Señales (funciones) periódicas

x(t) es de periodo T si:

x(t + T ) = x(t) para todo t ∈R

Si x(t) es de periodo T , es de periodo kT , k ∈ Z

I x(t + 2T ) = x(t + T + T ) = x(t + T ) = x(t)
I x(t − T ) = x(t − T + T ) = x(t)

Periodo fundamental: el menor de los periodos positivos.

Si x(t) es de periodo T ,
Z T Z a+T
x(t) dt = x(t) dt , para todo a ∈ R
0 a

1 / 51
Señales (funciones) periódicas

Si x(t) es de periodo fundamental T ,

1
La frecuencia de x(t) es f =
T
Mide el número de veces que se repite la señal por unidad de
medida de la variable independiente t.
Si t se mide en segundos, f en Hz=1/seg
2π
La frecuencia angular de x(t) es ω = 2πf =
T
Mide el número de veces que se repite la señal por ciclo (2π
radianes).
Si t se mide en segundos, ω en rad/seg

2 / 51
Señales (funciones) periódicas
x(t) = sin(at), a ∈ R −→ periodo fund.? frecuencia angular?

x(t + T ) = x(t) ⇐⇒ sin(a(t + T )) = sin(at) para algún T ?

a(t + T ) = at + 2k π, k ∈Z
2kπ
at + aT = at + 2kπ ⇐⇒ aT = 2kπ ⇐⇒ T =
a
2π
Si a > 0, el periodo fundamental es (k = 1): T =
a
−2π 2π
Si a < 0, el periodo fundamental es (k = −1): T = =
a −a
2π
Periodo fundamental: T =
|a|
Frecuencia angular: ω = |a|

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Serie de Fourier (expresión trigonométrica)

x(t) de periodo fundamental T y frecuencia angular (fundamental)

2π
ω=
T
Sistema trigonométrico de funciones asociado al periodo T :
{1, cos(ωt), sin(ωt), cos(2ωt), sin(2ωt), · · · , cos(nωt), sin(nωt), · · · }

cos(nωt), sin(nωt) armónicos (oscilaciones elementales) de

frecuencias ωn = nω, n = 1, 2, · · · , que son múltiplos de la
frecuencia fundamental ω
cos(nωt), sin(nωt) son de periodo T
2π 2π T
I Periodo fundamental: = =
nω n2π/T n
T
I De periodo n =T
n

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Serie de Fourier (expresión trigonométrica)
Buscamos identificar la señal x(t) con una suma infinita de estos
armónicos con distintas amplitudes (combinación lineal de las
funciones del sistema trigonométrico). Esta suma infinita es la serie de
Fourier (SF) asociada a la señal.
x(t) = a0 + a1 cos(ωt) + b1 sin(ωt) + a2 cos(2ωt) + b2 sin(2ωt) + · · ·

∞
X
x(t) = a0 + an cos(nωt) + bn sin(nωt) =
n=1
X∞
= a0 + an cos(ωn t) + bn sin(ωn t)
n=1

Los coeficientes de la SF a0 , an y bn caracterizan la señal

Armónico n-ésimo: an cos(nωt) + bn sin(nωt)
an y bn miden el peso (la importancia) de la frecuencia ωn = nω
en la señal x(t)
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Serie de Fourier (expresión trigonométrica)

Fórmulas de los coeficientes de Fourier (coeficientes de la SF) de la

señal x(t):

1 c+T
Z
a0 = x(t) dt
T c

2 c+T
Z
an = x(t) cos(ωn t) dt
T c

2 c+T
Z
bn = x(t) sin(ωn t) dt
T c

siendo ωn = nω y n = 1, 2, 3 · · ·

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Series de Fourier (expresión trigonométrica)

Ejemplo: calcular la serie de Fourier de la señal de periodo 2π

definida en el intervalo [−π, π) por
(
−1 −π ≤ t < 0
x(t) =
1 0≤t <π

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Series de Fourier (expresión trigonométrica)
Ejemplo de cálculo de una SF
2π
Periodo de la señal: T = 2π; Frecuencia: ω = =1
T
∞
X
SF de la señal: S(t) = a0 + an cos(nt) + bn sin(nt), siendo
n=1
Z π Z π
1 2
a0 = x(t) dt; an = x(t) cos(nt) dt;
2π −π 2π −π
Z π
2
bn = x(t) sin(nt) dt; n = 1, 2, 3 · · ·
2π −π

