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E
(A) = x E [ x , A
A
E
E
(A)
Lensemble
E
(A) est reprsent par la partie hachure
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Dnition 1.5 :
Soit E un ensemble. On appelle ensemble des parties de E lensemble de tous les
sous-ensembles de E. On note cet ensemble P(E).
Corollaire 1.1 :
Soit E un ensemble, on a : A E A P(E)
Exemple :
Pour tout ensemble E, on a
P(E) et E P(E)
Si E = a, b, c alors P(E) =
, a, b, c, a, b, a, c, b, c, E
Si E =
alors P(
) =
et P(P(
)) =
Dnition 1.6 :
On appelle produit cartsien de deux ensembles E et F, donns dans cet ordre,
lensemble de tous les couples ordonns (x, y) o x E et y F. On le note E F
E F = (x, y) [ x E et y F
et on lit E croix F. Si E = F, E E se note aussi E
2
.
Gnralisation :
On appelle produit cartsien de n ensembles E
1
, E
2
, . . . , E
n
, donns dans cet ordre, lensemble
de tous les suites ordonns de n lments (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) o x
1
E
1
, x
2
E
2
, . . . , x
n
E
n
.
On le note E
1
E
2
E
n
Si E
1
= E
2
= = E
n
= E, alors E
1
E
2
E
n
se note aussi E
n
.
Une suite ordonns de n lments (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) sappelle n-uplet.
Exemple :
Soit n un entier naturel non nul. et E
1
= E
2
= = E
n
= R :
E
1
E
2
E
n
= R R R = R
n
.
Ainsi, R
n
est lensemble des n-uplet des rels. On a :
R
n
= (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) [ x
1
R, x
2
R, . . . , x
n
R
2. Relations binaires
Soient E et F deux ensembles.
Dnition 1.7 :
Une relation binaire R de E dans F est dnie par la donne dun sous-ensemble Gde
E F :
xRy (x, y) G.
G est appel le graphe de la relation R. Si xRy, on lit x en relation avec y .
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Dnition 1.8 :
On appelle relation binaire sur E une relation binaire de E dans E.
Dnition 1.9 :
Une relation binaire R dnie sur E est dite :
rexive si x E, xRx
symtrique si x, y E, xRy yRx
antisymtrique si x, y E, (xRy et yRx) = x = y
transitive si x, y, z E, xRy, yRz = xRz
Exemple :
Si E est lensemble des tudiants de lESTA. Posons : xRy si x et y sont deux tudiants de la
mme classe. On montre que la relation R est rexive, symtrique et transitive.
Soit E lensemble des humains. La relation tre plus petit que est antisymtrique.
Dnition 1.10 :
Une relation binaire R dnie sur E est dite :
relation dordre si elle est rexive, transitive et antisymtrique
relation dquivalence si elle est rexive, transitive et symtrique
relation de prordre si elle est rexive et transitive
relation dordre total si :
i) elle est une relation dordre ;
ii) pour tout couple (x, y) de E on a xRy ou yRx
Exemple :
Si E est lensemble des tudiants de lESTA. Posons : xRy si x et y sont deux tudiants de la
mme classe. Daprs lexemple prcdent, R est relation dquivalence.
Soit E lensemble des rels. La relation infrieur ou gal est une relation dordre.
3. Applications
Soient E et F deux ensembles.
Dnition 1.11 :
On appelle application f de E dans E une relation qui tout lment de E associe un
lment unique de F.
Si lapplication f associe llment de x de E llment y de F, on crit :
f : E F
x y = f(x)
y est appel limage de x et x lantcdent de y.
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E F
f
E F
f
Cette relation est une application Cette relation nest pas une application
Soient f une application de E dans F, A une partie de E, et B une partie de F.
Dnition 1.12 :
On appelle image de Apar f, le sous-ensemble de F dni par :
f(A) = y F [ x A : y = f(x)
On appelle image rciproque de B par f, le sous-ensemble de E dni par :
f
1
(B) = x E [ f(x) B
Si A = E, on note f(E) = Imf
E F
f
f(A)
A
E F
f
B
f
1
(B)
Cette relation est une application Cette relation nest pas une application
Exemple :
Soient E = F = R et f lapplication dnie par : f(x) = x
2
x E
Considrons les sous-ensembles :
B
1
=
_
y R [ 0 y 1
_
et B
2
=
_
y R [ 1 y < 0
_
on a :
f
1
(B
1
) =
_
x R [ 0 x
2
1
_
et f
1
(B
2
) =
_
x R [ 1 x
2
< 0
_
=
_
x R [ 1 x 1
_
=
.
Soient E, F et G trois ensembles, f une application de E dans F, et g une application de F
dans G.
Dnition 1.13 :
On appelle application compose de f et g lapplication h de E dans G dnie par :
h(x) = g(f(x)).
On note h = g f.
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Remarquons toutefois que dans le schma
E
f
F
g
G
x y z
f gure gauche et g droite. Les applications f, g et g f peuvent se reprsenter par le
schma suivant :
E F G
f
g
Exemple :
Soient E = R1, 1, F = R0, G = R et h lapplication de E dans F dnie par :
h(x) =
1
1 x
2
x E.
Dnissons les applications f et g par :
f : E F et g : F G
x
1 x
2
y
1
y
Lapplication h est obtenue en composant f et g : h = g f.
Soient E et F deux ensembles et f une application de E dans F.
Dnition 1.14 :
f est dite injective si tout lment de F est limage dun lment au plus de E.
E F
f
E F
f
Cette application est injective Cette application nest pas injective
Proposition 1.1 :
f est injective si et seulement si : (x, y) E E, f(x) = f(y) = x = y.
Exemple :
Soit f lapplication de R0 dans R dnie par : f(x) = 1/x
Cette application est injective, car 1/x = 1/y = x = y.
Soit f lapplication de R dans R dnie par : f(x) = x
2
Cette application est non injective, car il existe au moins deux lments (distincts) de R ayant
mme image par f. par exemple :
f(1) = f(1) = 1.
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Dnition 1.15 :
f est dite surjective si tout lment de F est limage dun lment au moins de E.
E F
f
E F
f
Cette application est surjectve Cette application nest pas surjective
Proposition 1.2 :
f est surjective si et seulement si : f(E) = F.
Exemple :
Lapplication f : R R dnie par f(x) = x
3
est surjective de R dans R.
Lapplication f : R R dnie par f(x) = x
2
nest pas surjective, car f(R) = R
+
,= R. Mais
en modiant lensemble darrive, on obtient une application surjective de R dans R
+
.
Dnition 1.16 :
f est dite bijective si elle est la fois injective et surjective.
E F
f
E F
f
Cette application est bijective Cette application nest pas bijective
Exemple :
Lapplication f de E dans E dnie par :
x E, f(x) = x
est bijective. f est appele lapplication identique de E, que lon note id
E
.
Soit f une application bijective de E dans F : pour tout y de F il existe un seul x de E tel
que y = f(x). En posant x = g(y), nous dnissons une application (elle aussi bijective) de
F dans E.
Dnition 1.17 :
g est apple lapplication rciproque de f et note f
1
.
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On peut crire :
(x, y) E F : y = f(x) x = f
1
(y)
On peut shmatiser cela dans le diagramme suivant :
E F
f
E F
f
1
Proposition 1.3 :
Soit f une application bijective de E dans F, alors :
f
1
f = id
E
et f f
1
= id
F
.
Exemple :
Soit f lapplication de R1 dans R2 dnie par :
f(x) =
2x + 5
x 1
f est bijective de R1 dans R2. En effet, soit y un rel quelconque de R2 et x le rel que
lon cherche dans R1, on a :
2x + 5
x 1
= y yx y = 2x + 5 yx 2x = y + 5 (y 2)x = y + 5 x =
y + 5
y 2
f
1
associe llment y llment x :
y x =
y + 5
y 2
de E tel que :
x x
= x
x = e.
Llment x
. On dit que x et x
sont symtrique lun de lautre. Si tout lment de E est symtrisable, la loi est dite
symtrisable.
Exemple :
3 et 5 sont symtrisables dans (Z, +), (Q, +) et (R, +), 3 tant symtrique de 3 et 5 symtrique
de 5, puisque :
3 + (3) = (3) + 3 = 0 et 5 + (5) = (5) + 5 = 0.
Mais 3 nest pas symtrisable dans (N, +).
Dnition 1.23 :
On appelle groupe le couple (E, ) form dun ensemble E et dune loi de composition
interne note vriant les proprits :
associative : (x, y, z) E
3
: (x y) z = x (y z).
elle admet un lment neutre : e E, x E : x e = e x = x.
tout lment est symtrisable : x E, x
E : x x
= x
x = e.
Si de plus la loi est commutative, le groupe est dit commutatif (on dit aussi ablien).
Notant E
, ), (R
. Soient , R
et u, v A B, alors u, v A et u, v B. Donc, comme A et B sont deux sous-espaces
vectoriels, u +v A et u +v B, par consquent u +v A B
Remarque : La runion de deux sous-espaces vectoriels peut ne pas tre un sous-espace
vectoriel. En effet, considrons dans R
2
les deux parties :
A = (x, 0) R
2
[ x R et B = (0, y) R
2
[ y R
On a (1, 0) A B et (0, 1) A B mais (1, 0) + (0, 1) / A B
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3. Systme gnrateur
Soit E un espace vectoriel et S = u
1
, u
2
, . . . , u
p
compos de p vecteurs de E.
Dnition 2.2 :
Soient u
1
, u
2
, . . . , u
p
des vecteurs de E. On appelle combinaison linaire de ces vec-
teurs, toute expression de la forme :
u =
1
u
1
+
2
u
2
+ +
p
u
p
o (
1
,
2
, . . . ,
p
) R
p
.
Proposition 2.4 :
Lensemble F des combinaisons linaires des p vecteurs u
1
, u
2
, . . . , u
p
de E, est un sous-
espace vectoriel de E. On note F =
u
1
, u
2
, . . . , u
p
_
Dmonstration. Soit F Lensemble des combinaisons linaires des vecteurs u
1
, u
2
, . . . , u
p
.
On a :
0u
1
+ 0u
2
+ + 0u
p
= 0 F (donc F ,=
).
Soient u et v deux lment de F tels que :
u =
1
u
1
+
2
u
2
+ +
p
u
p
v =
1
u
1
+
2
u
2
+ +
p
u
p
alors on a : u +v = (
1
+
1
)u
1
+ (
2
+
2
)u
2
+ + (
p
+
p
)u
p
F
u = (
1
)u
1
+ (
2
)u
2
+ + (
p
)u
p
F, R
donc F est un sous-espace vectoriel de E.
Dnition 2.3 :
Le sous-espace vectoriel F =
u
1
, u
2
, . . . , u
p
_
de E est appel sous-espace vectoriel
engendr par u
1
, u
2
, . . . , u
p
.
Exemple :
Soit F lensemble dni par :
F = (2x y +z, 3x + 2y z, z y, x) [ x, y et z R
Montrons que lensemble F est un sous-espace vectoriel de R
4
. En effet, on a :
(2x y +z, 3x + 2y z, z y, x) = x(2, 3, 0, 1) +y(1, 2, 1, 0) +z(1, 1, 1, 0)
En posant :
u
1
= (2, 3, 0, 1), u
2
= (1, 2, 1, 0), u
3
= (1, 1, 1, 0)
on trouve alors :
F =
_
xu
1
+yu
2
+zu
3
x, y et z R
_
Il en rsulte que F est le sous-espace vectoriel engendr par les vecteurs u
1
, u
2
et u
3
de R
4
.
