Guia N 4 IME188

Universidad de la Frontera
Facultad de Ingenierı́a y Ciencias Primer Semestre 2014

Departamento de Matemática y Estadı́stica
Guı́a de Ejercicios N◦ 4
Ecuaciones Diferenciales (IME188)
Carreras: Ingenierı́as Civiles y Pedagogı́a en Matemática
Profesor: Dr. Alex Sepúlveda.
Email: alex.sepulveda@ufrontera.cl
1. Para las siguientes funciones estudie la existencia de la transformada de Laplace:
a) f (t) = t ln t c) f (t) = e2t cos (3t)

b) f (t) = t3 sen t d) f (t) = t4 e3t
2. Use la definición para calcular la transformada de Laplace de las siguientes funciones:

a) f (t) = t2 π−t 0<t<π
e) f (t) =
sen t t ≥ π
b) f (t) = cos 2t
t 0<t<1
c) f (t) = te−t f ) f (t) =
1−t t≥1
2t
e 0<t<3 t 0<t<1
d) f (t) = g ) f (t) =
1 t≥3 1−t t≥1
3. Escriba las siguientes funciones utilizando el escalón unitario:

  −3t
 1 t ≤ −2  e t≤3
 2  2 t

3 − t −2 < t ≤ 0 t e 3<t≤5

a) f (t) = b) f (t) = 2 et

 t − 4 0 < t ≤ 5 
 −t 5<t≤7
4t t>5 et t>7
 
4. Calcule la transformada de Laplace de las siguientes funciones aplicando las propiedades:
a) f (t) = 6e−3t − t2 + 2t − 8 i) f (t) = 2et − 2 cos t + sen t

b) f (t) = t3 − tet + e4t cos 3t j) f (t) = 3g ′′ (t) + tg ′ (t) + t2 e−5t , donde g es
c) f (t) = t4 e5t − et cos t un función de orden exponencial al infinito tal
que g (0) = g ′ (0) = 1
d) f (t) = sen 2t sen 5t
k) f (t) = t2 − 3t + 2 sen (3t)

e) f (t) = te−2t sen (3t) + cos2 t Z t
l) f (t) = e−3t u cos (4u) du

cos t 0 ≤ t < π
f ) f (t) = 0
sen t t≥π 
  t t<1
 0 t≤1 m) f (t) = 2−t 1≤t≤2
g ) f (t) = 2
t − 2t + 1 1 < t ≤ 3 3t − 12 t > 2

4t − 8 t>3

Z t −u
e − e−2u
h) f (t) = 3e−2t sen (3t) + 5e−2t cos (3t) n) f (t) = du
0 u
1
5. Aplicando transformada de Laplace calcule las siguientes integrales:
Z ∞ Z ∞ −t
e − e−3t

a) t 1 − e−t/2 + e−2t cos t dt b) dt
0 0 t
sen2 t
2
2 1 s +4
6. Calcule L sen t (s) y use el resultado para demostrar que L (s) = ln .
t 4 s2
Z ∞
7. La función Gamma de Euler está definida para α > 0 como Γ (α) = tα−1 e−t dt. Demuestre
0
Γ (α + 1)
que L [tα ] (s) = , para α > −1.
sα+1
8. Calcule las siguientes transformadas inversas:

−1 1 s
a) L (t) e) L−1 (t)
s2 (s + 1)2 s2 + 4s + 5
−3s
s −1 e
b) L −1 (t) f) L (t)
(s − 3) (s + 4) s2 + s4
2
−1 3s + 1 −1 s +1
c) L (t) g) L ln 2 (t)
s2 + 2s + 10 s +4

5 3s 3 1
d) L−1 − 2 + 2 (t) h) L−1 (t)
s − 7 s + 9 2s + 8s + 10 (s2 + α2 )2
9. Aplicando transformada de Laplace resuelva los siguientes problemas de valor incial:
a) y ′′ + 2y ′ + y = 0, y (0) = 1, y ′ (0) = 1
b) y ′′ − 4y ′ + 4y = t3 e2t , y (0) = 0, y ′ (0) = 1
c) y ′′′ − y ′′ + y ′ − y = 0, y (0) = 1, y ′ (0) = 1, y ′′ (0) = 3
d) y ′′′ + y ′′ + 3y ′ − 5y = 16e−t , y (0) = 0, y ′ (0) = 2, y ′′ (0) = −4
e) ty ′′ − 2y ′ + ty = 0, y (0) = 1, y ′ (0) = 0
f ) ty ′′ − ty ′ − y = 0, y (0) = 0, y ′ (0) = 3
g ) t (1 − t) y ′′ + 2y ′ + 2y = 6t, y (0) = y ′ (0) = 0
h) ty ′′ − ty ′ + y = 2 et − 1 , y (0) = 0, y ′ (0) = −1

i) ty ′′ + (t − 2) y ′ + y = 0, y (0) = 0, y ′ (0) = 1


 t 0≤t<1
1 1 ≤t<2

j) y ′′ − y = , y (0) = 0, y ′ (0) = 1

 3 − t 2 ≤ t<3
0 3≤t


 0 0≤t<1
′′ ′
k) y + 5y + 6y = t 1 ≤ t < 5 , y (0) = 0, y ′ (0) = 2
1 2≤t


 t+1 0≤t<1
l) y ′′ + 2y ′ + 2y = 3 − t 1 ≤ t < 2 , y (0) = y ′ (0) = 0
1 2≤t


3 2
′′ ′
m) y + ty − 3y = t − 3 + (t − 3) µ (t − 3), y (0) = 0, y ′ (0) = 1
2
2
10. Utilizando transformada de Laplace encuentre la solución de las siguientes ecuaciones:
Z t
′
a) y − y (u) du = e−t cos (3t), y (0) = 0
0
Z t
b) y (t) + et−u y (u) du = sen t
0
Z t
2
c) y (t) = t + sen (t − u) y (u) du
0
Z t
d) y (t − u) (y (u) − 1 − eu ) du = et − 1
0
Z t
′
e) y + y − sen (t − u) y (u) du = − cos t, y (0) = 1
0

Z t  t 0≤t<1
f ) y ′ + 2y + y (u) du = 2 − t 1 ≤ t < 2 , y (0) = 0
0 
0 2≤t

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1. Para las siguientes funciones estudie la existencia de la transformada de Laplace:

a) f (t) = t ln t c) f (t) = e2t cos (3t)

2. Use la definición para calcular la transformada de Laplace de las siguientes funciones:

3. Escriba las siguientes funciones utilizando el escalón unitario:

4. Calcule la transformada de Laplace de las siguientes funciones aplicando las propiedades:

a) f (t) = 6e−3t − t2 + 2t − 8 i) f (t) = 2et − 2 cos t + sen t

9. Aplicando transformada de Laplace resuelva los siguientes problemas de valor incial:

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