9 Series de Fourier
9 Series de Fourier
9 Series de Fourier
π − t ∞ sen(nt )
f (t ) = =∑ =
2 n =1 n
sen(2t ) sen(3t )
sen(t ) + + + ...
2 3
¿Es cierto?
Observemos que en t = 0
hay problemas → π/2 = 0 ¡¡
3
Cuestión: ¿Es f(t) = cte. una función periódica?
Ejemplo: ¿Cuál es el periodo de la función
1
f(t)
-1
-2
24π
-3
0 50 100 150 200
t
5
¿Es la suma de dos funciones
periódicas una función periódica?
Depende. Consideremos la función:
1
f(t)
-1
-2
0 5 10 15 20 25 30
t 7
Para que exista periodicidad ω 1/ ω 2 debe ser
un número racional (n/m).
T1 = 5
T2 = 5
T = 2,5
9
Podemos construir incluso un ejemplo de dos funciones de
igual periodo, cuya suma puede tener un periodo tan
pequeño como queramos. Sea N un entero, y definamos:
1 1
0≤t ≤
sen(2 Nπt ), 0 ≤ t ≤ N 0, N
f1 (t ) = f 2 (t ) =
1 1
0, < t <1 sen(2 Nπt ), < t <1
N N
extendida periódicamente con T = 1: extendida periódicamente con T = 1:
f1 (t ) = f1 (t + 1), − ∞ < t < +∞ f 2 (t ) = f 2 (t + 1), − ∞ < t < +∞
1 si t es un entero
f1 (t ) =
0 si t no es un entero
1 si t y t + T son enteros
f1 (t ) = f1 (t + T ) =
0 si t y t + T no son enteros
⇒ T =1
11
1 si t es racional pero no un entero
f 2 (t ) =
0 si t es irracional o es un entero
1 si t y t + T son racionales pero no enteros
f 2 (t ) = f 2 (t + T ) =
0 si t y t + T son irracionales o enteros
⇒ T =1
1 si t es racional
f1 (t ) + f 2 (t ) =
0 si t es irracional
T=? 12
Volvamos al resultado π − t = sen t + sen(2t ) + sen(3t ) + ...
de Euler: 2 2 3
S (t ) = e it + e i 2t + e i 3t + ...
¿Cómo lo alcanzó? it
e S (t ) = e i 2t + e i 3t + ...
Utilizando la fórmula de e it 1 1 sen t
Euler para cada término: S (t ) = = − +i
1− e it
2 2 1 − cos t
S (t ) = e + e + e + ... =
it i 2t i 3t
Daniel
Lagrange
Bernouilli
1700-1782
16
Se necesita también como condición inicial u(0,x)=f(x) para 0<x<1.
Euler en 1749 demostró la misma solución. Pero difería con D'Alambert en el posible
tipo de f(x) inicial. De hecho, este es el inicio del problema de la "definición" de una
función. Para Euler era posible una función en partes: cualquier gráfica era una 17 función.
Para D'Alambert necesariamente: expresión analítica compacta.
18
En realidad la forma de solucionar el problema por parte
de Daniel Bernoulli en 1753 fue completamente distinta.
Se basó en la superposición de ondas y tomó como
solución:
∞
u( x ,t ) = ∑ an sen( nx ) cos( nt )
n =1
∂ u( x ,t ) ∂ u( x ,t )
2 2
= ; c.i . y c.c.
∂t 2
∂x 2
X ' ' ( x ) + λX ( x ) = 0 , x ∈ ( 0 ,1 ), X ( 0 ) = X ( 1 ) = 0
T ' ' ( t ) + λT ( t ) = 0 , t > 0.
∞
f ( x ) = u( x ,0 ) = ∑ an sen( nx )
n =1
22
Fourier basó su trabajo en el estudio físico de la
ecuación del calor o de difusión:
∂ u 1 ∂u
2
=
∂x 2
k ∂t
∞
u( x , t ) = ∑ a n u n ( x , t )
n =1
25
Serie trigonométrica de Fourier
Algunas funciones periódicas f(t) de periodo
T pueden expresarse por la siguiente serie,
llamada serie trigonométrica de Fourier
a0 = 0, a1 = 0, a2 = 0 ...
b1 = 1, b2 = 1/2, b3 = 1/3,...
27
¿Cómo calcular los coeficientes de la serie?
Dada una función periódica f(t), ¿cómo se
obtiene su serie de Fourier?