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Proposition 2.5 :
Le sous-espace vectoriel F =
u
1
, u
2
, . . . , u
p
_
de E est le plus petit sous-espace vectoriel
de E contenant les vecteurs u
1
, u
2
, . . . , u
p
.
Dmonstration. Soit H un sous-espace vectoriel contenant les vecteurs u
1
, u
2
, . . . , u
p
. Mon-
trons que F H. Soit u F, donc il existe
1
,
2
, . . . ,
p
tel que
u =
1
u
1
+
2
u
2
+ +
p
u
p
.
Comme H est un sous-espace vectoriel alors,
1
u
1
H,
2
u
2
H, . . . ,
p
u
p
H et par suite
1
u
1
+
2
u
2
+ +
p
u
p
H. Ainsi u H.
Dnition 2.4 :
Un ensemble S = u
1
, u
2
, . . . , u
p
de vecteurs de E est appel systme gnrateur (ou
famille gnratrice) de E si E =
u
1
, u
2
, . . . , u
p
_
.
Autrement dit, S est un systme gnrateur de E si et seulement si pour tout u E, il existe
(
1
,
2
, . . . ,
p
) R
p
tel que :
u =
1
u
1
+
2
u
2
+ +
p
u
p
Exemple :
Soient les vecteurs de R
n
suivants :
e
1
= (1, 0, 0, . . . , 0), e
2
= (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , e
n
= (0, 0, 0, . . . , 1)
Montrons que le systme S = e
1
, e
2
, . . . , e
n
est un systme gnrateur de R
n
. En effet, soit
x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) un vecteur de R
n
. On a :
x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) = x
1
(1, 0, 0, . . . , 0) +x
2
(0, 1, 0, . . . , 0) + +x
n
(0, 1, 0, . . . , 0)
= x
1
e
1
+x
2
e
2
+ +x
n
e
n
Donc le systme S = e
1
, e
2
, . . . , e
n
est un systme gnrateur de R
n
.
Considrons lensemble F des vecteurs (x, y, z) de R
3
tels que 2x y + z = 0. Montrons que
F est engendr par les deux vecteurs (1, 2, 0) et (0, 1, 1). En effet :
(x, y, z) F 2x y +z = 0
y = 2x +z
(x, y, z) = (x, 2x +z, z)
(x, y, z) = x(1, 2, 0) +z(0, 1, 1)
F est donc lensemble des combinaisons linaires des vecteurs (1, 2, 0) et (0, 1, 1).
Dnition 2.5 :
Un espace vectoriel E est dit de dimension nie si E admet un systme gnrateur ni.
Exemple :
Lespace vectoriel (R
n
, +, ) est de dimension nie puisquil admet un systme gnrateur de
cardinal ni.
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4. Systme libre et systme li
Soit E un espace vectoriel et S = u
1
, u
2
, . . . , u
p
compos de p vecteurs de E.
Dnition 2.6 :
On dit que S est un systme li sil existe des scalaires
1
,
2
, . . . ,
p
de R, non tous
nuls, tels que :
1
u
1
+
2
u
2
+ +
p
u
p
= 0. ()
On dit aussi que u
1
, u
2
, . . . , u
p
sont linairement dpendants.
Exemple :
Soient les vecteurs : u
1
= (1, 0, 2), u
2
= (0, 3, 0), u
3
= (2, 9, 4) de R
3
. Remarquons que :
u
3
= (2, 9, 4) = (2, 0, 4) + (0, 9, 0) = 2(1, 0, 2) + 3(0, 3, 0) = 2u
1
+ 3u
2
.
Il en rsulte que :
2u
1
+ 3u
2
u
3
= 0.
Donc le systme u
1
, u
2
, u
3
est li.
Soient les vecteurs : e
1
= (1, 0, 0), e
2
= (0, 1, 0), e
3
= (0, 0, 1) de R
3
. Soit (
1
,
2
,
3
) R
3
.
Supposons que :
1
e
1
+
2
e
2
+
3
e
3
= 0 ()
soit :
1
(1, 0, 0) +
2
(0, 1, 0) +
3
(0, 0, 1) = (0, 0, 0) (
1
,
2
,
3
) = (0, 0, 0)
Donc forcment
1
=
2
=
3
= 0 et par suite le systme e
1
, e
2
, e
3
nest pas li.
Dnition 2.7 :
On dit que S est un systme libre si :
1
u
1
+
2
u
2
+ +
p
u
p
= 0 =
1
=
2
= =
p
= 0.
On dit aussi que u
1
, u
2
, . . . , u
p
sont linairement indpendants.
Exemple :
Le systme gnrateur de R
n
:
e
1
= (1, 0, 0, . . . , 0), e
2
= (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , e
n
= (0, 0, 0, . . . , 1)
est un systme libre. En effet :
1
e
1
+
2
e
2
+ +
n
e
n
= 0 (
1
,
2
, . . . ,
n
) = (0, 0, . . . , 0)
1
=
2
= =
n
= 0.
Considrons dans R
2
, u
1
= (1, 2) et u
2
= (3, 1). Cherchons
1
et
2
rels tels que :
1
u
1
+
2
u
2
= 0
Soit :
1
(1, 2) +
2
(3, 1) = (0, 0). Cest--dire
1
+ 3
2
= 0 et 2
1
2
= 0
Do
1
=
2
= 0. Donc le systme u
1
, u
2
est libre.
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2 Espaces vectoriels 19
Remarque : Il est facile de noter que :
Si 0 S, alors S est un systme li. En effet, si par exemple u
1
= 0, alors on peut crire
1 0 + 0u
2
+ + 0u
p
= 0
Soit u un vecteur non nul. Le systme u est libre. En effet ,u = 0 = = 0 puisque
u ,= 0.
Si S est un systme libre et A S, alors A est un systme libre ;
Si S est un systme li et S B, alors B est un systme li.
5. Bases et dimension
Soit E un espace vectoriel
Dnition 2.8 :
Un systme B de E est dit base de E si B est la fois libre et gnrateur de E
Thorme 2.1 :
Un systme B de E est une base de E si et seulement si tout vecteur de E scrit de
faon unique comme combinaison linaire des vecteurs de B.
Dmonstration. Supposons que B = e
1
, e
2
, . . . , e
n
est une base et x un vecteur de E
Condition ncessaire. Supposons que x scrit de deux faon diffrentes :
x =
1
e
1
+
2
e
2
+ +
n
e
n
et x =
1
e
1
+
2
e
2
+ +
n
e
n
do
(
1
1
)e
1
+ (
2
2
)e
2
+ + (
n
n
)e
n
= 0.
Comme B est une base, les e
i
sont linairement indpendants. Do
i
i
= 0, i = 1, . . . , n,
et donc les deux combinaisons linaires donnant x ne peuvent tre diffrentes.
Condition sufsante. Supposons que tout vecteur de E scrit de faon unique comme
combinaison linaire des vecteurs de B. Donc B est systme gnrateur de E. Il reste
monter que B est libre. Pour cela considrons
1
,
2
, . . . ,
n
de R tels que :
1
e
1
+
2
e
2
+ +
n
e
n
= 0. Dautre part : 0e
1
+ 0e
2
+ + 0e
n
= 0
et comme les deux combinaisons linaires donnant 0 ne peuvent tre diffrentes, on a
1
=
2
= =
n
= 0. Bonc le systme B est libre.
Coordonnes :
Si B = e
1
, e
2
, . . . , e
n
est une base de E, alors tout vecteur de E scrit dune manire
unique sous forme de combinaison linaire des vecteurs de B :
u E, !(
1
,
2
, . . . ,
n
) R
n
: u =
1
e
1
+
2
e
2
+ +
n
e
n
Les scalaires
1
sont appels les coordonnes de u dans la base B.
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On note [u]
B
=
_
_
_
1
.
.
.
n
_
_
_
Exemple :
Soient les vecteurs de R
n
suivants :
e
1
= (1, 0, . . . , 0), e
2
= (0, 1, . . . , 0), . . . , e
n
= (0, 0, . . . , 1).
Le systme B = e
1
, e
2
, . . . , e
n
est une base de R
n
. On lappelle base canonique de R
n
.
Soient les monnes suivants :
1, x, x
2
, . . . , x
n
.
Le systme B = 1, x, x
2
, . . . , x
n
est une base des polynmes de degr infrieur ou gal n.
Nous admettrons le thorme suivant :
Thorme 2.2 (Thorme de la base incomplte) :
Soit G = u
1
, u
2
, . . . , u
p
un systme gnrateur de E et on suppose que le systme
L = u
1
, u
2
, . . . , u
q
est libre (q p). Alors il existe une base B de E tel que :
L B G
Exemple :
Cherchons une base de R
3
o gure le vecteur u = (1, 1, 1), en lui adjoignant des vecteurs choisis
parmi ceux de la base canonique :
e
1
= (1, 0, 0), e
2
= (0, 1, 0), e
3
= (0, 0, 1).
Les vecteurs u, e
1
et e
2
sont linairement indpendants. En effet,
1
e
1
+
2
e
2
+
3
u = (
1
+
3
,
2
+
3
,
3
) = (0, 0, 0)
implique :
3
= 0, et donc :
1
= 0 et
2
= 0. Et le vecteur e
3
est une combinaison linaire de u,
e
1
et e
2
: de u = e
1
+e
2
+e
3
on dduit
e
3
= u e
1
e
2
.
Donc les vecteurs u, e
1
et e
2
forment une base de R
3
.
Corollaire 2.1 (Existence de bases) :
Tout espace vectoriel de dimension nie, non rduit 0 admet au moins une base.
Par convention
1
u
1
+
2
u
2
+
3
u
3
= 0
1
(1, 2, 3) +
2
(0, 1, 3) +
3
(2, 0, 5) = (0, 0, 0)
(
1
2
3
, 2
1
2
, 3
1
+ 3
2
+ 5
3
) = (0, 0, 0)
_
_
_
1
2
3
= 0
2
1
2
= 0
3
1
+ 3
2
+ 5
3
= 0
_
_
_
1
= 2
3
2
= 2
1
3
= 0
_
_
_
1
= 0
2
= 0
3
= 0
On dduit donc que le systme S est libre.
Proposition 2.7 :
Soit E un espace vectoriel et F est un sous espace vectoriel de E alors
dimF dimE
dimF = dimE E = F.
Dmonstration. Soit dimE = n et dimF = p. Soit u
1
, u
2
, . . . , u
p
une base de F :
u
1
, u
2
, . . . , u
p
est un systme libre de E, donc p n. Supposons maintenant que dimF =
n. Alors F a une base forme de n vecteurs de E, donc un systme libre de n vecteurs. Or
tout systme libre de n vecteurs de E engendre E, donc E = F.
HACHIMI Cours Semestre 2
3
Applications linaires
Tout au long de ce chapitre, E et F sont deux espaces vectoriels.
1. Dnitions et proprits
Dnition 3.1 :
On appelle application linaire de E dans F, toute application f de E dans F vriant
les deux proprits suivantes :
(i) u E, v E : f(u +v) = f(u) +f(v)
(ii) R, u E : f(u) = f(u)
L(E, F) dsigne lensemble des applications linaires de E dans F.
