E.S.I.

1CPI.
Module : Algèbre I.

Structures Algébriques

1 Loi de composition interne

Définition 1.1. Soit E un ensemble.
1. On appelle loi de composition interne (ou opération interne) sur E, une application de
E × E dans E. Si > désigne cette application, alors l’image du couple (x, y) ∈ E × E
par > s’écrit x>y.
2. On appelle ensemble structuré (ou magma) tout couple (E, >) où E est un ensemble
et > une loi de composition interne sur E.

Remarque : La loi de composition interne peut être notée par ∗, +, ∆, Ω, ·, ou autres

symboles.

Exemples : Les lois de composition internes les plus courantes sont :

”+” addition et ”·” multiplication sont des lois de composition internes sur N, Z, Q, R, C.
” ◦ ” composition des applications de E dans E (E un ensemble).
” ∩ ” intersection et ” ∪ ” réunion dans P(Ω), où P(Ω) est l’ensemble des parties de
l’ensemble Ω.

Définition 1.2. Soit E un ensemble et A un sous-ensemble de E. On dit qu’une loi

de composition interne ” ∗ ” sur E est stable dans A si :

∀x ∈ A, ∀y ∈ A : x ∗ y ∈ A.

Exemples :
” + ” addition, ” · ” multiplication dans R sont des lois de composition stables dans Q.
” ÷ ” division est une loi de composition interne sur R∗ qui n’est pas stable dans Z∗ .
On a 3 ÷ 2 6∈ Z∗ .

Définition 1.3. Soit (E, >) un ensemble structuré.

1. La loi > est dite associative si :

∀x, y, z ∈ E : (x>y)>z = x>(y>z).

2. La loi > est dite commutative si :

∀x, y ∈ E : x>y = y>x.

1
Exemples :
1. L’addition ” + ” et la multiplication ” · ” sont associatives et commutatives dans
N, Z, Q, R, C.
x+y
2. La loi définie sur Q par x>y = n’est pas associative car :
2
 
1 −1
(−1)>0 >1 = et (−1)>(0>1) = .
4 4
Elle est en revanche commutative.
3. Soit E un ensemble. La loi ◦ est associative dans l’ensemble des applications de E
dans E, noté A(E, E). Par contre, elle n’est pas commutative.
Définition 1.4. Soit (E, >) un ensemble structuré.
1. Un élément e ∈ E est dit neutre pour la loi > si pour tout x ∈ E :

e>x = x et x>e = x.

2. Si (E, >) possède un élément neutre e, alors un élément x de E est dit symétrisable
s’il existe un élément x0 ∈ E tel que :

x>x0 = e et x0 >x = e.

L’élément x0 est alors appelé élément symétrique de x pour la loi >.

Exemples :
1. Soit E un ensemble. L’ensemble structuré (P(E), ∪) admet pour élément neutre l’en-
semble ∅ puisque :
∀A ∈ P(E) : ∅ ∪ A = A ∪ ∅ = A.
L’ensemble structuré (P(E), ∩) admet pour élément neutre l’ensemble E puisque :

∀A ∈ P(E) : E ∩ A = A ∩ E = A.


2. Soit E un ensemble non vide. L’ensemble structuré A(E, E), ◦ admet pour élément
neutre l’application identité IdE puisque :

∀f ∈ A(E, E) : IdE ◦ f = f ◦ IdE = f.

Pour qu’une application f de E dans E soit symétrisable pour la loi ◦ il faut qu’il
existe une application g : E −→ E vérifiant :

f ◦ g = IdE et g ◦ f = IdE .

Proposition 1.1. Soit (E, >) un ensemble structuré. Si l’élément neutre de E pour la loi
> existe, alors il est unique.
Proposition 1.2. Soit (E, >) un ensemble structuré pour lequel la loi > est associative
et admet un élément neutre.
1. Si x ∈ E est symétrisable, alors son symétrique est unique.
2. Si x ∈ E et y ∈ E sont symétrisables alors x>y est symétrisable et son symétrique
(x>y)0 est donné par :
(x>y)0 = y 0 >x0
où x0 désigne l’élément symétrique de x et y 0 désigne l’élément symétrique de y.

