Mat 2º
Mat 2º
Mat 2º
me d io
9 789563 495423
Autoría Infografías
Gerardo Muñoz Díaz Sol90images
Pedro Rupin Gutiérrez
Lorna Jiménez Martínez Producción fotográfica
Carlos Johnson Muñoz
Asesoría Archivo editorial
Verónica Muñoz Correa
Guadalupe Álvarez Pereira Gestión de derechos
Josefina Majewsky Vera
Desarrollo de solucionario
Susan Schwerter Felmer Producción
Carolina Parada González Andrea Carrasco Zavala
Corrección de estilo
Alida Montero de la Fuente
Este texto corresponde al Segundo año de Enseñanza Media y ha sido elaborado conforme al Decreto Supremo
N° 254/2009, del Ministerio de Educación de Chile.
Quedan rigurosamente prohibida, sin la autorización escrita de los titulares del Copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes,
la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático,
y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.
ÍNDICE 3
El Texto Matemática 2 se compone de 4 unidades: Números, Geometría, Álgebra y Datos y Azar. Cada unidad
se compone de secciones, y cada sección de lecciones.
3. Para sintetizar
Aquí podrás organizar y resumir los contenidos
abordados. Además, retomaremos la situación
presentada en el inicio y podrás relacionarla con
tus aprendizajes.
4. Reforzar y profundizar
Estas páginas te permitirán
reforzar los contenidos antes de
la evaluación, como también
profundizar tus aprendizajes.
5. Evalúo mis aprendizajes
Te proponemos una evaluación
de alternativas, en la que podrás
medir tus logros en la unidad.
8. Resolución de problemas y
Para no cometer errores
7. Lección
Podrás analizar estrategias de
Estas son las páginas de contenido en las que resolución de problemas, y analizar
recordarás tus aprendizajes previos y desarrollarás errores para no cometerlos.
tus habilidades. Te proponemos actividades para que
razones, comentes y reflexiones con tus compañeros,
y ejercicios de repaso, práctica y aplicación.
9. Integrando lo aprendido
Podrás evaluar tus aprendizajes de la sección y
analizar si has logrado el propósito de la ella.
Páginas finales
Unidad 1 • números 7
Números reales
¿Qué aprenderás? ¿Dónde? Es importante porque te permitirá…
A identificar números irracionales y sus propiedades, y operar con comprender la necesidad de ampliar el conjunto
Lección 1
ellos en problemas geométricos. de los números racionales.
manejar procedimientos para operar con estos
A aproximar números irracionales. Lección 2
números.
Actividad grupal
En grupos de 3 personas, realicen las siguientes actividades.
➊ Utilicen una calculadora para determinar el resultado de la división 15 015 : 6 678 671.
➋ El valor obtenido anteriormente, ¿es un número con decimal finito? ¿Es un decimal periódico,
semiperiódico? ¿Es posible responder esta pregunta con el resultado que entrega la calculadora?
Justifiquen.
➌ Suponiendo que se trata de un decimal finito, expresen el resultado obtenido como fracción, y
simplifíquenla. El resultado que obtienen, ¿es equivalente a la fracción 15 015 ?
6 678 671
1 Determina cuáles de los siguientes números son 5 Aproxima por redondeo a la cifra indicada los
naturales, enteros o racionales. siguientes números:
Actividad
3 Expresa las siguientes fracciones como a. 4,41 4,44 4,42 4,4343
número decimal.
b. 5,23 5,2 5,22 5,222 5,23
a. 7 e. 4
10 9
c. 1 8 2 3 23
b. 82 f. 15 2 17 5 4 42
100 99 d. 15 0,5 3 0,65 0,75
c. 27 g. 24 21 5
1000 90 e. 5 1,25 11 1,26 1,26
d. 15 h. 1234 4 9
8 990 8 Ubica en una misma recta numérica cada uno de
4 Calcula el resultado de las siguientes operaciones. los siguientes grupos de números.
a. 0,3 + 0,81 d. 3 • 0,7 a. 1,4 1,7 2,1 1,9 0,8
4
b. 2,5 5 7 1,8 31
b. 0,5 – 0,012 e. 5,1: 2
5 3 4 8
c. 3 5 8 0,45
c. 2,27 • 4 f. 5 + 0,31• 1,3 0, 4
2 7 14 21
Unidad 1 • números 9
a y b son números naturales, los que en caso de tener factores comunes podríamos
Ayuda
simplificarlos y obtener una fracción x = a , donde x e y son números naturales Si un número x es impar,
y b puede escribirse como
que no tienen factores comunes. Observen que para dos números naturales x = 2n + 1
tenemos las siguientes posibilidades:
Si se calcula x², tenemos que
• par , que no es el caso porque entonces ambos números tendrían como
par x² = (2n + 1)² = 4n² + 4n + 1
factor común a 2 (y ya simplificamos todos los factores comunes). = 2(2n² + 2n) +1
• impar , que al elevarlo al cuadrado se obtiene Por lo tanto, si x es impar,
par necesariamente x² es impar.
¿Qué ocurre si x es par?
impar impar impar impar
2= →2= • →2= → 2 • par = impar
par par par par
Los pitagóricos se dieron cuenta de que no puede existir la fracción a = 2. Se dijo Ayuda
b
entonces que era un número inconmensurable o inmedible porque no podemos Para realizar esta demostración
tomar una unidad de medida y dividirla en partes que quepan exactamente en ella. se supuso lo contrario a lo que
Ya que no hay una fracción que lo represente, es un número que no pertenece a los se deseaba demostrar y se
números racionales, por lo tanto, es irracional. Posteriormente se demostraría que llegó a una contradicción. Esto
toda raíz cuadrada de un número natural, o bien es un número natural o necesaria- se conoce como reducción al
mente es irracional. Por ejemplo, son números irracionales absurdo.
1
3 5 1,2
2
Al dividir un número natural por otro el resultado puede ser un número natural,
un decimal finito o un número decimal periódico o semiperiódico, pero un número
irracional tiene infinitas cifras decimales sin período. Ya que tampoco se pueden
expresar como fracción, la única forma exacta de escribirlos es utilizando símbolos
o, al escribir parte de sus decimales, utilizar puntos suspensivos o el signo de aproxi-
mación (≈).
Recuerda que…
El número π es una constante
2 = 1, 414213... que corresponde al perímetro
2 ≈ 1, 414213... de una circunferencia de
diámetro 1.
π = 3,145926...
Por lo mismo, en los problemas geométricos en que aparezcan solo será posible
trabajar con ellos en forma simbólica y, si es necesario, utilizar al final una aproximación 1
de ellos, como se observa en el siguiente ejemplo.
Unidad 1 • números 11
Ejemplo
En la siguiente figura los triángulos ABC y ACD son rectángulos de catetos BC,
AC y CD. Sobre el segmento CD se ha construido una semicircunferencia. Calcula el
perímetro de la figura, si BC = CD = 4 cm y AC = 5 cm.
A
B D
C
Paso 1 Los triángulos ABC y ACD son congruentes entre sí, por lo que AB = AD. Por
teorema de Pitágoras se tiene que:
P = 41+4+2π+ 41
= 2 41+4+2π
Este valor corresponde a la medida exacta del perímetro de la figura. Más adelante
veremos cómo es posible aproximar estos valores para obtener algunos decimales.
Razona
y comenta
§ En la vida real, ¿es posible medir las cosas con exactitud o siempre habrá errores e impre-
cisiones? Discute con tus compañeros.
§ Patricio afirma que al calcular la medida de la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 5 cm,
no se obtiene un “resultado exacto”. ¿Estás de acuerdo con él? Justifica tu respuesta.
En resumen
Los números irracionales son aquellos cuya representación decimal es infinita
no periódica, y no pueden ser representados en forma de fracción a , con a y b
números enteros y b ≠ 0. b
Practiquemos lo aprendido
Repaso Para calcularlo debemos utilizar la fórmula 2πr,
donde r corresponde al radio de la circunferencia.
1. Identifica a qué tipo de número decimal corresponde
2π4 = 8π
cada uno de los siguientes números racionales:
decimal finito, decimal periódico o semiperiódico. =8 • 3,1415926...
c) 5 f) 8
7 15
Práctica guiada b) 5 cm d)
Reflexiona
§ Que un número tenga infinitos decimales, ¿implica que no es “exacto”? Discute con tus compañeros.
Unidad 1 • números 13
Observa que…
Truncar siempre produce una Al hacerlo, obtenemos
aproximación por defecto,
mientras que redondear
puede generar una por exceso Si queremos comprar, por ejemplo, una vara de madera en una barraca, allí difícilmente
o por defecto. podrán cortarla considerando esta cantidad de decimales. Por lo tanto, realizamos una
aproximación por truncamiento o por redondeo. Lo haremos a la segunda cifra decimal.
Aproximaciones y error
Cuando el número que se obtiene es mayor, se dice que la aproximación es por
exceso. Si el número es menor es por defecto.
Al truncar se obtiene una aproximación por defecto de 54 , mientras que al redon-
dear, la aproximación es por exceso. Entonces 7,34 < 54 < 7,35.
En ambos casos podemos calcular el error absoluto y el error relativo entre la aproxi-
Ayuda
mación y el valor real.
El error absoluto correspon-
de a la diferencia, en valor Por truncamiento Por redondeo
absoluto, entre el valor real y la Error absoluto Error absoluto
aproximación. El error relativo
54 – 7,34 = 0,0084692283495343 54 – 7,35 = 0,0015307716504657
es el cociente entre el error
absoluto y el valor real. Error relativo Error relativo
54 – 7,34 54 – 7,35
= 0,0011525159984152 = 0, 000208312
54 54
≈ 0,12% ≈ 0, 02%
Casos especiales
Existen números irracionales que no corresponden a raíces
cuadradas. Uno de los más importantes es π, que relaciona la
medida del diámetro de una circunferencia con su perímetro,
o el área de un círculo con su cuadrado circunscrito, como se r
muestra en la figura.
El escriba Ahmes, en Egipto, estimó su valor en el papiro Rhind,
que data del siglo XVI a.C. Para ello consideró un cuadrado cuyo
lado mide 9 unidades, y lo dividió en 81 partes. Luego cortó esquinas de lado 3 unidades
para construir un polígono de 8 lados.
Se puede ver que el área del polígono corresponde a Papiro Rhind
18 cuadraditos menos que el cuadrado grande es decir,
81 – 18 = 63 cuadraditos, y su área es un poco menor que Recuerda que…
la del círculo. Por lo tanto, Ahmes estimó que el área del Área de un circulo de radio r
círculo sería de 64 cuadraditos. A = πr2
El radio de este círculo es 4,5 unidades, por lo que si
aplicamos la fórmula para el área se obtiene que: Razona
64
y comenta
64 = π • 4,52 → = π → π ≈ 3,16 § En general, ¿cuántos
20,25
decimales suelen
Otras culturas, como los griegos y los chinos obtuvieron aproximaciones aun más utilizarse en la vida
cercanas utilizando métodos similares. Gracias a los computadores hoy es posible ob- cotidiana?
tener hoy centenares de miles de cifras decimales de π. Menciona algunos
ejemplos.
§ ¿Será posible dividir
En resumen una regla en tantas
partes como se quiera
En la práctica, para trabajar con números irracionales es preciso utilizar aproximaciones. para obtener una
Estas pueden obtenerse con calculadora, utilizando fórmulas algebraicas o procedi- medida con miles de
mientos geométricos. Los valores obtenidos suelen truncarse o redondearse. decimales? Justifica.
Unidad 1 • números 15
1. Identifica cuáles de los siguientes números 4. Utiliza una calculadora para determinar una
presentan período. Señala además cuál es el aproximación de las siguientes raíces redondeadas
período cuando corresponda. a la cuarta cifra decimal. Guíate por el ejemplo.
a) 4,23232323232323… Utilizando calculadora se tiene que:
b) 3,07282828282828… 2 = 1, 414213562
c) 5,6 Redondeando a la cuarta cifra decimal se obtiene.
d) 4,013 1, 414213562 ≈ 1, 4142
e) 3,222222222257 a) 3 e) 19
f) 3,1415926 b) 5 f) 24
g) 6,014916253649… c) 11 g) 37
2. Determina las siguientes aproximaciones, con las d) 13 h) 42
condiciones dadas.
a) 3,53594, truncado a la décima. 5. Calcula el error absoluto y el error relativo de las
siguientes aproximaciones. Guíate por el ejemplo.
b) 6,81977 truncado a la centésima.
2 ≈ 1, 4142
c) 2,17855 truncado a la milésima.
Paso 1 Se calcula el valor con calculadora
d) 5,20189, truncado a la diezmilésima.
e) 3,34862, redondeado a la décima.
Se obtiene 1,414213562.
f) 8,28457, redondeado a la centésima.
Paso 2 Al valor anterior se le resta la aproximación
g) 6,40003, redondeado a la milésima.
h) 9,38531, redondeado a la diezmilésima.
Se obtiene 0,000013562.
3. Calcula el valor de las siguientes expresiones. Este es el error absoluto.
a) 4,5 +3, 8 i) 3,17+6,54 Paso 3 Se divide este valor por el valor real
b) 6, 4+2,31 j) 2,235 – 0,319
c) 7,1+ 2,024 7
k) 3,21+ Se obtiene 0,00000959 ≈ 0,00096%,
23
274 el error relativo.
d) 5, 5+3,2 l) 4,28 –
13 a) 3 ≈ 1,73205 e) 15 ≈ 3,9
17
e) 12,17+0, 44 m) 5,224+ b) 5 ≈ 2,236 f) 17 ≈ 4,12311
32
51 c) 8 ≈ 2,8284 g) 19 ≈ 4,36
f) 9,03 – 2,3 n) 0,38 –
82
21 d) 11 ≈ 3,32 h) 20 ≈ 4, 472
g) 4,126 – 5,28 ñ) 3,512 –1,7 •
8
2
h) 2, 6+5, 8 o) 2,3• 2,5– 0,8 :
3
Practiquemos lo aprendido
dondeando sumas parciales, que redondeando la
Resuelve los siguientes problemas. suma final? Justifica.
6. Considera las siguientes aproximaciones 9. Conexiones: el matemático francés Georges
Louis Leclerc, conde de Buffon (1707-1788)
2 ≈ 1, 4142 3 ≈ 1,73212
realizó un interesante experimento estudiando
5 ≈ 2,2361 7 ≈ 2, 6458 probabilidades, pero que le permitió aproximarse
al número π. Consiste en lo siguiente:
Completa la siguiente tabla con aproximaciones
i) Se escoge una aguja (o una varilla de madera
a la centésima de los valores dados, que cumplan
muy delgada), de longitud cualquiera. Luego,
las condiciones.
sobre una hoja de papel se trazan muchas rectas
Por defecto Por exceso Por redondeo paralelas cuyas distancias entre sí deben ser igua-
les al largo de la aguja.
2 3
2+ 3
7+2 3
3: 2
2 2: 3
3 7
2• 7 ii) Se lanza al azar la aguja sobre la hoja, la canti-
5 –1 dad de veces que queramos (N veces). En cada
lanzamiento anotamos si la aguja atraviesa o no
2• 5– 7 alguna de las líneas trazadas.
7. Determina para cada valor una aproximación por
defecto y una por exceso, de modo que el error
relativo de ambas sea menor al 1%, pero mayor
que el 0,1%.
a) 6 c) 11
b) 7 d) 18
iii) Llamanos x a la cantidad de veces en que la agu-
8. Bernardita y Emmanuel deben calcular el valor
ja cortó a alguna de las líneas. Para un valor de N
de 13+ 14 , redondeado a la tercera cifra grande, se obtiene que
decimal. Bernardita sugiere determinar cada valor,
redondearlo y luego calcular la suma, en cambio, 2N
π≈
Emmanuel dice que lo que se debe hacer es x
realizar primero el cálculo y luego redondear. Realiza este experimento con tus compañeros. Há-
a) En este caso, ¿obtienen el mismo resultado? ganlo simultáneamente para poder tener más lan-
zamientos, y verifiquen la aproximación obtenida.
Reflexiona
§ ¿Qué diferencias y similitudes observas en la aproximación de números irracionales, comparados con los
números racionales?
§ Las calculadoras y computadores pueden realizar cálculos enormes, pero, ¿cómo saben lo que deben hacer?
¿De qué manera una calculadora entrega un valor para una raíz cuadrada? Investiga.
Unidad 1 • números 17
Ayuda
En el siguiente enlace
http://goo.gl/1m9Vf
podrás aprender a ubicar raíces
en la recta numérica utilizando
un procesador geométrico.
0 1 2 3 2 7 3
Paso 2 Verifica que el resultado obtenido coincida con lo que ha aprendido ante-
riormente respecto a los números decimales, es decir, que para ordenarlos
se los compara posición por posición, de izquierda a derecha, comenzando
Razona
y comenta
por su parte entera y luego por su parte decimal.
§ ¿Qué estrategia utiliza-
rías para comparar un
2=1,4142135623730950488016887242097… 2>1
número racional y un
5=2,2360679774997896964091736687313… 6>2 irracional?
7=2,6457513110645905905016157536393… 3>2 § Dos números tienen
iguales sus partes
11=3,3166247903553998491149327366707… 6>3 enteras y sus cinco
primeras cifras deci-
13=3,6055512754639892931192212674705… males, pero uno de
Podemos concluir que para comparar números irracionales utilizamos la misma ellos es periódico y el
estrategia que ya conocemos para los números racionales. otro, irracional. ¿Cuál
es mayor?, ¿o depende
de cada caso? Justifica.
§ ¿Será posible utilizar la
En resumen espiral para construir
Para ordenar raíces cuadradas se comparan sus cantidades subradicales, es decir, raíces cuadradas de
sean a y b números no negativos donde a < b, entonces a < b . números que no sean
naturales? Si es posible,
En caso de estar escritas en representación decimal, podemos ordenarlas cifra por explica cómo ubicarías
cifra, de la misma manera que los números racionales. Para ubicarlas en la recta en la recta
numérica, se utiliza regla y compás. el número 0, 4 .
Unidad 1 • números 19
1. Ordena de menor a mayor los siguientes grupos 6. Ordena de menor a mayor las siguientes raíces
de números racionales. cuadradas. Guíate por el ejemplo:
a) 2; 2,25; 1,9; 1,98; 2,251 14 ; 8 ; 17
b) a = 2; b = 5 d) a = 0,2; b = 0,7 b) 13 e) 1+ 5
c) 14 f) 2+ 5
Practiquemos lo aprendido
empleando el método visto en la actividad
Resuelve los siguientes problemas. anterior. Puedes utilizar un procesador
geométrico.
8. Determina en cada caso cuál de los siguientes
números es menor. a) 11 d) 42
a) 8; 7; 5 d) 3 5 ; 4 2 ; 2 3 b) 15 e) 0,5
10 8 c) 35 f) 6, 4
b) 10 ; 11 ; 12 e) ;2 5 ;
2 2
12. Desafío: Ordena de mayor a menor los siguientes
38
c) 2 5 ; 2 8 ; 2 3 f) 37 ; 6,28 ; números
6
9. Dados los números a y b, determina en cada caso a) π; 3,14156…; 10
un número racional c y un irracional d, de modo 8 ; 8+3; 8 – 3
b)
que a < c < d < b.
3 7 c) 2,71828; – 5; 2
a) a= 3 y b= 6 d) a= y b=
2 2
d) 1 ; 3 ; 2
b) a= 10 y b= 12 e) a=6,93 y b=7,1 2 2 2
c) a=2 5 y b= 21 f) a=3 11 y b=10 e) 3 ; 6 ; 2
3 6 2
10. Realiza el siguiente procedimiento: f) 6,578453…; 40 ; 2 20
» Escoge dos números naturales distintos, p y q, g) 3 3; 10 –1; 2 6+3
de modo que p > q.
p+q p–q 13. Conexiones: se llama número de oro (o número
» Calcula el valor de c = y a= .
2 2 áureo) al valor 5+1 , que se designa con la letra
» Construye un triángulo rectángulo cuya hipo- 2
tenusa mida c, y uno de sus catetos mida a. griega φ (phi —se pronuncia “fi”—). Un rectángulo
» Determina la medida del cateto faltante b. es áureo si al dividir la medida de su largo por la
» ¿Qué operaciones relacionan los valores p, q y de su ancho se obtiene el número φ.
la medida de b? a) Construye el número áureo con regla y compás.
a) Escoge dos pares más de valores (no necesaria- b) El siguiente segmento corresponde al largo de
mente naturales) y realiza los pasos anteriores. un rectángulo áureo:
¿Se mantiene la relación?
b) Verifica la siguiente relación algebraica, conside-
rando que p > q:
2 2
p+q p – q
pq = – Determina, con regla y compás, su ancho. Investi-
2 2
ga cómo hacerlo.
c) Si quieres construir un triángulo rectángulo de
c) Investiga respecto a obras de arte, arquitectóni-
modo que uno de sus catetos mida 24, cas y otras disciplinas en que se utiliza o aparece
¿qué valores pueden tener el otro cateto y la este número.
hipotenusa? Determina dos pares de valores.
Reflexiona
§ ¿Por qué los números irracionales solo pueden construirse con regla y compás? Justifica tu respuesta y discute
con tus compañeros.
Unidad 1 • números 21
Números reales
Taller
En parejas, lean y realicen las siguientes actividades.
1 Realicen las siguientes operaciones con calculadora.
2+3 7+5 8 –1 5• 3
–2, 4 • 5 0 • 11 15 7: 2
4
a) ¿En qué casos se obtiene un número racional? ¿En cuáles un irracional?
b) Conjeturen qué resultado (racional o irracional) se obtiene al realizar las
siguientes operaciones.
• Sumar un número racional y uno irracional.
• Restar un número racional a uno irracional.
• Multiplicar un número racional distinto de cero y uno irracional.
• Multiplicar un número irracional por cero.
• Dividir un número irracional por un número racional.
2 Calculen el resultado de las siguientes operaciones con calculadora.
3– 2 8– 5 4: 8 9: 5
2 – ( 2 –1) 3– 2 8• 2 7• 5 27 : 3 5: 3
Ayuda
Los conjuntos numéricos Podemos observar la
Como has visto en cursos anteriores, en ocasiones es necesario ampliar los con- siguiente relación entre los
juntos numéricos para poder dar solución a situaciones y problemas. Así, para poder conjuntos numéricos.
contar, primero se crearon los números naturales () , y luego los naturales con el
cero, forman el conjunto de los números cardinales (0).
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …} ⊂
0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …}
Unidad 1 • números 23
4. Escribe para cada conjunto 5 de sus elementos y 6. Considera el siguiente grupo de números reales
represéntalo simbólicamente. Guíate por el ejemplo. 7 2 – 17 1
El conjunto de los números naturales que son 0 1,5 4,28 – 0,25
múltiplos de 3 y de 5.
Elige en cada caso algunos de ellos para verificar
Paso 1 Ya que los números deben ser múltiplos de las siguientes propiedades de los números reales.
3 y de 5, deben ser múltiplos de 15. Consi-
derando esto se escriben 5 elementos de él. a) Clausura de la adición
15, 30, 45, 60, 75 b) Asociatividad de la multiplicación
Practiquemos lo aprendido
la adición que las siguientes expresiones correspondan a
números racionales.
d) Propiedad conmutativa de la multiplicación
3 4
7. Demuestra en cada caso que x es un número a) c) b • π
b 3
irracional. Guíate por el ejemplo:
b) 5+b d) (b+ 15 ) • 3
x = 5+ 7
10. Se planteó en la lección que el conjunto de los
x es la suma de un número racional y un irracional. números reales es denso, es decir, que entre
Por lo tanto, es irracional. cualquier par de números reales distintos siempre
a) x = 2+ 8 g) x = – 103 existe otro número real.
a) Verifica, para tres pares de números reales cuales-
b) x = 3– 21 h) x = 6+ 133
quiera a y b, que si a > b se cumple que:
39 a+b
c) x = i) x = 47 – 0,28
3 a> >b
2
1
d) x = j) x = 10 – 209 b) Determina, para cada par de números a y b, un irra-
8
cional c y un racional d que verifiquen la relación:
57
e) x = – 30 k) x =
57 a > c > d > b.
15 3,21
f) x = l) x = • a=2 b=1
2 523
• a=1 b = 0,6
Aplica • a = 4,6 b = 4,3
Resuelve los siguientes problemas. • a = 5,2 b = 5,2
8. Juzga si el resultado de las siguientes operaciones 11. Catherine dibujó el esquema de conjuntos que
es un número racional o irracional. relaciona los números naturales, enteros, racionales,
irracionales y reales. Su esquema fue el siguiente.
5
a) 2• 2 g) 8 7+
4
b) 3+ 6 h) 17 *
3
c) 5 • 4 i) 20 – 16 – 4
3
1 9 A su amiga Laura le pareció que ese esquema
d) 5 –4+ + j) (1+ 5) + (1– 5)
2 2 2 2 podría llevar a un error a quien lo viera.
¿De qué error se trata? Justifica.
1
e) 13 7 – • 5– 6 k) (4+ 3)2
5
2 2
f) ( 8+5)( 8 – 5) l) (2+ 10 ) + (2 – 10 )
2 2
Reflexiona
§ Los números irracionales son necesarios para calcular raíces cuadradas. ¿Son posibles todas las operaciones en
los números reales? Investiga y discute con tus compañeros.
Unidad 1 • números 25
Se sabe que a es un número racional distinto de cero mientras que b es un número irracional. ¿Cuál(es) de la(s)
siguiente(s) operación(es) da siempre como resultado un número irracional? Justifica.
(5+ 2 )(5– 2 ) = 52 –
2
2 = 25– 2 = 23
Podrás aplicar lo aprendido aquí en los problemas que se presentan en la página 28.
Priscila corrige ahora la instrucción, y le dice que lo necesita con tres cifras
decimales. Cardenio entonces toma el valor anterior y lo redondea:
6 ≈ 2,4495 → 6 ≈ 2,450
Razona
y comenta
§ ¿Cuál es el error cometido por Cardenio?
§ ¿Qué otros errores se pueden cometer al aproximar números irracionales?
Reflexiona
§ ¿Habías cometido ya alguno(s) de estos errores? ¿Cuáles?
§ Respecto de los que no, ¿te sirve estar advertido de la posibilidad de cometerlos?
§ Revisa los ejercicios que hayas resuelto en la unidad. ¿Qué errores has cometido? ¿Qué acciones puedes
tomar para no volver a cometerlos?
Unidad 1 • números 27
d. 1+ 5 j. 15,35
2 Lección 3: Orden en los números irracionales y recta numérica
e. 1,54545454687… k. 23,59
7 Ordena de mayor a menor los siguientes núme-
2
f. π l. (1+ 8 ) ros irracionales
2
3 Calcula y expresa en forma exacta el perímetro y 10 8
; 15; ; 10 ; 5
el área de las siguientes figuras. 5 5
2 cm
8 Determina en cada caso un número irracional
2 cm
que cumpla las siguientes condiciones.
a.
2 cm
a. Ser mayor que 3 y menor que 2.
2 cm 7 cm
b. Ser mayor que 3 y menor que 10.
Evaluación
a. 5 c. 10
b. Uno racional y otro irracional, y su producto
b. 8 d. 7 –1 es racional.
c. Ambos irracionales, y su cociente es racional.
Autoevaluación
Evalúa tu aprendizaje utilizando el solucionario y completa la siguiente tabla. Si no alcanzaste el mínimo sugerido en las actividades propuestas, vuelve a las
páginas indicadas para repasar.
Recapitulemos
En grupos de 4 personas respondan y discutan las siguientes preguntas.
¿Cuáles son los conceptos fundamentales de esta sección?
Ü ¿Qué contenidos te resultaron más difíciles?
Ü
¿Qué utilidad tiene lo que has aprendido?
Ü ¿Qué te resultó más interesante en esta sección?
Ü
¿En qué ámbitos se puede aplicar lo aprendido en esta sección?
Ü
¿Lograste cumplir los propósitos de esta sección?
Unidad 1 • números 29
Raíces
¿Qué aprenderás? ¿Dónde? Es importante porque te permitirá…
Potencia
Ü
Raíz
Ü intención. El uso de redes sociales exige una gran responsabilidad en la difusión de
noticias; en general, las personas subestiman las consecuencias de lo que se puede
Subradical
Ü
difundir, y se asume erróneamente que algo “lo verá muy poca gente”. La experiencia
ha demostrado que no es necesario que sean muchas las personas que lean una
información para que esta se difunda con mucha rapidez.
El comportamiento de estas redes es un campo de estudio muy apreciado por em-
presas de publicidad que buscan difundir un contenido. La clave del éxito para estas
empresas es conseguir, sin enviar demasiados mensajes, una difusión amplia y rápida.
¿Cuál es el menor número de personas a las que se debe enviar una información, para
que esta se propague? ¿Y si es necesario que eso ocurra antes de una fecha u hora
determinada? Estas son algunas de las preguntas a las que se enfrentan publicistas y
encargados de distintos tipos de campañas.
Actividad grupal
En parejas, lean y realicen las siguientes actividades.
➊ Una persona publica una información que es vista por n personas. Cada una de ellas le informa, al
minuto siguiente, a n personas más, y así sucesivamente. Al cabo de 20 minutos, la información es
conocida por más de un millón de personas. Estimen el valor de n.
➋ El valor de n en la pregunta anterior es 2. En general, ¿qué tan bien estimamos este tipo de crecimientos?
➌ ¿Qué precauciones toman en el uso de redes sociales? Comenten con sus compañeros.
1 Escribe como potencias las siguientes expresiones. 4 Reduce las siguientes expresiones, y calcula su
valor cuando sea posible.
a. 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 –3 –1
a. 3² • 3⁵ h. 7 • 7
b. 5 • 5 • 5 • 5
6 6
5 –3
c. 7 • 7 • 7 b. 4⁵ • 4⁷ i. 4 • 5
d. 2x • 2x • 2x • 2x • 2x • 2x • 2x 5 4
6
e. ab • ab • ab • ab • ab • ab • ab • ab c. (–1)³ • (–1)⁸ j. 5
54
f. –8 • –8 • –8 • –8 • –8 • –8 • –8 • –8 • –8 –a
d. 9⁶ • 9–² k. b
g. (a + 2b) (a + 2b) (a + 2b) (a + 2b) (a + 2b) bc
e. 8⁵ • 8–¹0 l. (6)¹³ : (6)¹¹
h. 2 • 2 • 2 • 2
3 3 3 3
f. a–² • a⁷ m. (–21)² : (–21)–6
i. – 4 • – 4 • – 4 • – 4 • – 4 • – 4 • – 4 • – 4
2 4
5 5 5 5 5 5 5 5
g. – 1 • – 1 n. (–12)³ : (–12)5
2 Calcula el valor de las siguientes potencias. 3 3
3
Actividad
a. 34 f. 1 5 Reduce las siguientes expresiones, y calcula su
2 valor cuando sea posible.
b. 28 6
c. –5³ g. – 3 a. 3³ • 4³ f. 5⁴ • (-3)⁴
4 2
5
b. • 35 g. (-12)⁸ • (-6)⁸
d. (–6)4 3 3
1
h. 1 2 2
e. (–0,2)5 4 c. 6⁵ • 2⁵ h. 5 • 3
6 5
3 Escribe las siguientes expresiones como poten-
cias con exponentes naturales. d. (-4)⁶ • 2⁶ i. 45³ : 5³
−6
a. 2–5 f. 5,1–8 e. (-8)⁷ • (-1)⁷ j. a
b−6
b. 7–6 g. (–4,21)–9 6 Resuelve en cada caso las siguientes operaciones.
–3
h. 2
−3
c. (–12)–4 13 1
3 a. (137 : 137 ) • 3 23 +
2 d. 2
d. 3x–5 i. 6 6 8 2
1
−2
3–2 b. – 8 • – 8 : 9
–
–3 9 9 8 4
e. (a + 5b)–9 j. 5 3
4 –6 c. (–3)6 : (–3)3 •(–3) •(–3)–4
Unidad 1 • números 31
Raíz enésima
Taller
En parejas, lean y realicen las siguientes actividades.
Un problema
problemaimposible
imposiblede deresolver
resolverenenlalageometría
geometría clásica
clásica –es—es
decir,decir,
solo utilizando
utilizando
solo
una regla no numerada y compás- es la duplicación del cubo, es decir, a partirade
una regla no numerada y compás— es la duplicación del cubo, es decir, partir
un
de uncualquiera
cubo cubo cualquiera construir
construir otrovolumen
otro cuyo cuyo volumen sea el doble
sea el doble del inicial.
del inicial.
V=1u³ V=2u³
1 Para abordar la duplicación del cubo, podemos suponer que tenemos uno
cuya arista mide 1 u, y deseamos construir otro cuyo volumen sea el doble.
a) ¿Cuál es el volumen del cubo original? ¿Cuál es el volumen del cubo que se
desea construir?
b) La primera solución dada por los griegos fue construir un cubo cuya arista
midiera 2. ¿Cuál es el volumen de dicho cubo?
c) Si el lado de un cuadrado mide x, su área se calcula mediante la fórmula
A = x²
3 • 3=
3•3= 3²3²
== 9 →3 3elevado
9→ es igual a 99→
elevadoaa22es → 33es raízcuadrada
eslalaraíz cuadrada 9→
dede 9 =
9 →=
2 2
9 =9 =93 3
Ayuda
Las expresiones 3 8 = 2 y 2 •23
2•2•2= 2 •=2=
8→ → 2 elevado
23 =28elevado 3 es igual
a 3 esaigual a8→ a 82→
es2laesraíz
la raíz cúbica
cúbica dede
8→8→ 3 8 =2
2³ = 8 entregan la misma
información; podemos decir
que 2³ = 8 es la potencia x•x•x•x•x= x5x =
• x–19 x5 = –19a→
• x • x→• xx=elevado 5 xeselevado 5 es igual
igual aa-19→ → xaes–19→
5
–19 = xde -19
la raíz quinta
equivalente a 3 8 = 2. → x es la raíz quinta de –19
Observa que…
En general, si n es un número natural mayor que 1 y a es un número real, decimos
que xn = a, entonces x es la raíz enésima de a: Cuando el índice de la raíz es 2,
no se escribe:
x n = a ↔ n a = x ↔ x es la raíz enésima de a. 2
a= a
Además, a se llama cantidad subradical y n es el índice de la raíz. En caso que n a esté definida
n
2 Calculen las siguientes raíces y justifiquen según el ejemplo: en los , se tiene, ( n a ) = a .
4
81 = 3 , porque 34 = 81
3 5
125 –32
4 6
16 729
3 Observen los siguientes resultados: Ayuda
3
64 = 4 pues 4³ = 64 3
–64 = –4 pues (–4)³ = –64 Puedes utilizar la calculadora
4 4 para determinar el valor de las
16 = 2 pues 24 = 16 16 = –2 pues (–2)4 = 16
raíces enésimas. (en este caso,
4
–16 ≠ 2 pues 24 = 16 para la raíz quinta de 6):
4
–16 ≠ –2 pues (–2)4 = 16 x
En resumen
Sea a un número real y n un número natural mayor que 1. Si xn = a, decimos que x
es la raíz enésima de a, que se escribe n a .
n
a = x ↔ xn =a
Si a es un número positivo, se observa que:
Razona
Si n es par: • n
–a no es un número real. y comenta
n
• a siempre es un número positivo. § ¿Cómo interpretarías la
expresión 1 5? Justifica
Si n es impar: • n
a y n –a siempre son números reales. y discute tu afirmación
n
–a = – n a con tus compañeros.
Unidad 1 • números 33
1. Escribe como potencias las siguientes expresiones. 4. Escribe para cada potencia una expresión
equivalente con raíces. Guíate por el ejemplo.
a) 10 • 10 • 10 • 10
24 = 16
b) 4 • 4 • 4 • 4 • 4 4
2 = 16 → 4 16 = 2
c) a • a • a • a • a • a • a • a
3
d) (b + 2) • (b + 2) a) 34 = 81 f) 2 = 8
3 27
e) 4 • 4 • 4 b) 4² = 16 5
5 5 5 g) 1 = 1
c) (–6)3 = –216 3
f) – 1 • – 1 • – 1 243
w
2 2 2 d) ax = b h) 1 = a
g) 1 z b
625 e) 4y = c
h) 512 5. Calcula en cada caso el valor de x. Guíate por
49 el ejemplo.
i) (2a + 3) • (2a + 3) • (2a + 3) 3= 5 x
j) b+1 • b+1 • b+1 • b+1 • b+1 Paso 1 Se determina la potencia equivalente.
c –1 c –1 c –1 c –1 c –1
3 = 5 x → 35 = x
2. Calcula el valor de las siguientes potencias.
4
a) 53 f) – 5 Paso 2 Se calcula el valor de x.
3 3⁵ = 3 • 3 • 3 • 3 • 3 = 243
–3
g) 6
–
b) 12 ¹
7 a) 2 = 5 x f) 4 = x
2 5
c) (–2)4 4 b) 6 = 3 x 3
h) 3 g) = 4 x
3
c) 4 = x 2
d) –46 i) (2,5)–1 h) 0,25 = x
–1 d) 3 = 3 x
3
e) (2²)³ j) 1 i) 2,5 = 3 x
2
e) 1 = 3 x
2 j) 5 = 3 x 2
3. Escribe las siguientes expresiones como potencias
con exponentes naturales. 6. Calcula, cuando sea posible, el valor de las
a) 3 ¹–
i) (–0,2) –4 siguientes raíces utilizando los valores dados.
Justifica cuando no sea posible. Guíate por
b) (4,2)–¹ j) (x + y)–a el ejemplo.
–3
c) 10–² k) c + 1 2²= 4 2³= 8 24= 16 25= 32
b
3²= 9 3³= 27 34= 81 35= 243
d) 10–3 l) (3ac)–5
–4 5²= 25 5³= 125 54= 625 55= 3125
e) a–4b² m) 3
3–8 3
–125
f) (ab)–6 n) (0,8)–¹0
Paso 1 Si es necesario se determina una expre-
g) –5–² 3
ñ) –6 sión equivalente
–3
6 –2
h) 9 3
–125 = – 3 125
8 o) –10–² • 4–¹
Practiquemos lo aprendido
Se calcula el valor pedido
– 3 125 = –5 cada caso el número real a para que la raíz pueda
calcularse en los números reales.
3
a) –27 h) 25 1
a) a g) 3
3 4
b) –8 i) 625 a
c) 3
125 j) –25 b) 3
a h) 3a
d) –9 k) 4
16 c) 4
a i) 2a
7 –
4
3
e) 4 l) –16
4
d) a+1 j) 6 – 4a
f) –81 m) 5 3125 5
g) 5
–243 n) 5
–32 e) 4
a –1 k) (a+1)(a–1)
Aplica a (a+2)
f) 6 l)
2 (a–2)
7. Calcula el valor de las siguientes expresiones. 10. Desafío: realiza la siguiente actividad con
a) 4 + 3 27 tu calculadora.
4
b) 256+ 81 a) Escoge un número positivo mayor que 1, y
calcula una raíz de él a tu elección (por ejemplo,
c) 2 64 − 3 8
su raíz séptima.
3
d) 64 +3 3 8 – 5 7 1
b) Al resultado anterior, calcúlale su misma
e) 4 +4 4 625 raíz enésima.
1
f) 4 10000 – 3 1000 c) Repite el paso anterior tantas veces como te
2 permita la calculadora. ¿A qué resultado llegas?
g) 36 2 3 729 Explica por qué.
+
6 3
4
d) Repite los pasos anteriores, con un número
h) 49+3 2401 positivo menor que 1. ¿A qué resultado llegas?
7 Compara con el caso anterior y explica.
i) 32 (3 4 + 3 216 – 2 3 27 )
5
11. Desafío: considera las siguientes raíces enésimas.
8. Utiliza la calculadora para determinar una
aproximación redondeada a la milésima de las 3
2 4
818 3
5
1024 3
5
siguientes expresiones. Calcula además el error 27
relativo cometido en la aproximación. a) Determina su valor con calculadora.
3
a) 2 f) 8 5 –19 b) A partir del cálculo anterior, ¿cuáles son irraciona-
4 les? ¿Cuáles son racionales? Justifica.
b) 5 g) 3 11– 2 5
c) 5 c) Considera la afirmación “si la raíz enésima de un
12 h) 7 3 0,2 – 4 8
número entero no es entera, es irracional”. ¿Te
d) 2 3 6 i) 4 5 21+6 13 parece que es cierta? Investiga al respecto y da
un contraejemplo si es falsa, o una demostración
e) 3 7 18
si es verdadera.
Reflexiona
§ ¿Cómo interpretarías la expresión –3 n ? Discute con tus compañeros.
Unidad 1 • números 35
Raíces y operaciones
Sofía está realizando algunos cálculos que involucran raíces, y
utilizará la calculadora para obtener su resultado final. Sin embargo,
ha llegado a una expresión que le resulta difícil de manejar:
4
5 12
2 • 5 3 + 5 192 – 4
2
Para reducirla un poco deduce algunos resultados previos me-
diante los siguientes pasos:
Paso 1 Plantea la siguiente relación:
5
5
2•5 3=x /( )
5
Producto de potencias ( 5 2 • 5 3) = x5
de igual exponente. 5 5
( 5 2 ) ( 5 3) = x5
Por definición. 2 • 3 = x5
5
Por definición. 2•3 = x
5
6=x
5
6= 5 2•5 3
Por lo tanto, 5 2 • 5 3 = 5 6 . En general, se puede utilizar la propiedad de la multiplicación de
raíces de igual índice:
n
a • n b = n ab
Paso 2 Para el segundo término, observa que:
5
192 = 5 32 • 6
5
192 = 5 25 • 6
5
192 = 5 25 • 5 6
5
192 = 2 • 5 6
Se busca una expresión Para introducir un coeficiente a la raíz Para sacar una potencia de la raíz
equivalente.
3 4 5 = 4 34 • 4 5 3
= 112 3
8 •14
= 3
23 •14
Se utiliza el producto de
raíces de igual índice.
= 4 34 • 5 = 3 23 • 3 14
= 4 405 = 2 3 14
4
Paso 3 Analiza la expresión 12
4
2
4
12 4 2 • 6
4
= 4
2 2
4
246
=
4
2
4 12
= 6
= 4
2
En general, se puede utilizar la propiedad de la división de raíces de igual índice:
n
a n a
=
n
b b
Paso 4 Remplaza y reduce la expresión
4
5 12
2 • 5 3 + 5 192 – 4
2
5
6 + 25 6 – 4 6
35 6 – 4 6
Los términos que contienen raíces con igual índice y cantidad subradical pueden
sumarse o restarse de la misma manera en que se hace con términos semejantes. Si no
son iguales, no podemos reducir las expresiones entre sí.
Estos resultados nos permiten manejar expresiones más pequeñas, que puedan ser
determinadas más cómodamente en la calculadora.
Así, utilizando la calculadora tenemos que:
Razona
3 5 6 – 4 6 ≈ 2,7278 y comenta
En general, aunque utilizamos la calculadora para obtener este tipo de resultados. § En la sección 1 se vio
Es conveniente que las expresiones sean lo más breves posibles pues nos permitirá que no siempre el pro-
disminuir el riesgo de errores gracias a que podremos realizar menos operaciones. ducto de dos números
irracionales da como
resultado un número
irracional. Por ejemplo:
En resumen
2• 8 y 8: 2
Es posible sumar o restar entre sí raíces enésimas si sus índices y cantidades no son números irra-
subradicales son iguales. cionales. Demuestra
ahora por qué.
n n
Si a y b pertenece a los , se verifican las siguientes propiedades: § Determina en pocos
n n n pasos un procedimien-
a • b = ab
to para ubicar en la
n recta las siguientes raí-
anb =a n b
ces cuadradas. Utiliza
n
a na lo visto en la lección.
=
n
b b 45 75 98
Unidad 1 • números 37
1. Reduce los términos semejantes de las 4. Reduce las siguientes expresiones a una sola raíz.
siguientes expresiones. Guíate por el ejemplo.
3 3 3 3
a) wz + 5zw – 3y 5 •= 12 5•12
= 60
1 8 1
b) a+3a – a a) 3
6•3 4 e) –7 • 8
2 7
c) m² + 4m² – 9m² b) 5• 6 f) n
a•n b
d) 3a² + b5 – a² + b 4
c) 6
3 • 6 12 • 6 2 g) a•4 a
e) 12m²y + 3xy – 12m²y – xy
d) 1 44 h) a b b
4 • b • 4• b
f) 0,2x²y – 0,3xy² + 0,5x²y + x²y – 0,4xy² 2 6 b
1 3xy 2 5. Reduce las siguientes expresiones a una sola raíz.
g) 15xy 2 – y 3 – +4y 3 – 5xy
6 2 Guíate por el ejemplo.
2 2
h) a b – 2ab2 +3a2b – 6ab 24 3
= 4
24 • 3
= 4
16 • 3 = 4 48
2 5
2. Reduce las siguientes expresiones, y calcula su a) 2 4 4 e) x 3 x
valor cuando sea posible.
b) 4 2 f) 2n 5 3
g) (5 –3 4
a) 2³ • 5³ ) c) a n b g) 4 4 125
4 4 5
b) 10² • 5² h) 3 • 4
4 3 d) 5 1 h) 32 5 3
–1 5
2 4
c) ab • cb • db i) 6. Reduce las cantidades subradicales de las
3
siguientes expresiones hasta el menor número
4
d) 6 j) (b–²)–³ natural posible. Guíate por el ejemplo.
34 5
6 2 3 3 5
288
= 5
32 • 9
= 25 • 9 = 2 5 9
e) –16 k) 5 • 4 • 5
46 42 5
y b b b
a) 96 f) 4
a7
f) x l) a (c +2 )
zy 2b b) 4
80 g) 5
b8
3. Resuelve en cada caso las siguientes operaciones.
c) 3
108 h) 4
5 5
a) 2 • 4 8
15 5 648
d) 224 i) 3
b) 16³ : 8³ • 3³ 384
a
c) (3x³ + 2y³ – x²)³ : 4³ e) 4
240 j) b 4a
8 8
d) – 5 : – 2 7. Reduce las siguientes expresiones a una sola raíz.
4 5 Guíate por el ejemplo.
7
e) (3⁴ • 5³)⁷ : (3² • 5)⁷ 12 7 12
=
7
5 5
((2 • 4 ) : 5 )
3
3 3 2 6
f)
4
3 3 a) 10 b) 6
g) 2(a b+4a b) 4
5 3
ab
3 3 12
Practiquemos lo aprendido
5 5+ y
c) 1024 g) 7 c) 1,5 3 9 • 3+y = 4 –
5
4 5+ y
4 14 5
3
a 12 d) x – 3 = 3– 18 •7 2
d) h) 23b2
e) 23 : 4 – z = 98 : 2
3
b 12
8b
n xy 5
e) i)
3 x+y
3
n xy 3
x f) x =4 3• 2
9
f) 4
b:4a j) 6:94 10. Resuelve los siguientes problemas.
9
9
a) Calcula el volumen de un cubo cuya arista mide
Aplica 5
3 cm.
8. Resuelve las siguientes operaciones. b) Calcula el área de un círculo cuyo radio mide π m.
a) 19 – 2 2+1– 2 2
c) Calcula el perímetro de un triángulo, cuyos lados
b) 9,2 3+2 3+0, 6+2 2 miden 75 m, 100 m y 125 m.
2
c) 2,27+4 3 8+ + 3 8 d) Calcula el perímetro y el área de un rectángulo
7
cuyo largo mide 3 24 m, y su ancho, 3 375 m.
d) 21– 3 5+7 – 7 5
e) Calcula el volumen de un paralelepípedo cuyas
3
e) 2, 4+3 3 7 – – 3 7 aristas miden 2 cm, 6 cm y 10 cm.
2
3
f) 2,5 5+3 11– 5+ 11 11. Calcula el valor numérico de cada expresión:
5
a) 9 • 2 3 • 2 3
g) 835– 5 223+14 – 2 223
b) 5,3 50 : (2 2 )
h) 8,3 51– 22 51+1,8 – 21 49
1
6 c) 2,9 • 9 3 27 •
i) 81– 2,1π+ 3 3+ π– 3 3 21
13 3
3 d) 3 3 11 : 3 11
j) 1,3π – 3 11π – π – 33 11π 5
5
e) 81• 2,7 • 3 3 • 3 3
1
k) 125 – 3,8+ 3 7 – – 3 7
2 f) a •(–4a 24 ) : 24
l) 6+ 6+ 9 g) (2 8 – 4 8 ) : 2 2
25 1 103 3
m) 169 • • h) 11, 4 : ( 4 : 3 4)
13 625 9
3
9. Aplica las propiedades de las raíces para resolver i) 1,3• 3a 25 – a – 33a 3 125
las siguientes ecuaciones. 5
j) a 12 : (b 12 ) •b –12a+1
a) 21+x – 4 8 = 32 – 8
b) 3 3+ 5+y = 2 5 – 2 3
Reflexiona
§ Una calculadora o un computador pueden realizar cálculos con gran rapidez, sin necesidad de que los valores se
ingresen “reducidos”. ¿Qué sentido puede tener saber hacer esto manualmente? Discute con tus compañeros.