Exemple :
Lapplication f : R
2
R dnie par f(x, y) = x +y est linaire. En effet :
f((x, y) + (x
+y
)) = f(x +x
, y +y
) = x +x
+y +y
= x +y +x
+y
= f(x, y) +f(x
, y
)
f((x, y)) = f(x, y) = x +y = (x +y) = f(x, y)
Lapplication f : R
2
R
2
dnie par f(x, y) = (2x, x y) est linaire. En effet :
f((x, y) + (x
+y
)) = f(x +x
, y +y
) = (2(x +x
), x +x
(y +y
))
= (2x + 2x
, x y +x
) = (2x, x y) + (2x
, x
)
= f(x, y) +f(x
, y
)
f((x, y)) = f(x, y) = (2x, x y) = (2x, (x y)) = (2x, x y)
= f(x, y)
Lapplication f : R
2
R
2
dnie par f(x, y) = (x, y 1) nest pas linaire. En effet :
f((x, y) + (x
+y
)) = f(x +x
, y +y
) = (x +x
, y +y
1)
= (x, y 1) + (x
, y
1) + (0, 1)
= f(x, y) +f(x
, y
, y
)
HACHIMI Cours Semestre 2
3 Applications linaires 23
Dnition 3.2 :
Soit f une application linaire de E dans F. Alors :
si E = F, on dit que f est un endomorphisme de E.
si f est bijective, on dit que f est un isomorphisme de E dans F.
si E = F et f bijective, on dit que f est un automorphisme de E.
si F = R, on parle de forme linaire de E.
Exemple :
Soit R
: E E dnie par
f
(x) = x
Lapplication f
, y
, z
). On a :
f(u +v) = f
_
(x, y, z) +(x
, y
, z
)
_
= f
_
x +x
, y +y
, z +z
)
=
_
x +x
3(y +y
), 2(z +z
) + (x +x
) 5(y +y
)
_
=
_
(x 3y) +(x
3y
+x
5y
)
_
=
_
(x 3y), (2z +x 5y)
_
+
_
(x
3y
), (2z
+x
5y
)
_
=
_
x 3y, 2z +x 5y
_
+
_
x
3y
, 2z
+x
5y
_
= f(u) +f(v)
Donc, daprs la Proposition 3.2, f est une application linaire.
2. Application linaire et systmes de vecteurs
Thorme 3.1 :
Soit f une application linaire de E dans F. Si u
1
, u
2
, . . . , u
p
est un systme li dans
E alors f(u
1
), f(u
2
), . . . , f(u
p
) est un systme li dans F.
Dmonstration. Si u
1
, u
2
, . . . , u
p
est un systme li dans E, alors il existe p scalaires
1
,
2
, . . . ,
p
non tous nuls tel que
1
u
1
+
2
u
2
+ +
p
u
p
= 0
E
.
Donc f(
1
u
1
+
2
u
2
+ +
p
u
p
) = f(0
E
). Comme f est linaire, il en rsulte que
f(
1
u +
2
u
2
+ +
p
u
p
) =
1
f(u) +
2
f(u
2
) + +
p
f(u
p
) et f(0
E
) = 0
F
;
on a donc
1
f(u) +
2
f(u
2
) + +
p
f(u
p
) = 0
F
, les
i
(i = 1, . . . , p) tant non tous nuls.
Il sensuit que le systme f(u
1
), f(u
2
), . . . , f(u
p
) est un systme li dans F.
Remarque : Il est important de noter que le Thorme 3.1 concerne des systmes lis ;
il nest pas valable pour les systmes libres. En effet, si f(u) = 0
F
, u E, alors pour
u ,= 0
E
on a le systme u est libre et le systme f(u) = 0
F
est li.
On voit immdiatement que la rciproque du thorme prcdent est fausse. Le thorme
suivant donne une condition sufsante pour que la rciproque du thorme prcdent soit
vraie.
HACHIMI Cours Semestre 2
3 Applications linaires 25
Thorme 3.2 :
Soit f une application linaire injective de E dans F. Si f(u
1
), f(u
2
), . . . , f(u
p
) est un
systme li dans F alors u
1
, u
2
, . . . , u
p
est un systme li dans E.
Dmonstration. Si f(u
1
), f(u
2
), . . . , f(u
p
) est un systme li dans F, alors il existe p
scalaires
1
,
2
, . . . ,
p
non tous nuls tel que
1
f(u
1
) +
2
f(u
2
) + +
p
f(u
p
) = 0
F
.
Comme f est linaire,
1
f(u
1
) +
2
f(u
2
) + +
p
f(u
p
) = f(
1
u +
2
u
2
+ +
p
u
p
) et
0
F
= f(0
E
) ; on a donc f(
1
u+
2
u
2
+ +
p
u
p
) = f(0
E
). Comme f est injective, il rsulte
que
1
u +
2
u
2
+ +
p
u
p
= 0
E
, et donc que le systme u
1
, u
2
, . . . , u
p
est un systme
li dans E puisque les scalaires
1
,
2
, . . . ,
p
sont non tous nuls.
Thorme 3.3 :
Soit f une application linaire de E dans F. Si f(u
1
), f(u
2
), . . . , f(u
p
) est un systme
libre dans F alors u
1
, u
2
, . . . , u
p
est un systme libre dans E.
Dmonstration. Soient
1
,
2
, . . . ,
p
des scalaires tel que
1
u +
2
u
2
+ +
p
u
p
= 0
E
do f(
1
u +
2
u
2
+ +
p
u
p
) = f(0
E
).
Comme f est linaire, il vient que
1
f(u
1
) +
2
f(u
2
) + +
p
f(u
p
) = 0
F
, et donc que
1
=
2
= =
p
= 0 puisque le systme f(u
1
), f(u
2
), . . . , f(u
p
) est libre dans F. Par
consquent, le systme u
1
, u
2
, . . . , u
p
est libre dans E.
La rciproque du thorme prcdent est fausse. Le thorme suivant donne une condition
sufsante pour que la rciproque du thorme prcdent soit vraie.
Thorme 3.4 :
Soit f une application linaire injective de E dans F. Si u
1
, u
2
, . . . , u
p
est un systme
libre dans E alors f(u
1
), f(u
2
), . . . , f(u
p
) est un systme libre dans F.
Dmonstration. Soient
1
,
2
, . . . ,
p
des scalaires tel que
1
f(u
1
) +
2
f(u
2
) + +
p
f(u
p
) = 0
F
.
Comme f est linaire, cette galit peut aussi se mettre sous la forme
f(
1
u +
2
u
2
+ +
p
u
p
) = f(0
E
).
Comme f est injective, il vient que
1
u +
2
u
2
+ +
p
u
p
= 0
E
, ce qui implique que
1
=
2
= =
p
= 0 puisque le systme u
1
, u
2
, . . . , u
p
est libre dans E. Par consquent,
le systme f(u
1
), f(u
2
), . . . , f(u
p
) est libre dans F.
De ce qui prcde on dduit le rsultat suivant
Proposition 3.3 :
Soit f un isomorphisme de E dans F. Alors si B = e
1
, e
2
, . . . , e
n
est une base de E,
alors B
= f(e
1
), f(e
2
), . . . , f(e
n
) est une base de F.
HACHIMI Cours Semestre 2
3 Applications linaires 26
Dmonstration. En raison du Thorme 3.4, le systme f(e
1
), f(e
2
), . . . , f(e
n
) est libre
dans F (puisqueune base est, en particulier, un systme libre et, une application bijective
est, en particulier, injective). Il ne reste donc qu montrer que f(e
1
), f(e
2
), . . . , f(e
n
) est
un systme gnrateur de F. Pour cela, comme f est surjective (puisquelle est bijective),
f(E) = F : v F, u E tel que v = f(u). Comme B est une base de E, alors il existe n
scalaires
1
,
2
, . . . ,
n
tel que u =
1
e
1
+
2
e
2
+ +
n
e
n
. Do :
v = f(u) = f(
1
e
1
+
2
e
2
+ +
n
e
n
) =
1
f(e
1
) +
2
f(e
2
) + +
n
f(e
n
)
Ainsi F =
f(e
1
), f(e
2
), . . . , f(e
n
)
_
et par consquent B
f(e
1
), f(e
2
), . . . , f(e
n
)
_
.
Nous admettons le thorme suivant :
Thorme 3.5 (Thorme de la dimension) :
Soit f une application linaire de E dans F. Si E est de dimension nie, alors :
dimE = rg f + dimKer f ()
HACHIMI Cours Semestre 2
3 Applications linaires 29
Remarque : Lintrt du Thorme 3.5 est videmment de fournir la dimension de lun des
sous-espaces Ker f ou Imf ds que lon connat celle de lautre. En gnral, voir exemple
ci-dessous, on dtermine dabord Ker f et sa dimension (ce qui est plus facile) et on dduit
ensuite dimImf par la relation dimImf = dimE dimKer f.
Exemple :
Considrons lapplication linaire f de R
3
dans R
3
dnie par :
f(x, y, z) = (2z x, y, 3x 6z).
Cherchons dimKer f et rg f. Dterminons dabord Ker f :
Ker f = (x, y, z) R
3
[ f(x, y, z) = (0, 0, 0)
= (x, y, z) R
3
[ (2z x, y, 3x 6z) = (0, 0, 0)
= (x, y, z) R
3
[ 2z x = 0, y = 0 et 3x 6z = 0
= (x, y, z) R
3
[ x = 2z et y = 0
= (2z, 0, z) R
3
[ z R
= z(2, 0, 1) [ z R
Donc le vecteur (2, 0, 1) engendre Ker f et par suite dimKer f = 1. Daprs le thorme de la
dimension, on a :
dimR
3
. .
= 3
= rg f + dimKer f
. .
= 1
donc
dimImf = rg f = 3 1 = 2.
Corollaire 3.1 :
Soit E et F deux espaces vectoriels de dimension nie. Si f est une application linaire
de E dans F, alors :
rg f = dimE f injective
rg f = dimF f surjective
rg f = dimE = dimF f bijective
Dmonstration. Soit f est une application linaire de E dans F. On a :
rg f = dimE dimKer f = dimE rg f = 0 Ker f = 0
E
f injective.
rg f = dimF dimImf = dimF Imf = F f(E) = F f surjective.
rg f = dimE = dimF f injective et surjective f bijective.
Corollaire 3.2 :
Soit E et F deux espaces vectoriels de dimension nie. Si dimE = dimF, alors les
assertions suivantes sont quivalentes :
f est une application linaire injective de E dans F
f est une application linaire surjective de E dans F
f est une application linaire bijective de E dans F
Dmonstration. f injective rg f = dimE rg f = dimF f surjective
HACHIMI Cours Semestre 2
4
Matrices
1. Dnitions
Dnition 4.1 :
On appelle matrice n lignes et m colonnes, ou matrice de type n m, tout tableau
rectangulaires de nombres rels de la forme :
A =
_
_
_
_
_
a
11
a
12
. . . a
1m
a
21
a
22
. . . a
2m
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
. . . a
nm
_
_
_
_
_
M
n,m
(R) dsigne lensemble des matrices de type n m.
On crit souvant une matrice Ade type n m sous la forme condense
A = (a
ij
)
1in
1jm
ou simplement A = (a
ij
)
Le terme a
ij
dsignera llment de la matrice A situ lintersection de la i
ime
ligne et la
j
ime
colonne. Les nombres n et m, indiqus dans cet ordre, dnissent les dimensions de A.
La i
ime
ligne de la matrice Aest un vecteur-ligne de R
m
, elle sera note a
i
:
a
i
= (a
i1
, a
i2
, . . . , a
im
)
la j
ime
colonne de la matrice Aest un vecteur-colonne de R
n
, elle sera note a
j
:
a
j
=
_
_
_
_
_
a
1j
a
2j
.
.
.
a
nj
_
_
_
_
_
Exemple :
Considrons les tableaux suivants :
A =
_
2 5 1
3 2 0
_
B =
_
_
1 7 0 3
2 9 1 7
4 2 3 6
_
_
et C =
_
_
8 6
2 4
1 2
_
_
Les tableaux A, B et C sont des matrices de type 2 3, 3 4 et 3 2 respectifs.
