matrice donne dans la base canonique de R2[X ] la famille de polynômes
1 + 3X 2 , 2 + X .
1.2 Matrice d’une application linéaire dans des bases
On EF
¡ rappelle que¢ f ∈ L ( , ) est entièrement déterminée par la donnée de la famille de vecteurs
F
f (e 1 ), . . . , f (e p ) de vecteurs de , grâce à la formule suivante :
n
X p
X
si x = xi .e i alors f (x) = xi . f (e i )
i =1 i =1

Par conséquent l’application linéaire f est aussi entièrement déterminée par la donnée de la
matrice :
f (e 1 ) ... f (e j ) ... f (e p )
↓ ↓ ↓
 
a1,1 ... a1,j ... a1,p ← ε1
 .. .. ..  ..
 . . .  .
A = Mat( f ) = Mat( f ; B, C ) =  
 ai ,1 ... ai ,j ... ai ,p 
B,C
  ← εi
 . .. ..  ..
 .. . .  .
an,1 ... an,j ... an,p ← εn
n
X
où les ai ,j sont définis par : ∀ j ∈ 1, p, f (e j ) = (a1,j , . . . , an,j )C = ai ,j .εi
i =1
¡ ¢
On peut remarquer que Mat( f ; B, C ) = Mat f (B); C . La matrice de gauche est celle d’une
application linéaire dans des bases, et celle de droite la matrice d’une famille de vecteurs dans
une base.
Définition 2 – Matrice d’une application linéaire dans des bases
La matrice Mat( f ) = Mat( f ; B, C ) est appelée matrice associée à f dans les bases B et C .
B,C
K
Réciproquement, toute matrice A ∈ Mn,p ( ) définie une application linéaire f ∈ L ( , ) telle EF
que :
A = Mat( f ; B, C )
EF
L ( , ) −→ Mn,p ( ) K
f 7 → Mat( f ; B, C )
−
EF K
est une bijection de L ( , ) vers Mn,p ( ). Sa bijection réciproque est l’application :
Mn,p (K) −→ L ( , ) EF
A 7−→ f
Ã !
n
X n
X p
X n
X
où f (x) = xi . f (e i ) = xi ai ,j .ε j pour x = xi .e i .
i =1 i =1 j =1 i =1
¶µ
Exemple. A =
1 0 1
2 1 1
donne, dans les bases canoniques de R2[X ] et R1[X ], l’application
¡
R ¢
R
linéaire f ∈ L 2 [X ], 1 [X ] telle que :
f (1) = 1 + 2X
f (X ) = X
f (X 2 ) = 1 + X
donc : ∀(a, b, c) ∈ R3, f (a + bX + c X 2 ) = a. f (1) + b. f (X ) + c. f (X 2) = a + c + (2a + b + c)X .

Définition 3 – Application linéaire canoniquement associée
K
Soit A ∈ Mn,p ( ¡). On appelle application linéaire canoniquement associée à A,
l’application f ∈ L p
, n
¢
K K
définie par A dans les bases canoniques de p et K n . K
¶ µ
Exemple. A =
1 0 1
2 1 1
a pour application linéaire canoniquement associé f ∈ L
¡
R3, R2¢
telle que :
f (1, 0, 0) = (1, 2)
f (0, 1, 0) = (0, 1)
f (0, 0, 1) = (1, 1)
et d’expression analytique :
∀(x, y, z) ∈ R3, f (x, y, z) = x. f (1, 0, 0) + y. f (0, 1, 0) + z. f (0, 0, 1) = (x + z, 2x + y + z)
Cas des formes linéaires. Dans ce cas = F K

et on prend comme base de : C = (1). On K
remarque que la matrice asociée à une forme linéaire est une matrice ligne. Si B = (ε1 , . . . , εn )
est une base de : E ¡ ¢
Mat( f ) = f (ε1 ) f (ε2 ) . . . f (εn )
B
Exemple. Dans Kn , on considère la forme linéaire :

f : Kn −→ K
n
X
(x1 , . . . , xn ) 7−→ xk
k=1
Sa matrice associée dans la base canonique B de Kn est :

¡ ¢
Mat( f ) = 1 1 . . . 1
B
1.3 Matrice d’un endomorphisme dans une base

Si f est un endomorphisme de E, on peut choisir la même base au départ et à l’arrivée.
On associe donc à f ∈ L (E) la matrice A = Mat( f ; B, B) ∈ Mn (K), notée plus simplement
Mat( f ; B) ou Mat( f ) :
B
f (ε1 ) ... f (ε j ) ... f (εn )

↓ ↓ ↓
 
a1,1 ... a1,j ... a1,n ← ε1
 .. .. ..  ..
 . . .  .
A = Mat( f ) = Mat( f ; B) =  
 ai ,1 ... ai ,j ... ai ,n 
B
  ← εi
 . .. ..  ..
 .. . .  .
an,1 ... an,j ... an,n ← εn

n
X
où les ai ,j sont définis par : ∀ j ∈ 1, n, f (ε j ) = (a1,j , . . . , an,j )C = ai ,j .εk
i =1
¡ ¢
On a donc Mat( f ; B) = Mat f (B); B . La matrice de gauche est celle d’un endomorphisme dans
une base, et celle de droite la matrice d’une famille de vecteurs dans une base.
Définition 4 – Matrice d’un endomorphisme dans une base
La matrice Mat( f ) = Mat( f ; B) est appelée matrice carrée associée à l’endomorphisme f

B
dans la base B.
Exemple. Dans Rn [X ] on considère l’endomorphisme :

ϕ: Rn [X ] −→ R
n [X ]
′
P 7−→ P
Sa matrice associée dans la base canonique B de Rn [X ] est :

 
0 1 0 ... ... 0
0 0 2 ... ... 0
 
 . .. 
0 0 ..
 . 
0 0
Mat(ϕ) =  . .. .. . . .
. ..
B
. . . . . .. 

 
0 0 0 ... 0 n
0 0 0 ... ... 0
Exemple. On a : Mat(idE ) = I n .
B
K
Réciproquement, toute matrice carrée A ∈ Mn ( ) définie un endomorphisme f ∈ L ( ) tel E
que :
A = Mat( f ; B)
E
L ( ) −→ Mn ( ) K
f 7 → Mat( f ; B)
−
E
est une bijection de L ( ) vers Mn ( ). K
Définition 5 – Endomorphisme canoniquement associé
K
Soit A ¡∈ M¢n ( ). On appelle endomorphisme canoniquement associé à A, l’endomorphisme
K
f ∈ L n défini par A dans la base canonique de n . K

1.4 Interprétation du produit d’une matrice par un vecteur colonne

 
x1
 x2 
Si A = ((ai ,j )) 1≤i ≤n
1≤ j ≤p
K  
K K
∈ Mn,p ( ) et X =  .  ∈ M p, 1( ), le produit A × X ∈ Mn,1 ( ) est donné
 .. 
xp
par :
X
p 
a1,k × xk
 
 k=1 

 .. 

 . 
X p 
 
 ai ,k × xk  ← ligne i
A × X = 
 k=1 
 .. 
 . 
 p 
X 
an,k × xk
k=1
ie que pour tout i ∈ 1, n :

p
X
(AX )[i , 1] = ai ,k × xk
k=1
Théorème 6 – Produit matriciel et image d’un vecteur par une application linéaire
EF
Soient f ∈ L ( , ), x ∈ E et y ∈ F, représentés matriciellement par A, X et Y . Alors :
y = f (x) ⇐⇒ Y = A × X

¡ ¢
Mat( f ; B, C ) × Mat(x; B) = Mat f (x); C
Corollaire 7 – Égalité de deux matrices
Soient A et B deux matrices de Mn,p ( ). K

1. On a :
A = B ⇐⇒ ∀X ∈ Mp,1 ( ), K A×X =B ×X
2. On a :
A = 0n,p ⇐⇒ ∀X ∈ Mp,1 ( ), K A × X = 0n,1
Ne pas confondre avec le résultat suivant :

³ ´
K
A est inversible ⇐⇒ ∀X ∈ Mp,1 ( ), A × X = 0n,1 =⇒ X = 0p,1

Le théorème précédent indique aussi comment trouver l’expression analytique d’une

EF
application linéaire f ∈ L ( , ).
 
1 2 1
R
Exemple. On note A = 0 0 1 ∈ M3 ( ) et f l’endomorphisme de R3 canoniquement
1 2 1
R
associé. Pour tout (x, y, z) ∈ 3 :
   
x x + 2y + z
A × y  =  z 
z x + 2y + z
donc f (x, y, z) = (x + 2y + z, z, x + 2y + z).
µ ¶
Exemple. On note A =
1 −1 1
−1 1 −1
R ¡
∈ M23 ( ) et f ∈ L 2 [X ], R R1 [X ]¢ l’application li-
néaire associée dans les bases canoniques. Pour tout P = a + bX + c X 2 ∈ R2[X ] :
 
a µ ¶
  a −b +c
A× b =
−a + b − c
c
donc f (a + bX + c X 2 ) = (a − b + c) + (−a + b − c)X .
1.5 Interprétation du calcul matriciel
Dans le théorème suivant, f et g sont deux applications linéaires de E vers F représentées par
les matrices A et B dans les bases B et C .
Théorème 8 – Combinaison linéaire
Si (λ, µ) ∈ K2 et si on note C la matrice représentative de λ. f + µ.g dans les bases B et C :

C = λ.A + µ.B
Mat(λ. f + µ.g ; B, C ) = λ. Mat( f ; B, C ) + µ. Mat(g ; B, C )

Corollaire 9 – Isomorphisme entre Mn,p et L ( , ). EF

E F
Si p = dim( ) et n = dim( ) alors l’application A 7−→ Mat(A; B, C ) est un isomorphisme
EF
de L ( , ) vers Mn,p . En particulier :
³ ´
EF E
dim L ( , ) = p × n = dim( ) × dim( ) F
On se donne G un troisième espace vectoriel sur K de dimension finie, et D une base de G.
Dans le théorème suivant, f est une application linéaire de E vers F représentée par la matrice
A dans les bases B et C , et g est une application linéaire de F vers G représentée par la matrice
B dans les bases C et D.
Théorème 10 – Produit matriciel

On note D la matrice représentative de g ◦ f dans les bases B et D. Alors :
D =B×A
Mat(g ◦ f ; B, D) = Mat(g : C , D) × Mat( f ; B, C )
Ce théorème justifie la définition choisie pour le produit matriciel : il correspond à la

composée des applications linéaires associées aux matrices. On comprend mieux pourquoi le
produit matriciel est non commutatif et non intègre : il hérite ces propriétés de la composition
des applications linéaires.
Les différentes règles de calcul vue pour le produit matriciel peuvent ainsi être rédémontrées
via les applications linéaires.
K
Exemple. Si A ∈ Mn,p ( ), montrer que A × I p = I n × A = A.
On a défini les puissances entières d’une matrice carrée et d’un endomorphisme. Ces deux
notions sont liées par le théorème suivant.
Proposition 11 – Puissances de matrices et d’endomorphismes
E
Si f ∈ L ( ), on a :
∀p ∈ N, ¡ ¢ ¡
Mat f p ; B = Mat( f ; B)
¢p

1.6 Matrices inversibles et isomorphismes
Théorème 12 – Matrices inversibles et isomorphismes
E F EF
Si dim( ) = dim( ) et si f ∈ L ( , ), on a :
f est un isomorphisme de E sur F ⇐⇒ A = Mat( f ; B, C ) est inversible

et dans ce cas : ¡ ¢−1 ¡ ¢
A −1 = Mat( f ; B, C ) = Mat f −1 ; C , B
Si f est un endomorhisme de E, on a donc :
f est un automorphisme de E ⇐⇒ A = Mat( f ; B) est inversible
et dans ce cas :
¡ ¢−1 ¡ ¢
A −1 = Mat( f ; B) = Mat f −1 ; B
Pour un automorphisme on a donc :
∀p ∈ ,Z ¡ ¢ ¡
Mat f p ; B = Mat( f ; B)
¢p
Dans le résultat suivant, on rappelle que n = dim( ). E

Corollaire 13 – Familles de vecteurs et matrices inversibles
Si (u 1 , . . . , u n ) est une famille de n vecteurs de E:
(u 1 , . . . , u n ) est une base de E ⇐⇒ Mat(u1, . . . , un ; B) est une matrice inversible
Ce résultat donne en particulier un moyen simple de montrer qu’une matrice est inversible :
vérifier que ses colonnes forment une famille libre.
 
1 1 1 ... 1 1
1 0 0 ... 0 1
µ ¶  
K K
1 2 . .. .. . . .. .. 
Exemple. ∈ M2 ( ) est inversible et 
 .. . . . 
. .  ∈ Mn ( ) ne l’est pas.
2 1  
1 0 0 ... 0 1
1 1 1 ... 1 1

1.7 Changement de bases

¡ ¢
On reprend ¡B = e 1 , e 2 , . ¢. . , e p une base de E et C = ¡¡ε1, ε2, . . . , εn ¢¢ est une base de F, et on se
donne B ′ = e 1′ , e 2′ , . . . , e p′ une autre base de E et C ′ = ε′1, ε′2, . . . , ε′n une autre base de F.
Définition 14 – Matrice de passage d’un base à une autre
On appelle matrice de passage de B à B ′ la matrice :
P B−→B ′ = Mat(B ′ ; B) ∈ Mp ( ) K
On a donc :
e 1′ ... e ′j ... e p′
↓ ↓ ↓
 
λ1,1 ... λ1,j ... λ1,p ← e1
 .. .. ..  ..
 . 
P B−→B ′ =  . .  .
 λi ,1 ... ... λi ,p  ei
 λi ,j  ←
 . .. ..  ..
 .. . .  .
λp,1 ... λp,j ... λp,p ← ep
p
X
où les λi ,j sont définis par : ∀ j ∈ 1, p, e ′j = λi ,j .e i
i =1
Exemple. On a : P B−→B = I p
Exemple. Si E = R3[X ], B = (1, X , X 2, X 3¢ et B′ = ¡1, X − 1, (X − 1)2, (X − 1)3¢, déterminer

P B−→B ′ .
En considérant l’application linéaire idE : E −→ E, on a

P B−→B ′ = Mat(idE ; B ′ , B)
Proposition 15 – Produit de matrices passages
1. Soient B, B ′ et B ′′ trois bases de E. Alors :

P B−→B ′′ = P ×P
B −→B ′ B ′ −→ B ′′
2. Soient B et B ′ deux bases de E. Alors PB−→B ′ est inversible et :
(P B−→B ′ )−1 = P B ′ −→B
Les matrices de passage sont utilisées pour les changements de base.

Théorème 16 – Formule de changement de bases pour une famille de vecteurs
1. Cas d’un vecteur. Si x ∈ E, on pose X = Mat(x; B), X ′ = Mat(x; B′) et P = PB−→B . ′
Alors :
X =P ×X′ X ′ = P −1 × X
2. Cas d’une famille de vecteurs. Si F est une famille de vecteurs de E, on pose

M = Mat(F ; B), M ′ = Mat(F ; B ′ ) et P = P B−→B ′ . Alors :
M = P × M′ M ′ = P −1 × M
Étudions maintenant le cas d’une application linéaire.
Corollaire 17 – Formule de changement de bases pour une application linéaire
EF
1. Cas général. Si f ∈ L ( , ), on pose A = Mat( f ; B, C ), A ′ = Mat( f ; B ′ , C ′ ),
P = P B−→B ′ et Q = P C −→C ′ . Alors :
A = Q × A ′ × P −1 et A ′ = Q −1 × A × P
EF
2. Cas d’un endomorphisme. Si f ∈ L ( , ), on pose A = Mat( f ; B1 ), A ′ = Mat( f ; B ′ )
et P = P B−→B ′ . Alors :
A = P × A ′ × P −1 et A ′ = P −1 × A × P
2 Noyau, image et rang d’une matrice

2.1 Noyau et image d’une matrice
K
On se donne A ∈ Mn,p ( ) et f ∈ L
¡
Kp , Kn ¢ l’application linéaire canoniquement associée.
Définition 18 – Noyau d’une matrice
K
On appelle noyau de A la partie de Mp,1 ( ) suivante :
©
K
Ker(A) = X ∈ Mp,1 ( ); AX = 0n,1
ª
Le noyau de A est donc l’ensemble des solutions du système linéaire AX = 0n,1 .
Remarquer que :
 
x1
 . 
(x1 , . . . , x p ) ∈ Ker( f ) ⇐⇒  ..  ∈ Ker(A)
xp
En identifiant Kp et Mp,1(K), on peut considérer que Ker(A) = Ker( f ), mais c’est un abus de
notation.

2 Noyau, image et rang d’une matrice 489
© ª
On dit que A est injective lorsque Ker(A) = 0p,1 . On a :
f est injective ⇐⇒ A est injective
Définition 19 – Image d’une matrice
K
On appelle image de A la partie de Mn,1 ( ) suivante :
©
K
Im(A) = AX ∈ Mn,1 ( ); X ∈ Mp,1 ( )
ª
K
K
L’image de A est donc l’ensemble des Y ∈ Mp,1 [ ) pour lesquels le système linéaire AX = Y est
compatible.
Remarquer que :
 
y1
 . 
(y 1 , . . . , y n ) ∈ Im( f ) ⇐⇒  ..  ∈ Im(A)
yn
En identifiant Kn et Mn,1 (K), on peut considérer que Im(A) = Im( f ), mais c’est un abus de
notation.
On dit que A est surjective lorsque Im(A) = Mn,1 ( ). On a : K

f est surjective ⇐⇒ A est surjective
2.2 Rang d’une matrice

On suppose que A ∈ Mn,p ( ). K
Définition 20 – Rang d’une matrice
K
Si A ∈ Mn,p ( ), on note (C 1 , . . . ,C p ) la famille de p vecteurs définie par les colonnes de A
K
dans la base canonique de n . On appelle alors rang de A, l’entier naturel défini par :
rg(A) = rg(C 1 , . . . ,C p )
¡ ¢
On a donc : rg(A) = dim Vect(C 1 , . . . ,C p )
 
1 1 1 ... 1 1
1 0 0 ... 0 1
 
. .. .. . . .. .. 
Exemple. rg 
 .. . . . 
. . = 2
 
1 0 0 ... 0 1
1 1 1 ... 1 1

Proposition 21 – Lien avec l’application linéaire canoniquement associée
Si f est l’application linéaire canoniquement associée à A, alors rg( f ) = rg(A).
Le rang vérifie les règles de calcul suivantes.
Théorème 22 – Règles de calcul du rang
1. rg(A) ≤ min(n, p).