Unidad 1 • números 39
3
Paso 2 Sabemos también que (72 ) = 72•3 = 7 6 . En general, podemos utilizar la
n
propiedad de potencia de potencia (am ) = am•n.
1
¿Cómo se puede interpretar 5 4 ? Podemos llamarlo x, y aplicar la propiedad anterior:
1
54 = x /( )4
4
1 4
5 = x
4
1
•4
54 = x4
51 = x 4 /por definición
4
5=x
1
Por lo tanto, se puede interpretar que 5 4 = 4 5 . En general, podemos interpretar una
potencia de exponente 1 (con n número natural mayor que 1) como la raíz enésima
de la base: n
1
an = n a
2
Ayuda
Paso 3 Interpretaremos ahora el sentido de la expresión a 3, utilizando los resultados
anteriores. Tenemos dos formas de hacerlo y son equivalentes entre sí.
La interpretación de una raíz
como potencia de exponente
2 1
•2
2
2•
2 racional se puede calcular en la
a3 = a3 a3 = a 3
planilla de cálculo. Por ejem-
plo, para calcular 3 5, puedes
( )
2 1
= (a2 )3
1
= a3
utilizar el siguiente comando:
=3a
2
= 3 a2 =POTENCIA(5;1/3)
2
3 2 2 n m
m m
Es 3
=
a=
a
decir, 3 an n =
a . En general, = a a .
Estos resultados nos permiten reducir expresiones y demostrar otras propiedades,
como se muestra:
Propiedad Ejemplo
mr m 8 6 2•4 4
nr
amr
= a n=
r
a n = n am =3 32•3
= 33
n
m m m m 2
am • n bm = a n •b n = (ab) n = n ab 5
92 • 5 52 = 5 45
n
m m m 7 4
am a n an
a 2 24
= m = = n = 7
n m
b bn b b 7
11 4 11
n q m p
( mq+np
nq ) nq 6 1 7 2
1 2
( 7+12 )
2 • 2 = 2 6 • 2 7 = 2 42 = 42 219
am • ap = a n • a q = a = amq+np
m 4
n
am an ( mq–np
nq ) nq
5
84 85 ( 45 – 31 ) (1215−5 )
q
= p =a = amq–np = 1 =8 =8 = 15 87
p 3 1
a a q
8 8 3
( ) ( ) = (10)
1 1
a = ( a) n = ( a) n = ( a) mn = mn a 10 = (10 ) 5
1 1 1 1 1 1
mn m •m 3 5 3
15
= 15 10
Al interpretar las raíces como una potencia de exponente racional sí es posible realizar
algunas operaciones que con exponentes enteros no habríamos podido realizar, ya que
en este caso siempre será posible igualar los exponentes. Por ejemplo:
3 5
8
53 • 12 75 = 5 8 •7 12
Tenemos un producto de potencias con distinta base y exponente, que hasta el mo-
mento no habíamos podido operar. En este caso amplificaremos los exponentes para
que tengan igual denominador, lo que nos permitirá luego igualarlos, como se muestra.
3 5 3•3 5•2 Razona
5 8 •7 12 = 5 8 • 3 •7 12 • 2 y comenta
9 10
= 5 •7 24 24
§ Hemos definido las
1 1 raíces enésimas consi-
= (59 ) • (710 )
24 24
derando solo núme-
ros naturales para el
= 24 59 •710 índice, es decir:
3 4 7 9
5 8 21 17
En resumen
Una raíz enésima puede relacionarse con una potencia de exponente racional, § ¿A qué raíces enésimas
son equivalentes las si-
como se muestra: m m guientes expresiones?
a n = n am = n a
Justifica.
Al considerarla así, es posible aplicar las propiedades de la multiplicación y división – 21 – 31 – 41 – 51
5 7 2 8
de potencias.
Unidad 1 • números 41
3+ –
i) 6 6 j) 1– 1
1. Resuelve las siguientes multiplicaciones y 3 1
4– 1–
divisiones para expresar el resultado en una 4 1
1–
única potencia. 2
a) 2⁵ • 2³ j) 10
20
Práctica guiada
1017
4. Representa como raíz las siguientes potencias.
b) 5⁴ • 5³ k) 10–¹ • 10⁴ • 10–5 Guíate por el ejemplo.
–1 3 1
c) 55 : 5³ l) 5 • 5 43 = 3 4
6 6
1 5
d) 5³ • 5–6 m) x–³ • x–⁷ a) 32 f) 3 4
–6 2
e) a n) (–58)⁸ • (–58)⁹ 1
–
3
a4 b) 12 3 g) 3a 5
–
f) ax • ay ñ) m–n : m ¹ 7 3
c) 4 4 h) (3– x) 2
2 7 7
g) 1 • 1
4 3
o) 78 : 74
3 3 d) (a+b) 3 i) (–2) 5
1 2
b −c –b a
h) a • a p) 8 8
:
e) –32 j) (–3) 3
b b 5
5
5. Representa como potencias las siguientes raíces.
110
45 40 Guíate por el ejemplo.
i) 1 : 1 q) 2
10 1
5 5 = 52
2 2 1
2 a) 13 f) 5
a7
2. Calcula el resultado de las siguientes operaciones.
b) 4
3 g) (3+5x)2
a) 8 , simplificada por 2 d) 1 , amplificada por 4 2
4 2
7 c) 3
a+b h) 9
(–2)7
b) 25 , simplificada por 5 e) , amplificada por 7
4
125 8 d) – 8 i) 3–4
c) 49 , simplificada por 7 f) 3 , amplificada por 10 5
343 4 e) 6
2 j) b
2a2
5
3. Resuelve las siguientes operaciones y reduce
el resultado.
6. Representa las siguientes raíces como otra raíz
equivalente, con el menor índice posible. Guíate
a) 5 + 10 – 20 e) 5 + 4 : 30 + 6 por el ejemplo.
7 2 7 6 6 9 9 3 •5 5
6
5= 5 = 5 2 = 2 55
15 2• 3
b) 2 1 + 5 f) 4 • 10 : 1
3 4 2 5 2 3 a) 8
74 f) 64
y16
c) 12 : 6 g) 7 • 7 • 5 + 2 b) 6 129 g) 924 7 4
4 2 2 3 6 3 ab
c) 4bc h) 20
2110 4 5
7 2
3 9 –
h) 6 7
8 20
d) 2+ – 3+ 8 i) 2110 • 410
4 6 4 3 d) x5
+ 2x
12 6 e) 4n
232n 1
j) 4y
52x •
2
7. Reduce las siguientes multiplicaciones a una sola 10. Expresa como una sola raíz. Guíate por
Practiquemos lo aprendido
raíz. Guíate por el ejemplo. el ejemplo.
4 4 4 3
4
33
= 3( 4 2 ) = 3( 8 ) = 8 3–22
4
23 • 4 3
3 = 23 • 33 = (2 • 3) 3 = 4 63 34 3 7
– 6–28
= 7
2
7 37 3 2
7
a) 5
6 • 7 5 f) 21 87 • 21 9
8 3
3
45
7
a) d) 4
4 4
b) 5 • 4 g) a
6 • 9 b a b
5
44 3
5
7
c) 5
7 –3 • 5 3–3 h) 5 2
(1+x) • 5 62 4
1 1
b) 14 a
5 5 c a a c a
e)
3
(a+3)2
d) 42 • 10 2 i) – 5 3 • x 7 b
14 5
(a+3)6
3 3
e) 6
–10 • 7 8 6 8
j) (−5) • 5 4
1
2
c) 92 f) 35
8. Expresa las siguientes divisiones como una sola 9
raíz. Guíate por el ejemplo.
6
95 37
4
3 3 3
3 11. Expresa como una única raíz. Guíate por
23 24 2 4 1 4 1 el ejemplo.
= = = = 4
4
43
3
4 2 2
( ) = (12)
1
44
12 = (12 ) = (12 )12 = 12 12
1 1 1 1
6 2 2
6 •
2 6
3 a
a) 55 d) xc
4 3
3
75 a
yc a) 21 e) 5 4
2x
1 7 6
8
3 b) 32 f) 3
27 3 4
b) 216 e) 458
3
8
7 6
3
1 c) a g) 8 5
a6
98
4
c) 6 –2 f) b 3a
r d) 10 7
5
h)
10
23
5
4
7 –2
b 9 10
8
s3a
Aplica
9. Expresa las siguientes multiplicaciones de
raíces de igual base como una sola raíz. 12. Reduce las siguientes expresiones.
Guíate por el ejemplo.
2 6 10+18 a) 3• 5 e) 2 23 2
3 2 5 6 15 15 28
4 • 4 = 43 • 45 =4 = 4 3
15
a) 7
55 • 6 53 e) 4
–63 • 4 –67
b) 18 ( 4
62 : 4 32 ) f) 3 4 xy • 12
1
x
b) 3
6 • 4 65 f) – 6 0,23 • 3 –0,232 c) a2 a–2 g) 3
3 4 3 : 5 3–1
c) a
b•b b g) 2 9 c –1 • 5 4 c 6 a4 10
h) 100 a
4 5
4 9 4 h) 9a • 3 62 d) (x+1) (x+1) (x+1) 2 3 • 10 3
d) 3
•
5 5
Reflexiona
§ Como viste en la lección, en ocasiones se definen operaciones que luego deben ser interpretadas nuevamente
para darle sentido. ¿Conoces casos similares en otras disciplinas? Comenta con tus compañeros.
Unidad 1 • números 43
Por ejemplo: 1 2
= 1 :=2 2: 2=
2 2
3 6 3 • 6 18
• = =
5 6 5 • 6 30 Para determinar esta expresión buscaremos en cada caso el valor por el cual debemos
amplificarla.
4 4 5
= •
5 5 5
amplificando
4 5
=
5 5
Dato 5• 5 =5
Existen análisis matemáticos 4 5
=
que requieren estudiar el 5
denominador de una fracción, Hemos obtenido así una expresión cuyo denominador es un número entero.
por lo que se necesita que esté En general:
expresado de la manera más a a b
simple posible. Por esto, se =
b b
evitan las raíces inexactas en el
denominador. Caso 2 Consideremos el caso 4 . ¿Qué número multiplicado por 5 73 da como
5 3
7
Ayuda resultado un número entero? Podemos observar que 5 73 • 5 =
72 5 =
75 7 ,
¿Por qué escogimos 5 72 para por lo que amplificaremos por 5 72 .
amplificar? Comenzamos
buscando una expresión del 4 4 5 2
= • 7
tipo 5 7 x . Así, 5
73 5 3
7 5 72
5
7 3 • 5 7 x = 5 7 3+x
4 5 72
Lo más sencillo es hacer que =
5
5 3+x 73 5 72
7 = 5 7=5 7. Por lo tanto,
3+x=5 4 5 72
=
x=5–3 7
x=2
En general, para m < n tenemos que:
a a n bn–m
=
n
bm b
( 15+ 2 )( 15 – 2 ) = 15 – 2
2 2
= 15 – 2
= 13
Por lo tanto, la primera fracción la amplificaremos por 15+ 2, y la segunda, por
15 – 2. Obtendremos así una diferencia de cuadrados que será un número entero.
3 3 + 3 3 –
= • 15 2 = • 15 2
15 – 2 15 – 2 15 + 2 15+ 2 15+ 2 15 – 2
=
3 ( 15+ 2 ) =
3 ( 15 – 2 )
( 15 – 2 )( 15+ 2 ) ( 15+ 2 )( 15 – 2 )
3 15+3 2 3 15 – 3 2
= 2 2 = 2 2
15 – 2 15 – 2
3 15+3 2 3 15 – 3 2
= =
15 – 2 15 – 2
3 15+3 2 3 15 – 3 2
= =
13 13
En general:
a a b –a c
=
b+ c b–c
a a b+a c
=
b– c b–c
En ocasiones habrá que utilizar más de una vez estos procedimientos, o más de uno
de ellos en cada caso, para racionalizar expresiones más complejas.
En resumen Razona
Dada una expresión que contiene una o más raíces inexactas (irracionales) en y comenta
su denominador, se llama racionalizar al proceso de encontrar una expresión § ¿Qué procedimiento
equivalente a ella que no contenga raíces en el denominador. Para ello se pueden se puede utilizar para
emplear las siguientes equivalencias: racionalizar la siguiente
expresión?
a a b 1
=
b b 3 –1
a a n bn–m § Ubica en la recta nu-
= mérica los siguientes
n
bm b
números irracionales:
a a( b ± c ) 1 1 1 1
= ; ; ;
5
b± c b–c 3 5 – 2 81 7
Unidad 1 • números 45
1
3 4 3 – 4 10
=
e) b 3 b – 3 a
a ( 3+ 10 )( 3 – 10 )
ab 4
( )
2
f) x – x 6 – 3 x 6 + x2 4 3 – 4 10
=
b a 2 2
3 – 10
4 3 – 4 10
Práctica guiada =
3 –10
3. Determina para cada expresión otra equivalente 4 3 – 4 10
=–
sin raíces en el denominador. Guíate por el ejemplo. 7
1 1 • 3 3 3
= = = a) 1 f) 2
3 3 • 3 3 3 3
2+ 8 2+ 2
a) 1 2 9
f) – b) g) – 3
6 7 3 5– 3 4– 5
b) 1 g) 5 c) 17 h) – 7
8 13 18 – 11 7+ 12
c) 3 h) x d) 32 i) 1+ 2
a y 21– 13 1– 2
d) – 21 i) 6
e) 1 j) 15
2 x+y 7– 6 2 4 +3 5
e) 5 j) 5
3 6 3z
Practiquemos lo aprendido
Guíate por el ejemplo.
6. Determina para cada expresión otra equivalente
sin raíces en el denominador. Si es necesario aplica 1 1 3 62 – 3 6 • 5+ 3 52
= •
más de una vez los procesos vistos. 3
6+ 3 5 3 6+ 3 5 3 62 – 3 6 • 5+ 3 52
a) 5 f) 1
3
5+ 2
4
2+ 4 6 62 – 3 6 • 5+ 3 52
=
b) x g)
2 ( 3
6+ 3 5 ) 3
62 + ( 3
) (
6+ 3 5 • – 3
)(
6•5 + 3
6+ 3 5 ) 3
52
1
x+ 3 3 3
62 – 3 30+ 3 52
2 =
c) 1 6 –4 6 + 3 5• 62 – 3 62 • 5 – 3 6 • 52 + 3 52 • 6 +5
h)
4
2+ 3 6+4 3
62 – 3 30+ 3 52
=
d) 4– 3 i) a 11
4
4+ 3 27a2
a) 1 f) 1
e) 1 j) 3x – xy 3
2+ 3 4 3
6–33
5 3
1024b10 3 xy – y 5
b) 2 g)
7. Racionaliza y luego evalúa la expresión obtenida 3
5+ 3 8 2 5+ 3 4
3
Reflexiona
§ Investiga respecto a la utilidad de racionalizar una expresión. ¿Qué sentido puede haber tenido hacerlo hace
doscientos años? ¿Qué sentido puede tener hacerlo ahora?
Unidad 1 • números 47
Tierra
2
1, 88092 = d3
3,53778481= d3
Sol 3
3,53778481 = d
0,72 UA
d ≈ 1,52
1 UA
Hemos resuelto una ecuación cuya incógnita se encontraba en la cantidad subradical
de una raíz. A este tipo de ecuaciones se les llama ecuaciones radicales.
Como regla general, para resolverlas aislamos una raíz a uno de los lados de la ecuación
y elevamos a la potencia adecuada para eliminarla. Es preciso además comprobar que
la solución obtenida no sea contradictoria con las restricciones de la raíz.
Observa en los siguientes casos.
Caso 1 Considera las ecuaciones 2x+8 – 3x – 6 = 0 y 2x – 8 – 3x+6 = 0
98 – 2x 2
5 – 2x = / • x+7
x+7
5 – 2x x+7 = 98 – 2x 2 Se aplica la propiedad del
producto de raíces.
(5 – 2x)( x+7) = 98 – 2x 2
2
–9x – 2x 2 +35 = 98 – 2x 2 /( )
–9x – 2x 2 +35 = 98 – 2x 2
–9x = 63
x = –7
Razona
Al remplazar la solución en la ecuación se tiene que: y comenta
2
98 – 2(–7) 0 § ¿Sabemos que por
5 – 2 • –7 = → 19 = definición la raíz cua-
–7+7 0
drada de x es el valor
Observa que este valor hace que el denominador de la fracción sea igual a cero, esto positivo que, multi-
no debe ocurrir. Por lo tanto, la ecuación no tiene solución.
plicado por sí mismo,
da como resultado x.
En resumen ¿Por qué la ecuación
Una ecuación radical es aquella cuya incógnita se encuentra en una cantidad 2x+5+ 3x – 8 = 0
subradical. Para resolverla es necesario utilizar las propiedades de las raíces y no tiene solución?
considerar sus restricciones. Justifica.
Unidad 1 • números 49
3. Resuelve las siguientes ecuaciones. Guíate por h) 3x – 23 = 27x – 251– 12x –120
el ejemplo. i) 4x – 3 + 9x – 27 = 25x – 66
x+6 – 2x – 6 = 0
2 j) x +5 + 64x – 255 = 81x – 308
x+6 = 2x – 6 /( )
x+6 = 2x – 6 5. Resuelve las siguientes ecuaciones. Guíate por
x = 12 el ejemplo.
Al remplazar en la ecuación se obtiene: 7 – 3x 2
2 – 3x =
12+6 − 2 •12–6 = 0 x –1
18 – 18 = 0 2 – 3x x –1 = 7 – 3x 2
0=0 2
(2 – 3x)( x –1) = 7 – 3x 2 /( )
No hay restricciones, por lo que la solución es válida.
–3x 2 +5x – 2 = 7 – 3x 2
1 3 5x = 9
a) 2x+2 – 3x+1 = 0 e) x+3 – x–5 =0
2 2 9
x=
5
b) x –10 – 5x – 6 = 0 f) x 2 – 25 + x 2 +5x = 0
Al remplazar en la ecuación se obtiene:
c) 4x – 5+ x+12 = 0 g) 3x+9 – 63 = 0 2
9
h) x+5 + x+3 = 2 7 – 3•
d) x+4 – 6x – 6 = 0 9 5
2 – 3• =
4. Resuelve las siguientes ecuaciones. Guíate por 5 9
–1
el ejemplo 5
2
x + 4 + 49x +9 = 64x +25 /( ) 81
7 – 3•
x + 4 +2 ( x + 4)( 49x +9) + 49x +9 = 64x +25 27 25
2– =
2 ( x + 4)( 49x +9) = 14x +12 5 4
( x + 4)( 49x +9) = 7x + 6 / ( )
2 5
49x 2 +205x +36 = 49x 2 + 84x +36 243
7–
205x = 84x 17 25
– =
121x = 0 5 4
x=0 5
Hay raíces con cantidad subradical negativa, por a) ¿Cuántos segundos demora en caer un objeto si
Practiquemos lo aprendido
lo que la solución no es válida. se lo suelta desde una altura de 100 m?
Unidad 1 • números 51
x 5 x 4 6 x2
Podrás aplicar lo aprendido aquí en los problemas que se presentan en la página 54.
Reflexiona
§ ¿Habías cometido ya alguno(s) de estos errores? ¿Cuáles?
§ Respecto de los que no, ¿te sirve estar advertido de la posibilidad de cometerlos?
§ Revisa los ejercicios que hayas resuelto en la unidad. ¿Qué errores has cometido? ¿Qué acciones puedes
tomar para no volver a cometerlos?
Unidad 1 • números 53
4 4
b. 34 d. 5 3 f. 22 3
b. 3a – 9 e. a – 51
5
9 Aplica las propiedades de potencias para reducir
c. 19a f. 8
a2 las siguientes expresiones.
Evaluación
a. 5
12 • 5 7 d. 7
14 : 7 49 10 Calcula el valor de las siguientes expresiones.
4
b. 3 5p • 3 10p e. 3
36 : 3 8 a. b• b d.
4
p−3 : p
8
b p4
4
c. 16 • 4 1024 f. 9
1000 : 9 250
( )
5 4
b. 3
x: 3
x • 3 x2 e. k : k
5 Juzga si las siguientes equivalencias son verda-
k2 : k5
deras o falsas. Justifica las falsas.
5 c.
3
n–1 •n12 f.
4
a • 4 b3
a. 3 2 = 18 d. 64 = 2 5 2
n–2 4
b•8 a
b. 7 3 = 21 e. 48 4
= 11 Calcula el valor de las siguientes expresiones.
27 3
c. 2 3 5 = 30 f. 3 1 = 1 3 1
4
a. 3 5+ 25 b. 3
13 ( 5 13+ 2 52 )
100 10 10 75 : 3
6 Calcula las siguientes expresiones. Expresa el
resultado de la manera más reducida posible. Lección 8: Racionalización
e. 2 13 5– 6x 2
h. d.
5
27 = 1+3x
13+ 10 1– 2x
4
11
f. i. 6 +1 1+ x 3– x
4
121 e. =
6− 2 1– x 8–x
g. 9
1+16x
7– 5 f. =4
3+ x
13 Aplica sucesivamente las propiedades para racio-
nalizar las siguientes expresiones. g. 3 x +3 = 5
a. 3 x –1+ x
e. h. 3+ x =5
2 –1 x –1– x
15 Plantea y resuelve los siguientes problemas.
b. 7 x+y – x
3
f. a. Paola desea depositar un dinero en el banco
4– 2 x – y+ x
con interés compuesto anual, durante 10 años.
c. 1 3 ¿Cuál debe ser la tasa de interés, si le interesa
g.
5
2 4
3 –3 triplicar el dinero invertido? Recuerda que, para
1 el interés compuesto,
d. t
i
2 –1–1 C t = C 1+
100
Lección 9: Raíces enésimas, problemas y ecuaciones b. La tercera ley de Kepler relaciona el período de
traslación t de un planeta (en años terrestres)
14 Resuelve las siguientes ecuaciones.
con su distancia d al Sol —medida en unidades
Evaluación
a. x +7 + 4x +16 = 9x + 43 astronómicas (ua)—, mediante la fórmula
Autoevaluación
Evalúa tu aprendizaje utilizando el solucionario y completa la siguiente tabla. Si no alcanzaste el mínimo sugerido en las actividades propuestas, vuelve a las
páginas indicadas para repasar.
Indicador Mínimo sugerido Puedes repasar en la(s) página(s)
Definir raíces y calcularlas aplicando su definición 2 respuestas correctas 32 y 33
Realizar operaciones con raíces 3 respuestas correctas 36 y 37
Interpretar las raíces como potencias de exponente racional y 3 respuestas correctas 40 y 41
deducir propiedades de ellas
Racionalizar expresiones fraccionarias 2 respuestas correctas 44 y 45
Resolver problemas que involucran raíces 2 respuestas correctas 48 y 49
Recapitulemos
En grupos de 4 personas, respondan y discutan las siguientes preguntas.
¿Cuáles son los conceptos fundamentales de esta sección?
Ü ¿Qué contenidos te resultaron más difíciles?
Ü
¿Qué utilidad tiene lo que has aprendido?
Ü ¿Qué te resultó más interesante en esta sección?
Ü
¿En qué ámbitos se puede aplicar lo aprendido en esta sección?
Ü
¿Lograste cumplir los propósitos de esta sección?
Unidad 1 • números 55
Logaritmos
¿Qué aprenderás? ¿Dónde? Es importante porque te permitirá…
A deducir y aplicar propiedades de logaritmos. Lección 11 calcular y resolver problemas en distintos ámbitos.
m. 5 1
–3
f. 5 =
8 n. 100 = 10 e. 6–²
2 125 9 3 32
g. (ab³)² = a²b6 ñ. 5
a10b5 = a2b f. (–7)–³ n. 0,01
–2
h. (3x²y)² = 9x4y² o. 3
64a6b9 = 4a2b3 g. 4 ñ. 3 27p3 x12
5
–4
m8
2 Plantea una ecuación que represente cada situa- h. – 6 o. 4 16 16
ción y resuelve. 7 n
Actividad
a. Un número elevado a su quinta potencia es 5 Aplica las propiedades de potencias para reducir
igual a 32. ¿Cuál es el número? las siguientes expresiones.
Unidad 1 • números 57
Podemos observar que una potencia de base 0 puede ser igual a cero o no estar
definida. Por otra parte, si la base de una potencia es igual a uno su resultado siempre
será igual a uno. Para evitar estos problemas, se exigirá en el estudio de logaritmos que
la base de este siempre sea distinta de 0 y de 1.
Paso 2 En la sección anterior vimos que
1
5
–1024 = (–1024)5 = –5
1
4
–16 = (–16)4 no está definida.
1
6
64 = (64)6 = 2
1
16 = (16)2 = 4
En general, para que una potencia siempre esté bien definida es necesario que su base
no sea negativa. Por lo tanto, complementando la condición vista en el paso anterior,
se exige que la base a del logaritmo debe ser positiva y distinta de 1.
log 1 0,125 = x 1
logx =2
2 9
x
1 1
= 0,125 x2 = /
2 9
x 3 1
1 1 x=
= 9
2 2
1 John Napier (1550-1617)
x=3 x=
3
Razona
y comenta
§ Explica con tus
palabras qué es un
logaritmo.
En resumen § Dada la relación:
Dado un número real positivo a ≠ 1, y un número real c > 0, se llama logaritmo en n p =q
base a de c al número al que se debe elevar a para obtener c. Es decir: Escribe un logaritmo
logac =b ↔ ab =c que relacione n, p y q.
Unidad 1 • números 59
1. Calcula en cada caso el valor de x. 4. Expresa como logaritmo las siguientes potencias.
Guíate por el ejemplo.
a) 3x = 27 j) (–3,1)³ = x
4 6³ = 216
b) 5 = 625
x k) 1 = x 6³ = 216 → log6 216 = 3
5
–3 1
c) (–2)x = –32 l) 7 a) 34 = 81 l) 5–3 =
=x 125
2
1
d) (–9)x = –729 m) x² = 36 b) 2³ = 8 m) 2–5 =
32
x 1
e) (–3) = n) x³ = -1000 1
9 c) 7¹ = 7 n) 4 –1 =
4
f) (–0,5)x = 4 ñ) x5 = 32
–5 1
d) 46 = 4096 ñ) 8 =
g) 8² = x o) x4 = 0,0001 32768
1
h) 1,1² = x p) x–² = 0,25 e) 76 = 117 649 o) 4 –3 =
64
i) (–6)6 = x q) x–5 = 243 1
f) 9³ = 729 p) 8 –3 =
2. Calcula en cada caso el valor de x. 512
5
3 1 g) 65 = 7776 q) 5 = 3125
a) 125 = x j) x=
3 6 7776
5 7
b) 1024 = x k) x = –1 5
h) 10³ = 1000 r) 8 = 32 768
c) 2 0,25 = x l) 5
x = –2 7 16 807
4
d) 16 i) 8³ = 512 s) 10 = 10 000
4 =x m) x 25 = 5
81 3 81
e) 3 – 1 = x
–5
t) 9 1024
x
n) 343 = 7 j) 74 = 2401
216 =
4 59 049
f) 5 – 1 = x
x
ñ) 81 = 3 –4
32 k) 2–6 =
1 u) 5 = 256
64 4 625
6
g) x = 1 o) 1331 11
x = 5. Expresa como potencia los siguientes logaritmos.
8 2
Guíate por el ejemplo.
h) x = 100 p) x –0,00001 = –0,1
log5 78 125 = 7
1
i) 3
x= q) x –10, 648 = –2,2 log5 78 125 = 7 → 57 = 78 125
2
3. Determina en cada caso si es posible calcular el a) log2 32 = 5 g) log3 1= 0
valor de x. Cuando no lo sea, justifica. 1
b) log8 512 = 3 h) log9 = –2
a) 2x = –8 e) x
–27 = 3 81
1
x c) log9 6561= 4 i) log2 = –5
b) 06 = 5x f) 20 = 0 32
d) log10 10000000 = 7 1
c) (–2)4 = x g) 3
–1000 = x j) log7 = –3
343
d) (–3)x = –27 h) x
16 = –2 1
e) log9 531441= 6 k) log5 = –3
125
1
f) log7 117 649 = 6 l) log6 = –2
36
Practiquemos lo aprendido
m) log6 = –6 p) log 9 = –5
46 656 4
59 049 cumplan las siguientes igualdades.
125 5 a) logx 27 = 3 m) log729 3 = x
n) log 5 =3 q) log13 = –1
7
343 5
13
1 4 b) logx 625 = 4 n) log125 5 = x
ñ) log 1 = 2 r) log 7 = 0
2
4 4 c) logx 49 = 2 ñ) log16807 7 = x
16
729
o) log 3 =6
262144 d) logx 729 = 6 o) log4 2 = x
8
2² = 4 3² = 9 5² = 25 7² = 49 g) log2 x = 4 r) log 1 2 = x
64
2³ = 8 3³ = 27 5³ = 125 7³ = 343
h) log3 x = 2 s) log 1 3 = x
24 = 16 34 = 81 54 = 625 74 = 2401 9
5 2
729
Reflexiona
§ ¿Cuál es el significado de la palabra “logaritmo”. Investiga y explica por qué crees que le pueden haber puesto
este nombre.
§ Investiga el significado de las palabras “guarismo” y “algoritmo”. ¿Qué relación tienen con “logaritmo”?
Unidad 1 • números 61
Estas propiedades permiten calcular los logaritmos de todos los números racionales Ayuda
teniendo solo los logaritmos de los números primos. Por ejemplo: Puedes determinar logaritmos
3 con calculadora; para ello debes
log 56 = log 2 • 7 = 3 log 2 + log 7 ≈ 3 • 0,3 + 0, 85 = 1,75 digitar alguna de las siguientes
50 2 • 52 secuencias para calcular, por
log = log = log (2 • 52 ) –log (7 •11) = log 2 +2 log 5–log 7 – log 11 ejemplo, log 8:
77 7 •11
Paso 3 Las propiedades anteriores se cumplen solo si los logaritmos están expresados
en la misma base, pero ¿qué se puede hacer cuando no lo están? Observa
la siguiente deducción.
loga c = b ↔ ab = c / logp
→ logp ab = logp c Se aplica la propiedad de
logaritmo de una potencia.
→ b •logp a = logp c Despejamos b con a ≠ 1
logp c
→b=
logp a
logp c
Tenemos así la propiedad del cambio de base: loga c =
logp a
Esta propiedad tiene especial importancia ya que log 5 0,7
la mayoría de las calculadoras solo permiten calcular log3 5 = ≈ = 1, 4583
log 3 0, 48
logaritmos en base 10 o e, y de esta manera pode-
mos encontrar su equivalencia. Por ejemplo:
Estas propiedades permiten reducir expresiones y lograr así un manejo más sencillo.
Por ejemplo:
1 1 1
log 49 + 4 log 21+ log 5 = log 72 + 4log (3•7) + log
27 5 27
1
= 2 log 7 + 4 (log 3+log 7)+ log 3−3
5
3
= 2 log 7 + 4 log 3 + 4 log 7 – log 3
5
17
= 6 log 7 + log 3
5
El trabajo de Napier consistió, entonces, en determinar estas propiedades y elaborar
tablas de logaritmos, que fueron utilizadas hasta principios del siglo XX. La aparición
de calculadoras y computadores las ha dejado en desuso, pero por muchos años cons-
tituyeron una poderosa ayuda. Incluso, los cálculos que permitieron la expedición del
Apolo XI a la Luna fueron realizados utilizando estas tablas.
En resumen
Los logaritmos verifican las siguientes propiedades: Razona
Logaritmo de un producto Logaritmo de un cociente Logaritmo de una raíz y comenta
x loga c § Si x = –3, ¿es válida la
loga ( x•y )=loga x+loga y loga =loga x–loga y loga n c = siguiente relación?
y n
Logaritmo de un inverso Cambio de base 2 log (7 + x) = log (7 + x)2
1 logp c ¿Y qué ocurre si x = –8?
loga =loga c –1 = –loga c logac =
c logp a Justifica.
Unidad 1 • números 63
a) log rs k) log 3 p
a) log 3 + log 2
Practiquemos lo aprendido
343 1 27
e) log – log 7 = log – log
b) log 12 + log 3,5 117 507 49
Reflexiona
§ En el libro que expone por primera vez el uso de los logaritmos, Napier se refiere a ellos como “maravillosos”.
¿Qué motivo crees que puede haber tenido para esto? Comenta con tu profesor.
Unidad 1 • números 65
Aplicaciones de logaritmos
La intensidad del sonido se mide en vatios por metro cuadrado (W/m2), siendo
10 –12 W/m 2 la menor intensidad que puede captar el oído humano. A partir de
1 W/m2 comienza el umbral del dolor en el oído.
Para comparar un sonido cualquiera con la menor intensidad audible se utilizan los
decibeles (Db), mediante la siguiente fórmula:
Db = 120 + 10log I
donde I es la intensidad en W/m².
La menor intensidad audible corresponde a 0Db, mientras que el umbral del dolor
comienza en los 120 Db. Se obtiene así una escala que utiliza números más pequeños
y manejables. A esto se le llama escala logarítmica.
Unidad 1 • números 67
ción es válida.
1. Aplica las propiedades de logaritmos para reducir
las siguientes expresiones a un solo logaritmo. a) log ( x +5) = 1
4. Considera la fórmula que relaciona la intensidad b) El terremoto de Haití de 2010 tuvo una magnitud
Practiquemos lo aprendido
del sonido y los decibeles de 7,2 R. ¿Cuántas veces menos energía liberó,
comparado con el de Chile en 2010?
Db = 120 + 10 log l
a) Si un equipo de música genera un sonido cuya
6. En Chile, a partir del año 2012 se estableció la ley
de “Tolerancia 0” al alcohol, con la que se redujo
magnitud en W/m2 es el triple de la de otro, ¿cuánto
a 0,3 g/L de sangre la concentración de alcohol
mayor es la intensidad en decibeles que posee?
considerada como “estado de ebriedad”.
b) Un amplificador para una guitarra eléctrica
Se estima que el riesgo de sufrir un accidente (en
tiene 2500 W/m2 de salida. ¿Cuál es su intensidad
porcentaje) se relaciona con la concentración de
en decibeles?
alcohol mediante la siguiente fórmula:
c) Calcula la magnitud del sonido en W/m2 que R = 6ekx
producen los siguientes fenómenos, conociendo
sus decibeles. a) Se estima que una concentración de 0,04 g/L de
alcohol en la sangre (x = 0,04) corresponde a un
Fenómeno Intensidad riesgo del 10% (R = 10). Determina el valor de la
Bomba atómica de Hiroshima 200 dB constante k.
Avión despegando 130 dB b) Una persona que, de acuerdo con la ley chilena,
Perforadora eléctrica 100 dB conduce en estado de ebriedad, ¿qué riesgo
Personas gritando 90 dB tiene de sufrir un accidente?
Reflexiona
§ Al principio de la unidad se planteó la necesidad de establecer escalas y comparaciones para representar
ciertos fenómenos. ¿Qué utilidad tienen para ello los logaritmos? Comenta con tus compañeros.
Unidad 1 • números 69
En general, el término en la posición n (lo llamamos an) puede determinarse mediante la fórmula 5 • 3n – 1.
Por lo tanto, para averiguar el valor de n, planteamos y resolvemos la ecuación
1937 102 445 = 5• 3n–1
387 420 489 = 3n–1
log 387 420 489 = log (3n–1)
log 387 420 489 = (n –1) log 3
log 387 420 489
= n –1
log 3
log 387 420 489
+ 1= n
log 3
Con calculadora se obtiene que n = 19, es decir, es el término que ocupa la posición 19.
Podrás aplicar lo aprendido aquí en los problemas que se presentan en la página 72.
Reflexiona
§ ¿Habías cometido ya alguno(s) de estos errores? ¿Cuáles?
§ Respecto de los que no, ¿te sirve estar advertido de la posibilidad de cometerlos?
§ Revisa los ejercicios que hayas resuelto en la unidad. ¿Qué errores has cometido? ¿Qué acciones puedes
tomar para no volver a cometerlos?
Unidad 1 • números 71
d. log ( x 2 +8x – 3) = 2 log ( x+5) log (2x +5) + log ( x – a) – log ( x +1) = log (2x + 8)
Evaluación
Determina un valor de a para el cual la ecuación
tiene solución, y otro para que no la tenga. Justifi-
f. log ( x –1) –log ( x – 5) = log ( x +7) –log ( x – 4) ca en cada caso.
g. log (2x – 3) –log ( x + 4) = log (2x+1) –log ( x – 9)
Autoevaluación
Evalúa tu aprendizaje utilizando el solucionario y completa la siguiente tabla. Si no alcanzaste el mínimo sugerido en las actividades propuestas, vuelve a las
páginas indicadas para repasar.
Recapitulemos
En grupos de 4 personas, respondan y discutan las siguientes preguntas.
¿Cuáles son los conceptos fundamentales de esta sección?
Ü ¿Qué contenidos te resultaron más difíciles?
Ü
¿Qué utilidad tiene lo que has aprendido?
Ü ¿Qué te resultó más interesante en esta sección?
Ü
¿En qué ámbitos se puede aplicar lo aprendido en esta sección?
Ü
¿Lograste cumplir los propósitos de esta sección?
Unidad 1 • números 73
Actividades complementarias
➊ ¿En qué otro contexto has escuchado la palabra cálculo? ¿Con qué se relaciona? ¿Qué relación
observas con lo leído en el texto?
➋ Consulta con tus padres y/o profesores: ¿qué artefactos tecnológicos utilizaban? ¿Cuál fue el
que más les llamó la atención cando apareció? Comenta con tus compañeros.
La escala temperada
Aproximación de números
irracionales La escala pitagórica presentaba
un problema: la razón entre
dos frecuencias sucesivas no
Orden y ubicación de es constante, lo que provocaba
números irracionales en la una gran descoordinación
recta numérica entre los músicos si querían
tocar una misma pieza pero
Determinación del tipo de en un tono más grave o más
resultado de una operación agudo. Esto motivó que Johan
entre números reales Sebastian Bach reconstruyera
una escala tomando una
Cálculo de raíces razón constante igual a 12 2
por definición . De esta manera consiguió 12
Síntesis
notas determinadas por las
siguientes frecuencias:
Operatoria entre
raíces enésimas 1, 12 2 , 12 4 , 12 8 ,
12
16 , 12 32 , 12 64 ,
12
128 , 12 256 , 12 512 ,
Racionalización 12
1024 , 12 2048
Propiedades de logaritmos
Ecuaciones logarítmicas
Johann Sebastian Bach
Unidad 1 • números 77
c. 7 = 4 x 2
Refuerzo
6
Aproximación de números irracionales 11 Calcula cuando sea posible el valor de las siguien-
3 Se sabe que 12 es un número irracional: tes expresiones. Si no es posible, justifica por qué.
Refuerzo
21 Resuelve los siguientes problemas.
17 Representa las siguientes raíces como otra raíz
equivalente, con el menor índice posible. a. ¿Cuál es la longitud de la arista de un cubo cuyo
15
volumen es 3 27cm3?
12
a. 94 c. 3020 • 610
b. Si a la raíz cuadrada de cierto número se le suma
x
b. 27
518 d. 5xy el doble de tres se obtiene el número 10. ¿Cuál
es el número?
18 Reduce las siguientes expresiones a una sola raíz.
Cuando sea posible, calcula su valor. c. ¿Cuál es el radio r de un cono de altura h igual a
πr2 •h
a. 87 • 4 7 25 cm y volumen (V) de 625 cm3? (V = )
3
a
b. xb • a y b Logaritmos
3 2
c. 4
3
Logaritmos
42
22 Expresa los logaritmos como potencias y las
d. 4• 6 potencias como logaritmos.
3
24
a. 54 = 625 d. log2 128 = 6
4
e. 3 3 3
b. 210 = 1024 e. log7 1= 0
x
f. 2 1
6 c. 10–3 = 0,001 f. log9 = –3
4y 243
g. 20 ( 4
52 : 4 4 2 )
4 3
h. 5m
Unidad 1 • números 79
b. log9
1
729
=x e. log216 6 = x
e. log 9b( (cd)3 )
3
64 ( 4x+7)
c. log 3 =x f. log4 x = 5 f. log 2
4
27 (9 – 5x)
Propiedades de los logaritmos 28 Aplica las propiedades de logaritmos para redu-
24 Calcula el valor de las siguientes expresiones. cir las siguientes expresiones a un solo logaritmo.
1 a. log a3 + 4 log b
a. 3 log4 16 + log3 81– log6 1
8 c
1 2 3 b. log –log cd
b. log 100 + log 1000 − log 10000 d
2 3 4
c. log a2 – log 3 b5 + log c 4
c. 3 log4 2 + log8 2
: 2
1–log2 16 log 1 8 d. log 3 a8 – 0,3 log c 3 + log (ac)
2
Aplicaciones de logaritmos
25 Aplica las propiedades de logaritmos para des-
componer las siguientes expresiones en términos 29 Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas.
de r, s y t, si r = log a, s = log b y t = log c.
a. log (2x +3) = 1
3
ab ab
a. log c. log b. log (3x –113) = 2
c c4
Refuerzo
Ahora que has reforzado los contenidos de la unidad, te sugerimos las si-
guientes actividades para que puedas profundizar tus conocimientos.
El número e
En ocasiones los bancos presentan el interés ofrecido en una inversión de
maneras distintas. Por ejemplo, es posible que se declare una tasa de inte-
rés anual de un 12% con pago semestral, trimestral, mensual, etc. En estos
casos, la tasa de interés se divide por el número n de períodos en que se
divide el año, y se realiza el pago de intereses n veces durante ese año (lo
que recibe el nombre de capitalización). Por ejemplo, si el capital inverti-
do es C con una tasa anual del 12%, se tiene que:
Profundizo
Guía
a. ¿En qué caso el monto obtenido al cabo de un año es mayor? ¿Siempre
ocurrirá así? Discute con tus compañeros.
b. Un banco ofrece una tasa de interés anual del 20% capitalizable semes-
tralmente, mientras que otro ofrece una tasa de interés del
10% anual. ¿Cuál es más conveniente para invertir? Justifica.
2 En 1619, el matemático suizo Jacob Bernoulli estudió un problema de
interés compuesto, en el que analizaba los beneficios de una cantidad
de dinero depositada con un interés anual del 100%, dependiendo de
los períodos en los que se capitalice a lo largo de un año.
a. Demuestra que si el interés es del 100% y se capitaliza en n períodos
durante el año, la fórmula que permite calcular el monto obtenido al
n
1
cabo de un año es 1+
n
b. Analiza lo que ocurre con el monto obtenido si el período de capitaliza-
ción es un mes, una semana o un día. ¿Qué observas?
3 El número e es un número irracional. Es la base de los logaritmos natu-
rales. Sus primeras cifras son: 2,718281828459045…
n
1
Su valor se estima 1+ .
n
Prueba valores para n = 1; n = 2; n = 5; n = 10; n = 100; n = 1000; n = 10 000
¿Qué puedes concluir? ¿Qué relación observas con las actividades anteriores?
Unidad 1 • números 81
a
B. 1+ C. +
3
D. *
C. a2 –1
Evaluación
E. +
D. 3a –1
8 Dos números a y b son tales que a ∈ℚ y b ∈ℝ.
E. 2
a +1,2 ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
3 La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide
25 cm y uno de sus catetos mide 12 cm. ¿Cuál es I. a, b ∈
la medida del otro cateto? II. (a + b) ∈
III. (a + b 2) ∈
A. 13 cm D. 169 cm
A. Solo I
B. 37 cm E. 481cm
B. Solo II
C. 13 cm C. Solo III
4 El valor 7 = 2, 64575… se aproxima por defec- D. I y II
to, considerando cuatro cifras decimales. ¿Qué E. II y III
número representa 4 + 7?
9 Se sabe que 3 ≤ a ≤ 5 y 0 ≤ b ≤ 4. ¿Cuál(es) de
A. 2, 6457 D. 6, 6457 las siguientes afirmaciones es(son) falsa(s)?
B. 2, 6458 E. 6, 6458 I. 3 ≤ a + b ≤ 9
C. 4, 6457 II. 0 ≤ a + b ≤ 20
III. 3 ≤ a + b ≤ 9
5 Considerando π = 3,14159, ¿qué resultado se
obtiene al redondear 3π a la décima? A. Solo I
Evaluación
I. 3 9 II. 3 81 III. 3 3
C. I y II
A. Solo I D. II y III
12 ¿En cuál de los siguientes casos los números
están ordenados de menor a mayor? B. I y II E. I, II y III
C. I y III
1+ 5
A. 2 2, 3, π, , 7 18 ¿Qué valor de a satisface la igualdad
2
1+ 5 36
B. 2 2, π, , 7, 3 3
27 – + xa = x ?
2 2
C. 1+ 5 A. 0
, 3, π, 2 2, 7
2 B. 1
D. 1+ 5
, 3, 7 , 2 2, π C. 2
2
1+ 5 D. –1
E. π, , 3, 2 2, 7
2 E. –2
Raíces 8
19 ¿Qué expresión resulta al reducir 50+ 32 – ?
2
13 ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son)
1 A. 8
equivalente(s)con (ax) ?
2
B. 8 2
a 3
I. x 3 II. a x III. ax C. 10 2
x x
A. Solo I D. II y III D. 9 – 4
C. I y II
Unidad 1 • números 83
te con 27+ 48 ? A. 4 D. 11
3
14 B. 7 E. 13
4
C. 9
A. 1
26 ¿Qué expresión se obtiene al reducir la expresión
B. 3
loga m – loga n + loga p?
C. 2 3 pn
A. loga
D. 3 m
2 pm
B. loga
E. Ninguna de las anteriores. n
p
C. loga
21 ¿Qué expresión se obtiene al racionalizar 2 5 ? mn
10 p
D. loga
A. 2 D. 5 50 m
p
B. 5 E. 50 E. loga
n
10
C. 2 50 27 Se sabe que logx a=3. ¿Cuál de las siguientes al-
ternativas representa una expresión equivalente
22 ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente con logx(ax)3?
1
con − 6 b12 ? A. 9
b
4 −6
Evaluación
B. 3ª
A. b D. b (b −1)
C. logx 3a
B. b2 E. b ( b − b) D. logx x12
C. b2 – b E. 3logx x
23 ¿Cuál es la solución de la ecuación 12+ 6x –1 = 4? 28 Sea log 9 = 0,95424. ¿Cuál(es) de las siguientes
igualdades es(son) correcta(s)?
A. 3 D. 5
2 I. log 3 9 = 0,31808
B. 4
E. 17 II. log 900 = 2,95424
C. 3 6 III. log 81 = 1,90848
2
A. Solo I D. II y III
Logaritmos
B. Solo II E. I, II y III
24 ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) C. I y II
verdadera(s)?
29 Si log a3=p y log b=q, ¿cuál es el valor de log a ?
I. La base de un logaritmo no puede ser b
negativa. A. p q – 6p
D.
3 3
II. Si a, b ∈ +
y a<b, entonces log a > log b.
B. p – 6q E. q + 6p
III. Si x2 > y2, entonces log x2 > log y2. 3 3
C. p + 6q
A. Solo I D. I y III 3
B. Solo III E. I, II y III
C. I y II
30 ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalen- 35 ¿Cuál es el valor de x en la ecuación log2 (x +1) = 2?
te con la expresión log 125 – log 45 ?
27 A. 0 C. 2 E. 4
A. 4 log 5 + log 3 D. 2 log 5 – 5 log 3 B. 1 D. 3
B. 2 log 5 + log 3 E. 2 log 5 + 5 log 3 36 El número de habitantes —en millones— de cierta
C. 4 log 5 – log 3 ciudad se puede calcular utilizando la expresión
2t
31 Si log 2 = a y log 3 = b, ¿qué alternativa represen- P(t)= 2 3
10 3
ta log 0,06?