HACHIMI Cours Semestre 2
4 Matrices 31
Soit A = (a
ij
) matrice de type n m. On dit que :
Aest nulle si tous ses lments sont nuls. Cest--dire : a
ij
= 0 i, j. On la note par O.
Aest carre si et seulement si n = m ; on dit alors que Aest une matrice carre dordre n
Aest matrice-colonne si et seulement si m = 1 ;
Aest matrice-ligne si et seulement si n = 1 ;
Si A = (a
ij
) est carre dordre n, les termes a
11
, a
22
, . . . , a
nn
sont appels termes diago-
naux de A, et (a
11
, . . . , a
nn
) est appel la diagonale de A.
2. Oprations sur les matrices
Addition des matrices :
Dnition 4.2 :
Soit A = (a
ij
) et B = (b
ij
) deux matrices de type n m. On appelle somme de Aet B,
et on note A+B, la matrice C = (c
ij
) de type n m dont les termes sont dnis par :
c
ij
= a
ij
+b
ij
Exemple :
Considrons les trois matrices A, B et C dnies par :
A =
_
1 0 3
4 2 3
_
B =
_
3 5 1
2 7 2
_
et C =
_
1 4
3 1
_
Alors, on a :
A+B =
_
1 0 3
4 2 3
_
+
_
3 5 1
2 7 2
_
=
_
1 + 3 0 + 5 3 + 1
4 + 2 2 + 7 3 2
_
=
_
4 5 4
6 9 1
_
Mais les sommes A+C et B+C ne sont pas dnies.
Produit dune matrice par un scalaire :
Dnition 4.3 :
Soient un scalaire et A = (a
ij
) une matrice de type n m. La matrice produit de A
par est dnie par :
A = (a
ij
)
Exemple :
Si A =
_
_
2 5
3 6
1 4
_
_
et = 5, alors 5A =
_
_
2 5
3 6
1 4
_
_
=
_
_
5 2 5 5
5 3 5 6
5 1 5 4
_
_
=
_
_
10 25
15 30
5 20
_
_
HACHIMI Cours Semestre 2
4 Matrices 32
Produit dune matrice par une matrice :
Dnition 4.4 :
Soit A = (a
ij
) une matrice de type n p et B = (b
ij
) une matrice de type p m. On
appelle produit de Apar B, et on note AB, la matrice C = (c
ij
) de type n m dont les
termes sont dnis par :
c
ij
= a
i
b
j
= a
i1
b
1j
+a
i2
b
2j
+ +a
ip
b
pj
Pour obtenir le terme c
ij
de la matrice produit AB, on multiplie terme terme les lments
de la i
me
ligne de Apar ceux de la j
me
colonne de B.
_
_
_
_
_
_
_
_
a
1
a
11
a
12
. . . a
1p
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
i
a
i1
a
i2
. . . a
ip
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n
a
n1
a
n2
. . . a
np
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
b
1
. . . b
j
. . . b
m
b
11
. . . b
1j
. . . b
1m
b
21
. . . b
2j
. . . b
2m
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b
p1
. . . b
pj
. . . b
pm
_
_
_
_
_
_
_
=
_
_
_
_
_
_
_
_
c
11
. . . c
1j
. . . c
1m
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
c
i1
. . . c
ij
. . . c
im
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
c
n1
. . . c
nj
. . . c
nm
_
_
_
_
_
_
_
_
Remarque : On retiendra que le produit AB de deux matrices A et B nest dni que si
le nombre de colonnes de Aest gal au nombre de lignes de B.
n
m
C
= n
p
A
p
m
B
Exemple :
Effectuons le produit de la matrice Apar la matrice B dnies par :
A =
_
2 1 3
1 1 2
_
et B =
_
_
1 2 1 1
1 3 2 1
2 0 1 5
_
_
Le produit AB est possible puisque la condition de dimensions est satisfaite. La matrice AB a
deux lignes (autant que A) et quatre colonnes (autant que B). Calculons c
12
de AB. On prend :
la 1
re
ligne de A: a
1
= (2, 1, 3) et la 2
e
colonne de B ; b
2
=
_
_
2
3
0
_
_
c
12
= a
1
b
2
= (2, 1, 3)
_
_
2
3
0
_
_
= (2 2) + (1 3) + (3 0) = 1.
En procdant de la mme faon pour tous les lments c
ij
, on trouve :
AB =
_
9 1 1 18
4 5 3 10
_
Attention : Le produit de deux matrices dont aucune nest nulle peut cependant tre nul.
Comme le montre lexemple suivant :
HACHIMI Cours Semestre 2
4 Matrices 33
Exemple :
Considrons les deux matrices Aet B suivantes :
A =
_
1 1
1 1
_
et B =
_
1 2
1 2
_
et effectuons le produit de Apar B :
AB =
_
1 1
1 1
__
1 2
1 2
_
=
_
1 1 2 2
1 + 1 2 + 2
_
=
_
0 0
0 0
_
Ainsi un produit nul nentraine pas forcment que lune des deux matrices du produit soit nulle :
AB = O = / A = O ou B = O.
Remarque : La multiplication matricielle nest pas une opration commutative. En effet,
le produit BAnest pas forcment dni lorsque AB lest. Dautre part, les produits AB et
BApeuvent tre dnis et ne pas tre du mme type, comme le montre lexemple suivant :
_
_
0 1
1 0
1 1
_
_
_
1 0 1
1 1 0
_
=
_
_
1 1 0
1 0 1
2 1 1
_
_
_
1 0 1
1 1 0
_
_
_
0 1
1 0
1 1
_
_
=
_
1 2
1 1
_
Mais mme lorsquils sont du mme type, ils sont gnralement diffrents, comme le montre
lexemple suivant :
_
1 0
0 0
__
0 1
1 0
_
=
_
0 1
0 0
_ _
0 1
1 0
__
1 0
0 0
_
=
_
0 0
1 0
_
Dnition 4.5 :
Soit A = (a
ij
) matrice de type n m. La matrice tanspose de A est la matrice B de
type mn dnie par :
B = (b
ij
) avec b
ij
= a
ji
pour 1 i m et 1 j n.
On note B =
t
A
La tanspose dune matrice sobtient en crivant ses n lignes successivement en colonnes :
A =
_
_
_
_
_
a
11
a
12
. . . a
1m
a
21
a
22
. . . a
2m
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
. . . a
nm
_
_
_
_
_
et
t
A =
_
_
_
_
_
a
11
a
21
. . . a
n1
a
12
a
22
. . . a
n2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
1m
a
2m
. . . a
nm
_
_
_
_
_
Exemple :
Si Ala matrice de type 2 3 dnie par :
A =
_
2 3 1
6 5 7
_
alors B =
t
A =
_
_
2 6
3 5
1 7
_
_
Chacune des galits de la proposition suivante est vraie chaque fois que lun de ses deux
membres soit dni (lautre lest alors galement) :
HACHIMI Cours Semestre 2
4 Matrices 34
Proposition 4.1 :
Soient Aet B deux matrices et, un scalaire, on a :
t
(
t
A) = A
t
(A+B) = A+B
t
(AB) =
t
B
t
A
t
(A) =
t
A
Exemple :
Considrons les deux matrices Aet B dnies par :
A =
_
2 1 4
1 3 2
_
B =
_
_
2 0
1 5
3 2
_
_
On a
AB =
_
2 1 4
1 3 2
_
_
_
2 0
1 5
3 2
_
_
=
_
7 13
5 19
_
et
t
B
t
A =
_
2 1 3
0 5 2
_
_
_
2 1
1 3
4 2
_
_
=
_
7 5
13 19
_
=
t
_
7 13
5 19
_
=
t
(AB)
3. Matrices particulires
Les matrices tudier ici sont toutes carres et prsentent certaines caractristiques par rap-
port la diagonale dune matrice.
Dnition 4.6 :
Soit A = (a
ij
) une matrice carre dordre n. Aest dite matrice diagonale si :
a
ij
= 0 pour i ,= j
Les matrices diagonales sont donc des matrices carres dont tous les termes sont nuls, sauf
ceux de la diagonale, qui peuvent tre quelconques. Elles sont donc de la forme :
_
_
_
_
_
1
0 . . . 0
0
2
. . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . .
n
_
_
_
_
_
Dnition 4.7 :
Soit A = (a
ij
) une matrice carre dordre n. Aest dite matrice unit si :
_
a
ij
= 0 pour i ,= j
a
ii
= 1
HACHIMI Cours Semestre 2
4 Matrices 35
Autrement dit, la matrice unit dordre n est la matrice diagonale dont tous les termes de la
diagonale sont gaux 1. On note I
n
cette matrice :
I
n
=
_
_
_
_
_
1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . 1
_
_
_
_
_
Dnition 4.8 :
Soit A = (a
ij
) une matrice carre dordre n. On dit que A est matrice triangulaire
suprieure si :
a
ij
= 0 pour i > j
Une matrice triangulaire suprieure est une matrice carre dans laquelle les lments situs
au dessous de la diagonale sont nuls, elle scrit comme suit :
A =
_
_
_
_
_
_
_
a
11
a
12
. . . a
1n
0 a
22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . a
nn
_
_
_
_
_
_
_
Dnition 4.9 :
Soit A = (a
ij
) une matrice carre dordre n. On dit que A est matrice triangulaire
infrieure si :
a
ij
= 0 pour i < j
Une matrice triangulaire infrieure est une matrice carre dans laquelle les lments situs
au dessous de la diagonale sont nuls, elle scrit comme suit :
A =
_
_
_
_
_
_
_
a
11
0 . . . 0
a
21
a
22
. . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
11
. . . a
nn
_
_
_
_
_
_
_
Remarque : Il est facile de noter quune matrice est diagonale si elle est la fois triangulaire
suprieure et triangulaire infrieure.
Exemple :
Considrons les matrices suivantes :
A =
_
_
2 0 0
0 1 0
0 0 3
_
_
B =
_
_
2 7 1
0 6 8
0 0 3
_
_
C =
_
_
2 0 0
5 6 0
4 1 3
_
_
La matrice A est diagonale, la matrice B est triangulaire suprieure et la matrice C est triangu-
laire infrieure.
HACHIMI Cours Semestre 2
4 Matrices 36
Dnition 4.10 :
Soit A = (a
ij
) une matrice carre dordre n. On dit que Aest matrice symtrique si :
t
A = A
Une matrice symtrique est une matrice carre pour laquelle tous les lments sont sym-
triques par rapport la diagonale. Ainsi :
Asymtrique a
ij
= a
ji
i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , n.
Exemple :
Considrons les matrices suivantes :
A =
_
_
2 7 0
7 1 5
0 5 3
_
_
B =
_
_
2 1
0 1
1 1 3
_
_
C =
_
_
2 7 1
7 5 2
1 2 3
_
_
Les matrices Aet B sont symtriques, mais la matrice C ne lest pas.
4. Matrices inversibles
Dnition 4.11 :
Une matrice Adordre n est dite inversible sil existe une matrice Bdordre n telle que :
AB = BA = I
n
La matrice B est alors appele matrice inverse de A, note B = A
1
.
Exemple :
Considrons la matrice A =
_
1 1
1 0
_
, cherchons si A est inversible. Pour cela cherchons
une matrice B dordre 2 tel que AB = BA = I
2
. Posons B =
_
x y
z w
_
. On dtermine B en
rsolvant lquation AB = I
2
. Soit :
_
1 1
1 0
__
x y
z w
_
=
_
1 0
0 1
_
ou encore
_
x z y w
x y
_
=
_
1 0
0 1
_
Do le systme :
_
_
x z = 1
y w = 0
x = 0
y = 1
qui a pour solution
_
_
x = 0
y = 1
z = 1
w = 1
donc B =
_
0 1
1 1
_
On a aussi :
BA =
_
0 1
1 1
__
1 1
1 0
_
=
_
1 0
0 1
_
= I
2
Par consquent Aest inversible et A
1
= B.