2
2 Groupe
2.1 Structure de groupe
Définition 2.1. Soit G un ensemble et > une loi de composition dans G. On dit que le
couple (G, >) est un groupe (c’est-à-dire que > définit une structure de groupe sur G) si :
1. G 6= ∅.
2. > est une loi de composition interne dans G :

∀x, y ∈ G : x>y ∈ G.

3. La loi > est associative :

∀(x, y, z) ∈ G3 : (x>y)>z = x>(y>z).

4. Il existe un élément neutre e dans G relativement à > :

∃e ∈ G, ∀x ∈ G : e>x = x>e = x.

5. Tout élément x de G admet un élément symétrique x0 dans G relativement à > :

∀x ∈ G, ∃x0 ∈ G : x>x0 = x0 >x = e.

Remarque : Si la loi > est commutative, on dit que (G, >) est un groupe commutatif
(ou abélien).

Exemples :
1. L’ensemble G = {1, −1} muni de la loi ” · ” (multiplication dans R) est un groupe. 1
est l’élément neutre.
2. (R, +) et (R∗ , ·) sont des groupes abéliens, mais (R, ·) n’est pas un groupe car 0 n’a
pas de symétrique.
3. (Z, +) est un groupe abélien, mais (Z∗ , ·) n’est pas un groupe car, par exemple, 2 n’a
pas de symétrique.
Remarques :
1. Dans un groupe (G, +) où la loi ” + ” est une loi additive, on dit que (G, +) est
un groupe additif. L’élément neutre est noté 0 ou 0G . Le symétrique d’un élément
x ∈ G est appelé opposé de x et est noté −x. De plus, pour tout x ∈ G, l’élément
y = x + x + . . . + x est noté y = nx où n est le nombre de x dans l’addition.
2. Dans un groupe (G, ·) où la loi ” · ” est une loi multiplicative, on dit que (G, ·) est un
groupe multiplicatif. L’élément neutre est noté 1 ou 1G . Le symétrique d’un élément
x ∈ G est appelé inverse de x et est noté x−1 (ou x1 ). De plus, pour tout x ∈ G,
l’élément y = x·x·. . .·x est noté y = xn où n est le nombre de x dans la multiplication.
3. Par abus de langage, on dit souvent «le groupe G» au lieu de «le groupe (G, >)»
lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté sur la loi >.

2.2 Sous-groupe
Définition 2.2. Soit (G, >) un groupe et soit H une partie de G. On dit que H est un
sous-groupe de G, si (H, >) est un groupe.

Proposition 2.1. Soient (G, >) un groupe, e son élément neutre et H une partie de
G, alors les propositions suivantes sont équivalentes :

3
1. H est un sous-groupe de G.
2. (a) H 6= ∅.
(b) ∀(x, y) ∈ H × H : x>y ∈ H (> stable dans H).
(c) ∀x ∈ H : x0 ∈ H (x0 symétrique de x dans G pour >).
3. (i) H 6= ∅.
(j) ∀(x, y) ∈ H × H : x>y 0 ∈ H (y 0 symétrique de y).

Remarque : Dans la proposition précédente on peut remplacer la condition H 6= ∅ par

e ∈ H, où e est l’élément neutre de G.

Exemples :
1. (Q, +) est un sous-groupe de (R, +) ; (Q∗ , ·) est un sous-groupe de (R∗ , ·).
2. Pour tout n ∈ N, on pose nZ = {nz, z ∈ Z} l’ensemble des multiples de n. Alors
(nZ, +) est un sous-groupe de (Z, +).

2.3 Morphismes de groupes

Définition 2.3. Soient (G, >) et (H, ∆) deux groupes et f : G −→ H une application.
On dit que f un morphisme (ou homomorphisme) de groupes si :

∀x1 , x2 ∈ G : f (x1 >x2 ) = f (x1 )∆f (x2 ).

1. Si f est un morphisme de groupes et f bijectif, on dit que f est un isomorphisme de

groupes.
2. Si f est un morphisme de groupes et G = H, on dit que f est un endomorphisme de
groupes.
3. Si f est un endomorphisme de groupes et f bijectif, on dit que f est un automorphisme
de groupes.