Si t representa el tiempo en años, ¿cuánto tiempo
A. 6a D. a – b + 2 aproximado debe transcurrir para que la población
B. 2ab E. a + b + 2 de la ciudad sea de 200 millones de habitantes?
C. a + b –2 A. 1 año D. 4 años
32 Si log x= 0,7186, ¿cuál es el valor de log x2? B. 2 años E. 5 años
Evaluación
C. Juntas, (1) y (2).
III. log cd
ab D. Cada una por sí sola, (1) o (2).
A. Solo I D. I y III E. Se requiere información adicional.
B. Solo II E. II y III 38 ¿Cuál es el valor numérico de la expresión
C. Solo III loga b • loga b?
34 ¿Cuál es el valor de x en la ecuación (1) x=a (2) a = b
log (x+2) + log 3 = log 2?
A. (1) por sí sola.
A. 8 D. –
8
B. (2) por sí sola.
3 3
B. 3 4 C. Juntas, (1) y (2).
E. –
8 3 D. Cada una por sí sola, (1) o (2).
3
C. – E. Se requiere información adicional.
8
Autoevaluación
Evalúa tu aprendizaje con el solucionario y completa la siguiente tabla. Si no alcanzaste el mínimo sugerido en las actividades propuestas, vuelve a las
secciones correspondientes.
Contenido Mínimo sugerido Puedes repasar en la…
Números reales 9 respuestas correctas Sección 1
Raíces 8 respuestas correctas Sección 2
Logaritmos 12 respuestas correctas Sección 3
Unidad 1 • números 85
Palabras clave
Ü Semejanza Ü Teorema
Ü Criterios Ü Circunferencia
Ü Proporcionalidad Ü Ángulos
Ü Escala Ü Segmento
Unidad • eome r a 87
§ En una pintura, los del objeto, y ubicar luego su dedo pulgar sobre el pincel coincidiendo con el otro
objetos más lejanos extremo (ver imagen).
aparecen más pequeños.
¿Conoces otra forma de Esta técnica permite al pintor tener una
dar “profundidad” a un misma referencia para el tamaño de los ob-
dibujo? Explícala. jetos en la pintura, y así poderlos representar
de manera adecuada sin que se distorsione
en el cuadro.
Actividad grupal
Discute con tus compañeros.
➊ ¿Qué significa que una pintura sea proporcional a la escena real? ¿Qué relación existe entre las
medidas de cada objeto de la pintura con las reales?
➋ ¿En qué otras situaciones se representa un objeto, con distinto tamaño pero sin distorsionar
sus medidas?
➌ ¿Conoces alguna otra técnica para dibujar en un papel un objeto, respetando la relación entre sus
dimensiones originales? Explica cuáles.
Actividad
Calcular medidas de ángulos y segmentos en polígonos a.
F El ∆DEF y
4 Calcula en cada caso el valor de x con los datos 72º Y
el ∆YZX
que se indican.
a. c. D 70º E
X
x 3x b. O
El ∆MPO
x
y el ∆NPO
56º
b. x M N
P
7 Se sabe que ∆ABC ≅ ∆QRP. Además, el perímetro
del triángulo ABC es de 28 cm, AC = 10 cm y
45º 45º RP = 12 cm. Calcula la medida de QR.
Unidad • eome r a 89
1 Recorten –cada uno- una bandera de Nepal sobre una hoja de manera que
su lado inferior (AB) mida 12 cm.
a) ¿Les quedaron iguales las banderas? Si no, ¿en qué se diferencian?
b) Comparen sus banderas con las de otros compañeros. ¿Cuáles son las diferencias?
2 Las instrucciones para construir la bandera de Nepal se encuentran en el artículo
5 de su Constitución política, donde se describe paso a paso cómo hacerlo.
a) ¿Qué datos creen que son necesarios para construir una bandera como esta?
¿Cuáles solicitarían ustedes? Justifiquen.
b) Si alguien dice que la bandera está “mal construida”, ¿en qué aspectos se
fijarían para determinarlo? Justifiquen.
3 Las instrucciones indicadas en la Constitución son las siguientes:
3x
3x
3x
Las banderas que construyeron no son todas iguales entre sí, ya que pueden tener
distintas medidas, pero sí podemos observar que hay una forma que se mantiene, y
nos permite decir si está bien construida o no. Esta forma tiene que ver con los ángulos
involucrados y la relación que existe entre las medidas de los lados; por ejemplo, el
alto de la bandera siempre debe ser igual a 4 de la medida del largo.
3
En general, decimos que dos figuras planas son semejantes (se denota con el
símbolo ~) si tienen la misma forma, (es decir, si sus ángulos son respectivamente
congruentes) y entre cada par de lados correspondientes (llamados homólogos)
proporcionales. La razón entre las medidas de un par de lados correspondientes se
llama razón de semejanza (r). Por ejemplo, considerando dos banderas, tenemos que:
E
T
C D R S
Ayuda
Cuando escribimos la con-
gruencia o la semejanza de las
P Q figuras es conveniente respetar
A B
el orden de los vértices al
ABCDE ~ PQRST señalarla, es decir, que el orden
utilizado para la segunda
Se cumple que: figura corresponda con el de
BAE ≅ QPT CBA ≅ RQP DCB ≅ SRQ la primera.
EDC ≅ TSR AED ≅ PTS
AB BC CD DE
= = = =r
PQ QR RS ST
Siendo r un número real, distinto de cero. Observa que, en este caso, AB > PQ, por
AB
lo que = r es un número mayor que 1. Según sus valores, podemos decir que:
PQ
Si r > 1, ABCDE es una ampliación de PQRST.
Si r < 1, ABCDE es una reducción de PQRST.
Si r = 1, ABCDE es congruente con PQRST.
Unidad • eome r a 91
Escala
Una importante aplicación de la semejanza son las figuras a escala, que se utiliza
en la confección de mapas y planos. El siguiente ejemplo muestra el sector del Barrio
Bellavista, ubicado en la comuna de Providencia en Santiago, en él se observan algunas
de sus calles y lugares de interés turístico.
Practiquemos lo aprendido
Repaso Ejemplo: El cuadrilátero ABCD es semejante con el
AB BC CD DA
cuadrilátero OPQR, pues = = = = 2
1. Calcula en cada caso el valor de la razón. y además OP PQ QR RO
a) 1 : 4 c) 8 BAD POR; CBA QPO;
4
6 DCB RQP; CDA ORQ
b) 2 : 3 d)
5 5. Para cada par de polígonos semejantes identifica
2. Calcula el valor de x en cada proporción. los ángulos y lados correspondientes, el valor de
la razón y escribe la semejanza considerando el
a) 3 = 12 c) 12 = 9 orden de los vértices. Guíate por el ejemplo.
5 x x 21
C E
b) 25 = x d) x = 41 72º 1,2cm
52º
65 13 19 35 B
52º 1 cm
3. Calcula el área y perímetro de la siguiente figura. 0.96 cm 1,2 cm
8 cm 1,44 cm
56º F 72º
5 cm A 56º
4 cm 0,8 cm D
2 cm
2 cm 3 cm BAC EDF CBA FED ACB DFE
AB correspondiente con DE
Práctica guiada BC correspondiente con EF
4. Identifica todos los pares de figuras semejantes. AC correspondiente con DF
Guíate por el ejemplo. Razón = 1,2
W ∆ABC ~ ∆DEF
D 68º
a) P 2 cm
56º S R
53º
2m 2m 53º
7m
10 8
6m 3 cm 5 cm cm cm
V 101º 101º T 3 3
79º C
1m 1m 37º
37º
2 2m O Q
135º 4 cm T
A 4m B U
b) F 1m E
E 63º
4 cm 1,2 m 135º
A B 100 cm 101º 0,7 m
24º 125º 50 cm 45º 117º
2 cm G 1,4 m H
L 5 cm H 68º F 7m
N O
31º 117º 45º
45º 100 cm 50 cm
101º 3,5 m
C
G 6m
3 cm 3 2 cm
63º 135º
P 2m O M P
5m
2m 135º
c) Q
45º 3 2 cm
J K Q 79º
3 cm 3 2 cm
3m R
3 cm 135º
R Q X 2 cm W
34º 3,5 m 45º 135º 2 cm
P
56º 6 cm Z
4 cm
2 cm R
13 cm 12 cm 2 cm
56º 45º Y
S O
Unidad • eome r a 93
Practiquemos lo aprendido
Resuelve los siguientes problemas.
son siempre semejantes entre sí. Si no lo son,
10. Una fotografía cuyos lados medían 6 y 15 cm justifica dando un ejemplo.
respectivamente se reduce de tal forma que un
objeto que en ella medía 3 cm de largo, ahora a) Los triángulos equiláteros
mide 2 cm. ¿Cuáles son las nuevas medidas de los
b) Los rectángulos
lados de la fotografía?
c) Los triángulos rectángulos
d) Los cuadrados
e) Los triángulos isósceles
f) Los heptágonos
g) Los pentágonos regulares
Plano 7,5
22,5
37,5
30
7,5
Reflexiona
§ Cuando decimos que un ser humano es “mi semejante”, ¿en qué se parece el sentido que le damos a esta
palabra con el que se le da en matemáticas? Discute con tus compañeros.
Unidad • eome r a 95
a) Sean γ el tercer ángulo del triángulo ABC y γ’ el tercer ángulo del triángulo
A’B’C’. ¿Debe cumplirse que γ = γ’? Justifiquen por qué.
b) Midan los lados del triángulo ABC y los de A’B’C’, y analicen las siguientes
razones.
AB AC BC
AB AC BC
c) ¿Pueden concluir que ∆ABC ~ ∆A’B’C’, sabiendo que tienen dos pares de
ángulos correspondientes congruentes? Justifiquen.
2 Dibujen un triángulo ABC cualquiera y midan sus lados. Luego, construyan
dos triángulos PQR y XYZ, de manera que cada lado de PQR mida el doble de
los lados de ABC, y cada lado de XYZ mida el triple de los lados de ABC.
a) Midan los ángulos de los tres triángulos. ¿Son congruentes?
b) ¿Se puede concluir que ∆ABC ~ ∆PQR ~ ∆XYZ, si se sabe que la medida de
sus lados son proporcionales? Justifiquen.
Ayuda 3 Dibujen un ángulo α como el de la figura, y sobre sus rayos ubiquen los pun-
tos B y C (donde quieran) para construir el triángulo ABC.
Pueden utilizar un procesador
geométrico para realizar C
estas construcciones.
A α
C
B
C β
α ≅ α'
entonces, ∆ABC ~ ∆A'B'C'
α β ≅ β'
α β
A B A
Criterio lado – lado – lado (LLL): dos triángulos son semejantes si tienen tres
pares de lados respectivamente proporcionales.
C B
C
AB BC AC entonces,
= =
A'B' B'C' A'C' ∆ABC ~ ∆A'B'C'
A B A
Criterio lado – ángulo – lado (LAL): dos triángulos son semejantes si tienen
un par de ángulos respectivamente congruentes, y los lados que los forman son Razona
y comenta
respectivamente proporcionales.
§ Considera los siguien-
tes cuadriláteros:
C B
C D
AB BC δ
=
A'B' B'C' entonces, ∆ABC ~ ∆A'B'C' A α
γ C
α
α α ≅ α' β
B
A B A
S
1,2 • 1,2 •
γ R
En resumen P α
1,2 •
1,2 •
Q
Para determinar la semejanza de dos triángulos, existen tres criterios:
• Criterio ángulo – ángulo (AA) § ¿Son semejantes entre
sí? Traza una diagonal
• Criterio lado – lado – lado (LLL)
en ambos para justifi-
• Criterio lado – ángulo – lado (LAL) car tu respuesta.
Unidad • eome r a 97
F
b) M K
A C F
3 117º
K
b) I 6 cm H
y 45º
7 cm
L 60º 45º 3 cm
10 117º
L G
I
A B 45º
E D
C D 72º
E F
G H
I J
45º
a) AB : CD d) EF : (AB+GH) F
b) IJ : EF e) GH : IJ A
72º
B
c) CD : GH f) (IJ+CD) : AB BAC ≅ EDF
Práctica guiada ACB ≅ DFE
A G
x 7 33º
2 30
H 10 O
B C B C
3 6
I 21
Paso 1 Se establece la proporción 6 = x , que
3 2 33º
Practiquemos lo aprendido
b)
X J ∆ABC ~ ∆A B C .
xm C
z
3 3,16 A 38º 72 cm C
k
6,32 6 A w
0,7 m 60 cm
K L 1,26 m y cm
2,5
53º B
Y Z
5 B
Aplica
8. Comprueba que si dos triángulos son semejantes,
5. Identifica, entre los siguientes triángulos, tres la razón de sus perímetros coincide con la razón
pares de ellos que sean semejantes entre sí. de semejanza.
Escribe el criterio aplicado. 9. En dos triángulos semejantes ¿Qué relación
F M existe entre la razón de semejanza y la razón de
18 35º 53º Ñ
J sus áreas? Experimenta con diversos ejemplos y
D 92º
5 92º formula una conclusión.
A 9
L N
E I 10
Q
10. Utiliza criterios de semejanza de triángulos
4 5 6 53º
18 para demostrar que las siguientes figuras son
4
G 8 semejantes entre sí. Traza diagonales para
K P
B C 3 35º descomponerlas en triángulos.
2 O 10
H
a) D 4
C
6. Analiza cada figura e identifica en ella los triángulos 117º
que son semejantes. Indica el criterio aplicado.
a) C
H 2 G
4
117º
2
A B
D 117º 117º
A B E F
b) MN = 4 cm, NÑ = 6 cm, ÑO = 7,5 cm, PO = 3 cm,
MP = 2 cm.
O b) I
P 67º 1,25
1,25
D
M J H
67º
N 5 5
Ñ 2
c) MJ = 5 cm, JL = 3 cm, JK = 3,6 cm, NJ = 6 cm.
E C
Ñ F G
N
8 9
O 35º 35º J
M L
A B
K
Reflexiona
§ ¿Cómo definirías lo que es un criterio? Explícalo con tus palabras.
§ ¿Qué semejanzas ves entre los criterios de semejanza y los criterios de congruencia de triángulos? ¿Qué
diferencias. Comparte tus conclusiones con tus compañeros.
Unidad • eome r a 99
Homotecia y semejanza
La Luna es mucho más pequeña que el Sol, pero
cuando hay un eclipse solar total parece cubrirlo
completamente. Lo que ocurre es que desde la Tierra
parecen ser del mismo tamaño, o como se dice en
geometría, desde la Tierra son figuras homotéticas.
Paso 2 Haz clic sobre el botón , Paso 4 Al trazar las rectas anteriores se
Refleja objeto en recta, y selecciona forman dos triángulos (en este ejemplo,
el último botón de la lista desplegable, ECD y EC’D’).
Homotecia desde un punto por un
Con la herramienta , Distancia o Lon-
Factor de Escala. Luego haz clic sobre el
gitud, mide los lados de estos triángulos.
polígono, sobre el punto y finalmente in-
gresa el número 2 en la ventana que se
desplegará. Luego presiona OK.
Homotecias Homotecias
Inversas (k<0) Directas (k>0) Razona
y comenta
En resumen
§ ¿Existe una homotecia
Una homotecia es una transformación geométrica que permite construir una figura seme- de razón 1?
jante a la original, con lados paralelos a esta. Para aplicar una homotecia se debe considerar: § ¿A qué transformación
• El centro de homotecia punto (O). A partir del cual se alinean los vértices de la figura isométrica equivale
original y de la figura imagen. una homotecia de
razón –1? Justifica.
• La razón de homotecia (K). Es la razón de semejanza entre la figura resultante y la original.
§ Dadas dos figuras
• Si k > 0 la homotecia es directa, la figura original y resultante están al mismo lado homotéticas, ¿cómo
del centro puedes determinar su
• Si k < 0 la homotecia es inversa, la figura original y resultante están en lados opuestos centro de homotecia?
al centro Explica.
Paso 2
2
1. Calcula en cada caso la razón de semejanza entre los segmentos OM , ON y OP deben
la figura B y la figura A. medir la mitad de los segmentos OM, ON
4,5 Figura A y OP, respectivamente.
a) B D E
Se ubican, por lo tanto, los puntos M , N y P
2 en la mitad de los segmentos OM, ON y OP.
3 N
A 3 C N
P
Figura B
F P
O
Figura B
b) 1
H G M
Figura A M
0,5 1 1
D C
1
0,5 0,5 a) k =
3 Z
A B E F
0,5 1 O
X
c) I
Y
5 5
Figura A
J H b) k = 2
D S
3 3
E C 5 5 O
R
3 3 P
A 3 B F 5 G Q
Figura B
Práctica guiada c) k = –3
O
B C
2. Aplica en cada caso la homotecia correspondiente
según el centro de homotecia (O) y la razón de
homotecia (k). Guíate por el ejemplo. A D
N
1
O d) k= –
P 2
A D
1
k=
2
B C
M O
Paso 1 Se trazan las rectas OM, ON y OP, y se Aplica
miden los segmentos OM, ON y OP.
3. Asocia a cada figura la razón de homotecia que le
N
corresponde respecto de la figura original ABCD.
P
1
B
O 1 C
1 A
O
D
1,5
M
1,5
Practiquemos lo aprendido
b) A un triángulo equilátero de perímetro 24 cm se
a) B le aplica una homotecia de razón 1 .1¿Cuál
4 es el
Figura imagen 4 32 2
B perímetro del nuevo triángulo?
C
C c) A un triángulo rectángulo de catetos 8 cm y 10 cm
2
3 se le aplica una homotecia de razón1 1. 4¿Cuál es el
4 Figura original 32 2
área y el perímetro del nuevo triángulo?
A d) A un cuadrado de lado 4 cm se le aplica una ho-
A motecia de razón 2. ¿Cuál es el área y el períme-
b) 3 C 1 O
C
1,5 tro del nuevo cuadrado?
A 1
e) Dibuja un triángulo rectángulo de área 12 cm²
B y luego aplica sobre él una homotecia de razón
A Figura imagen 3 con centro de homotecia en el vértice de su
3
ángulo recto. ¿Cuál es la suma de los perímetros
Figura original
B de ambos triángulos?
Reflexiona
§ Un proyector (como el de un cine), ¿construye una homotecia? ¿Con qué centro y razón? Investiga y discute
con tus compañeros.
Podrás aplicar lo aprendido aquí en los problemas que se presentan en la página 106.
4 cm
6 cm
Razona
y comenta
§ ¿Cuál es el error cometido por Martina?
§ ¿Qué otros errores se pueden cometer al construir figuras semejantes?
Reflexiona
§ ¿Habías cometido ya alguno(s) de estos errores? ¿Cuáles?
§ Respecto a los que no, ¿te sirve estar advertido de la posibilidad de cometerlos?
§ Revisa los ejercicios que hayas resuelto en la unidad. ¿Qué errores has cometido? ¿Qué acciones puedes
tomar para no volver a cometerlos?
a. C 75º C V W P Q
R B 3 cm
1 1,2
K
40º P 40º
A B
F
5 J
6 12 cm
30º
b. D B Q 10 cm
80º
30º
M D E
5 80º L 2,5 cm
7 G I
Q
70º N
N
C 3 2
70º R
A
9 cm 6,5 cm
c. C
Y
75º
5 O M
3 U H
8 8 X
Z 65 cm
39 cm
A B
3 Resuelve los siguientes problemas.
a. Un mapa está confeccionado a escala T S
1 : 100 000. Las ciudades A y B están a una dis-
tancia de 50 km. ¿A qué distancia en el mapa se
encuentran los puntos que las representan?
5 Cada uno de los siguientes pares de triángulos es Lección 15: Homotecia y semejanza
semejante. Determina en cada caso la medida
del lado que falta. 7 Considera las siguientes figuras.
a. 3 cm
9 cm B
12,5 cm x
A
b. O
9,3 cm
C
y
2,4 cm
7,2 cm D
Evaluación
a. Identifica los triángulos semejantes presentes en la 8 Resuelve los siguientes problemas.
figura. ¿Qué criterio permite afirmar la semejanza? a. A un triángulo equilátero de perímetro 54 cm se
b. Determina la medida de BC y EC. le aplica una homotecia de razón 1. ¿Cuál es el
3
c. Calcula el perímetro del triángulo ABC. perímetro del triángulo que resulta?
d. Sean F y G puntos medios de BD y CE. El triángulo b. A un triángulo rectángulo de cateto 12 cm e hipo-
AFG, ¿es semejante con los anteriores? Justifica. tenusa 20 cm se le aplica una homotecia de razón 4.
¿Cuál es el área y el perímetro del nuevo triángulo?
Autoevaluación
Evalúa tu aprendizaje utilizando el solucionario y completa la siguiente tabla. Si no alcanzaste el mínimo sugerido en las actividades propuestas, vuelve a las
páginas indicadas para repasar.
Indicador Mínimo sugerido Puedes repasar en la(s) página(s)
Identificar y caracterizar polígonos semejantes en diversos contextos. 2 respuestas correctas 90 y 92
Comprender y aplicar los criterios de semejanza de triángulos. 2 respuestas correctas 96 y 97
Analizar y construir homotecias. 2 respuestas correctas 100 y 101
Recapitulemos
En grupos de 4 personas, respondan y discutan las siguientes preguntas.
Ü ¿Cuáles son los conceptos fundamentales de esta sección? ¿Qué contenidos te resultaron más difíciles?
Ü
Ü ¿Qué utilidad tiene lo que has aprendido? ¿Qué te resultó más interesante en esta sección?
Ü
Ü ¿En qué ámbitos se puede aplicar lo aprendido en esta sección?
¿Lograste cumplir los propósitos de esta sección?
Teoremas de semejanza
¿Qué aprenderás? ¿Dónde? Es importante porque te permitirá…
A comprender y aplicar el teorema de Thales sobre trazos analizar y calcular medidas de segmentos
Lección 16
proporcionales. proporcionales.
A demostrar y aplicar los teoremas de Euclides relativos a resolver problemas relativos a la proporcionalidad
Lección 18
proporcionalidad de trazos. de los trazos de los triángulos rectángulos.
Paralelismo
Ü cuidadosamente aprendidas y puestas en
Proporcionalidad
Ü práctica, que permiten crear efectos sor-
prendentes.
Perspectiva
Ü
Semejanza
Ü Un buen ejemplo de ello son las perspectivas en los cuadros y algunas ilusiones
ópticas que, aprovechando lo que nuestro cerebro desea interpretar, nos hacen “ver”
§ ¿Cómo verificas si dos cosas donde no las hay. En las figuras de
rectas son paralelas esta página, por ejemplo, se aprovechan
entre sí? Explica. algunas rectas paralelas para hacernos
creer que las líneas marcadas en verde
no son del mismo tamaño cuando en
realidad sí lo son… ¿o no?
Actividad grupal
En parejas, lean y realicen las siguientes actividades.
➊ ¿Conocen otras ilusiones ópticas que se generan con rectas paralelas? ¿Cuáles? Investiguen y
expónganlas al curso.
➋ ¿En qué consiste el punto de fuga? Investiguen en internet o con su profesor(a) de artes visuales, y
realicen un dibujo de alguna parte de su colegio utilizándolo.
a. 1 3 L1//L2
3.6
b. 5 6 L1 1 2 4 Calcula en cada caso el valor pedido.
c. 7 4 4 3
a. En un triángulo rectángulo uno de sus catetos
d. 1 4 mide 5 cm, y su hipotenusa mide 7 cm. ¿Cuál es
L2 5 6 la medida del otro cateto?
e. 8 2
8 7
f. 4 6 b. En un triángulo isósceles rectángulo su hipotenusa
mide 18 cm. ¿Cuál es la medida de cada uno de
g. 6 3 sus catetos?
h. 8 1 Aplicar propiedades de las proporciones
Actividad
80° b. 4 = 7 e. 13 = k+1
β δ γ L1 x –1 10 3 k–2
c. 2b –1 = 5– 3b f. x – 3 = x–5
45° α L2 3 2 x+4 x+6
6 Determina en cada caso el término que falta en
L₁ // L₂ cada proporción, considerando que:
L₃ // L₄
a c
Aplicar el teorema de Pitágoras =
b d
3 Aplica el teorema de Pitágoras para calcular el
valor de x en cada caso. a. a = d. =
b+a
c d c a
a. b. = d
b
e. a+b =
4 a
x c+d d
a+c
c. = f. c+d = c
c d a+b
5
Teorema de Thales
Historia… Teorema particular de Thales
Thales vivió
alrededor
Taller
del año Lee y realiza las siguientes actividades.
640 al 560
a.C. en Jaime (J) y Gonzalo (G) suben un cerro por
Mileto, Asia menor (actual distintas laderas para realizar una exploración.
Turquía). Es considerado el Acordaron comunicarse al alcanzar los 500 me-
primero de los siete sabios tros de altura, como se muestra en la figura. El Nevado Ojos del Salado es el volcán más alto del
de Grecia. Padre de las mundo y se ubica en Chile. Su altura es de 6891 m
C sobre el nivel del mar.
matemáticas y la filosofía
griega, fue el primero en 500 metros J G
intentar explicar el mundo a
través de causas naturales, 750 metros
aplicando la razón y no
acontecimientos divinos A D B
de la creación. También fue
un gran astrónomo. Se dice 1 La altura CD del cerro es de 750 metros. ¿Qué parte de esta altura han subido
que logró predecir el eclipse Jaime y Gonzalo?
solar del año 585 a.C.
2 La distancia AJ que ha recorrido Jaime es de 800 metros. ¿Cuál es la distancia
JC que le falta por recorrer? Explica cómo calcularlo.
3 La distancia BG que ha recorrido Gonzalo es de 600 metros. ¿Cuál es la dis-
tancia GC que le falta por recorrer? Explica cómo calcularlo.
4 Plantea una proporción que relacione las medidas AJ, JC, BG y GC.
Ambos escaladores han subido 500 metros de altura, aunque para hacerlo han
debido recorrer distancias distintas. Lo que les falta por recorrer para llegar a la cima
es distinto para cada uno de ellos, pero se encuentra en la misma proporción con lo
que ya han recorrido. Es decir:
CJ CG
=
JA GB
Para que esto se cumpla ambos deben estar a la misma altura respecto del suelo;
en ese caso se observa que AB // JG. Este resultado podemos expresarlo como el:
Teorema particular de Thales: Si dos lados de un triángulo son cortados por
P una recta paralela al tercer lado, esta determina sobre
ellos segmentos proporcionales entre sí.
Q S
PQ PS
QS // RT → =
QR ST
R T
Además, ∆PQS ~ ∆PRT por criterio AA, por lo que se verifica la proporción:
PQ PS QS
= =
PR PT RT
E H
B
D
C G
B
C
L1
r L1 // L2 p r
p
L1 L1 // L2
s s q
q
L2 L2
L1
p r
L2 L1 // L2 // L3
q s
L3
En ellos los segmentos que determinan las rectas paralelas en las transversales
son proporcionales entre sí, es decir, p = r . Considerando las tres combinaciones
posibles, podemos enunciar el: q s
Teorema general de Thales: si tres o más rectas paralelas son cortadas por dos
o más transversales se determinan sobre las transversales segmentos proporcionales
entre sí.
Ayuda
Dada la afirmación “a implica
Recíproco del Teorema de Thales
b” (o “si a, entonces b”), se Hemos visto que rectas paralelas determinan segmentos proporcionales sobre
llama recíproco de ella a la
las transversales que las cortan. En el dibujo se verifica la proporción AB = DE . ¿Son
afirmación “b implica a”. BC EF
paralelas las rectas AD, BE y CF?
El recíproco del teorema de
Thales se cumple también en A D
los casos particulares:
B E
A C F
B D
C E
La respuesta es afirmativa, y constituye el:
Recíproco del teorema de Thales: si dos o más rectas son cortadas por dos
E C transversales, determinando sobre estas últimas segmentos proporcionales, dichas
A
rectas son paralelas entre sí.
B D
AB AD
= → BD // CE
AC AE
Q S
4 cm 6 cm A D
x–5 6
R T B E
x–7 10
Por teorema de Thales se tiene que: C F
PQ PS
=
QR ST
¿Es posible la situación?
Por lo tanto, Justifica.
3 x 18
= → 3• 6 = 4x → x = → x = 4,5 cm
4 6 4
Ejemplo 2: En la siguiente figura, OQ // PR. Denise debe trazar una recta ST, paralela
a OQ y PR. ¿A qué distancia de Q debe ubicarse el punto T?
O
2 cm
S Q
3 cm T 10 cm
P
Sea x la distancia QT, y con ello TR = 10 – x. Para que la recta ST sea paralela a OQ
y a PR, debe cumplirse que:
2 x
= → 2(10 − x ) = 3x → 20 − 2x = 3x → x = 4
3 10 − x Razona
y comenta
Por lo tanto, T debe ubicarse a 4 centímetros del punto Q. § En general, ¿es cierto
siempre el recíproco de
un teorema? Justifica.
§ ¿En qué situaciones
En resumen convendría utilizar el
Teorema de Thales: Tres o más rectas paralelas que cortan a dos o más recíproco del Teorema
transversales, determinan sobre ellas segmentos de Thales para trazar
dos rectas paralelas?
proporcionales.
Inventa una situación
Recíproco del Teorema de Thales: Si tres o más rectas determinan segmentos en que lo sea, y otra
proporcionales sobre dos transversales, entonces las rectas en la que no resulte
son paralelas entre sí. directo hacerlo.
c) c≅ d g) b≅ d B
D
A
d) d≅ e h) a≅ e
c) AB // CD // EF, AC = 2 cm, CE = 3 cm, BD = 2,5 cm,
2. Aplica propiedades de proporciones para calcular DF = x cm
en cada caso el valor de x.
A B
a) x = 9 d) 3 = 1
5 15 2 x C D
b) = 12
2 e) x + 5 = 3 E F
7 x 4 16
c) 4 = 16 f) x + 1
=
4
d) AB // CD // EF, AC = 8 cm, CE = x cm, BD = 5 cm,
6 x 2x + 7 3 DF = 4 cm
Práctica guiada B 5 cm 4 cm F
D
3. Calcula el valor de x en cada figura. Guíate por x cm
E
A C
el ejemplo: 8 cm
Ejemplo: AB // DE, CD = 24 cm, DA = x,
CE = 20 cm, EB = 5 cm. e) ED // ACED = 12 cm, DB = (2x + 5) cm,
AC = 8 cm, BA = (x + 4) cm
C
4 A
24 cm 20 cm
24 20
= E
C
D E
24+x 25 B
x 5 cm 5
A B
24 • 5 = 4 (24 + x ) D
B
A F
Practiquemos lo aprendido
determinar en cuál(es) de los siguientes casos
las rectas por las que se pregunta son paralelas. 5. Resuelve los siguientes problemas:
Guíate por el ejemplo. a) Antonia y su hermana Camila se encuentran a 50
A
AC = 8 cm cm de distancia una de otra y a cierta hora Anto-
B
CE = 4 cm nia genera una sombra de 120 cm. Si las sombras
C D BD = 6 cm terminan en un mismo punto y se sabe que Cami-
DE = 2 cm la mide 1,45 m y es más alta que su hermana, ¿cuál
E ¿AB // CD? es la altura aproximada de su hermana?
b) Tres arboles están alineados, y ordenados de me-
Paso 1 Se calcula la razón entre los segmentos
nor a mayor tamaño. El árbol de menor tamaño
determinados sobre las transversales.
mide 90 cm de altura; el de mayor tamaño, 3,6 m
AC 8 BD 6 y la distancia entre ellos es de 4 metros. Si el árbol
= = 2 = = 3
CE 4 DE 2 restante equidista a los otros, ¿Cuál es su altura?
Paso 2 Se concluye que, dado que los valores de c) Un edificio genera una sombra de 100 m. A la
las razones no son iguales, los segmentos misma hora, una casa vecina al edificio genera
no son proporcionales y, por lo mismo, una sombra de 15 m. Si el edificio mide 40 metros
las rectas no son paralelas. de altura, ¿Cuál es la altura de la casa si su sombra
termina en el mismo punto que la sombra
a) E
EA = 2 cm del edificio?
AC = 4 cm
A B EB = 3 cm 6. En la figura AD // BE // CF . Si AB : AC=1 : 4 y
BD = 6 cm EF = 2AB = 30 cm, calcula la medida del segmento DF.
C D ¿AB // CD?
A D
B E
b) AE = 18 cm
A ED = 12 cm C F
B
E BC = 35 cm
EC = 14 cm
C
7. Sean tres rectas, AB, CD y EF, paralelas entre sí,
D ¿AB // CD? cortadas por dos transversales en los puntos A, C,
E y B, D, F respectivamente. Verifica la veracidad o
c) AC = 8 cm falsedad de las siguientes proporciones.
A B
AE = 23 cm
BF = 11,5 cm
a) AC = BD c) AB = CD
C D
DF = 7,5 cm
CE DF CD EF
E F
¿AB // CD // DF? b) AE = CE d) AC = CE
BF DF CD EF
8. Desafío: se cuenta que Thales, en una visita a
d) A C
AC = 2x cm
F
CF = 3x cm las pirámides de Egipto quedó tan embelezado
BD = 18k cm ante estos monumentos que quiso saber
B BE = 45k cm inmediatamente su altura.
D
E ¿AB // CD // EF? Para hacerlo se valió de una relación de semejanza
entre dos triángulos rectángulos. Averigua y des-
cribe el procedimiento utilizado por Thales.
Reflexiona
§ Existen edificios cuyas paredes no forman ángulos rectos con el suelo. ¿Cómo se verifica en ellos que cada uno
de los pisos sea efectivamente horizontal? Justifica y comenta con tus compañeros.
L2
L1
Paso 1 Sea AB el trazo que representa Paso 3 Al último punto marcado sobre
la viga que se va a dividir. Construye el el rayo AC le llamaremos Q. Se traza el
ángulo BAC, de la medida que quieras. segmento QB.
C Q C
P
A B A B
Paso 2 Ubica un punto P sobre el rayo Paso 4 Por cada uno de los puntos
AC. Con el compás, toma la medida de ubicados en el rayo AC se trazan rectas
AP y cópiala 6 veces consecutivas sobre paralelas a QB. Se divide así el segmento
Ayuda el rayo AC. AB en 7 partes iguales.
Por teorema particular
de Thales: C C
PA 1 AT Q
= =
PQ 6 TB
Es decir, 6AT = TB
Luego, P P
AB = AT + TB A B A B
= AT + 6AT T
= 7AT
A B
P
D
A B
Paso 2 Desde P copia tres trazos de una Paso 2 Con una misma medida copia 2
misma medida q (q = 3), obteniendo el trazos (p = 2) en el rayo AC obteniendo
punto Q. Luego une Q con B. En P traza P y con la misma medida 3 trazos (q = 3)
una recta paralela a QB determinando en el rayo BD determinando Q.
R en AB. Une P con Q, determinando R en AB.
C C
Q
P
A B
P R
A R B
Q
D
El punto R divide al segmento en la El punto R divide al segmento en la
razón pedida. razón pedida.
Razona
y comenta
§ Un punto divide a un segmento en razón 1:1. ¿Qué significa esto?
§ Inventa una forma para dividir un segmento en una razón dada utilizando otro caso del
teorema de Thales.
considerando la figura.
1. Utiliza regla y compás para determinar o construir
0 cm 10 cm 20 cm 30 cm
en cada caso lo que se pide.
a) El punto medio del segmento AB. Q D A R E P B T F
Practiquemos lo aprendido
a) El punto B, al segmento AD. • El punto Q divide exteriormente al segmento AB
en razón y+z .
b) El punto F, al segmento BG. z
a) ¿En qué razón divide el punto A al segmento PB?
c) El punto C, al segmento AE.
¿Qué relación observas entre esta razón y aquella
d) El punto E, al segmento CG. en la que P divide al segmento AB?
e) El punto D, al segmento AE. b) ¿En qué razón divide el punto B al segmento AQ?
¿Qué relación observas entre esta razón y aquella
f) El punto B, al segmento AG. en la que Q divide al segmento AB?
6. Resuelve los siguientes problemas. c) Si un punto R divide exteriormente a un segmen-
a) El punto P divide interiormente al trazo AB en la to AB en razón 3 , ¿a qué lado del punto A
razón 7 : 5, AP = (x + 1) cm y PB =2x cm. Calcula se encuentra? 7
el valor de x. d) Si un punto W divide exteriormente a un seg-
b) El punto P divide al segmento AB en razón 3k. mento AB en una razón mayor que 1, ¿a qué
Si AP = k + 5 cm y PB = 7 cm, calcula la medida lado del punto A se encuentra? Compara con lo
del segmento AB. obtenido en la pregunta anterior. ¿Qué puedes
concluir?
c) El punto P divide al segmento AB en razón
3 : (m + 1), de modo que AP = 5 cm, y e) Determina un método para dividir exteriormente
PB = (m+2) cm. Calcula el valor de m. un segmento aplicando el teorema de Thales.
d) Un trazo se divide interiormente en la razón 4 : f) Aplica el método anterior para dividir exte-
7. Si este mide 55 cm, ¿cuál es el cuadrado del riormente un segmento de 10 cm de largo en
segmento de menor medida que se forma? razones 4 y 9 .
9 4
e) Un trazo de 32 cm se divide interiormente en la 8. Desafío: utilizando regla y compás, construye
razón 5 : 3. Si sobre los segmentos que se forman una homotecia del triángulo ABC, con centro O
se construyen dos cuadrados, ¿cuál es la suma y razón 4 : 3.
de las áreas de ambos cuadrados? ¿Cuál es el
C
perímetro del cuadrilátero que se forma?
O
f) Un trazo se ha dividido interiormente en la razón
5 : 1. Si la medida del segmento mayor que se
forma es 30 cm, ¿cuál es la quinta parte de la
A
medida del segmento de menor medida?
B
7. Desafío: Considera el segmento AB, y los puntos
P y Q ubicados en sus prolongaciones.
x y z
P A B Q
Decimos que:
• El punto P divide exteriormente al segmento AB
en razón x .
x+y
Reflexiona
§ ¿Será posible dividir un segmento en razón 3 ? Investiga y discute un procedimiento con tus compañeros.
2
hc² = p • q
A q D p B
b) El cuadrado de la medida de un cateto es igual al producto entre su proyec- q+p=c
ción y la hipotenusa
a² = p • c Aplicando el teorema de
Pitágoras a los triángulos DBC
b² = q • c
y ADC se obtiene las siguientes
Esta relación nos permitirá calcular las medidas de algunos segmentos en un igualdades:
triángulo rectángulo, como se muestra en el siguiente ejemplo. a2 = p2 + hc 2
Ejemplo: calcula el valor de x en la siguiente figura. b2 = q2 + hc 2
Paso 1 Establecemos las relaciones entre los distintos segmentos presentes en el Sumando término a término:
triángulo según el teorema de Euclides.
a2 + b2 = p2 + q2 + 2hc 2
R
PQ² = QS • QR Como ABC triángulo rec-
tángulo, sabemos que
PR² = RS • RQ c 2 = a2 + b2 por teorema
x cm
PS² = QS•RS de Pitágoras, entonces
S
c 2 = p2 + q2 + 2hc 2
3 cm
Y como c = p + q se tiene:
P Q
6 cm (p + q)2 = p2 + q2 + 2hc 2
Paso 2 Remplazamos las medidas de los segmentos en las relaciones anteriores,
p2 + 2pq + q2 = p2 + q2 + 2hc 2
para calcular los términos faltantes:
PQ = 6 cm QS = 3 cm PR = x cm De donde se deduce:
Tenemos que: 2pq = 2hc 2
PQ² = QS • QR → 62 = 3 • QR → 36 = 3 • QR → QR = 12 cm p • q = hc 2
Ya que:
RQ = QR = RS + QS → 12 = RS + 3 → RS =9 cm
Por lo tanto:
=
PR² = RS • RQ → x² = 9 • 12 → x² = → x = 6 3
108
Razona
Entonces, x = 6 3 cm. y comenta
§ Analiza si en un trián-
En resumen gulo ABC, rectángulo
en C, se cumplen las
El teorema de Euclides afirma que si ABC es un triángulo B
siguientes relaciones:
rectángulo en C, y hc es la altura relativa a la hipotenusa, se
cumple que: p a2 p
a
c =
hc² = p • q a² = p • c b² = q • c b2 q
D
Donde p y q son las proyecciones de los catetos a y b hc q a•b
correspondientemente sobre la hipotenusa. C A
hc =
b c
a) F
a) 95° 3 4,5
2 3
51° x
A 4 C D 6 E
b) x b) B 3 C
62° 57° 4 F
c) x 1,5
2x A D 2 E
c) D F
2x 27º 135º
B C
27º 135º
d) x
8
x+22° 5
A E
Práctica guiada
2. Construye la altura de los siguientes triángulos en
dos de sus vértices. 4. En el triángulo ABC, rectángulo en C, D es el pie de
la altura trazada desde la hipotenusa. Calcula en
a) cada caso el valor de x. Guíate por el ejemplo.
B
D
AB = 8 cm
BD = 2 cm
BC = x cm
b) C A
Aplica
Practiquemos lo aprendido
c) La altura respecto a la hipotenusa en un triángulo
ABC rectángulo en C mide 12 cm, y los segmen-
5. Considera cuatro triángulos ABC llamados T1, T2, tos que ella determina sobre la base están en la
T3 y T4. Todos son rectángulos en C, con D pie de razón 9 : 16. ¿Cuál es la longitud de cada lado
la altura trazada desde la hipotenusa, AC = b. del triángulo?
AB = c, BC = a, BD = p, AD = q, CD = hc. Completa
la siguiente tabla. d) La base de una escultura tiene 2 m de ancho. Dos
focos luminosos, uno por delante y otro por atrás,
T1 T2 T3 T4 se ubican a 4 m y 6 m de distancia de la base
a 4 cm 7 cm respectivamente para iluminar la cúspide de la
b 3 cm 24 cm 6m escultura. Los rayos de luz se intersecan forman-
c 5 cm 25 cm do un ángulo recto. Calcula:
hc • la altura de la escultura.
p 9 cm • las distancias a las que están los focos de
q 4 cm 3m la cúspide.
6. Calcula los valores de x e y en las siguientes figuras. 8. Desafío: la distancia de una recta a un punto en
el plano cartesiano se define como la longitud
a) del segmento perpendicular a la recta trazado
desde el punto. Observa que en la figura la
X distancia de la recta representada por la función
30 cm 4
afín y = – x+8 al origen está representada por el
y 3
segmento AD.
40 cm
C Y
b) y
D
16 cm X
x A B
25 cm
c) y 8 cm
a) Determina los puntos de intersección de la recta
6 cm con los ejes X e Y.
X
b) ¿Cuánto mide el segmento AB y el segmento AC?
7. Resuelve los siguientes problemas: c) Calcula la longitud del segmento AD ¿cuál es la
4
a) En un triángulo ABC rectángulo en C se sabe que distancia de la recta y = – x + 8 al origen?
AB = 1m, BC = 80 cm y AC = 60 cm. Calcula las 3
medidas de las proyecciones de los catetos sobre d) Calcula la distancia entre la recta que representa
4
la hipotenusa y la altura respecto a la misma. a y = – x + 4 y el origen del plano cartesiano.
3
b) Los catetos de un triángulo rectángulo están en e) Determina una fórmula para calcular la distancia
la razón 3 : 4. Si la altura respecto a la hipotenusa mide al origen de la recta representada por la función
0,84 m, ¿cuánto mide la hipotenusa del triángulo? afín y = mx + n.
Reflexiona
§ Considera un triángulo PQR, rectángulo en su vértice Q. ¿Cómo plantearías en él el teorema de Euclides?
§ En general, ¿qué cuidados crees que se deben tener en matemática al nombrar los elementos y enunciar un
teorema? Comenta con tus compañeros.
a c A q p B
C b A
Paso 2 Se construyen cuadrados sobre los catetos, y sobre la hipotenusa se construyen
rectángulos de lados q y c, y p y c.
§ Los números naturales
a, b y c que cumplen con
la relación a2 + b2 = c2 se
llaman tríos pitagóricos.
Ejemplo: 3, 4 y 5.
32 + 42 = 52 C
9 + 16 = 25 b
a hc
A q p B
Historia… c
a
b h
A x D c–x B
c
Paso 2 Se observa que los triángulos ADC y BDC son rectángulos en D. Se cumple en
ellos el teorema de Pitágoras.
a² = (c – x)² + h² → h² = a² – (c – x)²
b² = x² + h² → h² = b² – x²
Por lo tanto, Se igualan las expresiones
a² – (c – x)² = b² – x²
a² – (c² – 2cx + x²) = b² – x²
a² – c² + 2cx – x² = b² – x²
a² – c² + 2cx = b²
Por hipótesis, c2 = a2 + b2
a² – (a² + b²)+ 2cx = b²
a² – a² – b²+ 2cx = b²
2cx = 2b²
cx = b • b
c b
=
b x
Paso 3 Se observa que en los triángulos DAC y CAB:
CAD ≅ CAB
c b = CAD ~ CAB por criterio LAL
=
b x
Por lo tanto, CDA ≅ ACB. Pero CDA = 90°, por lo tanto,
ACB = 90°
Es decir, hemos demostrado que si en un triángulo se cumple que la suma de los
cuadrados de las medidas de dos lados es igual al cuadrado de la medida del tercer
Razona
lado, el triángulo es rectángulo. y comenta
En resumen § Un triángulo de lados
3n, 4n, 5n; con n ∈ ,
Teorema de Pitágoras: Sea ABC un triángulo rectángulo en C. Entonces ¿es rectángulo?
a² + b² = c²
§ ¿Cuáles son los lados
Recíproco del teorema de Pitágoras: Si en un triángulo se cumple que la suma de un triángulo rec-
de los cuadrados de las medidas de dos lados es igual al cuadrado de la medida tángulo cuyo períme-
del tercer lado, entonces el triángulo es rectángulo. tro es 60 cm?
5 cm
x
3,2 A B
b) A
6 cm
c)
E 15 cm D
4 x
AC = 15 cm.
6 B 9 cm C
Practiquemos lo aprendido
c) ¿Cuál es el perímetro de un rombo cuyas diago-
rectángulo en C, cuyos lados son AB = c, BC = a y nales miden 6 cm y 8 cm?
AC = b.
d) El perímetro de un triángulo equilátero es de 36 cm
Comprueba en caso que el área de la figura roja
¿Cuál es el área?
corresponde a la suma de las áreas de las figuras
azul y verde. e) ¿Cuál es el área de un triángulo isósceles, cuyos
a) lados miden 25 cm, 25 cm y 14 cm?
c
B f) Dentro de un rectángulo de lados 6 cm y 8 cm se
a c ha construido un rombo cuyos vértices equidis-
tan los lados del rectángulo. ¿Cuál es el área de la
a
parte que no cubre el rombo?
C A
b b
c) c
r
a 2
2 B c
O
C A
b h) Una escalera de 2 m se apoya en la pared a una
2 distancia de 50 cm. ¿Qué altura alcanza?
b
8. Desafío: analiza y explica la siguiente
7. Resuelve los siguientes problemas.
demostración del teorema de Pitágoras.
a) ¿Cuál es la medida del tercer lado de un triángulo
para que sea rectángulo, si los otros dos lados
miden 33 cm y 65 cm?
b) Dos bicicletas parten de un mismo punto en
direcciones perpendiculares. Ambos circulan a una
rapidez constante de 40 km/h. Al cabo de dos horas
¿a qué distancia se encuentran uno del otro?
Reflexiona
§ ¿Cómo puede aplicarse el recíproco del teorema de Pitágoras a la construcción de ángulos rectos? Investiga y
comenta con tus compañeros.
Es posible doblar un papel a la mitad sucesivamente, y obtener así una división en 2, 4, 8, 16 partes o, en general,
una potencia de 2 (aunque al aumentar el número de pliegues la dificultad aumenta notoriamente). Sin embargo,
¿cómo podemos doblar un papel, por ejemplo, en 3 partes iguales?
Paso 2 Doblen la hoja diagonalmente desde el ex- Paso 4 Extiendan la hoja y verifiquen que ha
tremo del tercer doblez hasta la esquina opuesta quedado doblada en 3 partes iguales.
de la hoja.
Discutan grupalmente.
a) ¿Qué teorema permite afirmar que la hoja ha quedado doblada en tres partes iguales? Justifiquen asignan-
do letras a los pliegues y a los puntos de intersección entre ellos.
b) ¿Es posible utilizar este sistema para doblar una hoja en 5 partes? ¿En 7 partes? Justifiquen en cada caso el
procedimiento utilizado, y compruébenlo doblando una hoja en 5 y en 7 partes.
c) Paulina quiere doblar una hoja de papel de modo que las partes queden en razón 2 : 3. ¿Cómo puede
hacerlo? Expliquen un método para ello.