∞
f(t) = 12 a0 + ∑ [an cos (nω0t) + bn sen(nω0t)]
n =1
b
0 para m ≠ n
∫
a
f m(t)f n(t)dt =
rn para m = n
29
Ejemplo: las funciones t y t2 son ortogonales en el
intervalo –1 < t < 1, ya que:
1 1 4 1
t
∫−1t t dt = −∫1t dt = 4 =0
2 3
−1
con ω 0= 2π /Τ .
31
Vamos a verificarlo probándolo a pares:
T/ 2 T/ 2
sen(mω0t)
∫ 1 cos (mω0t)dt =
−T/ 2
mω0 −T/ 2
=
2 sen(mω0T/ 2 ) 2 sen(mπ )
= = =0
mω0 mω0
Ya que m es un entero.
32
2.- f(t) = 1 vs. sen(mω 0t): ω 0= 2π /Τ
T/ 2 T/ 2
− cos (mω0t)
∫ 1 sen(mω0t)dt =
−T/ 2
mω0 −T/ 2
=
−1
= [ cos (mω0T/ 2 )- cos (mω0T/ 2 )] = 0
mω0
T /2
0 para m ≠ n
∫ cos(mω0 t)cos(nω0 t)dt =
−T / 2 T / 2 para m = n ≠ 0
33
sen A sen B = ½[-cos(A+B)+cos(A-B)]
sen2 A =½ (1-cos2θ )
4.- sen(mω 0t) vs. sen(nω 0t):
T/ 2
0 para m ≠ n
∫ sen(mω0t)sen(nω0t)dt =
−T/ 2 T/ 2 para m = n ≠ 0
34
¿Cómo calcular los coeficientes de la serie?
∞ T /2 0, si m ≠ 0
∑ a ∫ cos (nω t) cos (mω t)dt +
n =1
n 0 0 T/2, si m = n
−T / 2
∞ T /2 0
∑ b ∫ sen(nω t) cos (mω t)dt
n =1
n 0 0
−T / 2
T /2
am = T2 ∫ f (t ) cos( mω t )dt
−T / 2
0 m = 1, 2, 3,...
36
Observa que el caso anterior no incluye a a0, m = 0
que debemos tratar a parte:
T /2 T /2 T, si m = 0
∫
−T / 2
f (t ) cos(mω0t )dt = 12 a0 ∫ cos (mω t)dt +
−T / 2
0
∞ T /2 0, si m ≠ 0
∑ a ∫ cos (nω t) cos (mω t)dt +
n =1
n 0 0
T/2, si m = n
−T / 2
T /2 0
∞
1 T /2
a0T 2
2 a0 =
T ∫
−T / 2
f (t )dt
37
Similarmente, multiplicando por sen(mω 0t) e
integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:
T /2 T /2 0
∫
−T / 2
f (t ) sen(mω0t) dt = 12 a0 ∫ sen(mω t)dt +
−T / 2
0
T /2
0
∞
T /2
bm = T2 ∫ f (t )sen (mω t )dt
−T / 2
0 m = 1, 2, 3,...
38
Un ejemplo históricamente importante:
Encontrar la serie de Fourier para la función
de onda cuadrada de periodo T:
f(t)
1
t
. . . -T
/2 0
/2
T T ...
-1
0 T /2
0 T /2
a0 = T ∫ − dt + ∫ dt = T − t
2 2
+t =0
−T / 2 0 −T / 2 0
40
Coeficientes an:
T /2
− 1 para − T2 < t < 0
f (t ) =
1 para 0 < t < T
an = T2 ∫ f (t ) cos(nω t )dt
0
2 −T / 2
0 T /2
an = T ∫ − 1⋅ cos(nω0t )dt + ∫ 1⋅ cos(nω0t )dt
2
−T / 2 0
1
0
1
T /2
= T2 − sen(nω0t ) + sen(nω0t ) = 0
nω0 −T / 2 nω 0 0
para n ≠ 0
41
Coeficientes bn:
T /2
− 1 para − T2 < t < 0
f (t ) =
bn = T2 ∫ f (t )sen(nω t )dt
0
0 T /2
bn = T ∫ − sen(nω0t )dt + ∫ sen(nω0t )dt =
2
−T / 2 0
1 0
1 T /2
= T2 cos(nω0t ) − cos(nω0t )
nω0 −T / 2 nω 0 0
1
= [ (1 − cos(nπ )) − (cos(nπ ) − 1)]
nπ
=
2
nπ
[1 − (−1) n )] para n ≠ 0
42
Finalmente, la serie de Fourier queda como
4
f (t ) = [ sen(ω0t ) + 13 sen(3ω0t ) + 15 sen(5ω0t ) + ...]