K ¡
2. Si B ∈ Mpq ( ) : rg(AB) ≤ min rg(A), rg(B) .
¢
K
Si B ∈ Mn ( ) est inversible : rg(B A) = rg(A).
K
Si C ∈ Mp ( ) est inversible : rg(AC ) = rg(A).
3. Deux matrices équivalentes par lignes ou par colonnes ont le même rang.
Le résultat suivant donne une manière algorithmique de calculer le rang d’une matrice.
Théorème 23 – Rang d’une matrice échelonnée par lignes
Si A est échelonné par lignes alors :
rg(A) = nombre de lignes non nulles de A = nombre de pivots de A
L’algorithme de Gauss-Jordan permet donc de calculer le rang d’une matrice : la matrice de

départ a même rang que la matrice échelonnée par ligne donnée par l’algorithme. De plus
l’algorithme peut être effectué sur les lignes ou sur les colonnes.
B Par contre pour calculer l’inverse d’une matrice, il ne faut effectuer l’algorithme que sur les
lignes.  
1 −3 −2
 
0 2 1
Exemple. rg   = 2.
−1 1 1
1 −1 −1
 
1 ... 1
B On peut parfois conclure sans l’algorithme de Gauss-Jordan : rg  . .. 
 .. 0 n−2 .  = 2.
1 ... 1

0 a 1
Exemple. Déterminer le rang de la matrice A = a 0 1 où a est un réel.
a 1 0
Théorème 24 – Rang de la transposée
K ¡ ¢
Si A ∈ Mn,p ( ), rg t A = rg(A).

2 Noyau, image et rang d’une matrice 491
Donc le rang d’une matrice est égal au rang de la famille de vecteurs formée par ses lignes.
Théorème 25 – Rang d’une matrice échelonnée par colonnes
Si A est échelonné par colonnes alors :
rg(A) = nombre de colonnes non nulles de A = nombre de pivots de A
2.3 Lien avec les autres notions de rang

Théorème 26 – Lien avec les autres notions de rang
1. Si (u 1 , . . . , u p ) est une famille de p vecteurs de E, et si A est la matrice représentative

E
de (u 1 , . . . , u p ) dans une base B de , alors :
rg(u 1 , . . . , u p ) = rg(A)
EF
2. Si f ∈ L ( , ), et si A est la matrice de f dans des bases B et C de E et de F, alors :
rg( f ) = rg(A)
3. Si (S) est un système linéaire, et si A est la matrice de ses coefficients, alors :
rg(S) = rg(A)
Le calcul algorithmique du rang d’une matrice permet donc de calculer le rang des autres objets
de l’algèbre linéaire.
Théorème 27 – Rang et inversibilité
K
Soit A ∈ Mn ( ). Alors :
A est inversible ⇐⇒ rg(A) = n
On peut utiliser ce résultat pour montrer qu’une famille de vecteurs d’une base de E.
Exemple. Montrer que les vecteurs u 1 = (1, 1, 1), u 2 = (1, −1, 1) et u 3 = (−1, −1, 1) forment une
base de R3.
2.4 Théorème du rang
Théorème 28 – Théorème du rang pour une matrice
K
Si A ∈ Mn,p ( ) alors :
¡ ¢
p = nombre de colonnes de A = dim Ker(A) + rg(A)

On est désormais en mesure de démontrer le résultat suivant.
Théorème 29 – Caractérisations d’une matrice inversible

Soit A une matrice carrée d’ordre n. On a équivalence des propriétés suivantes :
(ii) A est inversible à gauche ;
(iii) A est inversible à droite ;
(iv) rg(A) = n ;
(v) A ∼ I n ;
L
(vi) Ker(A) = {0n,1 } ie :
³ ´
K
∀X ∈ Mn,1 ( ), AX = 0n,1 =⇒ X = 0n,1
K
(vii) Im(A) = Mn,1 ( ) ie :
K K
∀B ∈ Mn,1 ( ), ∃X ∈ Mn,1 ( ); AX = B
(viii) Ker(A) = {0n,1 } et Im(A) = Mn,1 (K) ie :
∀B ∈ Mn,1 (K), ∃!X ∈ Mn,1 (K); AX = B
(ix) les colonnes de A forment une base de Kn ;

(x) les lignes de A forment une base de Kn ;
(xi) l’application linéaire canoniquement associée à A est un automorphisme de Kn .
3 Déterminants
Dans tout ce paragraphe, n est entier naturel non nul.
3.1 Déterminant d’une matrice carrée
On va étudier des applications f : Mn ( ) −→ K K, c’est-à-dire des applications qui associe un

scalaire à une matrice carrée.
Dans la suite, on identifiera

¡ ¢ ³ n
K
la´ matrice A ∈ Mn ( ) avec le n-uplet de ses colonnes qu’on notera
¡ ¢
C 1 (A), . . . ,C n (A) ∈ Mn,1 (K ) . On notera indifféremment f (A) ou f C 1 (A), . . . ,C n (A) .

3 Déterminants 493
Définition 30 – Application multilinéaire
On dit que f est multilinéaire si f est linéaire par rapport à chaque colonne des
K
matrices de Mn ( ), c’est-à-dire que pour tout j ∈ 1, n et pour toutes matrices colonnes
(C 1 , . . . ,C j −1 ,C j +1 , . . . ,C n ), l’application :
X 7−→ f (C 1 , . . . ,C j −1 , X ,C j +1 , . . . ,C n )
est une forme linéaire de Mn,1 ( ). K
B Cela ne signifie pas que f est linéaire.
Définition 31 – Application antisymétrique
On dit que f est antisymétrique si pour toutes matrices colonnes (C 1 , . . . ,C n ) :

µ ¶
2
∀(i , j ) ∈ 1, n , i < j =⇒ f (C 1 , . . . ,C i , . . . ,C j , . . . ,C n ) = − f (C 1 , . . . ,C j , . . . ,C i , . . . ,C n )
Si on échange deux colonnes de A alors on obtient − f (A).
Définition 32 – Application alternée
On dit que f est alternée si pour toutes matrices colonnes (C 1 , . . . ,C n ),

µ ¶
2
∀(i , j ) ∈ 1, n , i < j et C i = C j =⇒ f (C 1 , . . . ,C i , . . . ,C j , . . . ,C n ) = 0
Si deux colonnes de A sont égales alors f (A) = 0.
Proposition 33 – Antisymétrique ⇐⇒ alternée
On a pour f multilinéaire : f est antisymétrique ⇐⇒ f est alternée
On admettra le théorème suivant.
Théorème 34 – Existence et unicité du déterminant

Il existe une unique application f : Mn ( ) −→ K K telle que :
(i) f est multilinéaire :
(ii) f est antisymétrique ;
(iii) f (I n ) = 1.
D’après (i i ) cette application est alternée.

Définition 35 – Déterminant
K
Si A ∈ Mn ( ), on appelle déterminant de A le scalaire f (A), où f est la fonction du
théorème précédent.
  ¯ ¯
a1,1 . . . a1,j . . . a1,p ¯ a1,1 . . . a1,j . . . a1,p ¯
¯ ¯
 .. .. ..  ¯ .. .. .. ¯
 . . .  ¯ . . . ¯
  ¯ ¯

Si A =  ai ,1 . . . ai ,j  ¯
. . . ai ,p  alors det(A) est noté ¯ ai ,1 . . . ai ,j ... ai ,p ¯
¯
 . .. ..  ¯ . .. .. ¯
 .. . .  ¯ .. . . ¯
¯ ¯
an,1 . . . an,j . . . an,p ¯ an,1 . . . an,j . . . an,p ¯
Proposition 36 – Déterminant dans M2 ( ) K

¯ ¯
¯ a b ¯
Si a, b, c et d sont des scalaires, alors : ¯¯ ¯ = ad − bc
c d ¯
Si →
−
u = (x, y) et →
−
v = (x ′ , y ′ ) sont deux vecteurs du plan, et si P est le parallélogramme construit
sur les vecteurs →
−u et →
−
v , on appelle aire algébrique de P :
→
− → −
• l’aire de P comptée positivement, si une mesure de l’angle ( u , v ) appartient à [0, π] ;
• l’aire de P comptée négativement, si une mesure de l’angle (→

−
u ,→
−
v ) appartient à ] − π, 0].
¯ ¯
¯ x x ′ ¯¯
Alors cette aire algébrique est donnée par ¯¯ .
y y′ ¯
De même, on peut montrer que si → −

u = (x, y, z), →
−
v = (x ′ , y ′ , z ′ ) et →
−
w = (x ′′ , y ′′ , z ′′ ) sont trois
vecteurs du plan, et si P est le parallépipède →
− → − →
−
¯ ′ ′′ ¯ construit sur les vecteurs u , v et w , alors l’aire
¯ x x x ¯
¯ ¯
algébrique de P est donnée par ¯¯ y y ′ y ′′ ¯¯.
¯ z z ′ z ′′ ¯
Le déterminant généralise donc la notion d’aire algébrique en dimension finie quelconque.

3 Déterminants 495
3.2 Propriétés du déterminant
Proposition 37 – Premières propriétés
1. Si une colonne de A est nulle, alors det(A) = 0

2. Pour tout λ ∈ K, det(λ.A) = λn . det(A)
3. Si A a deux colonnes égales, alors det(A) = 0
B ne pas se tromper sur le troisième point.
Proposition 38 – Opérations élémentaires sur les colonnes
1. Si on échange deux colonnes de A alors on obtient − det(A)

2. Si on multiplie une colonne par λ ∈ K alors on obtient λ. det(A)
K
3. Soient λ ∈ et (i , j ) ∈ 1, n2 tel que i 6= j . Si on effectue l’opération C i ←− C i + λ.C j
on obtient det(A)
K
Soient (λ, µ) ∈ 2 et (i , j ) ∈ 1, n2 tel que i 6= j . Si on effectue l’opération C i ←− µ.C i + λ.C j on
obtient µ. det(A) donc :
¡ ¢ 1 ¡ ¢
det(A) = det C 1 (A), . . . ,C i (A), . . . ,C n (A) = det C 1 (A), . . . , µC i (A) + λC j (A), . . . ,C n (A)
µ
On en déduit que si λ ∈ K∗ et si (i , j ) ∈ 1, n2 tel que i 6= j :

det(A × Ti ,j ) = − det(A) det(A × D i (λ)) = λ. det(A) det(A ×Ui ,j (λ)) = det(A)
Et donc pour A = I n :
det(Ti ,j ) = −1 det(D i (λ)) = λ det(Ui ,j (λ)) = 1
¡ ¢
K ¡
Exemple. Si A = C 1 (A), . . . ,C n (A) ∈ Mn ( ) on définit la matrice B = C n (A), . . . ,C 1 (A) .
¢
Calculer det(B) en fonction de det(A).
Proposition 39 – Déterminant d’une matrice triangulaire
Si A est triangulaire alors det(A) = a1,1 .a2,2 . . . an,n
En utilisant l’algorithme de Gauss sur les colonnes d’une matrice, on peut donc calculer son
déterminant.
   
1 1 1 1 2 3
Exemple. Soient A =  1 2 4  et B =  4 0 4 .
1 3 8 3 2 1

¯ ¯
¯ a 1 ... 1¯ 1
¯ ¯
¯ 1 a ... 1¯ 1
¯ ¯
K
¯ .. .. .. ¯
.. ..
Exemple. Pour a ∈ , calculer ¯¯ . . . ¯
.
¯ .
¯ ¯
¯ 1 1 ... a 1 ¯
¯ ¯
¯ 1 1 ... 1 a ¯
3.3 Déterminant et produit matriciel
Lemme 40 – Déterminant et matrices élémentaires

Si E est une matrice élémentaire alors det(E ) 6= 0.
K
De plus, pour toute matrice A ∈ Mn ( ), on a det(A × E ) = det(A). det(E )
Théorème 41 – Caractérisation des matrices inversibles

K
Si A ∈ Mn ( ) : A est inversible ⇐⇒ det(A) 6= 0
On retrouve donc qu’une matrice triangulaire est inversible si, et seulement si, tous ses
coefficients diagonaux sont non nuls.
E
On se donne un espace vectoriel de dimension finie, B = (e 1 , . . . , e n ) une base de E et
E
(u 1 , . . . , u n ) une famille de n de vecteurs de , où n = dim( ). E
Définition 42 – Déterminant d’une famille de vecteurs dans une base
On appelle déterminant de la famille de vecteurs (u 1 , . . . , u n ) dans la base B le scalaire :
¡ ¢
det(u 1 , . . . , u n ) = det Mat(u 1 , . . . , u n ; B)
B
Il existe une formule de changement de base pour les déterminants mais elle n’est pas au
programme.
Rn , alors ¯det
¯ ¯
On peut montrer que si B est la base canonique de (u 1 , . . . , u n )¯ est le « volume »
B
du parallélotope construit sur les vecteurs u 1 , . . ., u n .
Théorème 43 – Déterminant et bases

E ⇐⇒ ∃B base de E ; det
(u 1 , . . . , u n ) est une base de (u 1 , . . . , u n ) 6= 0
Dans ce cas le déterminant est non nul dans n’importe quelle base de E.
B
¡
Exemple. Montrer que la famille (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 2, 1) est une base de
¢
R3.

3 Déterminants 497
Théorème 44 – Déterminant d’un produit
K
Si A et B sont deux matrices de Mn ( ) alors det(A × B) = det(A) × det(B) = det(B A)
B Par contre det(A + B) 6= det(A) + det(B). Le déterminant n’est pas linéaire mais multilinéaire.
B det(AB) = det(B A) bien qu’en général AB 6= B A

Corollaire 45 – Déterminant de l’inverse

1
Si A est inversible, alors det(A) 6= 0 et det(A −1 ) =
det(A)
Corollaire 46 – Formules utiles
K
1. Si A ∈ Mn ( ) alors ∀p ∈ N, det(A p ) = ¡¡det(A)¢p ¢
2. Si A ∈ Mn (K) et P ∈ GL n (K), alors det P × A × P −1 = det(A).
Théorème 47 – Déterminant de la transposée
K ¡ ¢
Si A ∈ Mn ( ), alors det t A = det(A)
Par conséquent, le déterminant est linéaire par rapport à chacune des lignes. Il est de plus
antisymétrique et alterné par rapport aux lignes.
Pour calculer un déterminant on peut effectuer des opérations élémentaires sur les lignes ou sur
les colonnes d’une matrice.
B Pour calculer l’inverse d’une matrice par la méthode du miroir, il ne faut faire des opérations
que sur les lignes.
Proposition 48 – Interprétation d’un déterminant nul
Un déterminant est nul ssi ses colonnes sont liées ssi ses lignes sont liées.
3.4 Développement par rapport à une ligne ou par rapport à une colonne
K
On se donne A = ((ai ,j ))1≤i ,j ≤n ∈ Mn ( ) une matrice carrée.
Définition 49 – Mineur d’indice (i , j )
Pout tout (i , j ) ∈ 1, n2, on appelle mineur d’indice (i , j ) le déterminant ∆i ,j de la matrice

carrée d’ordre n − 1 obtenue « en rayant » dans A la ligne i et la colonne j .
On commence par un premier résultat de simplification.

3 Déterminants 499
Lemme 50 – Cas d’une ligne de 0 terminée par 1

¯ ¯
¯ a1,1 . . . . . . a1,n−1 a1,n ¯ ¯ ¯
¯ ¯ ¯ a1,1 . . . . . . a1,n−1 ¯
¯ .. .. .. ¯ ¯ ¯
¯ . . . ¯ ¯ .. .. ¯
¯ ¯ ¯ . . ¯
¯ .. .. .. ¯=¯ ¯
¯ . . . ¯ ¯ .. .. ¯
¯ ¯ ¯ . . ¯
¯ an−1,1 . . . . . . an−1,n−1 an−1,n ¯ ¯ ¯
¯ ¯ ¯ a ¯
¯ ¯ n−1,1 . . . . . . a n−1,n−1
0 ... ... 0 1
On en déduit les deux formules suivantes.
Théorème 51 – Développement par rapport à une colonne
Soit j ∈ 1, n. Alors on peut calculer det(A) en développant suivant la j -ième colonne :
n
X
det(A) = (−1)i +j ai ,j × ∆i ,j
i =1
Théorème 52 – Développement par rapport à une ligne
Soit i ∈ 1, n. Alors on peut calculer det(A) en développant suivant la i -ième ligne :
n
X
det(A) = (−1)i +j ai ,j × ∆i ,j
j =1
Ces théorèmes permettent de se ramener à des déterminants de taille inférieure d’une unité. On
peut donc les appliquer par récurrence pour se ramener à des déterminants de taille 1 ou 2.
Les calculs sont aisés pour des déterminants de taille 3 mais deviennent rapidement très
complexes (pour un déterminant de taille 25 un ordinateur performant a besoin de 50 000 ans).
Du point de vue algorithmique il est donc préférable d’utiliser l’algorithme de Gauss. Mais pour
des calculs formels avec des déterminants qui dépendent d’une ou plusieurs variables, il est
plus aisé d’utiliser le développement par rapport à une ligne ou une colonne.
¯ ¯
¯1 2 3¯
¯ ¯
Exemple. Calculer ¯¯4 5 6¯¯ en développant par rapport à la colonne 3, puis par rapport
¯7 8 9¯
à la ligne 2.
¯ ¯
¯0 1 · · · 1¯¯
¯
.¯
¯−1 . . . . . . .. ¯
¯
Exemple. Calculer le déterminant de taille n : ¯
Dn = ¯ . ¯
¯
¯ .. . . . . . . 1¯
¯ ¯
¯−1 · · · −1 0¯

Exemple. Démontrer la règle de Sarrus pour les déterminants de taille 3 :

¯ ¯
¯a b c ¯¯
¯
¯d e f ¯¯ = (a.e.i + d .h.c + g .b. f ) − (g .e.c + a.h. f + d .b.i )
¯
¯g h i¯
3.5 Déterminant d’un endomorphisme

Dans cette dernière section, E est un espace vectoriel sur K de dimension finie n ∈ N∗ et f est
un endomorphisme de . E
Lemme 53 – Indépendance vis à vis du choix de la base
E ¡ ¢ ¡
Si B et B ′ sont deux bases de alors : det Mat( f ; B) = det Mat( f ; B ′ )
¢
¡ ¢
On en déduit que le scalaire det Mat( f ; B) ne dépend pas du choix de la base B de E.
Définition 54 – Déterminant d’un endomorphisme
On apelle déterminant de f , noté det( f ), le déterminant de la matrice représentative de f

dans n’importe quelle base de . E
On peut montrer que | det( f )| est le coefficient par lequel f multiplie les volumes.
Exemple. det(idE ) = 1
Exemple. Si λ ∈ K : det(λ.idE) = λdim E

Exemple. Si p est une projection différente de idE : det(p) = 0
Exemple. Si s est une symétrie par rapport à un sev F dans la direction G, alors
det(s) = (−1)dim G
Théorème 55 – Propriétés du déterminant d’un endomorphisme
f et g sont deux endomorphismes de E.

1. det(g ◦ f ) = det(g ) × det( f ) = det( f ◦ g )
2. f est un automorphisme ⇐⇒ det( f ) 6= 0
1
Dans ce cas : det( f −1 ) =
det( f )


➥ Savoir représenter matriciellement un vecteur, une famille de vecteurs ou une application
linéaire.
✪ Réciproquement savoir définir un vecteur, une famille de vecteurs ou une application
linéaire à partir d’une matrice représentative.
✪ Savoir interpréter le calcul matriciel en termes de calcul avec des vecteurs ou des appli-
cations linéaires.
✪ Savoir résoudre un problème sur des matrices en le remplaçant par un problème sur des
applications linéaires.
➥ Connaître les formules de changement de bases.
➥ Connaître les notions de noyau, d’image et de rang d’une matrice.

✪ Faire lien avec les mêmes notions pour l’application linéaire qui est représentée.
➥ Savoir calculer un déterminant :

✪ en utilisant que c’est une forme multilinéaire alternée, antisymétrique ;
✪ en le mettant sous forme triangulaire ;
✪ en développant par rapport à une ligne ou un colonne.
➥ Savoir utiliser le déterminant pour déterminer si une matrice est inversible ou si un endo-
morphisme est un automorphisme.

