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    Formulario de Geometría Analítica

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    Amalia Ximena Aguilar Márquez
    El documento proporciona información sobre las cuatro secciones cónicas principales (curva, parábola, elipse e hipérbola), incluyendo sus definiciones, ecuaciones generales, constantes características y formas de reconocer cada una basado en los coeficientes de su ecuación general.

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    FORMULARIO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

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    CURVA PARÁBOLA ELIPSE HIPÉRBOLA

    Definición 2a – longitud eje mayor 2a – longitud eje transverso


    P – distancia del vértice al foco 2b – longitud eje menor 2b – longitud eje conjugado
    Constantes P – distancia del vértice a la directriz. 2c – eje focal 2c – eje focal
    𝑐 2 = 𝑎2 − 𝑏 2 a>b 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2
    Ecuación general de la cónica
    𝐴, 𝐶 del mismo signo
    omitiendo el término 𝐵𝑥𝑦 𝐴=0 𝐶=0 𝐴, 𝐶 de signos distintos
    𝐴 ≠𝐶
    𝐴𝑥 2 + 𝐶𝑦 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
    𝑥2 𝑦2 𝑥2 𝑦2
    𝑦 2 = 4𝑝𝑥 + =1 − =1
    𝑎2 𝑏 2 𝑎2 𝑏 2

    Horizontal 𝑝 > 0 → Derecha Directriz: 𝒙 = −𝒑 Focos: (𝑐, 0), (−𝑐, 0) Focos: (𝑐, 0), (−𝑐, 0)
    𝑝 < 0 → Izquierda Foco: (𝒑, 𝟎) Vértices: (𝑎, 0), (−𝑎, 0) Vértices: (𝑎, 0), (−𝑎, 0)
    Asíntotas: 𝑏 𝑏
    𝑙1 : 𝑦 = 𝑥 𝑙2 : 𝑦 = − 𝑥
    Ecuación con centro 𝑎 𝑎
    en el origen (0,0) 𝑥2 𝑦2 𝑦2 𝑥2
    2
    𝑦 = 4𝑝𝑦 + =1 − =1
    𝑏 2 𝑎2 𝑎2 𝑏 2

    Vertical 𝑝 > 0 → Arriba Directriz: 𝒙 = −𝒑 Focos: (0, 𝑐), (0, −𝑐) Focos: (0, 𝑐), (0, −𝑐)
    𝑝 < 0 → Abajo Foco: (𝟎, 𝒑) Vértices: (0, 𝑎), (0, −𝑎) Vértices: (0, 𝑎), (0, −𝑎)
    Asíntotas: 𝑙 : 𝑦 = 𝑎 𝑥 𝑎
    𝑙2 : 𝑦 = − 𝑥
    1
    𝑏 𝑏
    2 2
    (𝑥 − ℎ) (𝑦 − 𝑘)
    (𝑥 − ℎ)2 (𝑦 − 𝑘)2 − =1
    2
    (𝑦 − 𝑘) = 4𝑝(𝑥 − ℎ) + =1 𝑎 2 𝑏2
    𝑎2 𝑏2
    Horizontal Focos: (ℎ + 𝑐, 𝑘), (ℎ − 𝑐, 𝑘)
    𝑝 > 0 → Derecha Directriz: 𝒙 = 𝒉 − 𝒑 Focos: (ℎ + 𝑐, 𝑘), (ℎ − 𝑐, 𝑘)
    Vértices: (ℎ + 𝑎, 𝑘), (ℎ − 𝑎, 𝑘)
    𝑝 < 0 → Izquierda Foco: (𝒉 + 𝒑, 𝒌) Vértices: (ℎ + 𝑎, 𝑘), (ℎ − 𝑎, 𝑘)
    Asíntotas: 𝑙 : 𝑦 − 𝑘 = ± 𝑏 (𝑥 − ℎ)
    Si 𝑎2 está debajo de 𝑥 es horizontal 1,2
    𝑎
    Ecuación con centro
    en (h, k) (𝑦 − 𝑘)2 (𝑥 − ℎ)2
    (𝑥 − ℎ)2 (𝑦 − 𝑘)2 − =1
    2
    (𝑥 − ℎ) = 4𝑝(𝑦 − 𝑘) + =1 𝑎2 𝑏2
    𝑏2 𝑎2
    Vertical Focos: (ℎ, 𝑘 + 𝑐), (ℎ, 𝑘 − 𝑐)
    𝑝 > 0 → Arriba Directriz: 𝒙 = 𝒌 − 𝒑 Focos: (ℎ, 𝑘 + 𝑐), (ℎ, 𝑘 − 𝑐)
    Vértices: (ℎ, 𝑘 + 𝑎), (ℎ, 𝑘 − 𝑎)
    𝑝 < 0 → Abajo Foco: (𝒉, 𝒌 + 𝒑) Vértices: (ℎ, 𝑘 + 𝑎), (ℎ, 𝑘 − 𝑎)
    Asíntotas: 𝑙 : 𝑦 − 𝑘 = ± 𝑎 (𝑥 − ℎ)
    Si 𝑎2 está debajo de 𝑦 es vertical 1,2
    𝑏
    4𝑝 2 2
    Longitud del lado recto LR 2𝑏 /𝑎 2𝑏 /𝑎
    𝑐 𝑐
    Excentricidad 𝑒=1 𝑒= <1 𝑒= >1
    𝑎 𝑎
    Recta Circunferencia

    o Ecuación general: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 Para que sea una circunferencia se debe cumplir:

    o Pendiente – ordenada al origen: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 1.- Tanto 𝑥 como 𝑦 deben estar elevados al cuadrado
    2.- 𝑥 2 y 𝑦 2 deben tener el mismo coeficiente
    o Punto – pendiente: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 (𝑥 − 𝑥1 ) 3.- 𝑥 2 y 𝑦 2 deben tener el mismo signo
    𝑥 𝑦
    o Simétrica: 𝑎 + 𝑏 = 1 CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL ORIGEN (0,0)

    m – pendiente 𝑥 2 + 𝑦2 = 𝑟2
    a – abscisa al origen. Intersección con el eje x
    CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN (ℎ, 𝑘)
    b – ordenada al origen. Intersección con el eje y
    (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟 2
    𝑚>0 𝑚<0 𝑚=0 𝑚 = 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎

    ¿Cómo reconocer cada sección cónica?

    Fórmula general: 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0

    ► Si B = 0 no hay rotación de ejes cartesianos


    ► Si A = C y tienen el mismo signo es una CIRCUNFERENCIA
    ► Si A = 0 y C ≠ 0 o A ≠ 0 y C = 0 es una PARÁBOLA
    ► Si A ≠ C y tienen el mismo signo es una ELIPSE
    ► Si A y C tienen signos diferentes es una HIPÉRBOLA

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