π
4 ∞ 1
f (t ) = ∑ sen( (2n − 1)ω0t ) )
π n =1 2n − 1
En la siguiente figura se muestran: la
componente fundamental y los armónicos 3,
5 y 7, así como la suma parcial de estos
primeros cuatro términos de la serie para
ω 0 = π ( ω 0= 2π /Τ ) , es decir, T = 2:
43
4
f (t ) = [ sen(ω0t ) + 13 sen(3ω0t ) + 15 sen(5ω0t ) + ...]
π
Componentes de la Serie de Fourier
1.5
1
Componentes
0.5
-0.5
Suma
fundamental
-1 tercer armónico
quinto armónico
séptimo armónico
-1.5
-1 -0.5 0 t 0.5 1
44
Fourier series java applet (http://www.falstad.com/fourier/)
Nota:
Para expresarse como serie de Fourier f(t),
no necesita estar centrada en el origen.
Simplemente debemos tomar el intervalo, donde
está definida, como el periodo de la serie.
La ortogonalidad de las funciones seno y coseno
no sólo se da en el intervalo de
–T/2 a T/2, sino en cualquier intervalo que cubra
un periodo completo:
de t0 a t0 + T, con t0 arbitrario,
con el mismo resultado.
45
Habíamos calculado f(t)
1
los coeficientes para:
t
. . . -T
/2 0
/2
T T ...
− 1 para − T / 2 < t < 0
f (t ) =
1 para 0 < t < T / 2 -1
-1
Repite los cálculos y compruébalo. 46
De hecho si repetimos
f(t)
para cualquier intervalo
de longitud el periodo
1
T de la función, será lo
mismo:
t
...
t0
-1 t0 +T ...
T /2 T t 0 +T
a0 = T1 ∫
−T / 2
f (t )dt = T2 ∫ f (t )dt = T2
0
∫
t0
f (t )dt = T2 ∫ f (t )dt
T
T /2
an = T2 ∫
−T / 2
f (t ) cos(nω0t )dt = ... = T2 ∫ f (t ) cos(nω0t )dt
T
T /2
bn = T2 ∫
−T / 2
f (t ) sen(nω0t )dt = ... = T2 ∫ f (t ) sen(nω0t )dt
T 47
Ejercicio: encontrar la serie de Fourier para
π −t
f (t ) =
2
la función con la que empezamos el tema.
O sea, demostrar que Euler tenía razón.
48
Calcula la serie de Fourier de la función periódica:
2π
f (t ) = 1 + cos(3t ) de periodo T =
3
2π
3
2 3
a0 = ∫ f (t )dt = ∫ (1 + cos(3t ))dt = 2
T T π 0
2π
2 3 3
1, si n = 1
an = ∫ f (t ) cos(nω0t )dt = ∫0 (1 + cos(3t )) cos(nω0t )dt = 0, si n ≠ 1
T T π
2π
3
2 3
bn = ∫ f (t ) sen(nω0t )dt = ∫ (1 + cos(3t ))sen(nω t )dt = 0
0 para todo n
T T π 0
La serie
en definitiva es la
∞ ∞ propia
f (t ) = 1 + ∑ an cos(nω0t ) + ∑ bn sen(nω0t ) = 1 + cos(3t ) función...
n =1 n =1 49
Nota: a partir de ahora entenderemos que f(t) está definida
sólo en el intervalo que especifiquemos. Y que la serie de
Fourier la extiende periódicamente, con periodo T igual al
intervalo de definición. En muchos libros se habla de
extender de forma par o impar una función. La serie de
Fourier extenderá periódicamente los patrones siguientes:
t
Extensión par
t
Extensión impar 50
Funciones Pares e Impares
t
−2π −π π 2π
51
En forma similar, una función f(t) se dice
función impar (o con simetría impar), si su
gráfica es simétrica respecto al origen, es
decir, si cumple lo siguiente: -f(t) = f(-t)
f(t)
t
−2π −π π 2π
52
Ejemplo: ¿Las siguientes funciones son
pares o impares?
f(t) = t + 1/t ,
g(t) = 1/(t2+1).
Solución:
Como f(-t) = -t - 1/t = - f(t), por lo tanto f(t) es
función impar.
Como g(-t) = 1/((-t)2+1) = 1/(t2+1) = g(t), por
lo tanto g(t) es función par.
53
Ejemplo: ¿La función h(t) = f(1+t2) es par o
impar? (f es una función arbitraria).