!
Z 0 Z π
1 1  0 π

a0 = −1 dt + 1 dt = −t −π
+t 0
=
2π −π 0 2π
1
= (0 − π + π − 0) = 0
2π

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Series de Fourier (expresión trigonométrica)

Ejemplo de cálculo de una SF

Z 0 Z π !
1
an = − cos(nt) dt + cos(nt) dt =
π −π 0
 
1 − sin(nt) 0 sin(nt) π
= + =
π n −π n 0
1
= (− sin(0) + sin(−nπ) + sin(nπ) − sin(0)) = 0
nπ

9 / 51
Series de Fourier (expresión trigonométrica)
Ejemplo de cálculo de una SF
Z 0 Z π !
1
bn = − sin(nt) dt + sin(nt) dt =
π −π 0
 
1 cos(nt) 0 − cos(nt) π
= + =
π n −π n 0
1
= (cos(0) − cos(−nπ) − cos(nπ) + cos(0)) =
nπ
2 2
1 − (−1)n


= (1 − cos(nπ)) =
nπ nπ
Serie de Fourier de la señal:
∞
X 2
1 − (−1)n sin(nt) =


S(t) =
nπ
n=1
4 4 4 4
= sin(t) + 0 + sin(3t) + 0 + sin(5t) + 0 + sin(7t) + · · ·
π 3π 5π 7π
10 / 51
Series de Fourier (expresión trigonométrica)

Ejemplo de cálculo de una SF

S(t) = x(t), t ∈ R? −→ convergencia de una SF (Teor. de Dirichlet)

Si sumamos hasta el armónico k-ésimo −→ Suma parcial de orden k:

k
X 2
1 − (−1)n sin(nt)


Sk (t) =
nπ
n=1

Sk (t) ≈ x(t) −→ valoración gráfica de la aproximación?

11 / 51
Series de Fourier. Teorema de Dirichlet

Consideramos x(t) de periodo T que cumple las condiciones de

Dirichlet:

x(t) es absolutamente integrable en un periodo

Z c+T
|x(t)| dt < ∞
c

x(t) es de variación acotada (condición técnica que no

estudiaremos aquı́, y que todas las funciones que tratamos
satisfacen).

En cualquier intervalo real acotado, por ejemplo de longitud un

periodo, x(t) tiene, como mucho, un número finito de puntos de
discontinuidad de salto finito.

12 / 51
Series de Fourier. Teorema de Dirichlet

Denotamos por S(t) a la serie de Fourier (SF) de la señal x(t)

Notación lı́mites laterales de una señal en un punto t0 :

x(t0− ) = lim x(t); x(t0+ ) = lim+ x(t)

t→t0− t→t0

Teorema de Dirichlet: con las condiciones anteriores, la SF S(t)

converge para todo t ∈ R y su valor en un punto concreto t0 es

x(t0− ) + x(t0+ )
S(t0 ) =
2

Si x(t) es continua en t0 : x(t0− ) = x(t0+ ) = x(t0 ) =⇒ S(t0 ) = x(t0 )

13 / 51
Series de Fourier. Teorema de Dirichlet

En los puntos t donde la señal es continua, la SF es igual a la

señal: S(t) = x(t)

Si la señal tiene un punto de discontinuidad en t0 , la SF es el

promedio de los lı́mites laterales de la señal en t0

Como aproximan la señal las sumas parciales de Fourier?

∞
X 2π
S(t) = a0 + an cos(nωt) + bn sin(nωt), ω=
T
n=1

Suma parcial de orden k (suma hasta el k -ésimo armónico):

k
X
Sk (t) = a0 + an cos(nωt) + bn sin(nωt)
n=1

Sk (t) ≈ x(t)

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Series de Fourier. Teorema de Dirichlet

Donde la señal es continua hay convergencia uniforme

x(t)

Sk(t)

x(t)+d
x(t)-d

Dado d > 0, existe una Sk (t) tal que |Sk (t) − x(t)| < d

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Series de Fourier. Fenómeno de Gibbs

Qué pasa si hay un punto de discontiniudad?

Fenómeno de Gibbs

x(t)
Sk(t)

x(t)+d

x(t)-d

t0

16 / 51
Series de Fourier. Fenómeno de Gibbs
Qué pasa si hay un punto de discontiniudad?