Exemples : Soit (G, ·) un groupe abélien.

1. L’application f : G −→ G définie par f (x) = x · x est un endomorphisme de G.
2. L’application g : G −→ G définie par g(x) = a · x · a−1 , où a est un élément fixé dans G
et a−1 l’inverse de A dans G, est un automorphisme de G (Pour g la condition abélien
n’est pas nécessaire).

Proposition 2.2. Soient G, H, K des groupes, f un homomorphisme de G dans H et g un

homomorphisme de H dans K. Alors le composé g◦f est un homomorphisme de G dans K.

Noyau et Image d’un morphisme

Définition 2.4. Soient (G, >) et (H, ∆) deux groupes et f : G −→ H un morphisme.
1. On appelle noyau de f , l’ensemble noté ker f , et définie par :

ker f = {x ∈ G|f (x) = eH }.

2. On appelle image de f , l’ensemble noté Imf , et définie par :

Imf = f (G) = {f (x)|x ∈ G}.

4
Exemple : On pose G = R × R = R2 . On définit une loi de composition notée ” + ” sur
R2 par :

∀(x1 , y1 ) ∈ R2 , ∀(x2 , y2 ) ∈ R2 : (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ).

(R2 , +) est un groupe. On définit une application f : R2 −→ R par f (x, y) = 3x + 2y.

f ainsi définie est un morphisme de groupes. ker f = {(x, y) ∈ R2 |f (x, y) = 0}.
f (x, y) = 0 ⇐⇒ 3x + 2y = 0 ⇐⇒ y = − 23 x. D’où ker f = {(x, − 23 x)|x ∈ R}.
Im f = R car f est surjective. En effet, ∀x ∈ R : x = f ( 31 x, 0).

Théorème 2.1. Soient (G, >), (H, ∆) deux groupes et f : G −→ H un morphisme

de groupes.
1. eG ∈ ker f (eG élément neutre dans G).

0
0
2. f (x) = f (x0 ) (x0 symétrique de x et f (x) symétrique de f (x)).
3. f injectif ⇐⇒ ker f = {eG }.

Théorème 2.2. Soient (G, >), (H, ∆) deux groupes et f : G −→ H un morphisme de

groupes. Le noyau de f et l’image de f sont, respectivement, des sous-groupes de G, H.

3 Anneau et corps
3.1 Anneau
Définition 3.1. Soient A un ensemble non vide et ∗, ∆ deux loi de composition internes
sur A. On dit que ∆ est distributive par rapport à ∗ si :

∀(x, y, z) ∈ A3 : [(x ∗ y)∆z] = (x∆z) ∗ (y∆z)] et [z∆(x ∗ y) = (z∆x) ∗ (z∆y)].

Définition 3.2. Soient A un ensemble non vide et ∗, ∆ deux loi de composition internes
sur A. On dit que le triplet (A, ∗, ∆) est un anneau (c’est-à-dire que ∗, ∆ définissent une
structure d’anneau sur A) si :
1. (A, ∗) est un groupe abélien.
2. ∆ est associative dans A.
3. ∆ est distributive par rapport à ∗.

Remarques :
1. Si ∆ est commutative, on dit que (A, ∗, ∆) est un anneau commutatif.
2. Si ∆ admet un élément neutre dans A, on dit que (A, ∗, ∆) est un anneau unitaire,
dans ce cas, l’élément neutre de ∆ est appelé unité.
3. Dans un anneau (A, ∗, ∆), l’élément neutre e de la loi ∗ est un élément absorbant pour
∆, c’est-à-dire :
∀x ∈ A : e∆x = x∆e = e.
4. Par abus de langage, on dit souvent «l’anneau A» au lieu de «l’anneau (A, ∗, ∆)»
lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté sur les lois ∗, ∆.

Exemple : Les ensembles Z, Q, R, C munis des lois + et · sont des anneaux commutatifs
et unitaires. 0 est l’élément neutre et 1 est l’élément unité.