Reflexiona
§ ¿Habías cometido ya alguno(s) de estos errores? ¿Cuáles?
§ Respecto a los que no, ¿te sirve estar advertido de la posibilidad de cometerlos?
§ Revisa los ejercicios que hayas resuelto en la unidad. ¿Qué errores has cometido? ¿Qué acciones puedes
tomar para no volver a cometerlos?
A
Lección 17: División de trazos
B
c. AB // DE, AB = 6 cm, AC = 5 cm, CE = 4 cm, 4 Aplica alguno de los métodos aprendidos para
DE = x cm ubicar los puntos P, Q y R en el siguiente segmento
con las condiciones dadas.
Evaluación
A B
A B
C
a. P divide al segmento AB en razón 3.
2
D E
b. Q divide al segmento AB en razón 1 .
2 Calcula el valor de x e y en cada figura. 4
5
c. R divide al segmento AB en razón .
a. BC // DE, AC = 6 cm, CE = y cm, AB = x cm,
BD = 2 cm y AD = 6 cm 3
E 5 Resuelve los siguientes problemas.
A B p q
c
y 10 cm x= x cm
6 cm 20 cm
y=
x z
13 cm
25 cm
z=
16 cm
8 cm
x cm 5 cm 12 cm
Evaluación
8 Resuelve los siguientes problemas. 11 Calcula el área y el perímetro de la siguiente
figura.
a. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 15 cm
17 m y el menor de sus catetos mide 8 m. ¿Cuán-
to mide la altura respecto del ángulo recto? 40 cm
32 cm
Autoevaluación
Evalúa tu aprendizaje utilizando el solucionario y completa la siguiente tabla. Si no alcanzaste el mínimo sugerido en las actividades propuestas, vuelve a las
páginas indicadas para repasar.
Indicador Mínimo sugerido Puedes repasar en la(s) página(s)
Comprender y aplicar el teorema de Thales sobre trazos 2 respuestas correctas 110 y 112
proporcionales.
Dividir trazos en una razón dada. 2 respuestas correctas 116 y 117
Demostrar y aplicar los teoremas de Euclides relativos a 2 respuestas correctas 120 y 121
proporcionalidad de trazos.
Demostrar y aplicar los teoremas de Euclides relativos a 2 respuestas correctas 124 y 125
proporcionalidad de trazos.
Recapitulemos
En grupos de 4 personas, respondan y discutan las siguientes preguntas.
¿Cuáles son los conceptos fundamentales de esta sección?
Ü ¿Qué contenidos te resultaron más difíciles?
Ü
¿Qué utilidad tiene lo que has aprendido?
Ü ¿Qué te resultó más interesante en esta sección?
Ü
¿En qué ámbitos se puede aplicar lo aprendido en esta sección?
Ü
¿Lograste cumplir los propósitos de esta sección?
Identificar y relacionar los ángulos inscritos y del centro en calcular la medida de los ángulos inscritos y del
Lección 20
una circunferencia. centro de una circunferencia.
Tangente
Ü
d.
O
110º x
a. Cuerda
b. Radio
c. Tangente
d. Secante e. C
4x
e. Diámetro
Actividad
f. Arco
2 ¿Qué relación existe entre el radio y el diámetro
5x 59º
de una circunferencia? Explica. A B D
Calcular ángulos en triángulos 4 Juzga si las siguientes afirmaciones son verdade-
ras o falsas. Justifica las falsas.
3 Calcula en cada caso el valor de x.
a. Un triángulo rectángulo isósceles siempre tiene
a. 56º un ángulo que mide 45°.
b. Un triángulo isósceles tiene sus tres ángulos de
distinta medida.
x c. Un triángulo inscrito en una circunferencia siem-
pre es isósceles.
b. x d. En un triángulo rectángulo, los ángulos no rec-
tos suman 90°.
AB = m( AOB)
B
BA = m( BOA)
A C C
α β
Ayuda Se traza un diámetro CD; con ello OA = OC = OB, por
lo que los triángulos AOC y BOC son isósceles de base
Salvo que se indique lo O
AC y BC, respectivamente. Por lo tanto, β
contrario, el punto O siempre α 2α
2β
B
representará al centro de OAC ≅ ACO = α
la circunferencia. OCB ≅ CBO = β A
D
En el triángulo AOC, AOD es exterior a COA.
Por lo tanto,
m( AOD) = 2α
Por la misma razón,
m( DOB) = 2β
Entonces,
m( ACB) = α + β m( AOB)
→ m( AOB) = 2m( ACB) → = m( ACB)
m( AOB) = 2α + 2β 2
Es decir, el ángulo ACB mide la mitad del ángulo del centro que subtiende el mis-
mo arco. En general también decimos que ACB mide la mitad del arco que subtiende.
α
B
A
O
Se traza el radio OC; con ello OA = OC, por lo que los α 2α
triángulos AOC y BOC son isósceles de base AC y BC, res-
A
pectivamente. Si llamamos β al ángulo ACB, tenemos que C B
O α β
OAC ≅ ACO = α
2β D
La demostración de que tam-
OCB ≅ CBO = α+β β +α bién mide la mitad del arco
α 2β +α
que subtiende se desprende
En el triángulo DBC, ADB es exterior a BDC. Por lo tanto, A B del mismo análisis del caso 1.
m( ADB) = β + α + β = 2β + α
1. Explica cómo se define una circunferencia. 5. Evalúa si las siguientes afirmaciones son
verdaderas o falsas respecto a la circunferencia
2. Define los siguientes términos en una con centro en O. Justifica las falsas.
circunferencia:
B
a) Radio c) Cuerda
b) Centro d) Diámetro O
4. Calcula en cada caso la medida del ángulo α. a) Si la medida angular del arco AC es 120° y la del
Guíate por el ejemplo. arco CB es 110°, entonces la medida angular del
arco AB es 110°.
α
b) Si la medida del ángulo ABO es 40° y BO es
O bisectriz del ángulo ABC, entonces el ángulo COB
mide 100°.
c) El arco que subtiende el ángulo del centro AOC
corresponde a la medida del arco AC.
Paso 1 El ángulo α es inscrito, por lo que mide la d) El arco que subtiende el ángulo AOC es el mismo
mitad del ángulo del centro que subtien- que subtiende el ángulo ABC.
de el mismo arco.
6. Resuelve los siguientes problemas:
Paso 2 Se calcula la medida de α: Z
a) La medida del arco XY es
α = 90 : 2= 45° 50°. ¿Cuál es la medida del
ángulo XZY?
a) d) O
α + 10º
X
30º α O α + 60º
O Y
Q
b) PQ es diámetro y la medida M
b) e) del arco QM es 80°. ¿Cuál es
40º la medida del ángulo PMO? O
α
α
O O
P
75º
E
c) El ángulo ACB mide 30°, y el
c) f) D
C
101º arco AB mide la mitad del
arco DA. ¿Cuál es la medida O
O O del ángulo DEA?
α 30º 2α
B
A
B
8. Observa la figura y responde:
Practiquemos lo aprendido
d) El ángulo ABD mide 40°, y
el arco AC mide la cuarta
parte del arco AD. ¿Cuál es E D C
O
la medida del ángulo CED?
A O
C
D B
E
e) El arco EA mide 15º ¿Cuá- A
les son las medidas de los D
a) Si el ángulo BAD mide 95°, y el ABC mide 80°,
ángulos EDA, ECA y EBA? O ¿cuánto miden los ángulos DCB y ADC?
A
C
b) Si el ángulo DCB mide (x+3)° y BAC mide
B
(x+17)°, ¿cuál es el valor de x?
H
B γ
g) El arco KM mide 100°. O
¿Cuál es la medida del N x
β D
ángulo NMO?
C
O
10. Analiza la siguiente información y luego realiza
K M las actividades:
d) BC es tangente a la circun-
inscrito α. ferencia en B, y el arco AB B
mide 230°. ¿Cuánto mide
el ángulo CBA? O
a) C
α
30º
O
A
A
e) Si el arco AB mide 30°, BC es
diámetro y CD es tangente B
30º a la circunferencia en C,
b) ¿cuáles son las medidas α
O
O de α y β? β
C
α
C
a) Considerando que α = β + γ por ser ángulo exte-
12. Resuelve los siguientes rior al triángulo AEB, expresa la medida de α en
B
problemas respecto al x función de los arcos DA y BC.
ángulo semi-inscrito.
b) Si el arco DA mide 20° y el arco BC mide 10°,
a) El arco AB mide 160° O ¿cuánto mide el ángulo α?
y BC es tangente a la
circunferencia en B. A c) Si α=60° y el arco DA mide 15°, ¿cuánto mide el
¿Cuál es la medida arco BC?
del ángulo x?
14. Analiza la figura y realiza las siguientes
A actividades.
Un ángulo exterior α es aquel cuyo vértice está
b) El arco BA mide 130° fuera de la circunferencia y puede estar formado
y BC es tangente a la O por la intersección de dos secantes
circunferencia en B. C
¿Cuánto mide el D
ángulo CBA? B
C
γ
A
α E
β B
c) El arco BC mide 276° B C
A
y AB es tangente a la
O
circunferencia en B.
¿Cuánto mide el a) Expresa la medida del ángulo β en función de la
ángulo CBA? medida del arco CB y el ángulo γ en función de la
medida del arco DA
Practiquemos lo aprendido
b) Considerando que γ = α + β, por ser ángulo
exterior al triángulo AEC, expresa el valor de α en las circunferencias de centro O.
función de los arcos DA y BC
a) Sea OPQR un cuadrado. ¿Cuánto mide el ángulo PSR?
c) Si el arco DA mide 100° y el arco BC mide 30°,
¿cuánto mide el ángulo α? S
P O
d) Si el ángulo α mide 70° y el arco BC mide 50°,
¿cuánto mide el arco DA?
Q
15. Calcula en cada caso el valor de x. R
b) El ángulo ADC mide 130°. ¿Cuánto mide el ángu-
a) El arco BD mide 20°, y el AC mide 30° lo CBA?
D D C
A B
x P
A B
O 0
C
c) El arco BC corresponde a un cuarto de circunferen-
cia con centro en A. ¿Cuánto mide el ángulo CAD?
b) El arco DB mide 10°. C D
C
x
A 20º
P
O A B
B
d) El ACB mide 30°. ¿Cuánto mide el OBA?
D C
A B
Reflexiona
§ ¿Cuál es la mayor medida que puede tener un ángulo interior? ¿Y un ángulo exterior? Discute con tus compañeros.
D P
D
A
C
1 En cada caso traza los segmentos AC y BD. ¿Qué relación existe entre los
triángulos APC y DPB? Justifica.
2 Escribe la proporción entre los lados homólogos de ambos triángulos.
3 Utiliza el teorema fundamental de las proporciones para escribir una opera-
ción que relacione las medidas de los segmentos AP, BP, CP y DP.
Se puede constatar que en ambos casos las cuerdas y las secantes se intersecan
determinando triángulos semejantes, por lo tanto, segmentos correspondientes
proporcionales.
PA PAPC PC
= == PA=•PBPA =•PB PD •PC
PD=•PC
PD PDPB PB
El resultado anterior se conoce, respectivamente, como Teorema de las cuerdas
para el caso 1 y Teorema de las secantes para el caso 2. Es posible también relacio-
nar una secante y una tangente mediante el Teorema de la secante y la tangente.
PA • PB = PD²
P
A B
Razona
y comenta En resumen
§ Traza los segmentos
Teorema de la secante
AD y BD en la figura Teorema de las cuerdas Teorema de las secantes y la tangente
del teorema de la
secante y la tangente.
B B PA • PB = PD²
C
P A
¿Qué ángulos tienen P D
la misma medida? D D
A C
¿Qué triángulos
semejantes se pueden P
PA • PB = PD • PC PA • PB = PD • PC A B
determinar? Justifica.
Practiquemos lo aprendido
teorema de las secantes visto en la lección. Guíate
1. En la siguiente circunferencia identifica y nombra por el ejemplo.
los elementos indicados.
D
5
A E
4
3
O B x
F
G
C H
Práctica guiada a) 10
x
2. Calcula en cada caso el valor de x, aplicando el 8
teorema de las cuerdas visto en la lección. Guíate
por el ejemplo. 7
x
4
6 b)
3 5
x
5
(5 + x)
4 • 6 = 3x
8=x
c)
a) x c) 4
2 x
5 10
5 20
10
O x+7
x x
b) d) d) 8
1 3 x
2 4 4,5
(5 + x) (x – 3) (1 + x)
5 16
M
J
O K
L
P
Practiquemos lo aprendido
g) En la figura, TR es diámetro y JT mide lo mismo que b) PT es tangente a la circunferencia en T, PB = AB y
un radio de la circunferencia. Además, JL= 6 cm y PT = 6 2 cm, ¿cuál es la medida del segmento PA?
LP = 12 cm. ¿Cuál es el perímetro de la circunferencia?
T
R
O
O P
T P B
J L A
q C
A
O
a) Aplica el teorema de las secantes para establecer B
la ecuación correspondiente.
b) A medida que disminuye x, ¿a qué elemento se e) PA es tangente a la circunferencia en P, PA= 6 cm
asemeja la secante PD? y AB = 3PA. ¿Cuál es la medida del diámetro de la
circunferencia?
c) Si x toma el valor 0, ¿qué elemento de la circun-
P
ferencia sería PD? A
Isabel debe ubicar el número 19 en la recta numérica, pero no quiere construir tantas raíces antes del número
deseado. Le parece que utilizando el teorema de Euclides y algo de ángulos inscritos podría ser más corto el
procedimiento. ¿Cómo puede hacerlo?
Sabemos además que un triángulo rectángulo está inscrito en una semicircunferencia cuyo diámetro es
la hipotenusa del triángulo. Utilizaremos esta idea para ubicar la raíz pedida:
a. Desde el 0 (vértice A), trazamos un segmento AD de medida q = 1 y otro segmento AB de medida c = 19.
b. Desde el punto D, se traza una recta DE, perpendicular a AB.
E
c. Se ubica el punto F, punto medio de AB, y desde él se traza
una semicircunferencia de radio FB. C
Podrás aplicar lo aprendido aquí en los problemas que se presentan en la página 146.
Reflexiona
§ ¿Habías cometido ya alguno(s) de estos errores? ¿Cuáles?
§ Respecto de los que no, ¿te sirve estar advertido de la posibilidad de cometerlos?
§ Revisa los ejercicios que hayas resuelto en la unidad. ¿Qué errores has cometido? ¿Qué acciones puedes
tomar para no volver a cometerlos?
c. El arco PM mide 40° y MAT = 70°. ¿Cuál es la a. El arco DC mide 60°, y el arco AB mide 30°. ¿Cuál
medida del ángulo TMP? es la medida del ángulo AEB?
A C
Q
P O D
E
O
Evaluación
M A
T B
d. AB es diámetro de la circunferencia. ¿Cuál es la b. El arco MA mide 80° y el ángulo MPA mide 60°.
medida del ángulo x? ¿Cuánto mide el arco XY?
X A
C P
20º x B
A
O M
Y
2 En las siguientes circunferencias de centro O, c. El arco BA mide 100° y el arco DC mide 60°.
calcula los valores pedidos. ¿Cuál es la medida del ángulo BEA?
A
a. El arco BA mide 300°. ¿Cuál es la medida del
ángulo CAB? D
O
E
C
A B
O
Lección 21: Cuerdas y secantes en la circunferencia
B
C
4 Resuelve los siguientes problemas.
b. El ángulo ABC mide 110°, ¿cuál es la medida del
ángulo CDB? a. AE = 8 cm, EB = 10 cm y ED = 16 cm. ¿Cuál es la
longitud de CE?
C B
B E
C
O A D
O
A
D
A B D
A
5 Resuelve los siguientes problemas. O E
C
a. DC es tangente a la circunferencia en el punto D,
AB = 5cm y BC = 4 cm. ¿Cuál es la longitud de DC?
b. PA = (28 + x) cm, PB = x cm, PC = (18 + x) cm,
D PD = (7 + x) cm. ¿Cuál es la medida de PC?
C
O C
B D
O
A
Evaluación
P B A
b. LK es tangente a la circunferencia, LK = (a+2) cm,
KM = a cm y MP = 5 cm. ¿Cuál es la longitud de KL?
L
K O
M
P
Autoevaluación
Evalúa tu aprendizaje utilizando el solucionario y completa la siguiente tabla. Si no alcanzaste el mínimo sugerido en las actividades propuestas,
vuelve a las páginas indicadas para repasar.
Indicador Mínimo sugerido Puedes repasar en la(s) página(s)
Identificar y relacionar los ángulos inscritos y del centro de
2 respuestas correctas 134 y 135
una circunferencia.
Determinar relaciones entre trazos y secantes de una
2 respuestas correctas 140 y 141
circunferencia.
Recapitulemos
En grupos de 4 personas, respondan y discutan las siguientes preguntas.
¿Cuáles son los conceptos fundamentales de esta sección?
Ü ¿Qué contenidos te resultaron más difíciles?
Ü
¿Qué utilidad tiene lo que has aprendido?
Ü ¿Qué te resultó más interesante en esta sección?
Ü
¿En qué ámbitos se puede aplicar lo aprendido en esta sección?
Ü
¿Lograste cumplir los propósitos de esta sección?
Teorema de Thales
Síntesis
División de segmentos en Imagen y el pavimento
una razón dada inclinado
Teorema de Euclides
Imagen
que se quiere
dibujar
Teorema de Pitágoras
Algunos artistas han utilizado
marcos de madera con hilos
Ángulo del centro e inscrito que forman un cuadriculado,
en una circunferencia para poder guiarse y respetar
las proporciones que
deben mantenerse entre
Relación entre las cuerdas en
los elementos de la figura,
una circunferencia
garantizadas por el teorema
de Thales.
Relación entre las secantes En la página web
en una circunferencia www.julianbeever.net, puedes
encontrar extraordinarios
ejemplos del uso de esta
técnica en diversos escenarios.
a. r = 2
1,6 cm
Refuerzo
a. c. X
X
d. AB // DE C
8 cm 18 cm 8 cm 42 cm
12 cm
D 18 cm
E
b. 12 cm
d. 14 cm
6 cm 48 cm
A B
x cm 6 cm X X
15 Determina en cada caso el valor de x, para que las Teorema de Pitágoras y recíproco
rectas L1 y L2 sean paralelas.
21 Resuelve los siguientes problemas.
a.
2 x a. En un rombo cuyo lado mide 2,5 cm, su diagonal
5 L1 mayor mide 4 cm. ¿Cuánto mide la diagonal menor?
6
b. ABCD es un cuadrado de lado 37 cm y CBE un
L2
triángulo rectángulo en E, en el cual uno de sus
catetos mide 25 cm menos que el lado del cua-
drado. Calcula el área y el perímetro de la figura.
b.
3 C D
4 L1
8 x E
L2
A B
a. a = 4; b = 3; c = 5 e. a = 3; b = 2; c = 2,5
38º A
b. a = 13; b = 5; c = 12 f. a = 21; b = 72; c = 75 O
c. a = 8; b = 19; c = 15 =
g. =
aa = 21;b 21;c= 84 B
d. a = 24; b = 25; c = 7
C
O
25º
B
A P
O
E
25 AC es tangente a la circunferencia, el ángulo EBA A
mide 60° y el CBD, 70°. ¿Cuál es la medida del K
ángulo DOE?
D C 31 En la figura, BH es tangente a la circunferencia,
BM = 4 cm, MO = 6 cm y BF = 5 cm. ¿Cuál es la
B medida de FD?
O H
A
E M
B
O
C
26 AB es diámetro. F
Calcula la medida del D
ángulo OCB. B
25º O 32 HJ es tangente en H, PQ = 6 cm, QT = 8 cm,
A
TJ = a cm y HJ =(a + 3) cm. ¿Cuál es el cuádruple de
la longitud de PJ?
82º
27 Calcula el valor de α – β.
128º
T
P J
O
α
β
Q H
Ahora que has reforzado los contenidos de la unidad, te sugerimos las si-
guientes actividades para que puedas profundizar tus conocimientos.
Profundizo
ECD (respecto del lado EC) y ACD (respecto del lado AC). Por lo tanto
AE EC AC
(AED) = •h2 (ECD) = •h2 (ACD) = •h2
2 2 2 B C
Semejanza de figuras planas 5 ¿Cuál es la razón entre las áreas de los siguientes
triángulos semejantes?
1 Los cuadriláteros ABCD y EFGH son semejantes.
A. 1
De acuerdo con lo anterior, ¿cuáles son las medi- 2
das de los lados x, y, z? C
B. 1 y
3 cm C
4
D
H
1 cm G C. 8 A B
6 cm y
Z
2,8 cm 1 C´ x
D. 1
E 3 cm F 3 A´ B´
A x B
E. 6
A. x = 9 cm; y = 8,4 cm; z = 2 cm 2
B. x = 1,5 cm; y = 8,4 cm; z = 2 cm 6 En un plano dibujado a escala de 1 : 300, una habi-
C. x = 1,5 cm; y = 8,4 cm; z = 18 cm tación de forma cuadrada tiene un área de 49 cm2.
¿Cuál es la medida real del lado de la habitación?
D. x = 9 cm; y = 8,4 cm; z = 18 cm
A. 0,023 cm D. 2100 cm
E. x = 9 cm; y = 2,8 cm; z = 18 cm
B. 7 cm E. 14 700 cm
2 Se tiene que ∆ABC ~ ∆DEF. ¿Cuál es la razón de
semejanza entre los triángulos? C. 49 cm
7 Según la figura, ¿cuál fue la razón de homotecia
Evaluación
A. 3 C
aplicada a la figura original para obtener la figura
B. 0,3 imagen?
E D
C. 0,1 12 cm A'
3,6 cm A. 8 : 6
D. 0,03 8 cm Figura
F
B. 7 : 3 imagen
A B A
E. 0,01
C. 6 : 8 6 cm
3 Los lados homólogos de dos triángulos semejan- Figura
D. 7 : 4
tes están en la razón 1 : 2. ¿Cuál(es) de las siguien- 0 original
tes afirmaciones es(son) verdadera(s)? E. 1 : 7
I. Sus áreas están en la misma razón. 8 En la figura, al rombo ABCD se le aplicó una ho-
II. Sus perímetros están en esta misma razón. motecia de razón k = − 1 . ¿Cuál es el valor de x?
III. Sus alturas correspondientes están en esta 6
A. − 47
misma razón. C
3 A´
A. Solo I D. I y II (2x + 7) cm
B. − 37
B. Solo II E. II y III 9 D´ O D B
B´
C. − 37
C. Solo III
3
4 En la figura ∆ABC ~ ∆DEF, ¿cuál es el valor de k? C´ (3x + 5) cm
D. − 47
A
A. 1 C E (2k – 1) cm D 9
B. 3 E. − 17
60 cm 65 cm (3k+12) cm (4k + 7) cm 9
C. 8
D. 13
A 25 cm B F
E. 16
9 Si ABCD y FEDG son cuadrados, ¿cuál es el perí- 13 En el triángulo ACD, BE //CD y BC = 2 cm, ¿cuál es
metro del triángulo ABF? la longitud de BE?
(1) Área cuadrado FEDG es 25 cm2. A. 1 cm D
(2) Área cuadrado ABCD es 49 cm2. B. 3 cm E
2x cm
F G (2x - 3) cm
A. (1) por sí sola. C. 6 cm
D C D. 9 cm
B. (2) por sí sola. E A x cm C
B
C. Juntas, (1) y (2). E. 12 cm
Evaluación
11 En el triángulo ABC, DE // AB, CD = 30 cm y nes es (son) verdadera(s)?
CA = 90 cm. ¿Cuál es el valor de x? I. AD = DC = DB
C
A. 5 cm II. AD + DC= 120 cm
7
B. 10 cm
III. AD= 240 cm
D E 49
C. 45 cm (2x − 5) cm
A. Solo I D. Solo II y III
D. 60 cm
B. Solo II E. I, II y III
E. Ninguna de las anteriores. A 45 cm B
C. Solo III
12 Se tiene que AB//FC//ED, DC = 5 cm, CB = 8 cm y
FA = 10 cm, ¿cuál es la medida EF? 16 Sea ABC un triángulo rectángulo en C, en el que
se traza la altura desde el vértice C, dividiendo la
A. 13 cm hipotenusa en dos segmentos. Si sus catetos e
B. 15 cm E D hipotenusa miden respectivamente (a + 2) cm,
(a + 3) cm y (a + 6) cm, ¿cuál es la longitud de
C. 18 cm
F C cada proyección sobre la hipotenusa?
D. 2,7 cm 2 2
A. (a+2) cm, (a+3) cm
E. 6,25 cm A B a+ 6 a+ 6
B. a+ 6 a+ 6
2
cm, cm
(a+3) (a+2)2
C. (a + 3)(a + 6) cm, (a + 2)(a + 6) cm
D. (a + 2)cm, (a + 3)cm
E. a+2 cm, a+3 cm
a+ 6 a+ 6
D. 28,4 cm
A B
23 En la figura, los puntos P, Q, R y S pertenecen a la
E. 33,6 cm D circunferencia de centro O. Si QT : TP = 4 : 5,
19 En un triángulo rectángulo la medida de uno de QT = 8 cm y RT = 16 cm, ¿cuál es la medida del
los catetos es el triple que la del otro, y su área es segmento ST?
243 cm2. ¿Cuál es la medida de su hipotenusa? A. 4 cm D. 20 cm R
P
A. 9 cm B. 5 cm E. Ninguna T
O
de las
B. 27 cm C. 16 cm
anteriores S
C. 810 cm Q
A. 10x G F
25 En la figura el segmento de recta tangente a la
B. 19x circunferencia mide 9 cm y los segmentos de-
H E C 6x terminados por la secante miden 3 cm y w cm,
C. 100x B
respectivamente. ¿Cuál es la medida del segmen-
D. 90,5x
9x 8x to representado por w?
E. x 181 D A A. 3 cm D. 81cm
B. 9 cm E. 243 cm w cm
9 cm
C. 24 cm 3 cm
C. 120º de las D E
T anteriores. x
C
28 Las medidas de los arcos AB y DC son 116º y
54º, respectivamente. Si las cuerdas AD y BC se 32 En la figura, la recta BC es tangente en C a la
intersecan en el punto Q, ¿cuál es la medida del circunferencia de centro O. Se puede determinar
ángulo CQD? la longitud del radio si: B
A. 31º D. 85º C
(1) Se conoce la longitud de BC.
D
Q (2) BC = 2OA.
B. 62º E. 170º
A. (1) por sí sola.
Evaluación
A O D
C. 75º B. (2) por sí sola.
B
Autoevaluación
Evalúa tu aprendizaje con el solucionario y completa la siguiente tabla. Si no alcanzaste el mínimo sugerido en las actividades propuestas, vuelve a las
secciones correspondientes.
Contenido Mínimo sugerido Puedes repasar en la…
Semejanza de figuras planas. 6 respuestas correctas Sección 1
Teoremas de semejanza. 9 respuestas correctas Sección 2
Ángulos y segmentos en la circunferencia. 9 respuestas correctas Sección 3
Unidad • e ra 161
Fracciones algebraicas
¿Qué aprenderás? ¿Dónde? Es importante porque te permitirá…
A definir una fracción algebraica y sus restricciones. Lección 22 caracterizar una fracción algebraica.
comprender el comportamiento de una fracción
A analizar una fracción algebraica. Lección 23
algebraica al variar sus términos.
A calcular mcm y mcd de expresiones algebraicas. Lección 24
A resolver problemas que involucran fracciones algebraicas. Lección 28 plantear y resolver problemas en variados ámbitos.
Expresión algebraica
Ü • El mayor debía recibir la mitad de la herencia.
Restricción
Ü • El hermano del medio debía recibir un tercio de la herencia.
Variable
Ü • El menor debía recibir solo un noveno del total de camellos.
Ecuación
Ü Los hermanos discutían ya que, con estas reglas, el mayor recibiría 17,5 camellos, el del
§ Para resolver un problema medio 11, 6 y el menor 3,8 camellos, lo que era bastante engorroso. Ante esto Beremís
matemático, ¿es necesario (protagonista de la obra) tiene la solución, y les propone hacer justicia a cambio de poder
conocer previamente las elegir al final su recompensa. Para ello pide el camello en el que viajaban a su amigo y lo
condiciones que debe suma a la herencia, completando 36 camellos. Con esto:
cumplir su solución? 36 36
• Da al mayor = 18 camellos. • Da al del medio = 12 camellos.
2 3
36
• Da al mayor = 4 camellos.
9
Ya que 18 + 12 + 4 = 34, quedan dos camellos, uno de los cuales regresa a su amigo
y el otro lo deja para sí, como premio por lograr esta repartición tan justa y beneficiosa.
Actividad grupal
En grupos de 3 personas, realicen las siguientes actividades.
➊ Sumen las fracciones correspondientes a las partes de la herencia que le toca a cada hermano.
¿Qué observan?
➋ Busquen otro trío de fracciones y un número para el cual se dé una situación similar a la del relato.
Actividad
4 2
c. 23 1 1 8
b. 3x2 − 2xy − 6y2 d. 7x2y2 + 8x3y – 2xy ___ f. ___
43 7 43 50
4 Realiza las operaciones indicadas.
8 Ordena de menor a mayor las siguientes
a. 4ax –10bx – 9bx – 5ax fracciones.
b. (2x + 3)(3x + 4)(x – 3) a. 1 , 1 , –1, 1 c. 1 , 2 , – 3 , 7 , – 1
c. 2(x – 3)(x + 4)(x + 3) 4 10 4 16 2 3 2 5 6
Unidad • e ra 163
En resumen Razona
y comenta
Se llama fracción algebraica al cociente entre dos polinomios a , en la que el
b § ¿Existen fracciones alge-
numerador a y denominador b son polinomios. Si b es igual a 0, la fracción braicas que no tengan
restricciones? Si crees que
está indefinida. existen, da un ejemplo. Si
no, justifica por qué.
a 2a
Repaso e) a + 6
Practiquemos lo aprendido
a) c)
a+2 3a + 1 1
1. Determina en cada caso una fracción que cumpla a–
5
las siguientes condiciones.
b) a + 1 d) 4 +a f) 2a + 1
a) Su denominador sea 4. 5a 2a – 2 5a – 7
Aplica
b) Su numerador sea 17.
4. Utiliza fracciones algebraicas para representar las
c) Su numerador sea el triple de su denominador. siguientes cantidades.
d) Sea equivalente a la fracción 2 . a) La rapidez v de un automóvil que recorre d + 2
3
kilómetros en 4 + t segundos.
Práctica guiada
b) La cantidad de dinero que recibe cada niño, si se
2. Identifica, entre las siguientes fracciones, cuáles reparten 500 + 2p pesos en partes iguales entre
son fracciones algebraicas y justifica por qué. n niños.
Guíate por el ejemplo. c) La cantidad de flores que recibe cada mamá de
Ejemplo: la fracción 3a es una fracción algebraica, los alumnos de un curso del liceo en su día, si se
2b reparten 2n +10 flores entre n mamás.
pues su denominador es 2b, un término con
parte literal. d) El promedio de pasajeros por bus que llevó una
empresa de buses el día viernes de un fin de
a) 5 c) 3– a semana largo, si la suma de los pasajeros de ese día
b b+3 fueron 6x + 2 y la empresa cuenta con 3x + 1 buses.
b) a d) – 2a
b
e) La cantidad de gallinas que hay en la parcela de la
2 5 señora María, si pusieron un total de 300 + m hue-
3. Determina las restricciones de las siguientes vos y cada una puso en promedio n + 3 huevos.
fracciones algebraicas. Guíate por el ejemplo.
5. Desafío: ¿Para qué valores de x se encuentra
Ejemplo: x 2 ? (Ayuda: utiliza
x +7 indefinida la fracción
2
x –4
Paso 1 Se identifica el denominador de la frac- factorización y responde la pregunta ¿qué debe
ción, y se iguala a 0. ocurrir para que el producto de dos números sea
x+7=0 iguala 0?
Paso 2 Se resuelve la ecuación, donde el o los va- 6. Conexiones: Investiga sobre fórmulas
lores de x corresponden a las restricciones. matemáticas que se utilicen en física y química
x+7=0 que estén formadas por fracciones algebraicas.
x = –7 ¿Qué tienen en común cada una de ellas?
La restricción de la fracción es x ≠ –7.
Reflexiona
§ ¿Qué similitudes y diferencias observas entre una fracción numérica y una fracción algebraica? Explica.
Unidad • e ra 165
F
p=
A
Observa que…
La presión aumenta si La presión disminuye si
No es posible determinar
El área A o denominador disminuye El área A o denominador aumenta a priori lo que ocurre si el
Si la fuerza F o numerador aumenta Si la fuerza F o numerador disminuye numerador y el denominador
disminuyen o aumentan
simultáneamente.
Paso 4 a partir de las observaciones anteriores, Carolina se hace algunas preguntas:
Razona
y comenta
§ Responde las preguntas que se plantea Carolina, y discute con tus compañeros.
§ ¿Por qué crees que los científicos piensan en valores extremos o teóricos como
lo hizo Carolina?
En resumen
El valor de una fracción a aumenta si aumenta el valor del numerador, si
b
disminuye el valor del denominador o si ocurren ambas cosas a la vez.
Unidad • e ra 167
Resuelve los siguientes problemas. b) ¿En qué categoría se encontrarían los individuos
Practiquemos lo aprendido
de la tabla si todos tuvieran una masa de 70 kg?
7. La medida del ángulo interior de un polígono regular
o c) ¿En qué categoría se encontrarían los individuos
se determina mediante la expresión 180 (n – 2) .
n de la tabla si todos midieran 1,70 m?
a) ¿Cuál es la medida del ángulo interior de un polí- d) ¿En qué categoría te encuentras tú?
gono regular con 3, 4, 5, 9 ,10 y 20 lados?
10. Celso está realizando un experimento que
b) ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de un consiste en calcular la variación en la densidad
polígono regular de 9 lados? del pan amasado que se produce en un horno
c) ¿Qué puedes concluir respecto a la medida de un de barro. Los datos de Celso indican que el pan
ángulo interior de un polígono regular a medida pierde 0,4 g por minuto, y aumenta su volumen
que la cantidad de lados aumenta? en 0,15 cm3, por lo tanto, la densidad del pan en el
m – 0, 4t
minuto t está dada por la expresión d = .
8. En las siguientes expresiones, n pertenece a los v + 0,15t
números naturales.
a) ¿Cuál es el valor de la densidad del pan para
2n n+2 5n 2, 5, 8, 15 y 30 minutos?
, ,
4n+3 4n 4n+7
a) Calcula las expresiones anteriores para n = 0, b) ¿Cómo se comporta la densidad a medida que el
tiempo transcurre?
n = 3, n= 5 y n =7.
c) En teoría, la densidad del pan, ¿puede ser infinita?
b) ¿Cuál es el menor valor que toma cada una de las
Explica.
expresiones anteriores?
d) En teoría la densidad del pan puede, ¿ser igual a
c) ¿Qué sucede si el valor de n aumenta? ¿Cuál de
cero? Explica.
estas expresiones aumenta más rápidamente?
Justifica. e) Si Mario pone en el horno un material que con el
tiempo gana 0,12 g por minuto y pierde
9. El índice de masa corporal (IMC) es un indicador
0,05 cm3 por minuto, ¿cuál será el comporta-
que relaciona la masa de una persona con su
m miento de la densidad de este material a medida
estatura, mediante la expresión IMC = 2 , donde que el tiempo transcurre?
h
m es la masa en kg y h es la altura en metros. El
11. Un terreno rectangular tiene un largo que es el
IMC permite categorizar a los individuos según
doble del ancho más 20 metros.
los siguientes valores:
a) ¿Cuál es la razón entre el ancho y largo?
Bajo peso Menor que 18,5
Normal Entre 18,5 y 24,9 b) ¿Cuál es el valor de la razón si el ancho es igual a
10 cm?
Sobrepeso Entre 25 y 29,9
Obeso Sobre o igual a 30 12. El automóvil de Camila recorre a kilómetros en
b horas, mientras que el automóvil de Andrés
a) Calcula el IMC para los siguientes datos. recorre a + 7 kilómetros en el doble de tiempo
que el automóvil de Camila.
Masa 85 71 60 50 90
a) ¿A qué rapidez viaja cada uno?
Altura 1,56 1,9 1,79 1,80 1,98
b) ¿Quién viaja más rápido? Explica.
Reflexiona
§ Cecilia afirma que toda fracción cuyo numerador es igual a su denominador tiene un valor igual a 1. ¿Estás de
acuerdo con ella? ¿Pondrías alguna excepción? Explica.
Unidad • e ra 169
Paso 2 Se calcula el mcm y el mcd de los coeficientes numéricos, que será el coefi-
ciente del mcm y del mcd de las expresiones algebraicas.
mcm(6, 10) = 30 mcd(6, 10) = 2
Paso 3 Para los factores que son expresiones algebraicas, se utiliza la misma idea
vista para el mcm y el mcd entre números naturales, como se muestra:
mcm mcd
x2(p + q)2 x2(p + q)2 Razona
y comenta
xy(p – 3q)(p + q) xy(p – 3q)(p + q)
§ ¿De qué otra manera
puedes calcular el
Se compone de todos los factores, con el Se compone solo de los factores que se mcm y mcd entre dos
mayor exponente con el que aparecen. Su repiten, con el menor exponente con el que expresiones algebrai-
coeficiente numérico es 30. aparecen. Su coeficiente numérico es 2. cas? Discute con tus
compañeros.
mcm = 30x2y(p + q)2(p – 3q) mcd = 2x(p + q) § ¿Conoces algún
método para calcular
el mcm entre uno o
Si debemos calcular el mcm o el mcd entre más de dos expresiones, podemos realizar más números?¿Puedes
el mismo procedimiento pero considerando todas las factorizaciones, o bien, utilizar aplicar ese o esos
métodos en el cálculo
las siguientes propiedades:
del mcm y mcd, de
mcm(a, b, c) = mcm(mcm(a, b), c) = mcm(a, mcm(b, c)) expresiones algebrai-
cas? Justifica.
mcd(a, b, c) = mcd(mcd(a, b), c) = mcd(a, mcd(b, c))
§ Utiliza las propiedades
mcm(a, b, c) =
mcm(mcm(a, b), c)
mcd(a, b, c) =
mcd(mcd(a, b), c)
En resumen para calcular el mcm y
el mcd entre
El mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más expresiones algebraicas es la
6p2x2 + 12pqx2 + 6q2x2,
expresión de menor coeficiente numérico y menor grado que es múltiplo de ellas.
El máximo común divisor (mcd) de dos o más expresiones algebraicas es la 10p2xy – 20pqxy – 30q2xy
expresión de mayor coeficiente y mayor grado que es factor de ellas. y 8x3p2 – 8x3q2.
Unidad • e ra 171
2. Calcula el mínimo común múltiplo y el máximo 5. Determina el máximo común divisor de las
común divisor entre los siguientes números. siguientes expresiones algebraicas. Guíate por
el ejemplo.
a) 15 y 12 f) 5, 16 y 21
Ejemplo: mcd(5x3y5z2, 15x2yz5)
b) 35 y 105 g) 100, 125 y 150
Paso 1 En este caso las expresiones ya están
c) 32 y 48 h) 3, 15, 17 y 35
factorizadas, por lo que comenzamos por
d) 12, 20 y 24 i) 2, 45, 56 y 100 calcular el mcd entre los coeficientes.
e) 8, 12 y16 j) 14, 140, 325 y 490 mcd(5, 15) = 5
3. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas. Paso 2 Se calcula el mcd de las partes literales, y
a) 4a2 + 3a2 finalmente se agrega el coeficiente:
Practiquemos lo aprendido
el paso de cometas o meteoritos, alineación de
h) 3z4, 6z2 – 8z, 12z2 – 9z3
planetas o eclipses cuyas ocurrencias coinciden en
i) n2 – 8n + 15, n2 – 10n + 25, n2 – 9 ocasiones.
j) x2 + 2xy + y2, x2 – y2, x2 – 2xy + y2 a) Averigua respecto a ellos y su frecuencia.
k) 2x3, 8xy, 16xy3, 12x2y2, 20x2y5
b) ¿De qué manera el cálculo del mcm o mcd
l) 2x2y2, 4x2y2, 8xy2z2, 16xy3z3 pueden ayudar a predecir nuevamente dichos
m) xy2 – x, xy + x, x2y2 + x2y + x2 acontecimientos?
Reflexiona
§ ¿De qué manera debes sumar o restar fracciones de distinto denominador?
§ Establece la relación que existe entre el mcm y la adición o sustracción de fracciones algebraicas.
Unidad • e ra 173
Amplificación
Caso 1 Amplificar por una expresión cualquiera.
Para amplificar una fracción algebraica, simplemente multiplicamos su numerador
y su denominador por la expresión dada. Por ejemplo, para amplificar la fracción
3b
por 5b – x:
5b+ x
3b • ( 5b – x ) 3b ( 5b – x )
Observa que… =
Al amplificar se ha añadido (5b+ x ) • (5b – x ) (5b+ x )(5b – x )
una nueva restricción a la 15b2 – 3bx
=
fracción, ya que 5b – x no 25b2 – x 2
debe ser igual a cero. Caso 2 Amplificar a un numerador o denominador específico
En ocasiones interesa amplificar una fracción para que uno de sus términos tenga
un valor específico (en general, el denominador). Por ejemplo, para amplificar la
fracción x+5 al denominador x2 + 4x – 21:
x–3
• Se factoriza el denominador al que se quiere llegar
Simplificación
Caso 1 Simplificar por una expresión
Para simplificar una fracción algebraica por una expresión cualquiera es
preciso factorizar sus términos para luego efectuar una división. Por ejemplo,
2
se simplificará la fracción ax +2ax +a
a2 x + a2
• Primero se factorizan sus términos.
Factor común monomio
ax 2 +2ax + a a( x +2x +1)
2
=
a2 x + a2 a2 ( x +1)
2
a( x +1) Trinomio cuadrado perfecto
= 2
a ( x +1)
• Podemos simplificar por cualquiera de los factores comunes que se
encuentren a la vez en el numerador y en el denominador. En este caso,
simplificaremos por (x + 1)
ax 2 +2ax + a a( x +1)
2
a( x +1) ( x +1)
= 2 =
2
a x+a 2
a ( x +1) a2 ( x +1)
a( x +1) Observa que…
=
a2 Para poder simplificar por x – 1,
con x ≠ –1 se debe añadir la restricción
Caso 2 Simplificar hasta la fracción irreductible. de que sea distinto de 0. Por lo
Observa que en el Caso 1 no se simplificó por todos los factores comunes. tanto, x ≠ –1.
Podemos seguir simplificando por a (con a ≠ 0):
ax 2 +2ax + a a( x +1) a ( x + 1) Observa que…
= =
a2 x + a2 a2 a•a La fracción se simplificó
x +1 finalmente por a(x + 1), que
=
a es el mcd entre los términos
con x ≠ –1, a ≠ 0 de la fracción.
Al simplificar por todos los factores comunes se obtiene la fracción irreduc-
tible equivalente a la original.
Caso 3 Simplificación y signos
En resumen
Considera la fracción (1– a)( x – y ) . Se realizarán algunas manipulaciones
(a –1)( x – 2) Si ac es una fracción
bc
algebraicas para simplificarla.
algebraica y d es una
• Se observa que (1 – a) = –(a – 1). Por lo tanto, se puede multiplicar por –1 expresión algebraica,
ambos factores del denominador para obtener en él el término (1 – a), se tiene que:
sin alterar el valor de la fracción.
§ acd es una
(1– a)( x – y) (1– a)( x – y) (1– a)( x – y) bcd
= =
(a–1)( x – 2) (–1)(a–1)(–1)( x – 2) (1– a)(2 – x) amplificación de ac
bc
• Ahora sí es posible simplificar la fracción por 1 – a. por d.
(1– a)( x – y) (1– a) ( x – y) ( x – y) § a es una una
= =
(a–1)( x –2) (1– a) (2 – x) (2 – x) b
simplificación de ac
bc
por c.
Unidad • e ra 175
4 20 3
e) m , por m+3
b) 49 d) 10 2 –m
21 40
2
3. Calcula el valor de x en las siguientes fracciones f) 1– y – y , por y+5
equivalentes. y 3 – 3y 2
b) 2 = x e) – 7 = 6 Ejemplo: x =
9 36 x 12 x +1 2x 2 +2x
c) 5 = 10 f) 10 = 8 Paso 1 La expresión x+1 se ha multiplicado por
x 22 15 x el factor 2x, pues
4. Determina el número por el cual se amplificaron (x 1) • 2x = 2x2 + 2x
las siguientes fracciones.
Paso 2 Por lo tanto, se multiplica el numerador x
a) 2 para obtener 10 por el factor 2x.
5 25
x • 2x=2x2
b) –12 para obtener –36
7 21 2
Por lo tanto, x = 2x
c) 17 para obtener 51 x +1 2x 2 +2x
5 15
a) x =
d) 16 para obtener 80 2 2x – 6
9 45 3 2
5. Determina el número por el cual se simplificaron b) 3x +3x =
las siguientes fracciones. 3x 3 +9x 2 x 2 +3x
2
a) 10 para obtener 1 c) x – 3x +2 =
20 2 x2 – 4 x +2
b) –54 para obtener –2 d) =
2x – 2
81 3 x 2
2x 3 – 2x 2
c) 56 para obtener 8 2
e) 2x +5 =
49 7 3x 9x 3
d) –21 para obtener –7
24 8
Practiquemos lo aprendido
Se observa que (a – b ) = –(b – a), por lo
se obtiene al simplificar cada fracción algebraica. tanto, la fracción factorizada se puede
Guíate por el ejemplo. escribir como:
3
Ejemplo: 4x y + 8x
3 (a– b)(a+b) –(b – a)(a+b)
=
2x 2 y 2 + 4x 2 (b – a)(b+ a) (b – a)(b+ a)
Paso 1 Se factorizan los términos de la fracción. Paso 3 Se simplifican los factores comunes entre
3
4x y + 8x 3
4x (y +2) 3 el numerador y denominador.
2 2 2
= 2
2x y + 4x y 2x y(y +2) – (b – a) (a+b)
= –1
Paso 2 Se descompone en factores comunes el (b – a) (b+ a)
numerador y el denominador y luego 2 2
se simplifican. Por lo tanto la fracción a – b es equivalente a –1.
b2 – a2
2 • 2 • x 2 • x • (y +2) 2x a) a – b 9 –12y + 4y 2
= d)
2 • x 2 • y • (y +2) y b2 – a2 2y – 3
2 2
b) a – b
2
2
e) x – 2x +1
2 2 b – ab 1– x 2
a) 4x z i) x –16 2 2
2xz 3 x+4 2a – 4b f) x – 2xy + y
c)
2 2 2b – a y2 – x2
b) 20xyz j) 3x + 6x +3
60x 2 y 4 z x +1 Aplica
2 5 ax – ay +bx – by
c) 90x y k) 10. Resuelve los siguientes problemas.
18x 4 z x2 – y2
2 a) Al simplificar completamente una fracción alge-
l) x – 6x –16
2
d) x – x
x 4x 2 –16 braica, Patricio obtiene la fracción 2x – y . ¿Está
2 y – 2x
xy
e) m) 2x +5x –12 correcto el resultado de Patricio? Justifica.
10x 3 y 3z 4x 2 – 4x – 3
f) xy 3 b) Marta afirma que la fracción –xy es equivalen-
n) x – x 3x + y
xy + y 2 x 2 – 2x + 1
3 te a la fracción xy . ¿Es correcta la afirmación
g) 4x y – 4xy x 4 –16y 4 –3x + y
8xy 2 ñ)
de Marta? Explica.
2 (x2 + 4y 2 )(x – 2y)
h) x – x
xy – y c) ¿Es correcto afirmar que para simplificar la fracción
x–y , basta solamente con multiplicar el
9. Determina la fracción equivalente irreductible
(y – x)(y – x)
que se obtiene al simplificar cada fracción
numerador por –1? Justifica tu respuesta.
algebraica. Guíate por el ejemplo.
2 2 11. Juzga si las siguientes equivalencias son correctas.
Ejemplo: a – b En caso que no lo sean, encuentra una fracción
b2 – a2
que sea equivalente a la primera de ellas.
