Equations Aux Derivees Partielles
Equations Aux Derivees Partielles
Equations Aux Derivees Partielles
Annexes 30
Annexe A : Table de la transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
ii
Chapitre 1
2 T
2πn
Z
an = f ( x ) cos x dx, n = 0, 1, 2, . . .
T 0 T
2 T
2πn
Z
bn = f ( x ) sin x dx, n = 1, 2, . . .
T 0 T
1
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sa série de Fourier. Alors la série obtenue par différentiation terme à terme de la série de Fourier
de f converge et pour tout x ∈ R, on a :
∞
f 0 )( x + 0) + f 0 ( x − 0)
2πn 2πn 2πn
= ∑ bn cos x − an sin x .
2 n =1
T T T
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Corollaire 1.2 (Série de Fourier en cosinus). Soit f : [0, L] → R une fonction régulière par
morceaux. Alors la série suivante converge
∞
a0 πn
Fc ( x ) = + ∑ an cos x ,
2 n =1
L
où
2 L
Z πn
f (y) cos an = y dy.
L 0 L
De plus en tout points x ∈ (0, L) où f est continue, l’égalité suivante aura lieu
Fc ( x ) = f ( x ).
Corollaire 1.3 (Série de Fourier en sinus). Soit f : [0, L] → R une fonction régulière par
morceaux. Alors la série suivante converge
∞ πn
Fs ( x ) = ∑ bn sin x ,
n =1
L
où
2 L
Z πn
bn = f (y) sin y dy.
L 0 L
De plus en tout points x ∈ (0, L) où f est continue, l’égalité suivante aura lieu
Fs ( x ) = f ( x ).
1.2 Exemples
Exemple 1.1. Trouver la série de Fourier de f ( x ) = cos x avec T = 2π.
Il est évident que la fonction f est paire donc bn = 0 pour tout n. De même, on observe
que an = 0 pour tout n 6= 1 et que
Z 2π
1
a1 = cos x cos xdx = 1.
π 0
Par conséquent,
F0 [ f ] = 0, F1 [ f ]( x ) = cos x, FN [ f ]( x ) = F1 [ f ]( x ) = F [ f ]( x ) = cos x, ∀ N.
Exemple 1.2. Soit (
1 si x ∈ [0, ı)
f (x) =
0 si x ∈ [π2π )
et par étendu par 2π-périodicité à R. Trouver la série de Fourier de f , comparer F [ f ] et f puis
calculer
∞
(−1)n
∑ 2n + 1 .
n =0
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1 sin nx π
1 1
Z π Z π
a0 = dx = 1, an = cos nxdx = = 0, ∀n ≥ 1,
π 0 π 0 π n 0
1 π
Z
1 − cos nx
π
1 0 si n pair
bn = sin nxdx = = (1 − (−1)n ) = 2 .
π 0 π n 0 nπ si n impair
nπ
On obtient ainsi
1 si x ∈ (0, π )
2 ∞ sin((2n + 1) x )
1
F [ f ]( x ) = + ∑ = 0 si x ∈ (π, 2π )
2 π n =0 2n + 1
1
si x = 0, π, 2π
2
π
En particulier, si x = , on obtient
2
∞
(−1)n π
∑ = .
n=0 2n + 1 4
∞
1
pour x ∈ (−π, π ] et étendue par 2π-périodicité. Comparer F [ f ] et f . Calculer ∑ n2
.
n =1
On observe d’abord que comme la fonction donnée est impaire, tous les coefficients an
sont nuls. D’autre part, on a :
1 x 2 x (−1)n−1
Z π Z π
bn = sin nxdx = sin nxdx = .
π −π 2 π 0 2 n
Par le thérorème de Dirichlet, on a
∞
(−1)n−1
F [ f ]( x ) = f ( x ) = ∑ n2 sin nx, ∀ x ∈ [−π, π ].
n =0
π−x
Exemple 1.4. Soit f la fonction 2π-périodique telle que f ( x ) = pour tout x ∈] − π, π [.
2
Ecrire la série de Fourier de f .
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α + β + ∞ 2( α − β )
F [ f ]( x ) = +∑ sin((2n − 1)πx ).
2 n =1
(2n − 1)π
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Exercice 1.4. Calculer les séries de Fourier associés aux fonctions 2π périodiques sui-
vantes :
1. f ( x ) = π − x pour 0 < x ≤ π et f paire.