Fenómeno de Gibbs

error: 9 por ciento (aprox.) del salto

en la discontinuidad t0

x(t)

Sk(t)

t0
17 / 51
Series de Fourier. Teorema de Dirichlet

Ejemplo: señal de periodo 2π definida en el intervalo [−π, π) por

(
−1 −π ≤ t < 0
x(t) =
1 0≤t <π

Valor de la SF?

18 / 51
Series de Fourier. Teorema de Dirichlet
Ejemplo: Valor de la SF?
(
t = 0 + 2k π
Puntos de discontinuidad: ⇐⇒ t = kπ, k ∈ Z
t = π + 2kπ

x(t) es continua para t 6= kπ −→ S(t) = x(t), t 6= kπ

En los puntos de discontiniuidad:

x(0− ) + x(0+ ) −1 + 1
S(0) = = = 0 −→ por periodicidad en
2 2
t = 0 + 2kπ igual
x(π − ) + x(π + ) 1−1
S(π) = = = 0 −→ por periodicidad en
2 2
t = π + 2kπ igual

Por tanto: S(k π) = 0

19 / 51
Series de Fourier. Espectro

Espectro real de una señal

Mide la importancia de cada armónico en la señal

Se calcula a partir de los coeficientes de la SF trigonométrica de
la señal

2π
x(t) de periodo T y frecuencia fundamental ω0 = T
∞
X
S(t) = a0 + an cos(nω0 t) + bn sin(nω0 t)
n=1

p
Espectro: |a0 |, para n = 0; an2 + bn2 , para n ≥ 1 (corresp. a nω0 )

20 / 51
Series de Fourier. Espectro

Gráfica del espectro

 p 
Puntos del plano: (0, |a0 |), nω0 , an2 + bn2 , para n ≥ 1

w n
0 w0 3w0 nw0 0 1 3 n
2w0 2

Abscisas: frecuencias ω −→ cambio de escala: n

21 / 51
Series de Fourier. Espectro
Ejemplo: señal de periodo 2π definida en el intervalo [−π, π) por

∞
(
−1 −π ≤ t < 0 X 2
1 − (−1)n sin(nt)


x(t) = S(t) =
1 0≤t <π nπ
n=1
q q
a0 = 0, an = 0 =⇒ an2 + bn2 = bn2 = |bn |
bn = 0 si n par. b1 = π4 ≈ 1.27, b3 = 3π4 4
≈ 0.42, b5 = 5π ≈ 0.25,
4
b7 = 7π ≈ 0.18, · · ·

22 / 51
Funciones pares e impares

Función par: x(−t) = x(t), t ∈ R

La gráfica es simétrica respecto al eje OY

x(t0) x(t1)

-t2 t2
-t1 t1

- t0 t0 x(t2)

Ejemplos:
x(t) = t 2 −→ x(−t) = (−t)2 = t 2 = x(t)
x(t) = cos(t) −→ x(−t) = cos(−t) = cos(t) = x(t)

23 / 51
Funciones pares e impares

Función impar: x(−t) = −x(t), t ∈ R

La gráfica es simétrica respecto al origen de coordenadas O

x(t1)
x(t0)
-x(t2)

-t0 -t1 t2
t0 -t2 t1
x(t2)
-x(t0)
-x(t1)

Ejemplos:
x(t) = t 3 −→ x(−t) = (−t)3 = −t 3 = −x(t)
x(t) = sin(t) −→ x(−t) = sin(−t) = − sin(t) = −x(t)

24 / 51
Funciones pares e impares. Algunas propiedades
Producto de 2 señales pares es par
f (−t)g(−t) = f (t)g(t)

Producto de 2 señales impares es par

f (−t)g(−t) = (−f (t))(−g(t)) = f (t)g(t)

Producto de una señal par por una impar es impar. Si f par y g

impar:
f (−t)g(−t) = f (t)(−g(t)) = −f (t)g(t)

25 / 51
Funciones pares e impares. Algunas propiedades
Z a
x(t) impar =⇒ x(t) dt = 0
−a
Z a Z a
x(t) par =⇒ x(t) dt = 2 x(t) dt
−a 0

-a
0 a

-a 0 a

26 / 51
Serie de Fourier de señales pares e impares

2π
SF de x(t), de periodo T y frecuencia ω = :
T
∞
X
S(t) = a0 + an cos(nωt) + bn sin(nωt)
n=1

