Parcial Mecanica
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Parcial Mecanica
Área de Solidos
Materia: Mecánica I
2019
Introducción
La estática es una rama de la física que estudia las distintas cargas que existen, como lo es el
momento, la fuerza, los pares de fuerza, entre otros, como también estudia los distintos tipos de
sistemas y cuerpos, y cómo reaccionan cuando son sometidos a las cargas anteriormente
mencionadas. Para realizar el análisis o estudio de dichos sistemas, es necesario conocer muchas de
sus características, las cuales también son un campo de la estática, como lo son el centroide y el
momento de inercia, los cuales vamos a analizar y resolver ejercicios de dicho tema en el presente
trabajo, por lo cual, a continuación, daremos una breve definición de ambos tópicos.
El centroide o centro de masa de un sistema, es el punto geométrico, que, para efectos del estudio,
se comporta como si estuviera sometido a todas las cargas externas al sistema, es decir, se toma
como el punto donde todas las fuerzas ejercen acción, lo cual facilita el estudio de los sistemas
cuando son sometidos a una gran cantidad de cargas.
El momento de inercia es el nombre que se le da a la inercia rotacional. Esto se debe a que cuando
un cuerpo gira alrededor de una eje, la inercia rotacional puede ser representada como un vector, el
cual es, en si mismo, el momento de inercia. El estudio de la inercia rotacional es de gran
importancia para la tecnología actual, ya que gracias a ella, se han podido desarrollar tecnologías
como el giroscopio, el cual es usado en las grandes industrias actuales, ya sea de tecnología,
automotriz, entre otras.
Objetivos
Objetivo general:
Entender y analizar los conceptos de centroide y momento de inercia.
Objetivos específicos:
Aplicar los distintos conceptos aprendidos en el curso de Mecánica I para la resolución de
distintos problemas de análisis.
Demostrar el entendimiento del concepto de momento de inercia a través de la resolución
de los ejercicios propuestos por el profesor.
Demostrar el entendimiento del concepto de centroide a través de la resolución de los
ejercicios propuestos por el profesor.
9-4
Determine la masa y ubicación del centro de masa (x,y) de una columna uniforme. La masa por
unidad de medida de la columna es de 3 Kg/m.
𝑑𝑦
𝑑𝐿 = √𝑑𝑥 2 + 𝑑𝑦 2 = √1 + ( )2 𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= (−2𝑥)
𝑑𝑥
𝑑𝐿 = √1 + (−2𝑥)2 𝑑𝑥
1
𝑑𝐿 = 2√( )2 + 𝑥 2 𝑑𝑥
2
Masa:
2 𝐾𝑔 1 2
𝑚 = ∫ (3 𝑚 ) 2√(2) + 𝑥 𝑑𝑥
2
2 1
𝑚 = 6 ∫ √ + 𝑥 2 𝑑𝑥
0 4
6 2
𝑚 = ∫ 𝑠𝑒𝑐 3 (𝑢) 𝑑𝑢
4 0
6 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑢)𝑠𝑒𝑛(𝑢) 1 2
𝑚= ( + ∫ sec(𝑢) 𝑑𝑢)
4 2 2 0
6 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑢)𝑠𝑒𝑛(𝑢) 1
𝑚= ( + 𝐿𝑛|tan(𝑢) + sec(𝑢)|)
4 2 2
6 𝑠𝑒𝑐 2 (arctan(2𝑥))𝑠𝑒𝑛(arctan(2𝑥)) 1 Commented [UdW1]: Evaluado entre 0 y 2
𝑚 = [( ) + 𝐿𝑛|tan(arctan(2𝑥)) + sec(arctan(2𝑥))|]
4 2 2
3 1
𝑚 = [(𝑥 + √1 + 4𝑥 2 + 𝐿𝑛 |2𝑥 + √1 + 4𝑥 2 |)]
2 2
1
3 (2√17 + 𝐿𝑛|4 + √17|)
𝑚= 2
2
𝑚 ≅ 13,9
∫𝐿 𝑦 𝑑𝐿
𝑥̅ =
∫𝐿 𝑑𝐿
2 1 2
∫0 𝑥 [2√(2) + 𝑥 2 𝑑𝑥] 𝑑𝑥
𝑥̅ =
2 1 2
∫0 2√(2) + 𝑥 2 𝑑𝑥
5,7577
𝑥̅ =
4,6468
𝑥̅ = 1,24𝑚
Y:
∫𝐿 𝑦𝑑𝐿
𝑦̅ =
∫𝐿 𝑑𝐿
2 1 2
∫0 (4 − 𝑥)2 [2√(2) + 𝑥 2 𝑑𝑥] 𝑑𝑥
𝑦̅ =
2 1 2
∫0 2√(2) + 𝑥 2 𝑑𝑥
2 1 2 1 2
∫0 [8√(2) + 𝑥 2 − 2𝑥 2 √(2) + 𝑥 2 ] 𝑑𝑥
𝑦̅ =
2 1 2
∫0 2√(2) + 𝑥 2 𝑑𝑥
10,116
𝑦̅ = = 2,18𝑚
4,6468
9.37
Localice el centroide 𝑦̅ del solido revolución formado por el área sombreada.