Solución:
Sea g(t) = 1 + t2. Entonces h(t) = f(g(t)).
Por lo tanto h(-t) = f(g(-t)).
Pero g(-t) = 1+(-t)2 = 1 + t2 = g(t),
finalmente h(-t) = f(g(t)) = h(t), de modo que
h(t) es función par, sin importar como sea
f(t).
54
Ejemplo: De acuerdo al ejemplo anterior,
todas las funciones siguientes son pares:
∫ f ( x)dx
−a
= 2 ∫ f ( x)dx
0
a a
∫ f ( x)dx ∫ f ( x)dx
0
−a
-a a
56
• Si f (x) es impar:
a
∫ f ( x)dx = 0
−a
∫ f ( x)dx
−a
-a a
57
Como la función sen(nω 0t) es una función impar
para todo n y la función cos(nω 0t) es una función
par para todo n, es de esperar que:
58
Por ejemplo, la señal cuadrada, que hemos
analizado:
f(t)
1
t
. . . -T
/2 0
/2
T T ...
-1
f ( x) = sin x y g ( x) = cos x en − π ≤ x ≤ π
Respuesta.
a0 ∞
f ( x) = + ∑ [ an cos(nx) + bn sin( nx)]
2 n =1
4 −4
a0 = ; a n = , n par; an = 0, n impar
π π (n − 1)
2
61
2 ∞ 4 cos(2nx)
sin x = − ∑
π n =1 π 4n − 1
2
1 π 4 π /2
an = ∫ g ( x) cos(nx)dx = ∫ cos x cos(nx)dx =
π −π π 0
2 π /2
= ∫ [ cos(n + 1) x + cos(n − 1) x ] dx
π 0 62
4 ±4
a0 = ; a n = , n par; an = 0, n impar
π π (n − 1)
2
2 4 (−1) cos(2nx)
∞ n
cos x = − ∑
π n =1 π 4n − 1
2
63
Onda triangular
(Triangle Wave)
64
Right Triangular Wave
sen(α π ) 1 ∞
(−1) n
cos(α t ) = + 2α ∑ 2 cos(n t )
π α n =1 α − n
2
67
sen(α π ) 1 ∞
(−1) n
cos(α t ) = + 2α ∑ 2 cos(n t )
π α n =1 α − n
2
−π < t < π
π 1 (−1)
∞ n
= + 2α ∑ 2
sen(α π ) α n =1 α − n
2
y con α = 1/2.
∞
(−1) n ∞
(−1) n
π = 2+∑ = 2 + 4∑
n =1 (1 / 2 ) 2
− n 2
n =1 1 − 4 n 2
68
sen(α π ) 1 ∞
(−1) n
cos(α t ) = + 2α ∑ 2 cos(n t )
π α n =1 α − n
2
−π < t < π
sen(α π ) 1 ∞
1
cos(α π ) = + 2α ∑ 2 2
π α n =1 α − n
π 1 ∞
1
= + 2α ∑ 2
tan(α π ) α n =1 α − n
2
71
(1) Si cada término un(x) de una serie es
continuo en (a, b) y la serie es uniformemente
convergente a f(x), entonces:
∫ ∑ u ( x)dx = ∑ ∫ u ( x)dx
b
(b) n n
a a
n =1 n =1
∑M
n =1
n converge ⇒ ∑ u ( x) converge
n =1
n uniformemente
73
Ejemplo:
∞
sen(nx)
S ( x) = ∑ 2
en (−π , π )
n =1 n
1 sen(nx) 1
Mn = 2 ⇒ 2
≤ 2
n n n
∞
1 π 2
∑
n =1 n
2
=
6
⇒ S converge uniformemente
74
Condiciones de Dirichlet
(3)
T
∫ f ( x) dx < ∞
75
Si se cumplen las condiciones de Dirichlet, entonces
la serie de Fourier converge a f(x) si x es un punto
de continuidad y a:
1
2
( + −
f (x ) + f (x ) )
si x es un punto de discontinuidad.