HACHIMI Cours Semestre 2
4 Matrices 37
Considrons la matrice
A =
_
1 0
0 0
_
.
Le produit de Apar une matrice quelconque
B =
_
x y
z w
_
nest jamais I
2
, car
_
1 0
0 0
__
x y
z w
_
=
_
x y
0 0
_
Donc la matrice Anest pas inversible.
Remarque : Par dnition de linverse, Aest linverse de A
1
: (A
1
)
1
= A.
Proposition 4.2 :
Si une matrice dordre n, A, est inversible, sa transpose
t
Aest inversible et on a :
(
t
A)
1
=
t
(A
1
)
Dmonstration. Si Aest inversible dinverse A
1
, on a :
t
(A
1
)
t
A =
t
(AA
1
) =
t
I
n
= I
n
et
t
A
t
(A
1
) =
t
(A
1
A) =
t
I
n
= I
n
Ainsi, daprs la dnition 4.11,
t
Aest inversible et dinverse
t
(A
1
)
Proposition 4.3 :
Si deux matrices dordre n, A et B, sont inversibles, leur produit AB est inversible et
on a :
(AB)
1
= B
1
A
1
Dmonstration. Si Aest inversible dinverse A
1
, et B est inversible dinverse B
1
, on a :
B
1
A
1
AB = B
1
I
n
B = B
1
B = I
n
et ABB
1
A
1
= AI
n
A
1
= AA
1
= I
n
Ainsi, daprs la dnition 4.11, AB est inversible et dinverse B
1
A
1
.
5. Matrices et applications linaires
Soit E et F deux espaces vectoriels de dimensions respectives m et n, B = e
1
, e
2
, . . . , e
m
une base de E et C = u
1
, u
2
, . . . , u
n
une base de F. Soit f une application linaire de E
dans F.
Dnition 4.12 :
Soit x un vecteur de E. Si x = x
1
e
1
+ +x
m
e
m
, on appelle matrice associe x dans
la base B, la matrice-colonne suivante :
X =
_
_
_
_
_
x
1
x
2
.
.
.
x
m
_
_
_
_
_
B
ou simplement X =
_
_
_
_
_
x
1
x
2
.
.
.
x
m
_
_
_
_
_
HACHIMI Cours Semestre 2
4 Matrices 38
Considrons un vecteur quelconque x de E et posons y = f(x). Le vecteur x peut scrire
de manire unique sous la forme :
x = x
1
e
1
+x
2
e
2
+ +x
m
e
m
.
Comme f est linaire, on a donc :
y = x
1
f(e
1
) +x
2
f(e
2
) + +x
m
f(e
m
).
Pour i = 1, 2, . . . , m, dsignons par a
1i
, a
2i
, . . . , a
ni
les composantes de f(e
i
) dans la base C.
Ainsi,
_
_
_
_
_
y
1
y
2
.
.
.
y
n
_
_
_
_
_
= x
1
_
_
_
_
_
a
11
a
21
.
.
.
a
n1
_
_
_
_
_
+x
2
_
_
_
_
_
a
12
a
22
.
.
.
a
n2
_
_
_
_
_
+ +x
m
_
_
_
_
_
a
1m
a
2m
.
.
.
a
nm
_
_
_
_
_
ce qui peut scrire sous la forme :
_
_
_
_
_
y
1
y
2
.
.
.
y
n
_
_
_
_
_
C
=
_
_
_
_
_
a
11
a
12
. . . a
1m
a
21
a
22
. . . a
2m
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
. . . a
nm
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
x
1
x
2
.
.
.
x
m
_
_
_
_
_
B
()
Dnition 4.13 :
On appelle matrice de f, relativement aux bases B et C, la matrice, note M(f, B, C),
dont les colonnes sont les composantes respectives des vecteurs f(e
1
), f(e
2
),. . ., f(e
m
)
dans la base C.
Pour i = 1, 2, . . . , m, le vecteur f(e
i
) appartient F. Dsignons par a
1i
, a
2i
, . . . , a
ni
les com-
posantes de f(e
i
) dans la base C :
f(e
i
) = a
1i
u
1
+a
2i
u
2
+ +a
ni
u
n
Ainsi,
M(f, B, C) =
_
_
_
_
_
f(e
1
)
. .
f(e
2
)
. .
. . .
f(e
m
)
. .
u
1
a
11
a
12
. . . a
1m
u
2
a
21
a
22
. . . a
2m
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
u
n
a
n1
a
n2
. . . a
nm
_
_
_
_
_
Exemple :
Soit f une application linaire de R
3
dans R
2
dnie par :
f(x, y, z) = (x 2y +z, 3x 2z)
Considrons les bases canoniques de R
3
et de R
2
:
B = e
1
, e
2
, e
3
avec e
1
= (1, 0, 0), e
2
= (0, 1, 0), e
3
= (0, 0, 1).
C = u
1
, u
2
avec u
1
= (1, 0), u
2
= (0, 1)
HACHIMI Cours Semestre 2
4 Matrices 39
On a :
f(e
1
) = (1, 3) = 1 (1, 0) + 3 (0, 1) ce qui signie f(e
1
) = u
1
+ 3u
2
f(e
2
) = (2, 0) = (2) (1, 0) + 0 (0, 1) ce qui signie f(e
2
) = 2u
1
f(e
3
) = (1, 2) = 1 (1, 0) + (2) (0, 1) ce qui signie f(e
1
) = u
1
2u
2
Par suite la matrice de lapplication linaire f, relativement aux bases B et C est donne par :
M(f, B, C) =
_
1 2 1
3 0 2
_
Dautre part, on sait que C
= v
1
, v
2
, o v
1
= (1, 1) et v
2
= (0, 1), est une autre base de R
2
.
On a :
f(e
1
) = (1, 3) = 1 (1, 1) + 2 (0, 1) ce qui signie f(e
1
) = v
1
+ 2v
2
f(e
2
) = (2, 0) = (2) (1, 1) + 2 (0, 1) ce qui signie f(e
2
) = 2v
1
+ 2v
2
f(e
3
) = (1, 2) = 1 (1, 1) + (3) (0, 1) ce qui signie f(e
1
) = v
1
3v
2
Par suite la matrice de lapplication linaire f, relativement aux bases B et C est donne par :
M(f, B, C
) =
_
1 2 1
2 2 3
_
Remarque : Lexemple prcdent montre que la matrice dune application linaire d-
pend du choix des bases de E et F.
Proposition 4.4 :
Soit x un vecteur de E, X la matrice associe x dans la base Bet Y la matrice associe
y = f(x) dans la base C. Alors on a :
Y = M(f, B, C) X
Dmonstration. Voir lquation () la page 37.
Thorme 4.1 :
Pour toute matrice A = (a
ij
) de type n m, il existe une application linaire f de E
dans F et une seule telle que
M(f, B, C) = A
Dmonstration. On sait que toute application f de E dans F est entirement dtermine
par f(e
1
), f(e
2
), . . . , f(e
m
). Si la matrice Ascrit sous la forme :
_
_
_
_
_
a
11
a
12
. . . a
1m
a
21
a
22
. . . a
2m
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
. . . a
nm
_
_
_
_
_
alors lapplication cherche est celle dnie par :
f(e
i
) = a
1i
u
1
+a
2i
u
2
+ +a
ni
u
n
pour i = 1, 2, . . . , m.
HACHIMI Cours Semestre 2
4 Matrices 40
Exemple :
Soit Aune matrice dnie par :
A =
_
_
1 1
1 1
1 3
_
_
Soit B = e
1
, e
2
une base de R
2
et C = u
1
, u
2
, u
3
une base de R
3
. Alors la matrice Apermet
de dnir une application linaire de R
2
vers R
3
telle que :
f(e
1
) = u
1
+u
3
f(e
2
) = 2u
1
u
2
Soit x R
2
et y R
3
. Si x = x
1
e
1
+x
2
e
2
et y = y
1
u
1
+y
2
u
2
+y
3
u
3
, alors
y = f(x) Y = AX
_
_
y
1
y
2
y
3
_
_
=
_
_
1 1
1 1
1 3
_
_
_
x
1
x
2
_
_
_
_
y
1
= x
1
+x
2
y
2
= x
2
x
1
y
3
= x
1
+ 3x
2
Ainsi, la matrice Apermet de dnir lapplication linaire f de R
2
dans R
3
donne par :
f : R
2
R
3
(x
1
, x
2
) (x
1
+x
2
, x
2
x
1
, x
1
+ 3x
2
)
Proposition 4.5 :
Soit id
E
lapplication identit de E et I
m
la matrice unit dordre m, on a :
M(id
E
, B, B) = I
m
Thorme 4.2 :
Soit f et g deux applications linaires de E dans F. Alors :
M(f +g, B, C) = M(f, B, C) +M(g, B, C)
M(f, B, C) = M(f, B, C).
Soient maintenant E, F et G trois espaces vectoriels de dimensions respectives m, n et p.
Soient encore B = e
1
, e
2
, . . . , e
m
une base de E, C = u
1
, u
2
, . . . , u
n
une base de F et
D = v
1
, v
2
, . . . , v
p
une base de G.
Thorme 4.3 :
Soit f une application linaire de E dans F et g une application linaire de F dans G.
Alors on a :
M(g f, B, D) = M(g, C, D) M(f, B, C)
Exemple :
Considrons les applications suivantes :
f : R
2
R
3
(x, y) (2x y, x +y, 3y)
g : R
3
R
2
(x, y, z) (y 2z, x + 3y)
HACHIMI Cours Semestre 2
4 Matrices 41
On muni R
2
des deux bases B
1
= (1, 0), (0, 1) et B
2
= (1, 1), (0, 1) et on muni R
3
de sa base
canonique C = (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). On a :
M(f, B
1
, C) =
_
_
2 1
1 1
0 3
_
_
et M(g, C, B
2
) =
_
0 1 2
1 2 2
_
Par consquent,
M(g f, B
1
, B
2
) = M(g, C, B
2
) M(f, B
1
, C) =
_
1 5
4 7
_
Corollaire 4.1 :
Si f est un isomorphisme de E dans F, alors :
M(f
1
, C, B) = (M(f, B, C))
1
Dmonstration. On sait que : f f
1
= id
F
et f
1
f = id
E
. Do :
M(f, B, C) M(f
1
, C, B) = M(id
F
, C, C) = I
n
et
M(f
1
, C, B) M(f, B, C) = M(id
E
, B, B) = I
m
Comme f est un isomorphisme de E dans F, dimE = dimF cest--dire m = n. Donc
M(f, B, C) M(f
1
, C, B) = M(f
1
, C, B) M(f, B, C) = I
n
ce qui montrer que M(f
1
, C, B) est linverse de M(f, B, C).
6. Matrice de changement de base
Soit E un espace vectoriel de dimension m. On considre deux bases B = (e
1
, e
2
, . . . , e
m
)
et B
= (e
1
, e
2
, . . . , e
m
) de E, appeles respectivement ancienne et nouvelle base.
Dnition 4.14 :
On appelle matrice de passage de la base B la base B
dans la base B.
Remarque : La matrice de passage nest autre que la matrice de lapplication identit id
E
relativement aux bases B
et B. Cest--dire :
P = M(id
E
, B
, B).