5
3.2 Sous-anneau
Définition 3.3. Soient (A, ∗, ∆) un anneau et B une partie de A. On dit que B est un
sous-anneau de A si B 6= ∅ et (B, ∗, ∆) est un anneau.

Proposition 3.1. Soient (A, ∗, ∆) un anneau et B une partie de A, alors B est un

sous-anneau de A si, et seulement si :
1. (B, ∗) est un sous-groupe de (A, ∗).
2. ∀(x, y) ∈ B × B : x∆y ∈ B (∆ interne dans B).
Remarque : En général, dans un anneau (A, ∗, ∆), la loi ∗ est notée + et on l’appelle
l’addition de A. Le symétrique d’un élément x de A pour + est notée −x et on dit l’opposé
de x. L’élément neutre de A est noté 0A (ou 0 s’il n’y a aucun risque de confusion). La loi
∆ est notée · et on l’appelle la multiplication de A. Le symétrique d’un élément x de A
pour ·, s’il existe, est noté x−1 et on dit l’inverse de x. Si A est unitaire, l’unité est notée
1A (ou 1 s’il n’y a aucun risque de confusion).

3.3 Règles de calcul dans un anneau

Proposition 3.2. Soit (A, +, ·) un anneau unitaire.
1. ∀x ∈ A 0A · x = 0A et x · 0A = 0A . (0A est dit absorbant pour · )
2. ∀(x, y) ∈ A2 (−x) · y = −(x · y) = x · (−y).
3. ∀x ∈ A (−1A ) · x = −x.
4. ∀(x, y) ∈ A2 (−x) · (−y) = x · y.
5. ∀(x, y, z) ∈ A3 x · (y − z) = (x · y) − (x · z) et (y − z) · x = (y · x) − (z · x).

Notations et conventions
Soit (A, +, ·) un anneau non nécessairement commutatif. Pour tout entier naturel n non
nul et pour tout élément x ∈ A, on nx (respectivement xn ) l’élément de A qui est égal à
la somme des n termes égaux à x (resp. au produit des n termes égaux à x) :
not. not.
nx = x
| +x+
{z. . . + x} et xn = |x · x {z
· . . . · x} .
n termes n termes

En particulier, en prenant n = 1, on a :

∀x ∈ A : (1x = x et x1 = x).

On convient que :
∀x ∈ A : (0x = 0A et x0 = 1A ).
Remarque : Tout élément d’un anneau admet un opposé. Ainsi, pour tout x ∈ A et pour
tout entier n négatif, on note nx l’élément de A qui est égal à la somme de −n termes
égaux à l’opposé de x :
not.
nx = (−n)(−x) = (−x) + (−x) + . . . + (−x) .
| {z }
−n termes

D’après la définition d’un anneau, un élément de A n’admet pas nécessairement d’inverse.

Toutefois, si un élément x de A est inversible, alors, pour tout entier n négatif, on note
xn l’élément de A qui est égal au produit de −n termes égaux à l’inverse de x :
not.
xn = (x−1 )−n = |x−1 · x−1{z· . . . · x−1} .
−n termes

6
Propriétés
Soit (A, +, ·) un anneau unitaire non nécessairement commutatif. Il est aisé de montrer
les propriétés suivantes :
- ∀x ∈ A, ∀(n, m) ∈ Z2 : (n + m)x = nx + mx,
- ∀x ∈ A, ∀(n, m) ∈ Z2 : n(mx) = (nm)x,
- ∀x ∈ A, ∀(n, m) ∈ N2 : xn · xm = xn+m ,
- ∀x ∈ A, ∀(n, m) ∈ N2 : (xn )m = xnm .
En particulier, si l’élément x est inversible, alors les deux dernières propriétés sont vraies
pour tout (n, m) ∈ Z2 .