5 Exercices
Représentations
matricielles
EXERCICE 1. Représentations d’applications linéaires

Donner la matrice relativement aux base canoniques, pour les applications linéaires suivantes :
1. f : R2[X ] 7−→ P − X 3P ′ ∈ R4[X ]
f : P ∈ R3 [X ] 7−→ P (0), P ′ (0), P ′′ (0) ∈ R3
¡ ¢
2.
3. f ∈ L (R2 , R3 ) tq f (1, 2) = (0, 5, 8), f (2, 3) = (5, 0, 1)
EXERCICE 2. Changement de bases
 
R
1. On note f l’endomorphisme de 3 défini par sa matrice dans la base canonique :
1 4 2
A = 0 −3 −2.
0 4 3
On pose u 1 = (1, −1, 1), u 2 = (1, 0, 0) et u 3 = (0, −1, 2). Montrer que B = (u 1 , u 2 , u 3 ) est une
R
base de 3 et donner la matrice de f dans cette base. Que remarquez-vous ?
Ecrire la formule de changement de base obtenue.
 
R
2. On note g l’endomorphisme de 3 défini par sa matrice dans la base canonique :
3 −3 −2
A = −2 1 2 .
3 −2 −2
On pose v 1 = (1, 0, 1), v 2 = (0, 1, −1) et v 3 = (1, −1, 1). Montrer que B = (v 1 , v 2 , v 3 ) est une
R
base de 3 et donner la matrice de g dans cette base. Que remarquez-vous ?
Ecrire la formule de changement de base obtenue.
EXERCICE 3. Représentation matricielle d’un endomorphisme

¡ ¢
1. Montrer que B = 1, X − 1, (X − 1)2 est une base de R2[X ].
R R
2. On considère f : 2 [X ] −→ 2 [X ] définie par f (P ) = 2(X + 1)P − (X 2 − 2X + 1)P ′ . Montrer
R
que f est un endomorphisme de 2 [X ], et déterminer la matrice de f dans cette base.
EXERCICE 4. Matrices et isomorphismes
R R ¡ ¢
1. On considère l’application ϕ : 2 [X ] −→ 3 définie par ϕ(P ) = P (0), P ′ (0), P (1) . Montrer
R
que ϕ est un isomorphisme de 2 [X ] vers 3 . R
2. Déterminer ϕ−1 (on pourra utiliser les représentations matricielles).
EXERCICE 5. Calculs de noyaux, d’images et de rangs

Dans chacun des cas suivants on définit une application linéaire de Rp dans Rn par sa matrice

5 Exercices 503
relativement aux bases canoniques. Déterminer r g ( f ) ainsi qu’une base de Ker( f ) et Im( f ).
 
    3 −1 1 −2
1 0 1 1 2 3  
  9 −3 3 −6
A= 2 −1 −2 B= 1 2 3 
 C = 
0 0 4 −8
−1 −1 −1 1 2 3
0 0 2 −4
EXERCICE 6. Représentation matricielle d’un endomorphisme nilpotent

E K
Soient un -ev de dimension finie n, et f ∈ L ( ). E
N
On suppose que f est nilpotent d’ordre p : c’est-à-dire qu’il existe p ∈ ∗ tel que f p = 0L (E) et
f p−1 6= 0L (E) .
© ª ¡ ¢
1. Montrer que si x ∈ E\ 0E est tel que f p−1 (x) 6= 0E , alors la famille F = x, f (x) , . . . , f p−1 (x)
est libre.
2. Dans le cas p = n, donner la matrice de f dans cette base (dans ce cas, on dit que f est
un endomorphisme cyclique).
EXERCICE 7. Rang de la transposée

K K K
Soit A ∈ Mn,p ( ). On note u ∈ L ( p , n ) l’endomorphisme canoniquement associé. On note
K
aussi r = rg(A) et J r ∈ Mn,p ( ) la matrice par blocs définie par :
µ ¶
Ir 0r,p−r
Jr =
0n−r,r 0n−r,p−r
G K
On se donne un supplémentaire de Ker(u) dans p . Soit B = (e 1 , . . . , e r , e r +1 , . . . , e p ) une base
K G
de p adaptée à la somme directe Ker(u) = p .
¡ ¢
K
1. Montrer que la famille u(e 1 ), . . . , u(e r ) est une base de Im(u).
K
2. Montrer qu’il existe une base C de n telle que la matrice représentative de u
relativement aux bases B et C soient égale à J r .
3. En déduire qu’il deux matrices inversibles P et Q telles que A = P J r Q −1 .
4. En déduire que rg(A) = rg(t A).
EXERCICE 8. Matrice de Vandermonde et polynômes de Lagrange

Soient x0 , x1 , . . ., xn des réels deux à deux distincts. On considère la matrice :
 
1 1 ... 1
x 
 0 x1 . . . xn 
 2 2 2
V = x x . . . xn 
 .0 .1 .. 
 . . .. 
 . . . . 
x0n x1n . . . xnn
1. Montrer que la matrice V est inversible.

2. En déduire que, pour tout i ∈ 1, n, il existe un unique L i ∈ Rn [X ] tel que :
∀ j ∈ 0, n, L i (x j ) = δi ,j

Déterminant
EXERCICE 9. Une information sur la dimension
Soient E
un R-espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme de E vérifiant
2
E
f = −Id. Montrer que l’espace est de dimension paire.
EXERCICE 10. Des calculs
Vérifier les calculs de déterminants suivants.
¯ ¯
¯ 0 a b ¯
¯ ¯
1. ¯¯ a 0 c ¯¯ = 2abc.
¯ b c 0 ¯
¯ ¯
¯ a b c ¯
¯ ¯ ¡ ¢
2. ¯¯ c a b ¯ = (a + b + c) a 2 + b 2 + c 2 − (ab + bc + ca) .
¯
¯ b c a ¯
¯ ¯
¯ a +b b +c c +a ¯
¯ 2 ¯
3. ¯ a + b b + c c 2 + a 2
¯ 2 2 2 ¯ = 2abc(a − c)(b − c)(b − a).
¯
¯ a3 + b3 b3 + c 3 c 3 + a3 ¯
¯ ¯
¯ a a a a ¯¯
¯
¯ ¯
¯ a b b b ¯
4. ¯ ¯ = a(b − a)(c − b)(d − c).
¯ a b c c ¯
¯ ¯
¯ a b c d ¯
¯ ¯
¯ a c c b ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ c a b c ¯
5. ¯ ¯ = (a + b + 2c)(a − b)2 (a + b − 2c).
¯ c b a c ¯
¯ ¯
¯ b c c a ¯
¯ ¯
¯ 1 1 1 ¯ µ ¶ ³c − a ´ µ ¶
¯ ¯ b−a b −c
¯ ¯
6. ¯ cos(a) cos(b) cos(c) ¯ = −4 sin sin sin .
¯ sin(a) sin(b) sin(c) ¯ 2 2 2

5 Exercices 505
EXERCICE 11. Diagonalisation

Soient f et g les endomorphismes de C3 de matrice respective dans la base canonique :
   
0 1 0 0 −1 2
A = 0 0 1 B = 0 1 0 .
1 −1 1 1 1 −1
1. (a) On dit que λ ∈ Cest une valeur propre de f lorsque λ est racine du polynôme
det(λ.id − f ). Déterminer les valeurs propres de f .
(b) Pour chaque valeur propre λ de f , déterminer une base de Ker( f − λ.id) et en déduire
C
une base de 3 dans laquelle la matrice de f est diagonale.
2. Même questions avec g .
EXERCICE 12. Une matrice tridiagonale

Soit un entier n Ê 1. On considère la matrice carrée d’ordre n à coefficients réels :
 
2 −1 0 · · · 0
.. 
−1 2 −1 . . .

 . 

 
A n =  0 −1 . . . . . . 0 
 
 .. .. .. 
 . . . 2 −1
0 · · · 0 −1 2
Pour n Ê 1, on désigne par D n le déterminant de A n .

1. Démontrer que D n+2 = 2D n+1 − D n .
2. Déterminer D n en fonction de n.
3. La matrice A n est-elle inversible ?
EXERCICE 13. Déterminants de taille n
1. Calculer le déterminant d’ordre n :

¯ ¯
¯ a (b) ¯
¯ ¯
¯ .. ¯
¯
¯ . ¯
¯
¯ (b) a ¯
Hint : remplacer C 1 par C 1 + · · · +C n puis L i par L i − L 1 (i ≥ 2).

2. En déduire que :
¯ ¯
¯ 1 n n − 1 . . . 2 ¯¯
¯
¯ .. ¯
¯ 2 1 . 3 ¯¯
¯ n−1
¯ . .. .. .. .. ¯ n+1 (n + 1)n
D n = ¯ .. . . . ¯
. ¯ = (−1)
¯
¯ ¯ 2
¯ n −1 . .. ¯
¯ 1 n ¯
¯ n n −1 ... 2 1 ¯

EXERCICE 14. Déterminant de taille n

n
X
N
Pour n ∈ ∗ ,on pose S n = i . Calculer :
i =1
¯ ¯
¯ S1 S1 S1 ... S1 ¯
¯ ¯
¯ S1 S2 S2 ... S2 ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ S1 S2 S3 ... S3 ¯
¯ .. .. .. .. ¯
¯ .. ¯
¯ . . . . . ¯
¯ ¯
¯ S1 S2 S3 . . . Sn ¯
Hint : se ramener à un déterminant triangulaire.
EXERCICE 15. Déterminant de Vandermonde

Soient x0 , x1 , . . ., xn des réels deux à deux distincts. Calculer le déterminant de la matrice :
 
1 1 ... 1
x 
 0 x1 . . . xn 
 2 
V = x0 x12 . . . xn2 
 . .. . . . 
 . 
 . . . .. 
x0n x1n . . . xnn
 
1 1 ... 1
x x1 ... X 
 0 
 2 
Hint : On pourra introduire le polynôme P = det  x x12 ... X 2
 .0 .. .. 
 . .. 
 . . . . 
x0n x1n ... Xn
EXERCICE 16. Inégalités de Kolmogorov

RC
Soit f ∈ C n ( , ) avec n ≥ 2.
1. On suppose que f et f (n) sont bornées sur R. Montrer que pour tout k ∈ 0, n, f (k) est
bornée sur R ¯ ¯
Pour tout k ∈ 0, n, on note Mk = sup¯ f (k) (x)¯.
x∈ R
M2 M0
2. (a) À l’aide de l’égalité de Taylor-Lagrange, montrer que pour tout h > 0 : M1 ≤ h + .
2 h
p
(b) En déduire que M1 ≤ 2M0 M2 .
3. Pour tout k ∈ 0, n, montrer que : Mk ≤ 2k(n−k)/2 M01−k/n Mnk/n .
EXERCICE 17. Une base de Kn [X ]

Soit n ∈ N. Montrer que la famille ¡X k (1 − X )n−k ¢k∈0,n est une base de Kn [X ].

507
Chapitre 20
Séries numériques
Sommaire
1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508
1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508
1.2 Propriétés des séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
1.3 Séries géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512
2 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513
2.1 Règles de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513
2.2 Comparaison à une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516
2.3 Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518
2.4 Méthodologie pour étudier la nature d’une série . . . . . . . . . . . . . . . 519
3 Développement décimal d’un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520
5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523

508 C HAPITRE 20 : Séries numériques
+∞
X
Le but de ce chapitre est de définir, lorsque cela est possible, la somme infinie u n , et de
n=0
l’utiliser dans des calculs.
1 Généralités
Dans ce paragraphe, K désigne indifférement R ou C.
1.1 Définitions
Soit (u n )n≥n0 une suite à valeurs dans K définie à partir d’un rang n0. On lui associe une suite
(S n )n≥n0 définie par :
n
X
Sn = uk
k=n0
Définition 1 – Série numérique

X
La suite (S n )n≥n0 est appelée série de terme général u n , et est notée un .
n≥n0
Pour
X n ≥ n 0 donné, le scalaire S n est appelé somme partielle de rang n associée à la série
u n , et le scalaire u n est appelé terme général de cette série.
n≥n0
B Il ne faut pas confondre la série (qui est une suite de scalaires) et ses sommes partielles (qui
sont des scalaires).
X X
Par abus de notation la série u n est notée plus simplement u n .
n≥n0
X1
Exemple. La série est appelée série harmonique.
n
Proposition 2 – Les sommes partielles donnent le terme général

X
Si u n est une série numérique définie à partir d’un rang n 0 , alors :
∀n ≥ n 0 + 1, u n = S n − S n−1
Définition 3 – Série convergente

X
On ditÃ que la!série u n converge lorsque la suite (S n )n≥n0 est convergente, ie lorsque
Xn
lim u k existe et est finie.
n→+∞
k=n0
X 1
Exemple. La série est convergente.
n(n − 1)

Définition 4 – Série divergente

X
Dans le cas contraire (la limite est infinie ou elle n’existe pas), on dit que la série un
diverge.
X
Exemple. La série 1 est divergente.
n≥0
X1
Exemple. La série harmonique diverge.
n
Définition 5 – Nature d’une série

Deux séries sont dites de même nature lorsqu’elles sont toutes les deux convergentes ou
toutes les deux divergentes.
Déterminer la nature d’une série c’est donc déterminer si elle converge ou si elle diverge.
Rédaction. Pour montrer que deux séries sont de même nature il faut donc montrer que :
X X
u n converge ⇐⇒ v n converge
Cela peut arriver lorsque le terme général v n dépend du terme général u n .

Pour cela on montre que :
X X X X
« u n converge =⇒ v n converge » et « v n converge =⇒ u n converge »
Ou par contraposée :
X X X X
« u n converge =⇒ v n converge » et « u n diverge =⇒ v n diverge »
Ou par double contraposée :
X X X X
« u n diverge =⇒ v n diverge » et « v n diverge =⇒ u n diverge »
Proposition 6 – Premières valeurs du terme général et nature de la série

X X
Si n 1 ≥ n 0 , alors les deux séries u n et u n sont de même nature.
n≥n0 n≥n1
Définition 7 – Somme d’une série convergente

Ã !
X n
X
On suppose que un converge. Dans ce cas lim u k est appelée somme de la
n≥n0 n→+∞
k=n0
+∞
X def
série et est notée S = u n = lim S n .
n=n0 n→+∞

La somme de la série est donc la limite des sommes partielles.

+∞
X 1
Exemple. =1
n=2 n(n − 1)
B La nature de la série ne dépend pas des premières valeurs du terme général, par contre la
somme dépend de ces valeurs.
+∞
X 1 1
Exemple. =
n=3 n(n − 1) 2
Définition 8 – Reste d’une série convergente

X
On suppose que u n converge. Pour tout n ≥ n 0 , R n = S − S n est appelé reste d’ordre n
X n≥n0
de la série un .
n≥n0
Proposition 9 – Propriétés du reste d’une série convergente

+∞
X
Pour tout n ≥ n 0 , R n = u k . De plus lim R n = 0 .
n→+∞
k=n+1
On peut donc utliser la relation de Chasles pour la somme d’une série convergente :
+∞
X p
X +∞
X
un = un + un
n=n0 n=n0 n=p+1
Ã !
+∞
X
La propriété lim R n = 0 s’écrit : lim uk = 0
n→+∞ n→+∞
k=n+1
X 1 1
Exemple. Pour la série on a R n = .
n(n − 1) n
B Ne pas confondre les notations :

X
• u n désigne la série (donc une suite de scalaires)
n≥n0
n
X
• Sn = u k désigne la somme partielle de rang n de la série (donc un scalaire)
k=n0
et pour une série convergente :
+∞
X
• Rn = u k désigne le reste de la série (donc un scalaire)
k=n+1
+∞
X
• S= u n désigne la somme de la série (donc un scalaire).
n=n0

Dans la somme de la série, la variable est muette :

+∞
X +∞
X +∞
X
S= un = uk = up = . . .
n=n0 k=n0 p=n0
On montre aussi facilement qu’on peut utiliser des changement d’indices.
B Par contre pour le reste d’ordre n il ne faut pas prendre n comme variable de la somme, cela
+∞
X
n’a aucun sens : u n n’existe pas
n=n+1
B Comme nous l’avons déjà vu, la somme d’une série convergente dépend des premiers termes.
Si n 1 > n 0 , la relation de Chasles donne :
+∞
X +∞
X nX
1 −1
un = un + un
n=n0 n=n1 n=n0
1.2 Propriétés des séries
Théorème 10 – Dualité suite/série

Soit (v n )n≥n0 une suite d’éléments de K. Alors :
X
(v n )n≥n0 est convergente ⇐⇒ (v n+1 − v n ) est convergente
Dans ce cas :
+∞
X ³ ´
(v n+1 − v n ) = lim v n − v n0
n=n0 n→+∞
C’est une généralisation des sommes télescopiques aux sommes de séries, qui sert dans de
nombreux calculs.
1X
Exemple. La série converge vers 1.
n≥2 n(n − 1)
µ ¶
X 1
Exemple. La série ln 1 + diverge.
n
Ce théorème donne aussi une nouvelle méthode pour montrer qu’une suite converge sans
calculer sa limite.
Théorème 11 – Condition nécessaire de convergence

X
Si u n converge, alors : lim u n = 0.
n→+∞
B La réciproque est fausse comme le montre la série harmonique.

X
Par contraposée : si la suite (u n ) ne converge pas vers 0, alors la série u n diverge. On dit qu’elle
est grossièrement divergente.