2. g( x ) = π − x pour 0 ≤ x ≤ π et g impaire.
f ( x ) = e− x , x ∈ [−π; π [.
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Chapitre 2
Définition 2.2. .
1. Soit f ∈ L1 (R), on appelle transformée de Fourier de f la fonction F ( f ) : R → C telle
que
Z +∞
F ( f )(s) = e−2πist f (t)dt.
−∞
7
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Π(t) = 1 si t ∈ [− 12 ; 12 ]
.
Π(t) = 0 si t ∈/ [− 12 ; 12 ]
Π T (t) = T1 si t ∈ [− T2 ; T2 ]
Π T (t) = 0 si t ∈/ [− T2 ; T2 ]
où T est un nombre réel strictement positif. On vérifie aisément que Π T (t) = T Π( T )
1 t
sin πsT
F (Π T )(s) = .
πsT
Exemple 2.4 (Fonctions exponetielles). .
Soit a > 0, f : s 7→ e−a|t| . La fonction f est paire et on a
Z +∞
F ( f )(s) = 2 e−at cos 2πstdt.
0
F (λ f + µg) = λF ( f ) + µF ( g).
df
Proposition 2.3 (Transformée d’une dérivée). Si f est continue et si f 0 = dt ∈ L1 ( R ) ,
alors :
F ( f 0 ) : s 7→ 2iπsF ( f )(s).
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Démonstration. On a :
Z +∞
F ( f 0 )(s) = e−2iπst f 0 (t)dt
−∞
Z +∞
−2iπst ∞
= [e f (t)]+
−∞ + 2πis e−2iπst f (t)dt
−∞
= 2πisF ( f )(s).
Proposition 2.4 (Règle de multiplication par t). Si la fonction t 7→ t f (t) est un signal
stable, alors on a :
d
(F ( f )) : s 7→ −2iπF (t f (t))(s).
ds
La notation abusive F (t f (t)) représente la transformée de Fourier de t 7→ t f (t).
Démonstration. Supposons que t 7→ t f (t) est un signal stable. Alors :
Z +∞ Z +∞
d d −2iπst
(F ( f ))(s) = (e f (t))dt = −2iπ (e−2iπst t f (t))dt = −2iπF (t f (t))(s).
ds −∞ ds −∞
τa f (t) = f (t − a).
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1
F (F ( f ))(t) = [ f (t + 0) + f (t − 0)]
2
où f (t + 0) et f (t − 0) représentent la limite à droite et à gauche en t. Si de plus f est continue,
alors
F (F ( f ))(t) = f (t)
et on peut écrire
Z +∞ Z +∞
−2iπst
F ( f )(s) = e f (t)dt ⇔ f (t) = e2iπst F ( f )(s)ds.
−∞ −∞
Remarque 2.3. Il découle de la linéarité de l’intégrale que si f et g sont deux fonctions qui
satisfont à la condition aux limites (2.1) alors pour tout α, β ∈ R, on a :
Lemme 2.2. Soit f ∈ L1loc (R) (espace des fonctions localement intégrables). Si pour <( p) =
σ0 , la fonction e− pt f (t) est intégrable sur R+ , alors elle est intégrable dans tout le demi-plan
complexe tel que σ > σ0 .
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eiωt + e−iωt
L(cos ωt)( p) = L ( p)
2
1h i
= L(eiωt )( p) + L(e−iωt )( p)
2
1 1 1
= +
2 p − iω p + iω
p
= 2 .
p + ω2
eiωt −e−iωt
On montre de même en utilisant la relation sin ωt = 2i que
ω
L(sin ωt)( p) = .
p2 + ω2
Exemple 2.7. Fonction de Heaviside où échelon unité
1 si t ≥ 0
Γ(t) =
0 si t < 0
Z +∞ h 1 i+∞ 1
L(Γ(t))(s) = e−st dt = − e−st = ; s > 0.
0 s 0 s
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On remarquera en effet dans le membre de gauche, que lorsque t varie entre 0 et +∞,
u varie entre 0 et t. Ce qui est équivalent en permuttant les intégrales, à faire varier u
entre 0Zet +∞ et t entre u et +∞. On a ensuite :
+∞ 1
— e−σt dt = −σu avec la condition σ > 0
uZ σe
1 +∞
— | f (u)|e−σu du converge pour σ > σ f .