76
Desarrolla 0, −π < x < 0
en serie de Fourier: f ( x) =
π − x, 0≤ x <π
T = 2π
2 π
a0 =
2π −π∫ f ( x) dx
1 0 π
π ∫−π ∫0
= 0 dx + (π − x ) dx
π
1 x 2
π
= π x − =
π 2 0 2
77
1 π 1 0 π
an =
π ∫−π f ( x ) cos nx dx =
π ∫−π
0 dx + ∫0 (π − x ) cos nx dx
1 sin nx
π
1 π 1 cos nx
π
= (π − x) + ∫ sin nx dx = −
π n 0 n 0 nπ n 0
− cos nπ + 1 1 − (−1) n
= =
nπ2
n 2π
1 π 1
bn = ∫ (π − x) sin nxdx =
π 0 n
π ∞ 1 − (−1) n 1
f ( x) = + ∑ 2 cos nx + sin nx
4 n=1 n π n
78
La función f es continua en (−π , π ) excepto en x = 0. Así su
serie de Fourier converge en x = 0 a:
f ( 0 + ) + f (0 − ) π + 0 π
= =
2 2 2
79
Secuencia de sumas parciales y su representación gráfica
π π 2 π 2 1
S1 = , S 2 = + cos x + sin x, S3 = + cos x + sin x + sin 2 x
4 4 π 4 π 2
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
Ejercicio de examen: Obtener el desarrollo en serie de Fourier de la
función
f (t ) = 1 − t , t ∈ [ 0,1]
2
Respuesta.
101
La continuidad se consigue con la extensión par de f (f´ = -2t es
continua en [-L,L] ) con L = 1.
IIm (z)
-1 1 Re (z)
R
~ a0 ∞ πn πn
f (t ) = + ∑ an cos t + bn sin t
2 n =1 L L
bn = 0 por ser función par
102
1 1
an = ∫ (1 − t ) cos(nπt )dt =
2
2 ∫ (1 − t ) cos(nπt )dt = 2
−1 ~ 0
f par
4(−1) n
=−
(nπ ) 2
1 1 2 4
a0 = ∫ (1 − t )dt = 2∫ (1 − t )dt = 2 =
2 2
−1 0 3 3
~ 2 4 (−1)
∞ n
f (t ) = − 2 ∑ cos( nπt )
3 π n =1 n
2
~
f (t ) = f (t ) =
t∈[ 0 ,1]
103
P2. Septiembre 2006
a) (4 puntos)
104
Respuesta.
a0 ∞
f ( x) = + ∑ an cos(nx)
2 n =1
2 π 2 2 2
a0 = ∫ x dx = π
π 0 3
1 π 2 2 π 2
an = ∫ x cos(nx)dx = ∫ x cos(nx)dx =
π −π π 0
105
2 1 2
π π π
2 2
= x sin( nx) + 2 x cos(nx) − 3 sin( nx) =
π n 0 n 0 n 0
2 2π 4
= ( −1) n
an = 2 (−1) n
π n2 n
π 2 ∞
(−1) n
f ( x) = + 4∑ 2 cos(nx)
3 n =1 n
106
2.
f continua en [ - π , π ]
hay convergencia uniforme
f ′ continua en ( - π , π )
( )
2 ∞
1 a
[ f ( x)] dx =
π
∫ + ∑ an + bn
2 2 2 0
π −π 2 n =1
π
π 1 5 2 5
∫−π = = π
2 2
( x ) dx x
5 −π 5
107
2 ∞
2 4 2 2 1 1
π = π +16 ∑ 4
5 3 2 n =1 n
∞
1 π2
∑
n =1 n
4
=
90
4. ( 2 2
)
g ( x) = x x − π , x ∈ [ − π , π ], 2π periódica
∞
( − 1) n
g ( x) = 3x − π = 3 f ( x) − π = 12∑ 2 cos(nx)
′ 2 2
n =1 n
∞
(−1) n
Por convergenc ia uniforme : g ( x) = 12∑ 3 sin( nx )
n =1 n 108
Fenómeno de Gibbs
Si la serie de Fourier para una función f(t) se
trunca para lograr una aproximación en suma
finita de senos y cosenos, es natural pensar que a
medida que agreguemos más armónicos, el
sumatorio se aproximará más a f(t).
Esto se cumple excepto en las discontinuidades
de f(t), en donde el error de la suma finita no
tiende a cero a medida que agregamos armónicos.
Por ejemplo, consideremos el tren de pulsos u
onda cuadrada:
4
f (t ) = [ sen(ω0t ) + 13 sen(3ω0t ) + 15 sen(5ω0t ) + ...]