X X
Exemple. Les séries (−1)n et n! sont grossièrement divergentes.
n≥0 n≥0
Théorème 12 – Linéarité de la convergence
K, alors les séries

X X X X
Si les séries u n et v n convergent, et si λ ∈ (u n + v n ) et (λ.u n )
convergent aussi. De plus :
Ã !
+∞
X +∞
X +∞
X +∞
X +∞
X
(u n + v n ) = un + vn et (λ.u n ) = λ. un
n=n0 n=n0 n=n0 n=n0 n=n0
Si on note E l’ensemble des séries numériques convergentes, alors E muni des opérations
K
naturelles est un -espace vectoriel.
Corollaire 13 – Addition de deux séries

1. On peut écrire :
+∞
X +∞
X +∞
X
(u n + v n ) = un + vn
n=n0 n=n0 n=n0
dès qu’au moins deux séries convergent ; la troisième étant nécessairement conver-
gente.
X X X
2. Si l’une des séries u n ou v n converge et l’autre diverge, alors (u n + v n )
diverge.
X X
3. Si
Xles deux séries u n et v n divergent, alors on ne peut rien dire de général sur
(u n + v n ) (on a une forme indéterminée).
Corollaire 14 – Multiplication d’une série par une constante

X X
K
Pour tout λ ∈ ∗ , les séries u n et (λ.u n ) sont de même nature.
X
Si on multiplie u n par λ = 0, on obtient la série nulle, qui converge vers 0. Ce cas n’est donc
n≥n0
pas particulièrement intéressant. . .
1.3 Séries géométriques

On appelle série géométrique les séries de terme général z n où z ∈ C.
Ses sommes partielles sont connues. Si (n, p) ∈ N2 et n ≥ p, on a pour z 6= 1 :
n
X 1 − z n−p+1
zk = zp
k=p 1−z

2 Séries à termes positifs 513
et si z = 1 :
n
X n
X
zk = 1 = n −p +1
k=p k=p
Théorème 15 – Séries géométriques

X
z n converge ⇐⇒ |z| < 1
Dans ce cas on a :
+∞
X +∞
X zp
n
z =
1
1−z
et ∀p ∈ N , n
z =
1−z
n=0 n=p
Lorsqu’elle diverge, la divergence est grossière.
X 1 +∞
X 1
Exemple. La série converge et on a = 1.
2n n=1 2
n
Exemple. On a 0, 999999 . . .. . . = 1 Cette étrangeté sera expliqué à la fin du chapitre.
2 Séries à termes positifs
2.1 Règles de comparaison
Dans ce paragraphe, on ne considère que des séries réelles à termes positifs.
En multipliant une série à termes négatifs par −1, on obtient une série à termes positifs, et ces
deux séries sont de même nature.
Tout ce qui suit concerne donc aussi les séries à termes négatifs, et plus généralement les séries
dont le terme général est de signe constant à partir d’un certain rang.
Définition 16 – Série à termes positifs

X
On dit que la série u n est à termes positifs lorsque : ∀n ≥ n 0 ,u n ≥ 0.
n≥n0

Théorème 17 – Nature d’une série à termes positifs

X n
X
Soit u n une série à termes positifs. Pour n ≥ n 0 , on note S n = u k sa somme partielle
n≥n0 k=n0
de rang n. Alors :
1. (S n )n≥n0 est croissante.
X
2. u n converge ⇐⇒ (S n )n≥n0 est majorée. Dans ce cas si M est un majorant de
n≥n0
(S n )n≥n0 :
n
X +∞
X
∀n ≥ n 0 , uk ≤ uk ≤ M
k=n0 k=n0
X
3. Si (S n )n≥n0 non majorée, alors u n diverge et lim S n = +∞.
n≥n0 n→+∞
Désormais on abrégera « séries à termes positifs » en SATP.
Théorème 18 – Théorème de comparaison par inégalité pour les SATP
Soient (u n )n≥n0 et (v n )n≥n0 deux suites réelles telles que 0 ≤ u n ≤ v n pour n ≥ n 0 .

X X +∞
X +∞
X
Alors : v n converge =⇒ u n converge, et dans ce cas 0 ≤ un ≤ vn .
n=n0 n=n0
X X
Donc par contraposée : u n diverge =⇒ v n diverge.
X
Rédaction. On rédige de la manière suivante : on a ∀n ≥ n 0 , 0 ≤ u n ≤ v n etv n converge,
X n≥n0
donc d’après le théorème comparaison par inégalité pour les séries à termes positifs, un
n≥n0
converge.
B La rédaction suivante est fausse :

+∞
X +∞
X X
on a ∀n ≥ n 0 , 0 ≤ u n ≤ v n , donc 0 ≤ un ≤ v n converge, donc d’après le
v n et
n=n0 n=n0 X n≥n0
théorème de comparaison par inégalité pour les séries à termes positifs, u n converge.
n≥n0
+∞
X
En effet, on ne peut pas utiliser la notation u n dans un calcul tant que la convergence n’a
n=n0
pas été justifiée.
C’est la même erreur qu’on fait lorsqu’on confond les théorèmes de « stabilité des inégalités
larges » et de « convergence par encadrement ».
1 1 X 1 X 1
Exemple. ∀n ≥ 2, 0 ≤ ≤ et converge, donc converge.
n 2 n(n − 1) n≥2 n(n − 1) n≥1 n
2

X X
B La réciproque est fausse : si u n converge, on ne peut rien dire sur la nature de vn .
n≥n0 n≥n0
1 1 X 1
On peut considérer le contre-exemple suivant : ∀n ≥ 2, 0 ≤ ≤ mais diverge et
n(n − 1) n n≥1 n
X 1
converge.
n≥2 n(n − 1)
Dans le théorème de comparaison par inégalité pour les séries à termes positifs, on ne peut donc
pas dire que les deux séries sont de même nature.
B Ce théorème n’est vrai que pour des séries à termes positifs (ou de signe constant) ! Nous
verrons un contre-exemple en TD (il n’est pas simple d’en construire un).
Corollaire 19 – Théorème de comparaison par équivalents pour les SATP
Soient (u n ) et (v n ) deux suites réelles telles que u n ∼ v n et v n ≥ 0 a.p.c.r..

X X n→+∞
Alors u n et v n sont de même nature.
Le résultat est donc plus fort que pour la comparaison par inégalité, puisque les deux séries sont
de même nature
B Par contre, en cas de convergence, les sommes des deux séries ne sont pas égales !
B Ce théorème n’est vrai que pour des séries à termes positifs (ou de signe constant). Nous
verrons un contre-exemple en TD.
µ ¶ µ ¶
X 1 X 1
Exemple. sin diverge et ln 1 + 2 converge.
n≥1 n n≥1 n
B Ne pas confondre comparaison des termes généraux et comparaison des sommes partielles.
1 X Xn 1 X
Exemple. Si u n ∼ alors la série u n diverge ; si uk ∼ alors la série un
n→+∞ n k=0
n→+∞ n
converge.
Corollaire 20 – Théorème de comparaison par « grand o » pour les SATP
Soient (u n ) et (v n ) deux suites réelles telles que u n ≥ 0 et v n ≥ 0 a.p.c.r., et u n = O (v n ).

X X n→+∞
Alors : v n converge =⇒ u n converge.
X X
Donc par contraposée : u n diverge =⇒ v n diverge.
Ce résultat est bien sûr vrai si on suppose que u n = o (v n ), puisque c’est une condition suf-
n→+∞
fisante pour que u n = O (v n ).
n→+∞
B Cette fois les deux séries ne sont pas de même nature.
B Ce théorème n’est vrai que pour des séries à termes positifs (ou de signe constant).

µ ¶
1 1 X 1
Exemple. = O p donc p diverge.
n n→+∞ n n
¶µ
p 1 X p
Exemple. e − n
= O 2 donc e− n converge.
n→+∞ n
Ces résultats sont très utiles pour étudier la nature d’une série. Par contre, on peut remarquer
qu’ils ne donnent aucune information sur la valeur de sa somme en cas de convergence.
2.2 Comparaison à une intégrale

Dans ce paragraphe, on ne considère que des séries réelles.
SiXf est continue et monotone sur l’inervalle [n 0 , +∞[, on peut encadrer les sommes partielles
f (n) à l’aide de la méthode des rectangles.
n≥n0
Par exemple si f est décroissante sur l’intervalle [n, n + 1] :
On a l’inégalité :
Zn+1
f (n + 1) ≤ f (t ) dt ≤ f (n)
n
Si f est croissante sur [n, n + 1] l’inégalité est inversée :

Zn+1
f (n) ≤ f (t ) dt ≤ f (n + 1)
n
Ensuite on additionne ces inégalités, pour différentes valeurs de n, afin de faire apparaître un
encadrement des sommes partielles de la série étudiée.
! Ã
Xn 1
Exemple. Montrer que la suite (u n )n≥1 , de terme général u n = − ln(n), converge.
k=1 k
+∞
X 1 1 n
X 1 p
Exemple. Montrer que 2
∼ et p ∼ 2 n.
k=n+1 k n k=1 k
n→+∞ n→+∞

Théorème 21 – Séries de référence de Riemann

Soit α ∈ R. Alors : X 1
converge ⇐⇒ α > 1
nα
X 1
Par contraposée : diverge ⇐⇒ α ≤ 1
nα
X 1 X 1
B Ne pas confondre les séries et (série géométrique de raison 1/α).
n α αn
P+∞ 1
Dans le cas α > 1, on ne connaît pas la valeur de ζ(α) = n=1 α , sauf dans des cas particuliers.
n
La fonction ζ est appelée fonction de Riemann, et elle est reliée à de nombreux problèmes. Il est
bien de connaître la valeur suivante :
+∞
X 1 π2
ζ(2) = 2
=
n=1 n 6
X
Si u n une SATP, le théorème de comparaison utilisé avec les séries de Riemann donne les
critères simples suivants :
X
• s’il existe α > 1 tel que lim n α u n est finie, alors la série u n converge.
n→+∞
X
• s’il existe α < 1 tel que lim n α u n = +∞, alors la série u n diverge.
n→+∞
Pour calculer lim n α u n on dispose des croissances comparées. Ces critères seront donc
n→+∞
utilisés dès qu’on est face des termes de la forme n α (ln n)β e−γn .
µ ¶ µ ¶
1 X 1
B Si u n = O alors u n converge. Par contre si u n = O , alors on ne peut rien
n→+∞ n 2 n→+∞ n
X 1
en conclure ; pour montrer la divergence de u n il est suffisant que = O (u n ).
n n→+∞
B En pratique, il faut redémontrer le critère utilisé à chaque fois.
X ln3 (n) X ln12 (n)

Exemple. La série converge et la série p diverge.
n2 n

2.3 Convergence absolue
On revient au cas général où la suite (u n ) est à valeurs dans K : elle peut être réelle de signe
quelconque voir même complexe.
Définition 22 – Convergence absolue

X X
On dit que la série u n converge absolument lorsque la série |u n | converge.
Dans le cas d’une série à termes positifs (ou de signe constant), la convergence absolue coïncide
avec la convergence. Pour les séries dont le terme général change de signe, l’intérêt de cette
notion repose sur le théorème suivant.
Théorème 23 – La convergence absolue implique la convergence

X
Si u n converge absolument, alors elle converge.
X (−1)n
Exemple. 2
converge.
n≥1 n
+∞
X
Exemple. Si (a, b) ∈ R2 et b ∈]0, 1[, la fonction de Weierstrass f : x 7−→ b n cos((a n πx) est
R.
n=0
définie sur
X
On peut donc dans certains cas se ramener à l’étude de |u n |. On travaille alors avec une série
à termes positifs, et tous les résultats des paragraphes précédents s’appliquent.
Proposition 24 – Propriétés des séries absolument convergentes

X X
On se donne u n et v n deux séries absolument convergentes.
n≥n0 n≥n0
¯ ¯
¯ +∞ ¯ +∞
¯X ¯ X
1. Inégalité triangulaire. On a : ¯ un ¯ ≤ |u |
¯n=n0 ¯ n=n0 n
K,
X X
2. Linéarité de l’absolue convergence. Pour tout λ ∈ (u n + v n ) et (λ.u n ) sont
elles aussi absolument convergentes.

Définition 25 – Série semi-convergente

X
Une série u n est dite semi-convergente lorsqu’elle est convergente, mais non
n≥n0 X X
absolument convergente, ie que u n converge et |u n | diverge.
X (−1)n
Exemple. La série est semi-convergente (et sa somme vaut − ln(2)).
n≥1 n
Les séries semi-convergentes sont « pathologiques » : on perd même la commutativité de la

somme. Leur étude n’est pas au programme.
2.4 Méthodologie pour étudier la nature d’une série

X
On souhaite déterminer la nature de un .
• Si l’énoncé demande explicitement de montrer que la série converge et de calculer sa

N
X
somme, il faut transformer l’expression des sommes partielles u n en faisant
n=n0
apparaître par télescopage, changement d’indice, Chasles, ou linéarité des sommes
partielles, des séries de références : géométriques ou de Riemann.
N
X
On calcule ensuite lim u n et il faut trouver une limite finie (ce qui prouve la
N→+∞ n=n0
convergence de la série). La somme de la série est alors égale à cette limite.
• Si l’énoncé demande la nature de la série, on procède par ordre décroissant de priorité :
⋆ si lim u n 6= 0 alors la série diverge grossièrement ;

n→+∞
X
⋆ si u n n’est pas de signe constant, étudier la nature de |u n | ;
⋆ chercher un équivalent simple de u n lorsque n → +∞ ;
⋆ essayer la règle du n α u n ;
⋆ encadrer u n .
B Une dernière remarque importante :
+∞ µ +∞ ¶ µ +∞ ¶
X X X
u n × v n 6= un × vn
n=0 n=0 n=0

3 Développement décimal d’un réel

On s’intéresse ici à l’écriture d’un réel positif sous la forme d’un « nombre à virgule ».
L’écriture décimale d’un réel positif x :

a1 a2 a3
x = a0 + + 2 + 3 + · · · = a0 , a1 |a2 |a3 | . . . . . .
10 10 10
conduit naturellement à l’étude de séries de terme général

an
10n
, où a0 ∈ N et ∀n ∈ N∗, an ∈ 0, 9.
X an
Proposition 26 – Convergence de
10n
N∗, an ∈ 0, 9. Alors
X an
Soit (an )n∈N une suite d’entiers naturels telle que ∀n ∈ converge.
10n
On a vu que 0, 999999 . . .. . . = 1, 000000 . . .. . .
Il y a donc plusieurs façon d’écrire un même réel avec une infinité de chiffres après la virgule.
Théorème 27 – Développement décimal propre
Soit x ∈ R+. Il existe un unique suite (an )n∈N d’entiers naturels telle que :
• ∀n ∈ N∗ , an ∈ 0, 9
• (an ) non stationnaire sur 9 a.p.c.r.
+∞
X an
• x= n
n=0 10
Définition 28 – Développement décimal propre

+∞
X
Si x ∈ R+ on appelle développement décimal propre de x l’écriture x = an
n
où (an )n∈N
n=0 10
est la suite définie par le théorème précédent.
Exemple. 1/3 = 0, 33333 . . .. . .
Pour les réels dont la suite (an ) stationne sur 0 a.p.c.r., on peut écrire un deuxième
développement décimal en remarquant que :
0, a0 |a1 | . . . |an−1 |an |0000 · · · = 0, a0 |a1 | . . . |an−1 |(an − 1)|9999 . . .
On l’appelle développement décimal impropre. Les nombres décimaux (nombre fini de chiffres
non nuls après la virgule) ont donc un développement décimal propre et un impropre.
Exemple. 0, 12345 = 0, 12344999999 . . .. . .

3 Développement décimal d’un réel 521
Théorème 29 – Caractérisation des rationnels
Soit x ∈ R+. On a équivalence de :

(i) x est rationnel :
(ii) le développement décimal propre de x est périodique a.p.c.r.
On peut même calculer le rationnel à partir de son développement décimal propre.
Exemple. Mettre le rationnel 3, 1415151515 . . .. . . sous forme d’une fraction.
La notion de dévelopement décimal permet une étude fine des nombres réels. Elle a notamment
permis à Cantor de prouver la non dénombrabilité de . R


➥ Savoir étudier la nature d’une série à l’aide de ses sommes partielles.
➥ Savoir étudier la nature d’une série à l’aide d’une comparaison de son terme général.
➥ Savoir étudier la nature d’une série à l’aide d’une comparaison à une intégrale.
✪ Savoir en déduire aussi un équivalent des restes (cas d’une série convergente) ou des
sommes partielles (cas d’une série divergente).
➥ Savoir calculer la somme d’une série.
➥ Connaître les exemples usuels : séries géométriques et séries de Riemann.

5 Exercices 523
5 Exercices
Étude pratique d’une
série numérique
EXERCICE 1. Nature de séries

Déterminer la nature de la série de terme général u n dans les cas suivants :
p
n2 − 5
n
p
− n n −2 2−1
1. u n = e 2. u n = 3. u n = n 4. u n =
µ ¶ n(2n + 1) 2 −1 2n + 3
1 n cos(n!) 1
5. u n = n sin n 6. u n = 7. u n = 3 8. u n = p
3 n +1 n + cos(n!) n(n + 1)
ln(n) n ln(n)3
9. u n = ne−n 10. u n = p 11. u n = 12. u n =
n ln(n) n(n + 1)
EXERCICE 2. Dérivée de la série géométrique

X +∞
X 1
Soit x ∈] − 1, 1[. On souhaite montrer que la série nx n−1 converge et que nx n−1 = .
n=1 (1 − x)2
1. Démontrer le résultat en remarquant que : ∀n ∈ N, x n = (n + 1)x n − nx n
Xn 1 − x n+1
2. Démontrer le résultat en dérivant la formule : ∀n ∈ N, xk =
1−x
k=0
EXERCICE 3. Calculs de sommes

Montrer la convergence de la série de terme général u n puis calculer sa somme :
1 6 2n
1. u n = 2. u n = 3. u n =
n(n + 1)(n + 2) 5n+2
µ ¶ 3n
n +3 n3
4. u n = (−1)n n 5. u n = ln
5 (n + 2)(n − 1)2
EXERCICE 4. Semi-convergence
X (−1)n
On admet la convergence de la série . Étudier la convergence absolue et la convergence
n
de la série de terme général u n dans les cas suivants :
µ ¶ µ ¶
n 1 (−1)n
1. u n = (−1) ln 1 + 2. u n = sin
p n n
n p
3. u n = (−1)n 4. u n = cos(π n 2 + n + 1)
ln n
EXERCICE 5. Comparaison série-intégrale

À l’aide d’une comparaison à une intégrale, étudier la nature des séries de terme général :
1 1
1. u n = 2. u n =
n ln(n) n ln(n)2

EXERCICE 6. Séries à paramètre

Étudier la nature de la série de terme général u n en fonction des paramètres indiqués :
µ ¶
¡p p ¢α
1. u n = n + 1 − n , α ∈ R 1
2. u n = ln 1 + α , α ∈
n
R
3. u n = ln(n) + a ln(n + 1) + b ln(n + 2), (a, b) ∈ R2
EXERCICE 7. Dualité suite-séries
n 1
N∗, on pose S n =
X
1. Pour n ∈ et u n = S n − ln(n).
k=1 k
µ ¶
1 1
(a) Montrer que u n+1 −u n = − 2 +o 2 . En déduire que la suite (u n )n∈N converge.
n→+∞ 2n n
p
n n e−n n
N
2. Pour n ∈ , on pose xn =
n!
.
µ ¶ µ ¶
xn+1 1 1
(a) Montrer que ln = 2
+ o 2
. En déduire qu’il existe une constante
xn n→+∞ ³12n n
p n ń
C > 0 telle que : n! ∼ C n .
n→+∞ e
EXERCICE 8. Un calcul de somme

+∞
X 1 π2
On admettra dans cet exercice que 2
= .
n=1 n 6
X (−1)n
1. Montrer que 2
est convergente.
n≥1 n
XN (−1)n XN 1
2. Pour tout N ∈ N∗, on pose S N = 2
et T N = 2
.
n=1 n n=1 n
(a) Établir que si N ≥ 1 :
1 N−1
X 1 1 N−1
X 1
S 2N = T N − 2
et T2N = T N + 2
4 k=0 (2k + 1) 4 k=0 (2k + 1)
1
(b) En déduire que pour N ≥ 1 : S 2N = T N − T2N .
2
+∞
X (−1) n 2
π
(c) Conclure que : 2
=− .
n=1 n 12
EXERCICE 9. Produit infini

µ ¶
X (−1)n
1. Étudier la convergence et calculer la somme de la série ln 1 + .
n≥2 n
Yn µ (−1)k
¶
2. Établir la convergence de la suite (P n )nÊ2 définie par : P n = 1+ .
k=2 k

5 Exercices 525
EXERCICE 10. Séries et suites récurrentes

π
On considère la suite (u n )n∈N définie par u 0 = et u n+1 = sin(u n ).
2
h πi
1. Étudier la fonction f : x 7−→ sin(x) − x sur 0, , puis montrer que (u n ) est strictement
2
positive et convergente vers 0+ .
x3
2. Pour les questions suivantes, on rappelle que : sin(x) − x ∼ − .
x→0 6
X X
(a) À l’aide de l’étude la série u n+1 − u n , montrer que u n3 converge.
nÊ0 nÊ0
X X
(b) À l’aide de l’étude la série ln(u n+1 ) − ln(u n ), montrer que u n2 diverge.
nÊ0 nÊ0
EXERCICE 11. Jack Sparrow

Le capitain Jack Sparrow prend une bouteille de rhum neuve et en boît la moitié. Il demande
alors en second de boire la moitié du rhum restant. À son tour il récupère la bouteille et boit la
moitié du rhum restant et ainsi de suite. . .Quelle quantité de rhum aura-t-il bu au final ?
Étude théorique d’une

série numérique
EXERCICE 12. Critère spécial des séries alternées

Soit (an )n∈N une suite décroissante de réels positifs, convergente vers 0. Pour tout n ∈
n
N, on
X
pose : S n = (−1)k ak .
k=0
1. (a) Monter que les suites (S 2n ) et (S 2n+1 ) sont adjacentes.

