CC 09 Correction

Licence Sciences 3
me
anne MI

Correction Contrle Continu : Analyse statistique

Auteur : Nazha SELMAOUI
Dure: 2h00
Les documents sont autoriss.
le 14 mai 2009

Exercice 1 :

Un chercheur a mesur l'intensit du stress de 6 sujets, chacun mis dans trois conditions
(A,B,C).

A B C
1 0 0
1 3 0
1 4 2
1 0 0
1 6 0
1 5 4
On voudrait tester l'effet des conditions sur l'intensit du stress.
1. De quel type d'analyse parle-t-on? On est dans le cas dune analyse de la variance 1
facteur qui est le facteur conditions p=3 niveaux.

2. Pour les formules statistiques voir le cours. Pour les valeurs voici le tbleu statistique :
On a besoin de calculer la moyenne pour chaque niveau sachant que n
i
=6 (pour
i=1,..,3) et 18 = =

i
i
n n . 1 ; 3 ; 1
3 . 2 2 . 2 1 . 1
= = = = = = X x X x X x . La moyenne totale
6667 , 1
..
= = X x .
La varince totale 62 ) ( ) ( ) (
1
2
.
1
2
.. .
1 1
2
..
= + = =

= = = = =
4 4 3 4 4 2 1
4 43 4 42 1
SSE
p
i
n
j
i ij
SSM
p
i
i
p
i
n
j
ij
i i
x x x x x x SST
La variance interclasse SSM=16 ; SSE=46 ; do le tableau est :
SS DF MS F p-value
varaince interclasse SSM p-1 MSM=SSM/(p-1) MSM/MSE P(F<f)
vraiance intraclasse SSE n-p MSE=SSE/(n-p)
variance totale SST n-1

O f est le quartile suivant une loi de Fisher (p-1,n-p) degr de libert.
3. Et tester la nullit de l'hypothse "pas d'effet des conditions" au seuil =5% ?

Ce qui donne :

SS DF MS F p-value
varaince interclasse 16 2 8 2,608695652 0,1066
vraiance intraclasse 46 15 3,066666667
variance totale 62 17
Au niveau confiance =5%, le quartile f lu sur la table de Fisher F(2,15) est f=3,68. F<f donc
on accepte H0, dailleurs on peut laccepter jusqu 10% qui est la p-value. Il n y a pas deffet
des conditions sur le stress des patients.

Exercice 2:

On donne les couples (t
i
,x
i
) :

t
i
0 1 2 3 4 5 6 8 9 10
x
i
2.5 3 3 4.5 4 5 7 6.5 6 7.5
On suppose qu'il existe une rgression affine de X en t.
1. Ecrire le modle correspondant. Estimer les coefficients a et b de ( | | a b
t
= ) ainsi que
la variance
2
.
On crit
i i i
at b x + + = , pour tout i=1,,n ; (o n=10 ). Matriciellement on a
+ = + + = M aT b X ; o X=(x
i
), T=(t
i
) et =(
i
) avec
i
une v.a. gussienne de
moyenne 0 et de varince
2
.
Do
|
|
|
.
|
\
|
=
n
t
t
M
1
... ...
1
1
. On a M MM MX MM
t t t t 1 1
) ( ) (

+ = et donc lestimateur
MX MM
t t 1
) (

= . On a
|
|
|
.
|
\
|
=

i i
i
i
i
t
ii
t t
t n
MM
2
;
|
|
|
.
|
\
|
=
i
i i
i
i
t
x t
x
MX ; avec les calculs on a
|
|
.
|
\
|
=
336 48
48 10
MM
t
; son inverse
|
|
.
|
\
|
0095 , 0 0455 , 0
0455 . 0 3182 , 0
) (
1
MM
t
ce qui donne comme
estimateur
|
|
.
|
\
|
=
4858 , 0
5682 , 2

2. Donner leurs intervalles de confiance au seuil de 5%. Reprsenter graphiquement les
rsultats obtenus (le nuage de points et la droite de rgression).
D'aprs les cours les intervalles de confiance sont :
497 . 0 ) 2 n /( ) ) t a b
X ( ( ) 2 n /( X X
n
1 i
2
i i
2
E
2
= = =

=

pour b | |

+
, 2 n
11
1 t
, 2 n
11
1 t
t . . ) MM ( b
, t . . ) MM ( b

pour a | |

+
, 2 n
22
1 t
, 2 n
22
1 t
t . . ) MM ( a , t . . ) MM ( a
les intervalles de confiance : | | 64 . 0 , 32 . 0 ) a ( I
05 , 0
= et | | 48 . 3 , 65 . 1 ) b ( I
05 , 0
=

y = 0,4858x + 2,5682
R
2
= 0,8623
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 2 4 6 8 10 12

3. Calculer le coefficient de corrlation R
2
et au seuil 5% tester l'hypothse nulle H0.
- le calcul de R
2
et du test de H0:"a=0" donnent :
2
n
2
n
2
H
2
H E
2
1 X X
1 X M
X X
X X
R
= o le vecteur 1
n
est un vecteur de IR
n
avec que des
1 et X n'est autre que la moyenne de X..
) 2 n ( *
M X
1 X M
) 2 n /( X X
X X
F
2
2
n
2
E
2
H E

=

=
R
2
Fisher p-value
0.8623 50.10 0.00000000103
La valeur de F 13 . 10 F
05 . 0 , 8 , 1
< = , donc on rejette clairement H0, i.e. qu'il y a bien une
rgression affine (H0:"a=0" rejete). Avec 928 . 0 8623 . 0 R = = qui donne la qualit de cette
rgression est proche de 1.

On vous donne les calculs suivants :
vous aurez besoin de 58 t
i
=
; 336 t
2
i
=
et de 49 x
i
=
; 5 . 286 x t
i i
=
.

Exercice 3 :

On mesure la distance de freinage y d'une automobile lance la vitesse x. Toutes les mesures
sont faites avec le mme vhicule et le mme pilote et sont supposes indpendantes. On
observe :
N de la mesure 1 2 3 4 5 6 7 8
x
i
en mm/s 5 10 15 20 25 30 35 40
y
i
en mm 3.42 5.96 31.14 41.76 74.54 94.92 133.78 169.16
On suppose que le freinage Y est une variable alatoire dpendante de X par l'quation
+ + + = c bX aX Y
2
.
Si on place les points de coordonnes (x
i
, y
i
) sur un graphique.

0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
0 10 20 30 40 50

Y le vecteur alatoire ayant pour ralisation (y
1
, ,y
8
) on pose
(
(
(
=
a
b
c
, X le vecteur
alatoire (x
1
,,x
8
) et + = M Y o est un vecteur gaussien de IR
8
de composantes
centres, indpendantes et de mme variance
2
.
a) Dterminer la matrice de ce modle linaire.
|
|
|
|
|
|
.
|
\
|
=
2
n n
2
1 1
x x 1
... ... ...
x x 1
M
b) Calculer l'estimateur
de .
|
|
|
.
|
\
|
= =

09241 . 0
65919 . 0
4079 . 4
MY ) MM (
t 1 t

c) Calculer une estimation de
2
. 74 . 22
) 1 p ( n
X X
2
E
2
=
+
= o p=2.

On vous donne les calculs suivants :
Pour MM
t
, vous aurez besoin de 180 x
i
=
; 5100 x
2
i
=
; 162000 x
3
i
=
;
5482500 x
4
i
=

Pour MY
t
, vous aurez besoin de 68 . 554 y
i
=
; 17539 y x
i i
=
;
5
i
2
i
10 x 909 . 5 y x =

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