Paso 1 Se factoriza el numerador y el denominador.
a) 1
=
5x 3 y 4 z c) x – 2 = 1
2
a –b (a– b)(a +b)
2
2xy 3
10x 2 yz x +2
=
2
b –a 2
(b – a)(b + a) 2
b) x +10x +25 = x – 5 d) 4x – 4y = 4x
x 2 – 25 x +5 4y
Reflexiona
§ ¿Cuál es la diferencia entre la simplificación de fracciones numéricas y algebraicas?
Unidad • e ra 177
3a (2a+b) ( x – 4) ( x + 4) 3a( x + 4)
=
( x +5) ( x – 4) (2a+b) x +5
Con x ≠ –5, x ≠ 4 y 2a ≠ –b
a ≠ –1, a ≠ –6 b ≠ 0, a ≠ 1, x ≠ 1
Paso 2 Se expresa la división como multiplicación, y se calcula como se estudió ante-
riormente
2
x 2 – 2x + 1 x–1 ( x –1) x –1
: = :
a + 5a – 6 3ab – 3b (a+6)(a – 1) 3b(a – 1)
2
2
( x –1) 3b(a – 1)
= •
(a – 6)(a + 1) x –1
2
( x –1) 3b(a – 1)
=
(a + 6)(a – 1)( x – 1)
Paso 3 Se descomponen los factores comunes, se simplifica la expresión y finalmente
se indican las restricciones definidas.
En resumen
§ Sean las fracciones algebraicas a y c , donde b y d son distinto de cero, se define Razona
el producto como: b d y comenta
a c a•c
• = § ¿Qué dificultades
b d b•d observas en la multi-
§ Sean las fracciones algebraicas a y c , donde b, d y c son distinto de cero, se plicación y división de
define el cociente como: b d fracciones algebrai-
a c a d a•d cas? Discute con tus
: = • =
b d b c b•c compañeros.
Unidad • e ra 179
3 5 c) x + y : x – y
c) 3 • 24 h) –0, 4 • • y y
8 9 24 4 2 2
–3 –4 7 4 d) x – 4x : x –16
d) 0,5• i) • • –3 x 2 +1 2x 2 +2
7 12 5 5 4
1 e) 16 – x : (32 – 8x 2 )
e) 12 • 51 j) 5 : 2 4x +8
17 48 5 2
f) 2(x –1) x 2 – 2x +1
2. Resuelve los siguientes problemas. :
3x 3x 2
2 2
a) Ramón necesita varios pedazos de tubo de g) x + 6x +9 : x – 9
1 x 2 +3x x2
2 m de largo y 3 m de diámetro. Cuando fue a
8 2 2
4 h) x –1 : x +2x +1
la ferretería, compró un tubo de 12 m de largo. x 2 – 2x +1 x –1
¿Crees que puede obtener los pedazos que nece-
sita del tubo que compró? Explica. Aplica
b) Carlos preparó 8 tazas de mezcla para bizcocho. 5. Calcula las siguientes operaciones.
Con ella va a preparar varios bizcochos pequeños, 2 3 2
a) x y • x + y • x – xy
de 2 de taza de mezcla cada uno. ¿Cuántos bizco- x 3 – xy x 4 y 3 x 2 + y 2
3 2 2 2 2
chos puede preparar? ¿Le sobrará mezcla? Explica. b) x + xy • y • x – 2xy + y
xy – y 2 x 3 – y 3 y
Práctica guiada
c) 3x y • 4y(x +2y) : 8xy (x +2y)
2 2 2
3. Calcula las siguientes multiplicaciones. Guíate por x +2y 3x(2x – y) (2x – y)2
los pasos estudiados en la lección.
d) x +2 • (x 2 – 4) : x +2
a) 4x 16 x–2 x
•
3 x x 2 +2xy + y 2
2a 15b e) ( x + y ) : : (x – y)
b) • x 2 – y 2
5b2 a2
12x 2 15x 6. Resuelve los siguientes problemas.
c) • h+2
10x 2 y 9x a) Si los lados de un rectángulo miden cm
2 2h+ 6
2x 2 –6xy 2 z y cm, ¿cuál es su área?
d) • 2
9xy 4x 2 h –4
x – 5 2x b) ¿Cuáles son la dimensiones de un cubo si su
e) • volumen máximo está dado por la expresión
3x 2 x 2 – 25 (a3 + 9a2 + 27a + 27) cm3?
x2 – y2 x
f) • c) ¿Qué expresión algebraica al ser dividida por x – 2
xy x+y resulta (x2 – 4)? x+2
g) x +2x – 80 x 2 – 9x –10
2
• d) Si la altura y la base de un triángulo miden
x 2 –100 x 2 – 4x – 32 2x – 4 cm y x –1 cm respectivamente,
2
h) 5x 3x – 3y x – 2
2 2
• x –1
x – 2xy + y 2 ¿cuál es su área?
7. Simplifica las siguientes fracciones. Guíate por el b) El lado que falta y el perímetro del rectángulo, si
Practiquemos lo aprendido
ejemplo que se muestra se conoce el área del triángulo que se forma con
a la diagonal.
a+b
Ejemplo:
a2
3x
a2 – b2 10x3
A=
Paso 1 Se escribe la fracción como división. y
a
a+b = a : a
2
9. Resuelve los siguientes problemas.
a2 a+b a2 – b2 a) Andrés debe cercar un terreno de forma cuadra-
a2 – b2 2
da que no supere un área de 100x m2. ¿Cuál es
2
Paso 2 Se escribe la división como multiplicación. la longitud máxima de la cerca? y
a a2 – b2 b) Paula debe llenar botellas de 4x + 2 litros, con
•
a+b a2 agua de un contenedor que tiene (2x + y)3 litros.
Paso 3 ¿Cuántas botellas necesitará?
Se factorizan y simplifican los numerado-
res y denominadores. 10. Desafío. Dos scouts utilizan dos barcos de juguete
para calcular el área de un sector rectangular en
a a2 – b2 a (a– b) (a + b) a– b
• = • = una laguna. Los barcos viajan con las direcciones
2
a+b a a+b a2 a que se muestran en la figura.
x 5 y 8 z7 x 2 + 4x – 5
4 6 10 2
Barco 2
a) x y z d) x – 2x + 1
x 6 y8z9 x 2 + 5x
x3 y2z5 x 2 –1 Barco 1
x+5 x2 + x
El barco 1 recorre (a +1) metros en t2 segundos, y
b) x + 3
2
e) 2x + 5x –12 2 2
x +1 x2 + x el barco 2 recorre a – b metros en 2t segundos.
x–5 a
2x 2 – 7x + 6 ¿Cuál es la expresión que representa la distancia a la
(x + 2)2 x 2 – x – 20 que se encuentran los barcos luego de t segundos?
c) (x – 2)(x + 1)
2
f) x – 7x + 12 11. Conexiónes: La ley de Boyle y Gay - Lussac
(x 2 – 4) 6x 2 – 31x + 5 permiten calcular la presión dentro de un objeto
x +1 3x 2 +10x + 3 hueco si la temperatura externa varía, mediante
8. Determina los datos que se piden en cada caso. la igualdad P1 = P2 donde P1 es la presión en atm.
T1 T2
a) El lado que falta y el perímetro del siguiente dentro del objeto a temperatura T1 y P2 es la
rectángulo. presión dentro del objeto a temperatura T2 en
grados Kelvin (ºK).
15x2 20x Se tiene una botella vacía, con presión de 1 atm y
A=
19xy3 38x3y
una temperatura de 296, 4 ºK. ¿Cuál es la presión en
la botella si se aumenta la temperatura en 100, 4 ºK?
Reflexiona
§ ¿Por qué para dividir por una fracción se "da vuelta"? Investiga.
Unidad • e ra 181
2 •3 2 6 2
– = –
3•3 9 9 9 Paso 4 Ahora tenemos fracciones con igual denominador, por lo que las sumamos de
la misma forma que las fracciones numéricas. Si corresponde, el resultado se
Restamos los numera-
simplifica y se indican las restricciones.
dores y se conserva el
denominador 2p + 1 p2 –1 r (2p + 1) (p –1)(p + 4)
+ = +
6 2 4 p + 5p + 4 rp + 2pr + r r (p + 4)(p + 1) r (p + 1)(p + 4)
2 2
– =
9 9 9 (2pr + r)+(p2 + 3p – 4)
=
r (p + 4)(p + 1)
p2 +2pr + 3p + r – 4
=
r (p + 4)(p + 1)
Expresiones mixtas
En ocasiones tendremos que sumar o restar fracciones algebraicas con expresiones
que no lo son. Por ejemplo:
2a – b
3a + 5b –
a + 4b
A esto le llamamos expresiones mixtas, y para reducirlas realizamos un proceso similar
al que permite convertir un número mixto a fracción impropia. Por lo tanto, seguimos
los siguientes pasos:
Paso 1 La expresión que no es fracción algebraica se escribe como fracción de deno-
minador igual a 1.
3a + 5b
3a + 5b =
1
Paso 2 Esta fracción se amplifica por el denominador de la fracción algebraica.
3a + 5b ( 3a + 5b ) • ( a + 4b ) ( 3a + 5b )( a + 4b )
= =
1 1• ( a + 4b ) a + 4b
Paso 3 Tenemos ahora dos fracciones algebraicas con igual denominador (y por ende,
la restricción de ambas es la misma, a ≠ 4b. Realizamos ahora la operación e
indicamos la restricción.
Unidad • e ra 183
1. Calcula las siguientes adiciones y sustracciones. 5. Calcula las siguientes operaciones con fracciones
de igual denominador. Guíate por el ejemplo.
a) 1 + 1 e) 1– 4 – 3 + 2
2 2 15 10 5 3 a– 3 3 +(a – 3) a
Ejemplo: =+ =
b) 4 1 – 7 f) 2 – 5 – 3 3 2x 2x 2x 2x
5 3 2 4
a) 2a – 5a
c) – 3 + 1
6 g) – – 3 – 1
1 3x 3x
5 10 2 5 4
b) 1 + 5 – 10
d) 12 1 7 2 7
h) 6 – 4 + +0,5 3x 3x 3x
– +
3 3 5 5 4
c) 8x + 3 – 7 – 6x
2. Calcula las siguientes operaciones combinadas. x 2 +3 x 2 +3
2
a) 1 + 3 • 2 e) 3 + 1 : –14 d) 2x – 3x + 8 – 5
4 4 3 5 10 15 2x + 6 2x + 6
2 e) 2 x + 1 3x
b) 1 – 2 3 f) 2 3 –1 4 • 3 2
– 2 + 2
x +1 x +1 x +1
4 4 7 7
f) x–3 2x + 4
– 2
c) 1 : 1 + 2 g) 3 1 – 2 3 : 2 – 4 2
x + x +1 x +x +1
4 8 12 4 4 5 3
g) x + 2 – 5
h) 10 • 12 + 6 • 15 2x + 6 2x + 6
d) 1 : 1 + 1
4 8 8 6 15 5 18 2 2
h) x –100x – 2x – 5
3. Resuelve los siguientes problemas aplicando x–y x–y
adición y sustracción de fracciones. 6. Calcula las siguientes operaciones entre
fracciones de distinto denominador. Realiza el
a) El día lunes Patricia leyó 1 de un libro, y el viernes, procedimiento visto en la lección.
5
1 de lo que le quedaba. ¿Qué parte del libro leyó 3 5
a) –
3 x+7 x
durante esos dos días? Si el libro tiene 480 pági-
nas, ¿cuántas páginas le faltan por leer, aproxima- b) 6 – 3 + 5
4x x 3x
damente?
7x x x + 5
c) – +
b) En una competencia de 100 metros planos, An- y 15y 25y 2
drés corrió durante 17 minutos, clasificando para 2x 5x 2 c
60 d) – +
la gran final. Si en la carrera final hizo el mismo 3y 6y 2 9y
trayecto en 14 minutos, ¿en cuántos segundos e) 3x + 2 x + 2
60 –
3x + 6 x 2 – 3x
mejoró su marca?
f) x 3 x 3 +3
+ 2 − 3
4. Completa el siguiente cuadrado mágico si la x –1 x –1 x –1
suma de las diagonales, horizontales y verticales 7x 2 + 4 x – 2
debe ser la misma. g) 2x – 2
−
( x + 2) x + 2
9 h) 6 4 6
0,3 6,5 − 2 + 2
5 x + 3 x +3x x – 9
9 x –1 x + 1 x – 6
2,1 X i) – +
10 x – 2 x + 2 x2 – 4
6 2x 3x x–6
Z Y j) + +
5 x + 3 x – 3 9 – x2
Practiquemos lo aprendido
el procedimiento visto en la lección. 10. Utiliza las expresiones A y B para calcular lo que
1 x+5 se pide.
a) 5 + d) – x–5
x x–5 a2 – b2 a2 – b
2
A = 1+ B = a–
x 2 36x b2 a
b) 3– e) (6x – 5) –
2– x 2x
a) A + B d) B – A
2x – 2 x 2 +2x + 1
c) x + 1– f) – x –1
3x x –1 b) A – B e) 2 + A
B
Aplica c) A + A f) 2B + A
8. Determina en cada caso el valor de A. B
11. Utiliza las expresiones A, B y C para calcular lo que
1 x
a) 2
+A= 2 se pide.
x x y
a2 – b2 a2 – b 2
2 2 A = 1+ B = a– C=
1+x x +1 b2 a b
b) 2
+A= 2 2
x y x y
a) A + B + C d) 2A – B – C
3 –6
c) –A= 2
x +1 x –1 b) A – B + C e) B + 1
A
9. Reduce las siguientes expresiones. B
c) A – B – C f)
2 4 1 2 1
+ 6– – 2 A+C
a) x 7x e) x x
4 2 1 2 12. Conexiones: para los egipcios, las fracciones no
+ 3+ – 2
x 5x x x eran números sino “repartos por realizar”. Por
ello, para ellos solo tenían sentido las fracciones
x 2 + 3x + 2 2 de numerador 1 y toda fracción distinta se
a–
b) x+2 f) 2x – 3 debía expresar como una suma de fracciones de
8 denominador 1.
(x + 2) : (x + 1) 2a –1–
2x – 3
5 1 a) Investiga respecto de los procedimientos que
+2 g) 1–
c) x – 3 1 seguían los egipcios para expresar sus fracciones.
1 1–
x– 1 b) Realiza la descomposición “a la egipcia” para la
2x + 1 1–
x –1 fracción 4 .
1 7
x + 2y y 2 a+
+
a–
1 13. Desafío. Simplifica la siguiente expresión.
d) y x
h) a 3x 2x
xy + y 2 1 –
x+ a– x – y x+y
x+y 1 a)
a+ 4y 3x
a + y2
2 2 – 2
x – 2xy + y x + 2xy
Reflexiona
§ ¿En qué situaciones podrías utilizar la adición y sustracción de fracciones algebraicas?
§ Joaquín dice que la línea de fracción debe considerarse como un paréntesis a la hora de sumar y restar
fracciones algebraicas. ¿Estás de acuerdo con Joaquín? Justifica.
Unidad • e ra 185
1 1 1
+ =
4 3 x
Tenemos así una ecuación fraccionaria, es decir, una ecuación cuya incóg-
nita está presente en el denominador de una fracción algebraica. Podemos
observar que las restricciones de las fracciones son x ≠ 0.
mcm(4, 3, x) = 12x
1 1 1
+ = / • 12x
4 3 x
1 1 1
• 12x + • 12x = • 12x
4 3 x
3x + 4x = 12
7x = 12
12
x=
7
12 12 12
de
• 60 = 102,→
1 hora 85 de 102, 85 →
60=minutos
• 60 • 60 = 102, 85
7 7 7
Por lo tanto, se demorarán 102,85 minutos que es equivalente a 1 hora y 43
minutos aproximadamente.
En resumen
Razona
y comenta
Se llama ecuación fraccionaria a aquella cuya incógnita está presente en el § ¿Por qué es importan-
denominador de una fracción algebraica. te restringir la solución
Para resolver una ecuación fraccionaria, se multiplican ambos lados de ella por en una ecuación frac-
cionaria? ¿Por qué no
el mcm de los denominadores de las fracciones en las que esté presente la
realiza lo mismo en las
incógnita, y se obtiene así una ecuación no fraccionaria que se resuelve. ecuaciones lineales de
Se debe comprobar que la solución obtenida sea pertinente al problema (si primer grado? ¿Cuál es
corresponde), y que no corresponda a alguna restricción de las fracciones. la diferencia?
Repaso
Practiquemos lo aprendido
1. Resuelve las siguientes ecuaciones lineales de o) 8x – 15x – 30x – 51x = 3x – 31x – 100
primer grado con una incógnita.
p) (x + 3)2 – (x – 1)2 = x
a) 3x = 24 q) 4(2x – 3) = 5 + 4(x – 2)
b) 7 + x = 12 r) 9x – (5x + 1) – (2 + 8x – 7x +5) = –9
c) 3 – x = 3
2. Verifica si el valor dado es solución para la
d) x – 3 = 11 ecuación planteada.
e) 3x – 15 = 3
a) 5(z + 3) + 4(1− z) = z − 5z z=4
f) –2x – 1 = 8
4 16 4 20
g) 6 + 4x = 2x + 2
b) − (6x + 4) − 5(3 − x) = 0 x = 1,583
h) x + 2 = 3x – 4 6 25
i) 4x – 1 = 5x – 3
1
c) 9(3y + 9) − 15(0,5 + y) = 0, 4 y =1
j) 4x + 1 = 7x – 9 6 25 2 2
k) 2(x – 4) – (6 – x )= 3 x – 4
3. Identifica, entre las siguientes situaciones, las que
l) 2(x – 4 ) – (6 + x )= 3x – 1 se pueden representar mediante la ecuación
m) 3(x + 2) – 2(2x – 1) = 6x +1 2x + 1 = 3(x + 1).
Unidad • e ra 187
a) Un celular tiene un precio de $ 59 998. Si se tie- 7. Una balanza se equilibra en las siguientes
5 situaciones:
nen ahorrados de su costo, ¿cuál es el monto
9
• Si en un plato hay una vaca, y en el otro, cuatro cerdos.
que falta por ahorra?
• Si en un plato hay dos cerdos, y en el otro, cuatro perros.
b) Un atleta correrá un trayecto de 25 kilómetros. Si
ha recorrido 7 hectómetros, ¿cuál es la diferencia • Si en un plato hay un cerdo, un caballo y un perro, y
que le falta por recorrer? en el otro, una vaca.
c) Un notebook tiene un precio al contado de a) Si se ubica un caballo en un plato de la balanza,
$ 757 890. Si se cancela en 3 cuotas precio conta- ¿cuántos perros se deben poner en el otro para
do, ¿cuál es el monto que se pagará en 2 cuotas? que se equilibre?
d) Si en un terreno rectangular uno de sus lados
b) En uno de los platos de la balanza hay una vaca y un
mide el doble del otro y su perímetro es 44 m,
caballo. ¿Cuántos perros y cuántos cerdos se deben
¿cuál es el área del terreno?
poner en el otro plato para que se equilibre?
5. Resuelve los siguientes problemas.
Práctica guiada
a) Un número excede a otro en 10 unidades. Si ambos
números suman 90, determina el número mayor. 8. Resuelve las siguientes ecuaciones indicando
b) ¿Qué número es mayor que 45 en la misma can- las restricciones de cada una. Guíate por el
tidad en que es excedido por 135? procedimiento visto en la lección.
f) 3 = 1 + 1
x 3 2x
3x
g) 1 = 2 – x Paso 1
Practiquemos lo aprendido
Se remplaza la incógnita x por 2, y
3x 5 6 se desarrolla.
11 3
h) x 3x –4=
= 2 2
x + 3 3x + 5
3 3
=
i) 3 6 2 2
=
2x +1 2x +1
Paso 2 Ya que se obtiene una igualdad correcta,
j) 3 = 2 la proposición es verdadera.
x +1 x –1
a) 3 es solución de la ecuación 4 = 2 + 6.
3 2 x x
k) –4=
x +1 x +1 b) –2 es solución de la ecuación 10 = 4 .
2x + 6 6x – 8
l) 5+ 2 = –1
x +2
c) –8 es solución de la ecuación 1 + 2 2 = 4 .
3 x +2 x – 4 x – 2
m) 2 –1= 3
5+x 5+x
d) –3 es solución de la ecuación 4 – 5 = 2
2 x +2 x + 4 x +2
n) 2 − x = x
x − 3 x −1
e) x ≠ –2 para la ecuación 4 = 2 .
2 a −1 2 x – 2 x +2
o) − = 2
x − a x + a x − a2 f) x ≠ –5 y x ≠ –1 para la ecuación x 1 .
2
=
x – 25 x +1
p) x2 x 2
= +
2
x – 4 x +2 2 – x g) Para expresar la ecuación 2 = 1 como una
x x +2
q) 2 6x 2 2
+ 2 = ecuación lineal , se debe multiplicar por x(x+2).
3x –1 9x –1 3
h) Para que la expresión 6 sea igual a –4, x debe
r) 3 1 1
+ – =0 2x +5
3x – 9 4x + 4 12x +12 ser iguala a –5.
s) x–5 x–4 5
2
– 2 = 2 10. Resuelve las siguientes ecuaciones. Guíate por
x +2x − 3 x – 9 x – 4x +3
el ejemplo.
x +2 x –7 2 2
t) – + =0 Ejemplo: resuelve la ecuación 2+ = 3.
x – 2x –15 x 2 – 8x +15 x 2 – 9
2 1+ x
x
u) 5x – 2 7 2
2
– = Paso 1 Se determinan las restricciones de la ecua-
x + x –12 x + 4 2x – 6
ción. En la fracción 1+ x , se tiene que
x
9. Juzga si las siguientes proposiciones son
verdaderas o falsas. Justifica las falsas. Guíate por x ≠ 0, y en la fracción 2 , la fracción
1+ x
el ejemplo.
x
1+ x no puede ser cero, por lo tanto x ≠ –1.
Ejemplo: 2 es la solución de la ecuación 11 – 4 = 3 .
x 2 x
Unidad • e ra 189
19. El denominador de una fracción excede en 1 al a) ¿A qué distancia del vértice se formará la imagen de
Practiquemos lo aprendido
numerador. Si el denominador aumenta en 6, el un objeto ubicado a 20 cm del vértice de un espejo
valor de la fracción es 1. ¿Cuál es el valor de cóncavo si este tiene una distancia focal de 15 cm?
la fracción? 2
b) ¿A qué distancia del vértice de un espejo cónca-
20. Cristián camina desde una ciudad A hacia una vo se ubica un objeto si se sabe que la imagen
ciudad B, en un trayecto que demora 3 horas. que se formó se ubicó a 12 cm del vértice y su
Clara parte desde B hacia A al mismo tiempo distancia focal es de 8 cm?
en bicicleta, trayecto en el que se suele demorar
c) ¿Cuál debe ser la distancia focal de un espejo
una hora y cuarto. ¿Luego de cuánto tiempo
cóncavo para que tanto un objeto como su ima-
se encontrarán?
gen se ubiquen a 10 cm del vértice?
21. Considera el siguiente reloj análogo 23. Conexiones: El efecto Doppler es un principio
que explica por qué, cuando una fuente de
sonido de frecuencia constante avanza hacia
el observador, el sonido parece más agudo (de
mayor frecuencia), mientras que si la fuente se
aleja, parece más grave.
a) ¿A qué hora, entre las 4 y las 5, las agujas del reloj La frecuencia percibida f’ se relaciona con la fre-
formarán un ángulo recto? cuencia f emitida por el objeto mediante la fórmula
b) ¿A qué hora, entre las 7 y las 8, las agujas del reloj 340
formarán un ángulo extendido? f'=f
340± v s
c) ¿A qué hora, entre las 10 y las 11, las agujas del La unidad de medida de la frecuencia es el
reloj coincidirán? hertzio (Hz).
22. Conexiones: En óptica, existe una relación que a) ¿Cuál es la rapidez de la fuente que se acerca a un
permite determinar la distancia de una imagen receptor si este percibe una frecuencia de 500 Hz
(q), respecto del vértice (V) del espejo, que se cuando la fuente emite un sonido de 400 Hz?
formará por un objeto ubicado a una distancia (p)
de este vértice. b) Una fuente de sonido se está alejando del receptor,
quien la percibe con una frecuencia de 1000 Hz.
¿Cuál es la rapidez, si la fuente emite a 1500 Hz?
Objeto c) Para determinar la frecuencia percibida f’ por un
p
F f V receptor cuando tanto este como la fuente se
q acercan uno al otro, se aplica la fórmula
Imagen
340+ v 0
f'= f
340 – v s
donde vo es la rapidez del receptor. ¿Cuál es la
El punto F corresponde al foco del espejo, y f se rapidez de la fuente si la del receptor es de 30 m/s,
conoce como distancia focal. Para un espejo cón- lo que le permite percibir el sonido emitido por la
cavo, como el de la figura, se cumple la siguiente fuente de 800 Hz como un sonido de 1000 Hz?
relación entre p, q y f:
1 1 1
+ =
p q f
Reflexiona
§ ¿Qué dificultades encuentras al plantear problemas con fracciones algebraicas? Discute con tus compañeros.
Unidad • e ra 191
a+b 2b
–1
a – b= a=
–b 2b a – b b
• =
a+b 2a a – b 2a a
1–
b–a a–b
Para que una fracción represente un número positivo su numerador y su denominador deben tener ambos
igual signo, es decir, ser ambos positivos o ambos negativos. Lo anterior se puede expresar como ab > 0.
Podrás aplicar lo aprendido aquí en los problemas que se presentan en la página 194.
Reflexiona
§ ¿Habías cometido ya alguno(s) de estos errores? ¿Cuáles?
§ Respecto de los que no, ¿te sirve estar advertido de la posibilidad de cometerlos?
§ Revisa los ejercicios que hayas resuelto en la unidad. ¿Qué errores has cometido? ¿Qué acciones puedes
tomar para no volver a cometerlos?
Unidad • e ra 193
3 Determina en cada caso los valores de x para a. 3x , por 4m. c. 3a – 2b , por p2 + q3.
que se cumpla la condición dada. 2x –1 5a+ 4b
2 2
Evaluación
mide su altura? su reciproco resulta el mismo número aumenta-
do en tres?
Lección 27: Adición y sustracción de fracciones algebraicas b. El numerador de una fracción excede en 2 al
denominador. Si el denominador disminuye en 6,
15 Calcula las siguientes operaciones.
el valor de la fracción es 3. ¿Cuál es la fracción?
2 3 2 1 7
a. 3x – 3x +7 – 4 b.
2
– + 2
3x +3 3x +3 x – 6x x – 6 x – 36
Autoevaluación
Evalúa tu aprendizaje utilizando el solucionario y completa la siguiente tabla. Si no alcanzaste el mínimo sugerido en las actividades propuestas, vuelve a las
páginas indicadas para repasar.
Indicador Mínimo sugerido Puedes repasar en la(s) página(s)
Definir una fracción algebraica y sus restricciones. 2 respuestas correctas 164
Analizar una fracción algebraica. 2 respuestas correctas 166 y 167
Calcular mcd y mcm de expresiones algebraicas. 1 respuestas correctas 170 y 171
Amplificar y simplificar fracciones algebraicas. 3 respuestas correctas 174 y 175
Multiplicar y dividir fracciones algebraicas. 2 respuestas correctas 178 y 179
Sumar y restar fracciones algebraicas. 2 respuestas correctas 182 y 183
Resolver problemas que involucran ecuaciones fraccionarias. 2 respuestas correctas 186 y 187
Recapitulemos
En grupos de 4 personas respondan y discutan las siguientes preguntas.
Ü ¿Cuáles son los conceptos fundamentales de esta sección? ¿Qué contenidos te resultaron más difíciles?
Ü
Ü ¿Qué utilidad tiene lo que has aprendido? ¿Qué te resultó más interesante en esta sección?
Ü
Ü ¿En qué ámbitos se puede aplicar lo aprendido en esta sección?
¿Lograste cumplir los propósitos de esta sección?
Unidad • e ra 195
A analizar la gráfica de la función raíz cuadrada. Lección 30 modelar situaciones mediante funciones y analizar
las variaciones que experimenta su gráfica al variar
A analizar la gráfica de la función exponencial. Lección 31 sus parámetros.
Descartes fue consciente del gran aporte que su obra hacía a la matemática, y no
dudó en decir que “esta geometría supera a la ya conocida como la retórica de Cicerón
supera al ABC”.
Actividad grupal
En parejas, lean y realicen las siguientes actividades.
➊ ¿En qué disciplinas se utilizan y analizan curvas para estudiar fenómenos? Den algunos ejemplos e investiguen.
➋ Investiguen quién fue Cicerón para comprender el sentido de la frase de Descartes.
Actividad
d. f(x) = x 10 x 100 b = –2 y b = –6
Unidad • e ra 197
b) Grafiquen las funciones f(x), g(x) y h(x) en el mismo plano cartesiano, según
los valores de la tabla anterior. ¿Qué relación observas entre ellas?
c) Grafiquen las funciones f(x), j(x) y k(x) en el mismo plano cartesiano, según
los valores de la tabla anterior. ¿Qué relación observas entre ellas?
d) ¿En qué punto se intersecan las gráficas de las funciones f(x), g(x) y h(x) con
el eje Y? ¿Qué relación puedes establecer entre los términos de la función y
su gráfica?
e) ¿En qué punto se intersecan las gráficas de las funciones f(x), j(x) y k(x) con
el eje X? ¿Qué relación puedes establecer entre los términos de la función y
su gráfica?
f) ¿En qué punto se deben intersecar las gráficas de las funciones
j(x) =f(x) + 5 y k(x) = f(x) – 2 con el eje Y? Grafiquen y comprueben
sus conjeturas.
g) Considerando lo anterior conjeturen respecto de la relación que existe
entre las gráficas de las funciones f(x) = 2x, m(x) = f(x) + 5 y n(x) = f(x) – 2.
Luego, grafíquenlas y verifiquen sus conclusiones.
En general, dada una función f(x) y un número real positivo a, se tiene que:
f(x) + a es una traslación vertical de f(x), a unidades hacia arriba.
f(x) – a es una traslación vertical de f(x), a unidades hacia abajo.
f(x + a) es una traslación horizontal de f(x), a unidades hacia la izquierda.
f(x – a) es una traslación horizontal de f(x), a unidades hacia la derecha.
X –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
f(x) = 2x + 1
l(x) = –2x + 1
m(x) = –2x – 1
Grafiquen las funciones f(x), l(x) y m(x) en el mismo plano cartesiano, según los
valores de la tabla anterior. ¿Qué relación observan entre las gráficas de las fun-
ciones anteriores? Expliquen.
En general, dada una función f(x), se tiene que:
l(x) = f(–x) es una reflexión de f(x) respecto del eje Y.
m(x) = –f(x) es una reflexión de f(x) respecto del eje X.
f(x – a) f( – x)
f(x) f(x)
x a x x
f(x) – a f(x)
a
Razona
y comenta
§ ¿Qué crees que ocurrirá si se multiplica una función por un número? Experimenta
con una función f(x), grafícala y compara con 5f(x), –2f(x) y 0,5f(x).
Unidad • e ra 199
siguientes funciones.
1. Ubica los siguientes puntos en el plano 3
cartesiano. a) f(x) = 2x c) h(x) =
x 5
a) A(4, 4) e) E(–4, –2) i) I(0, 3) b) g(x) = 4 d) j(x) =
1
b) B(–6, 2) f) F(–2, –4) j) J(0, –3) x 1 x
c) C(–4, 5) g) G(–2, 4) k) K(3, 1)
Práctica guiada
Paso 2 b)
Practiquemos lo aprendido
Se grafica –10 +f(–x), trasladando vertical- Y
20
mente en 10 unidades hacia los negativos. 15
La gráfica azul corresponde a la función pedida. 10
5
Y 0
20 –30–25–20–15–10 –5 0 5 10 15 20 25 30 X
15 –5
–10
10
5 –15
0
–30–25–20–15–10 –5 0 5 10 15 20 25 30 X c) Y
–5 25
–10
20
–15 15
–20
10
–21 5
0
–30–25–20–15–10 –5 0 5 10 15 20 25 30 X
a) h(x)= –f(x) –5
–10
b) g(x)= f(–x) – 20 –15
Unidad • e ra 201
Paso 1 Haz clic sobre el botón , Deslizador, y luego sobre la ventana del gráfico.
Aparecerá una ventana en la que debes presionar Aceptar. Se creará una figura
como la que se muestra, con la que podemos hacer variar los valores de un
número a.
a=1
Repite el procedimiento para crear otro deslizador más, que será b. Fija su valor en 0.
Paso 3 Haz clic sobre el punto ubicado en el deslizador a, muévelo hasta el valor
a = 2,1. Se obtiene así el gráfico de la función pedida.
1 1
n(x) = x y p(x) = x
3 9
Unidad • e ra 203
Paso 4 d)
Practiquemos lo aprendido
Se traslada verticalmente hacia arriba en
Y
cinco unidades y = 5 − x − 6 . 6
5
Y 4
6 3
4 2
2 1
0 0
–5–2 0 5 10 15 20 25 30 35 40 X –1 0 1 2 3 4 5 6 X
–4
–6
7. Sin graficar determina el dominio y recorrido de
las siguientes funciones.
a) f(x) = x − 1 + 1 d) i(x) = 1+ 1− x
a) f(x) = x + 3 e) k(x) = − 2x − 10
b) g(x) = x + 2 + 2 e) j(x) = − x − 2 + 3
1
c) h(x) = x + 3 − 2 f) j(x) = 4 − − x b) g(x) = x − 1 f) l(x) = − 2x
4 3
Aplica x
c) h(x) = x − 1 g) m(x) = 10 + + 20
4
6. Identifica las funciones correspondientes a la
curva en rojo. La curva en azul corresponde a d) i(x) = 2x + 3 h) j(x) = 3 + x − 1
y = x.
8. Considera la función f(x) = x − a + b y determina
a) su dominio, recorrido e intersecciones con los ejes
Y
4 para los siguientes valores:
3
2 a) a = b = 1
1
0 b) a = –2, b =1
–1 0 1 2 3 4 5 6 X
c) a = 1, b = –2
b) 1
d) a = ,b=–5
Y 2
4
3 9. Utiliza la función f(x) = x − a + b, con a y
2
1
b , para determinar su dominio, recorrido e
0 intersecciones con los ejes según los valores de
–1 0 1 2 3 4 5 6 X
a y de b.
Reflexiona
§ Con lo que has visto en esta lección, ¿puedes anticipar cómo será el gráfico de la función y = x²?
Discute con tus compañeros.
Unidad • e ra 205
De las tablas anteriores se desprende que las situaciones se puede modelar mediante
funciones f(t) y g(t) tales que:
t
Primer cultivo: (t) =1 000 • 3 , con t U {0}
t
1
Segundo cultivo: g(t) = 1 000 • , con t U {0}
3
Este tipo de funciones, en que la variable independiente se encuentra en un expo-
nente, reciben el nombre de funciones exponenciales.
Observa que… Tania se pregunta qué sucede con las funciones exponenciales cuando varían algu-
• En el primer cultivo, la nos parámetros. Para responderle utilizaremos el programa GeoGebra, mediante los
cantidad de bacterias crece siguientes pasos.
a cada minuto, triplicán-
dose. Esto se conoce con Paso 1 Inserta dos deslizadores a y b, con valores mínimo y máximo de a –10 y 10,
el nombre de crecimiento respectivamente, y para b en 0 y 10.
exponencial. Paso 2 Escribe en la celda de Entrada la función y = a*b^x y presiona enter, lo que
• En el segundo cultivo, la x
permitirá analizar la función exponencial y = ab . Luego, escribe en la celda
x
cantidad de bacterias de Entrada la función exponencial f(x)= 2 , digitando y = 2^x. Se obtiene así
disminuye a cada minuto, la gráfica que se muestra en la siguiente figura.
dividiéndose por 3. Esto se
conoce como decrecimien-
to exponencial.
c) ¿Qué ocurre con las intersecciones con los ejes, en cada caso?
–4
–5
d) Explica con tus palabras lo que ocurre con la gráfica de la función, cuando b
toma distintos valores. Una función f(x) es creciente
si se cumple que si a > b
3. Fija el valor b = 2 y mueve el deslizador a.
entonces f(a) > f(b).
a) Analiza lo que ocurre con la gráfica de la función en los siguientes casos:
Una función f(x) es decre-
a>1 0<a<1 –1 < a < 0 a < –1 ciente si se cumple que si
b) ¿Qué ocurre con el dominio y el recorrido de la función en cada caso? a > b entonces f(b) > f(a).
c) ¿Qué ocurre con las intersecciones con los ejes, en cada caso?
d) Explica con tus palabras lo que ocurre con la gráfica de la función, cuando a
toma distintos valores.
En resumen
Podemos observar que una función exponencial se puede escribir de la forma
f(x) = abx
+
• a, b , con b > 0 y b ≠ 1 se tiene, Dom f(x) = y Rec f(x) = .
• La gráfica se interseca con el eje Y en el punto (0, a), y no se interseca con el eje X, que actúa como asíntota
de la gráfica.
• La gráfica de una función exponencial de la forma f(x)=bx depende del valor de b. Así:
– Si b > 1, la gráfica de la función es creciente, mientras que si 0 < b < 1, la gráfica es decreciente. Ade-
más, mientras mayor es el valor de b, la función tiene un mayor crecimiento.
b>1 0<b <1
Y Y
b b¹=b
1 1
b b¹=b
–2 –1 0 1 2 X –2 –1 0 1 2 X
x
– Si a < 1, la gráfica de y=abx es una dilatación de y = b , mientras que si a >1, es una contracción.
• La gráfica de y = ab x−c es una traslación horizontal de c unidades respecto de y = ab x, hacia la derecha si
c > 0 y hacia la izquierda se c < 0.
• La gráfica de y = ab x + h es una traslación vertical de h unidades respecto de y = ab x, hacia arriba si h > 0
y hacia abajo si h < 0.
Unidad • e ra 207
x x x
b) f(x) = 0,4 8. Sin graficar, determina el dominio recorrido e inter-
Practiquemos lo aprendido
g(x) = 0,3 h(x) = 0,1
secciones con los ejes de las gráficas correspondien-
Y tes a las siguientes funciones exponenciales.
5
x x
4 a) f(x) = 2 – 1 d) j(x) = 2 – 10
3 x
e) k(x) = − 1
x
2 b) g(x) = 10 – 5
1 x
2
0
c) h(x) = 1
x
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 X
f) h(x) = 1 – 3
–1 2
–2
9. Juzga si las siguientes proposiciones son
verdaderas o falsas. Justifica las falsas.
7. Identifica las funciones correspondientes a la
x a) Una función exponencial con base mayor que
curva en rojo. La curva en azul corresponde a y = 2 .
cero y menor que uno es siempre una función
a) decreciente.
Y
5 b) Una función exponencial con base fraccionaria
4
siempre es una función decreciente.
3
2 c) La grafica de una función exponencial con base
1 entera no se interseca con el eje X.
0
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 X d) La gráfica de la función h(x) = ax (a >1) se traslada
en 5 unidades horizontalmente hacia a los positi-
vos si se grafica h(x – 5).
b)
Y 10. Conexiones. En epidemiología se utilizan diversos
3
2 modelos matemáticos para representar el número
1 de personas contagiadas por una enfermedad. Por
0 ejemplo, el número de personas contagiadas por
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 X
–1 un virus esta dado por la función
–2
10000 • ( 2,72 )
t
f(t) =
( 2,72 )t + 9000
c)
Y donde t es la cantidad de días.
7
6 a) ¿Cuántos contagiados se espera que habrá luego
5 de 1, 4 y 10 días?
4
3 b) Grafica la función. ¿Qué ocurre al cabo de mucho
2 tiempo? Discute con tus compañeros.
1
0 11. Analiza considerando una función exponencial de
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 X base mayor que 1.
a) ¿Cómo es su comportamiento para valores nega-
tivos de x?
b) ¿Cuánto crece la función entre 0 y 1? ¿entre 1 y
2?, ¿entre 9 y 10? ¿Cómo describirías su compor-
tamiento? Discute con tus compañeros.
Reflexiona
§ ¿Cuál es la diferencia entre una función exponencial y una función potencia?
§ Respecto a la relación que existe entre las potencias y los logaritmos, estudiada en la unidad 1, ¿qué relación
crees que existe entre una función exponencial y logarítmica?, ¿cómo será la gráfica de una función logarítmica?
Unidad • e ra 209
En resumen
Podemos observar que una función logarítmica se puede escribir de la forma
f(x) = loga x
Unidad • e ra 211
x log x Y
b) log = 1,5
y log y
1
c) 4 log (x) = log (x4) 0,5
0
d) log (2x – y) = log 2 + log x – log y –1 0 1 2 3 4 5 6 7 X
–0,5
Práctica guiada –1
–1,5
3. Construye la gráfica de las siguientes funciones
exponenciales. Guíate por el ejemplo a) f(x) = log (x +3) e) j(x) = 2 log x – 1
Paso 2
Practiquemos lo aprendido
Se busca un punto (0, y), es decir, el valor c) Y
de la función para x = 0. 2
f(0) = 2 + log5 (x + 9) ⇒ f(0) = 2 + log5 9 1
0
f(0) ≈ 2 + log5 9 = 3,365 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 X
–1
Por lo tanto, el punto de intersección con el eje Y es, –2
aproximadamente, (0; 3,365). –3
–4
a) f(x) = log (– x + 5)
b) g(x) = log (x + 10)
d) Y
c) h(x) = 2 + log2(x – 2) 2
1
d) j(x) = log2(x – 3) + 9 0
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 X
–1
x + 5
e) k(x) = log 1
3
–2
2 –3
–4
f) l(x) = log 3 (7 − x )
4
Aplica
7. Sin graficar determina el dominio y recorrido de
5. Determina qué condición debe cumplir a, en las siguientes funciones logarítmicas.
cada caso para que las siguientes funciones sean
decrecientes o crecientes. a) f(x) = log x + 1 c) h(x) = log3 x – 5
Unidad • e ra 213
Cierta población de bacterias que inicialmente tenía una población de 1800 microorganismos, aumenta a 3000
bacterias en tres horas. Suponiendo que el crecimiento de esta población es exponencial, ¿cuántos de estos
microorganismos habrá al cabo de 15 horas?
Podrás aplicar lo aprendido aquí en los problemas que se presentan en la página 216.
Reflexiona
§ ¿Habías cometido ya alguno(s) de estos errores? ¿Cuáles?
§ Respecto de los que no, ¿te sirve estar advertido de la posibilidad de cometerlos?
§ Revisa los ejercicios que hayas hecho en la unidad. ¿Qué errores has cometido? ¿Qué acciones puedes tomar
para no volver a cometerlos?
Unidad • e ra 215
Construye las gráficas de las siguientes funciones. Lección 31: Función exponencial
a. –f(x) c. f(-x) e. f(x) + 1 5 Construye la gráfica de las siguientes funciones
b. f(x – 4) d. f(x+2) f. f(x) – 3 x–
a. f(x) = 4 ³ c. h(x) = 5
–x +
4
2 El siguiente grafico muestra la relación entre la x– –x
nota obtenida y el porcentaje de respuestas co- b. g(x) = 3 ²+1 d. j(x) = (0,5) – 1
rrectas. En esta escala el 60% de logro correspon- 6 Identifica las funciones correspondientes a la cur-
de a una nota 4,0 y el 100% de logro corresponde x
va en rojo. La curva en verde corresponde a y = 3 .
Evaluación
a un 7,0.
Relación entre el porcentaje de logro y la nota a. Y
Y 9
7,0 8
6,0
5,0 7
4,0
Nota
3,0 6
2,0 5
1,0
4
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 X 3
Porcentaje de logro (%) 2
1
a. ¿Qué nota corresponde, aproximadamente, al 0
86% de logro? –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 X
7 La cantidad de ciertas bacterias presentes en un 10 Determina los puntos de intersección con los
cuerpo se reproduce exponencialmente, dupli- ejes de las gráficas de las siguientes funciones
cando su población cada 3 minutos. logarítmicas.
a. Completa la siguiente tabla. a. f(x) = log (x + 6)
Producción de la población de bacterias b. h(x) = log3 (x + 9) – 1
Tiempo (minutos) 3 6 9 12 15 18 21 24 27 c. g(x) = log (x – 5)
Población 500
d. j(x) = log 1 ( − x + 4 )
4
b. ¿Qué función f(x) modela la situación según el
tiempo de reproducción? 11 Determina qué condición debe cumplir a, en
cada caso, para que las siguientes funciones sean
c. ¿Cuál es el dominio y el recorrido de f(x)? decrecientes o crecientes.
d. Esboza un gráfico de f(x). a. f(x) = loga+1 x
8 Sin graficar determina el dominio, recorrido e in- b. h(x) = log(6a+5) x
tersecciones con los ejes de las gráficas correspon-
dientes a las siguientes funciones exponenciales. c. g(x) = log–3a x
x
x 1 d. j(x) = log(6–3a) x
a. f(x) = 3 + 1 c. h(x) =
3
x x
12 Determina sin graficar el dominio y recorrido de
b. g(x) = 5 – 2 d. j(x) = –4 + 2 las siguientes funciones logarítmicas.
Lección 32: Función logarítmica a. f(x) = log x + 2
9 Construye la gráfica de las siguientes funciones b. g(x) = log 3x – 4
Evaluación
logarítmicas, considerando el grafico de y = log x. c. h(x) = 1 – log3 x
a. f(x) = log (x – 4) c. h(x) = 1 – log (2x) d. j(x) = log2 (x + 8)
b. g(x) = –log x + 1 d. j(x) = log (x + 3) – 2
Autoevaluación
Evalúa tu aprendizaje utilizando el solucionario y completa la siguiente tabla. Si no alcanzaste el mínimo sugerido en las actividades propuestas, vuelve a las
páginas indicadas para repasar.
Indicador Mínimo sugerido Puedes repasar en la(s) página(s)
Analizar gráficas de funciones y sus variaciones. 2 respuestas correctas 198 y 199
Analizar la gráfica de la función raíz cuadrada. 2 respuestas correctas 202 y 203
Analizar la gráfica de la función exponencial. 3 respuestas correctas 206 y 207
Analizar la gráfica de la función logarítmica. 3 respuestas correctas 210 y 211
Recapitulemos
En grupos de 4 personas, respondan y discutan las siguientes preguntas.
¿Cuáles son los conceptos fundamentales de esta sección?
Ü ¿Qué contenidos te resultaron más difíciles?
Ü
¿Qué utilidad tiene lo que has aprendido?
Ü ¿Qué te resultó más interesante en esta sección?
Ü
¿En qué ámbitos se puede aplicar lo aprendido en esta sección?
Ü
¿Lograste cumplir los propósitos de esta sección?
Unidad • e ra 217
A resolver algebraicamente un sistema de ecuaciones lineales. Lección 35 plantear y resolver problemas en variados
ámbitos, y analizar sus soluciones.
A analizar algebraicamente la existencia de soluciones de un
Lección 36
sistema de ecuaciones lineales.
A plantear y resolver problemas que involucran sistemas de
Lección 37
ecuaciones lineales.
Ü
Determinado 2005 se utiliza un sistema diseñado por el Centro de Gestión de operaciones del depar-
Ü tamento de Ingeniería Industrial de la Universidad de Chile para la programación del
Reducir
Campeonato de fútbol profesional. Mediante este sistema se busca no solo garantizar
§ ¿En qué contextos has las condiciones básicas de un campeonato (que todos jueguen contra todos, alternar la
visto que se debe cumplir condición de local – visita, etc), sino además incluir algunas variables de tipo comercial
más de una condición en que dan más atractivo al campeonato. Algunas de ellas son:
un problema?
• Los partidos llamados clásicos (Colo Colo – Universidad de Chile, Universidad de
Chile – Universidad Católica y Universidad Católica – Colo Colo) se deben jugar
entre las fechas 11 y 16.
• Ningún equipo jugará en fechas consecutivas contra Colo Colo y Universidad de Chile.
• Si hay fechas a mitad de semana y el fin de semana, los equipos deben jugar en
ciudades geográficamente cercanas.
La adecuada programación computacional ha permitido generar programaciones cada
vez más óptimas, resultando un gran aporte de la tecnología al espectáculo deportivo.
Actividad grupal
En parejas, lean y realicen las siguientes actividades.
➊ ¿Por qué creen que se ponen las condiciones descritas al campeonato? ¿Pondrían ustedes otras? ¿Cuáles?