En effet, on a id
E
(e
i
) = e
i
pour i = 1, 2, . . . , m. Donc si a
1i
, a
2i
, . . . , a
mi
sont les composantes
du vecteur e
i
dans la base B, alors :
P =
_
_
_
_
_
e
1
e
2
. . . e
m
a
11
a
12
. . . a
1m
a
21
a
22
. . . a
2m
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
a
m2
. . . a
mm
_
_
_
_
_
=
_
_
_
_
_
id
E
(e
1
) id
E
(e
2
) . . . id
E
(e
m
)
a
11
a
12
. . . a
1m
a
21
a
22
. . . a
2m
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
a
m2
. . . a
mm
_
_
_
_
_
= M(id
E
, B
, B).
HACHIMI Cours Semestre 2
4 Matrices 42
Exemple :
Considrons lespace vectoriel R
2
muni de deux base B = e
1
, e
2
et B
= e
1
, e
2
avec :
e
1
= (1, 0) e
2
= (0, 1) e
1
= (1, 1) e
2
= (2, 3)
On a :
e
1
= (1, 1) = (1, 0) + (0, 1) = 1e
1
+ 1e
2
, e
2
= (2, 3) = (2, 0) + (0, 3) = 2e
1
+ 3e
2
La matrice de passage de la base B la base B
est
P =
_
1 2
1 3
_
Proposition 4.6 :
Si Pest la matrice de passage de la base B la base B
la base B.
Dmonstration. On sait que id
E
est un isomorphisme de E dans E. Donc, daprs le Corol-
laire 4.1, on a :
M(id
1
E
, B, B
) =
_
M(id
E
, B
, B)
_
1
Comme id
1
E
= id
E
, alors :
M(id
E
, B, B
) = P
1
ce qui signie que P est inversible et que P
1
reprsente la matrice de passage de la base
B
la base B.
Eet dun changement de base sur les composantes dun vecteur :
Proposition 4.7 :
Soit x un vecteur de E, X la matrice associe x dans la base B et X
la matrice
associe x dans la base B
, alors
X = PX
.
Dmonstration. Cette relation nest rien autre que la relation de la Proposition 4.4 applique
au cas o f est lapplication identique de E, muni de B
, dans E muni de B.
Remarque : La matrice de passage P de B B
= P
1
X.
Exemple :
Considrons lespace vectoriel R
2
muni de deux base B = e
1
, e
2
et B
= e
1
, e
2
avec :
e
1
= (1, 0) e
2
= (0, 1) e
1
= (1, 1) e
2
= (2, 3)
Calculons les coordonnes du vecteur x = (3, 5) dans la nouvelle base B
.
HACHIMI Cours Semestre 2
4 Matrices 43
Soit P la matrice de passage de B B
. Notons par x
et y
. On a alors :
X
= P
1
X ce qui scrit aussi
_
x
_
= P
1
_
3
5
_
Pour dterminer X
, il suft de calculer P
1
. Pour calculer P
1
, il est plus rapide dinvoquer le
fait que P
1
est la matrice de passage de B
B. On a :
e
1
= (1, 0) = 3(1, 1) + (1)(2, 3) = 3e
1
e
2
e
2
= (0, 1) = (2)(1, 1) + 1(2, 3) = 2e
1
+e
2
Ainsi,
P
1
=
_
3 2
1 1
_
.
Par consquent,
_
x
_
=
_
3 2
1 1
__
3
5
_
do
_
x
_
=
_
1
2
_
Eet dun changement de base sur la matrice dune application linaire :
Soit B et B
deux bases de E, et C et C
.
Thorme 4.4 :
Soit f une application linaire de E dans F. Alors on a :
M(f, B
, C
) = Q
1
M(f, B, C) P.
Dmonstration. Considrons un vecteur quelconque x de E et posons y = f(x). Soit X et
X
. Soit en outre Y et Y
= M(f, B
, C
)X
.
Dautre part,
Y
= Q
1
Y et X = PX
.
Par suite, on obtient :
M(f, B
, C
)X
= Y
= Q
1
Y
= Q
1
M(f, B, C)X
= Q
1
M(f, B, C) PX
Donc : M(f, B
, C
)X
= Q
1
M(f, B, C) PX
. Ainsi :
M(f, B
, C
) = Q
1
M(f, B, C) P.
ce qui dmontre le rsultat.
HACHIMI Cours Semestre 2
4 Matrices 44
Corollaire 4.2 :
Soit f un endomorphisme de E. Alors on a :
M(f, B
, B
) = P
1
M(f, B, B) P.
Exemple :
Considrons la matrice
A =
_
_
4 5
6 3
2 7
_
_
reprsentant une application linaire f de R
2
dans R
3
par rapport aux bases :
B = (1, 0), (0, 1) et C = (1, 1, 1), (1, 1, 1), (1, 1, 1)
Dterminons la matrice A
. Comme
(1, 0, 0) = 0 (1, 1, 1) +
1
2
(1, 1, 1) +
1
2
(1, 1, 1) (1, 1) = 1 (1, 0) + 1 (0, 1)
(0, 1, 0) =
1
2
(1, 1, 1)
1
2
(1, 1, 1) + 0 (1, 1, 1) (1, 2) = 1 (1, 0) + 2 (0, 1)
(0, 0, 1) =
1
2
(1, 1, 1) + 0 (1, 1, 1)
1
2
(1, 1, 1)
on a donc
P =
_
1 1
1 2
_
et Q
1
=
_
_
_
_
_
_
_
0
1
2
1
2
1
2
1
2
0
1
2
0
1
2
_
_
_
_
_
_
_
Do :
A
= Q
1
AP =
_
_
_
_
_
_
_
0
1
2
1
2
1
2
1
2
0
1
2
0
1
2
_
_
_
_
_
_
_
_
_
4 5
6 3
2 7
_
_
_
1 1
1 2
_
=
_
_
3 8
2 3
4 5
_
_
7. Rang dune matrice
Dnition 4.15 :
Soit a
1
, a
2
, . . . , a
m
les colonnes dune matrice A. On appelle rang de A, et on note rg A,
le rang de lapplication linaire quelle reprsente.
On a donc :
rg A = rg f = dimImf
HACHIMI Cours Semestre 2
4 Matrices 45
Remarque : Le rang dune matrice Areprsente tout simplement le nombre maximum de
vecteurs colonne de Aqui sont linairement indpendants.
Exemple :
Il est clair que le rang de la matrice nulle Oest 0 et le rang de la matrice identit I
n
est n.
Les rangs des matrices
_
_
1 2 3 5
0 1 3 5
0 0 4 2
_
_
_
1 2 1 3
2 1 3 2
_
_
_
2 0 4
1 0 2
2 0 4
_
_
sont respectivement 3, 2 et 1.
Thorme 4.5 :
Soit Aune matrice carre dordre n. Alors :
Ainversible rg A = n.
Dmonstration. Soit B la base canonique de R
n
. Alors, Daprs le Thorme 4.1, il existe
une application linaire f de R
n
dans R
n
tel que :
A = M(f, B, B)
On a :
Ainversible A
1
tel que A A
1
= I
n
et A
1
A = I
n
encore, daprs le Thorme 4.1, g : R
n
R
n
tel que : A
1
= M(g, B, B)
M(f, B, B)M(g, B, B) = I
n
et M(g, B, B)M(f, B, B) = I
n
M(f g, B, B) = I
n
et M(g f, B, B) = I
n
or, daprs la Proposition 4.5, on a I
n
= M(id
R
n, B, B)
f g = g f = id
R
n
f bijective
f sujective
Imf = R
n
rg f = n puisque rg f = dimImf = dimR
n
= n
rg A = n puisque rg A = rg M(f, B, B) = rang f
a
11
a
12
a
21
a
22
= a
11
a
22
a
21
a
12
.
Proposition 5.1 :
Les vecteurs x =
_
x
1
x
2
_
et y =
_
y
1
y
2
_
sont dpendants si et seulement si
x
1
y
1
x
2
y
2
= 0
Dmonstration. Les vecteurs x et y sont linairement indpendants si et seulement si
R
: y = x ()
Ecartons les cas triviaux o x
1
= x
2
= 0. Si, par exemple, x
1
,= 0, on a :
() (y
1
= x
1
et y
2
= x
2
) ( =
y
1
x
1
et y
2
= x
2
) y
2
=
y
1
x
1
x
2
Ainsi, () est quivaut x
1
y
2
x
2
y
1
= 0.
Exemple :
Calculons les dterminants des matrices suivantes :
A =
_
3 2
6 5
_
et B =
_
2 3
4 6
_
HACHIMI Cours Semestre 2
5 Dterminants 47
Des rgles prcdentes, on tire
det A =
3 2
6 5
= 3 5 6 2 = 3 et det B =
2 3
4 6
= 2 6 4 3 = 0.
Comme det A ,= 0, les vecteurs (3, 6) et (2, 6) sont linairement indpendants. Par contre, les
vecteurs (2, 4) et (3, 6) sont linairement dpendants puisque det B = 0.
1.2. Dterminant dune matrice carre dordre 3
Soit Aune matrice carre dordre 3 dont on cherche le dterminant :
A =
_
_
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
_
_
On appelle dterminant de A, et on note det A, le nombre
a
11
a
22
a
33
+a
12
a
23
a
31
+a
13
a
21
a
32
a
12
a
21
a
33
a
11
a
23
a
32
a
13
a
22
a
31
Rgle de Sarrus : Un procd mnmotechnique pour retrouver det Aconsiste rpter la
premire et la seconde colonne (resp. ligne) droite de (resp. sous) la troisime, et former
les produits des termes en diagonale ; on affecte de signe + les produits paralllement la
diagonale principale , et du signe les trois autres produits.
a
11
a
12
a
13
a
11
a
12
a
21
a
22
a
23
a
21
a
22
a
31
a
32
a
33
a
31
a
32
resp.
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
Exemple :
Considrons la matrice dordre 3 suivante :
A =
_
_
1 2 3
4 5 6
7 8 9
_
_
La rgle de Sarrus conduit :
1 2 3 1 2
4 5 6 4 5
7 8 9 7 8
donne : det A = 1 5 9 + 2 6 7 + 3 4 8
2 4 9 1 6 8 3 5 7 = 0
On retrouve la mme valeur en procdant de lautre faon :
1 2 3
4 5 6
7 8 9
1 2 3
4 5 6
donne : det A = 1 5 9 + 4 8 3 + 7 2 6
3 5 7 6 8 1 9 2 4 = 0
HACHIMI Cours Semestre 2
5 Dterminants 48
1.3. Dterminant dune matrice carre dordre n
Soit Aune matrice carre dordre n.
A =
_
_
_
_
_
a
1
a
2
. . . a
n
a
11
a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
. . . a
nn
_
_
_
_
_
ici a
j
reprsente la j
me
colonne de A. On va donner une dnition rcurrente du dtermi-
nant de A. Ce dernier sera not :
det A ou det(a
1
, a
2
, . . . , a
n
) ou encore
a
11
a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
. . . a
nn
Dnition 5.1 :
Soit Aune matrice carre dordre n. On appelle cofacteur de llment a
ij
, le nombre :
ij
= (1)
i+j
det A
ij
o A
ij
est la matrice dordre n 1 obtenu en supprimant dans A la ligne et la colonne
contenant le terme a
ij
.