X
(b) En déduire que la série (−1)n an est convergente.
nÊ0
¯ ¯
¯ +∞ ¯
(c) Montrer que si n ∈ N ¯X
:¯
¯k=n
k ¯
(−1) ak ¯ ≤ an
¯
X (−1)n X (−1)n
2. Étudier la nature des séries et n
, en fonction du paramètre α ∈ . R
nÊ1 n nÊ2 n + (−1)
α α
X X
En déduire un contre-exemple ou u n ∼ v n et les séries u n et v n sont de na-
n→+∞ n≥n0 n≥n0
n
(−1)
ture différente (considérer u n = p . . .).
n
EXERCICE 13. Séries de même nature

un
Soient (u n )n∈N une suite de réels positifs et (v n )n∈N définie par : v n = .
X X 1 + un
Montrer que les séries u n et v n sont de même nature.
nÊ0 nÊ0

EXERCICE 14. Critère de d’Alembert
1. On se donne une suite de réels (an )n∈N strictement positifs.

an+1 +
On suppose que : lim = ℓ avec ℓ ∈ R = [0, +∞].
n→+∞ a n
(a) Cas où ℓ < 1.

1+ℓ
Montrer qu’à partir d’un certain rang : an+1 ≤ an .
X 2
En déduire que la série an est convergente.
(b) Cas où ℓ > 1. X

Avec la même méthode que précédemment, montrer que la série an est divergente.
(c) Cas où ℓ = 1.
X 1
À l’aide des séries de Riemann R
, α ∈ , construire un exemple où ℓ = 1 et la série
n≥1 n
α
diverge, et un exemple ou ℓ = 1 et la série converge.
2. Applications.
X xn
(a) Pour tout x ∈ R, montrer que n!
converge absolument.
Ã !
X 2n
(b) Étudier la nature de la série : .
n
Sujets d’étude
EXERCICE 15. Série exponentielle

X xn
Soit x ∈ R. À l’aide de la formule de Taylor-Lagrange, montrer que la série converge et
n≥0 n!
+∞
X xn
que = ex .
n=0 n!
EXERCICE 16. Une propriété de la convergence absolue

X
On se donne X u n une série absolument convergente. Montrer que pour toute permutation σ
N
de , la série u σ(n) converge et :
+∞
X +∞
X
u σ(n) = un
n=0 n=0

5 Exercices 527
EXERCICE 17. Théorème de rarrangement de Riemann sur un exemple
1. Pour tout n ∈ N, montrer que :

n (−1)k Z1
X (−t )n+1
= ln(2) − dt
k=0 k + 1 0 1+t
X (−1)n +∞
X (−1)n
2. En déduire que la série converge et que = ln(2).
n +1 n=0 n + 1
+∞ µ ¶
X 1 1 1 ln(2)
3. Montrer qu’on a aussi − − = . Que pensez-vous de ce résultat ?
k=1 2k − 1 4k − 2 4k 2
EXERCICE 18. Théorème de rarrangement de Riemann

X
On se donne u n une série réelle semi-convergente et α ∈ R. Montrer qu’il existe une
N
permutation σ de telle que :
+∞
X
u σ(n) = α
n=0
EXERCICE 19. Exemple de série de fonctions

2
Pour n ≥ 1 et x ∈ R, on pose un (x) = (−1)n ln ¡1 + n(1x+ x 2) ¢.
n
N∗, on note S n (x) =
X
1. Pour n ∈ u k (x) la somme partielle de rang n de la série de terme
k=1
général u k (x). En considérant les sommes partielles de rangs pairs et celles de rangs im-
P
pairs, montrer que la série u n (x) converge pour tout réel x.
n≥1
On notera u(x) la somme de cette série.
+∞
X
2. Pour n ≥ 1, on pose R n (x) = u k (x).
k=n+1
Montrer que ∀ x ∈ R, |Rn (x)| ≤ ln(1 + n +1 1 ).

1
3. Montrer que la série de terme général (−1)n ln(1 + ) est convergente. On notera s sa
n
somme.
+∞ µ ¶
X 1
4. Montrer que lim u(x) = (−1)n ln 1 + .
x→+∞
n=1 n
n µ ¶
X k 1
On pourra considérer s n = (−1) ln 1 + , et utiliser le fait que :
k=1 k
|u(x) − s| ≤ |u(x) − S n (x)| + |S n (x) − s n | + |s n − s|
¡ (2n!)2 ¢
5. Montrer que pour tout n ≥ 1, s 2n = ln 4n 4
(2n + 1) et en utilisant l’équivalence de
³ n ń p 2 (n!)
Stirling : n! ∼ 2πn, déterminer lim u(x).
n→+∞ e x→+∞

EXERCICE 20. Formule de Plouffe

En 1995 les mathématiciens Plouffe, Bailey et Borwein ont démontré la formule suivante :
+∞ µ ¶
X 1 4 2 1 1
π= n 8n + 1
− − −
n=0 16 8n + 4 8n + 5 8n + 6
qui permet de calculer n’importe quelle décimale de π en base 16, sans avoir à calculer les
décimales précédentes.
1. (a) Pour deux entiers naturels k et p tels que p 6= 0, vérifier que :
p Z1/p2
1 p
= 2 x p−1+8k dx
16k (8k + p) 0
(b) Démontrer que pour tout entiers naturels n et p :

p Z1/p2
n
X 1 p p Z1/ 2 x p−1 p p x 8n+p+7
= 2 dx − 2 dx
k=0 16k (8k + p) 0 1 − x8 0 1 − x8
(c) Montrer que pour tout entiers naturels n et p :

¯Z p ¯ p
¯ 1/ 2 x 8n+p+7 ¯ 16 Z1/ 2
¯ ¯
¯ dx ¯ ≤ x 8n+p+7 dx
¯ 0 1 − x8 ¯ 15 0
Z1/p2
x 8n+p+7
et en déduire que dx −→ 0.
0 1 − x8 n→+∞
X 1
(d) Conclure pour tout entier naturel p la série converge et :
16n (8n + p)
p
+∞
X 1 p p Z1/ 2 x p−1
n
= 2 dx
n=0 16 (8n + p) 0 1 − x8
µ ¶
X 1 4 2 1 1
2. (a) Démontrer que la série − − − converge et :
16n 8n + 1 8n + 4 8n + 5 8n + 6
µ ¶ Z1/p2 p p
+∞
X 1 4 2 1 1 4 2 − 8x 3 − 4 2x 4 − 8x 5
n 8n + 1
− − − = dx
n=0 16 8n + 4 8n + 5 8n + 6 0 1 − x8
p
(b) À l’aide du changement de variable y = 2x établir que :
Z1/p2 p p Z1
4 2 − 8x 3 − 4 2x 4 − 8x 5 16(y − 1)
8
dx = 4 3
dy
0 1−x 0 y − 2y + 4y − 4
(c) Vérifier que pour tout y ∈ [0, 1] :

16(y − 1) 4 − 4y 4 4y
= + + 2
y 4 − 2y 3 + 4y −4 y 2 − 2y
+ 2 1 + (y − 1)2 y −2
(d) Conclure que :

+∞ µ ¶
X 1 4 2 1 1
n 8n + 1
− − − =π
n=0 16 8n + 4 8n + 5 8n + 6

529
Chapitre 21
Produits scalaires et espaces euclidiens
Sommaire
1 Produit scalaire et norme associée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
1.1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
1.2 Exemples usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532
1.3 Norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
2 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535
2.2 Orthogonalité et familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536
2.3 Orthonormalisation de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537
2.4 Bases orthonormées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538
3 Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie . . . . 540
3.1 Supplémentaire orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540
3.2 Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541
5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546

530 C HAPITRE 21 : Produits scalaires et espaces euclidiens
Dans tout le chapitre E est un espace vectoriel sur K.
1 Produit scalaire et norme associée
1.1 Produit scalaire
On se donne une application φ : E × E −→ R

Définition 1 – Forme bilinéaire
On dit que φ est une forme bilinéaire si et seulement si :
• φ est linéaire à gauche :
¡ ¢
∀ u, v, w ∈ E3, ∀(λ, µ) ∈ R2, ¡ ¢ ¡ ¢ ¡
φ λ.u + µ.v, w = λ.φ u, w + µ.φ v, w
¢
• φ est linéaire à droite :

¡ ¢
∀ u, v, w ∈ E3, ∀(λ, µ) ∈ R2, ¡ ¢ ¡ ¢ ¡
φ u, λ.v + µ.w = λ.φ u, v + µ.φ u, w
¢
Proposition 2 – Cas du vecteur nul
Si φ est une forme bilinéaire :

¡ ¢
∀ u, v ∈ E2, ¢ ¢
φ(u, 0E = φ(0E , v = 0
E
Si est de dimension finie et si B = (e 1 , . . . , e n ) est une base de E, on peut « développer » une
forme bilinéaire sur une base.
Proposition 3 – Développement d’une forme bilinéaire sur une base
E
On suppose que est de dimension finie avec B = (e 1 , . . . , e n ) base de E, et que φ une
forme bilinéaire. Soient deux vecteurs décomposés sur la base B :
n
X n
X
u= αi .e i et v = β j .e j
i =1 j =1
alors : Ã !
n
X n
X ¡ ¢
φ(u, v ) = αi .β j .φ e i , e j
i =1 j =1
L’application
¡ ¢ bilinéaire φ est donc entièrement déterminée par la donnée des réels
φ e i , e j , pour (i , j ) ∈ 1, n2.

1 Produit scalaire et norme associée 531
Définition 4 – Forme symétrique
On dit que φ est une forme symétrique lorsque :

¡ ¢
∀ u, v ∈ E2 , ¡ ¢ ¡
φ u, v = φ v, u
¢
Proposition 5 – Bilinéarité et symétrie
On suppose que φ est une forme symétrique. On a équivalence de :

(i) φ est une forme bilinéaire ;
(ii) φ est linéaire à gauche ;
(iii) φ est linéaire à droite ;
Doncs si montre que φ est une forme symétrique et linéaire à gauche, alors on aura montré que
c’est une forme bilinéaire symétrique.
Définition 6 – Forme positive
On dit que φ est une forme positive lorsque :
∀u ∈ E, ¡ ¢
φ u, u ≥ 0
Si φ est bilinéaire, on a toujours φ(0E , 0E ) ≥ 0 car φ(0E , 0E ) = 0.
Définition 7 – Forme définie

On dit que φ est une forme définie lorsque :
³ ¡ ´
E ¢
∀u ∈ , φ u, u = 0 ⇐⇒ u = 0E
B Ne pas confondre forme définie et bien définie.
On définit ensuite la notion de produit scalaire sur E.

Définition 8 – Produit scalaire
E
On appelle produit scalaire sur , toute application φ : E × E −→ R qui est une forme
bilinéaire symétrique définie et positive.
® ¡ ¯ ¢
Lorsque φ est un produit scalaire, le réel φ(u, v ) est noté u, v ou u ¯v , ou encore u.v .

Définition 9 – Espace préhilbertien/euclidien
1. Si φ est un produit scalaire sur E, on dit que le couple (E, φ) est un espace préhilber-
tien réel.
2. De plus, si E est de dimension finie, alors on dit que le couple (E, φ) est un espace
euclidien.
1.2 Exemples usuels
Théorème 10 – Produit scalaire canonique sur Rn

On définit une application Rn × Rn −→ R par :
n
X
∀u = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , ∀v = (y1, . . . , yn ) ∈ Rn , 〈u, v 〉 = xk .y k
k=1
Alors 〈., .〉 est un produit scalaire sur Rn .
Le produit scalaire défini dans le théorème précédent est appelé produit scalaire canonique sur
Rn . On dit aussi qu’on a muni Rn de sa structure canonique d’espace euclidien.
Exemple. Dans R3, on retrouve que si u = (x, y, z) et v = (x ′, y ′, z ′) alors 〈u, v 〉 = xx ′ +y y ′ +zz ′.
R R
Si [a, b] est un segment de , on note C 0 ([a, b]; ) l’ensemble des fonctions continues sur le
segment [a, b] et à valeurs réelles.
Théorème 11 – Produit scalaire canonique sur C 0 ([a, b]; ) R

R
On définit une application C 0 ([a, b]; ) ×C 0 ([a, b]; ) −→ R R par :
Zb
0
R 0
∀( f , g ) ∈ C ([a, b]; ) ×C ([a, b]; ), R ®
f ,g =
a
f (t ).g (t ) dt
Alors 〈., .〉 est un produit scalaire sur C 0 ([a, b]; ). R
Le produit scalaire défini dans le théorème précédent est appelé produit scalaire canonique sur
R R
C 0([a, b]; ). On dit aussi qu’on a muni C 0 ([a, b]; ) de sa structure canonique d’espace
préhilbertien.

1 Produit scalaire et norme associée 533
1.3 Norme
On suppose que E est un espace préhilbertien et on note 〈., .〉 le produit scalaire.
Définition 12 – Norme
On appelle norme associée à φ l’application k.k définie par :
p
kuk = 〈u, u〉
Exemple. Vérifier les identités remarquables :

° ° ° ° ° ° ° °2 ° °2 ° °2
°u + v °2 = °u °2 + °v °2 + 2 〈u, v 〉 et °u − v ° = °u ° + °v ° − 2 〈u, v 〉
Théorème 13 – Propriétés d’une norme
La norme vérifie les deux propriétés :

³ ´
• Séparation : ∀u ∈ , E
kuk = 0 ⇐⇒ u = 0E
• Homogénéité : ∀u ∈ E, ∀λ ∈ R, kλ.uk = |λ| . kuk
L’homégénité donne en particulier que k−uk = kuk.
L’inégalité suivante est fondamentale.
Théorème 14 – Inégalité de Cauchy-Schwarz
On l’inégalité :
E2 ,
¯ ¯
∀(u, v ) ∈ ¯〈u, v 〉¯ ≤ kuk × kv k
avec égalité si, et seulement si, u et v sont colinéaires.
On a donc :
E2,
¯ ¯
∀(u, v ) ∈ 〈u, v 〉 ≤ ¯〈u, v 〉¯ ≤ kuk × kv k
Exemple. Si x1 , . . . , xn , y 1 , . . . , y n sont des réels :

¯ ¯ s s
¯Xn ¯ Xn Xn
¯ ¯
¯ xk .y k ¯ ≤ xk2 × y k2
¯k=1 ¯ k=1 k=1
ou encore :
Ã !2 Ã ! Ã !
n
X n
X n
X
xk .y k ≤ xk2 × y k2
k=1 k=1 k=1
avec égalité si, et seulement si, les listes (x1 , . . . , xn ) et (y 1 , . . . , y n ) sont proportionnelles.

Exemple. Si f et g sont deux fonctions continues sur le segment [a, b] :
¯Zb ¯ sZb s
Zb
¯ ¯ 2
¯
¯
¯
f (t ).g (t ) dt ¯ ≤ f (t ) dt × g (t )2 dt
a a a
ou encore :
µZ b ¶2 µZb ¶ µZ b ¶
2 2
f (t ).g (t ) dt ≤ f (t ) dt × g (t ) dt
a a a
avec égalité si, et seulement si, les fonctions f et g sont proportionnelles.
Corollaire 15 – Inégalité triangulaire
On a l’inégalité :
∀(u, v ) ∈ E2, ³ ku + v k ≤ kuk + kv k ´
avec égalité si, et seulement si, v = 0E ou v 6= 0E et il existe λ ∈ R+ tel que u = λ.v .
Le cas d’égalité pour l’inégalité triangulaire signifie que u et v sont colinéaires et « de même
sens ».
Les propriétés de séparation, homogénéité et inégalité triangulaire font que la norme représente
la « longueur » du vecteur. Mais attention, cette « longueur » dépend du produit scalaire choisi !
Corollaire 16 – Précisions sur l’inégalité triangulaire
1. Si u et v sont deux vecteurs de E:

¯ ¯
¯ kuk − kv k ¯ ≤ ku + v k ≤ kuk + kv k
2. Si u et v sont deux vecteurs de E:

¯ ¯
¯ kuk − kv k ¯ ≤ ku − v k ≤ kuk + kv k
Définition 17 – Vecteur normé

Un vecteur u ∈ E est dit unitaire ou normé lorsque kuk = 1.
1
Exemple. Si u 6= 0E est un vecteur quelconque alors le vecteur .u est unitaire.
kuk

2 Orthogonalité 535
2 Orthogonalité
Dans ce paragraphe, E est un espace préhilbertien. Le produit scalaire est noté 〈., .〉.
Définition 18 – Orthogonalité de deux vecteurs

¡ ¢
E
On dit que deux vecteurs u, v ∈ 2 sont orthogonaux lorsque 〈u, v 〉 = 0. On le note u ⊥ v .
Exemple. Dans R3 muni de sa structure euclidienne canonique, i = (1, 0, 0) et j = (0, 1, 0)

sont orthogonaux.
R
Exemple. Dans C 0 ([0, 2π]; ) muni de sa structure préhilbertienne canonique, la fonction
cos est orthogonale aux fonctions constantes.
Proposition 19 – Caractérisation du vecteur nul
Le vecteur nul 0E est orthogonal à tous les vecteurs de E. De plus, c’est le seul vecteur de
E ayant cette propriété : µ ¶
∀u ∈ E, 〈u, v 〉 = 0 ⇐⇒ v = 0E
Z1
0
R
Exemple. Si f ∈ C ([0, 1]; ) vérifie
0
R
f (t )g (t ) dt = 0 pour toute fonction g ∈ C 0 ([0, 1]; ),
alors f est constante nulle.
Définition 20 – Orthogonal d’une partie de E

E
Si A est une partie quelconque de , on appelle orthogonal de A, noté A ⊥ , l’ensemble des
E
vecteurs de qui sont orthogonaux à tous les vecteurs de A.
On a donc :
©
A⊥ = u ∈ E; ∀a ∈ A, 〈a, u〉 = 0ª
et si u ∈ E:
u ∈ A ⊥ ⇐⇒ ∀a ∈ A, 〈a, u〉 = 0
Exemple. ;⊥ = {0E }⊥ = E
Exemple. E⊥ = {0E}
© ª
Exemple. Déterminer l’orthogonal de A = (1, 1, 1) .