π 109
4
f (t ) = [ sen(ω0t )]
π
S e r ie c o n 1 a r m ó n ic o
1 .5
0 .5
-0 .5
-1
-1 .5
-1 -0 .5 0 0 .5 1
110
4
f (t ) = [ sen(ω0t ) + 13 sen(3ω0t ) + 15 sen(5ω0t )]
π
S e r ie c o n 3 a r m ó n ic o s
1 .5
0 .5
-0 .5
-1
-1 .5
-1 -0 .5 0 0 .5 1
111
S e r ie c o n 5 a r m ó n ic o s
1 .5
0 .5
-0 .5
-1
-1 .5
-1 -0 .5 0 0 .5 1
112
S e r ie c o n 7 a r m ó n ic o s
1 .5
0 .5
-0 .5
-1
-1 .5
-1 -0 .5 0 0 .5 1
113
S e r ie c o n 1 3 a r m ó n ic o s
1 .5
0 .5
-0 .5
-1
-1 .5
-1 -0 .5 0 0 .5 1
114
Fenómeno de Gibbs
S e r ie c o n 5 0 a r m ó n ic o s
1 .5
0 .5
-0 .5
-1
-1 .5
-1 -0 .5 0 0 .5 1
115
Fenómeno de Gibbs
S e r ie c o n 1 0 0 a r m ó n ic o s
1 .5
0 .5
-0 .5
-1
-1 .5
-1 -0 .5 0 0 .5 1
116
117
Forma compleja de la serie de Fourier
∞
f (t ) = ∑ cn e
n = −∞
inω0t
ω0 =
2π
T
119
A la expresión obtenida ∞
f (t ) = ∑n
c e inω0t
n = −∞
T
¿Forma e { }
inω0t ∞
∫ f (t )e
−inω0t
cn = 1
T dt n = −∞
un conjunto
0
Para n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ... ortogonal?
Demostrarlo.
120
Ejemplo. Encontrar la forma compleja de la
serie de Fourier para la función ya tratada:
f(t)
1
t
. . . -T
/2 0
/2
T T ...
-1
Solución 1. Como ya se calcularon los
coeficientes de la forma trigonométrica (an y
bn), que eran an= 0 para todo n y
2
bn = [1 − (−1) n ] para todo n
nπ
121
Podemos calcular los coeficientes cn:
cn = [an − ibn ] = −i
1
2
1 2
2 nπ [1 − (−1) ] n
cn = −i 1
nπ [1 − (−1) ] n
1 −inω0t
T /2 T
= ∫ e dt + ∫ − e −inω0t
dt
T 0 T /2
1 1 −inω0t T /2
−inω0t
T
= e − 1
e
T − in ω o
0
−inωo
T /2
=
1
− inωoT
(e [
−inω0T / 2
− 1) − (e −inω0T
−e −inω0T / 2
) ]
123
Como ω 0T = 2π y además:
± iθ
e = cos θ ± isenθ
cn = 1
−inωoT [(−1) − 1) − (1 − (−1) )]
n n
= −i 2
nω o T [1 − (−1) ] n
= −i 1
nπ [1 − (−1) ] n
124
Calcular la serie de Fourier de la función de Heaviside:
0 , − 1 ≤ x < 0 ∞
H ( x) = H ( x) = ∑c e inπx
1, 0 ≤ x < 1
n
n = −∞
1 1 1
1 −inπx 1 −inπx 1 1 − inπx
cn = ∫ e H ( x)dx = ∫ e dx = e
2 −1 20 2 − inπ 0
cn = [e − 1] = [ cos(nπ ) − isen(nπ ) − 1] =
1 i −inπ i
2 nπ 2nπ
0 ; si n es par
i
[ cos(nπ ) − 1] = − i ; si n es impar n ≠ 0
2 nπ nπ 125
∞
1 ∞
− i inπx 1
H ( x) = ∑c n e inπx
= + ∑ − i inπx
e = + ∑ 2 Re e
n = −∞ 2 0≠ n = −∞ nπ 2 n> 0 nπ
n impar n impar
1
1 -i−πiπlx0x 1 1 0 ; si n es par
al0 = ∫ e c0 H(x)dx 1 1
= ; cn== ∫−dx
i =
2 −1 2 2 0 ; si n2es impar
nπ
1 2 − i ( cos(nπx) + isen(nπx) )
H ( x) = + ∑ Re
2 π n >0 n
n impar
1 2 sen(nπx)
H ( x) = + ∑
2 π n >0 n 126
n impar
127
128
129
La función impulso o δ (t)
delta de Dirac
∞ if t = 0
δ (t ) ≡
0 if t ≠ 0 t
t 130
δ (t)
Propiedades de la función
δ
t
∞
∫ δ (t) dt =1
−∞
∞ ∞
∫ δ (t − a) f (t) dt=∫ δ
−∞ −∞
(t− a) f (a) dt= f (a)
1 ∞ inπx 1 1
δ ( x ) = ∑ e = + ∑ (e −inπx
+e )
inπx
2 n = −∞ 2 2 n >0
1
= + ∑ cos(nπx)
2 n >0
1
δ (x ) = + ∑ cos(nπx)
2 n >0
132
12
10
-2
-4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
133
12
10
-2
-4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
134
12
10
-2
-4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
135
12
10
-2
-4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
136
12
10
-2
-4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
137
12
10
-2
-4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
138
12
10
-2
-4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
139
12
10
-2
-4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
140
12
10
-2
-4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
141
12
10
-2
-4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
142
Los coeficientes cn son números complejos, y
también se pueden escribir en forma polar:
iφ n
cn = c n e
Observemos que,
− iφ n
c− n = c = cn e
*
n
bn
Donde cn =, a + b
1
2
2
n
2
n φn = arctan −
para todo n ≠ 0. an
144
Espectros de frecuencia discreta
t
. . . -T
/2 0
/2
T T ...