➋ Analicen el horario de enseñanza media de su colegio. ¿Puede mejorarse? Consulten con la persona
encargada de hacerlo cuál es el mecanismo utilizado y sus dificultades.
Actividad
del número. a cada gráfico.
Unidad • e ra 219
Practiquemos lo aprendido
d) x = –2, para la ecuación x2 – 5x – 14 = 0
1. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado.
e) x = –3, para la ecuación 2x2 +12 = – 18
a) 6 – x = 12 e) 3x – 0,5 = 67
f) x = 2, para la ecuación 3x2 –12 = 0
b) 9 – 2x = 16 f) 26 = 2 – 6x
g) x = 0, para la ecuación 3x2 – 5x = 0
c) 2x + 6x = 16 g) x +5 = 2x – 9
3 Práctica guiada
d) x + 3x = 18 – 2x h) 3x 2x 1
– = x– 5. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones.
4 5 2
Utiliza el procedimiento visto en la lección.
2. Expresa en lenguaje algebraico las siguientes
situaciones. a) –2x + y = –2 d) –3x + 4y = y
a) Mi mamá tiene 24 años más que yo. 3x – y = 4 7x – y = 5y +2
b) Entre mi hermano y yo tenemos 132 láminas.
b) 3x + 6y = 6 e) x + 4y = 8
c) El producto de mi edad por 10 es igual a 100.
–2x +3y = 2 –x – 2y = –3
d) La cantidad de departamentos de un edificio es
igual al triple de 50. f)
c) –7x+14y = 10 4y +5 = 2x
e) La diferencia entre un número y 40 es igual a 28.
7x+y = 10 6( x –1)+ 4y = y
f) El cociente entre un número y 6 es igual a 3.
3. Resuelve los siguientes problemas. 6. Plantea y resuelve los sistemas de ecuaciones
correspondientes a las siguientes situaciones.
a) El perímetro de un rectángulo es de 204 cm. El Guíate por el procedimiento indicado en la lección.
largo es el doble del ancho y el ancho está repre-
sentado por la expresión 8x + 10. ¿Cuánto miden a) La suma de dos números es 29 y su diferencia es 5.
el largo y el ancho? ¿Cuáles son los números?
b) El doble de la edad de Carlos es igual al triple de b) La suma de dos números es 100 y su diferencia
100 menos 150. ¿Cuál es la edad de Carlos? es 48. Determina los números.
Unidad • e ra 221
Paso 2 Se construye una tabla de valores para cada una de las ecuaciones.
y = –x + 1 y = –2x – 1
x y (x, y) x y (x, y)
–1 2 (–1, 2) –1 1 (–1, 1)
0 1 (0, 1) 0 –1 (0, –1)
1 0 (1, 0) 1 –3 (1, –3)
Paso 3 Se grafican ambas funciones en un mismo sistema cartesiano. Para ello ubi-
camos los pares ordenados obtenidos en el plano cartesiano y graficamos
las rectas.
Y
4x + 2y = –2
5
(–2, 3) es el punto de intersección x+y=1
4
entre las rectas que representan
3
gráficamente las ecuaciones en el
plano cartesiano. 2
1
0
X
–4 –3 –2 –1–1 0 1 2 3 4 5
–2
–3
–4
Paso 4 Analizando con detalle el gráfico podemos observar que las rectas se inter-
secan en el punto de coordenadas (–2, 3). Por lo tanto, esta es la solución
del sistema.
3x + y = 1 y = –3x +1 x 1 x 3 Ayuda
→ y=– + y =− +
2x– y = 3 y = 2x–3 x + 5y = 1 5 5 2x + 4y = 6 2 2
→ → Las ecuaciones 2x + 4y = 6 y
2x +10y = 8 x 4 3x + 6y = 9 x 3 3x + 6y = 9 se satisfacen con
y=– + y =− +
Y 5 5 2 2 los mismos valores, por lo que
4 decimos que son equivalentes.
3 Y Y
2 4 4
1 3 3
0
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 X 2 2
–1 1 1
–2 0 0
–3 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 X –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 X
–1 –1
–4 –2 –2
–3 –3
–4 –4
Se obtienen dos rectas secantes
(se intersecan en un punto).
Por lo tanto, el sistema tiene Se obtienen dos rectas paralelas Se obtienen dos rectas
solución, y es única. (no se intersecan). Por lo tanto, el coincidentes (se intersecan
sistema no tiene solución. en todos sus puntos). Por
Este tipo de sistemas se llama lo tanto, el sistema tiene
compatible determinado. Este tipo de sistemas se llama infinitas soluciones.
incompatible.
Este tipo de sistemas se llama
compatible indeterminado.
Unidad • e ra 223
7. Sin resolver los siguientes sistemas, determina 8. Asocia a cada uno de los siguientes gráficos
Practiquemos lo aprendido
si cada uno de ellos es compatible determinado, su respectivo sistema de ecuaciones. Para
compatible indeterminado o incompatible. Guíate ello, identifica primero el tipo de sistema que
por el ejemplo representa, y luego analiza los sistemas dados.
Ejemplo: 3x +3y = 13 a.
2y = 12 – 3x
Unidad • e ra 225
Podemos observar que en cada uno de ellos hay una ecuación en la que una de las
variables aparece con coeficiente igual a 1 o a –1. Para resolver cada sistema aplicaremos
los siguientes pasos.
Paso 1 Se despeja la variable con coeficiente 1 o –1 en la ecuación indicada.
x = 1– 4y 2x – 3 = y 2x – 3y = 9
3x +12y = –1 4x – 2y = 6 x = –2 – 5y
Método de igualación
Considera los siguientes sistemas de ecuaciones.
3x +5y = 9 2x –11y = –5 2x – 6y = –10
(1) (2) (3)
3x – 2y = –12 3x –11y = 9 x + 6y = 4
Paso 2 Se igualan las expresiones obtenidas en ambas ecuaciones para obtener una
ecuación con una incógnita, que se resuelve.
3x 9 =
= – 5y –12 + 2y –11y –2x
= = – 5 –3x + 9=6y 2x=+ 10 4 – x
9 + 12 = 2y + 5y 3x – 2x = 9 + 5 2x + x = 4 –10
21= 7y x = 14 3x = –6
3= y x = –2
Paso 3 Remplazamos el valor obtenido en alguna de las ecuaciones del sistema obtenido
en el paso 1 para determinar el valor de la otra variable.
3x = 9 – 5 • 3 –11y = –2 •14 – 5 6y = 4 – –2
x = –2 y=3 y =1
Paso 4 Las soluciones de los sistemas son, respectivamente, (-2, 3), (14, 3) y (-2, 1).
Considerando este método podemos realizar algunas observaciones:
• Es posible multiplicar (o dividir) por un número una de las ecuaciones,
o ambas, para obtener variables con el mismo coeficiente y aplicar el
método. Por ejemplo:
5x – 3y = –1 • 2 10x – 6y = –2
→
8x – 6y = 5 8x – 6y = 5
Unidad • e ra 227
Método de reducción
Considera los siguientes sistemas de ecuaciones.
2x +3y = 6 5x – 8y = 0 2x +3y = 1
(1) (2) (3)
4x +5y = −1 4x +2y = 7 5x – 2y = 1
Paso 2 Se suman o restan las ecuaciones (según convenga) de lado a lado, para reducir
el término con coeficiente común. Se obtiene así una ecuación con una sola
incógnita que se resuelve.
4x + 6y = 12 5x – 8y = 0 10x +15y = 5
4x +5y = –1 – 16x + 8y = 28 + 10x – 4y = 2 –
0x + y = 13 21x + 0y = 28 0x +19y = 3
y = 13 21x = 28 19y = 3
4 3
x= y=
3 19
Paso 3 Se remplazan los valores obtenidos en alguna de las ecuaciones originales, para
Razona determinar el valor de la otra incógnita.
y comenta 4 3
§ Trinidad dice que, en 2x +3•13 = 6 5• – 8y = 0 2x + 3• = 1
3 19
el fondo, los tres siste- 33
x =− 5 5
mas de resolución son 2 y= x=
6 19
lo mismo, y se pueden
aplicar para cualquier Paso 4 Las soluciones de los sistemas son, respectivamente,
sistema de ecuacio-
33 4 5 5 3
nes. ¿Estás de acuerdo – ,13 , , y , .
2 3 6 19 19
con ella? Justifica.
§ ¿Qué se obtendrá si se
resuelve por reducción En resumen
un sistema de ecua- Podemos resolver un sistema de ecuaciones utilizando los métodos de
ciones compatible sustitución, igualación o reducción. En los tres casos, buscamos reducir las
indeterminado? ¿Y uno ecuaciones a una ecuación de una incógnita que se resuelve, y luego permite
incompatible? Justifica. calcular el valor de la otra.
Practiquemos lo aprendido
1. Resuelve las siguientes ecuaciones. 4. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones
por el método de sustitución. Guíate por el
a) 4x – 8 = 6 + 2x procedimiento visto en la lección.
b) 16 + 3x = –12 – 4x a) x = 10y j) x + y = 2
c) 4x + 17 = 11x + 24 x + y = 12 3x – y = 2
d) 4(x – 3) + 40 = 64 – 3(x – 2) b) x + y = 50 k) x + 2y = 25
x = y –10 2x + 3y = 40
e) 2(x – 4) – (6 + x) = 3x – 4
c) 2x + y = 12 l) 3x – 2y = 1
f) 3x + 12 + 2x + 10 = 6
x + 3y = 11 x + 4y = 19
g) 15(x – 1) + 20(x + 1) = 75 d) x – y = 10 m) –2x + y = 9
h) 15 (x – 1) – 2 (x + 1) = 75 2x + 3y = 10 4x – 3y = 10
a) 2x – 8y – 6y – y – 9x a) 2x + 2y = 8 g) x + 6y = 6
3x + 2y = 14 –x + 3y = 2
b) (2x4 – 3x2 + 1) + (4x2 – 2x + 8)
b) x – 3y = 1 h) 2x –10 = 100 – 5y
c) 4(x – 1) + 1+ 3(x + 1) 2x + 3y = 7 –5y – x = –10
d) –2(2x – 4) + 5(–2x – 10) c) x + 2y = 25 1
i) x – – 5y = 0
e) 3a2 – [2a – 1 – (2a2 – 5a + 3)] – 6 x + 3y = 40 5
1
f) (3a2 – 5ab + 2c – 2bc) – (5a2 – 5ab – 2bc) d) 2x + 6y = 6 y – – 2x = 5
5
2x – 3y = –10
2 3
g) ( x – 0,5)+ (x – 6) e) –2x + y = –2 j) 2x – 3y = 12
5 2 3y – 25 = 5x
1 1 2 2 3x – y = 4
h) x + x – 2 – – x – x + x
2
2 2 3 f) 5x – y = 3x
2x + y = 8 + 3x
Unidad • e ra 229
10. Considera el siguiente sistema de ecuaciones de 13. Un sistema de ecuaciones se denomina homogéneo
Practiquemos lo aprendido
coeficientes literales. si sus términos libres son ambos iguales a cero.
ax + by = e Muestra que un sistema homogéneo, o bien es
compatible indeterminado, o tiene solución única e
cx + dy = f
igual a (0, 0).
a) Utiliza el método de reducción para demostrar
14. Analiza la siguiente estrategia para resolver el
que su solución está dada por la expresión
sistema de tres ecuaciones lineales y tres incógnitas
de – bf af – ce
, x + 3y + 2z = 2
ad – bc ad – bc
2x – 2y + z = 6
b) Considerando lo anterior, ¿qué debe ocurrir para 3x + y – z = 0
que el sistema tenga solución única?
• Se utiliza el método de eliminación entre la prime-
c) Analiza lo que ocurre si ad = bc pero de – bf ≠ 0? ra y la segunda ecuación, y luego entre la primera
¿Qué tipo de sistema es? Justifica. y la tercera, para eliminar la variable x.
d) Analiza lo que ocurre si ad = bc y de – bf = 0? x + 3y + 2z = 2 2x + 6y + 4z = 4
¿Qué tipo de sistema es? Justifica. 2x – 2y + z = 6 → 8y + 3z = –2 →
11. Aplica la fórmula de la pregunta anterior para 3x + y – z = 0 3x + y – z = 0
resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
x + 3y + 2z = 2 2x + 6y + 4z = 4
a) 2x + 5y = 1 f) 3x + 2y = 0 8y + 3z = –2 → 8y + 3z = –2
x + 3y = 1 2x + 3y = 1 3x + y – z = 0 8y + 7z = 6
Unidad • e ra 231
Emilio: 3x + 2y = 15 300
Andrea: 6x + 4y = 30 600
José: 9x + 6y = 40 500
Claudia: 5x + 3y = 24 100
Paso 2 Estefanía constata que la información dada por Andrea es la misma que la que
le dio Emilio, ya que Andrea compró el doble de martillos y de serruchos, y
precisamente le costaron el doble. Es decir, las ecuaciones correspondientes a
la información entregada por Emilio y por Andrea son equivalentes, por lo que
el sistema que ellas formen es compatible indeterminado.
3x + 2y = 15 300 • 2 6x + 4y = 30 600
→
6x + 4y = 30 600 6x + 4y = 30 600
Ayuda Paso 3 José compró el triple de martillos que José y el triple de serruchos, pero pagó $ 40
Se dice que una información es 500 por ellos. Estefanía observa que el total no es el triple de lo que pagó Emilio,
consistente si en ella no hay por lo que le parece que la información entregada por José es contradictoria. Si
contradicciones. En caso con- plantea un sistema con estas dos ecuaciones es incompatible
trario se dice inconsistente.
3x + 2y = 15 300 • 3 9x + 6y = 45 900
Por esto, un sistema incompa- →
9x + 6y = 40 500 9x + 6y = 40 500
tible suele llamarse también
inconsistente.
Unidad • e ra 233
1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones. 5. Analiza los siguientes sistemas y determina de
qué tipo son. Guíate por el ejemplo.
a) x + 2y = 4 d) 3x + 5y = 10
–2x + 3y = 5 –x + 4y = –3 Ejemplo: 8x + 12y = 4
6x + 9y = 5
b) 5x – 2y = 0 e) 2x + 7y = 0
2x + y = 3 2x + 11y = 0 Paso 1 Se analizan los coeficientes de x en am-
bas ecuaciones, para determinar k:
c) x + y = –1 f) –3x + 8y = 0
6 3
4x + y = –7 –7x + 10y = –9 6=k•8→k = =
8 4
2. Representa gráficamente cada uno de los siguientes Paso 2 Se verifica si al multiplicar el coeficien-
sistemas de ecuaciones y determina de qué tipo son. te de y de la primera ecuación por k se
obtiene el de la segunda:
a) x – 2y = 2 d) 3x + 5y = 8
3 36
x + 3y = 5 x + 4y = –6 =•12 =•12 =9
4 4
b) x–y=9 e) 2x + 10y = 1 Se concluye que el sistema es compatible determi-
2x – 2y = 4 5x + 25y = 7 nado o incompatible.
Practiquemos lo aprendido
Se analiza la condición que debe cumplir
k para que el sistema sea compatible kx –10y = 1
determinado. a) El sistema es compatible determina-
5 k 15 4x + ky = 8
≠ →k ≠– do, para cualquier valor real de k.
2 −3 2
15 x – 7y = 1
Por lo tanto, si k ≠ – , el sistema es compatible b) El sistema no puede ser compatible
determinado. 2 x + ky = 8
15 indeterminado.
Paso 2 Se analiza lo que ocurre si k = – . Al
2 x + y =k
remplazar este valor se obtiene el sistema c) El sistema no puede ser compatible.
x + y =k +1
2x – 3y = 4
ax – by = e
15 d) El sistema es compatible determina-
5x – y = 11 cx + dy = f
2
do si a, b, c y d son números naturales.
Se observa que
5 15 5 11 9. Determina en cada caso si la información
5= •2 – = • (–3) 11= •4
2 2 2 4 entregada por Enrique y Daniela es consistente o
inconsistente. Justifica en cada caso.
El número por el que se debe multiplicar el término
libre de la primera ecuación para obtener el de la segunda a) Enrique: mi edad es el doble de la de Daniela.
no es igual al utilizado para obtener los coeficientes. Por Daniela: la edad de Enrique menos mi edad, es
15 igual a mi edad.
lo tanto, si k = – el sistema es incompatible.
2 b) Enrique: El costo de cuatro relojes y dos lapiceras
a) x + 4y = 1 d) x + ky = 0 es igual a $21 000.
Daniela: El costo de seis relojes y tres lapiceras es
3x + ky = 3 5x + 8y = 1
igual a $25 000.
b) 8x –10y = 15 e) 5x + ky = 1
10. Determina cuál(es) de los siguientes sistemas
4x + ky = 6 5x + y = 1 es(son) compatible(s) indeterminado(s).
c) 3x – y = 0 f) x + 5y = 4
a) x – 3y = b – a c) x + y =b–a
kx + 9y = 4 kx + 10y = 8 2 2
x–y=a +b –ax + ay = a2 – ab
Aplica b) x + y = b –1
7. Para los siguientes sistemas, determina valores de ax – ay = b2 –1
a y de b para que se cumpla la condición pedida.
11. Desafío: Emilio quiere determinar las ecuaciones
2x + 5y = 4
a) , para que sea compatible determinado. de 3 rectas, L1, L2 y L3, de modo que L1 y L2 formen
ax + by = 9 un sistema compatible determinado, L1 y L3 uno
ax + 8y = 4 indeterminado y L2 con L3 formen uno incompatible.
b) , para que sea compatible indeterminado. ¿Es posible hacerlo? Si no es posible, justifica por qué.
2x + by = 8
x + ay = 2 12. Desafío: Andrés y Camilo discuten sobre el área y
c) , para que sea incompatible. perímetro de un rectángulo. Andrés asegura que no
4x + by = 10
se puede construir un rectángulo cuyo perímetro sea
3x + ay = b 22 cm y la diferencia entre la medida del largo y ancho
d) , para que sea compatible determinado.
5x + by = 9 sea de 3 cm, en cambio Camilo insiste que si existe.
¿Quién tiene la razón?¿Cómo lo puedes averiguar?
Reflexiona
§ En ocasiones, los medios de comunicación entregan información inconsistente, o incompatible entre sí. ¿Has
visto casos de este tipo? Busca un ejemplo en diarios, revistas o televisión
Unidad • e ra 235
x: edad de Rubén.
y: edad de Luis.
Con esto podemos plantear el sistema de ecuaciones.
La edad de Rubén menos la edad de Luis es igual a 27 años:
x – y = 27
El triple de la edad de Rubén más el doble de la edad de Luis es iguala a 61 años:
3x + 2y = 61
Por lo tanto el sistema es:
x – y = 27
3x + 2y = 61
Ya que los valores por los que se debe multiplicar son distintos, el sistema es
compatible determinado, es decir, tiene solución única.
Paso 3 Se resuelve el sistema utilizando alguno de los métodos vistos. En este caso, ya
que la primera ecuación tiene variables con coeficiente igual a 1 es conveniente
proceder por sustitución.
x – y = 27 x = 27 + y
→
3x + 2y = 61 3x + 2y = 61
3(27 + y) + 2y = 61
81+ 3y + 2y = 61
5y = –20
y = –4
Paso 5 Aunque en este caso la solución no es pertinente, en el caso de que lo fuera pue-
des verificar que los valores obtenidos satisfacen las condiciones del problema.
En este caso:
x – y = 27
23 – –4 = 27
27 = 27
El triple de la edad de Rubén más el doble de la de Luis es iguala a 61 años:
3x + 2y = 61
3 • 23 2 • –4 = 61
Razona
69 + –8 = 61 y comenta
61 = 61 § ¿Cuál es la diferencia
entre un sistema incom-
Por lo tanto, podemos verificar que la solución obtenida sería correcta pues cum-
patible y un problema
ple las condiciones, pero el problema no tiene solución pues el valor obtenido
con solución que no es
no es pertinente.
pertinente? Explica con
tus palabras.
§ Analiza el enunciado
del problema. ¿Habrías
En resumen
podido anticipar que
Para resolver problemas que involucran sistemas de ecuaciones, asignamos las la solución no era
letras a las respectivas incógnitas, planteamos las ecuaciones y se resuelve el pertinente, antes de re-
sistema, si tiene solución única. Es importante verificar si la solución obtenida es solverlo? Explica cómo
pertinente al contexto del problema. podría hacerse esto.
Unidad • e ra 237
Practiquemos lo aprendido
a 48 años. Si Andrés tiene el doble de la edad de
Jaime, ¿cuáles son las edades de cada uno? 6. Resuelve los siguientes problemas geométricos.
i) En un corral hay conejos y gallinas, que en a) El perímetro de un rectángulo es 50 cm y el
conjunto suman 36 ojos y 110 patas. ¿Cuántos largo excede al ancho en 1 cm. ¿Cuál es el área
animales hay? del rectángulo?
j) Las edades de dos hermanos están en razón 4 : 5. b) ¿Cuáles son las me-
Si hace dos años el menor tenía 26 años, ¿cuán- didas de los ángu-
tos años tenía el mayor cuando su hermano los dibujados en el
menor nació? siguiente triángulo
rectángulo?
k) En un curso hay 45 estudiantes. Si el doble de la
cantidad de hombres sobrepasa en 10 estudian- c) ¿Cuáles son las medidas
tes al doble de la cantidad de alumnas, ¿cuántas de los ángulos interiores
mujeres hay en el curso? del siguiente paralelo-
gramo?
l) Si se compran cuatro computadores de la marca
A y tres de la marca B se debe pagar $ 3 573 000; d) Dos ángulos y β son complementarios. Si se
mientras que al comprar cinco de la marca A y aumenta la medida del primero al doble y la
cuatro de la marca B se debe pagar $ 3 500 000. medida del segundo disminuye en 10 grados, al
¿Cuál es el valor de cada computador? sumarlos se obtiene el suplemento de 45°. ¿Cuá-
les son las medidas de los ángulos y β?
m) A una función de cine asistieron 850 personas y
se recaudaron $ 2 052 400. Si la entrada tenía un e) El perímetro de un terreno rectangular mide 232 m.
valor de $ 2800 para los adultos y $ 2200 para los Si se sabe que el largo es 8 m mayor que el ancho,
niños, ¿cuántos niños asistieron a la función? ¿cuáles son sus dimensiones?
n) La edad de un padre y la de su hijo suman f) y β son dos ángulos complementarios y la
100 años, y dentro de dos años la edad del padre diferencia entre el doble del ángulo y el ángulo
será el doble de la de su hijo. ¿Cuáles son las β es de 180° ¿Cuáles son los ángulos?
edades actuales de cada uno?
g) ¿Cuáles son las medidas de x e y
o) En un garaje hay 55 vehículos, entre autos y mo- en la siguiente figura?
tos. Si en total se cuentan 160 ruedas, ¿cuántos
autos y cuántas motos hay?
p) Andrea ganó el doble de dinero que Paula, y entre h) En la siguiente figura la suma
ambas ganaron $ 210 000. ¿Cuánto ganó cada una? de las medidas de w y z es
de 90° y el ángulo exterior
q) En un taller de pintura, una máquina la mezcla a la circunferencia mide 30°
de acuerdo con el color y el tinte elegido por ¿Cuáles son las medidas de
el consumidor. El precio de una lata de pintura los arcos AB y CD?
se calcula de acuerdo a las cantidades de cada
una de estas sustancias. El precio de un galón de i) En la siguiente circunferencia,
látex es de $ 4000 y el de tinte es de $ 8000. Si un la suma de las medidas de los
cliente pagó $ 100 000, por quince galones en ángulos inscritos y β es de 68°,
total, ¿cuántos galones de látex y tinte compró? y la tercera parte de la medida del
ángulo del centro γ más la del ángulo del centro
r) María compra 5 kg de manzanas y 2,5 kg de na- es de 150°. ¿Cuánto mide cada ángulo en la
ranjas pagando en total $4550. Al otro día regresa circunferencia?
a comprar más, y por 6 kg de manzanas y 4 kg de
naranjas paga $5250. ¿Cuál es el precio por kg de
manzanas y de naranjas?
Unidad • e ra 239
a) 5 gomas más dos lápices cuestan $650 y por el Este tipo de sistemas siempre tiene infinitas soluciones,
precio de 3 gomas más 50 pesos me llevo un por lo que para encontrar una de ellas daremos un valor
lápiz. ¿Cuánto cuesta cada artículo? a x, y a partir de ello encontraremos los demás valores.
Sea x = 1. Con ello. la de la recta que pasa por los puntos (80, 120) y
Practiquemos lo aprendido
1= z 1= z 1= z (200, 40), es decir:
1 100
4 •1= 2w → 2 = w →2=w y= x+ → x – 3y = –100
3 3
2y = 2 •1+w 2y = 2 + w 2y = 2 + 2
El punto de equilibrio corresponde a la solución del
Se obtiene así que una solución posible es x = 1, x – 3y = –100
sistema , es decir, (140, 80). El punto de
y = 2, z = 1 y w = 2. Por lo tanto, la ecuación co- 2x + 3y = 520
rrecta es: equilibrio representa la combinación “ideal” entre precio
CH4 + 2O2 → CO2 + 2H2O del artículo y unidades vendidas, es decir, en la que tanto
compradores como vendedores quedarán satisfechos.
Ajusta las siguientes ecuaciones químicas: En este caso, el precio del artículo será de $140, y habrá
a) NaCl + H2S04 → HCl + Na2SO4 80 artículos comprados/vendidos.
Unidad • e ra 241
Un automóvil está cargando combustible en un punto A de la carretera; mientras que un ciclista está descan-
sando en un punto C ubicado 240 km más adelante por la misma carretera. Si ambos retoman su viaje en la
misma dirección y de manera simultánea con una rapidez de 90 km/h y 30 km/h respectivamente, ¿cuál es la
distancia que logrará recorrer el ciclista antes de ser alcanzado por el automóvil?
Punto de
encuentro
A C E
240 km x km
donde E es el punto en el que el automóvil alcanza al ciclista. Así, puedes plantear un sistema de ecuaciones
con incógnita x (distancia entre C y E) y t (tiempo transcurrido). Finalmente, al resolver el sistema se obtendrá
el valor de la incógnita x, que corresponderá a la distancia que logrará recorrer el ciclista hasta ser alcanzado
por el automóvil.
Paso 3 Resuelve el problema
x
Como la rapidez del ciclista es 30 km/h, entonces 30 = , y como la del móvil es 90 km/h, entonces
t
240 + x 30t – x = 0
90 = . Luego, el sistema que representa la situación descrita en el problema es ,
t 90t – x = 240
cuya solución es
x = 120 y t = 4.
Podrás aplicar lo aprendido aquí en los problemas que se presentan en la página 244.
Reflexiona
§ ¿Habías cometido ya alguno(s) de estos errores? ¿Cuáles?
§ Respecto de los que no cometiste, ¿te sirve estar advertido de la posibilidad de cometerlos?
§ Revisa los ejercicios que hayas resuelto en la unidad. ¿Qué errores has cometido? ¿Qué acciones puedes
tomar para no volver a cometerlos?
Unidad • e ra 243
a. 2ax – 5by = 0 c. 2x – 4y + z = 3
ax + 2by = 1 x + 2y + 3z = 4
b.
3x – 6y – z = 5
a b
b. – = 20
x y
3a 2b
+ = 15
x y
Lección 36: Existencia de soluciones de un sistema de ecuaciones Lección 37: Plantear y resolver problemas que involucran
sistemas de ecuaciones lineales
8 Analiza los siguientes sistemas y determina si
11 Resuelve los siguientes problemas.
tienen solución única, infinitas soluciones o si no
tienen solución. a. El triple de la suma de dos números es 90, y el
a. x–y=5 d. 24x –18y = 1 doble de la diferencia entre ellos es 20. ¿Cuáles
3x – 3y = 15 4x – 6y = 22 son los números?
b. El promedio de dos números es 18. Si el doble
b. 6x – 5y = 9 e. 5x – 8y = 0 del primero más el triple del segundo es 150,
12x –10y = 6 5x + 8y = 0 ¿cuáles son los números?
c. 9x + 2y = 3 f. 0,5x – 4y = –2 c. El perímetro de un rectángulo es 32 cm, y uno
–5x + 7y = 1 de sus lados mide el cuádruple del otro. ¿Cuáles
2x –16y = –8
son sus dimensiones?
9 Para los siguientes sistemas, determina valores de d. Carolina compró 5 pendrives y 2 tablets en
a y de b para que se cumpla la condición pedida. una tienda computacional, por los que pagó
3x – 4y = 7 $440 000. En la misma tienda, Claudia compró
a. , sea compatible determinado. 3 pendrives y 4 tablets en $920 000. Si los pen-
ax + by = 1 drives y las tablets que compraron son idénticos,
2ax – 6y = 10 ¿cuál es el valor de cada artículo?
b. , sea compatible indeterminado.
4x – by = 2 e. Alicia le dice a Patricio, “el dinero que tengo es
el doble del que tienes tú” y Patricio contesta: “Si
x + ay = 2
c. , sea incompatible. tú me das $6000, ambos tendremos la misma
Evaluación
4x + by = 10 cantidad”. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?
10 Dada la ecuación 4x + 12y = 20, crea en cada caso 12 Las edades de Eugenia y su hijo Marcelo, suma-
una ecuación que forme con ella: das, son iguales a 54 años. Crea en cada caso una
a. un sistema compatible determinado. información adicional para formar un problema:
a. con solución única y pertinente.
b. un sistema compatible indeterminado.
b. con solución, pero que no sea pertinente.
c. un sistema incompatible. c. sin solución.
Autoevaluación
Evalúa tu aprendizaje utilizando el solucionario y completa la siguiente tabla. Si no alcanzaste el mínimo sugerido en las actividades propuestas, vuelve a las
páginas indicadas para repasar.
Indicador Mínimo sugerido Puedes repasar en la(s) página(s)
Identificar y plantear un sistema de ecuaciones lineales. 2 respuestas correctas 220
Interpretar gráficamente un sistema de ecuaciones lineales. 2 respuestas correctas 222 y 223
Resolver algebraicamente un sistema de ecuaciones lineales. 2 respuestas correctas 226 a 228
Analizar algebraicamente la existencia de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. 1 respuestas correctas 232 y 233
Plantear y resolver problemas que involucran sistemas de ecuaciones lineales. 2 respuestas correctas 236 y 237
Recapitulemos
En grupos de 4 personas, respondan y discutan las siguientes preguntas.
¿Cuáles son los conceptos fundamentales de esta sección?
Ü ¿Qué contenidos te resultaron más difíciles?
Ü
¿Qué utilidad tiene lo que has aprendido?
Ü ¿Qué te resultó más interesante en esta sección?
Ü
¿En qué ámbitos se puede aplicar lo aprendido en esta sección?
Ü
¿Lograste cumplir los propósitos de esta sección?
Unidad • e ra 245
Actividades complementarias
➊ ¿En qué otra disciplina el empleo de símbolos es imprescindible para su desarrollo.
Menciona algún ejemplo.
➋ En su novela 1984, George Orwell plantea que, mediante el uso de la neolengua (un idioma
simplificado hasta lo más básico) se podía reducir la capacidad de las personas de pensar, es decir,
si no existen las palabras adecuadas, hay pensamientos que no pueden desarrollarse. ¿Estás de
acuerdo con esta idea? Discute con tus compañeros.
Síntesis
se desplazan en medio de
Función raíz cuadrada
muchos otros que modifican
su trayectoria, desplazándola,
contrayéndola o dilatándola.
Función exponencial Si quisiéramos añadir estos
parámetros a las funciones
que describen sus trayectorias,
el estudio de ellas se haría
Función logarítmica cada vez más complejo y difícil
de analizar —como de hecho
ocurre—. A medida que los
Métodos de resolución de cuerpos son más pequeños,
sistemas de ecuaciones la masa de otros más grandes
les afecta de mayor manera,
Sistemas de ecuaciones y modificando su trayectoria,
gráficos por lo que la trayectoria de un
meteorito, para ser estudiada,
debe ser aislada de otros
Tipos de sistemas de factores externos.
ecuaciones
Resolución de problemas
mediante sistemas de
ecuaciones
Unidad • e ra 249
Refuerzo
Construye las gráficas de las siguientes funciones. Función logarítmica
a. f(x) – 2 c. f(x – 4) 22 Construye la gráfica de las siguientes funciones
logarítmicas, a partir de la de y = log x.
b. –f(x) + 1 d. –f(–x) + 1
Y
Función raíz cuadrada 1,5
1
17 De las siguientes funciones, determina los puntos de 0,5
intersección con los ejes X e Y, dominio y recorrido. 0
–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 X
–0,5
a. f(x) = x – 9 + 4 b. g(x) = 7 – x + 5 –1
–1,5
18 Construye la gráfica de las siguientes funciones,
a partir de la de y = x.
a. f(x) = log (x – 6) b. h(x)= –log (x – 3) + 2
Y 23 De las siguientes funciones, determina los pun-
5
tos de intersección con los ejes X e Y, dominio
4
3
y recorrido.
2 a. f(x) = log x + 6
1
0
–2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X
b. g(x) = –log (x – 7)
c. h(x) = log (x) – 16
a. f(x) = x + 3 – 4 b. g(x) = − x + 5
Unidad • e ra 251
b. 7x − 2y = −8
Existencia de soluciones de un sistema de ecuaciones
x + 2y = 8 29 Analiza cada sistema y determina si es compati-
ble determinado, compatible indeterminado
x+y o incompatible.
c. = –1
4
a. 7x – 2y = 8
x–y
=4 9x + 6y = 1
4
Refuerzo
Programación lineal
Lee atentamente el siguiente problema y realiza las actividades.
En una pastelería se elaboran dos tipos de pasteles: A y B. El pastel A ne-
1
cesita kg de crema por cada kg de harina, y al venderlo y produce una
4 1
ganancia de $ 250. El pastel B necesita kg de crema por cada kg de
harina, y con su venta se gana $ 400. 2
Función inversa
Realiza las siguientes actividades.
Profundizo
Guía
1 Analiza los siguientes pares de funciones.
f(x) = x + 3 y g(x) = x – 3
f(x) = 5x y g(x) = log5 x
¿Qué relación hay entre las funciones, en cada caso? Explica.
2 Grafica en un mismo sistema cartesiano las funciones anteriores.
¿Qué relación puedes observar entre cada par de gráficas?
3 Dos funciones son inversas si en una de ellas, al intercambiar x e y y
despejar y, se obtiene la otra.
Unidad • e ra 253
B. x − 2x + 1
2 2
x
x −1 7 ¿Qué expresión resulta al simplificar ?
4x:6 x
C. x + 3x + 1
2
x −1 A. x C. x6 E. 6
x5
D. x + 2x + 1
2
B. x3 D. 5
x6
x −1
E. Ninguna de las anteriores. 8 ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalen-
te con la fracción algebraica (a + b) (a − b) ?
2
B. 2 D. –1
x 2 C. (a + b)²
3 ¿Qué expresión se utilizó para amplificar 2 y
x 1 4
9 ¿Qué expresión dividida por 8 resulta
2
2x 4x ?
obtener ?
2x 3 2x n n
2
32
A. 2 C. x³ E. 2x³ A. 2 C. n E.
16 n2
B. x² D. 2x
2
4 ¿Qué fracción resulta al multiplicar la expresión B. D. 162
ax by x n2 n
por ?
a b b (2x y)
10 El ancho de un rectángulo es cm y el
2 2 x y
A. ax by D. ax by
a b2 ab b2 largo, (2x y) cm. ¿Cuál es el área del rectángulo?
x y
2 2
B. ax bxy E. ax bxy 4x 2 4y 2 2
ab b2 ab b A. cm
x2 y2
2
C. ax bxy 4x 2 y 2 2
ax bx B. cm
x2 y2
5 ¿Qué expresión resulta al simplificar x + 29x + 18 ?
2
x2 y2
x −9 C. cm2
4x 2 y 2
A. –2 C. – x – 18 x+6
E.
x−3 x2 – y2
D. cm2
B. x+18 x 6 2
4x – 4y 2
D.
x 3
E. Ninguna de las anteriores.
11 Al lanzar un objeto se puede calcular aproximada- 15 ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor
la función f(x) = 5 x 10 ?
mente el tiempo que tarda en caer al piso utili-
v − v 2 + 2gh A. Y
zando fórmula t = , donde g es la
−g 50
aceleración de gravedad que equivale a 9,8 m/s².
¿Cuánto tiempo tardaría en caer una piedra que
es lanzada con una velocidad (v) de 1,2 m/s desde
la azotea de un edificio de 29,4 m de altura (h)? 0
–50 0 X
A. 2 s C. 20 s E. 2,33 s
B. 3 s D. 22,8 s
B. Y
12 Si 3 hombres hacen un trabajo en n días, ¿cuán-
tos días demoran en realizar el mismo trabajo 0
(3 + t)² hombres en las mismas condiciones? Esta 0 50 X
pregunta se puede responder si se sabe que:
(1) n = 2 (2) t = 3
A. (1) por sí sola. –50
Evaluación
E. Se requiere información adicional.
2ab + b
13 ¿Cuál es el valor de la expresión ? Esta
3b − 2ab
–50
pregunta se puede responder si se sabe que:
(1) a = 3 (2) b = 5
D. Y
A. (1) por sí sola.
50
B. (2) por sí sola.
C. Juntas, (1) y (2).
D. Cada una por sí sola, (1) o (2). 0
0 50 X
E. Se requiere información adicional.
Unidad • e ra 255
18 ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) (1) El punto (1, 40) pertenece al gráfico de f(x).
verdadera(s)? (2) log a = 2
I. La función f(x) = x 5 es decreciente en A. (1) por sí sola.
Evaluación
Evaluación
y C. Una de las ecuaciones corresponde a una recta
4x + = 6 con pendiente positiva.
2
D. Los puntos (0,3) y (–1,–1) del plano cartesiano
II. 6x + 6y = 20 son soluciones del sistema.
2x + 2y = 5 E. El sistema tiene infinitas soluciones.
Unidad • e ra 257
Unidad • da os a ar 259
Actividad grupal
Considerando la información de la tabla, respondan las siguientes preguntas.
➊ Según el ingreso per cápita de Chile, ¿cuál es el ingreso per cápita mensual? ¿A qué quintil pertenece una
persona cuyo ingreso es igual a dicho valor?
➋ De acuerdo con la tabla, el tercer quintil corresponde a $118 146 – 181 703. ¿Qué porcentaje de la
población chilena tiene un ingreso per cápita mensual menor a este valor?
Actividad
¿Qué valores se agregaron?
a. Determina 2 conjuntos distintos de 5 números
b. Se quitaron 10 valores del conjunto anterior,
cuyo promedio sea 4,2.
manteniendo su segundo cuartil. ¿Qué valores
b. Jorge tuvo 5 notas en matemática, de las cuales se quitaron?
4 fueron iguales. Si su promedio fue 5,7, no tuvo
c. Construye un conjunto de 20 números enteros,
notas bajo 4 y entre sus notas hay un 6,1, ¿cuá-
de modo que su segundo y tercer cuartil coinci-
les fueron sus notas?
dan, el mayor valor sea 15 y el menor, –4.
c. El promedio de estatura de 7 jugadores de
d. Q1, Q2 y Q3 son, respectivamente, los cuartiles 1,
un equipo de básquetbol es de 1,7 m. Al
2 y 3 de un conjunto de datos. Calcula los valo-
ordenarlos del más alto al más bajo, cada uno
res correspondientes si:
mide 2 cm menos que el anterior. ¿Cuánto
mide el más bajo? • A cada valor del conjunto se le suma 5.
• Cada valor del conjunto se multiplica por 3.
Unidad • da os a ar 261
∑ (x
i=1
mci − x) • fi
Dm =
5,2 – 5, 4 + 5,7 – 5, 4 + 6,2 – 5, 4 + 5, 4 – 5, 4 + 4,5 – 5, 4
Dx = 5
n 0,2 + 0,3 + 0,8 + 0 + 0,9
N
=
∑ (x mci es
− lax)marca
• fi de clase del 5
DN x =
i =1
intervalo i. 2,2
= = 0, 44
n 5
∑ (x mci − x)es• lafi media aritmética de la
En general la desviación media,
=
i =1
variable. n
xN
n
∑ (x mci − x) • fi es la frecuencia absoluta del
x1 − x + x 2 − x + ... + xn − x ∑ (x − x)
i=1
i
i =1
intervalo i. Dm = Dx =
n n n
n es el número total de indivi-
duos estudiados.
N es la cantidad de intervalos.
Marcela calcula ahora la desviación estándar que mide cuánto se separan los datos. Observa que…
Para esto debe calcular la raíz cuadrada de la varianza, que es la media de las diferencias La varianza se encuentra en
con la media elevadas al cuadrado.
unidades “al cuadrado”, mien-
Paso 1 Calcula el promedio de los cuadrados de las diferencias entre cada nota tras que la desviación estándar
y el promedio, obteniendo así la varianza (σ²) que es el cuadrado de la está en la misma unidad que
desviación estándar. los datos (notas), por lo que
2
esta última nos puede dar
2 (5,2 − 5, 4) + (5,7 − 5, 4)2 + (6,2 − 5, 4)2 + (5, 4 − 5, 4)2 + (4,5 − 4,5)2 una idea más cercana de lo
σ =
5 disperso que es el conjunto.
(−0,2)2 + 0,32 + 0,82 + 02 + (−0,9)2
σ2 =
5
0,04 + 0,09 + 0,64 + 0 + 0,81
2
= = 0,316
5
n
= 0,316 ≈ 0,562
Mientras más parecidas sean las notas al promedio, menores serán sus diferencias
con este, haciendo que la varianza y la desviación estándar sean menores.
En general la varianza,
n
σ2 = σ2 =
n n
En general la desviación estándar, Razona
n
y comenta
∑ (x − x) i
2
§ Si las notas de Marcela
(x1 − x) + (x 2 − x) + ... (xn − x) σ=
i=1
σ= hubieran sido 2; 2; 4; 6;
n n 6, ¿cuál habría sido el
rango de sus notas? ¿Y
El porqué usar la desviación estándar se debe a otras consideraciones que verás en su varianza y desviación
cursos posteriores, pero en la lección siguiente podrás apreciar su uso para comparar estándar? Estos valores,
conjuntos de datos y juzgar en cuál los datos son más parecidos entre sí (es decir, el ¿habrían sido mayores
conjunto es más homogéneo) o si se diferencian más (conjunto heterogéneo). o menores que los an-
teriormente obtenidos?
En resumen
Practiquemos lo aprendido
§ En el caso anterior,
Se llama dispersión de un conjunto X = {x1, x2, x3,… xn} a la variabilidad que existe las notas de Marcela,
entre los datos y las medidas de tendencia central. Generalmente estas medidas ¿son más o menos
dispersas? El promedio
tienen que ver con la diferencia entre ellos y respecto a su media. Mientras
que obtuvo, ¿es más
más dispersos sean, más heterogéneo es el conjunto, y si es menos disperso es
o menos parecido a
más homogéneo. La dispersión se puede cuantificar utilizando el rango (R), la sus notas que en el
desviación media (Dm), la desviación estándar ( (x)) y la varianza (var(x) o 2(x)). ejemplo anterior?
Unidad • da os a ar 263
15
51, 84 + 51, 84 + 60, 84 + 23, 04 + 8, 64 7. Una central telefónica registra las siguientes
σ2 = cantidades de llamadas, de lunes a viernes:
5
= 39,24 Día Llamadas
Desviación estándar Lunes 4
σ = 39,24 Martes 9
Miércoles 7
≈ 6,26
Jueves 12
a) 5; 14; 15; 13; 1 Viernes 8
Practiquemos lo aprendido
llamadas se duplicó cada día. ¿Qué sucede con el
22 + 32 + 52 + 82 2 • 4,5(2 + 3 + 5 + 8) 4 • 4,52
rango? ¿y con la varianza? σ2 = – +
4 4 4
b) Debido a una promoción, el número de llamadas
a la central se quintuplicó cada día. ¿Qué sucede a) Desarrolla los términos de la expresión anotada
con el rango? ¿y con la varianza? por Camilo. ¿Qué obtienes en cada caso?
c) Considera tus respuestas anteriores para responder: b) Explica algebraicamente cómo se calcula cada
¿qué sucede con el rango y la varianza si todos los uno de los términos.
valores se multiplican por un número dado x?
c) ¿Cómo puedes aprovechar el resultado de
8. En un análisis de la sangre de unos pacientes se Camilo para calcular la varianza de un conjunto
obtuvieron, en miles por centímetro cúbico, las de datos? Explica.
siguientes cantidades de leucocitos:
11. Desafío: dado un conjunto x = {x1, x2, …, xn}, cuyo
9,5 12 11,8 14,5 10 17,5 13,5 promedio es x , demuestra las relaciones:
Halla el rango, la varianza y la desviación media. a) Si x + a = {x1 + a, x2 + a, …, xn + a},
9. Se midió la tensión arterial máxima (presión entonces 2
(x + a) = 2
(x).
que ejerce la sangre sobre la pared de los vasos
b) Si ax = {ax1, ax2,…, axn},
sanguíneos) de 50 personas. El resultado viene
2
reflejado por el siguiente gráfico de barras: entonces (ax) = a2 2(x).
c) Si ax = {ax1, ax2,…, axn},
Tensión arterial máxima
20
entonces (ax) = a • (x).
Número de personas
15
15
d) 2 x12 + x 22 + ... + xn2
10 8
10
8 (x) = – x2
5
n
5 4
12. Desafío: David tiene la siguiente información
0
120 125 130 135 140 145 respecto de las notas de su curso en una prueba
Tensión arterial
Nota Cantidad de alumnos
Calculen el promedio y la desviación estándar de la Entre 1 y 1,9 4
tensión arterial de las 50 personas. Entre 2 y 2,9 8
10. Analiza la siguiente situación. Entre 3 y 3,9 9
Camilo está analizando nuevas formas de calcular Entre 4 y 4,9 11
la varianza de un conjunto. Para ello calcula la Entre 5 y 5,9 7
varianza de x = {2, 3, 5, 8} utilizando la siguiente Entre 6 y 7 6
tabla, sabiendo que el promedio es 4,5.
Calcula la varianza de los datos.
2
(xi – x ) = x 2i –2x i x + x 2 13. Conexiones: averigua de qué manera se calcula
(2 – 4,5) = 2
22
( • , ) , 2 el puntaje de la PSU. ¿Cuál es la importancia de la
desviación estándar?
(3 – 4,5)2 = 32 (3 • , ) , 2
(5 – 4,5)2 = 52 ( • , ) , 2
(8 – 4,5)2 = 82 ( • , ) , 2
Reflexiona
§ ¿Por qué es importante determinar la dispersión de un conjunto de datos?
§ Si tus notas tienen una dispersión muy alta, ¿qué significa eso respecto a tu rendimiento académico? Explica.
Unidad • da os a ar 265
Q1 = 0 Me = 0,5 Q3 = 3
Canales: 0 0 0 0 0 1 1 3 3 4
Carvajal: 0 1 1 1 1 1 1 2 2 2
Q1 = 1 Me = 1 Q3 = 2
Practiquemos lo aprendido
Repaso Conjunto X:
X = {17; 11; 11; 13; 22; 13; 2; 22; 7; 2} Clavos: 2; 2,5; 3,4; 2,6; 3,3; 3,5; 2,1; 2,3; 2,1
Y = {17; 10; 8; 16; 17; 14; 7; 13; 7; 11} Varas: 3,3; 3; 3,5; 3,2; 3,5; 3,6; 2,7; 3,5; 3,5
Unidad • da os a ar 267
Practiquemos lo aprendido
Curso B
temperaturas máximas alcanzadas en las dos Notas Frecuencia
quincenas de noviembre. 6,0 2
5,5 5
Primera quincena
5,3 9
4
5,2 5
Número de días
3
5,1 3
2
5,0 10
1
Total 34
0
19 20 21 22 23 24 25
Temperaturas máximas a) ¿Cuál es la desviación estándar de los cursos?
b) ¿Qué curso tiene mejor rendimiento? Fundamen-
Segunda quincena ta tu respuesta.
5
3
PSU de matemáticas, y su hermano Andrés
obtuvo 615 cuatro años después. ¿Es cierto
2
que, necesariamente, a David le fue mejor que a
1
Andrés? Investiga y justifica tu respuesta.