σ 0
En conclusion, la transformée de Laplace de la primitive de f (t) existe sous les condi-
tions σ > 0 et σ > σ f ou autrement dit σ > max{σ f ; 0}. Ce qui nous permet d’énoncer
le théorème suivant :
Théorème 2.3. Soit f un signal admettant Pf comme primitive. Alors, on a
1
L( Pf )(d) = L( f )( p).
p
Démonstration.
Z +∞ Z t +∞
Z +∞
Z +∞
1
Z
− pt − pt
f (u)du e dt = f (u) e dt du = f (u)e− pu du
0 0 0 u p 0
1
= L( f )( p).
p
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Théorème 2.5. Soit f un signal tel que dans l’introduction ci-dessus. Alors :
df
1. L ( p) = pL( f )( p) − f (0).
dt
n
d f
2. L n
( p) = pn L( f )( p) − [ pn−1 f (0) + pn−2 f 0 (0) + pn−3 f 00 (0) + · · · + f (n−1) (0)].
dt
Démonstration. Nous prouvons le résultat 1. Le 2 s’obtient en itérant le premier résultat.
Z +∞ Z T Z T
0 − pt 0 − pt − pt T − pt
f (t)e dt = lim f (t)e dt = lim f (t)e 0
+p f (t)e dt
0 T →+∞ 0 T →+∞ 0
En tenant compte du fait que f est à croissance bornée, on a f (t)e− pT ≤ A0 e(a− p)T et
T
puisque <( p) > a, il vient que lim f (t)e− pt 0 = 0 et la première partie du théorème
T →+∞
est établie.
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Exemple 2.10. L’on se propose de calculer la transformée de Laplace de f (t) = cos ωt. Par
application de la formule de la transformée de la dérivée seconde, on a f (0) = 1, f 0 (0) = 0,
f 00 (0) = −ω 2 cos ωt et
et on en déduit
p
L(cos ωt)( p) = .
p2 + ω 2
Exemple 2.11. Trouvons la transformée de Laplace de f (t) = sin2 t par la méthode des dérivées
successives.
Nous pouvons ici nous limiter à la dérivée première car nous connaissons la transformée de
cette dérivée. On a f (0) = 0, f 0 (t) = 2 cos t sin t = sin 2t, et en utilisant la formule,
On a
L(sin 2t)( p) = pL(sin2 t)( p) − 0
, mais on a
2
L(sin 2t)( p) = ,
p2 + 22
on en déduit que
2
L(sin2 t)( p) = .
p ( p2 + 4)
Exemple 2.12. Trouver la transformée de Laplace de f (t) = t sin ωt par le procédé de la
transformée des dérivées successives.
On a :
En utilisant la formule
on arrive à
L[−ω 2 t sin ωt]( p) = p2 L[t sin ωt]( p) − p.0 − 0,
or :
2ωp
L[−ω 2 t sin ωt]( p) = −ω 2 L[t sin ωt]( p) + 2ωL[cos ωt]( p) = −ω 2 L[cos ωt]( p) +
p2 + ω2
on en déduit que
2ωp
L[t sin ωt]( p) = .
( p2 + ω 2 )2
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Démonstration. On commence par écrire la dédinition dans le cas d’une fonction quel-
conque satisfaisant à (2.1)
Z ∞
L( f (t))(s) = e−st f (t)dt = lim Sn
0 n→+∞
où Z T Z 2T Z ( n +1) T
−st −st
Sn = e f (t)dt + e f (t)dt + ... + e−st f (t)dt.
0 T nT
Posons ensuite le changement de variable u = t − kT, alors t = u + kT et on a :
Z ( k +1) T Z T Z T Z T
−st −s(u+kT ) −skT −su −skT
e f (t)dt = e f (u + kT )du = e e f (u + kT )du = e e−su f (u)du.
kT 0 0 0
Ainsi on a :
1 − e − s ( n +1) T
Z T Z T
−st −2st −nst −st
Sn = (1 + e +e + ... + e ) e f (t)dt = e−st f (t)dt.
