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Ecuaciones de Segundo Grado
Ecuaciones de Segundo Grado
Ecuaciones de Segundo Grado
De forma que la ecuación GENERAL de una ecuación de primer grado es 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 y todas tienen esa
forma, las ecuaciones tienen la ecuación generalizada de la forma
𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒙 + 𝑪 = 𝟎
𝐴𝑥 2 = 𝑇𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑖𝑐𝑜
𝐵𝑥 = 𝑇𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙
𝐶 = 𝑇𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
Nota: Revisar tema de Productos Notables para explicación de donde vienen las ecuaciones de segundo grado
Existen diferentes formas de resolver ecuaciones de segundo grado, pero en álgebra encontramos 3 formas: Formula
General, Factorización y Trinomio Cuadrado Perfecto
𝑏 2 𝑐 𝑏2
√(𝑥 + √
) =± − + 2
2𝑎 𝑎 4𝑎
𝑏 𝑐 𝑏2
𝑥+ = ±√− + 2
2𝑎 𝑎 4𝑎
Despejamos x, y resolvemos fracciones
𝑏 𝑐 𝑏2
𝑥=− ± √− + 2
2𝑎 𝑎 4𝑎
𝑏 𝑐 𝑏2
𝑥=− √
± − + 2
2𝑎 𝑎 4𝑎
De forma qué
𝑐 𝑏2 4𝑎2 (−𝑐) + 𝑏 2 𝑎
− + 2=
𝑎 4𝑎 4𝑎2 (𝑎)
Acomodamos y factorizamos valor común
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝒙=
𝟐𝒂
La parte más importante de la fórmula es la raíz cuadrada, y recibe el nombre de discriminante:
√𝑏 2 − 4𝑎𝑐
Si el resultado de la raíz es:
a) Negativo: No tiene soluciones
b) Cero: Tiene 1 solución
c) Positivo: Tendrá 2 soluciones
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 + 2
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Al no poder factorizar, resolvemos por formula general
−𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐
𝑥= 2𝑎
donde 𝑎 = 1, 𝑏 = −2, 𝑐 = 2
−8+0 8
𝑥1 = = − = −4
2 2
−8−0 8
𝑥2 = 2
= − 2 = −4
0 = 𝑥 2 + 8𝑥 + 16
0 = (−4)2 + 8(−4) + 16
0 = 16 − 32 + 16
0=0
3. Tercer caso
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 7𝑥 + 10
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
−𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐
𝑥= 2𝑎
donde 𝑎 = 1, 𝑏 = 7, 𝑐 = 10
−7+3 −4 −7−3 10
𝑥1 = = = −2 𝑥2 = =− = −5
2 2 2 2
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 7𝑥 + 10
1. 𝒇(𝒙) = 𝟗𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟗
−𝟏±√𝟏𝟎
Sol. 𝒙𝟏𝟐 =
𝟑
𝟐 𝟒
2. 𝒇(𝒙) = 𝒙 + 𝟐 𝒙 − 𝟔
Sol. 𝒙𝟏𝟐 = −𝟏 ± √𝟕
3. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟐𝟎
Sol. 𝒙𝟏 = −𝟏𝟎 𝒙𝟐 = −𝟐
𝟐
4. 𝒇(𝒙) = 𝒙 + 𝟑𝒙 − 𝟒
Sol. 𝒙𝟏 = −𝟒 𝒙𝟐 = 𝟏
𝟐
5. 𝒇(𝒙) = −𝒙 − 𝒙 + 𝟏𝟐
Sol. 𝒙𝟏 = −𝟒 𝒙𝟐 = 𝟑
6. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟓
Sol. 𝒙𝟏 = 𝟏. 𝟑𝟖𝟏𝟗 𝒙𝟐 = 𝟑. 𝟔𝟏𝟖
𝒙
7. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟐 + 𝟏
Sol. 𝒙𝟏𝟐 =∈ 𝒊
8. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟗𝒙 − 𝟒
Sol. 𝒙𝟏 = −𝟗. 𝟒𝟐𝟒𝟒 𝒙𝟐 = 𝟎. 𝟒𝟐𝟒𝟒
9. 𝒇(𝒙) = 𝟒𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟒
Sol. 𝒙𝟏 = −𝟏. 𝟔𝟏𝟖 𝒙𝟐 = 𝟎. 𝟔𝟏𝟖
SOLUCION DE ECUACIONES POR FACTORIZACION
Factorización quiere decir, descomponer en factores
(𝑥 + 3)(𝑥 + 3) = (𝑥 + 3)2 = 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟗
Propiedad cero
𝑓(𝑥) = 𝑦
Entonces, sí 𝑦 = 0
𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟗
𝟎 = 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟗
0 = (𝑥 + 3)(𝑥 + 3)
(𝑥 + 3) = 0 (𝑥 + 3) = 0
𝑥 = −3
1. (𝒙 + 𝟒)(𝒙 + 𝟒) = (𝒙 + 𝟒)𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝟏𝟔
𝑓(𝑥) = 𝑦, pero si 𝑦 = 0
𝑦 = 𝑥 2 + 8𝑥 + 16
0 = 𝑥 2 + 8𝑥 + 16
(𝑥 + 4)(𝑥 + 4) = 0
𝑥+4=0 𝑥+4=0
𝑥 = −4
2. (𝒙 + 𝟓)(𝒙 + 𝟓) = (𝒙 + 𝟓)𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟓
3. (𝒙 + 𝟔)(𝒙 + 𝟔) = (𝒙 + 𝟔)𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟑𝟔
4. (𝒙 − 𝟒)(𝒙 − 𝟒) = (𝒙 − 𝟒)𝟐 = 𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟏𝟔
𝑓(𝑥) = 𝑦, pero si 𝑦 = 0
𝑦 = 𝑥 2 − 8𝑥 + 16
0 = 𝑥 2 − 8𝑥 + 16
(𝑥 − 4)(𝑥 − 4) = 0
𝑥−4=0 𝑥−4=0
𝑥=4
Factorización
5. (𝒙 + 𝟑)(𝒙 − 𝟑) = 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟑𝒙 − 𝟗 = 𝒙𝟐 − 𝟗
𝑓(𝑥) = 𝑦, pero si 𝑦 = 0
𝑥2 − 9 = 𝑦
𝑥2 − 9 = 0
(𝑥 + 3)(𝑥 − 3) = 0
𝑥+3=0 𝑥−3=0
𝑥1 + 3 = 0 𝑥2 − 3 = 0
𝑥1 = −3 𝑥2 = 3
6. (𝒙 + 𝟐)(𝒙 + 𝟑) = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟑𝒙 + 𝟔 = 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟔
0 = 𝑥 2 + 5𝑥 + 6
0 = (𝑥 + 2)(𝑥 + 3)
𝑥+2=0 𝑥+3=0
𝑥1 = −2 𝑥2 = −3
7. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟏𝟐
𝑓(𝑥) = (𝑥 + 3)(𝑥 + 4)
Termino lineal (x) + Termino Independiente *
3+4=7 (3)(4) = 12
0 = 𝑥 2 + 7𝑥 + 12
0 = (𝑥 + 3)(𝑥 + 4)
𝑥+3=0 𝑥+4=0
𝑥1 = −3 𝑥2 = −4
8. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟏𝟎
𝑓(𝑥) = (𝑥 + 5)(𝑥 + 2)
𝑥1 = −5 𝑥2 = −2
9. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔
𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)(𝑥 + 2)
𝑥1 = 3 𝑥2 = −2