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    T - 4to - I.T. de La Suma y Diferencia de Variables

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    Carmen Añaños Córdova
    El documento presenta las identidades trigonométricas para la suma y diferencia de dos ángulos. Explica las fórmulas básicas para sen, cos y tan de (α + β) y (α - β). También incluye ejemplos numéricos para ilustrar cómo aplicar las identidades.

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    Carmen Añaños Córdova
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    El documento presenta las identidades trigonométricas para la suma y diferencia de dos ángulos. Explica las fórmulas básicas para sen, cos y tan de (α + β) y (α - β). También incluye ejemplos numéricos para ilustrar cómo aplicar las identidades.

    Descripción original:

    trigonometry

    Título original

    T - 4to - I.T. de la suma y diferencia de variables ( PPT )

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    T - 4to - I.T. de La Suma y Diferencia de Variables

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    Carmen Añaños Córdova
    El documento presenta las identidades trigonométricas para la suma y diferencia de dos ángulos. Explica las fórmulas básicas para sen, cos y tan de (α + β) y (α - β). También incluye ejemplos numéricos para ilustrar cómo aplicar las identidades.

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    de 14

    Curso:

    TRIGONOMETRÍA

    Tema:
    IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE LA
    SUMA Y DIFERENCIA DE VARIABLES

    Grado: Semana:
    4° 37
    CONTEXTO:
    Diseño de automotores.
    La puerta del portamaletas de un vehículo mide 42 pulgadas de largo. Un soporte de 24 pulgadas de
    largo se ha de conectar a la puerta y carrocería del auto de modo que, cuando la puerta se abra por
    completo, el soporte sea vertical y el espacio libre trasero sea de 32 pulgadas, como se ve en la figura.
    Calcule las longitudes de los segmentos TQ y TP.
    IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA LA SUMA O
    DIFERENCIA DE DOS VARIABLES
    Fórmulas básicas:
    I.T. Para la suma de dos ángulos I.T. Para la diferencia de dos ángulos
     • sen( + ) = sen.cos + cossen  • sen( ) = sen.cos cossen

     • cos( + ) = cos.cos ⎯ sen.sen  • cos( ) = cos.cos sen.sen

     • tan( + ) =  • tan( ) =

    Ejemplos:
     • sen( + ) =   sen.cos +   cossen

     • cos( ) =   cos.cos +  sen.sen


      tan 40 °+tan6 °
     • tan( + ) =
    1 ⎯ tan 40 °. tan 6 °
      • sen.cos + cossen   sen( + ) = sen57°
     =
      • cos.cos sen.sen   cos( ) = cos45°
    Mapa conceptual
    Ejercicio 1 :
    Simplificar:
    K = cos ( + 30°) + cos ( ⎯ 30°)
     • cos( ) = cos.cos sen.sen +
    Resolución:
    En el problema:
    K = cos ( + 30°) + cos ( ⎯ 30°)

    K =  cos.cos ⎯ sen.sen +   cos.cos + sen.sen

    Tenemos:
     K = cos.cos ⎯ sen.sen

     K = 2cos.cos  K = 2cos.( )   K=


    Ejercicio 2 :
     Simplificar:
    P=
     • sen( ± ) = sen.cos + cossen
    ⎯
    Resolución:
    En el problema:
      P=

    Desarrollando cada término del numerador:

    P=   sen.cosx + cossenx ⎯  ( sen.cosx ⎯ cossenx )


    cosx  
    Recordar:
    Tanx =
     P = 2 .( ) tanx
    P =   2cos.senx   P=x
    cosx
    Ejercicio 3 :
    Reducir:
    sen(  - x)  senx.cos
    M= •  sen( ± ) = sen.cos + cossen
    cos(  - x) - cos .cosx ⎯
    •  cos( ) = cos.cos sen.sen
    Resolución: +
    En el problema:
    sen(  - x)  senx.cos
    M= ……desarrollamos lo conocido:
    cos(  - x) - cos .cosx  Recordar:
    Cotx =
    M =   sen.cosx ⎯ cossenx   + cossenx  M =
      cos.cosx + sen.senx  ⎯ cos.cosx

    M = cotx
    Ejercicio 4 :
    Determinar el valor de:
     M =

    Resolución:
    Recuerde: •  sen( + ) = sen.cos + cossen  • sen( ) = sen.cos cossen

    Numerador: sen8x.cos2x
      ⎯ cos8xsen2x sen( 8x ⎯ = sen6x
         
    2x )
    Denominador:  sen5x.cosx + cos5xsenx sen( 5x + x ) = sen6x
         

    Reemplazando en la expresión:  M = M= 1
    Ejercicio 5:
    Reducir:  M = tanx

    Resolución:
    Recuerde:  • sen( + ) = sen.cos + cossen

    Desarrollaremos el numerador del problema:


     M =   tanx …separando en fracciones homogéneas
     
    Recordar:
    Tanx =
    sen  . cosx cos . senx
    M=   +     tanx M = tan + tanx ⎯ tanx
    cos  .cosx cos . cosx

    M = tan
    Ejercicio 6 :
    Calcular el valor de "sen8°"

    Resolución:
    Para este problema, buscamos expresar 8° como una suma o resta de dos ángulos notables conocidos:
    8° = 45° ⎯ 37°
    Esto es: sen8° = sen (45° ⎯ 37°)
    Desarrollando: sen8° = sen45°.cos37° ⎯ cos45°.sen37°…..reemplazando valores conocidos:

      √ 2  4   √ 2  . 3  sen8° =
    sen8° = . ⎯
    2 5 2 5
    Como sugerencia;
     sen8° = no olvides este triángulo:

    82°
    5 2
    1

    8°
    7
    Ejercicio 7 :
    Si: sen ( x + y ) = 3 sen( x – y )
    Calcular: M = tanx.coty

    Resolución:
    Recuerde:  • sen( + ) = sen.cos + cossen  • sen( ) = sen.cos cossen

    En el problema: sen ( x + y ) = 3 sen( x – y )

     senx.cosy + cosxseny = 3 (  senx.cosy ⎯ cosxseny )

     senx.cosy + cosxseny = 3senx.cosy ⎯ 3cosxseny   4cosxseny = 2senx.cosy

     
    Recordar:
    Tanx =
      2= 2 = tanx.coty M=2

     Recordar:
    Cotx =
    Ejercicio 8 :
    1 3
    Si: sen  , cos   , "a" y "b" son agudos,
    5 13
    calcular: tan (  +  )

    Resolución:

    1 5
    1 1
    Como: sen   tan  
    5  2
    2

    3 13 2
    cos   2 tan  
    13  3
    3
    Luego; piden:
     tan( + ) =  tan( + ) =
     tan( + ) =

     tan( + ) =
    RESUMEN
    IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA LA SUMA O
    DIFERENCIA DE DOS VARIABLES
    Fórmulas básicas:
    I.T. Para la suma de dos ángulos I.T. Para la diferencia de dos ángulos
     • sen( + ) = sen.cos + cossen  • sen( ) = sen.cos cossen

     • cos( + ) = cos.cos ⎯ sen.sen  • cos( ) = cos.cos sen.sen

     • tan( + ) =  • tan( ) =

    Ejemplos:
     • sen( + ) =   sen.cos +   cossen

     • cos( ) =   cos.cos +  sen.sen


      tan 40 °+tan6 °
     • tan( + ) =
    1 ⎯ tan 40 °. tan 6 °
      • sen.cos + cossen   sen( + ) = sen57°
     =
      • cos.cos sen.sen   cos( ) = cos45°

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