UNIDAD 1: GEOMETRÍA ANALÍTICA

TEMAS: La Elipse

DOCENTE: Fredy Suntaxi

 OBJETIVO:
Obtener las ecuaciones de la elipse sean estas ordinarias o generales,
así como los elementos llamados: vértices, focos, directrices, lado recto,
eje mayor y menor, para elaborar la grafica con precisión.
 LA ELIPSE
Elipse vertical con centro en el origen
Una elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de
distancias a dos puntos fijos es constante, esta cantidad
constante es 2a. Los puntos fijos se llaman focos.

Ecuaciones de la elipse con centro en el origen. Donde

Elipse horizontal con centro en el origen
2a es longitud de eje mayor
2b es longitud de eje menor

Donde
Como los focos están sobre el eje Y las
2a es longitud de eje mayor ecuaciones de las directrices son:
2b es longitud de eje menor 𝒂2 𝒂2
𝒚+ =0 𝒚− =0
𝒄 𝒄
𝑐 𝑒= √ 𝑎 − 𝑏
2 2
Como los focos están sobre el eje X las ecuaciones de las Excentricidad 𝑒=
directrices son: 2 𝑎 𝑎
𝒂 2
𝒂 2
𝒙+ =0 𝒙− =0 Lado recto 𝐿𝑅= 2 𝑏 𝑒< 1
𝒄 𝒄 𝑎
 Demostración.
𝒅 1 +𝒅 2 =2 𝒂
Elipse horizontal
√ ( 𝑥+𝑐 ) + 𝑦 + √ ( 𝑥 −𝑐 ) + 𝑦 =2 𝑎
2 2 2 2

√ ( 𝑥+𝑐 ) + 𝑦 2=2 𝑎 − √( 𝑥 − 𝑐 ) + 𝑦 2
2 2 2 2

(√ ( 𝑥+𝑐 )2 + 𝑦 2) =( 2 𝑎− √( 𝑥 − 𝑐 )2 + 𝑦 2 )
( 𝑥+𝑐 ) + 𝑦 =4 𝑎 − 4 𝑎 √ ( 𝑥 −𝑐 ) + 𝑦 + ( 𝑥 −𝑐 ) + 𝑦
2 2 2 2 2 2 2

𝑥 +2 𝑐𝑥+𝑐 + 𝑦 =4 𝑎 − 4 𝑎 √ ( 𝑥 −𝑐 ) + 𝑦 + 𝑥 − 2𝑐𝑥 +𝑐 + 𝑦
2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 𝑎 √ ( 𝑥 − 𝑐 ) + 𝑦 = 4 𝑎 − 4 𝑐𝑥𝑎 2 𝑥 2 − 𝑐2 𝑥2 +𝑎 2 𝑦 2= 𝑎 4 − 𝑎 2 𝑐2
2 2 2

𝑎 √ ( 𝑥 − 𝑐 ) + 𝑦 2=𝑎 2 − 𝑐𝑥 ( 𝑎 2 − 𝑐 2) 𝑥 2+ 𝑎2 𝑦 2 =𝑎 2 ( 𝑎2 − 𝑐 2 )
2

2 2
(𝑎 √ ( 𝑥 − 𝑐 ) 2
+𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝑐𝑥 )
2 2
Donde
2
𝑎 ( 𝑥 − 𝑐 ) +𝑎 𝑦 =𝑎 − 2 𝑎 𝑐𝑥 +𝑐 𝑥𝑏
2 2 2 2 4 2 2 2
𝑥2 + 𝑎 2 𝑦 2 = 𝑎2 𝑏2
2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 Finalmente,
2 si se divide para , se obtiene la 𝒙2 𝒚2
𝑎 𝑥 − 2 𝑎 𝑐𝑥+ 𝑎 𝑐 + 𝑎 𝑦 =𝑎 −2 𝑎 𝑐𝑥+𝑐 𝑥ecuación canónica de la elipse de centro y de 2
+ 2 =1
𝒂 𝒃
2 2 2 2 2 2 4 2 2 eje mayor que coincide con el eje de las
𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑐 + 𝑎 𝑦 =𝑎 +𝑐 𝑥 abscisas.
 Demostración

Elipse vertical 𝒅 1 + 𝒅 2 =2 𝒂
√ 𝑥 + ( 𝑦 +𝑐 ) + √ 𝑥 + ( 𝑦 − 𝑐 ) =2 𝑎
2 2 2 2

√ 𝑥 + ( 𝑦 +𝑐 ) = 2
2 𝑎 − √ 𝑥 +( 𝑦 − 𝑐 )
2 2 2 2

2 2
(√ 𝑥 + ( 𝑦 +𝑐 ) ) =( 2 𝑎 − √ 𝑥 + ( 𝑦 − 𝑐 ) )
2 2 2

𝑥 + ( 𝑦 + 𝑐 ) =4 𝑎 − 4 𝑎 √ 𝑥 + ( 𝑦 −𝑐 ) + 𝑥 + ( 𝑦 − 𝑐 )
2 2 2 2 2 2 2

𝑥 + 𝑦 +2 𝑐𝑦 +𝑐 =4 𝑎 − 4 𝑎 √ 𝑥 + ( 𝑦 −𝑐 ) +𝑥 + 𝑦 −2 𝑐𝑦 +𝑐
2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 𝑎 √ 𝑥 + ( 𝑦 − 𝑐 ) = 4 𝑎 − 4 𝑐𝑦2 2 2