Théorème 21 – Propriété de A ⊥ pour A une partie quelconque de E

Soient A et B deux parties de E.
1. A ⊥ est un sous-espace vectoriel de E.
2. Si A = Vect(e 1 , . . . , e p ) alors, pour tout u ∈ E:
u ∈ A ⊥ ⇐⇒ ∀k ∈ 1, p, 〈u, e k 〉 = 0
3. Si A ⊆ B, alors B ⊥ ⊆ A ⊥ .
¡ ¢⊥
4. A ⊆ A ⊥
Il est remarquable que A ⊥ est un sous-espace vectoriel de E, même si A n’en est pas un.
Dans le même ordre d’idées, la seconde propriété s’énonce : {e 1 , . . . , e p }⊥ = Vect(e 1 , . . . , e p )⊥
Exemple. F = Vect ¡(1, 1, 1)¢⊥ = ©(1, 1, 1)ª⊥.
2.2 Orthogonalité et familles de vecteurs
On se donne F = (u 1 , . . . , u p ) une famille finie de vecteurs de E.

Définition 22 – Famille orthogonale
La famille (u 1 , . . . , u p ) est dite orthogonale lorsque les vecteurs qui la compose sont deux à
deux orthogonaux : ³ ´
®
∀(i , j ) ∈ 1, p2 , i 6= j =⇒ u i , u j = 0
Définition 23 – Famille orthonormée

La famille (u 1 , . . . , u p ) est dite orthonormale ou orthonormée lorsqu’elle est orthogonale et
lorsque tous les vecteurs qui la compose sont unitaires.
On a donc :
(
2
® 0 si i 6= j
∀(i , j ) ∈ 1, p , u i , u j = δi ,j =
1 si i = j
où δi ,j est le symbole de Kronecker.

Proposition 24 – Théorème de Pythagore
1. Si u 1 et u 2 sont deux vecteurs de E:

ku 1 + u 2 k2 = ku 1 k2 + ku 2 k2 ⇐⇒ u 1 ⊥ u 2
2. Si (u 1 , . . . , u p ) est une famille orthogonale :

° °2
°Xp ° Xp
° °
° u ° = ku k k2
°k=1 k ° k=1
B La réciproque de 2. est fausse dès que p ≥ 3. Considérer par exemple u 1 = (1, 1, 1), u 2 = (1, 0, 0)
et u 3 = (0, −1, 0).
Théorème 25 – Liberté d’une famille orthogonale
Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre.
Exemple. Soit n ∈ N∗. Montrer que la famille ¡t 7−→ sin(t ), t 7−→ sin(2t ), . . . , t 7−→ sin(nt )¢
est libre.
Corollaire 26 – Liberté d’une famille orthonormée

Toute famille orthonormée est libre.
2.3 Orthonormalisation de Gram-Schmidt

On se donne F = (u 1 , . . . , u p ) une famille finie de vecteurs de E.
Théorème 27 – Théorème d’orthonormalisation de Gram-Schmidt
On suppose que¢ la famille (u 1 , . . . , u p ) est libre. Il existe une unique famille orthonormée
¡
E
C = w 1 , . . . , w p de vérifiant :
¡ ¢
1. ∀i ∈ 1, p, w i ∈ Vect u 1 , . . . , u i ;
2. ∀i ∈ 1, p, 〈u i , w i 〉 > 0.
En pratique :
1
• on pose v 1 = e 1 puis w 1 = .v 1
kv 1 k
• on pose v 2 = u 2 + λ.w 1 , on choisit λ ∈R pour que 〈w 1, v 2〉 = 0, puis on pose w 2 = kv1 k .v 2

2
• on pose v 3 = u 3 + λ.w 1 + µ.w 2 , on choisit λ ∈ R et µ ∈ R pour que 〈w 1 , v 3 〉 = 〈w 2 , v 3 〉 = 0, puis
1
on pose w 3 = .v 3
kv 3 k

• ...
−
→ λ−
w→1 + µ−
→
w 2
v3
−→ −
→
w3 u3
→ −
−
w
→
w 2
1 −
→
−
→
u u 2
1
La formule générale est la suivante :

µ k−1 ¶
1 X ®
∀k ∈ 1, p, wk = ° ° . uk − u k , w j .w j
° k−1
X ® °
° ° j =1
°u k − u k , w j .w j °
° j =1
°
Exemple. Dans R3, orthonormaliser la famille ¡(0, 1, 1); (1, 0, 1); (1, 1, 0)¢.
Z1
Exemple. Dans l’espace E = R2[X ] muni du produit scalaire 〈P,Q〉 = P (t )Q(t ) dt ,
−1
orthonormaliser la base canonique.
2.4 Bases orthonormées

Dans cette section, E est supposé de dimension finie n. Le couple (E, 〈., .〉) est donc un espace
euclidien.
Définition 28 – Base orthonormée

Une base orthonormée de E est une base de E qui est une famille orthonormée.
Proposition 29 – Caractérisation des base orthonormées
E
Une famille de vecteurs de est une base orthonormée de E si, et seulement si, c’est une
famille orthonormée formée de n vecteurs.
Exemple. La base canonique de Rn est une base orthonormée pour le produit scalaire
canonique.
µµ ¶ µ ¶ µ ¶¶
1 1 2 1 1 1 1 1
Exemple. La famille 0, p , p , p , − p , p , p , p , − p est une base
2 2 6 6 6 3 3 3
R
orthonormée de 3 pour le produit scalaire canonique.
Exemple. La base canonique de Rn [X ] est une base orthonormée de Rn[X ] muni du produit
+∞
X P (k) (0) Q (k) (0)
scalaire 〈P,Q〉 = × .
k=0 k! k!

r Ã p µ ¶!
Exemple. La famille p ,
1 3
2
3 5 2 1
X, p X −
3
est une base orthonormée de R2[X ] muni
2 2 2
Z1
du produit scalaire 〈P,Q〉 = P (t ).Q(t ) dt .
−1
Théorème 30 – Existence de bases orthonormées

Dans un espace euclidien, il existe des bases orthonormées.
Théorème 31 – Théorème de la base orthonormée incomplète
Si (u 1 , . . . , u p ) est une famille orthonormée de E, alors on peut la compléter en une base

orthonormée de . E
Exemple. Après avoir normalisé le vecteur u 1 = (3, 0, 4), compléter en une base orthonormée
de R3 muni du produit scalaire usuel.
¡ ¢
Dans la suite, on se donne B = e 1 , . . . , e n une base orthonormée de E.
Théorème 32 – Coordonnées d’un vecteur dans une base orthonormée
Les coordonnées d’un vecteur u ∈ E dans la base orthonormée B sont des produits sca-
laires :
n
X
u= 〈u, e i 〉 .e i
i =1
Théorème 33 – Produit scalaire et norme dans une base orthonormée

1. Si u = x1 .e 1 + · · · + xn .e n et v = y 1 .e 1 + · · · + y n .e n , alors :
n
X n
X
〈u, v 〉 = xi × y i = x1 × y 1 + · · · + xn × y n = 〈u, e i 〉 × 〈v, e i 〉
i =1 i =1
2. Si u = x1 .e 1 + · · · + xn .e n :
n
X n
X
kuk2 = xi2 = x12 + · · · + xn2 = 〈u, e i 〉2
i =1 i =1
B On a donc une analogie avec le produit scalaire de Rn . Mais ces formules ne sont valables
que dans une base orthonormée.

3 Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimen-

sion finie
On considère dans ce paragraphe un espace préhilbertien réel E. Le produit scalaire est noté
〈., .〉.
3.1 Supplémentaire orthogonal
Théorème 34 – Existence du supplémentaire orthogonal d’un sev de dim finie
Si F est un sous-espace vectoriel de dimension finie de E alors :

E = F F⊥
Si F est de dimension infinie alors F ∩ F⊥ = ©0Eª mais en général F F⊥ ( E.
Définition 35 – Suppémentaire orthogonal d’un sev de dim finie
F
Si est un sous-espace vectoriel de dimension finie de E, alors F⊥ est appelé supplémen-
taire orthogonal de . E
On dit donc un supplémentaire de F et le supplémentaire orthogonal de F.

E
B Le théorème d’existence d’un supplémentaire demande que soit de dimension finie (donc
F E
aussi). Pour l’existence du supplémentaire orthogonal, peut être de dimension infinie mais
Fdoit être de dimension finie.
Corollaire 36 – Supplémentaire orthogonal dans un espace euclidien
Si E est un¡espace euclidien et F est un sous-espace vectoriel de E :

1. dim F⊥ = dim(E) − dim(F)
¢
2. F⊥ = F
¡ ¢⊥
3. Si G est un sev de E :
(
G = F⊥ ⇐⇒ E∀(u, = FG
v ) ∈ F × G, 〈u, v 〉 = 0
Exemple. Considérons E = R3 et F le sous-espace défini par l’équation x + y + z = 0. Alors

F⊥ = Vect(1, 1, 1) est le supplémentaire orthogonal de F.
B Le deuxième point n’est pas vrai en dimension infinie : on a F ⊆ ¡F⊥¢⊥, mais ce n’est pas une
égalité en général.

3 Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie 541
Exemple. On considère E l’espace vectoriel des suites réelles nulles à partir d’un certain
rang, muni du produit scalaire :
+∞
X
〈u, v 〉 = un v n
n=0
½ +∞ ¾
X
On pose F= u∈ E; un = 0 .
n=0
1. Montrer que F⊥ = {0E}.

2. En déduire que F ( F⊥ et que F F⊥ ( E.
¡ ¢⊥
3.2 Projection orthogonale

Soit F un sous-espace vectoriel de dimension finie de E. On sait que E = F F⊥ .
Définition 37 – Projecteur orthogonal
On appelle projection orthogonale sur F la projection sur F dans la direction F⊥. On la

note p F .
B Il existe une infinité de projecteur sur F, mais un unique projecteur orthogonal.

Dasn un espace euclidien on peut aussi définir le projecteur orthogonal sur F⊥ et on a
p F⊥ = idE − p F .
Théorème 38 – Détermination du projeté orthogonal
E ¡ ¢
F
Si x ∈ et si e 1 , . . . , e p est une base orthonormale de , alors le projeté orthogonal p F (x)
du vecteur x sur le sous-espace vaut : F
p
X
p F (x) = 〈x, e k 〉 .e k
k=1
Exemple. Dans R4 muni du produit scalaire canonique, on considère F le sous-espace

d’équations :
(
x1 + x2 + x3 + x4 = 0
x1 − x2 + x3 − x4 = 0
1. Déterminer une base orthonormale de F.

2. Déterminer la matrice, dans la base canonique, de la projection orthogonale sur F.

On a aussi la caractérisation suivante.

¡ ¢
Théorème 39 – Caractérisation géométrique de p F x
E, alors p F(x) est l’unique vecteur y de E vérifiant les conditions :

½
x−y ∈ F⊥
Si x ∈
y∈F .
¡ ¢
x − pF x
¡ ¢
0E pF x
Exemple. Refaire l’exemple précédent.
Retour sur l’algorithme de Gram-Schmidt.
E F
Soit (u 1 , , u p ) une famille libre de vecteurs de , et notons k = Vect(w 1 , . . . , w k ) pour k ∈ 1, n −
1.
On peut réécrire le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt de la manière suivante :
1
• poser w 1 = .u 1
ku 1 k
• une fois les vecteurs w 1 , . . . , w k construits
⋆ poser v k+1 = u k+1 − p Fk (u k+1 ) = p F⊥ (u k+1 )

k
1
⋆ poser w k+1 = .v k+1
kv k+1 k
La projection orthogonale permet de calculer la distance à un sev.
Définition 40 – Distance à un sev

Soit F un sev de E et un vecteur x ∈ E. On appelle distance de x au sous-espace F :
d x, F = inf °x − y °
¡ ¢ ° °
y∈F

3 Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie 543
Cette distance s’exprime à l’aide du projeté orthogonal.
Théorème 41 – Meilleure approximation
F E E
¡ ¢
Si un sev de dimension finie de et si x ∈ , alors p F x est l’unique vecteur de F qui
vérifie : ¢ °
F
¡ °
d x, = °x − p F (x)°
On a donc :
F
¡ ¢ ° °
d x, = min °x − y °
y∈ F
¡ ¢
et ce minimum est atteint en l’unique vecteur y = p F x .
Donc si (e 1 , . . . , e p ) est une base orthonormée de F on a :

v
u p
¢ u X
¡
F
d x, = tkxk2 − 〈x, e k 〉2
k=1
Si E est euclidien on a aussi :

F
¢ °
¡ ° ° °
d x, = °x − p F (x)° = °p F⊥ (x)°
Exemple. Si F est un sev de dimension finie de E montrer que : d (x, F) = 0 ⇐⇒ x ∈ F.

Exemple. Dans E = R4 muni du produit scalaire usuel, on considère le sous-espace
F = Vect (0, 0, 1, 0), (1, 1, 1, 1)¢.
¡
Écrire la matrice¢ du projecteur orthogonal sur F dans la base canonique.

Calculer d u, F où u = (2, 0, 0, 1).
¡
Z1
Exemple. Dans R[X ] calculer d (X 3, R2[X ]) pour le produit scalaire 〈P,Q〉 = −1
P (t ).Q(t ) dt .
 
1 0 1
R
Exemple. Dans M3 ( ) on pose M = −1 0 1. Calculer d (M, S 3 ( ). R
0 0 0
On a aussi l’inégalité suivante.
Théorème 42 – Inégalité de Bessel
F
Si est un sev de dim finie et si x ∈ E on a °°p F(x)°° ≤ kxk avec égalité si, et seulement si,
F
x∈ .
p
X
Donc si (e 1 , . . . , e p ) est une base orthonormée de F on a 〈x, e k 〉2 ≤ kxk2 avec égalité si, et
F
k=1
seulement si, x ∈ .

Z2π
0
R
Exemple. Sur C ([0, 2π]; ) on choisit comme produit scalaire ( f |g ) =
1
2π 0
f (t )g (t ) dt . Si
Z2π
R N
f ∈ C 0 ([0, 2π]; ), on pose ∀n ∈ ∗ , an ( f ) =
1
π 0
f (t ) cos(nt ) dt . Alors :
N Z
1X 1 2π
∀N ∈ N, 2 k=1
2
an ( f ) ≤
2π 0
f (t )2 dt


➥ Savoir montrer qu’une application de E2 dans R est un produit scalaire sur E.
✪ Ne pas confondre forme définie et bien définie.
➥ Connaître les exemples usuels : produit scalaire canonique sur Rn et sur C 0([a, b]; R).
➥ Connaître les règles de calculs pour le produit scalaire et la norme.
✪ Savoir démontrer des inégalités grâce à l’inégalité triangulaire ou l’inégalité de Cauchy-
Schwartz.
➥ Savoir déterminer l’orthogonal d’une partie.

✪ En dimension finie, on peut prédire sa dimension ce qui simplifie la recherche.
➥ Connaître les propriétés des familles orthogonales et orthonormales.

✪ Savoir orthonormaliser une famille libre avec l’algorithme de Gram-Schmidt.
➥ Connaître les propriétés des projection orthogonales.

✪ Savoir déterminer un projeté orthogonal « géométriquement ».
✪ Savoir déterminer un projeté orthogonal sur F à l’aide d’une base orthonormale de F.
✪ Savoir identifier et résoudre un problème de meilleure approximation.

5 Exercices
Produits scalaires et
normes
EXERCICE 1. Produits scalaires classiques
1. Sur E = Mn (R), montrer qu’on peut définir le produit scalaire :

〈A, B〉 = Tr(A.tB)
Ecrire l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

2. Sur E = Rn [X ], montrer qu’on peut définir le produit scalaire :
n
X
〈P,Q〉 = P (k).Q(k)
k=0
3. Sur E = R[X ], montrer qu’on peut définir le produit scalaire :

Z1
〈P,Q〉 = P (t ).Q(t ) dt
−1
EXERCICE 2. Propriétés d’une norme

On suppose que E est un espace préhibertien et on note 〈., .〉 le produit scalaire.
1. Vérifier les identités de polarisation :
® 1 ¡° °2 ° °2 ¢ ® 1 ¡° °2 ° °2 ¢
x, y = °x + y ° − kxk2 − ° y ° et x, y = °x + y ° − °x − y °
2 4
¡ ¢
2. Démontrer l’identité du parallélogramme, pour deux vecteurs x, y ∈ 2 , E
° ° ° ° ¡ ° ° ¢
°x + y °2 + °x − y °2 = 2 kxk2 + ° y °2
EXERCICE 3. Inégalité de cauchy-Schwarz
1. Si x1 , . . . , xn sont des réels : ¯ ¯ s

¯Xn ¯ p Xn
¯ ¯
¯ xk ¯ ≤ n × xk2
¯k=1 ¯ k=1
avec égalité si, et seulement si : x1 = · · · = xn .
2. Si f est une fonction continue sur le segment [a, b] :

¯Zb ¯ s
Zb
¯ ¯ p
¯
¯
¯
f (t ) dt ¯ ≤ b − a × f (t )2 dt
a a
avec égalité si, et seulement si : f est constante.

5 Exercices 547
EXERCICE 4. Produits scalaire sur R[X ]

Sur E = R[X ], montrer qu’on peut définir le produit scalaire :
+∞
X
〈P,Q〉 = P (n)Q(n)e−n
n=0
EXERCICE 5. Produit scalaire avec poids sur C 0 [a, b],

¡ ¢
R
E ¡ ¢
R
Sur = C 0 [a, b], , si ω est une fonction continue sur [a, b] et strictement positive, montrer
Zb
qu’on a un produit scalaire : ( f |g ) = f (t )g (t )ω(t ) dt
a
Remarque : la fonction ω est appelée fonction poids.
EXERCICE 6. Produit scalaire sur Rn [X ]

Dans l’espace E = Rn [X ], on considère (n + 1) réels distincts (a0, . . . , an ) et on définit :
φ: Rn [X ] × Rn [X ] −→ R
n
X
(P,Q) 7−→ P (ak )Q(ak )
k=0
1. Vérifier que φ définit un produit scalaire sur Rn [X ].

Dans la suite on note (P |Q) = φ(P,Q).
2. Trouver sans calcul (ou presque) une base orthonormale de E.

3. Quelles sont les coordonnées de P ∈ Rn [X ] dans cette base ?
¡
EXERCICE 7. Produit scalaire sur C 1 [0, 1];
¢
R
E ¡ ¢
R E
Soit = C 1 [0, 1]; . Pour ( f , g ) ∈ 2 , on pose :
Z1
¡ ¢¡ ¢
( f |g ) = f (0)g (0) + f (t ) + f ′ (t ) g (t ) + g ′ (t ) dt
0
Montrer que (.|.) est un produit scalaire sur E.

EXERCICE 8. Familles obtusangles
1. Soient
E
®p ≥ 2 vecteurs (x1 , . . . , x p ) d’un espace préhilbertien réel . On suppose que ∀i 6= j ,
xi , x j < 0. Montrer que toute sous-famille de p − 1 vecteurs est libre.
Hint : Procéder par récurrence sur p et dans une CL nulle distinguer les coefficients ≥ 0 des
coefficients < 0.
R
2. En déduire que dans n muni du produit scalaire usuel, il est impossible de trouver (n+2)
vecteurs formant deux à deux un angle obtu.