Attention : Si x et y désignent deux éléments quelconques d’un anneau non commu-

tatif, alors, a priori, (x · y)2 et x2 · y 2 ne sont pas égaux. En effet, la multiplication n’étant
pas commutative,

(x · y)2 = (x · y) · (x · y) 6= (x · x) · (y · y) = x2 · y 2 ,

et plus généralement, pour tout entier n ≥ 2, (x·y)n 6= xn ·y n . Bien évidement, si x·y = y·x,
alors (x · y)n = xn · y n pour tout n ∈ N.
De même, on montre sans difficulté les propriétés suivantes :
- ∀n ∈ Z, ∀x ∈ A : n(−x) = (−n)x = −(nx),
- ∀n ∈ Z, ∀(x, y) ∈ A2 : n(x + y) = nx + ny = et n(x − y) = nx − ny,
- ∀n ∈ Z, ∀(x, y) ∈ A2 : n(x · y) = (nx) · y = x · (ny),
- ∀n ∈ Z, ∀x ∈ A : nx = (n1A ) · x = x · (n1A ).

Définition 3.4. Soit (A, +, ·) un anneau. Un élément a de A est dit nilpotent si :

∃n ∈ N∗ : an = 0A .

Formule du Binôme de Newton dans un anneau

Pour tout entier n ∈ N et pour tout entier p compris entre 0 et n, on définit l’entier Cnp
appelé coefficient binomial, de la manière suivante :
n!
Cnp :=
p!(n − p)!
où on rappelle qu’il est convenu que
0! = 1.

Proposition 3.3. Le coefficient binomial vérifie les propriétés suivantes :

1. Pour tout n ∈ N :
Cn0 = 1, Cnn = n, Cn1 = n.
2. Pour tout n ∈ N et pour tout p ∈ {0, 1, . . . , n} :

Cnn−p = Cnp .

3. Pour tout n ∈ N et pour tout p ∈ {0, 1, . . . , n} :

p
Cnp−1 + Cnp = Cn+1 .

Cette dernière formule est appelée formule du triangle de Pascal.

7
Proposition 3.4. (Formule du Binôme de Newton) Soient (A, +, ·) un anneau, a et
b deux éléments de A qui commutent pour la loi · (c’est-à-dire tels que a · b = b · a) et n
un entier naturel. Alors :
n
X n
X
n
(a + b) = Cnp (ap ·b n−p
)= Cnp (an−p · bp )
p=0 p=0

où Cnp est le coefficient binomial.

3.4 Morphisme d’anneaux

Définition 3.5. Soient (A, +, ·), (B, +, ·) deux anneau et f : A −→ B une application.
On dit que f est un morphisme d’anneaux si, et seulement si :

f (x + y) = f (x) + f (y)
∀(x, y) ∈ A × A :
f (x · y) = f (x) · f (y)

Remarque : Puisque les anneaux A, B sont des groupes, alors un morphisme d’anneaux
est un morphisme de groupes. Tous les résultats sur les morphismes de groupes sont va-
lables pour les morphismes d’anneaux.

Définition 3.6. Soit (A, +, ·) un anneau. On dit que A est intègre si, et seulement si :

∀(x, y) ∈ A × A : x · y = 0 ⇐⇒ x = 0 ou y = 0.

Exemples :
1. (Z, +, ·) est un anneau intègre.
2. (Z/6Z, +, ·), où Z/6Z est l’ensemble quotient donné par Z/6Z = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. x +
y = x + y (ex : 1 + 3 = 4).
x · y = x · y (ex : 2 · 5 = 2 · 5 = 10 = 4).
(Z/6Z, +, ·) n’est pas intègre car 2 · 3 = 2 · 3 = 6 = 0.

3.5 Corps
Définition 2.7. Soit (A, +, ·) un anneau. On dit que A est un corps si, et seulement si :
1. A est un anneau unitaire. (l’unité de A est notée par 1).
2. ∀x ∈ A, x =6 0, x admet un inverse dans A. (l’inverse de x est noté x−1 , c’est le
symétrique de x pour ·).

Exercice : Montrer que si A est un corps, alors A est un anneau intègre.

3.6 Sous-Corps
Définition 3.8. Soit K un corps et soit A une partie non vide de K. On dit que A est
un sous-corps de K si, et seulement si :
1. A est un sous-anneau de K.
2. 1 ∈ A (1 l’unité de K).
3. ∀x ∈ A, x 6= 0, x−1 ∈ A.

Remarque : Un morphisme de corps est un morphisme d’anneaux.