Exemple :
Considrons la matrice Adordre 3 :
A =
_
_
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
_
_
Calculons les cofacteurs de a
11
, a
21
et a
31
:
11
= (1)
1+1
det
_
_
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
_
_
= (1)
2
det
_
a
22
a
23
a
32
a
33
_
= det
_
a
22
a
23
a
32
a
33
_
21
= (1)
2+1
det
_
_
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
_
_
= (1)
3
det
_
a
12
a
13
a
32
a
33
_
= det
_
a
12
a
13
a
32
a
33
_
31
= (1)
3+1
det
_
_
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
_
_
= (1)
4
det
_
a
12
a
13
a
22
a
23
_
= det
_
a
12
a
13
a
22
a
23
_
Dveloppement dun dterminant suivant une ligne ou une colonne :
Le dterminant de la matrice A sobtient en formant la somme de produits de chaque l-
ments dune ligne (ou une colonne) par son cofacteur.
HACHIMI Cours Semestre 2
5 Dterminants 49
Si on considre la i
me
ligne, on a
det A = (1)
i+1
a
i1
det A
i1
+ (1)
i+2
a
i2
det A
i2
+ + (1)
i+n
a
in
det A
in
= a
i1
i1
+a
i2
i2
+ +a
in
in
. ()
Si on considre la j
me
colonne, on a
det A = (1)
1+j
a
1j
det A
1j
+ (1)
2+j
a
2j
det A
2j
+ + (1)
n+j
a
nj
det A
nj
= a
1j
1j
+a
2j
2j
+ +a
nj
nj
. ()
Les deux formules permettent de ramener le calcul dun dterminant dordre n celui des
dterminants dordre n 1. On peut alors appliquer ces derniers lune des deux formules
pour se ramener au calcul de dterminants dordre n 2, et ainsi de suite, jusqu arriver
des dterminants dordre 2 quon sait calculer.
On notera que pour n = 3, cette dnition concide avec celle du dterminant dordre 3
introduite dans la section 1.1.
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
= a
11
a
22
a
23
a
32
a
33
a
21
a
12
a
13
a
32
a
33
+a
31
a
12
a
13
a
22
a
23
= a
11
a
22
a
33
+a
21
a
32
a
13
+a
31
a
12
a
33
a
11
a
32
a
23
a
21
a
12
a
33
a
31
a
22
a
13
Exemple :
Considrons La matrice Aci-dessous et calculons son dterminant :
A =
_
_
1 3 8
2 4 0
7 1 0
_
_
Dveloppons le dterminant, par exemple, suivant la 1
re
ligne :
1 3 8
2 4 0
7 1 0
= 1
4 0
1 0
2 0
7 0
+ 8
2 4
7 1
= 208
Dveloppons le dterminant, par exemple, suivant la 3
re
colonne :
1 3 8
2 4 0
7 1 0
= 8
2 4
7 1
1 3
7 1
+ 0
1 3
2 4
= 208
Avec les diffrents dveloppements, on obtient toujours le mme rsultat.
Note pratique : Pour le calcul de dterminant dune matrice, on choisira naturellement la
ligne ou la colonne qui contient un maximum de termes nuls.
Exemple :
Dterminant dune matrice diagonale :
1
0 . . . 0
0
2
. . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . .
n
=
1
2
0 . . . 0
0
3
. . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . .
n
=
1
3
0 . . . 0
0
3
. . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . .
n
= =
1
2
n
HACHIMI Cours Semestre 2
5 Dterminants 50
Dterminant dune matrice triangulaire suprieure :
a
11
a
12
. . . a
1n
0 a
22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . a
nn
= a
11
a
11
a
12
. . . a
1n
0 a
22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . a
nn
= a
11
a
22
a
11
a
12
. . . a
1n
0 a
22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . a
nn
= = a
11
a
22
a
nn
2. Proprits fondamentales des dterminants
Soit Aune matrice carre dordre n.
A =
_
_
_
_
_
a
1
a
2
. . . a
n
a
1
a
11
a
12
. . . a
1n
a
2
a
21
a
22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n
a
n1
a
n2
. . . a
nn
_
_
_
_
_
a
i
reprsente la i
me
ligne de Aet a
j
reprsente la j
me
colonne de A.
Les proprits suivantes des dterminants offrent un moyen de manipuler une matrice et de
simplier ses termes ou den ramener une partie des zros, avant de calculer le dtermi-
nant.
1. Symtrie : Le dterminant dune matrice Aest gal au dterminant de sa transpose
Proposition 5.2 :
Un dterminant ne change pas si on change ses lignes et ses colonnes :
det(
t
a
1
, . . . ,
t
a
i
, . . . ,
t
a
n
) = det(a
1
, . . . , a
i
, . . . , a
n
)
Exemple :
1 2 4
3 8 0
1 5 7
1 3 1
2 8 5
4 0 7
= 42
2. Linarit : Le dterminant est additif en chacune de ses colonnes (resp. lignes) et la
multiplication dune colonne (resp. ligne) par multiplie le dterminant par .
Proposition 5.3 :
Le dterminant dune matrice carre est une forme linaire des lments dune colonne :
det(a
1
, . . . , a
i
+b
i
, . . . , a
n
) = det(a
1
, . . . , a
i
, . . . , a
n
) + det(a
1
, . . . , b
i
, . . . , a
n
)
det(a
1
, a
2
, . . . , a
i
, . . . , a
n
) = det(a
1
, a
2
, . . . , a
i
, . . . , a
n
)
HACHIMI Cours Semestre 2
5 Dterminants 51
Exemple :
1 2 4
3 8 0
1 5 7
1 2 4 + 0
3 8 0 + 0
1 5 0 + 7
1 2 4
3 8 0
1 5 0
1 2 0
3 8 0
1 5 7
= 28 + 14 = 42.
2 2 4
6 8 0
2 5 7
2 1 2 4
2 3 8 0
2 1 5 7
= 2
1 2 4
3 8 0
1 5 7
= 2 42 = 84.
Remarque : En vertu de la Proposition 5.3, on conclut que le dterminant est aussi une
forme linaire des lments dune ligne.
3. Alternance : Lintervention de deux lignes ou deux colonnes quelconques dune matrice
change le signe, mais non la valeur absolue, du dterminant
Proposition 5.4 :
Si lon change deux colonnes dun dterminant, celui-ci change de signe en gardant la
mme valeur absolue.
det(a
1
, . . . , a
i
, . . . , a
j
, . . . , a
n
) = det(a
1
, . . . , a
j
, . . . , a
i
, . . . , a
n
)
Exemple :
2 1 4
8 3 0
5 1 7
1 2 4
3 8 0
1 5 7
= 42
4. Consquences : A partir des proprits prcdentes, on tire :
Proposition 5.5 :
Si deux colonnes sont identiques, le dterminant est nul :
det(a
1
, . . . , a
i
, . . . , a
i
, . . . , a
n
) = 0
Proposition 5.6 :
Le dterminant ne change pas si on ajoute une colonne un multiple dune autre.
det(a
1
, . . . , a
i
+a
j
, . . . , a
j
, . . . , a
n
) = det(a
1
, . . . , a
i
, . . . , a
j
, . . . , a
n
)
Exemple :
1 2 0
3 8 4
1 5 7
1 2 + (2) 1 0
3 8 + (2) 3 4
1 5 + (2) 1 7
1 0 0
3 2 4
1 3 7
= 1
2 4
3 7
= 2
HACHIMI Cours Semestre 2
5 Dterminants 52
Proposition 5.7 :
Le systme a
1
, a
2
, . . . , a
n
est li. = det A = 0
Dmonstration. Les vecteurs a
1
, a
2
, . . . , a
n
tant lis, lun dentre eux peut sexprimer
comme une combinaison linaire des autres. Supposons, pour simplier la prsentation,
que tel est le cas pour le premier dentre eux et donc que lon a :
a
1
=
2
a
2
+
3
a
3
+ +
n
a
n
.
Par consquent :
det(a
1
, a
2
, . . . , a
n
) = det(
2
a
2
+
3
a
3
+ +
n
a
n
, a
2
, . . . , a
n
)
Do, comme le dterminant est une forme linaire dune colonne :
det(a
1
, a
2
, . . . , a
n
) =
2
det(a
2
, a
2
, . . . , a
n
) +
3
det(a
3
, a
2
, a
3
, . . . , a
n
)
+ +
n
det(a
n
, a
2
, . . . , a
n
)
= 0
puisque det(a
2
, a
2
, . . . , a
n
) = 0, det(a
3
, a
2
, a
3
, . . . , a
n
) = 0,. . . , det(a
n
, a
2
, . . . , a
n
) = 0.
5. Produit : Le dterminant du produit de deux matrices carres de mme ordre est gal
au produit de leurs dterminants.
Proposition 5.8 :
Soient Aet B deux matrices dordre n. On a :
det(A B) = det A det B.
Il resort de cette proprit que :
Proposition 5.9 :
Si Aest une matrice carre inversible, alors :
det A ,= 0 et det(A
1
) =
1
det A
3 1
1 2
+
3 1
1 2
3 1
1 2
+
3 1
1 2
3 1
1 2
+
3 1
1 2
_
_
_
_
_
_
_
_
_
=
_
_
5 1 7
1 7 5
7 5 1
_
_
Dnition 5.3 :
On appelle matrice adjointe dune matrice carre A, et on note A
, la transpose de la
comatrice de A:
A
=
t
(cof A)
Proposition 5.10 :
Soit Aune matrice carre dordre n, on a :
AA
= (det A)I
n
= A
A.
Dmonstration. Soit A = (a
ij
) une matrice carre dordre n et A
= (a
ij
) son adjointe. Le
terme c
ij
du produit AA
est :
c
ij
= a
i1
a
1j
+a
i2
a
2j
+ +a
in
a
nj
= a
i1
j1
+a
i2
j2
+ +a
in
jn
puisque A
= (a
ij
) =
t
(cof A) = (
ji
)
Pour i = j, on a :
c
ij
= a
i1
i1
+a
i2
i2
+ +a
in
in
= det A (dveloppement du dterminant suivant i
me
ligne)
Pour i ,= j, on a :
c
ij
= a
i1
j1
+a
i2
j2
+ +a
in
jn
= b
j1
j1
+b
j2
j2
+ +b
jn
jn
= det B (dveloppement du dterminant suivant j
me
ligne)
HACHIMI Cours Semestre 2
5 Dterminants 54
o B est la matrice obtenue en remplaant dans Ala j
me
ligne par la i
me
ligne.
B =
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
b
11
b
12
. . . b
1n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
L
i
b
i1
b
i2
. . . b
in
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
L
j
b
j1
b
j2
. . . b
jn
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b
n1
b
n2
. . . b
nn
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
=
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
a
11
a
12
. . . a
1n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
L
i
a
i1
a
i2
. . . a
in
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
L
j
a
i1
a
i2
. . . a
in
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
. . . a
nn
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
(Notons que B
j1
= A
j1
, B
j2
= A
j2
,. . . ,B
jn
= A
jn
ce qui justie alors que
j1
=
j1
,
j2
=
j2
,. . . ,
jn
=
jn
.)
Or, dans la matrice B, les deux lignes L
i
et L
j
sont identiques. Donc, daprs la Proposi-
tion 5.5, det B = 0. On conclut que :
c
ij
=
_
det A si i = j
0 si i ,= j
= det A
_
1 si i = j
0 si i ,= j
soit : AA
= (det A)I
n
.
On montre de la mme faon que A
A = (det A)I
n
, en utilisant un dveloppement du
dterminant suivant les colonnes.
Le rsultat prcdent sapplique au calcul de linverse A
1
de la matrice A.
Thorme 5.1 :
Si Aest une matrice inversible, on a
A
1
=
1
det A
A
= A
I
n
= A
(AA
1
) = (A
A)A
1
= (det A)I
n
A
1
= (det A)A
1
o n est lordre de la matrice A. Do :
A
1
=
1
det A
A
Exemple :
Reprenons la matrice :
A =
_
_
1 2 3
2 3 1
3 1 2
_
_
on calcule son dterminant avec la rgle de Sarrus :
1 2 3 1 2
2 3 1 2 3
3 1 2 3 1
donne det A = 6 + 6 + 6 8 1 27 = 18.