0
18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
Temperaturas máximas
11. Conexiones: investiga respecto a los valores del
coeficiente de variación, para los cuales se considera
que un conjunto de datos es muy homogéneo,
a) Calcula los rangos de las dos variables estadísticas. homogéneo, heterogéneo o muy heterogéneo.
b) Calcula las desviaciones medias de las dos varia-
bles estadísticas. ¿Cuál de las dos variables tiene 12. Desafío: Mariela observa un conjunto X
sus datos más separados? de datos, cuyo coeficiente de variación es,
aproximadamente, 27,4%.
9. Analiza la información de las tablas y luego
responde. 5; 4; 4; 3; 3; 2; 2; 3; 3; 4; 4; 5
Las tablas muestran las notas de dos cursos a) Si Mariela decide restar 1 a cada valor, ¿cuál es el
diferentes obtenidas en una misma prueba valor del coeficiente de variación ahora?
de matemática.
b) Al restar 1 a cada valor, ¿cambia la dispersión de
Curso A los datos? Utiliza resultados anteriores para justifi-
Notas Frecuencia car tu respuesta.
7,0 3 c) En general, ¿se podrá utilizar siempre el coefi-
6,7 5 ciente de variación para comparar dos conjuntos
6,3 4 de datos? ¿Qué alternativas crees que podrían
6,0 8 utilizarse en los casos en que no? Discute con
4,0 8 tus compañeros.
3,4 2
3,0 4
Total 34
Reflexiona
§ ¿Por qué es importante no utilizar solo el promedio al comparar conjuntos de datos?
§ ¿Has visto en los medios de comunicación un mal uso de un promedio? ¿Crees que pueden ser engañosos?
Unidad • da os a ar 269
Se registran los tiempos, en minutos, que demoran dos grupos de estudiantes en completar una
competencia deportiva.
Grupo 1: 2,35; 3,9; 4; 2,5; 3; 4,1; 5; 1,9; 2,7; 4,05; 4; 5; 3,3; 3,75; 2
Grupo 2: 3; 1,75; 3,2; 4; 2,98; 3,4; 5; 1,12; 2,5; 3; 7; 1,84; 2,76; 3; 1,5
Se afirma que los datos que representan los tiempos que demoran los estudiantes del grupo 1 son más
homogéneos que los datos del grupo 2. ¿Es válida esta afirmación?
Debes evaluar la afirmación, es
decir, definir y aplicar criterios que
Paso 1 Comprende el enunciado permiten decidir si la afirmación es
a. ¿Qué se quiere saber una vez resuelto el problema? válida o no.
Si la afirmación presentada es válida.
b. ¿Qué información entrega el enunciado?
Se muestran los tiempos, en minutos, que demoran en la competencia los dos grupos de estudiantes.
Podrás aplicar lo aprendido aquí en los problemas que se presentan en la página 272.
Razona σ x ≈1,64
y comenta σ y ≈1,81
§ ¿Cuál es el error cometido por Mariela?
§ ¿Qué se necesita para determinar el conjunto más heterogéneo? Luego, el conjunto Y es más
heterogéneo. El conjunto X
tiene mayor rango solo
porque un valor (2) es mucho
menor que los demás.
Reflexiona
§ ¿Habías cometido ya alguno(s) de estos errores? ¿Cuáles?
§ Respecto de los que no, ¿te sirve estar advertido de la posibilidad de cometerlos?
§ Revisa los ejercicios que hayas realizado en la unidad. ¿Qué errores has cometido? ¿Qué acciones puedes
tomar para no volver a cometerlos?
Unidad • da os a ar 271
Juzga si son verdaderas o falsas las siguientes 12 Una fábrica necesita invertir cierto capital en el
afirmaciones. Justifica las falsas. mercado. Para ello, debe analizar el rendimiento
de las sucursales, representado en la tabla.
a. Un estudiante del 2MA que tiene un 6,5
pertenece al tercer cuartil.
Producción (ton)
b. La nota de un estudiante del 2MB del Mes Sucursal 1 Sucursal 2
tercer cuartil es mejor que cualquier nota 1 13,4 8,5
obtenida en el 2MC.
2 7,5 12,5
c. Las notas son menos dispersas en el 2MA 3 6,5 15
que en los otros cursos.
4 22 9,6
d. El mejor rendimiento lo tiene el 2MC, pues 5 15 17
el promedio es 5,6.
6 14 8,9
e. El curso con menor dispersión es el 2MA,
pues la desviación estándar es 1,6. a. Calcula el promedio y la desviación estándar de
cada sucursal.
f. En los tres cursos el 50% de los estudiantes
obtuvo nota superior a 5,5. b. Según su producción de los últimos seis me-
ses, ¿en cuál de las dos sucursales esta es más
¿Qué curso tiene mejor rendimiento? Justifica homogénea?
tu respuesta.
c. Existe una tercera sucursal que produce, cada
11 Crea dos conjuntos A y B, de 15 valores cada uno, mes, el promedio de las dos sucursales anterio-
de modo que: res. Analiza el promedio de producción de esa
Evaluación
sucursal durante los seis meses y la dispersión
a. tengan igual media.
de sus valores, y compáralos con las sucursales 1
b. el rango de A sea mayor que el de B. y 2. ¿Qué puedes concluir?
c. la varianza de B sea mayor que la de A.
d. el Q3 de ambos conjuntos sea igual.
Autoevaluación
Evalúa tu aprendizaje utilizando el solucionario y completa la siguiente tabla. Si no alcanzaste el mínimo sugerido en las actividades propuestas, vuelve a las
páginas indicadas para repasar.
Indicador Mínimo sugerido Puedes repasar en la(s) páginas
Unidad • da os a ar 273
A calcular y analizar el comportamiento de las medias muestrales. Lección 42 predecir y verificar resultados de experimentos.
Actividad grupal
En grupos de 5 personas, analicen y respondan.
➊ Mayra quiere averiguar respecto al deporte favorito de sus compañeros de colegio. Para ello, se ubica
en la puerta del colegio y pregunta al azar. ¿Es adecuada su manera de seleccionar la muestra? ¿Qué
aspectos debiera considerar? Discutan en grupos.
➋ El año 2010, con motivo del Bicentenario de nuestro país se realizaron numerosas elecciones sobre
personajes chilenos. ¿Cómo se realizaron estas elecciones? ¿Qué aspectos pueden haber distorsionado
los resultados? Justifiquen cada uno sus opiniones y escuchen las de los demás.
1 Determina en cada caso la población y una posi- 4 Determina el espacio muestral (todos los casos
ble muestra de ella. posibles)de los siguientes experimentos:
a. Una fábrica de yogur quiere investigar sobre la a. Elección al azar de un color de la bandera chilena.
calidad de sus productos.
b. Se lanza al aire una moneda de $100 y una de $500.
b. Diego necesita saber el precio de un kilogramo
de carne, para una comida familiar. c. Se escoge un día al azar del mes de febrero, y se
anota su número.
c. Ximena estudia respecto del tamaño de las
hormigas que habitan en un insectario. d. Se lanza un dado dos veces, y se anota la dife-
rencia entre los puntajes obtenidos.
d. Daniel desea saber si una ciudad cuenta con
suficientes lluvias, para realizar una plantación. 5 Calcula la cardinalidad de los espacios muestra-
les (cantidad de casos posibles) correspondientes
2 Calcula la cantidad de muestras de tamaño m a los siguientes experimentos (E) y al suceso (S)
que se pueden extraer de una población de ta- asociado (es decir, los casos favorables). Además,
maño p, con los datos dados. determina la probabilidad del suceso.
a. p = 6; m = 2 e. p = 18; m = 15 a. E: lanzar un dado.
Actividad
S: obtener un número primo.
b. p = 8; m = 5 f. p = 20; m = 7
b. E: escoger a dos personas de un grupo de tres
c. p = 12; m = 3 g. p = 24; m = 11
mujeres y dos hombres.
d. p = 15; m = 10 h. p = 25; m = 21 S: escoger un hombre y una mujer.
3 Determina 5 muestras de distinto tamaño del c. E: escoger un plato de fondo (cazuela, tallarines
conjunto X = {7, 8, 2, 4, 5, 12, 2, 0, 10, 12}, y calcula o puré con pescado) y un postre (fruta o flan).
en cada caso la media muestral. S: escoger cazuela.
Unidad • da os a ar 275
Paso 2 Escoge al azar, 10 números del 1 al 600 (utilizando una tómbola con
bolitas numeradas, por ejemplo), y escoge a los estudiantes que corres-
ponden a dichos números. Por ejemplo:
Muestra = {233, 573, 592, 427, 234, 591,395, 84, 137, 161}
Pero, ¿cómo asegurarse de escoger una muestra realmente al azar? Algunas calcu-
ladoras científicas permiten generar números aleatorios que nos ayuden en esta tarea
como se muestra a continuación.
Paso 1 Presiona la tecla MODE hasta que Paso 3 Por defecto, la calculadora entrega
aparezcan las opciones que se muestran en la números aleatorios entre 0 y 1. Para generarlos entre
imagen, y que nos permitirán definir la cantidad de 1 y 600, escribe
decimales. Presiona el botón con el número 1. 600 + x + Shift + * (Ran#) + =.
Paso 2 Ahora, presiona el botón 0, para que los Paso 4 Al presionar la tecla =, obtendrás otro
resultados no tengan decimales. número aleatorio con las condiciones pedidas.
Las personas que realizan encuestas utilizan también métodos que tienen que ver con
el número de las casas, nombre de las calles, etc., para garantizar que la selección de las Razona
y comenta
personas efectivamente es aleatoria. También existen las tablas de números aleatorios,
que contienen números ya generados, pero con los métodos computacionales actuales § En el colegio donde
se instalará la gradería
son cada vez menos utilizadas. hay dos cursos por
nivel de 5° a 8° básico,
y tres cursos por nivel
de 1° a 4° medio. Se-
gún esto, ¿es confiable
escoger la muestra de
la forma presentada
en la lección? Justifica.
§ Considerando el pun-
to anterior, ¿se te ocu-
rren otras formas de
escogerla? ¿Cuáles?.
En resumen
§ El colegio extrajo
Se llama muestreo aleatorio simple a la elección de una muestra de una población, 5 muestras de 10
de modo que cada elemento de la población tiene la misma probabilidad de ser estudiantes, y obtuvo
escogido. Un método para escoger estas muestras es mediante la generación de promedios distintos.
números aleatorios. ¿Qué valor podría
utilizar para estimar la
La media muestral x que se obtiene en un muestreo aleatorio simple permite masa promedio de los
hacer inferencias respecto a la media poblacional μ. estudiantes? Justifica.
Unidad • da os a ar 277
b) Variable: longitud de los tornillos. Determina una c) 30 números de –4 a 4, con tres decimales.
población y una muestra. d) 18 números de 0,1 a 3,8, con cuatro decimales.
c) Muestra: dos personas por paradero, en 30 para- e) 40 números de –3,2 a –1,7, con dos decimales.
deros de una avenida. Determina una población
y una variable. f) 35 números de 3,25 a 5,75, con un decimal.
d) Población: celulares importados por una empre- 4. Analiza el procedimiento que se indica.
sa. Determina una variable y una muestra.
Para generar números aleatorios, utilizando una
e) Variable: número de páginas leídas. Determina planilla de cálculo podemos escribir en una celda
una población y una muestra. lo siguiente:
f) Muestra: colaciones de 20 estudiantes de un = REDONDEAR(3*ALEATORIO();2)
colegio. Determina una población y una variable.
Genera un número aleatorio entre 0 y 3, con
2. Determina en cada caso todas las muestras del dos decimales.
tamaño n indicado, para cada conjunto. Calcula
además la media muestral de cada una. = ALEATORIO.ENTRE(5;12)
a) 0,3; 4,5; 0,3; 3,7; 3; 1,7; n = 4 Genera un número entero aleatorio, entre 5 y 12.
b) 3,8; 1,9; 8,4; 11,3; 11,2; 1,4; 10,8 n = 2 Utiliza los pasos anteriores para generar los si-
guientes conjuntos de números aleatorios. Indica la
c) 6; 15; 20; 11; 16; 4; 1; 9; 4; 10; n = 9
formula que debes escribir en la planilla de cálculo.
Paso 2 Aparece en pantalla Fix 0 ~ 9, y 5. Utiliza los métodos vistos para generar muestras
presionamos 1. aleatorias de tamaño 8 en tu curso, utilizando el
número de lista de cada uno.
Paso 3 Luego, escribimos la fórmula
40 x Ran# + 20
• 40 es el rango de los datos (60 – 20).
• 20 es el menor valor.
Practiquemos lo aprendido
una muestra de ella, ¿será representativo de la
Resuelve los siguientes problemas. población este promedio? Justifica.
6. Extrae 5 muestras aleatorias de las alturas de 9. Ana trabaja para una municipalidad, y debe
tus compañeros de curso y calcula el promedio averiguar la opinión de los vecinos respecto al
de cada una ellas. Compara los resultados. ¿Son retiro de basura en una calle de 3 cuadras. En cada
parecidos entre sí? Calculen el promedio de cuadra hay 10 casas, en una vereda tienen números
estatura del curso, y la media aritmética de los pares y en la otra, impares. Si desea obtener una
promedios de las muestras anteriores. ¿Qué muestra aleatoria de 20 casas, determina un
puedes concluir? método que puede utilizar para extraerla.
7. La siguiente tabla muestra las edades de 100 10. Conexiones: Averigua en qué consisten los
personas que asistieron a una obra de teatro. siguientes métodos de muestreo
47 15 47 12 26 22 45 45 56 20 • Aleatorio sistemático.
26 62 35 62 12 44 18 44 64 27 • Aleatorio estratificado.
28 59 53 14 51 13 49 62 55 15
• Aleatorio por conglomerados.
56 16 56 20 45 27 44 41 40 50
44 62 36 46 42 59 25 61 39 25 Da, para cada uno, dos ejemplos en que sería
17 57 59 34 36 49 30 39 48 31 mejor utilizar estos tipos de muestreo en lugar del
53 66 38 49 49 54 22 32 45 40 muestreo aleatorio simple.
10 67 63 8 27 35 55 21 60 40
11. Conexiones: al realizar una encuesta sobre
43 65 21 52 58 53 23 46 64 44
las preferencias de las personas antes de una
35 23 56 62 38 20 54 40 28 39 elección, la consultora a cargo informa que un
a) Utiliza muestreo aleatorio para escoger 10 mues- determinado candidato obtiene un 45% de
tras de tamaño 8, y calcula su promedio. intención de voto, con un margen de error del
3% y una confiabilidad del 95%.
b) Estima el promedio de edad de los asistentes a la
obra, considerando tus resultados anteriores. Investiga qué significan los conceptos “margen de
error” y “confiabilidad”.
8. En un curso de 40 alumnos, 30 practican gimnasia
y 10 practican rugby. Néstor extrae distintas 12. Desafío: la planilla de cálculo incluye la función
muestras aleatorias de 5 estudiantes, y calcula el potencia, de modo que si se desea calcular, por
promedio de sus masas. ejemplo, 2 elevado a 3, se utiliza el comando:
Reflexiona
§ ¿Por qué es importante que la elección de una muestra se realice efectivamente al azar?
§ ¿En qué casos no corresponde extraer al azar una muestra? ¿Qué aspectos habría que considerar?
Unidad • da os a ar 279
Variable aleatoria
Existen distintos juegos que han tomado el nombre de “Pepito paga doble”. Uno de
ellos consiste en un tablero dividido en tres partes, como se muestra
2a6 7 8 a 12
Menor Pepito Mayor
Se pide a los jugadores que apuesten al resultado que saldrá al sumar los números
que se obtienen al lanzar dos dados, y los jugadores ponen sus apuestas en los distintos
sectores del tablero. Si sale un número de 2 a 6, quienes apostaron menor reciben un
monto igual al apostado; lo mismo que si sale un número de 8 a 12 y quienes apostaron
mayor. Si sale 7 (Pepito), los que apostaron allí reciben el doble de lo apostado.
¿Cuál es la probabilidad de ganar, en cada caso? Para ello estableceremos una función
que nos permita determinarlo, con los siguientes pasos:
Paso 3 Asignar números a los eventos en estudio nos permite definir también Ayuda
una función de probabilidad, f: → [0, 1], que relaciona cada elemen- La probabilidad de un suceso
to de Y con su probabilidad. siempre es un número real
entre 0 y 1, ambos valores in-
Ω [0,1] clusive. Este conjunto se llama
(1, 1) “intervalo cero uno”, es decir,
(1, 2), (2, 1) mayor o igual a cero y menor o
15 5 Hay 15 casos que dan
(1, 3), (2, 2), (3, 1) 0 = un número menor que igual a uno.
(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) 36 12 7, y 36 casos totales.
(1, 5), (2, 4), (3, 3) (4, 2) (5, 1)
(1, 6), (2, 5) (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) 1 6 1 Hay 6 casos que dan 7,
=
36 6 y 36 casos totales.
(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)
(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3) Hay 15 casos que dan
2 15 5
(4, 6), (5, 5), (6, 4) = un número mayor que
(5, 6), (6, 5) 36 12 7, y 36 casos totales.
(6, 6)
X 0 1 2
5 1 5
P(x)
12 6 12 Razona
y comenta
En resumen § ¿Qué utilidad puede
tener definir una varia-
Dado un experimento aleatorio cualquiera, se llama variable aleatoria (v.a.) ble aleatoria asociada a
asociada a una función que, a cada suceso del espacio muestral (Ω), le asigna un un experimento?
único número real. § ¿Qué otra variable
x:Ω→ aleatoria podrías haber
Estos valores se relacionan con su probabilidad mediante la función de definido para el expe-
probabilidad de la variable aleatoria. rimento “lanzamiento
de dos dados”. Cita tres
f(x) : → [ 0, 1] ejemplos distintos.
Unidad • da os a ar 281
f) Se escoge una letra del alfabeto al azar, y se cla- 6. Se elige un número entre 8 y 15, ambos inclusive,
Practiquemos lo aprendido
sifica según si está presente o no en el nombre y se cuenta la cantidad de consonantes que tiene
FRANCISCO. su escritura con palabras. Plantea la variable
aleatoria y escribe la función de probabilidad
g) En una familia con 4 hijos, interesa saber la canti- asociada y determina:
dad de varones que hay entre ellos.
a) la probabilidad de que tenga más de
Aplica dos consonantes.
Resuelve los siguientes problemas. b) la probabilidad de que tenga menos de
4 consonantes.
4. Se elige un número entero entre 1 y 9, ambos
inclusive y se determina la letra con la que 7. Un artesano vende 5 collares, de los cuales 2
comienza al escribirlo con palabras y se le asigna un tienen un defecto. Un turista compra dos collares
número según la posición de esta en el abecedario. al azar. Define la variable aleatoria asociada al
número de collares defectuosos comprados,
a) ¿Cuál es la variable aleatoria considerada?
su función de probabilidad y determina la
b) ¿Qué número real se le asigna al 8? probabilidad de que haya comprado solo un
collar defectuoso.
c) ¿A cuál de los números considerados se le asocia
el menor valor de la variable aleatoria? 8. Para el experimento aleatorio A: elegir al azar un
número natural n de tal forma que 10 < n < 20, se
d) ¿Cuál es el menor valor que puede tomar la varia- cuenta la cantidad de divisores que tiene. Escribe
ble aleatoria? la función de probabilidad asociada.
e) ¿Existen, entre los números considerados, algu- 9. Desafío: Se lanza dos veces un dado cargado, de
nos que se relacionen con el mismo valor de manera que los números pares tienen el doble
variable? ¿Cuáles? de posibilidad de salir que los impares. Se define
la variable aleatoria X: producto de los números
5. Evalúa si las siguientes proposiciones son
obtenidos. Calcula la probabilidad de obtener un
verdaderas o falsas. Justifica las falsas.
número menor que 12.
a) La suma de las probabilidades de los valores
10. Desafío: Inventa dos experimentos distintos
que toma una variable aleatoria es 1.
y define su variable aleatoria, de modo que su
b) Una función de probabilidad asocia a cada función de probabilidad sea la siguiente:
valor de la variable aleatoria un número
real p, con 0 ≤ p ≤ 1. Y [0,1]
Reflexiona
§ ¿Comprendiste lo que es una variable aleatoria?
§ Dada una función de probabilidad definida, ¿existe una única variable aleatoria que corresponde a ella?
Justifica.
Unidad • da os a ar 283
{5, 2, 7} X = 4, 6
A partir de ello se calcula el promedio o media poblacional de los datos obtenidos,
{8, 3, 10} X =7 el que corresponde a 31,380952 celulares por curso.
{3, 2, 7} X =4
1 Completen la tabla escogiendo cinco muestras de tamaño 3 y calculen la
{10, 8, 7} X = 8, 3 media aritmética de cada una de las muestras.
3 Realicen en sus cuadernos una tabla como la anterior, pero esta vez
escojan 5 muestras de tamaño 10, 15 y 20.
En resumen
Al extraer muestras aleatorias de una población puedes calcular la media
aritmética de cada una de estas, de la cuales es posible concluir que la media
muestral se aproxima a la media poblacional a medida que el tamaño de la
muestra se acerca al tamaño de la población. Al repetir una gran cantidad de
veces un experimento aleatorio, la frecuencia relativa de cada suceso tiende a
estabilizarse en un número específico que corresponde a la probabilidad teórica
del suceso. Este hecho se conoce como la ley de los grandes números.
Unidad • da os a ar 285
b) ¿Cuál es la media poblacional del conjunto? y b) ¿A qué valor tiendes las frecuencias relativas de
¿cuál es la media muestral de 5 muestras selec- cada resultado?
cionadas al azar?
5. Moisés quiere averiguar si 5 monedas utilizadas
3. Se ha realizado un estudio en diferentes sectores en un juego están cargadas o no, pero no tiene
de la población, la que consiste en estudiar la los medios para hacerlo en forma exacta. Una
cantidad de agua consumida mensualmente posibilidad es realizar algunas pruebas.
por hogar. Los resultados se resumen en la
a) Se define la v.a. X: “número de sellos al lanzar
siguiente tabla.
5 monedas”. Lance cada uno una moneda, y
anoten la cantidad de sellos que salieron. Repitan
40 - 35 - 41 - 34 - 44 - 37 - 44 - 45 - 39 - 30 - 41 - 32 - el experimento 10, 20 y 50 veces, anoten los re-
31 - 45 - 43 - 32 - 35 - 39 - 38 - 39 - 43 - 20 - 32 - 33 - sultados de cada lanzamiento y luego completen
34 - 38 - 37 - 48 - 35 - 27 - 40 - 30 - 29 - 25 - 30 - 45 - la siguiente tabla, con el número de veces que se
18 - 25 - 25 - 19 - 14 - 26 - 30 - 45 - 37 - 34 - 14 - 17 - repite la cantidad de sellos en cada caso:
14 - 39 - 39 -25 -16 - 24 - 19 - 30 - 53 - 22 - 15 - 10 -
15 - 29 - 13
Practiquemos lo aprendido
Número de sellos Con ello, obtiene que:
Lanzamientos 0 1 2 3 4 5 5 sellos: 1 caso
10 4 sellos: 5 casos
3 sellos: 10 casos
20
2 sellos: 10 casos
50 1 sello: 5 casos
0 sellos: 1 caso
b) Sea Xn el promedio de sellos obtenidos en n
lanzamientos. f) Considerando los resultados obtenidos por
Calculen X10 , X20 y X50 . Daniel, ¿qué resultados son más probables de
obtener al lanzar 5 monedas?
X10 = X20 = X50 =
g) Considerando lo anterior, si lanzas muchas veces
c) Si el experimento se repite 100 veces, ¿cuál sería 5 monedas, ¿qué resultados deberían ser más
el promedio? frecuentes?
Estimen un valor y justifiquen.
h) Si lanzas muchas veces las cinco monedas, ¿qué
d) Natalia le dice a Moisés que, en realidad, está promedio de la v.a. esperarías obtener? Justifica.
extrayendo muestras aleatorias. En este caso,
¿cuál es la población? ¿Cuántos elementos tiene?
e) Daniel decide estudiar un poco más la variable
aleatoria X, por lo que define sus casos posibles a
partir del experimento.
5 sellos: 2 sellos:
CCCSS; CCSSC;
SSSSS CSSCC; SSCCC; CC-
SCS; CSCSC; SCSCC;
CSCCS; SCCSC; SCCCS
4 sellos: 1 sello:
SSSSC; SSSCS; SSCSS CCCCS; CCCSC;
CCSCC;
SCSSS; CSSSS
CSCCC; SCCCC
3 sellos: 0 sellos:
SSSCC; SSCCS; SCCSS;
CCSSS; SSCSC; SCSCS; CCCCC
CSCSS; SCSSC; CSSCS;
CSSSC
Reflexiona
§ ¿Qué formulaciones de la ley de los grandes números conoces? Da un ejemplo.
§ Si realizas un experimento y los resultados no calzan con la ley de los grandes números, ¿qué conclusiones
puedes sacar? ¿Es una ley que produzca resultados siempre confiables?
Unidad • da os a ar 287
Se lanza dos veces una ruleta como la que se muestra en la figura. Se gana
1 3
si los números obtenidos son de distinto color y su suma es un número par.
¿Cuál es la probabilidad de ganar?
2 4
Y [0,1]
Se define la función de probabilidad.
0 12 3
=
16 4
4 1
1 =
16 4
Podrás aplicar lo aprendido aquí en los problemas que se presentan en la página 290.
Reflexiona
§ ¿Habías cometido ya alguno(s) de estos errores?
§ Respecto a los que no, ¿te sirve estar advertido de la posibilidad de cometerlos?
§ Revisa los ejercicios que hayas resuelto en la unidad. ¿Qué errores has cometido? ¿Qué acciones puedes
tomar para no volver a cometerlos?
Unidad • da os a ar 289
1 Identifica cuáles de los siguientes casos corres- 4 Se lanza una moneda cinco veces. Calcula la
ponde a un muestreo aleatorio simple: probabilidad de los siguientes eventos.
a. Elegir a tres deportistas de cada curso para a. Obtener cinco caras.
generar un estudio acerca de la frecuencia con
que hacen deporte los alumnos del liceo. b. Obtener dos sellos.
b. Escoger por votación de todos los alumnos del c. Obtener cara en el primer lanzamiento.
curso al mejor compañero. d. Obtener sello en el tercer y quinto lanzamiento.
c. Escoger a 20 de los 400 trabajadores de una 5 Se lanzan dos dados y se suman los números ob-
empresa para responder una encuesta sobre el tenidos. Define la variable aleatoria X asociada a
clima laboral, de modo que el apellido de cada verificar si el número es par o impar, y determina
trabajador comience con una letra diferente. su función de probabilidad.
2 En un curso de 20 alumnos los promedios en la 6 Crea una variable aleatoria a partir de un experi-
asignatura de matemática son: mento, de modo que su función de probabilidad
sea la siguiente:
4,8; 5,3: 6,6; 5,8; 3,5; 4,3; 5,8; 3,7; 5,6; 6,3;
6,2; 4,5; 5,4; 6,1; 5,4; 4,1; 6,3; 6,8; 4,6; 5,7 Y [0,1]
2
a. Utiliza muestreo aleatorio simple para escoger una
muestra de 5 alumnos. Explica tu procedimiento. 1
1
6
b. Calcula el promedio de todo el curso, y com-
páralo con la media muestral anterior. ¿Fue una 1
2
buena aproximación? 3
3 Daniela intenta saber el promedio de la estatura
de todas las alumnas de los segundos medios de
7 Alejandro, Macarena, José y Camila quedaron cla-
su colegio. Extrae al azar cinco muestras de cua-
sificados para la final del campeonato de ajedrez
tro personas y lo repite cinco veces obteniendo
de su colegio. Se enfrentan todos contra todos, y
lo siguiente:
cada uno tiene la misma probabilidad de ganar.
Muestra 1: 1,60 - 1,63 – 1,45 – 1,65 Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos.
Muestra 2: 1,58 – 1,63 – 1,58 - 1,53 a. Qué Macarena obtenga el primer lugar.
Muestra 3: 1,70 – 1,60 – 1,40 – 1,60 b. Qué José quede en el último lugar.
Muestra 4: 1,62 – 1,56 – 1,59 – 1,60
Muestra 5: 1,60 – 1,54 – 1,55 – 1,57
Lección 42: Medias muestrales y variable aleatoria 9 Emilio tiene 3 llaves, y solo una abre la puerta de
su casa. Cada noche se olvida de cuál llave abre
8 La siguiente tabla muestra la velocidad en km/h su puerta, así que las ordena y va probando de a
que llevaban 100 automóviles que pasaron por una al azar, hasta que acierta.
un control de velocidad en una avenida, un día a. Determina la función de probabilidad de la
jueves a las 16 horas con velocidad máxima per- variable aleatoria X: número de intentos.
mitida de 60 km/h.
b. ¿Cuántos intentos debe realizar Emilio, en pro-
86 27 35 107 116 106 114 21 61 93 medio, hasta abrir su puerta?
12 107 18 70 135 119 39 54 43 41
82 102 64 52 131 140 51 33 49 139 10 En las siguientes situaciones indica el valor espe-
rado de la media muestral.
45 134 42 48 129 79 72 63 150 94
50 88 126 144 63 118 42 58 114 99 a. La cantidad de hombres al elegir una muestra
82 64 133 126 107 126 35 42 140 107 de diez personas de una ciudad.
97 61 126 128 25 44 96 92 40 57
b. La cantidad de caras que se obtienen al lanzar
70 133 37 134 76 50 69 97 106 114 seis monedas.
40 68 80 89 107 76 54 100 33 53
78 73 116 81 81 67 36 101 126 85 c. La cantidad de “cuatros” que se obtienen al
lanzar 10 dados.
a. Extrae 6 muestras aleatorias de tamaño 10, y calcu-
la su media muestral. ¿Cuál es, aproximadamente,
el promedio de velocidad de los automovilistas?
Evaluación
b. ¿Qué puedes inferir respecto a la prudencia de
los automovilistas de esta avenida Justifica
tu respuesta.
Autoevaluación
Evalúa tu aprendizaje utilizando el solucionario y completa la siguiente tabla. Si no alcanzaste el mínimo sugerido en las actividades propuestas, vuelve a las
páginas indicadas para repasar.
Indicador Mínimo sugerido Puedes repasar en la(s) página(s)
Definir y aplicar una variable aleatoria asociada a un experimento. 3 respuestas correctas 280 y 281
Calcular y analizar el comportamiento de las medias muestrales. 2 respuestas correctas 284 y 285
Recapitulemos
En grupos de 4 personas, respondan y discutan las siguientes preguntas.
¿Cuáles son los conceptos fundamentales de esta sección?
Ü ¿Qué contenidos te resultaron más difíciles?
Ü
¿Qué utilidad tiene lo que has aprendido?
Ü ¿Qué te resultó más interesante en esta sección?
Ü
¿En qué ámbitos se puede aplicar lo aprendido en esta sección?
Ü
¿Lograste cumplir los propósitos de esta sección?
Unidad • da os a ar 291
Excluyente
Ü comportamiento del mar, e incluso con
Dependiente
Ü repentinos cambios climáticos.
Independiente
Ü Insistentemente, los científicos advierten sobre los peligros de creer en este tipo
Intersección
Ü de predicciones. Es importante señalar que hay sucesos que no pueden ocurrir simul-
táneamente: no puede haber marea alta si la Luna no se encuentra en fase nueva o
§ Mabel dice que comprará llena. Por otra parte, hay cosas que pueden suceder simultáneamente pero eso no
un helado o una bebida. indica, necesariamente, que una de ellas sea causa o consecuencia de la otra. Si bien
Si compra ambas cosas, observar coincidencias es, muchas veces, un punto de partida en el estudio científico,
¿mintió? Justifica. siempre hay un largo camino que realizar para comprobar si existe efectivamente una
relación entre los fenómenos en estudio.
Actividad grupal
En grupos de 4 personas, analicen y respondan.
➊ ¿Qué sucesos conocen con explicaciones “no científicas”, pero que suelen repetirse entre las personas?
Discutan y analicen la validez de ellos.
➋ Imaginen que están en un concurso de conocimientos que consta de 10 preguntas, que pueden
ganar (y obtener un premio millonario) solo si las contestan todas correctamente. Tienen dos opciones:
que les hagan todas las preguntas de una vez (en una hoja escrita, por ejemplo) o bien les hacen las
preguntas una por una, y solo les hacen la siguiente si contestan correctamente.
¿Qué forma prefieren? ¿Por qué?
Determina, para los siguientes experimentos y Calcula, en cada caso, la cardinalidad del espacio
sucesos, sus casos favorables. muestral del experimento y del suceso descrito.
Determina además su probabilidad.
1 Experimento: escoger un número entre 1 y 100
(ambos inclusive). 4 Experimento: lanzar un dado y una moneda.
Suceso: obtener cara y un número par.
Sucesos:
A: escoger un múltiplo de 7. 5 Experimento: lanzar un dado 3 veces.
B: escoger un número terminado en 6 o en 8. Suceso: Obtener 3 veces el 6.
C: escoger un número que no sea múltiplo de 3. 6 Experimento: escoger una tenida, entre tres
camisas y dos pantalones.
2 Experimento: escoger una letra al azar del alfabeto.
Suceso: escoger la camisa azul y un pantalón
Sucesos: cualesquiera.
A: escoger una letra que pertenezca a la 7 Experimento: lanzar 4 veces una moneda.
palabra CONSIDERACIÓN.
Suceso: obtener 4 sellos.
B: escoger una consonante que pertenezca a la
palabra UNIVERSITARIO. 8 Experimento: lanzar 3 monedas y un dado.
Actividad
Suceso: obtener 3 sellos y un número
C: escoger una letra que pertenezca a la
menor que 5.
palabra ODISEA, o bien a la palabra PARAÍSO.
Unidad • da os a ar 293
Corderos Vacunos
9 3 6
5
Cerdos
A B A B
U
AUB A B
A menos B Complemento de A
A B A B
Razona
y comenta
A–B Ac § Si Pedro dice “ten-
go lápices azules”,
¿significa que no tiene
En resumen de otro color? ¿Qué
Dado un experimento aleatorio y dos sucesos A y B, se tiene que: sueles entender ante
U una afirmación así?
P(A – B) = P(A) – P(A B)
P(AC) = 1 – P(A) § Romina dice “mis cua-
U dernos son verdes o ro-
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A B)
jos”. ¿Tiene cuadernos
A y B son mutuamente excluyentes si ambos sucesos no pueden ocurrir de de los dos tipos? ¿Qué
U
manera simultánea A B = 0: sueles entender ante
P(A U B) = P(A) + P(B) una afirmación así?
Unidad • da os a ar 295
Practiquemos lo aprendido
un múltiplo de 5 o con un impar.
Resuelve los siguientes problemas.
7. Desafío: Considera el siguiente diagrama y
5. La siguiente tabla presenta las preferencias su explicación.
musicales de un grupo de personas, entre las
cuales se sorteará un ipad. Completa la tabla. A B
U
A B
Hombre Mujer Total
Música rock 15 20
Música alternativa 25
Total 32
=
Determina la probabilidad de cada suceso.
U
a) Que la persona ganadora sea hombre. P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A B)
b) Que la persona ganadora sea mujer y prefiera la
a) Observa el siguiente esquema:
música alternativa.
c) Que guste de la música rock o sea hombre. A B
d) Que guste de la música alternativa y que no
sea hombre.
e) Que no prefiera la música alternativa.
Reflexiona
§ ¿De qué manera la operatoria de conjuntos facilita el cálculo de probabilidades? Explica con tus palabras.
Unidad • da os a ar 297
Primera
extracción
Segunda
extracción
Podemos observar que al realizar la primera extracción hay 5 bolitas que pueden
ser escogidas, mientras que al realizar la segunda hay solo 4. Así, por principio mul-
tiplicativo, el experimento tiene 5 ∙ 4 = 20 casos totales.
4 Identifiquen nuevamente los casos favorables (en este caso son dos). ¿Cuál
era la probabilidad de cada uno? ¿Qué operación relaciona estas cantidades
con las probabilidades asociadas a la primera y la segunda extracción?
El suceso “extraer dos bolitas de distinto color” está compuesto de dos casos:
que la primera bolita sea roja y la segunda azul, y que la primera sea azul y la
segunda roja. Se trata de sucesos mutuamente excluyentes, pues no pueden
ocurrir simultáneamente.
Para calcular la probabilidad de cada caso, analizamos lo que ocurre en cada
extracción, como se muestra:
Caso roja y azul: Hay dos casos
favorables en la primera extracción,
y tres en la segunda. Por lo tanto,
a • 3 6 ca o a ora l
Para ganar, puede ocurrir el caso roja y azul o bien el caso azul y roja. Luego:
Razona
y comenta
2 3 3 2 6 6 12
P(dos bolitas de distinto color) = P ( RyA) + P ( AyR ) = • + • = + = § Danitza plantea que
5 4 5 4 20 20 20 la probabilidad de
obtener una bolita roja
En general, cuando un suceso está formado por casos que deben ocurrir suce- es 2 , y la de extraer
sivamente (es decir, que suceda uno y el otro) podemos multiplicar sus probabi- 5
lidades. Además, si un suceso está compuesto por distintos casos mutuamente una azul es 3 . Por lo
excluyentes, sumamos sus probabilidades. 5
tanto, la probabilidad
de obtener bolitas de
distinto color es
2 3 3 2 6 6 12
• + • = + = .
5 5 5 5 25 25 25
¿Qué error cometió?
En resumen
§ Resuelve el problema
Si en un experimento debe ocurrir primero un suceso A (con probabilidad P(A) y planteado en la
luego un suceso B (con probabilidad P(B) luego de que ocurre A), se tiene que: lección calculando
( y )= ( )• ( ) la probabilidad del
complemento, es decir,
Si un suceso C se compone de dos sucesos A y B mutuamente excluyentes, entonces: de que las bolitas sean
P(C) = P(A) + P(B) del mismo color.
Unidad • da os a ar 299
1. Determina para cada situación el espacio 3. Resuelve los siguientes problemas utilizando un
muestral y la probabilidad del suceso diagrama de árbol. Guíate por el ejemplo.
correspondiente.
Se extraen dos letras al azar de la palabra RARAS.
a) Se lanzan 2 dados, y el producto de los números ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos letras iguales?
obtenidos es 12.
Paso 1 Se dibuja el diagrama de árbol, y se asig-
b) Se lanzan tres monedas, y se obtienen tres sellos. nan las probabilidades de cada caso.
c) Escoger una carta de una baraja inglesa (sin 2 2 1
comodines), anotar su pinta, devolverla y extraer
5 5 5
otra, y que ambas sean de picas.
R A S
d) Escoger al azar dos días de una semana, y que
ambos correspondan al fin de semana (sábado 1 2 1 2 1 1 2 2
o domingo). 4 4 4 4 4 4 4 4
e) Escoger al azar un número mayor que 9 y menor R A S R A S R A
que 100, y que la suma de sus cifras sea igual a 11.
Paso 2 Identifica los casos favorables y multipli-
2. Calcula las probabilidades de que ocurran los
ca sus probabilidades.
siguientes sucesos, considerando el experimento
aleatorio que consiste en extraer una carta de un Caso RR: 2 • 1 = 2 Caso AA: 2 • 1 = 2
mazo de 52 naipes (sin comodines). Considera que 5 4 20 5 4 20
el As es igual a 1.
Paso 3 Suma las probabilidades anteriores.
a) Obtener una carta mayor que 2 o múltiplo de 5.
2 2 4
b) Obtener un 3 o un naipe cuya pinta sea trébol. P= + =
20 20 20
c) Obtener un Rey o un As.
a) Se extraen dos letras de la palabra AMALIA. ¿Cuál
d) Obtener una carta mayor que 10 o menor que 5. es la probabilidad de extraer dos letras iguales?
e) Obtener una carta de pinta negra, o una figura b) Se extraen dos letras de la palabra POROTO. ¿Cuál
de picas. es la probabilidad de extraer dos letras iguales?
Practiquemos lo aprendido
nas padece una determinada enfermedad. Si un
Resuelve los siguientes problemas. examen se aplica a una persona al azar de dicha
ciudad, la probabilidad de que el examen arroje
4. La siguiente tabla muestra la cantidad de hombres un falso positivo es de un 1,6%, mientras que la
y mujeres de un grupo de personas encuestadas
probabilidad de que arroje un falso negativo es de
que eligen entre dos planes de conexión a
0,6%. ¿Cuál es la probabilidad de que el examen
internet. Entre ellas se realizará un sorteo.
indique que una persona está sana? ¿Cuál es la
Elección de planes de conexión a internet probabilidad de que el examen indique que
está enferma?
Plan Hombres Mujeres Total
A 105 90 7. Desafío: a una reunión internacional han asistido
B 500 201 personas, de 5 nacionalidades diferentes.
En todos los grupos de 6 personas que pueden
Total 240 formarse, siempre hay al menos dos personas que
tienen la misma edad.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el ganador Demuestra que, entre los asistentes a la reunión,
sea hombre? hay al menos 5 personas de la misma nacionali-
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el ganador sea dad, de la misma edad y del mismo sexo.
mujer y haya escogido el plan A? 8. Conexiones: el escritor británico George Bernard
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el ganador haya Shaw es el autor del siguiente apunte, refiriéndose
escogido el plan A o el plan B? a las personas que siempre están cansadas:
d) ¿Cuál es la probabilidad de que el ganador no "El año tiene 365 días de 24 horas, de las cuales 12
haya elegido ninguno de los planes? están dedicadas a la noche y hacen un total de 182
días, por lo tanto, solo quedan 183 días hábiles
5. Nibaldo va los sábados a la feria, y las tres cuartas menos 52 sábados y 52 domingos, quedan un total
partes de las veces que va lleva su bolsa. Cuando de 79 días, pero hay 4 horas diarias dedicadas a las
la lleva, el 80% de las veces compra pescado, comidas sumando 60 días, lo que quiere decir que
mientras que si no la lleva solo lo hace la mitad quedan 19 días dedicados al trabajo, pero como
de las veces. ¿Cuál es la probabilidad de que un usted goza de 15 días de vacaciones, solo le quedan
sábado no compre pescado? 4 días para trabajar, menos, aproximadamente, 3
días de permiso que utiliza para hacer diligencias o
6. Conexiones: en medicina se aplican exámenes estar enfermo, solo le queda un día para trabajar,
para detectar enfermedades, que a veces fallan. pero ese día es precisamente el día del trabajo (1º de
Cuando una persona sana es señalada como mayo) y, por lo tanto, no se trabaja por ser festivo";
enferma por el examen se dice que es un falso entonces...¿de qué se siente cansado?
positivo. A la inversa, si la persona está enferma
y el examen indica que está sana se trata de un ¿Cuál es la “trampa” del texto? Discute con tus
falso negativo. compañeros?
Reflexiona
§ ¿Por qué es importante identificar si dos sucesos tienen casos en común?
§ Dos sucesos se llaman dicotómicos si no pueden tener casos en común, por su naturaleza. En cambio, hay
sucesos que en ocasiones no tienen casos en común. Da dos ejemplos de cada uno.
Unidad • da os a ar 301
Eventos independientes
Carmen quiere realizar el experimento de la lección an-
terior (sacar dos veces una bolita de una urna con dos
rojas y tres azules) con una diferencia: extraerá la bolita y
anotará su color, y luego la devolverá a la urna para extraer
por segunda vez. ¿Cuál es ahora la probabilidad de extraer
dos bolitas de distinto color?
Para averiguarlo, realiza el siguiente razonamiento:
Repaso Aplica
Practiquemos lo aprendido
1. Calcula, en cada caso, la probabilidad del 4. Una caja contiene 10 bolitas numeradas del 1
suceso indicado. al 10. En el espacio muestral del experimento
“extraer dos bolitas, una primero y otra después”
a) Obtener tres caras consecutivas al lanzar se define los siguientes sucesos:
una moneda.
A: obtener una bolita con un número par en la
b) Lanzar un dado cinco veces y obtener la secuen- primera extracción.
cia 3, 3, 5, 6, 2.
B: obtener una bolita con un múltiplo de 3 en la
c) Lanzar un dado cuatro veces, y obtener solo segunda extracción.
números pares.
a) ¿Son independientes los sucesos si se repone la
d) Sacar tres cartas de una baraja de 52, y obtener
bolita en la primera extracción? Fundamenta.
sólo tréboles o diamantes.
b) ¿Qué ocurre con los sucesos si no se repone la bolita?
e) Se escoge un dígito al azar de 0 a 6 cuatro veces,
para formar un número. Se obtiene un número 5. Se dispone de 2 urnas con fichas de colores, como
mayor que 4320. muestra la figura, y se extrae una ficha de cada una.
Práctica guiada
Unidad • da os a ar 303
5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120 posibilidades
120 5 • 4 • 3 • 2 •1 5! 5!
60 = = = =
2 2 •1 2! (5 − 3)!
escoger, sin importar el orden, 3 objetos entre 5 disponibles. nombre de número combina-
torio, se lee “m sobre n”.
En general, dados dos números naturales m y n, con m>n, se tiene que: Recuerda que por principio
multiplicativo, las posibilidades
m! m
Cnm = = de escoger a dos hombres se
(m − n) • n! n multiplican por las de escoger
a una mujer, para obtener el
Si Guadalupe quiere averiguar la probabilidad de escoger a dos hom- total de casos posibles.
bres y una mujer, solo le falta determinar los casos favorables:
• Posibilidades de escoger a 2 hombres entre 3:
3! 1• 2 • 3
C23 = = =3
(3 − 2) • 2! 1•1• 2
Unidad • da os a ar 305
el ejemplo.
1. Calcula la cantidad de casos posibles de los
siguientes experimentos. Mariano tiene 5 lápices a tinta y 8 lápices de grafi-
to, y quiere llevar a su colegio 7 lápices en total. Si
a) Lanzar una moneda 5 veces. los selecciona al azar, ¿cuál es la probabilidad de
que escoja 3 lápices de tinta?
b) Escoger al azar un menú considerando 3 posibles
entradas, 4 platos de fondo y dos postres. Paso 1 Calcula la cantidad de formas de escoger 7
lápices de entre 5 + 8 = 13 lápices en total.
c) La cantidad de patentes de auto que se pueden
formar, utilizando 4 consonantes y 2 dígitos. 13 13! 13!
7 = (13 − 7)! • 7! = 6! • 7!
d) Generar al azar una clave secreta, que debe
contener 6 caracteres que pueden ser números o 1• 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 • 8 • 9 • 10 • 11• 12 • 13
letras (sin la ñ). =
1• 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 • 1• 2 • 3 • 4 • 5 • 6
Práctica guiada 8 • 9 • 10 • 11• 12 • 13
=
1• 2 • 3 • 4 • 5 • 6
2. Resuelve los siguientes problemas. Guíate por
el ejemplo. 8 • 9 • 11• 13
=
1• 6
Se seleccionan al azar las letras de la palabra
SUMA ¿Cuál es la probabilidad de que se escoja 10 296
=
esta palabra? 6
= 1716
Paso 1 Se determinan los casos posibles, que
corresponden a las permutaciones de 4 Paso 2 Calcula la cantidad de formas de escoger
letras, es decir: 3 lápices de tinta, de entre los 5 que tiene.
4 = 4 = 1 • 2 • 3 • 4 = 24 5 5! 5!
Paso 2 Ya que la palabra SUMA es uno de esos 3 = (5 − 3) • 3! = 2! • 3!
casos, su probabilidad es:
1• 2 • 3 • 4 • 5
1 =
P= 1• 2 • 1• 2 • 3
4
4•5
a) Se seleccionan al azar las letras de la palabra =
1• 2
COMPLETA. ¿Cuál es la probabilidad de escoger
20
la palabra PLECOMTA? = = 10
2
b) Se escogen al azar los diez dígitos. ¿Cuál es la pro-
babilidad de escoger la combinación 7639410825? Paso 3 Calcula la cantidad de formas de escoger
4 lápices de grafito, de entre los 8 que tiene.
c) Se escogen al azar tres vocales. ¿Cuál es la proba-
bilidad de escoger la combinación EAI? 8 8! 8!
4 = (8 − 4) • 4! = 4! • 4!
d) ¿Cuántas palabras de 4 letras, con o sin sentido,
se pueden formar con las letras de la palabra 1• 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 • 8
PLUMAS? ¿Cuál es la probabilidad de que al esco- =
1• 2 • 3 • 4 • 1• 2 • 3 • 4
ger una de estas palabras sea elegida LUSA?