Orthogonalité
EXERCICE 9. Produits scalaires classiques

Sur E = Mn (R), on définit le produit scalaire :
〈A, B〉 = Tr(A × tB)
¡ ¢⊥
R
Montrer que S n ( ) = A n ( ). R
EXERCICE 10. Propriétés de l’orthogonal
Si F et G sont deux sev d’un espace euclidien, montrer que :
(F + G)⊥ = F⊥ ∩ G⊥ et (F ∩ G)⊥ = F⊥ + G⊥
EXERCICE 11. Caractérisation des BON

Soient E ¡ ¢
un espace euclidien et e 1 , . . . , e n une famille de vecteurs unitaires de E. Établir
l’équivalence des¢ propositions :
¡
• e 1 , . . . , e n est une base orthonormale de ; E
° °2 X n
E
• ∀x ∈ , °x ° = 〈x, e i 〉2
i =1
EXERCICE 12. Endomorphisme dans un espace euclidien

E
E ®
Soit f ∈ L ( ) vérifiant ∀x ∈ , f (x), x = 0.
E ® ®
1. Montrer que ∀(x, y) ∈ 2 , x, f (y) = − f (x), y .
³ ´⊥
2. En déduire que Ker( f ) = Im( f ) .
EXERCICE 13. Exemple de polynômes orthogonaux

On définit
1 ¡ 2 ¢(n)
Q n (X ) = (X − 1)n
2n n!
1. Soit n Ê 1. Montrer que Q n possède n racines simples dans ]−1, 1[.
2. Montrer que
Q n = X n + (X 2 − 1)R n (X )
avec R n ∈ R [X ]. En déduire Q n (1) et Q n (−1).
3. On pose, pour (P,Q) ∈ R [X ]2 ,
Z1
〈P,Q〉 = P (t )Q(t ) dt
−1
Montrer que Q n est orthogonal à Rn−1 [X ].

4. Calculer kQ n k2 .

5 Exercices 549
Projections
orthogonales
EXERCICE 14. Projection orthogonale sur un hyperplan
E R
Dans = n muni du produit scalaire canonique, on considère un vecteur b = (b 1 , . . . , b n ), avec
kbk = 1. ¡ ¢⊥
Calculer P = MatB (p) où p est le projecteur orthogonal sur l’hyperplan
¡ ¢ H = Vect b et B la
base canonique. On l’exprimera à l’aide de la matrice B = MatB b .
EXERCICE 15. Distance à un s.e.v.
E ¡ ¢
R
Soit = C 0 [−π, π]; . Trouver (a, b, c) ∈ R3 tels que la quantité
Zπ
1 ¡ t ¢2
e − (a + b sin t + c cos t ) dt
π −π
soit minimale.
R
On note S n ( ) l’ensemble des matrices symétriques réelles. Soit A ∈ Mn ( ) une matrice R
quelconque. Déterminer
µ ¶
X 2
inf (ai j − s i j )
R
S∈S n ( ) 1≤i ,j ≤n

µZ1 ¶
¡ 3 2
¢2
Pour n ≥ 3, déterminer inf t − at − bt − c dt .
(a,b,c)∈ R3 −1
EXERCICE 18. Matrice d’une projection orthogonale dans une BON
E
Soient un espace vectoriel euclidien muni d’une base orthonormée B =
¡
e 1 , . . . , e n
¢
et F un
E ¡ ¢
sous-espace vectoriel de muni d’une base orthonormée x1 , . . . , x p .
Montrer que la matrice de p F , projecteur orthogonal sur , dans la base B est F
p
X
Xk × tXk
k=1
où X k est la colonne des coordonnées du vecteur xk dans B.

EXERCICE 19. Matrice de Gram

E ¡ ¢
Soit un espace euclidien. Pour u 1 , . . . , u p famille de vecteurs E ¡ ¢
de on note G u 1 , . . . , u p la
R ®
matrice de Mp ( ) dont le coefficient d’indice [i , j ] est u i , u j .
³ ¡
¡ ¢ ¢´
1. Montrer que u 1 , . . . , u p est libre si, et seulement si, det G u 1 , . . . , u p 6= 0.
¡ ¢
F E
2. Montrer que si e 1 , . . . , e p est une base d’un sev de , alors, pour tout x ∈ : E
v
u ³ ´
u det G ¡e , . . . , e , x ¢
¢ u
F
¡ 1 p
d x, = u
t ³ ¡ ¢´
det G e 1 , . . . , e p

551
Chapitre 22
Couples de variables aléatoires
Sommaire
1 Couples de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552
1.1 Couples de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552
1.2 Évènements associés à un couple de VA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552
1.3 Loi conjointe d’une couple de VA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553
1.4 Lois marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555
1.5 Lois conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556
2 Indépendance de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557
2.1 Indépendance de deux VA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557
2.2 Indépendance d’une suite finie de VA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559
4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563

552 C HAPITRE 22 : Couples de variables aléatoires
Dans tout le chapitre, on considère une expérience aléatoire modélisée par un espace probabi-
lisé fini (Ω, P). E et F sont deux ensembles quelconques supposés non vide.
1 Couples de variables aléatoires

1.1 Couples de variables aléatoires
On se donne X : Ω −→ E et Y : Ω −→ F deux variables aléatoires.
Définition 1 – Couple de variables aléatoire
On appelle couple des variables aléatoires X et Y , et on note Z = (X , Y ), l’application
Z: Ω ¡−→ ¢ R2
ω 7−→ Z (Ω) = X (ω), Y (ω)
L’ensemble des valeurs prises par Z est :

n¡ ¢. o
Z (Ω) = X (ω), Y (ω) ω ∈ Ω
C’est une partie de R2, incluse dans X (Ω) × Y (Ω).

Notation : Si X (Ω) = {x1 , . . . , xn } et Y (Ω) = {y 1 , . . . , y p } alors :
© ª
Z (Ω) ⊆ X (Ω) × Y (Ω) = (xi , y j )/ (i , j ) ∈ 1, n × 1, p
Exemple. On lance deux dés cubiques distinguables. On note X = Chiffre obtenu avec le
premier dé, et Y = Chiffre obtenu avec le second dé. Alors Z = (X , Y ) est un couple discret et
Z (Ω) = 1, 62.
Exemple. On lance deux dés cubiques distinguables. On note X = Chiffre obtenu avec le
premier dé, et Y = Plus grand chiffre obtenu avec les deux dés. Alors Z = (X , Y ) est un couple
discret et Z (Ω) ( 1, 62.
Plus généralement, on dira que (X 1 , . . . , X n ) est une suite finie de variables aléatoires définies sur
le même espace probabilisé (Ω, P) lorsque, pour tout k ∈ 1, n, X k est une variable aléatoire
définie sur (Ω, P).
1.2 Évènements associés à un couple de VA

Si A ⊆ R2, on note (Z ∈ A) ou Z ∈ A l’évènement :
Z −1 (A) = {ω ∈ Ω/ Z (ω) ∈ A}
Si A = B ×C où B et C sont deux parties de R, on a :

(Z ∈ B ×C ) = (X ∈ B) ∩ (Y ∈ C )
En particulier si (x, y) ∈ R2
¡ ¢
, Z = (x, y) = (X = x) ∩ ([Y = y).

Notation : Pour simplifier on pose :

¡ ¢ ¡ ¢
P(X ∈ B, Y ∈ C ) = P (X ∈ B) ∩ (Y ∈ C ) et P(X = x, Y = y) = P (X = x) ∩ (Y = y)
Théorème 2 – S.c.e. associé à un couple discret
Si
¡ X (Ω) = {x1 , . . . , xn¢} et Y (Ω) = {y 1 , . . . , y p } alors la famille d’évènements
[X = xi ] ∩ [Y = y j ] (i ,j )∈1,n×1,p est un s.c.e. de Ω
1.3 Loi conjointe d’une couple de VA

Définition 3 – Loi conjointe d’une couple de VA
Si (X , Y ) est un couple de VA, on appelle loi conjointe l’application
P(X ,Y ) E × F −→ [0, 1]
(x, y) 7−→ P(X = x, Y = y)
B Si (x, y) ∉ X (Ω) × Y (Ω), on a P(X = x, Y = y) = 0. Donc avant de déterminer la loi conjointe

du couple (X , Y ), on commence par déterminer X (Ω) et Y (Ω).
Si X (Ω) = {x1 , . . . , xn } et Y (Ω) = {y 1 , . . . , y q }, on pose :
∀(i , j ) ∈ 1, n × 1, q, p i j = P(X = xi , Y = y j )

¡ ¢
Puisque la famille (X = xi ) ∩ (Y = y j ) (i ,j )∈1,n×1,p est un s.c.e., le théorème de Fubini donne :
Ã ! Ã !
X n
X q
X q
X n
X
1= pi j = pi j = pi j
(i ,j )∈1,n×1,p i =1 j =1 j =1 i =1
Déterminer la loi conjointe du couple (X , Y ) c’est calculer la valeur des p i j . On peut représenter
les résultats sous forme d’un tableau à double entrée :
Y
y1 ... yj ... yq
X
x1 p 11 ... p 1j ... p 1q
.. .. .. ..
. . . .
xi pi 1 ... pi j ... pi q
.. .. .. ..
. . . .
xn p n1 ... pn j ... p nq
La somme de toutes les cases doit être égale à 1.

Exemple. On dispose d’une urne composée de 3 boules numérotées. On tire deux boules
successivement, avec remise. On note X 1 = Numéro de la première boule tirée, et X 2 = Numéro
de la seconde boule tirée. Alors X 1 (Ω) = X 2 (Ω) = 1, 4 et la loi conjointe de (X 1 , X 2 ) est :
X2
1 2 3
X1
1 1 1
1 9 9 9
1 1 1
2 9 9 9
1 1 1
3 9 9 9
De même si Y = max(X 1 , X 2 ) alors Y (Ω) = 1, 3 et la loi conjointe de (X 1 , Y ) est :
Y
1 2 3
X1
1 1 1
1 9 9 9
2 1
2 0 9 9
3
3 0 0 9
Exemple. Si X et Y sont deux VA à valeurs entières positives, la loi conjointe de (X , Y ) permet

de déterminer la loi de la VA S = X + Y :
n n
N,
X X
∀n ∈ P(S = n) = P(X + Y = n) = P(X = k, Y = n − k) = P(X = n − k, Y = k)
k=0 k=0
Théorème 4 – Construction d’un couple discret finie ayant une loi conjointe donnée
On se donne des réels (p i j ) 1≤i ≤n vérifiants :

1≤ j ≤p
• ∀(iÃ, j ) ∈ 1,!n × 1,
Ã p, p i j! ≥ 0 ;
n
X X q q
X X n
• pi j = p i j = 1.
i =1 j =1 j =1 i =1
Alors pour tous réels deux à deux distincts x1 , . . . , xn , y 1 , . . . , y p , il existe un couple discret
(X , Y ) défini sur un espace probabilisé fini (Ω, P) telle que :
X (Ω) = {x1 , . . . , xn }, Y (Ω) = {y 1 , . . . , y p }, et ∀(i , j ) ∈ 1, n × 1, p, p i j = P(X = xi , Y = y j )
Donc pour tout (i , j ) ∈ 1, n × 1, p, p i j ∈ [0, 1].
Exemple. Il existe un couple discret (X , Y ) à valeurs dans 1, n2 et de loi conjointe donnée
par :
i+j
∀(i , j ) ∈ 1, n, P(X = i , Y = j ) =
n 2 (n + 1)

1.4 Lois marginales

Définition 5 – Lois marginale
Si (X , Y ) est un couple de VA, on appelle loi marginales de (X , Y ) les lois de X et de Y .
Théorème 6 – La loi conjointe caractérise les lois marginales

© ª © ª
Si (X , Y ) est un couple de VA avec X (Ω) = x1 , . . . , xn et Y (Ω) = y 1 , . . . , y p , alors :
p
X p
X
∀i ∈ 1, n, P(X = xi ) = P(X = xi , Y = y j ) = pi j
j =1 j =1
et :
n
X n
X
∀ j ∈ 1, p, P(Y = y j ) = P(X = xi , Y = y j ) = pi j
i =1 i =1
On note parfois p i . = P(X = xi ) et p .j = P(Y = y j ). On a donc les formules :
p
X p
X n
X n
X
pi . = P(X = xi , Y = y j ) = pi j et p .j = P(X = xi , Y = y j ) = pi j
j =1 j =1 i =1 i =1
On peut ajouter une ligne et une colonne au tableau à double entrée représentant la loi conjointe.
Pour trouver les loi marginales, il suffit ensuite d’additionner les cases en ligne et en colonne.
Exemple. Sur les deux tableaux précédents, on obtient :
X2 Y
1 2 3 Loi de X 1 1 2 3 Loi de X 1
X1 X1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 9 9 9 3
1 9 9 9 3
1 1 1 1 2 1 1
2 9 9 9 3 2 0 9 9 3
1 1 1 1 3 1
3 9 9 9 3 3 0 0 9 3
1 1 1 1 3 5
Loi de X 2 3 3 3
1 Loi de Y 9 9 9
1
On retrouve que X1 ,→ U ({1, 2, 3}) et X2 ,→ U ({1, 2, 3}).

Par contre, pour Y = max(X 1 , X 2 ), on ne trouve pas une loi usuelle.
B Le théorème précédent n’est pas une équivalence : les lois marginales ne caractérisent pas la
loi conjointe.
Intuitivement, les lois marginales donnent des information sur le comportement de chacune
des variables aléatoires, mais elles ne donnent aucune information que la manière dont les deux
variables aléatoires interagissent au cours de l’expérience.

Comme contre-exemple, nous allons construire deux couples de VA qui ont les mêmes lois
marginales mais des lois conjointes différentes.
Exemple. On dispose d’une urne contenant 3 boules blanches et 4 boules rouges.

On effectue deux tirages successifs d’une boule dans cette urne. On note :
½
1 si la première boule tirée est blanche
X1 =
0 si la première boule tirée est rouge
et : ½
1 si la seconde boule tirée est blanche
X2 =
0 si la seconde boule tirée est rouge
On obtient les lois conjointes et marginale suivantes :
TIRAGES AVEC REMISE TIRAGES SANS REMISE
X2 X2
0 1 Loi de X 1 0 1 Loi de X 1
X1 X1
16 12 4 2 2 4
0 49 49 7 0 7 7 7
12 9 3 2 1 3
1 49 49 7
1 7 7 7
4 3 4 3
Loi de X 2 7 7 1 Loi de X 2 7 7 1
1.5 Lois conditionnelles

Soit (X , Y ) un couple de VA.
Définition 7 – Loi conditionnelle de Y sachant (X = x)
Soit x ∈ X (Ω) tel que P(X = x) 6= 0.

On appelle loi conditionnelle de Y sachant (X = x), l’application
Y (Ω) −→ [0, 1]
P(X = x, Y = y)
y 7−→ P X =x (Y = y) = P(Y = y|X = x) =
P(X = x)
On la note parfois PY (.|X = x).
Si y ∈ Y (Ω) est tel que P(Y = y) 6= 0, on définit de même la loi conditionnelle de X sachant (Y = y)
X (Ω) −→ [0, 1]
P(X = x, Y = y)
x 7−→ PY =y (X = x) = P(X = x|Y = y) =
P(Y = y)

2 Indépendance de variables aléatoires 557
Les lois conditionnelles sont souvent données dans la modélisation.
Avec les notations X (Ω) = {x1 , . . . , xn } et Y (Ω) = {y 1 , . . . , y p } on a le théorème suivant.
Théorème 8 – Lois conditionnelles + loi marginale donnent la loi conjointe
Si on connaît la loi de Y , ainsi que la loi de X sachant (Y = y) pour tout y ∈ Y (Ω), on peut
en déduire la loi conjointe de (X , Y ) :
∀(i , j ) ∈ 1, n × 1, p, P(X = xi , Y = y j ) = P(Y = y j ) × PY =y j (X = xi )
et donc la loi de X :
p
X p
X
∀i ∈ 1, n, P(X = xi ) = P(X = xi , Y = y j ) = P(Y = y j ) × PY =y j (X = xi )
j =1 j =1
De même, si on connaît la loi de X et les lois conditionnelles de Y sachant (X = x), alors on peut
calculer la loi conjointe du couple (X , Y ) puis la loi de Y .
Exemple. On dispose d’un dé et d’une pièce. On lance une fois le dé et on note X la variable
aléatoire égale au chiffre obtenu. On lance alors X fois la pièce et on note Y la variable aléatoire
égale au nombre de « pile » obtenus. Déterminer la loi de Y .
2 Indépendance de variables aléatoires

2.1 Indépendance de deux VA
Soit (X , Y ) un couple de VA.
Définition 9 – Indépendance de deux VA
On dit que les VA X et Y sont indépendantes, lorsque :
∀(x, y) ∈ X (Ω) × Y (Ω), P(X = x, Y = y) = P(X = x) × P(Y = y)
On le note X ⊥ Y mais cette notion n’est pour le moment pas officielle aux concours.
On a donc : µ ¶
|X {z
⊥ Y}
⊥ ⇐⇒ ∀(x, y) ∈ X (Ω) × Y (Ω), [X = x] ⊥
|
⊥ [Y = y]
{z }
VA événements
Important. Si X et Y sont indépendantes, les lois marginales déterminent donc la loi conjointe
(on a vu que ce résultat est faux en général).
B En pratique, l’indépendance de deux VA n’est en général pas démontrée. Elle fait partie des
hypothèses de l’énoncé.

Exemple. On lance deux dés distinguables et on note X = chiffre donné par le premier dé, et
Y = chiffre donné par le second. Alors X ⊥
⊥Y.
Exemple. X est une VA constante si, et seulement si, X ⊥

⊥ X.
Pour le théorème suivant rappelons que, si A est un évènement, alors 1 A est une VA de loi de
Bernoulli de paramètre P(A).
Théorème 10 – Lien entre indépendance d’évènements et indépendance de VA
Soient A et B deux évènements. Alors :
A et B sont des évènements indépendants ⇐⇒ 1 A et 1B sont des VA indépendantes
A partir de deux VA indépendantes, on peut en construire d’autres.
Théorème 11 – Indépendance de f (X ) et g (Y )
Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes, et si f et g sont des applications

définies respectivement sur X (Ω) et Y (Ω), alors les variables aléatoires f (X ) et g (Y ) sont
indépendantes.
L’indépendance est une hypothèse très utile pour étudier la somme de deux VA.
Exemple. Si X et Y sont deux VAR indépendantes et à valeurs entières positives et si

S = X + Y , alors :
n
X n
X
∀n ∈ N, P(S = n) = P(X + Y = n) = P(X = k, Y = n − k) = P(X = k) × P(Y = n − k)
k=0 k=0
Donc dans le cas où X et Y sont indépendantes, la loi de X + Y est déterminée par les lois
marginales de X et de Y .
Théorème 12 – Stabilité de la loi binomiale

Si X 1 ,→ B(n 1 , p) et X 2 ,→ B(n 2 , p), avec X 1 ⊥
⊥ X 2 , alors X 1 + X 2 ,→ B(n 1 + n 2 , p).
On a aussi le résultat remarquable suivant.
Théorème 13 – Indépendance et espérance
Si X et Y sont deux VA indépendantes, alors E(X Y ) = E(X ) × E(Y ).