Comme det A ,= 0, la matrice Aest inversible. Do :
A
1
=
1
det A
A
=
1
18
t _
_
5 1 7
1 7 5
7 5 1
_
_
=
1
18
_
_
5 1 7
1 7 5
7 5 1
_
_
HACHIMI Cours Semestre 2
6
Systmes dquations
linaires
1. Dnitions
Soient E et F deux espaces vectoriels sur R, de dimensions respectives n et m. Soient Bune
base de R
n
et B
. Soient b
1
, . . . , b
m
les composantes du
vecteur b dans la base B
; x
1
, . . . , x
n
les composantes du vecteur inconnu x dans la base B.
Lquation () est quivalente au systme (S) suivant :
(S)
_
_
a
11
x
1
+ + a
1j
x
j
+ + a
1n
x
n
= b
1
a
21
x
1
+ + a
2j
x
j
+ + a
2n
x
n
= b
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
x
1
+ +a
mj
x
j
+ +a
mn
x
n
=b
m
o les a
ij
et b
i
sont des nombres donns.
Le systme (S) sappelle systme dquations linaires de m quations et n inconnues.
Les a
11
, a
12
, . . . , a
nm
sont des nombres donns appels coefcients du systme.
Les b
1
, b
2
, . . . , b
m
sont des nombres donns appels coefcients du second membre.
Les x
1
, x
2
, . . . , x
n
sont des nombres inconnus appels inconnus du systme.
Si b
1
= b
2
= = b
m
= 0, on dit que le systme est homogne.
On appelle solution du systme (S) tout vecteur (x
1
, . . . , x
n
) R
n
dont les composantes
vrient simultanment les m quations du systme.
Si le systme (S) admet une solution on dit quil est soluble sinon il est insoluble.
HACHIMI Cours Semestre 2
6 Systmes dquations linaires 56
Exemple :
Considrons le systme () dni par :
()
_
x
1
x
2
+x
3
= 3
x
1
+x
2
x
3
= 1
Le systme () est systme dquations linaires de 2 quations 3 inconnues.
Remarque : Si un nonc demande : Rsoudre le systme (S) , cela signie trouver tous
les solutions du systme (S).
Le systme (S) peut se mettre sous la forme de lquation matricielle suivante :
_
_
_
_
_
_
a
11
a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
a
p2
. . . a
mn
_
_
_
_
_
_
. .
A
_
_
_
_
_
_
x
1
x
2
.
.
.
x
n
_
_
_
_
_
_
. .
X
=
_
_
_
_
_
_
b
1
b
2
.
.
.
b
m
_
_
_
_
_
_
. .
B
Soit :
AX = B (M)
Si a
1
, . . . , a
n
sont les vecteurs-colonnes de A, scrit sous la forme vectorielle :
x
1
a
1
+x
2
a
2
+ +x
n
a
n
= b (V )
Dnition 6.1 :
La matrice Asappelle la matrice associe au systme (S).
Exemple :
Le systme () de lexemple prcdent peut scrire sous la forme matricielle suivante :
_
1 1 1
1 1 1
_
_
_
x
1
x
2
x
3
_
_
=
_
3
1
_
Dnition 6.2 :
On appelle rang du systme (S) et on note rg(S), le rang de la matrice A, autrement dit
le rang de lapplication f.
Remarque : On a les rsultats suivants :
Si rang A = m, alors le systme (S) admet au moins une solution, puisque dans ce cas f
est surjective. En effet, rg A = m rg f = m rg f = dimR
m
f surjective.
Si rg A = n, alors le systme (S) admet au plus une solution, puisque dans ce cas f est
injective. En effet, rg A = n rg f = n rg f = dimR
n
f injective.
Si rg A = n = m, alors le systme (S) admet une unique solution, puisque dans ce cas f
est bijective. En effet, rg A = n = m f injective et surjective f bijective.
HACHIMI Cours Semestre 2
6 Systmes dquations linaires 57
2. Systme de Cramer
Dnition 6.3 :
Le systme (S) est dit systme de Cramer si :
n = m = rang(S)
Proposition 6.1 :
Le systme (S) est dit systme de Cramer si :
n = m et det A ,= 0
Dmonstration. On a : (S) systme de Cramer n = m et rang(S) = n
n = m et rang A = n
n = m et Ainversible
n = m et det A ,= 0
ce qui dmontre la proposition.
Remarque : Le systme (S) est de Cramer si, et seulement si, la matrice du systme est
carre inversible.
Proposition 6.2 :
Tout systme de Cramer admet une solution unique :
X = A
1
B
Dmonstration. Si (S) est un systme de Cramer, la matrice A est inversible, et on peut
donc considrer A
1
. Comme AX = B, on a :
A
1
AX = A
1
B donc X = A
1
B
puisque A
1
A = I
n
(o n est lordre de A).
Thorme 6.1 :
Si le systme (S) est de Cramer, alors il admet une solution x unique et lon a :
x
i
=
det(a
1
, . . . , a
i1
, b, a
i+1
. . . , a
n
)
det A
o i 1, 2, . . . , n
Ces galits sont appeles les formules de Cramer.
Dmonstration. Soit B
1
la matrice qui a les mmes colonnes que la matrice A, sauf en ce
qui concerne la premire, qui est remplace par le vecteur colonne b :
B
1
= (b a
2
. . . a
n
)
HACHIMI Cours Semestre 2
6 Systmes dquations linaires 58
Soit, en utilisant lquation (V ) :
B
1
= (x
1
a
1
+x
2
a
2
+ +x
n
a
n
a
2
. . . a
n
).
Do, en passant aux dterminants :
det B
1
= det(x
1
a
1
+x
2
a
2
+ +x
n
a
n
, a
2
, . . . , a
n
).
Le dterminant tant une forme linaire dune colonne, on a :
det B
1
= x
1
det(a
1
, a
2
, . . . , a
n
) +x
2
det(a
2
, a
2
, . . . , a
n
)
. .
= 0
+ +x
n
det(a
n
, a
2
, . . . , a
n
)
. .
= 0
= x
1
det(a
1
, a
2
, . . . , a
n
)
. .
det A
Ce qui implique :
x
1
=
det B
1
det A
=
det(b, a
2
, . . . , a
n
)
det A
De la mme manire, on montre que :
x
i
=
det B
i
det A
i = 1, . . . , n
o B
i
= (a
1
. . . a
i1
b a
i+1
. . . a
n
)
Exemple :
Considrons le systme :
_
_
5x
1
2x
2
+ 3x
3
= 16
2x
1
+ 3x
2
5x
3
= 2
4x
1
5x
2
+ 6x
3
= 7
la matrice de ce systme est : A =
_
_
_
5 2 3
2 3 5
4 5 6
_
_
_
On a :
det A =
5 2 3
2 3 5
4 5 6
= 37
Do la solution :
x
1
=
16 2 3
2 3 5
7 5 6
det A
, x
2
=
5 16 3
2 2 5
4 7 6
det A
, x
3
=
5 2 16
2 3 2
4 5 7
det A
Soit :
x
1
=
111
37
= 3, x
2
259
37
= 7, x
3
=
185
37
= 5.
3. Mthode de rsolution de Gauss
La mthode de Gauss consiste transformer une matrice, par des oprations lmentaires
sur ses lignes, en une autre matrice comportant un certain nombre de zro(s) . Par opra-
tion lmentaire on entend toute opration de lun des trois types suivants :
TYPE 1 : changer deux lignes : L
i
L
j
.
TYPE 2 : multiplier une ligne par un nombre ,= 0 : L
i
L
i
.
TYPE 3 : ajouter une ligne un multiple dune autre ligne : L
i
L
i
+L
j
.
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6 Systmes dquations linaires 59
Dnition 6.4 :
On dit quune matrice Mest ligne-quivalente la matrice N si N est obtenu partir
de la suite doprations lmentaires sur les lignes.
Exemple :
Les matrices suivantes sont lignes-quivalentes.
A =
_
_
_
1 1 2
1 2 3 L
2
L
2
L
1
2 6 9 L
3
L
3
2L
1
_
_
_
_
_
_
1 1 2
0 1 1
0 4 5 L
3
L
3
4L
2
_
_
_
_
_
_
1 1 2
0 1 1
0 0 1
_
_
_ = B
Considrons le systme linaire (S) de m quations et n inconnues suivant :
_
_
a
11
x
1
+ + a
1j
x
j
+ + a
1n
x
n
= b
1
a
21
x
1
+ + a
2j
x
j
+ + a
2n
x
n
= b
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
x
1
+ + a
mj
x
j
+ + a
mn
x
n
= b
m
La matrice Aassocie au systme (S) et le vecteur du second membre B sont donnes par :
A =
_
_
_
_
_
_
a
11
a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
a
m2
. . . a
mn
_
_
_
_
_
_
B =
_
_
_
_
_
_
b
1
b
2
.
.
.
b
m
_
_
_
_
_
_
Dnition 6.5 :
On appelle matrice augmente du systme (S), et on note (A[B), la matrice forme par
la matrice A laquelle on rajoute B comme (n + 1)
ime
colonne.
La matrice augmente du systme (S) est :
_
_
_
_
_
_
a
11
a
12
. . . a
1n
b
1
a
21
a
22
. . . a
2n
b
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
a
m2
. . . a
mn
b
m
_
_
_
_
_
_
Exemple :
La matrice augmente du systme :
_
_
2x
1
x
2
x
3
= 1
x
1
+x
2
2x
3
= 3
3x
1
+ 2x
2
3x
3
= 2
est : (A[B) =
_
_
_
2 1 1 1
1 1 2 3
3 2 3 2
_
_
_
HACHIMI Cours Semestre 2
6 Systmes dquations linaires 60
Proposition 6.3 :
Soient Met N sont deux matrices augmentes de deux systmes linaires. Si Met N
sont lignes-quivalentes, alors les deux systmes ont le mme ensemble de solutions.
Exemple :
Rsolvons le systme suivant :
_
_
3x
1
+ 2x
2
+ 6x
3
= 24
2x
1
+ 4x
2
+ 3x
3
= 23
5x
1
+ 3x
2
+ 4x
3
= 33
La matrice augmente est :
_
_
L
1
3 2 6 24
L
2
2 4 3 23
L
3
5 3 4 33
_
_
Faisons les transformations : L
1
1
/
3
L
1
= L
1
, L
2
L
2
2L
1
et L
3
L
3
5L
1
_
_
_
_
_
_
_
L
1
1
2
3
2 8
L
2
0
8
3
1 7
L
3
0
1
3
6 7
_
_
_
_
_
_
_
Faisons les transformations : L
2
3
/
8
L
2
= L
2
et L
3
L
3
1
/
3
L
2
_
_
_
_
_
_
_
L
1
1
2
3
2 8
L
2
0 1
3
8
21
8
L
3
0 0
49
8
49
8
_
_
_
_
_
_
_
Faisons les transformations : L
3
8
/
49
L
3
= L
3
_
_
_
_
_
L
1
1
2
3
2 8
L
2
0 1
3
8
21
8
L
3
0 0 1 1
_
_
_
_
_
On dtermine donc la solution ou les solutions du systme partir de la matrice triangularise :
_
_
x
1
+
2
3
x
2
+ 2x
3
= 8
x
2
3
8
x
3
=
21
8
1 x
3
= 1
Do :
x
3
= 1, x
2
=
21
8
+
3
8
= 3, x
1
= 8
2
3
3 2 = 4.
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