Elemento diferencial:
𝑑𝑉 = 𝜋𝑧 2 𝑑𝑦
1
𝑑𝑉 = 𝜋 ( 𝑦 3 ) 𝑑𝑦
16
𝜋 3
𝑑𝑉 = 𝑦 𝑑𝑦
16
Centroide. 𝑦̅ = 𝑦
∫𝐴 𝑦̅𝑑𝑉
𝑦̅ =
∫𝐴 𝑑𝑉
4 𝜋
∫0 𝑦 (16 𝑦 3 𝑑𝑦)
𝑦̿ = 4 𝜋
∫0 16 𝑦 3 𝑑𝑦
4 𝜋
∫0 16 𝑦 4 𝑑𝑦
𝑦̅ = 4 𝜋
∫0 16 𝑦 3 𝑑𝑦
𝑦̅ = 3,2𝑚
10.19
Determine el momento de inercia del área sobre el ele y.
Elemento diferencial:
ℎ 2
𝑑𝐴 = 𝑌𝑑𝑦 = 𝑥 𝑑𝑥
𝑏2
Momento de inercia:
𝑏 ℎ 2
𝐼𝑦 = ∫ 𝑥 2 𝑑𝐴 = ∫ 𝑥 2 ( 𝑥 𝑑𝑥)
𝐴 0 𝑏2
𝑏 ℎ 4
=∫ 𝑥 𝑑𝑥
0 𝑏2
ℎ 𝑥5
= ( )
𝑏2 5
ℎ𝑥 5
=
5𝑏2
ℎ𝑏5 ℎ02
= −
5𝑏2 5𝑏2
𝑏3 ℎ
=
5
10.58
Determine el momento de inercia del área de la sección transversal de la viga sobre el eje y
Se utiliza la siguiente ecuación de momento para la figura rectangular que esta horizontalmente la
cual tiene el centroide alineado con el eje donde se genera el momento.
𝑏3 ℎ 2503 (12)
𝐼𝑦 =
12
𝐼𝑦 = 12
≈ 15,6𝑥106 𝑚𝑚4
Se utiliza ejes paralelos para los rectángulos que no están alineados con el eje y del centroide.
𝑏3 ℎ
𝐼𝑦 = 𝐼𝑦 + 𝐴𝑑 2 = + 𝑏ℎ𝑑 2
12
(12)3
𝐼𝑦 = 100 + (12)(100)(119)2 ≈ 17,1𝑥106 𝑚𝑚4
12
𝑏2 ℎ
𝐼𝑦 = 𝐼𝑦 + 𝐴𝑑 2 = + 𝑏ℎ𝑑 2
12
(12)3 150
𝐼𝑦 = + (12)(150)(131)2 ≈ 30,9𝑥106 𝑚𝑚4
12
Al determinar los momentos de todos los rectángulos en la figura procedemos a sumarlos y calcular
el momento que genera esta figura respecto al eje “y”.
𝐼𝑦 = ((15,6𝑥106 𝑚𝑚4 )(2)) + ((17,1𝑥106 𝑚𝑚4 )(4)) + ((30; 9𝑥106 𝑚𝑚4 )(2))
𝐼𝑦 ≈ 161,4𝑥106 𝑚𝑚4
Conclusiones:
El cálculo del centroide depende de las dimensiones, en las que este se encuentre, ya que su
elemento diferencial variara dependiendo de estas, siendo lineal, de área o de volumen,
como se pudo ver en los ejercicios resuelto.
El momento de inercia tiene muchas aplicaciones en la vida real, debido a que es algo que
se ve en el día a día de una persona, por lo que, al estudiarlo, se pueden entender muchos
eventos cotidianos.
Con la ayuda del momento de inercia, el ser humano ha podido desarrollar tecnologías, que
han sido de gran ayuda para la humanidad, como lo es el giroscopio, cuyos usos van desde
los teléfonos inteligente, hasta los telescopios espaciales.