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I-Dfinition et trac de la fonction :
I-1:dfinition de la fonction steequ(x) :
On va crire un programme dans MATLAB (fichier.m) qui dfini la fonction steequ(x), on crit :
%df i ni t i on de l a f onct i on st eequ( x) %
f unct i on y=st eequ( x, R)
y= ( x. *( exp( x^2) ) . *er f ( x) ) - 1/ ( sqr t ( pi ) . *( 1- R) ) ;
I-2:Trac de la fonction steequ(x) :
On va tracer la fonction pour des dfrentes valeurs de R dans le mme graphe, il faut
dfinir pour chaque valeur de Ri une fonction yi (c.--d.) yi=steequ(x, Ri).
Pour reprsenter les fonctions y dans le mme graphe on utilise la commande (hold on), on
crit :
>>x=-0.5:0.01:2;
>>y1=steequ(x, 1.1);
>>y2=steequ(x, 1.5);
>>y3=steequ(x, 2);
>>y4=steequ(x, 3);
>>plot(x, y1, x, y2, x, y3, x, y4);
>>grid on
Finalement on obtient cette figure :

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Conclusion :
Cette reprsentation graphique montre que pour chaque valeur de R la fonction (steequ)
passe par un zro.
I-3 calculs des valeurs limites (xmin, xmax) :
Hamill et Bankoff montre que pour une valeur de R donner la valeur exacte de x est compris
entre xmin et xmax telle que :
x
min=
_
1
2R

et x
mox
=_
1
2(R-1)

On peut crire un programme qui nous permet de calcul les valeurs limites et les valeurs
correspondants a la fonction steequ :
%cal cul des val eur s l i mi t e%
R=i nput ( ' donner l a val eur de R=' ) ;
Xmi n=sqr t ( 1. / ( 2. *R) ) ;
Xmax=sqr t ( 1. / ( 2. *( R- 1) ) ) ;
st eequ ( xmi n, R) ;
st eequ ( xmax, R) ;
{' xmi n' , ' xmax' , ' st eequ( xmi n) ' , ' st eequ( xmax) ' ; [ xmi n] , [ xmax] , [ st eeq
u( xmi n, R) ] , [ st eequ( xmax, R) ] }

Pour toutes les valeurs de R listes dans ce tableau on obtient :
R xmin steequ(xmin) xmax steequ(xmax)
1.1 0.6742 -4.94.12 2.2361 325.7005
1.2 0.6455 -2.1956 1.5811 15.9530
1.5 0.5774 -0.6564 1 1.1623
2 0.5000 -0.2300 0.7071 0.2317
5 0.3162 -0.0204 0.3536 0.0124
10 0.2236 -0.0043 0.2357 0.0024
100 0.0707 -3.8145e-005 0.0711 1.9227e-005

Les limites proposes par Hamill et Bankoff permettent de dfinir lintervalle [xmin, xmax ]
contenant le zro de lquation (steequ) parce que pour toute les valeurs de R on a que :
steequ(xmin) steequ(xmax) <0
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I-Mthode de dichotomie :
1-Lerreur de la mthode de dichotomie :
On a dfini prcdemment lintervalle qui constitue le zro de la fonction steequ ,ceci constitue la
premire tape pour appliquer la mthode de dichotomie .La deuxime tape consiste dfinir la
tolrance avec laquelle nous dsirons obtenir le zro .
Lerreur de la mthode de dichotomie est dfini par :
c
N
(R) E
N
(R) =
|ob|
2
N+1
avec: N cest le nombre ditrations
Pour notre cas a que :

a =

x
mn=
_
1
2R

et b=x
mux
=_
1
2(R-1)

E
N
(R) =
_
1
2(R-1)
-_
1
2R

2
N+1
E
N
(R) =
_
R
(R-1)
-1
R 2
N+
3
2

Finalement on obtient : E
N
(R) =
_
1
(1-(
1
R
, ))
-1
R 2
N+
3
2

2- Le script de la mthode de dichotomie :
On va crire le script de la mthode de dichotomie on prenant comme des argument dentre
lerreur et la solubilit relative R. Les arguments de sortie le nombre maximum ditration, la
valeur de la fonction on ce point.
f or mat l ong
e=i nput ( ' donner l a val eur de l er r eur e=' ) ;
R=i nput ( ' donner l a val eur de R=' ) ;
xmi n=sqr t ( 1. / ( 2. *R) ) ;
xmax=sqr t ( 1. / ( 2. *( R- 1) ) ) ;
k=l og2( abs( xmi n- xmax) / e) - 1;
n=ui nt 8( k) ;
{' xmi n' , ' xmax' , ' f ( x1) ' , ' f ( x2) ' ; [ xmi n] , [ xmax] , [ st eequ( xmi n, R) ] , [ st ee
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qu( xmax, R) ] }
i =0;
f or i =0: n
i =i +1;
x0=( xmax+xmi n) / 2;
i f st eequ( x0, R) *st eequ( xmi n, R) <0
xmax=x0;
el se
xmi n=x0;
end
di sp( [ i , x0, st eequ( x0, R) ] ) ;
end
end
x0
di sp( ' l e nombr e d i t r at i ons ncessai r e est N=' )