1 T /2
Z
a0 = x(t) dt
T −T /2

2 T /2
Z
an = x(t) cos(nωt) dt
T −T /2

2 T /2
Z
bn = x(t) sin(nωt) dt
T −T /2

27 / 51
Serie de Fourier de señales pares e impares

Serie de Fourier de una señal par

Si x(t) es una señal par, entonces:
Z T /2 Z T /2
1 1
a0 = x(t) dt = 2 x(t) dt
T −T /2 T 0
Z T /2 Z T /2
2 2
an = x(t) cos(nωt) dt = 2 x(t) cos(nωt) dt
T −T /2 | {z } T 0
par
Z T /2
2
bn = x(t) sin(nωt) dt = 0
T −T /2 | {z }
impar
∞
X
S(t) = a0 + an cos(nωt)
n=1

28 / 51
Serie de Fourier de señales pares e impares

Serie de Fourier de una señal impar

Si x(t) es una señal impar, entonces:
Z T /2
1
a0 = x(t) dt = 0
T −T /2
Z T /2
2
an = x(t) cos(nωt) dt = 0
T −T /2 | {z }
impar
Z T /2 Z T /2
2 2
bn = x(t) sin(nωt) dt = 2 x(t) sin(nωt) dt
T −T /2 | {z } T 0
par
∞
X
S(t) = bn sin(nωt)
n=1

29 / 51
Repaso Números complejos

Expresión binómica: z = a + ib, siendo a y b números reales.

a = Re(z), b = Im(z), i es la unidad imaginaria.
Notación: en las listas de problemas la unidad imaginaria aparece
denotada por j.

Expresión exponencial: z = reiα , siendo r y α números reales.

r = |z| = modulo(z), α = argumento(z).
eje imaginario
z=a+ib=r eiα

r
b
α
a eje real

30 / 51
Repaso Números complejos
√
Si z = a + ib −→ |z| = a2 + b 2

Conjugado:

z = a + ib = reiα −→ z = a − ib = re−iα

Im
a+ib=r e iα

r b

α
−α a Re

r -b

a-ib=r e-iα

31 / 51
Repaso Números complejos. Fórmula de Euler

(1) eiα = cos(α) + i sin(α)

(2) e−iα = cos(−α) + i sin(−α) = cos(α) − i sin(α)

eiα + e−iα
(1) + (2) : eiα + e−iα = 2 cos(α) −→ cos(α) =
2

eiα − e−iα
(1) − (2) : eiα − e−iα = 2i sin(α) −→ sin(α) =
2i

32 / 51
Exponenciales complejas
Trabajaremos con las señales R 7−→ C definidas por:

x(t) = eiat = cos(at) + i sin(at), a∈R

Estas exponenciales complejas son de frecuencia angular a y de

periodo fundamental 2π
|a| .

En la expresión trigonométrica (real) de la serie de Fourier de una

señal, las funciones elementales son senos y cosenos

cos(nωt) y sin(nωt) de frecuencias nω, n = 1, 2, 3, · · ·

En la expresión exponencial (compleja) de la serie de Fourier de

una señal, las funciones elementales son exponenciales
complejas

einωt y e−inωt de frecuencias nω y − nω, n = 1, 2, 3, · · ·

33 / 51
Expresión compleja (exponencial) de una serie de
Fourier
x(t) de periodo fundamental T y frecuencia angular (fundamental)
2π
ω= . Denotamos ωn = nω.
T
La expresión compleja de la serie de Fourier de la señal x(t) es
+∞ Z c+T
X 1
cn e iωn t
, cn = x(t)e−iωn t dt, n = 0, ±1, ±2, · · ·
n=−∞
T c

Los coeficientes cn son complejos para n 6= 0.

1 c+T
Z
Si n = 0, c0 = x(t) dt es real y representa el valor medio
T c
de la señal en un periodo.