B Ne pas confondre avec la linéarité de l’espérance qui est vraie même si les VA ne sont pas
E E
indépendantes : (X + Y ) = (X ) + (Y ). E
B La réciproque est fausse, on peut avoir E(X Y ) = E(X )×E(Y ) avec X et Y non indépendantes.
Exemple. Si X est une VA on appelle fonction génératrice de X l’application G X : −→ R R

E
définie par G X (t ) = (t X ). Si X et Y sont deux VA indépendantes, montrer que G X +Y = G X ×G Y .
Exemple. Il existe un cas où la réciproque est vraie, et cela fait partie des résultats classiques
en probabilités : lorsque X et Y sont des lois de Bernoulli. On a alors :
X⊥
⊥ Y ⇐⇒ E(X Y ) = E(X ) × E(Y )
2.2 Indépendance d’une suite finie de VA
On se donne (X 1 , . . . , X n ) une suite finie de VA.
Définition 14 – Indépendance deux à deux de VA
On dit que les variables aléatoires X 1 , X 2 , . . . , X n sont deux à deux indépendantes lorsque,
pour tout (i , j ) ∈ 1, n2 tel que i 6= j , on a X i ⊥
⊥ X j , ie lorsque ∀(i , j ) ∈ 1, n2 :
h i
i=
6 j =⇒ ∀(xi , x j ) ∈ X i (Ω) × X j (Ω), P(X i = xi , X j = x j ) = P(X i = xi ) × P(X j = x j )
Définition 15 – Indépendance mutuelle de VA
On dit que les variables aléatoires X 1 , X 2 , . . . , X n sont mutuellement indépendantes, ou

indépendantes dans leur ensemble, lorsque ∀(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ X 1 (Ω) × X 2 (Ω) × · · · × X n (Ω) :
P(X 1 = x1 , X 2 = x2 , . . . , X n = xn ) = P(X 1 = x1 ) × P(X 2 = x2 ) × · · · × P(X n = xn )
On a donc lorsque X 1 , X 2 , . . . , X n sont mutuellement indépendantes :
Ã !
n
\ n
Y
P [X k = xk ] = P(X k = xk )
k=1 k=1
Proposition 16 – Lien entre VA et évènements mutuellement indépendants
Si les variables aléatoires ¡ X¢1 , . . .,¡ X n sont

¢ mutuellement
¡ indépendantes
¢ alors pour tout
(A 1 , A 2 , . . . , A n ) ∈ P X 1 (Ω) × P X 2 (Ω) × · · · × P X n (Ω) , les évènements (X 1 ∈ A 1 ),
(X 2 ∈ A 2 ), . . ., (X n ∈ A n ) sont mutuellement indépendants.

Exemple. On dispose d’une urne de N boules numérotées, dans laquelle on effectue

n tirages successifs d’une boule avec remise. Pour tout k ∈ 1, n, on note X k = numéro
inscrit sur la boule tirée au k-ième tirage.
Alors (X 1 , . . . , X n ) sont mutuellement indépendantes.
Théorème 17 – Lien entre indépendance mutuelle et indépendance deux à deux
Si (X 1 , . . . , X n ) sont mutuellement indépendantes, alors elles sont deux à deux indépen-

dantes.
B La réciproque est fausse (comme dans le cas des évènements).
Notation : On dit que les VA X 1 , . . ., X n sont i.i.d. lorsqu’elles sont mutuellement indépendantes
et identiquement distribuées. En pratique, ceci correspond au cas d’une expérience répétée de
manière identique et indépendante à chaque fois.
¡ ¢
Exemple. Dans l’exemple précédent, (X 1 , . . . , X n ) sont i.i.d. de loi U 1, N .
B En pratique, l’indépendance mutuelle n’est en général pas démontrée. Elle fait partie des
hypothèses de l’énoncé.
Exemple. On dispose d’une urne de 20 boules, dont 15 blanches et 5 noires. On effectue 12

tirages successifs d’une boule avec remise. On note Y = nombre de boules blanches obtenues au
7 premiers tirages, et Z = nombre de boules noires obtenues entre le 8-ième tirage et le 12-ième.
Alors Y ⊥ Z .
Par contre si Z = nombre de boules noires obtenues entre le 7-ième tirage et le 12-ième. Alors Y
et Z ne sont, à priori, pas indépendantes.
La stabilité de la loi binomiale donne le résultat suivant, souvent utilisé dans l’étude du jeu de
pile ou face.
Corollaire 18 – Somme de VARD i.i.d. de loi de Bernoulli

Supposons que (X 1 , . . . , X n ) sont i.i.d. de loi B(p). Alors X 1 + X 2 + · · · + X n ,→ B(n, p).
Intuitivement, on peut comprendre ce résultat de la manière suivante.

On répète n fois une même expérience aléatoire du type succès/échec, de manière
indépendante. Pour tout k ∈ 1, n, on note X k = 1 si la k-ième répétition est un succès, et 0
sinon.
Alors X k ,→ B(p) où p est la probabilité qu’une réalisation de l’expérience donne un succès, et
X 1 +· · · + X n représente le nombre de succès obtenu sur n répétitions, et suit donc la loi B(n, p).
On retrouve ainsi le résultat du théorème précédent.
B Ce résultat est faux sans l’hypothèse d’indépendance mutuelle.

On peut aussi généraliser le résultat suivant.
Théorème 19 – Espérance d’un produit et d’une somme de V A
On se donne une suite finie de variables aléatoires (X 1 , . . . , X n ).

Ã !
n n
E E
X X
1. On a linéarité de l’espérance : Xk = (X k )
k=1 k=1
2. Si on suppose de plus
Ã que
! les variables aléatoires (X 1 , . . . , X n ) sont mutuellement
n
Y Yn
indépendantes : E Xk = (X k ) E
k=1 k=1
Avec la linéarité de l’espérance, on retrouve que l’espérance de la loi binomiale est np.
B Le second point nécessite l’hypothèse d’indépendance mutuelle des VA, mais pas le premier.


➥ Connaître les notions de loi conjointe, lois marginales et lois conditionnelles pour une couple
de VA.
✪ Par somme de valeurs de la loi conjointe on peut déterminer les valeurs des lois
marginales.
✪ Les valeurs de la loi conjointe peuvent être obtenues par produit des valeurs des lois
marginales et des valeurs des lois conditionelles.
➥ Connaître la notion d’indépendance d’un couple de VA.

✪ Dans ce cas les valeurs de la loi conjointe sont obtenues par produit des valeurs des lois
marginales.
➥ Connaître les règles de calculs pour le produit scalaire et la norme.

✪ Savoir démontrer des inégalités grâce à l’inégalité triangulaire ou l’inégalité de Cauchy-
Schwartz.
➥ Savoir déterminer la loi d’une somme de VA.
➥ Connaître les propriétés de l’espérance.

✪ Pour l’espérance d’une somme de VA on utilise la linéarité de l’espérance, sans aucune
condition.
✪ Pour l’espérance un produit de VA, on obtient le produit des espérances à condition que
les VA soient mutuellement indépendantes.

4 Exercices 563
4 Exercices
Lois conjointes, lois
marginales et lois
conditionnelles
EXERCICE 1. Utilisation des conditionnelles

On lance un dè et on note X le numéro obtenu. On choisit alors au hasard avec équiprobabilité
un entier Y entre 1 et X .
1. Déterminer la loi du couple (X , Y ), puis la loi de Y .
2. Déterminer la loi de X sachant [Y = 2].
EXERCICE 2. Min et Max pour un tirage simultané

On considère une urne contenant N jetons numérotés de 1 à N . On tire simultanément n jetons
de l’urne (n < N ) et on note X le plus petit des numéros obtenus et Y le plus grand.
1. Déterminer les lois de X et Y .
2. Déterminer la loi conjointe de (X , Y ).
EXERCICE 3. Utilisation des lois conditionnelles

N
On dispose de n ∈ ∗ urnes numérotées de 1 à n : U1 , U2 , . . . , Un . L’urne Uk contient k boules
numérotées de 1 à k. On choisit au hasard une urne, on note X le numéro de l’urne choisie, puis
on tire une boule au hasard dans l’urne choisie, on note Y le numéro de la boule tirée.
1. Déterminer la loi du couple (X , Y ), en déduire la loi de Y .
2. Déterminer l’espérance de Y .
EXERCICE 4. Utilisation des lois conditionnelles

On dispose d’une urne contenant n ≥ 2 boules numérotées de 1 à n. Soit Y une variable
uniforme à valeurs dans Y (Ω) = 0, n. Lorsque Y prend la valeur de y, on tire au hasard y boules
simultanément dans l’urne. On appelle X la somme des numéros tirés. Pour k ∈ 1, n, on note
X k la variable aléatoire définie par X k = k si la boule numéro k a été tirée et X k = 0 sinon.
1. Déterminer X (Ω).
1
2. Vérifier que, pour tout k ∈ 1, n, P(X k = k) = . En déduire la loi de X k .
2
n
P
3. Justifier que X = X k , en déduire l’espérance de X .
k=1

Indépendance de
variables aléatoires
EXERCICE 5. Contre-exemple à la réciproque de X ⊥

⊥ Y =⇒ E(X Y ) = E(X ) × E(Y )
Soient U1 et U2 deux variables aléatoires indépendantes suivant toutes deux une loi de Bernoulli
de paramètre p ∈]0, 1[. On pose T = U1 −U2 et V = U1 +U2 .
1. Déterminer la loi du couple (T,V ).
2. Vérifier que E(T V ) = E(T ) × E(V ).

3. T et V sont-elles indépendantes ?
EXERCICE 6. Lois uniformes indépendantes
1. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur 0, n.
Déterminer la loi de S = X + Y .
2. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur 1, n.
Déterminer la loi de U = min(X , Y ) et de V = max(X , Y ). Calculer leur espérance.
Sujets d’étude
EXERCICE 7. Urne à composition changeante
Une urne contient initialement r boules rouges et b boules blanches. On pose N = r + b. On

effectue des tirages successifs dans l’urne, et, à l’issue de chaque tirage, la boule prélevée est
N N
remise, avec c boules de la même couleur (c ∈ ∗ ). Pour n ∈ ∗ , on note X n le nombre de boules
rouges tirées lors des n premiers tirages et Yn la variable indicatrice de l’évènement « le n-ième
tirage donne une boule rouge ».
1. Déterminer la loi de Y1 .
2. Montrer que pour n ∈ N∗ : E(Yn+1 ) = r +Nc+Enc

(X n )
.
3. Exprimer X n à l’aide des variables Y1 , . . . , Yn et en déduire que toutes les variables Yn ont
même loi.
4. Déterminer l’espérance de X n .

4 Exercices 565
EXERCICE 8. Urnes d’Ehrenfest

On considère deux urnes A et B contenant en tout b boules (b ≥ 2). Lors de chaque étape, une
boule est sélectionnée au hasard et changée d’urne. On note X n la variable aléatoire
correspondant au nombre de boules dans l’urne A à l’instant n.
N
1. Pour n ∈ , vérifier que P(X n+1 − X n = 1) = 1 −
1
E
(X n ).
µ b ¶
N E
2. En déduire que pour tout n ∈ : (X n+1 ) = 1 −
2
b
E
× (X n ) + 1.
E
3. Déterminer (X n ) en fonction de la composition initiale des deux urnes, puis sa limite
quand n −→ +∞.
EXERCICE 9. Sur le jeu infini de pile ou face

On effectue une succession infinie de lancers d’une pièce équilibrée. À chaque lancer, à partir
du deuxième, si le côté obtenu est différent du côté obtenu au lancer précédent, on marque un
point. Pour n ≥ 2, soit X n la variable aléatoire égale au nombre de points obtenus à l’issu de n
lancers.
1. Déterminer les lois, les espérances et les variances de X 2 et X 3 .
2. Soit n ≥ 2, quel est l’ensemble des valeurs prises par X n ? Déterminer P(X n = 0) et
P(X n = n − 1).
3. Soit n ≥ 2 et k ∈ 1, n − 1, montrer que :
1 1
P(X n+1 = k) = P(X n = k) + P(X n = k − 1)
2 2
n−1
R −→ R par Qn (s) = P(X n = k) × s k .
X
4. Soit n ≥ 2. On définit une fonction Q n :
k=0
(a) Soit n ≥ 2. Calculer Q n (1) et montrer que Q n (1) = E(X n ). Exprimer V (X n ) à l’aide de la
′
fonction Q n .
(b) Montrer que, pour tout n ≥ 2, pour tout s ∈ R : Qn+1 (s) = 1 +2 s Qn (s).
(c) En déduire une expression de Q n (s) en fonction de n et de s.
(d) Calculer alors , pour tout n ≥ 2, l’espérance et la variance de X n .
(e) Pour n ≥ 2 donner la loi de X n .
EXERCICE 10. Sur les marches aléatoires

Z
Soit X une variable aléatoire discrète finie à valeurs dans , non constante. Soit (X n )n≥1 une
suite de variables aléatoires i.i.d. suivant chacune la loi de X . Pour n ∈ , on pose N
Sn = X1 + · · · + Xn .
N c1 ©
1. Montrer l’existence de c1 > 0 tel que ∀n ∈ ∗ , p ≤ sup P(S n = k); k ∈
n
ª
Z
Zπ ³ ³ ´´
2. Montrer que P(S n = k) =
1
2π −π
E
ei t X
n
e−i kt dt
N ©
3. Montrer l’existence de C 2 > 0 tel que ∀n ∈ ∗ , sup P(S n = k); k ∈
ª c2
≤p
n
Z
EXERCICE 11. Variables aléatoires constantes

R
Soit X une variable aléatoire discrète finie à valeurs dans + . Soient X 1 et X 2 deux variables
aléatoires indépendantes suivant la même loi que X . On suppose X 1 + X 2 a même loi que 2X .
Montrer que X est presque sûrement constante.
EXERCICE 12. Marches aléatoires et principe de réflexion

Z N
Soient (a, b) ∈ 2 et n ∈ . On appelle chemin de longueur n allant de a à b toute suite d’entiers
γ = (a0 , a1 , . . . , an ) commençant par a0 = a, terminant par an = b et vérifiant |ai − ai −1 | = 1 pour
tout i ∈ 1, n. On dit alors que ce chemin passe par les ai et celui-ci peut être fiuré par une ligne
brisée s’articulant autour des points de coordonnées (i , ai ) pour i = 0, 1, . . ., n.
1. À quelle condition existe-t-il au moins un chemin de longueur n allant de a à b ?
On suppose cette condition remplie, exprimer alors le nombre de ces chemins.
N
2. Soient (a, b) ∈ ( ∗ )2 . Justifier qu’il y a autant de chemins de longueur n allant de a à b qui
passe par 0 que de chemins de longueur n allant de −a à b.
Soit (X n )n∈N∗ une suite de variables indépendantes et identiquement distribuées selon la loi
d’une variable X prenant ses valeurs dans {−1, 1} avec P(X = 1) = p (avec p ∈]0, 1[). Pour tout
N
n ∈ ∗ , on pose S n = X 1 + · · · + X n .
3. Soient n ∈ N∗ et b ∈ Z. Exprimer P(S n = b) et vérifier que :
|b|
P(S 1 S 2 . . . S n 6= 0, S n = b) = P(S n = b)
n
4. En déduire :
P(S 1 S 2 . . . S n 6= 0) =
1
n
E
(|S n |)

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BÉGYN Arnaud

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Table des matières

1 Logique - Théorie des ensembles 5

2 Arithmétique, dénombrement et manipulation des symboles Σ et Π 47

4 Généralités sur les fonctions numériques 109

5 Dérivées, primitives et équations différentielles 141

6 Suites réelles et complexes 157

7 Calcul matriciel et systèmes linéaires 185

8 Compléments sur les suites 221

9 Limites et comparaison des fonctions numériques 237

10 Continuité des fonctions numériques 277

12 Dérivabilité des fonctions numériques 323

13 Introduction aux espaces vectoriels 349

14 Espaces probabilisés finis 377

15 Espaces vectoriels de dimension finie 401

16 Intégration sur un segment 413

17 Applications linéaires 435

18 Variables aléatoires discrètes finies 457

19 Compléments sur les matrices 477

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20 Séries numériques 507

21 Produits scalaires et espaces euclidiens 529

22 Couples de variables aléatoires 551

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Minuscule Majuscule Nom Minuscule Majuscule Nom

On utilisera aussi les abréviations suivantes :

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Exemple : « La fonction f est croissante sur l’intervalle I . »

Soient A et B deux prédicats. On définit les opérations suivantes.

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Proposition 1 – Lois de Morgan

2.2 Implication et équivalence

En français, on traduit le prédicat A =⇒ B par :

Proposition 2 – Raisonnement par contraposée

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 Exemple. Soit n un entier naturel. En raisonnant par contraposée, montrer que :

Proposition 3 – Négation d’une implication

B Pour une implication ne pas confondre sa réciproque, sa contraposée et son contraire

 Exemple. Donner la réciproque, la contraposée et le contraire de l’implication

• Équivalence : Le prédicat A ⇐⇒ B est défini par :

En français, on traduit la proposition A ⇐⇒ B par :

⋆ A est vrai si et seulement si = (ssi) B est vrai ;

On dit aussi que B est une condition nécessaire et suffisante pour A.

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Proposition 4 – Double implication

Rédaction. Pour montrer que A ⇐⇒ B, on procède par double implication.

2.3 Autres types de raisonnement

 Exemple. Résoudre l’équation x 2 + x + 1 = 0 par analyse-synthèse.

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2.4 Raisonnements par récurrence

 Exemple. P (n) = « 6 divise n » ou P (n) = « 3 divise 2n ».

Ce raisonnement se décline sous plusieurs formes.

Théorème 5 – Récurrence simple

Initialisation. P (n 0 ) est vrai. ³ ´

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Théorème 6 – Récurrence à deux pas

Initialisation à deux pas. P (n 0 ) et P (n 0 + 1) sont vrais.

 Exemple. On pose F0 = F1 = 1 et pour n entier naturel, Fn+2 = Fn +Fn+1 (suite de Fibonacci).

Exemple. Soit n un entier naturel. En raisonnant par contraposée, montrer que :

Exemple. Donner la réciproque, la contraposée et le contraire de l’implication

Exemple. Résoudre l’équation x 2 + x + 1 = 0 par analyse-synthèse.

Exemple. P (n) = « 6 divise n » ou P (n) = « 3 divise 2n ».

Exemple. On pose F0 = F1 = 1 et pour n entier naturel, Fn+2 = Fn +Fn+1 (suite de Fibonacci).

Exemple. Dans R, si F = Z et E = R+ = [0, +∞[, alors F 6⊆ E et E 6⊆ F .

Exemple. Montrer que N ⊆] − 1, +∞[.

Exemple. Ecrire le prédicat E 6= F avec des quantificateurs.

Exemple. Si E est vide

Exemple. Soient A et B parties de E . Montrer que A ∩ B = ; ⇐⇒ A ⊆ B.

Exemple. R3 = R × R × R = ©(x, y, z); x ∈ R, y ∈ R et z ∈ Rª.

Exemple. Pour I = {1, 2, . . ., n}, (xi )i ∈I = (x1 , . . . , xn ) est un n-uplet d’éléments de E .