-1
nπ
145
A la gráfica de la magnitud de los coeficientes cn
contra la frecuencia angular ω de la componente
correspondiente se le llama el espectro de
amplitud de f(t).
146
El espectro de amplitud se muestra a continuación
0.7
Espectro de Amplitud de f(t)
0.6
0.5
Cn
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-30 -20 -10 0 n 10 20 30
148
Podemos expresar de una manera ligeramente
diferente la serie de Fourier. Cada par de
términos:
ancos(nω 0t) + bnsen(nω 0t)
bn
Con: Cn = a + b
2
n
2
n θ n = arctan
an
Ejercicio: Definir adecuadamente los coeficientes
C0, Cn y θ n, de manera que la serie de Fourier
pueda escribirse como:
∞
f (t ) = C0 + ∑ Cn sen(nω0t +151
θn )
n =1
Componentes y armónicos
Hemos visto que, bajo ciertas condiciones, una
función f(t) puede escribirse como la suma de
componentes sinusoidales de diferentes
frecuencias: ω n = nω 0.
cos(3t/12) = cos(t/4) 1
f(t)
Cuarto armónico: 0
cos(4t/12) = cos(t/3) -1
-2
24π
-3 153
0 50 100 150 200
t
Sea f (t ) una señal periódica con periodo T expresada en términos
de la serie compleja de Fourier siguiente :
∞
f (t ) = ∑n
c e inω0t
n = −∞
Derivando f (t ) respecto a t :
∞
d
f ' (t ) = f (t ) = ∑ inω0 cn einω0t
dt n = −∞
∞
f ' (t ) = ∑ n
d e
n = −∞
inω0t
-10 -5 5 10 t
f '(t) T0 = 10
4
-10 -5 5 10 t
-4
f ''(t) T0 = 10
8
-10 10
-5 5 t
-8 155
Potencia y Teorema de Parseval
t
T
156
De acuerdo a lo anterior, si la función periódica
f(t) representa una señal de voltaje o corriente, la
potencia promedio entregada a una carga
resistiva de 1 ohm en un periodo está dada por:
T /2
∫
2
1
T [ f (t )] dt
Si f(t) es periódica, también lo será [f(t)]2 y el
−T / 2
promedio en un periodo será el promedio en
cualquier otro periodo.
157
El teorema de Parseval nos permite calcular
la integral de [f(t)]2 mediante los coeficientes
complejos cn de Fourier de la función
periódica f(t):
T /2 ∞
∫ [ f (t )] dt = ∑ c
1 2 2
T n
−T / 2 n = −∞
∞
f (t ) = 12 a0 + ∑ [an cos(nω0t ) + bn sen(nω0t )]
n =1
T /2 T /2
1 ∞
1
T ∫ f (t ) f (t )dt = T1 ∫ f (t ) 2 a0 + ∑ [an cos(nω0t ) + bn sen(nω0t )]dt =
−T / 2 −T / 2 n =1
T /2 ∞ T /2 ∞ T /2
a0 an bn
∫ f (t )dt + ∑ ∫ f (t ) cos(nω0t )dt + ∑ ∫ f (t )sen(nω0t )dt =
T −T / 2 n =1 T −T / 2 n =1 T −T / 2
(
a02 1 ∞ 2
+ ∑ an + bn2
4 2 n =1
) 159
Ejemplo. Calcular el valor cuadrático medio
de la función f(t): f(t)
1
t
. . . -T
/2 0 T
/2 T ...
