Cours / TP Avec Octave: 1.1 Premi' Ere Utilisation D'octave
Cours / TP Avec Octave: 1.1 Premi' Ere Utilisation D'octave
Cours / TP Avec Octave: 1.1 Premi' Ere Utilisation D'octave
2+2 sin([pi,pi/2])
a=2.5+1; z=1:4;
A=[1,2;3,4]; z
A eps
A*[2,3;1,1] % produit matriciel realmax
v=[1,2,3] realmin
w=v’
On remarquera que le point virgule en fin de ligne supprime l’affichage, et que % délimite sur
la gauche une ligne de commentaires.
1
Licence Mathématiques 2ème année, Méthodes Numériques 2, Institut Galilée, Année 2020-2021
2. L’instruction conditionnelle : if then else. Voici un exemple d’instructions if then else permet-
tant de calculer la valeur absolue de x.
x=3.1;
if x<0 then
y=-x
else
y=x
end
A=rand(4,4);B=inv(A);
C=A*B
2
Licence Mathématiques 2ème année, Méthodes Numériques 2, Institut Galilée, Année 2020-2021
3
Licence Mathématiques 2ème année, Méthodes Numériques 2, Institut Galilée, Année 2020-2021
2 Erreurs d’arrondis
Considérons par exemple le calcul de ex , x ă 0 qui est très sensible aux erreurs d’arrondi,
lorsqu’on le calcule par un développement en série de Taylor
8
ÿ pxqj x2 x3 x4
ex “ “1`x` ` ` ´ ¨¨¨
j“0
j! 2 6 24
Sur l’ordinateur, on doit se fixer un entier N et on calcule une valeur approchée de ex par la formule
N
ÿ xj
ex « . (1)
j“0
j!
Exercice 11. 1. Écrire la fonction Expf (à l’aide de la fonction fact) permettant de calculer
une valeur approchée de ex à l’aide de la formule (1).
2. Calculer les différentes valeurs approchées de e´20 en fonction de N , pour N prenant les
valeurs : 20, 60, 120, 200. Comparer vos résultats à la valeur de e´20 obtenue avec Octave
(taper exp(-20)). Quel problème observez-vous sur la précision obtenue avec vos calculs ?
3. Identifier d’où vient ce problème, et trouver un moyen d’y palier.
3 Travaux Pratiques
3.1 Interpolation polynomiale
La fonction polyfit.m d’Octave fourni les coefficient du polynôme d’interpolation de La-
grange p (noté Πn dans le cours), et la fonction polyval.m permet de calculer p aux nœuds
d’interpolation, afin de le réprésenter ensuite graphiquement.
Exercice 12.
Climatologie : lancer le programme PbClimat et observer ce qui se passe lorsque le degré du poly-
nôme d’interpolation est n “ 4 (figure 1), puis pour n “ 12 (figure 2).
Phénomène de Runge : lancer le programme PbRunge et observer ce que donne l’interpolation de
Lagrange (figure 1) et l’interpolation de Lagrange par morceaux (figure 2). Tester différentes valeurs
de n et observer le comportement de ces deux approches.
4
Licence Mathématiques 2ème année, Méthodes Numériques 2, Institut Galilée, Année 2020-2021
Exercice 13. Écrire à la main deux fonctions Trapeze et Simpson calculant une valeur approchée
de l’intégrale de a à b d’une fonction f continue, par la méthode du trapèze composite et de Simpson
composite avec m sous-intervalles, respectivement.
Exercice 14. Écrire en Octave les fonctions de l’exercice 12. Ecrire un script permettant de
valider vos fonctions : on prendra par exemple a “ 0, b “ π, f pxq “ sinpxq, et on calculera l’erreur
şb
relative entre a f pxqdx (qui est connue ici) et sa quadrature. En particulier, si on double m, on
pb´aq2
doit observer que l’erreur (qui est en h2 “ m2 q doit être divisée par 4.
Exercice 15. On considère le problème de démographie du polycopié de cours. On cherche à
calculer une approximation du nombre d’individus dont la taille est comprise entre 1.8m et 1.9m.
1. Ecrire un script donnant une valeur approchée du nombre d’individus entre 1.8m et 1.9m par
la méthode du trapèze composite et de Simpson composite.
2. Pour chaque méthode (trapèze et Simpson composites), tester différentes valeurs de m, puis
trouver un nombre d’intervalle suffisant m0 permettant d’obtenir 27.1810 (i.e. tel que l’on
ait les mêmes 4 chiffres signicatifs après la virgule pour ces 2 méthodes). Donner une inter-
prétation de ces résultats.