𝑎 √ 𝑥 + ( 𝑦 − 𝑐 ) =𝑎 − 𝑐𝑦
2 2 2

2 2 2
( 𝑎 √ 𝑥 + ( 𝑦 − 𝑐 ) ) =( 𝑎 − 𝑐𝑦 )
2 2
¿
  Donde
2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 𝑎 2 𝑥 2+ 𝑏2 𝑦 2= 𝑎2 𝑏2
𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑦 −2 𝑎 𝑐𝑦 +𝑎 𝑐 =𝑎 − 2 𝑎 𝑐𝑦 +𝑐 𝑦Finalmente,
si se divide para , se obtiene la 𝒙 2 𝒚 2
2 2 2 2 2 2 4 2 2 ecuación canónica de la elipse de centro y de 2
+ 2 =1
𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑦 +𝑎 𝑐 =𝑎 +𝑐 𝑦 𝒃 𝒂
2 2 2 2 2 2 4 2 2 eje mayor que coincide con el eje de las
𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑦 − 𝑐 𝑦 =𝑎 − 𝑎 𝑐 ordenadas.
 Ejemplo
Determinar el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a los focos y sea 10.
Aplicamos la definición de la elipse 10
𝒅 PF + 𝒅 𝑷 𝑭 =2 𝒂
2 2
2
√ 2
1 𝟐

Sabemos que los focos son y que están en el eje X. Además, 2a es ( 6 𝑥 −50 ) =(−10 ( 𝑥 −3 ) + 𝑦 )
longitud de eje mayor. Por lo que tenemos: 2 2 2
36 𝑥 −600 x+2500=1 00 ( 𝑥 − 3 ) +100 𝑦
√ ( 𝑥+𝑐 ) + 𝑦 + √ ( 𝑥 −𝑐 ) + 𝑦
2 2 2 2
=2 𝑎 36 𝑥 2 −600 x+2500=1 00 𝑥 2 − 600 𝑥 +900+100 𝑦 2
En nuestro caso y . Se trata de una elipse horizontal: 2500 −900=1 00 𝑥 2 − 36 𝑥2 +100 𝑦 2
64 𝑥 2+100 𝑦 2=1600
√ ( 𝑥+3 ) + 𝑦 + √ ( 𝑥 −3 ) + 𝑦 =10
2 2 2 2

16 𝑥2 +25 𝑦 2= 400
√ ( 𝑥+3 ) + 𝑦 =10 − √ ( 𝑥 −3 ) + 𝑦
2 2 2 2
16 𝑥 2 25 𝑦 2 400
+ =
2 2 2 2
(√ ( 𝑥+3 ) + 𝑦 ) =(10 − √ ( 𝑥 −3 ) + 𝑦 )
2 2 400 400
𝑥2 𝑦 2
400

( 𝑥+3 ) + 𝑦 =100 − 20 √ ( 𝑥 −3 ) + 𝑦 + ( 𝑥 −3 ) + 𝑦
2 2 2 2 2 2
+ =1
25 16
𝑥 +6 𝑥+ 9=100− 20 √ ( 𝑥 −3 ) + 𝑦 + 𝑥 −6 𝑥+ 9
2 2 2 2
Donde:
6 𝑥=100 −20 √ ( 𝑥 − 3 ) + 𝑦 − 6 𝑥
2 2

1 2 𝑥 − 100=− 2 0 √ ( 𝑥 −3 ) + 𝑦
2 2
 Expresar la ecuación en forma ordinaria y calcular todos los elementos de la elipse
Solución analítica Extraemos las raíces,
Tenemos: 𝑎=5 , 𝑏=2 , 𝑐=√ 21
Dividimos para 100: Para los focos ¿ ¿
Simplificamos: Vértices del eje mayor ¿ ¿
Esta es la ecuación de la elipse vertical, Vértices del eje menor ¿ ¿
con centro en el origen, pues . 2 𝑏2 2∗ 4 8
𝐿𝑅=
Lado recto 𝐿 𝑅= =
Calculamos de elementos de la elipse: 𝑎 5 5
2
𝑎 =25 , 𝑏 = 4 2 Excentricidad𝑒= 𝑐𝑒= √ 21 ≈ 0.917
𝑎 5
Teorema de Pitágoras Directrices
𝒂2
𝑎 2=𝑏 2+ 𝑐2 𝒚− =0 𝑎=5
𝒄
𝑐 2=𝑎 2 − 𝑏2 25 25
𝒚+ = 0
𝒚− =0 𝑏=2
2
𝑐 =25 − 4= 21 √ 21 √ 21
 Ejercicios:

1) Determinar el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a los focos y sea
10.

2) Obtener la ecuación de la elipse cuyos focos son y tal que la suma de las distancias de los puntos
de la elipse a los focos sea 12.

3) Obtener la ecuación de la elipse cuyos focos son y y vértices son y

4) Emplee la ecuación , trace la elipse obteniendo los focos, vértices los extremos del eje menor.

5) Emplee la ecuación , trace la elipse obteniendo los focos, vértices los extremos del eje menor.