Los multiplos de la frecuencia angular son positivos y negativos

nω, n ∈ Z
34 / 51
Como pasar de la expresión trigonométrica a la
expresión compleja y viceversa
x(t) de periodo fundamental T y frecuencia angular (fundamental)
2π
ω= . Denotamos ωn = nω. La SF de la señal es
T
+∞
X +∞
X
a0 + an cos(ωn t) + bn sin(ωn t) = cn eiωn t
n=1 n=−∞
Los coeficientes reales a0 , an , bn , n = 1, 2, · · · , y los coeficientes
complejos cn , n = 0, ±1, ±2, · · · , están relacionados de la siguiente
forma:
 


 c0 = a0 

 c0 = a0
= 12 (an − ibn )  c = 1 (a − ib ) , n > 0

 c 
n n 2 n n
⇐⇒
 c−n = 12 (an + ibn )

1
 cn = 2 (a−n + ib−n ) , n < 0


 

 n = 1, 2, 3, · · ·  n = ±1, ±2, ±3, · · ·

35 / 51
Series de Fourier. Armónicos y sumas parciales

Armónico n−ésimo:

c−n e−iωn t + cn eiωn t = an cos(ωn t) + bn sin(ωn t)

Suma parcial de orden k:

k
X k
X
Sk (t) = cn eiωn t = a0 + an cos(ωn t) + bn sin(ωn t)
n=−k n=1

36 / 51
Series de Fourier (expresión compleja)
Ejemplo: calcular la expresión compleja serie de Fourier de la señal
de periodo 2π definida en el intervalo [−π, π) por
(
−1 −π ≤ t < 0
x(t) =
1 0≤t <π
2π
Periodo: T = 2π; Frecuencia: ω = = 1;
T
SF de la señal:
+∞ Z π
X 1
S(t) = cn eint , siendo cn = x(t)e−int dt
n=−∞
2π −π
!
Z π Z 0 Z π
1 1
c0 = x(t) dt = −1 dt + 1 dt =0
2π −π 2π −π 0

37 / 51
Series de Fourier (expresión compleja)
Ejemplo de cálculo de la expresión compleja de una SF
 
Z 0 ! 0 π
1  −e−int e−int
Z π
1 −int −int
cn = −e dt + e dt = + =
2π −π 0 2π −in −in
−π 0
1  1   
= e0 − einπ − e−inπ + e0 = 2 − einπ + e−inπ =
i2nπ i2nπ  
1 1 n

1 i i
= (2 − 2 cos(nπ)) = 1 − (−1) = = 2 = = −i =
i2nπ inπ i i −1
1
1 − (−1)n ,


= −i n ∈ Z, n 6= 0.
nπ
Serie de Fourier de la señal:
+∞
X 1
1 − (−1)n eint


S(t) = −i
n=−∞
nπ
n6=0

38 / 51
Series de Fourier (expresión compleja)
Ejemplo de cálculo de la expresión compleja de una SF
Otra forma de calcularla: a partir de la expresión trigonométrica
∞
X 2
1 − (−1)n sin(nt)


S(t) =
nπ
n=1
2
1 − (−1)n


De aquı́ deducimos que a0 = 0, an = 0, n ≥ 1 y bn =
nπ
Calculamos los coeficientes cn a partir de a0 , an y bn :

c0 = a0 = 0
1 i 2 1
1 − (−1)n = −i 1 − (−1)n , n > 0



cn = (an − ibn ) = −
2 2 nπ nπ
1 i 2 1
1 − (−1)−n = −i 1 − (−1)n , n < 0



cn = (a−n + ib−n ) =
2 2 −nπ nπ
1
1 − (−1)n , n 6= 0


cn = −i
nπ
39 / 51
Series de Fourier. Espectro complejo

Espectro complejo de una señal

Mide la importancia de cada armónico en la señal

Se calcula a partir de los coeficientes de la SF compleja de la
señal

2π
x(t) de periodo T y frecuencia fundamental ω0 = T
+∞
X
S(t) = cn einω0 t
n=−∞

Espectro: |cn |, para n = 0, ±1, ±2, ±3, · · · (corresp. a las frec. nω0 )

40 / 51
Series de Fourier. Espectro complejo

Gráfica del espectro complejo

Puntos del plano: (nω0 , |cn |), para n ∈ Z

w
-nw0 -3w0 -2w0 -w0 0 w0 2w0 3w0 nw0

41 / 51
Series de Fourier. Espectro complejo

Gráfica del espectro complejo −→ Es simétrica respecto al eje OY :

(
cn = 12 (an − ibn )
=⇒ c−n = c n =⇒ |c−n | = |c n | = |cn |
c−n = 12 (an + ibn )

Relación entre el espectro complejo y el real

|c0 | = |a0 |
1 1 1
q
|cn | = |c−n | = (an + ibn ) = |(an + ibn )| = an2 + bn2
2 2 2

(Mirad la definición de espectro real, transp. 20 y 21)