i - 1

Pour toutes les valeurs de R listes dans ce tableau et pour une erreur e=0.0001 on obtient :
R x
cxu
x
dch
N |x
cxu
x
dch
|
|x
mn
x
mux
|
2
N+1

1.001 2.342068 2.341965 15 1.029 10
-4
3.3 10
-4

1.01 1.850946 1.851055 14 1.08 10
-4
1.94 10
-4

1.5 0.800601 0.800438 10 1.63 10
-4
2.063 10
-4
2 0.620063 0.619935 9 1.28 10
-4
2.02 10
-4

5 0.340082 0.339847 6 2.349 10
-4
2.91 10
-4

10 0.231514 0.231544 4 3 10
-5
3.77 10
-4

100 0.070948 0.0709778 1 2.979 10
-5
8.90 10
-5




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Conclusion :
Daprs le tableau on que lingalit suivantes |x
cxo
x
Jic
|
|x
min
x
mox
|
2
N+1
est toujours
vrifie.


II-Mthode de scante :
La mthode de la scante considre le point dintersection x
3
de la scante passant par les deux
points de coordonnes (x
n1
, f(x
n1
)) et (x
n
,f(x
n
)) avec laxe des abscisses (ox).
La mthode de la scante base sur le processus itratif suivant :
x
n+1
=x
n
-
x
n
-x
n-1
I(x
n
)-I(x
n-1
)
f (x
n
)
2- Le script de la mthode de la scante:
On va crire le script de la mthode de la dichotomie on prenant comme des arguments dentre
le nombre R, la tolrance et le nombre maximum ditrations.
Les arguments de sortie le nombre ditration ncessaire, la valeur de la racine a chaque
itration, la valeur de la fonction on ce point.



%mt hode de l a scant e%
f or mat l ong
R=i nput ( ' donner l e nombr e R=' ) ;
e=i nput ( ' donner l a t ol r ance e=' ) ;
x0=sqr t ( 1. / ( 2. *R) ) ;
x1=sqr t ( 1. / ( 2. *( R- 1) ) ) ;
N=i nput ( ' donner l e nombr e maxi mumde i t r at i ons est N=' ) ;
f or i =0: N
c=x1- st eequ( x1, R) *( x1- x0) / ( st eequ( x1, R) - st eequ( x0, R) ) ;
er r =abs( x0- x1)
x0=x1;
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x1=c;
i f er r <e , br eak, end
di sp( [ i , c] ) ;
end
di sp( ' l e nombr e ncessai r e d i t r at i on est ' )
n=i
i f er r >e
di sp( ' l e nombr e d i t r at i on donne n est pas suf f i sant pour
at t ei ndr e cet t e t ol r ance' )
end
Pour toutes les valeurs de R listes dans le tableau on prend la tolrance e=10
4
comme
la mthode de dichotomie pour comparer les deux mthodes.

R x
cxu
x
scc
N |x
cxu
x
scc
|
1.001 2.342068 Inf . Inf
1.01 1.850946 Inf . Inf
1.5 0.800601 0.800600 5 10
-6

2 0.620063 0.620062 4 10
-6

5 0.340082 0.340082 3 0.0000000
10 0.231514 0.231512 2 2 10
-6

100 0.070948 0.070947 2 10
-6

3- comparaison des deux mthodes (dichotomie avec la scante):
On remarque quavec la mme erreur la mthode de la scante converge vers le zro de la
fonction plus rapidement que la mthode de la dichotomie, et on remarque aussi que :
|x
cxo
x
scc
| <|x
cxo
x
Jic
| et que |stccqu(x
scc
)| <|stccqu( x
Jic
)| .
4-conclusion :
La mthode de la scante converge vers la solution rapidement que la mthode de
dichotomie.
Avec la mthode de dichotomie on est sre darriv au zro de la fonction, mais avec la
mthode de la scante des fois on tombe sur des singularits.

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