0 1 − e−sT 0
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Une simplification, puis une seconde intégration par parties permet d’obetnir
h i2π Z 2π
−2sπ −st
I = (1 − e )−s −e cos t −s 2
e−st sin tdt,
0 0
Ce problème est ainsi limité à une classe de problèmes qui sont rencontrés dans l’étude
des systèmes linéaires invariants dans le temps. Ces systèmes sont caractérisés par
l’étude des transformées de Laplace qui se mette sous la forme de fraction rationnelles
de polynômes en p soit :
nb
∑ b p xk
N ( p) k =0
L( f )( p) = = na .
D ( p)
∑ ap xi
i =0
nb−1
∏ ( p − pk )
N ( p) k =0
L( f )( p) = = K na−1 .
D ( p)
∏ ( p − pi )
i =0
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Si par exemple, le degré de N ( p) est inférieur à celui de D ( p), alors nous pouvons
écrire
Ci
L( f )( p) = ∑
i
p − pi
où les Ci sont des constantes convenablement choisies. Dans ce cas, l’inversion sera
telle que
f (t) = ∑ Ci e pi t .
i
Chaque terme de la somme est un mode de L( f )( p).
1
Exemple 2.14. Si L( f )( p) = , la décomposition en éléments simples donne
( p − a)( p − b)
1 1 1
L( f )( p) = −
a−b p−a p−b
et ainsi
1
(e at − ebt ), (t ≥ 0).
f (t) =
a−b
Il existe toute une thérie liée à cette méthode. Le lecteur curieux pourra contacter l’au-
teur pour amples imformations.
e at ebt
Res(L( f )( p)e pt , a) = et Res(L( f )( p)e pt , b) = .
a−b b−a
Ainsi,
e at − ebt
x (t) = , t ≥ 0.
a−b
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Exemple 2.16. L( f )( p) = 1
( p − a )2
avec a réel. On a un pôle d’ordre 2 qui est p = a.
Res(L( f )( p)e pt , a) = lim (e pt )0 = te at .
p→ a
g(t) est l’entrée forcée et y(t) est la sortie que l’on veut observer.
Première étape Appliquer la transformée de Laplace aux deux membres de l’équation :
Troisième étape Une fois L(y) obtenu, il s’agit de déterminer y(t) par la formule du
Théorème 2.8
Remarque 2.5. Une formule analogue peut être établie pour des équations différentielles linéaires
d’ordre supérieur à 2.
2p+1
Exemple 2.17. 1. Décomposer en éléments simples la fraction : ( p−2)( p2 +1)
.
2. Résoudre l’équation différentielle
5 5
y00 ( x ) − y0 ( x ) + y( x ) = − sin x, avec y(0) = 0, y0 (0) = 2
2 2
Solution :
2p+1 1 p
1. On vérifie sans peine que ( p−2)( p2 +1)
= p −2 − p2 +1
.
2. La transformée de Laplace de l’équation différentielle est :
5 5 1
p2 Y − 2 − pY + Y = − 2 ;
2 2p +1
d’où
2p + 1
Y= ,
( p − 2)( p2 + 1)
et l’on déduit du 1. que y( x ) = e2x − cos x, qui vérifie bien les conditions initiales.
École Nationale Supérieure Polytechnique de Douala 19 Equations aux dérivées partuelles, 2021-2022
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y00 + (z0 − y0 ) = − 34 y
z00 − (z0 − y0 ) = − 34 z
p Y − 1 + p( Z − Y ) = − 34 Y
2
p2 Z + 1 − p( Z − Y ) = − 34 Z
p2 (Y + Z ) = − 34 (Y + Z )
p2 (Y − Z ) − 2 + 2p( Z − Y ) = − 34 (Y − Z )
si bien que
Y+Z =0
2p2 Y − 2 + 2pY = − 34 Y
on en déduit que
1 1
Y=− + = − Z.
s − 1/2 s − 3/2
Ainsi,
y( x ) = −e x/2 + e3x/2 = −z( x ),
qui vérifie bien les conditions initiales.
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Exercice 2.4.
1. Etablir la propriété F e2iπxξ 0 f ( x ) (ξ ) = F [ f ( x )](ξ − ξ 0 ).
Exercice 2.5.
1. Soit f une fonction continue de classe C1 par morceaux telle que f et f 0 sont dans
L1 . Trouver F ( f 0 ) en fonction de F ( f ).
2. Soit f ∈ L1 telle que x 7→ x f ( x ) soit dans L1 , quelle est la relation entre F ( f ) et
F ( x f ).