42 / 51
Series de Fourier. Relación entre el espectro complejo
y el real

(an2 +bn2)(1/2)/2

w
-nw0 -3w0 -2w0 -w0 0 w0 2w0 3w0 nw0

(an2 + bn2)(1/2)

w
0 w0 2w0 3w0 nw0

43 / 51
Series de Fourier. Relación entre el espectro complejo
y el real
Ejemplo: señal de periodo 2π definida en el intervalo [−π, π) por
(
−1 −π ≤ t < 0
x(t) = . Si su espectro real es:
1 0≤t <π

El espectro complejo es:

44 / 51
Series de Fourier. Relación de Parseval
Señal x(t) de periodo T , los coeficientes complejos cn , n ∈ Z, de la
serie de Fourier
Z asociada a x(t).
Si la integral |x(t)|2 dt es convergente, entonces se cumple que
T

Z +∞
X
|x(t)|2 dt = T |cn |2
T n=−∞

Z
Notación: quiere decir integrar sobre cualquier intervalo de
T
longitud T

La relación de Parseval se puede expresar de forma equivalente

como
Z +∞
1 2
X
|x(t)| dt = |cn |2
T T n=−∞

45 / 51
Series de Fourier. Relación de Parseval

Z
La integral |x(t)|2 dt es la energı́a de la señal x(t) en un
T
intervalo de longitud el periodo T .
Z
1
La integral |x(t)|2 dt es la potencia media de la señal x(t).
T T
+∞
X
El número T |cn |2 es la energı́a espectral total.
n=−∞
La sucesión de números T |cn |2 , n = 0, ±1, ±2, ±3, · · · , es la
densidad espectral de energı́a de la señal x(t) y muestra como
está dispersada la energı́a de la señal en función de la frecuencia
angular ω (cada n se corresponde con la frecuencia ω = nω0 ,
siendo ω0 = 2πT ).

46 / 51
Series de Fourier. Relación de Parseval. Aplicación

Evaluar en términos energéticos una suma parcial de la serie de

Fourier (o unos cuantos términos de la serie de Fourier) como
aproximación de la señal x(t).
Consideramos la suma parcial de Fourier de orden k
k
X
Sk (t) = cn ejnω0 t
n=−k

que es una aproximación de la señal:

Sk (t) ≈ x(t)

Vamos a valorar esta aproximación en términos de energı́a

utilizando la identidad de Parseval.

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Series de Fourier. Relación de Parseval. Aplicación

k
X
T |cn |2 −→ energı́a espectral de la aproximación.
n=−k
¿Qué % de la energı́a espectral total es?

Relación de Parseval: la energı́a espectral total es la energı́a en

un periodo
La proporción de energı́a de la señal que contiene la
aproximación Sk (t) es
Pk
T |cn |2
R n=−k
2
T |x(t)| dt

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Series de Fourier. Relación de Parseval. Aplicación

Ejemplo: señal de periodo 2π definida en el intervalo [−π, π) por

+∞
(
−1 −π ≤ t < 0 X 1
1 − (−1)n eint


x(t) = S(t) = −i
1 0≤t <π n=−∞
nπ
n6=0
1
X 1 2i −it 2i it
1 − (−1)n eint =


S1 (t) = −i e − e
nπ π π
n=−1
n6=0

2 2
c1 = −i ; c−1 = i ; c0 = 0.
π π

Porcentaje de energı́a de S1 (t) respecto del total?

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Series de Fourier. Relación de Parseval. Aplicación
Ejemplo. Energı́a de S1 (t):
  n o
E(S1 ) = 2π |c−1 |2 + |c0 |2 + |c1 |2 = |c−1 | = |c1 | ; |c−1 |2 = |c1 |2 =
   2 2

4 16
2 2
= 2π |c0 | + 2|c1 | = |c1 | = | − i| = = 4π 2 =
π π π π
Z π +∞
X
Aplicamos Parseval: |x(t)|2 dt = 2π |cn |2
−π n=−∞

Calculamos la energı́a de la señal en un periodo:

Z π Z π
|x(t)|2 dt = 1 dt = t|π−π = 2π
−π −π
La proporción de la energı́a de S1 (t) es:

16/π 8
= 2 ≈ 0.81057 −→ 81.06%
2π π
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Series de Fourier. Relación de Parseval.

Ejercicio: Demostrar que

+∞ +∞
X 1 X 2 
|cn |2 = a02 + an + bn2
n=−∞
2
n=1

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