Solución. -1
∫ [ f (t )] dt = ∑ C
1 2 2
T n
cn = 1
nπ
[1 − (−1) n ]
sustituyendo
∞
8 1 1 1
∑c
2
n = 2 1 + + +
9 25 49 + ...
n = −∞ π
160
La serie numérica obtenida converge a
1 1 1
1+ + + + ... = 1.2337
9 25 49
Por lo tanto,
T /2 ∞
8
∫ [ f (t )] dt = ∑ c
2
1 2
n = 2 (1.2337) = 1
T
−T / 2 n = −∞ π
161
a) Sean c1 , c2 ∈ ℜ , con c1 ≠ c2 y la función:
c1 , x ∈ [ − π ,0 )
f ( x) =
1. Calcúlese la serie de Fourier de f. c2 , x ∈ [ 0, π ]
2. Obténgase la identidad de Parseval en este caso y a partir de
∞
ella calcule el valor de la serie: 1
∑ ( 2n − 1)
n =1
2
c2
c1
-π π
162
1.
1 0 π
a0 = ∫ c1dx + ∫ c2 dx = ( c1 + c2 )π
= c1 + c2
π −π 0 π
c1 0 c2 π c1 + c2 π
an = ∫ cos nxdx + ∫ cos nxdx = ∫ cos nxdx =
π − π π 0 π 0
c1 + c2
= ( senπn − sen0) = 0
nπ
c1 0 c2 π c1 − c2 π
bn = ∫ sen(nx)dx + ∫ sen(nx)dx = − ∫ sen(nx)dx =
π − π π 0 π 0
=
c1 − c2
nπ
( cos πn − cos 0) = c1 − c2
nπ
( )
( − 1) n − 1 ⇒
n = 2k → b2 k = 0
⇒ 2( c2 − c1 )
n = 2k − 1 → b2 k −1 = ( 2k − 1)π
c1 + c2 2 ∞ ( c2 − c1 )
f ( x) = + ∑ sen( 2k − 1) x
2 π k =1 ( 2k − 1)π 163
2. c1 + c2 1 2( c2 − c1 ) ∞ 1 sen( 2k − 1) x
f ( x) =
2
2π
2π
+
π
∑
k =1 ( 2 k − 1)π π
1 cos nx sen(nx)
Como , , es ortonormal en [ − π , π ] ⇒
2π π π
4( c1 − c2 )
( )
2 2
π c2 + c1 ∞
1
⇒ π c2 + c1 = ∫ f ( x ) dx = 2π + ∑
2 2 2
⇒
π k =1 ( 2k − 1)
2
−π
2
⇒
( c1 − c2 )
2
4
= 2 ( c1 − c2 ) ∑
2
∞
1
⇒∑
∞
1
=
π 2
π k =1 ( 2k − 1) k =1 ( 2k − 1)
2 2
2 8
3.
c1 + c2 2 ∞ ( c2 − c1 ) c1 + c2
No. Puesto que f (0) = c2 y + ∑ sen( 2k − 1) 0 =
2 π k =1 ( 2k − 1)π 2
c1 + c2
y en general c2 ≠ f es continua a trozos
2 y tiene derivadas
laterales 164
a) A partir de la serie de Fourier de la función f ( x) = x
π
definida en el intervalo [ − π , π ] : f ( x) = + ∑ − 4 2 cos( ( 2n − 1) x )
∞
1.
Particularizando para x = 0, f(0) = 0 :
π ∞ −4
0= +∑ cos( ( 2n − 1) 0 ) ⇒
2 n =1 π ( 2n − 1) 2
π 4 ∞ 1
⇒0= − ∑ ⇒
2 π n =1 ( 2n − 1) 2
∞
1 −π π 2
⇒∑ = 2=
n =1 ( 2n − 1) −4
2
8
π
165
2.
Aplicando la identidad de Parseval :
( )
2 ∞
1 π a0
∫π + ∑ an + bn
2 2 2
f ( x) dx =
π − 2 n =1
−4
Sustituyendo f ( x) = x , a0 = π , an = , bn = 0 :
π ( 2n − 1)
2
1 π π 2 ∞
16
π ∫−π x 2
dx = + ∑
2 n =1 π ( 2n − 1)
2 4
⇒
1 2π 3 π 2 16 ∞
1
⇒
π 3
= + 2
2 π
∑
n =1 ( 2n − 1)
4
⇒
∞
1 π4
⇒∑ =
n =1 ( 2n − 1)
4
96
166