3. Déduire de la question 2 une expression de F ( x n f ) en fonction de F ( f ). L’on
prendra le temps de prouver correctement le résultat.
2a
4. On rappelle que F (e−a|t| )(s) = 2 pour a > 0.
a + 4π 2 s2
Exprimer en fonction de n F (tn e−a|t| )(s) pour un entier naturel n.
R +∞ 2 √
Exercice 2.6. On admet que −∞ e−t dt = π. Soit a un réel strictement positif. On
2
pose f (t) = e−at .
q 2 2
π − π as
1. Montrer que F ( f )(s) = ae .
t2
−
2. On définit pour tout σ > 0 la fonction f σ par f σ (t) = √1 e 2σ2 .
σ 2π
a. Déterminer F ( f σ ).
b. Montrer que f σ1 ? f σ2 = f √σ2 +σ2 .
1 2
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x+i
f 0 (x) = f ( x ).
2( x 2 + 1)
3. Déterminer alors f ( x ).
Exercice 2.9.
1
1. Soit a > 0, calculer la transformée de Fourier de la fonction f (t) = a2 + t2
.
2. Soit a, b tels que 0 < a < b. On considère l’équation intégrale
f (t) 1
Z
2 2
dt = 2 .
R ( x − t) + a x + b2
Exercice 2.10.
1. Soit f une fonction continue de classe C1 par morceaux telle que f et f 0 sont dans
L1 . Trouver F ( f 0 ) en fonction de F ( f ).
2. Soit f ∈ L1 telle que x 7→ x f ( x ) soit dans L1 , quelle est la relation entre F ( f ) et
F(x f )
Exercice 2.11. Soit f une fonction de L1 telle que pour tout n ∈ N∗ , t 7→ tn f (t) est
dn
dans L1 . Calculer pour tout n ∈ N∗ , n F ( f ).
dx
Exercice 2.12. On définit f sur R par f ( x ) = e−| x| .
1. Montrer que ( f ? f )( x ) = (1 + | x |)e−| x| .
2. Calculer la transformée de Fourier de f ? f . En déduire que la transformée de
Fourier de la fonction x 7→ (1 + x2 )−2 est la fonction ξ 7→ π2 (1 + |ξ |)e−|ξ | .
École Nationale Supérieure Polytechnique de Douala 22 Equations aux dérivées partuelles, 2021-2022
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1 1
, .
( p + 3)3 ( p + 2)( p2 + 1)
Exercice 2.20. Déterminer les transformées de Laplace des fonctions suivantes.
Exercice 2.24.
École Nationale Supérieure Polytechnique de Douala 23 Equations aux dérivées partuelles, 2021-2022
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1. Soit f (t) une fonction de transformeée de Laplace F (t). Soit n un entier naturel.
On suppose que f est n fois dérivable.
dn
a. Montrer que n F (s) = (−1)n L(tn f (t))(s).
ds
b. Montrer que
n −1
dn
L
dtn
f ( t ) ( s ) = s n
F ( t ) − ∑ s n −1− k f ( k ) (0 )
k =0
= sn F (t) − sn−1 f (0) + sn−2 f 0 (0) + ... + f (n−1) (0)
L(t f 0 (t))(s) = −sF 0 (s) − F (0), L(t f 00 (t))(s) = −s2 F 0 (s) − 2sF (s) + f (0)
École Nationale Supérieure Polytechnique de Douala 24 Equations aux dérivées partuelles, 2021-2022
Chapitre 3
appelé le laplacien de f .
3. Soit F = F ( x ) = ( F ( x ), . . . , Fn ( x )), F ∈ C2 (Ω; Rn ). On définit pour x ∈ Ω
n
∂F
div F ( x ) = ∑ ∂xii (x) ∈ R
i =1
25
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Remarque 3.1. On peut aussi définir le rotationnel de F pour n’importe quelle dimension. On
a alors pour n ≥ 2 et pour tout x ∈ Ω,
!!
∂Fi ∂Fj n ( n −1)
rot F ( x ) = (−1)i+ j (x) − (x) ∈R 2 .
∂x j ∂xi
1≤ i < j ≤ n
divgrad f = ∆ f .
École Nationale Supérieure Polytechnique de Douala 26 Equations aux dérivées partuelles, 2021-2022
Chapitre 4
27
Chapitre 5
28
Chapitre 6
29
Annexes
30