5•6•7•8
e) Si entre 11 políticos se escogerá a 6 senadores, =
1• 2 • 3 • 4
¿cuántas posibles combinaciones se pueden ele-
gir? ¿Cuál es la probabilidad de escoger aleatoria- 1680
= = 70
mente un determinado grupo de senadores? 24
Practiquemos lo aprendido
Por lo tanto, la probabilidad P pedida es
compuesta por su papá, su mamá, él y sus dos
hermanos. Para eso, se pondrán al azar uno al lado
5 8
del otro. ¿Cuál es la probabilidad de que sus dos
3 4 10 • 70 700 175
P= = = = padres queden juntos en la foto?
13 1716 1716 429
7 6. Paulina quiere adornar su casa con plantas, para
lo que le encarga a su hermano que compre 2
plantas de interior y 5 de exterior. En la tienda
Utiliza el procedimiento anterior para resolver los su hermano compra las plantas al azar (todas
siguientes problemas: distintas) pues no las distingue. Si en la tienda
a) De un grupo de cuatro mujeres y dos hombres había 6 tipos de plantas de interior y 8 de exterior,
se seleccionan tres personas. ¿Cuál es la probabi- ¿cuál es la probabilidad de que cumpla con el
lidad de que queden seleccionados los deseo de Paulina?
dos hombres? 7. En un plano cartesiano hay 5 puntos no colineales
b) Considerando el problema anterior, ¿cuál es la (A, B, C, D y E), es decir, no pertenecen a una
probabilidad de que queden seleccionadas misma recta, ¿cuántos triángulos es posible
tres mujeres? dibujar? ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger
3 de los 5 puntos para formar un triángulo se
c) Un entrenador de un equipo de fútbol debe elijan los puntos A, B y C?
escoger a la delegación de 22 jugadores que
viajarán a un campeonato. Para ello debe escoger 8. Un profesor interrogará a la mitad de los
a 2 arqueros de los 3 que tiene, a 6 defensas de estudiantes de un curso de 38. Si uno de ellos
10, 8 mediocampistas de 12 y a 6 delanteros de 9. no estudió, ¿cuál es la probabilidad de que no
¿Cuál es la probabilidad de que dos defensas y un salga seleccionado?
mediocampista cualquiera queden seleccionados? 9. La clave de un maletín de seguridad está compuesto
d) Rebeca e Irene trabajan haciendo turnos en un por 5 dígitos. A su dueño se le olvidó la clave, solo
hospital. De los siete días de la semana, deben sabe que comienza con un número primo. ¿Cuál es
escoger 3 que serán sus días libres; Rebeca debe la probabilidad de que, al tratar de abrir el maletín,
escoger sus días de lunes a jueves e Irene, de acierte con la clave al primer intento?
jueves a domingo. ¿Cuál es la probabilidad de 10. Se formará un equipo de 4 mujeres y 3 hombres
que ninguna de ellas trabaje el jueves? elegidos entre 12 mujeres y 18 hombres. Pablo y
Camila son hermanos, ¿cuál es la probabilidad de
que ellos conformen juntos el equipo?
Aplica
11. Desafío: Marcela es hermana de Raúl, y Constanza
Resuelve los siguientes problemas. es hermana de Beatriz, mientras que Leonardo no
es hermano de los anteriores nombrados. ¿Cuál es
4. ¿Cuántas palabras con o sin sentido se pueden la probabilidad de escoger al azar a dos personas
formar con las letras de la palabra PALTOS, de tal de este grupo que sean de distinto sexo o que
modo que comiencen con P y terminen con S? sean hermanos?
Reflexiona
§ ¿De qué manera facilita la resolución de problemas de probabilidad el uso de combinatoria? Explica.
§ Resuelve los ejercicios 3, 4 y 5 de la lección 44, utilizando combinatoria en lugar de diagramas de árbol.
¿Confirma lo que respondiste en la pregunta anterior? Justifica.
Unidad • da os a ar 307
En un conjunto de cartas de una baraja inglesa sin comodines, la probabilidad de extraer una K es 2 , la pro-
9
babilidad de extraer una carta de pinta negra es 6 y la de extraer una carta que sea de pinta roja o K es 5 .
9 9
¿Está entre esas cartas la K de trébol?
Los sucesos “extraer una carta de pinta roja” y “extraer una carta de pinta negra” son excluyentes, por lo que si la
6 3
probabilidad extraer una carta de pinta roja es igual a P(R) = 1− = .
9 9
Tenemos que
U
P(K U R) = P(K) + P(R) – P(K R)
5 2 3 U U
= + − P(K R) → P(K R) = 0
9 9 9
La probabilidad de extraer una K de pinta roja es 0, por lo que la K de corazón no puede estar entre ellas.
Podrás aplicar lo aprendido aquí en los problemas que se presentan en la página 310.
Razona
y comenta
§ ¿Cuál es el error cometido por Ramiro?
§ ¿Qué otros errores pueden cometerse al operar conjuntos??
Reflexiona
§ ¿Habías cometido ya alguno(s) de estos errores?
§ Respecto a los que no cometiste, ¿te sirve estar advertido de la posibilidad de cometerlos?
§ Revisa los ejercicios que hayas resuelto en la unidad. ¿Qué errores has cometido? ¿Qué acciones puedes
tomar para no volver a cometerlos?
Unidad • da os a ar 309
a. E: escoger un día del año al azar. 8 Josefa debe escoger al azar dos días de una se-
A: que llueva ese día. mana para hacer un taller. Si lo hace al azar, ¿cuál
B: que esté nublado ese día. es la probabilidad de que escoja dos días segui-
dos, pero que no esté el lunes entre ellos?
b. E: Escoger un número del 1 al 30.
A: escoger un múltiplo de 7.
B: escoger un múltiplo de 5. Lección 45: Eventos independientes
c. E: escoger al azar una carta de un naipe inglés.
9 Se sacan consecutivamente tres cartas al azar de
A: que salga un 3.
un mazo inglés, reponiéndolas cada vez. Calcula
B: que salga una figura.
la probabilidad de los siguientes eventos:
5 El 25% de los habitantes de una ciudad escucha
a. obtener tres ases.
un noticiero de la radio por la mañana, el 35% lo
escucha por la noche y se sabe que el 10% escucha b. obtener un rey, un corazón y un trébol (sin im-
ambos noticieros. Si se escoge una persona al azar portar el orden).
de esta ciudad, calcula la probabilidad de que: c. obtener tres cartas de pinta roja.
10 Una prueba de matemáticas consta de 30 pre- 13 5 mujeres y 3 hombres quieren jugar un partido
guntas de cinco alternativas cada una. Oscar no de básquetbol mixto, para lo que deben seleccio-
estudió y decide recurrir a la suerte en cada una nar a 5 jugadores.
de ellas, respondiendo al azar.
a. ¿Cuántos equipos se pueden formar, si cada
a. ¿Cuál es la probabilidad de que Oscar responda jugador puede ocupar cualquier puesto y el
todo correctamente? equipo puede tener solo mujeres?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que Oscar tenga la b. ¿Cuántos equipos se pueden formar, si el equipo
mitad de las respuestas correctas? puede debe tener hombres y mujeres?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que Oscar obtenga c. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo este
el 60% de la prueba correcta? conformado por tres mujeres y dos hombres?
11 Un dado se ha trucado de tal forma que: d. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo tenga
P(2) = P(4) = P(5) y P(1) = P(3) = P(6) = 2P(5). a lo más 3 mujeres?
Si se lanza dos veces, calcula la probabilidad de
14 Estefanía y Bárbara forman una fila junto a 3 com-
los siguientes sucesos:
pañeros de su curso.
a. obtener un 2 y un 3.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que Bárbara quede
b. obtener dos números pares. justo detrás de Estefanía?
c. obtener el 6 y un número impar. b. ¿Cuál es la probabilidad de que Estefanía quede en
cualquier posición delante de Bárbara?
Lección 46: Combinatoria y probabilidades
Evaluación
12 ¿Cuántas palabras (con o sin sentido) se pueden
formar con las letras de la palabra SUYAI de mane-
ra que siempre comiencen con S y terminen con I?
Autoevaluación
Evalúa tu aprendizaje utilizando el solucionario y completa la siguiente tabla. Si no alcanzaste el mínimo sugerido en las actividades propuestas, vuelve a las
páginas indicadas para repasar.
Indicador Mínimo sugerido Puedes repasar en la(s) página(s)
Utilizar conjuntos y su operatoria en el cálculo de probabilidades. 3 respuestas correctas 294 y 295
Resolver problemas utilizando suma y producto de probabilidades. 2 respuestas correctas 298 y 299
Identificar sucesos independientes en experimentos aleatorios. 2 respuestas correctas 302
Utilizar herramientas de combinatoria en el cálculo de probabilidades. 2 respuestas correctas 304 y 305
Recapitulemos
En grupos de 4 personas, respondan y discutan las siguientes preguntas.
¿Cuáles son los conceptos fundamentales de esta sección?
Ü ¿Qué contenidos te resultaron más difíciles?
Ü
¿Qué utilidad tiene lo que has aprendido?
Ü ¿Qué te resultó más interesante en esta sección?
Ü
¿En qué ámbitos se puede aplicar lo aprendido en esta sección?
Ü
¿Lograste cumplir los propósitos de esta sección?
Unidad • da os a ar 311
Actividades complementarias
➊ Conversa con tus compañeros respecto al papel de los medios de comunicación en casos como
el detallado. ¿Has escuchado casos en que alguien, finalmente inocente, ha sido condenado
por la opinión pública?
Unidad • da os a ar 313
Evaluando e innovando
Diseña una evaluación con los contenidos vistos en la unidad e intercámbiala
con un compañero. Te sugerimos:
• n cruci rama o sopa de letras con las palabras o conceptos cla e.
• n ue o de mesa con pre untas de contenidos de la unidad.
• n ue o de memoria, que relacione conceptos, fórmulas y definiciones.
¿Cómo se hace?
Completa en tu cuaderno el siguiente cuadro sinóptico. Estos resultados los observó
para distintas características
de las plantas (tallo, vaina
Contenido Definición y/o procedimiento Ejemplo y flor), y constató en todas
sus muestras que “de
las formas que tienen el
Medidas de dispersión carácter dominante en la
primera generación, tres
cuartos lo mantienen en
la segunda, y un cuarto
Comparación de conjuntos
de datos mantiene el gen recesivo.
Tercer experimento
Variable aleatoria
Mendel además constató que
la textura lisa de una semilla
era dominante y la rugosa,
Media muestral de una recesiva. Autofecundó una
Síntesis
variable aleatoria planta con una semilla con
el siguiente fenotipo:
Unidad • da os a ar 315
10 Evalúa si las siguientes proposiciones son verda- 16 Se escoge al azar un número del 1 al 20, y se definen
deras o falsas: Justifica las falsas. los siguientes sucesos:
a. La probabilidad de que al lanzar un dado se A: escoger un número par.
obtenga un seis es de 1 . B: escoger un número primo.
6 C: escoger un múltiplo de 7.
b. El recorrido de la función variable aleatoria está
comprendida entre el 0 y el 1. Describe con palabras los siguientes sucesos, y
determina su probabilidad.
c. El dominio de una variable aleatoria correspon-
de al espacio muestral. a. A U B
Refuerzo
13 Evalúa si las siguientes proposiciones son verda-
deras o falsas. Justifica las falsas. a. Se tiene una urna con 6 bolitas rojas y 10 bolitas
verdes y otra urna con 11 rojas y 7 verdes. ¿Cuál
a. La media muestral corresponde siempre al pro- es la probabilidad de que al extraer una bolita
medio de la población. de cada urna ambas sean verdes?
b. Los posibles resultados de una variable aleatoria b. De un grupo de 4 hombres y 3 mujeres se esco-
corresponden a una población infinita. gen a tres de ellos. ¿Cuál es la probabilidad de
c. Al repetir varias veces un experimento el que se escojan más hombres que mujeres?
promedio de la variable aleatoria se acerca c. Paola lanzará una moneda al aire 8 veces. ¿Cuál
al valor teórico. es la probabilidad de que obtenga cara al me-
d. La media muestral de un experimento se puede nos una vez?
obtener calculando la media de una muestra. d. David está escogiendo su ropa al azar. Para ello
e. Al lanzar un dado 50 veces, necesariamente el puede elegir entre una polera azul, una amarilla
promedio de los números obtenidos será 3,5. y una camisa blanca; y entre un pantalón azul y
otro negro. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos
prendas que seleccione no sean del mismo color?
Tipos de eventos y probabilidades
Eventos independientes
Conjunto y probabilidades
18 ¿Qué significa que dos sucesos sean indepedientes?
14 ¿Qué significa que dos eventos sean mutuamente
excluyentes? 19 Da tres ejemplos de eventos independientes.
15 Da dos ejemplos de eventos mutuamente
excluyentes.
Unidad • da os a ar 317
Ahora que has reforzado los contenidos de la unidad, te sugerimos las si-
guientes actividades para que puedas profundizar tus conocimientos.
Muestreo aleatorio
Lee y realiza las actividades propuestas
En ocasiones, escoger una muestra mediante muestreo aleatorio simple no
es lo más conveniente para estimar la media poblacional. Existen factores que
pueden influir en esto, por ejemplo, que la población esté compuesta por grupos
muy diferentes entre sí. Para ello, se definen otros tipos de muestreo aleatorio,
como los siguientes:
Muestreo aleatorio sistemático: este método utiliza los siguientes pasos.
Paso 1 Se ordenan los elementos de la población y se les asigna un nú-
mero correlativo.
Paso 2 Se calcula la parte entera del cociente r entre la cantidad de ele-
mentos N de la población y el número de elementos n de la mues-
N
tra, es decir, r = .
n
Paso 3 Se selecciona aleatoriamente un número m entre 1 y r, y se esco-
gen los elementos correspondientes a los números m, m + r, m +
2r, … , m + (n – 1)r
Muestreo aleatorio estratificado: este método utiliza los siguientes pasos.
Profundizo
Paso 1 La población (de tamaño N) se divide en p grupos o es-
Guía
tratos E1, E2, …, Ep de tamaños N1, N2, …,Np, según algu-
na característica (edad, sexo, etc). Se debe cumplir que
N1 + N2 + …+ Np = N.
Paso 2 El tamaño n de la muestra se divide en p partes de tamaños
n1, n2,…, np, en forma proporcional al tamaño de cada estrato. Se
debe cumplir que n1 + n2 + … + np = n y
n1 n2 np
= = ... =
N1 N2 Np
Paso 3 De cada estrato Ei se escoge una muestra mediante muestreo
aleatorio simple, del tamaño ni. La unión de estas muestras con-
forma la muestra total.
Muestreo aleatorio por conglomerados: este método utiliza los
siguientes pasos.
Paso 1 La población se divide en agrupaciones o conglomerados, se-
gún una característica.
Paso 2 De estos conglomerados, se escogen al azar algunos de ellos.
Paso 3 De cada conglomerado anterior se escoge una muestra aleatoria,
que juntas constituyen la muestra requerida.
1 ¿Qué circunstancias crees que motivarían a utilizar cada uno de los mé-
todos anteriores. Discute con tus compañeros.
2 Para cada tipo de muestreo, escribe una situación de tu colegio en que
sería conveniente utilizarlo y explica los pasos que seguirías para obte-
ner una muestra de tamaño 30.
Unidad
Unidad
• d1a• os
números
a ar 319
8 Cierta entidad quiere saber qué ciudad presenta 11 De una población de 300 personas, se desea
mayor variabilidad en relación con la natalidad. escoger una muestra de 5 de ellas para estimar su
edad promedio. ¿Cuál de los siguientes métodos
Para ello, la entidad debe saber que:
corresponde a un muestreo aleatorio simple?
(1) la media de ambas ciudades (A y B) es de
3 nacimientos. A. Numerarlas y escoger a las que tengan los nú-
meros 60, 120, 180, 240 y 300.
(2) el rango de la ciudad A es 5 natalidades
y la desviación estandar de la ciudad B es B. Separarlas en dos grupos de 150, y escoger al azar
1 nacimiento. a dos personas de un grupo y 3 personas de otro.
A. (1) por sí sola. C. Escoger a las dos mayores, las dos menores y a
una al azar.
B. (2) por sí sola.
D. Numerarlas y generar 5 números al azar de 1 a 300,
C. Juntas, (1) y (2).
para escoger a las personas correspondientes.
D. Cada una por sí sola, (1) o (2).
E. Ninguna de las opciones anteriores corresponde
E. Se requiere información adicional. a un muestreo aleatorio simple.
9 Se realiza un estudio para saber la variación del 12 Respecto del experimento “elegir al azar un nú-
tiempo que demoran dos atletas en competir en mero natural entre los menores que 16”, se define
los 100 metros planos en tres intentos. El atleta A la variable aleatoria X: número de divisores. ¿Cuál
tiene un rango de tiempo de 1,6 segundos. ¿Cuál es el mayor valor que puede tomar esta variable?
de los dos atletas tiene una mayor variación de
tiempo en los tres intentos? A. 3 C. 5 E. 7
(1) El atleta B tiene un rango de tiempo el 10% B. 4 D. 6
Evaluación
mayor que el atleta A. 13 Respecto de la variable aleatoria definida en la
(2) Los tiempos registrados de los tres intentos pregunta anterior, ¿cuál es el valor con que la
del atleta B son: 14 segundos, 15 segundos y función de probabilidad relaciona el valor 4 de la
15,76 segundos. variable aleatoria?
A. (1) por sí sola. A. 1 C. 3 E. 5
4 15 16
B. (2) por sí sola.
B. 1 D. 5
C. Juntas, (1) y (2). 8 15
D. Cada una por sí sola, (1) o (2). 14 ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
E. Se requiere información adicional. verdadera(s)?
I. Una variable aleatoria puede tomar solo
Muestreo y variable aleatorios valores entre 0 y 1.
II. Una función de probabilidad asocia valores
10 Respecto del experimento aleatorio “lanzar cua- naturales a los valores que toma una varia-
tro monedas”, se define la variable aleatoria ble aleatoria.
X: número de caras obtenidas. ¿Cuál es el conjun-
III. Una variable aleatoria es una función cuyo
to de los valores que puede tomar dicha variable?
dominio es el espacio muestral de un experi-
A. {1, 2} D. {1, 2, 3, 4, 5} mento aleatorio.
B. {1, 2, 3} E. {0, 1, 2, 3, 4} A. Solo I C. Solo III E. I, II y III
C. {1, 2, 3, 4} B. Solo II D. I y III
Unidad • da os a ar 321
A. 17 C. 21 E. 19
Tipos de eventos y probabilidades 21 38 37
Evaluación
23 ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar cuatro 27 En una tienda deportiva venden 8 tipos de cami-
monedas se obtengan 2 caras y 2 sellos? setas, 9 tipos de pantalones deportivos, 5 tipos de
calcetas y 12 tipos de calzado. ¿Cuántos equipos se
A. 1 C. 1 E. 5 pueden formar, considerando que estos se com-
16 4 8
ponen de camiseta, pantalón, calceta y calzado?
B. 1 D. 3
8 8 A. 8 C. 72 E. 4320
B. 34 D. 360
Utiliza la siguiente información para responder las 28 Si se extraen sucesivamente y sin reposición tres
preguntas 24, 25 y 26: cartas de una baraja de naipe inglés (52 cartas), ¿cuál
Un juego de azar se divide en dos etapas. Si la es la probabilidad de obtener un 5 en la primera
probabilidad de ganar en la primera etapa es 0,5 extracción, un 3 en la segunda y un 9 en la tercera?
y la de ganar en la segunda etapa es 0,3: 4 8
4 D.
A. 16 575
24 ¿Cuál es la probabilidad de que se gane las 52
dos etapas? 4 E. Ninguna de las
B. anteriores.
A. 0,2 C. 0,15 E. 0,95 663
C. 1
B. 0,8 D. 0,35
11050
25 ¿Cuál es la probabilidad de que se gane la prime- 29 En un experimento aleatorio se definen los suce-
ra y se pierda la segunda? sos A y B, donde la cardinalidad de A es 6 y la de
U
A. 0,2 C. 0,28 E. 0,8 B es 4. ¿Cuál es el valor de P(A B)?
Evaluación
B. 0,12 D. 0,35 (1) #Ω = 12
U
(2) #(A B) = 2
26 ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)? A. (1) por sí sola.
I. Ganar la primera etapa y perder la segunda B. (2) por sí sola.
etapa tienen igual probabilidad de ocurrir C. Juntas, (1) y (2).
que perder la primera y ganar la segunda.
II. Si la probabilidad de ganar en la segunda D. Cada una por sí sola, (1) ó (2).
etapa aumenta a 0,5, la probabilidad de E. Se requiere información adicional.
perder ambas etapas o ganar ambas tienen
igual probabilidad.
III. La probabilidad de perder ambas es 0,35.
A. Solo I C. Solo III E. II y III
B. Solo II D. I y II
Autoevaluación
Evalúa tu aprendizaje con el solucionario y completa la siguiente tabla. Si no alcanzaste el mínimo sugerido en las actividades propuestas, vuelve a las
secciones correspondientes.
Contenido Mínimo sugerido Puedes repasar en la…
Dispersión y comparación de datos. 6 respuestas correctas Sección 1
Muestreo y variable aleatorios. 5 respuestas correctas Sección 2
Tipos de eventos y probabilidades. 9 respuestas correctas Sección 3
Unidad • da os a ar 323
SOLUCIONARIO 325
SOLUCIONARIO 327
5
3 b) 45
d. (2x)7 3
f) – 1 i) (2a + 3)3
8
e. (ab) 8
i. – 4 c) a8 2
5 1 5
d) (b + 2)2 g) 4 j) b + 1
2 a. 81 d. 1296 g. – 729 5
c –1
4096
b. 256 e. – 1 125
1024
h. 2 a) 125 c) 16 f) 625 h) 169
64 81 9
1 d) –4096
b) 1
c. –125 f. i) 0,4
8 g) 343
12 e) 64 216 j) 8
3 a. 1 f. 1
25 5,18 3 a) 1 g) – 12 m) 34
1
b. 16 g. 9
3 5
3 1
7 (–4,21) b) 1 h) 8 n)
1 4,2 (0,8)
10
c. 3 9
( )
–12
4
h. 3 c) 12 i) (–5)4 ñ) –63 • 62
2 10 1
d. 35 j) o) – 1
x
i. 6 × 32 d) 13 (x + y)
a
102 • 4
1 46 10
e. j. 3
e) b k) b
9 2
(a + 5b) 53 c + 1
a4
4 a. 37 = 2187 7
−4
1296 1
h. = f) 1 l)
6
5
b. 4 = 16 777 216
12 2401 (ab)
6
(3ac)
8
c. (–1)11 = –1 4 65 536
i. = 4 a) 4
81 = 3 d) x
b =a 1 1
5 390 625 g) =
d. 9 = 6561
4 5
e)
y
c=4 243 3
1 j. 52 = 25 b) 16 = 4
e. 8 =
−5
32 768 k. b–a – c 8 2 h) a 1
c) 3
–216 = –6 f) 3 = w =
f. a5 l. 62 = 36 27 3 b z
1 1
6 m. (–21)8 1
g. – = 1 5 a) x = 32 c) x = 16 e) x =
3 729
−2
n. (–12) = d) x = 27 8
144 b) x = 216
d) 2
9 a) a 0 g) a R – {0}
4
b) a R h) a³ 0
4 a) 3
24 d) 1 f) n
ab
c) a³ 0 i) a R 4
d) a³ –1 j) a 0 b) 30 3 g) 4
a2
e) a³ 1 k) a 1 o a –1 c) 6
72 e) 8
–1 h) b
4a
f) a³ 0 l) a 2 o a –2
5 a) 4
64 d) 5 g) 4
256
10 a) La respuesta depende de cada estudiante. 5
b) 32 e) 3
x4
Un ejemplo es 5, 7 5 ≈ 1,26 . h) 5
177147
c) n
ab n
f) 5
96n5
b) La respuesta depende de cada estudiante.
Un ejemplo es 7 7 5 ≈ 1,03 . 6 a) 2 5 3 d) 2 5 7 g) b 5 b3 i) 3 4
3
SOLUCIONARIO 329
g) 7 q) 1
c) 5
256 5+y o) 74
4 2
d) 3
a
h) 23b
12
2 a) 4 c) 7 e) 49
b 8 2 49 56
4
e) 1 i) 1+ y b) 5 d) f) 30
25 8 40
x
b
f) 4 j) 9
1 3 a) 20 e) 3 i) 44
a 6 7 8 39
f) 12 j) 2
8 a) 20 – 4 2 g) 849 – 7 223 b) 11
6 g) 49
b) 11,2 3 + 2 2 + 0,6 h) –13,7 51–145,1 c) 1 4
197 213π d) − 7 h) 37
c) + 53 8 i) 9 –
77 130 4 35
d) 28 –10 5 j) 0,7π – 36 11π 3
4 a) 3 d) 3
(a + b )
4
g)
e) 17 + 2 3 7 k) 4,3 + 5 5 + 2 7 3 5
a3
18 b) Z 12 3 e) – 3
l) 3 h) (3 – x )
3
19 5 f) 243
f) + 4 11 m) 1 4 16384 4
10 c) 32 i) 5
–8
7 j) 3
9
9 a) x = 11+ 3 8 d) x = 3 – 39
b) y = 5 – 5 3 17 1 7
e) z = 5 a) 132 f) 5a 5
3 4 1 2
c) y = g) (3 + 5x)2 = 3 + 5x
f) 884 736 b) 3
4
5
2 7
10 a) 5 27 cm3 d) P = 14 3 m y 3 1 h) (–2)9
c) (a + b) 3
i) 3−4 = 1
4
b) π2 m2 A = 10 3 9 m2 1
c) (5 3 + 10 + 5 5 ) m e) 2 30 cm3 d) –8 2
3
5 1
e) 2
6
j) (2a ) 2 b
11 a) 108 f) –4a2 5
b) 13,25 g) –2
6 a) 7 e) 23 h) 42
c) 27 h) 1
7 i) –146,1a b) 12 3
f) 4
y i) 84
d) 5 j) 1 – 11a c) a
4 c x
g) 9 7 6
j) 5
2y
e) 50,55 d) 5
x 2
Lección 7: Potencias de exponente racional
Página 43
Página 42
b−c
7 a) 425 d) 10
40 h) 5
(6 + 6x)
2
1 a) 2 8
h) a
b) 20 4 e) 3
–70 4 i) – c (15x)
a
b) 57 b
5 f) 3
7 3
c) 52 i) 1 c) 5
21−3 j) (–25)
g) a
54 b
d) 5–3 2
j) 103
e) a–10 5
7 e) 24
5
k) 10–2 8 a) 5 c)
f) ax + y 3
6
2 7 r
3a
9
l) 5 c f)
g) 1
b
x s
6 b) 4
27 d) a
3 y
f) a b
13 6
11 a) 12
21 5 g) 40
a6 16 b
d) 70
9 h) 23 2 f) 2 – 2
b) 42
32 50 5 a)
e) 40
2x 8 6
c) 6
a f) 9 78 732 9( 3 + 5 ) g) –3 5 –12
b) 11
2
12 a) 337 h) 7 7 –14 3
7
( x + 1)
60
6
15 d) 8 g)
c) 51 2 + 17 11
5
b) 6 e) 6
32 10 4 7
a
h) d) 4( 13 + 21)
20
a 312 i) –2 2 – 3
c) f) 12
y
a 2
e) 6 +7 j) 15 3 – 4 15
Lección 8: Racionalización 43 29
Página 46 Página 47
1 a) a + 2ab + b
2 2
b) x2 – 2xy + y2 6 a) 25 5 + 2 – 5 10 + 2 2
23
c) 4 + 4a + a2
b) x x + 3 – x 3x + 3 3
2
d) x2y2 – 8xya3 + 16a6
e) 25 – b2 x2 + 3
c) 6 + 3 3 – 8 – 3 2
4 4
f) 9a2 – 25
g) 16x2 + 4x – 2 7
h) x2 + 7x + 12 d) 4 13 – 39
i) a3 – 27 13
j) x9 + 64 e)
3
2b
k) x2 + 2xy + 4xz + y2 + 4yz + 4z2 2b
l) 4a2 + 4ab2 + b4 f) 24 + 216 – 8 – 72
4 4 4 4
2 a) –2 2 + 3 h) 4 6 –11
5
b) 124
25 i)
4
3a2
c) x 2 – 4 2x + 8 3
d) – 4 2 + 4 j) xy
y
e) –3b ab + 3b ba + a b –1
2 3 2 3 2 2 4
a a 2
a2 7 a) 6 5 d) 73
4
g) 2 – 2
a 3
f) –6x – x – 9x
4 6
5 7
b e) 5 5 + 5 h) 5 2 + 10 6
b) 2
4 22
3 a) 6 b) 8 c) 3 a d) – 42 c) 6 5
3 2
6 8 a 2 f) 2 2 + 2 5
5
SOLUCIONARIO 331
13 Página 51
c) 3 3 – 90 + 100 5
3 3 3
5 a) No tiene solución. e) x = –
19 9 41
3
12 2
– 2 3
12 + 4 b) x = 2
d) 2 f) x = –
20 c) No tiene solución. 7
e) –2c c – 2c c b – 2c b
3 2 3 3 3 2
4 g) No tiene solución.
d) x =
b–c 29
f)
3
9 + 3 18 + 3 36 6 a) x = 724,
3 3
=
724 +5 3
=
x+5 3
=
729 3
=
27 3
g) 5 3 2 – 5 3 20 + 10 3 25
22 b) x = 3,
–4 25 – 2 3 30 – 3 36
3 16 • 32 + 3=
–3 4
=
144 4
=
12 2
= 2 3=2 x
12
h)
17 c) No tiene solución.
i) 2 36 + 2 3 6 + 2
3
7 2
5
(5b – c) 3 a2 + (5b – c) 3 a 3 b + (5b – c) 3 b2 8 16 cm
j)
a–b 9 4 cm
3 2 – 2 3 + 30 10 5 3 cm
13 a)
4
35 2 – 21 3 + 28 6 + 14 11 r = 2 π cm
b) π
23
c) 3 a – b 12 a) 2 5 segundos
b) 23,1125 m
Lección 9: Raíces enésimas, problemas y ecuaciones
13 a) i 3%
Página 50
c) La tasa de interés de Andrea es mayor a la tasa de
1 a) a2 + 2ab + b2 interés de Sergio, iA 1,07iS + 7,12
b) x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
14 a) g = 10 m/s2
c) 4 – 4y + y2
b) 1 m, aproximadamente.
d) p3 – 9p2 + 27p – 27
e) 4a2 + 20a + 25
Integrando lo aprendido
f) 64c3 – 144c2 + 108c – 27
g) p4 + 2p2q3 + q6 Página 54
h) 4a2p6 – 20ap3q + 25q2 1 a. 7
128 = 2 d. 64 = 8²
e) a 8 –729 = –9 e. –125 = (–5)³
2 a) a ≥ 0 c) a ≥ 8 b. 3
3 1 32 2
5
f) a ≥ 0 c. 3
0,001 = f. =
b) a ≥ –5 d) a ≥ 3 10 3125 5
d. 3 f. 9 b.
b. –2
14
3 a. a ³ 5 c. a R e. a ³ 51
10
29
c.
b. a ³ 3 d. a ³ 0 f. a ³ 0 2
9 d. – 2 – 2 2 –1– 2 2 – 2 – 2
4 a. 5
84 c. 8 2 e. 3 2
2 2
b. 3
50p2 d. 7 e. 1– 2 x –1 x – 2x
7 f. 9
4
f. x+y x – x+y x–y + x–y x –x
5 a. V d. V y
b. F, 21 = 3 • 7 e. V
g. –3 3 – 9 3 – 27 – 27
4 4
c. F, 2 3 5 = 3 40 f. F, 1 3 1 = 3 1 26
10 10 10000
11– 161
14 a. x = –3 e. x =
6 a. –13 3 c. –25 3 4
b. x=6
f. No tiene solución.
b. –32 2 d.
3
4 c. x = –3
g. x = 15622
6 d. No tiene solución.
h. x = 628 – 50 3
7 a. ( 3 + 2 17 + 15 + 17 + 1 ) 15 a. i 11,6% b. t 31,6 años
12
b. x = m
2
1 1 Sección 3: Logaritmos
8 a. 212 c. 255 e. 9
7 2
1
Página 57
b. 34 3 d. 3
5 f. 3
225
¿Qué debes saber?
9 a. 6
12 c. 3
5
i. 216 = 6
3
1 a. 7 = 49
b. 8
31 d. 4
3 17
j. –1= (–1)
b. 5 = 4 625
10 a. k. 64 = 2
6
8
b 5
c. 3
n41
e. 10
k 7
c. –2 = 5 –32 3
3
x l. 1 1
b. d. 4
p−13 f. 8
ab 4 d. 1 = 1 =
x 343 7
3 9 5
11 a. 4 5 m. 243 = 3
b. 169 + 2 371293 e. 3 = 4 81
3 6
5 32 768 8
4 256
2
12 a. 15 c. 14 n. 100 = 10
5 14 f. 5 = 3 125
9 3
2 8
b. 2 5 4 72
3
ñ. a10b5 = (a2b)
5
d.
5 7 g. ab3 = a2b 6
o. 64a6b9 = ( 4a2b3 )
3
h. 3x 2 y = 9x 4 y 2
Página 55
2 a. x5 = 32, x = 2
e. 2 27
5 4
h. 13 – 130
27 3 b. x = (–8)3, x = –512
4
113 2 +2 3+ 6 +6 c. x6 = –729, no tiene solución.
f. i.
11 4 53
d. x = , x = 62,5
2
g. 9 5 + 9 7 256 43 4
2 e. = x 3= ,x
125 5
13 a. 3 2 –1+ 3 2 2 – 2 3 a. V, cuando la base es negativa y el exponente impar.
b. V, 1 elevado n cualquiera es 1.
SOLUCIONARIO 333
10 000
6 a. 3
ab e. 3
q2 x10 k) log2 1 = –6 s) log10 =4
i. 12 64 3 81
b.
3
2x y9
a l) log5 1 = –3 1024
15 16
f. t) log 9 = –5
1 5 j. nx 4n x6 4
125 59 049
c. (2p)
4
7 g. 6
n) log4 1 = –1
4
Lección 10: Logaritmos 1
5 a) 25 = 32 h) 9 =
−2
Página 60 81
b) 83 = 512 1
1 a) x=3 h) x = 1,21 m) x = 6
c) 94 = 6561 i) 2−5 =
b) x=4 i) x = 46 656 n) x = –10 32
c) x=5 j) x = –29,791 ñ) x = 2 d) 107 = 10 000 000 1
j) 7 =
−3
b) 5 a) –3 c) 42 e) –5
1 1
loga = n ↔ an = → an = b−1 → a−n = b ↔ loga b = –n → –loga b = n
b b
b) –4 d) 1
2
1
Por lo tanto, loga = –loga b
b Página 65
9 a) 7 – 3 c) 1 6 a) log 6 k) log x 3 y 5
33 b) log 42
b) – 5 d) – 6 x2 y
4 6 c) log 3 l) log
z4
35
d) log m) log (a2 – b2)
Lección 11: Propiedades de los logaritmos 23
Página 64 57 x6 z3
e) log n) log12
1 a) log2 8 = 3 1 y4
g) log4 = –1 6
4 f) 1 a–b
b) log7 7 = 1 1 8 ñ) log
h) log8 = –5 3
32768 g) log
c) log4 4096 = 6 25
1 a5c
i) log8 = –3 6 15 o) log 5
d) log9 729 = 3 512 h) log b20 d2
3125 5
e) log6 7776 = 5 j) log 5 =5 a 15 c
6 7776 i) log4 3 36 p) log
1 b10 d6
f) log2 = –5
32 p2
j) log 6 q9
2 a) 2 = 32
5
f) 3 = 1
0 q3r 3 q) log
p17
b) 83 = 512 1
g) 2 =
−5
SOLUCIONARIO 335
x + 3 4 1 x+3 10 a) x = 5 2 + 38 o x = 5 2 – 38
log = log
x + 5 4 x+5 4 4
b) x = 100
e) 343 c) No tiene solución.
343 117 49 d) x = 1
•log – log7 = log = log
117 7 117
1 Lección 12: Aplicaciones de logaritmos
1 27 507
•log – log = log Página 68
507 49 27
1 a) log(( x + 5)( x – 2)) x+4
49 e) log
x +1
1 49 49 2x + 7
= log • = log b) log x –1
507 27 507 • 27 x +1 f) log
x +1
49 49 x 2 + 5x + 1
= log = log c) log
13689 117 x –1 x −2
g) log
d) log 1 = 0 ( x + 7)( x – 2)
f) 125 6859 125 6859
•log + log = log • = 2 a) x=5 f) No tiene solución.
361 75 361 75
b) x = –12,5 g) x = –0,25
5 5 •19 19 5 c) x = 2,45 h) No tiene solución.
log = log
75 15 d) No tiene solución. i) x = –0,6
1 e) x = 4,4
•log19 – log45 = log19 – log 45 =
2
19 19 19 5 19 5 3 a) pH ≈ 6,4
log = log = log = log
45 3 5 3•5 15 b) H+ ≈ 0,0015849 moles/litro
Página 69 1
3 a. log991 < log10010 < 2log0 ,5 < log105
2
4 a) Tiene 10log 3 decibeles más. b. logx² = 4y
b) Db ≈ 153,979 1
c) 4 a. log3( x + 1) e. log
Fenómeno l (W/m2) b 2 4
b
Bomba atómica de Hiroshima 100000000 2x
b. log
f. log5x x
4 3
Avión despegando 10 y
Perforadora eléctrica 0,01
c. log15 p
19
g. log 5 p q
2 3
SOLUCIONARIO 337
16 a. 152
3
c. 4
(2x – 5)5 e. (7x – 6) 3
1
b. 1
1
3 a. 3,46410 b. a
xb y b e. 16
1594323 h. 24
5m
b. Error Absoluto = 0,000001615 c. 1 f. 6
23x–2 y
Error relativo ≈ 0,00005%
c. La respuesta depende de cada estudiante. 19 a. 7 7– 3
d.
Un ejemplo es: 7 4
Aproximación por defecto: 3,458905463
Aproximación por exceso: 3,469297768 b. – 2 e. 7 30 – 5 5 + 42 6 – 5
2 31
4 Construcción.
3
9 2
143 – 2 33
5 c. f.
15 < 2 7 < 3 6 3 5
6 b=3
20 a. No tiene solución. d. x = 83
7 46 es irracional y 23 es racional. La diferencia entre b. x = 0 e. No tiene solución.
un número real y uno irracional es irracional. Luego, c. No tiene solución.
x = 23 – 46 es un número irracional.
8 Es racional, ya que: 21 a. 6
243 cm b. 16 c. 5 3π cm
π
( 18 – 2 ) • ( 4 – 9 ) = 16 • (2 – 3) = 4 • –1= –4 .
22 a. log5625 = 4 c. log 0,001 = –3 e. 70 = 1
9 a. 5 = 4 625 c. 2 = 4 16 b. log21024 = 10 d. 26 = 128 −3 1
f. 9 =
y
b. 7 = z
3 81 243
SOLUCIONARIO 339
5 a. P = 16,7 m 11 a) 140 cm c) r = 2
b. P = 8 + 3 2
b) 108 cm² d) r = 0,8
6 a. Los triángulos no son congruentes. Pieza real
12
b. Los triángulos son congruentes por criterio LAL. 18,75 m
56,25 m
7 m(QR) = 6 cm 75 m
93,75 m
18,75 m
Página 93 13 a) Sí.
1 a) 0,25 b) 0,6 c) 2 d) 1,2 b) No. La respuesta depende de cada estudiante. Un
ejemplo es:
2 a) x = 20 c) cx = 28 Largo 6 cm 15 cm
779 Ancho 3 cm 8 cm
b) x = 5 d) x =
35
c) No. La respuesta depende de cada estudiante. Un
3 A = 42 cm² P = 32 cm ejemplo es:
4 EFGH ~ TUVW, ABCD ~ OPQR
Cateto1 3 cm 6 cm
5 a) r = 1,5 OPQ ∼RST Cateto 2 4 cm 7 cm
Hipotenusa 5 cm 85 cm
OPQ RST OP correspondiente con RS
d) Sí.
PQO STR PQ correspondiente con ST
e) No. La respuesta depende de cada estudiante. Un
QOP TRS QO correspondiente con TR ejemplo es:
b) r = 0,2 EFGH ∼MPON Lado 1 2 cm 3,16 cm
EH correspondiente con MN
Lado 2 2 cm 3,16 cm
EHG MNO
Base 3,31 cm 2 cm
HGF NOP HG correspondiente con NO
f) No. La respuesta depende de cada estudiante. Un
GFE OPM GF correspondiente con OP ejemplo es:
FEH PMN FE correspondiente con PM Lado1 Lado 2 Lado 3 Lado 4 Lado 5 Lado 6 Lado 7
c) r = 3 RQPO ∼WZYX 7 cm 7 cm 7 cm 7 cm 7 cm 7 cm 7 cm
2 cm 2 cm 5 cm 2 cm 5 cm 2 cm 2 2 cm
ROP WXY RO correspondiente con WX
OPQF XYZ OP correspondiente con XY g) Sí.
PQR YZW PQ correspondiente con YZ h) Sí.
QRO ZWX QR correspondiente con ZW 14 a) No, ya que es una curva cerrada.
SOLUCIONARIO 341
SOLUCIONARIO 343
SOLUCIONARIO 345
SOLUCIONARIO 347
12 a) v C =
a km (a + 7) km Página 173
,v =
bh A 2b h g) mcm = 4y2 – 8y + 4, mcd = y – 1
b) Depende del valor de a. Si a > 7, Camila viaja más h) mcm = –18z5 + 24z4, mcd = z
rápido. Si a = 7 viajan a la misma velocidad, mientras
que si a < 7 Andrés viaja más rápido. i) mcm = n4 – 10n3 + 16n2 + 90n – 225, mcd = 1
j) mcm = x4 – 2x2y2 + y4, mcd = 1
Lección 24: Mcd y mcm de expresiones algebraicas k) mcm = 240x3y5, mcd = 2x
Página 172 l) mcm = 16x2y3z3, mcd = 2xy2
m) mcm =x2(y + 1)(y2 + y + 1), mcd = x
1 a) 22 • 3 e) 23 • 7 i) 32 • 5 • 7
n) mcm = x4 + 3x3 + x2 – 3x – 2, mcd = x + 1
b) 22 • 7 f) 23 • 11 j) 3 • 5 • 7
c) 22 • 32 g) 22 • 52 8 a) 4a3x2 b) 16 días
d) 2 • 3 • 7 h) 2 • 33 • 5 9 a) 6x + 3y
b) 2x + y + 4
2 a) mcm = 60, mcd = 3
c) (2x + y) litros, (8x + 2y + 12) botellas.
b) mcm = 105, mcd = 35
c) mcm = 96, mcd = 16 10 5a3 + 10a2bc+ 5ab2c2
d) mcm = 120, mcd = 4 11 a) La respuesta depende de cada estudiante.
e) mcm = 48, mcd = 4 b) La respuesta depende de cada estudiante.
f) mcm = 1680, mcd = 1 12 a) Si b es divisor de a, b es el mayor número que divide
g) mcm = 1500, mcd = 25 a a y a b; por definición es el mcd.
h) mcm = 1785, mcd = 1 Si b no divide a a, se tiene que a = qb + r.
i) mcm = 12600, mcd = 1 Sea x = mcd(b, r). Por definición, x divide a b y a r. Es
decir,
j) mcm = 63700, mcd = 1 b = mx r = nx
Luego,
3 a) 7a2 g) (x + 2)(x+ 5)
a = qb + r
b) 3x(x – 3) h) (a – 1)2 = q(mx) + nx
c) 3a2b2(2ab – 3ac3 + 9b4) i) (1 – p)(p2 + p + 1) = x(qm + n)
d) (2x – 1)(z – 3y) j) x(x – 1)(x + 2) Por lo tanto, x también divide a a, es decir, divide a a
k) 3(p – 2)(p + 2) y a b. Es necesario demostrar ahora que es el mayor
e) (x – 3)(x + 3)
divisor común.
l) 3(x – 1)(2x + 1)
f) x – 5 x + 5 Supongamos que existe un número y ≥ x, divisor co-
mún de a y b. Es decir,
2 3 2 3
a = vy b = wy
4 a) 20x2y4z2 c) x2y4 e) 60x2yz3 Entonces
b) 6x3y d) 42x2y2 f) 72a2b4 a = qb + r
vy = q(wy) + r
5 a) x c) 14xyz e) 9xy2 y(v – qw) = r
b) x2y d) 3x2y2 f) 5a Es decir, y es un divisor de r. Ya que x es el mcd entre
6 a) mcm = x + 3x – 9x – 27, mcd = x + 3
3 2 b y r, necesariamente y divide también a x. La única
b) , 28 , 98
7 d) 1 , 2 , 100 Página 180
3 12 42 4 8 400 1 a) 1 j) 25
d) – 3 g) 1
3 a) x = 12 c) x = 11 e) x = –14 3 14 6 11
b) x = 8 d) x = –54 f) x = 12 b) 6 e) 3 h) – 1
35 4 16
4 a) 5 b) 3 c) 3 d) 5 c) 1 f) 3 i) 133
40 75
5 a) 10 b) 27 c) 7 d) 3
2 a) Si, le alcanza para obtener 5 pedazos de la medida
6 a) ax d)
4 3
x + 2x y + x y 2 2 que necesita.
ax + a x + 3x 4 + 3x 3 + x 2
5 b) Puede hacer 12 bizcochos y no le sobrará masa.
b) x 2 y 3 – xy 2
e) m4 + 3m3 3 a) 64 d) – yz g)
x +1
x 2 y 2 – 3xy + 2 3 3 x+4
–m2 – m + 6
6 e) 2 h) 15x
3 2 2 3 b)
c) x + x y + xy + y
3 2
f) –y – 6y – 4y + 5 ab 3x 2 + 15x 2x – 2y
f) x – y
5 3 2
x +x y y 4 + 2y 3 –15y 2 c) 2
y y
7 a) x2 – 3x c) x – 1 e) 6x4 + 15x2
4 a) x2 + x 2x x
b) x + x
2
d) 1 d) g)
x+4 x–3
Página 177 b) 2y 2
e) x + 4 h) 1
x–y 32x + 64 x +1
8 a) 2x e) 1 i) x – 4 m) x + 4
z2 10x 2 y 2 z 2x + 1 c) 1 2
f) 2x + 2x
j) 3x + 3 x–y
b) z f) x 2
x –1
3xy 3 x+y n) x + x x2 – y2
y
5 a) c) x –
5 k) a + b x –1 2
c) 5y x + x y2 – x 4 y – x2 y3
2 6 4
g) x –1 x+y ñ) x + 2y d) x2 + 2x
x2z 2y x 2 + xy
b)
d) x – 1 h) x l) x – 8 x 2 + xy + y 2
e) 1
y 4x – 8
6 a) 2 1 cm2 c) x2 – 4x + 4
9 a) –1 b) –a – b c) –2 h +h– 6
a+b b d) (x + 1) cm2
b) (a + 3) cm
SOLUCIONARIO 349
SOLUCIONARIO 351
3x –1 10 a b – 2ab + b2
2
3 a. x < –5 o x > 0 43
2
b. x<2 18 a. x ≠ – , x = 1 c. x ≠ 4, x ≠ –3, x =
5 2
7
c. x > 0 o x<– 18
8 b. x ≠ 0, x =
11
4 a. 15 b. 21 c. 100
7 20 22 19 a. 2 b. –6
3 –8
5 72°, 60°, 45°, 36°, 30° y 24° respectivamente.
6 a. mcm = 16x4y6, mcd = 16x3y5
b. mcm = 60p3qr4, mcd = 12pr
Sección 2: Función exponencial, logarítmica y raíz
c. mcm = 30m3, mcd = 5m Página 197
d. mcm = 24xyz, mcd = 2 ¿Qué debes saber?
e. mcm = x3 + 2x2 – 4x – 8, mcd = x + 2
1 a. Si b. No c. Si
f. mcm = 6a2 – 6b2, mcd = 2a – 2b
2 a. Rec = {0, 1, 4, 9, 16, 25}
7 a. 180x6y6z4 km b. 2p5q3r2
b. Rec = {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36}
8 a. 12mx
1 1 1 2
8mx – 4m c. Rec = –5,–2,–1,0, , , ,
7 4 3 5
3 2 2
b. x y – 5x + xy – 5y
4 2
d. Rec =
x 2 y 2 + xy 3 – 5x – 5y
{ 5 + 95, 6 + 96, 7 + 97, 10 + 100, 11+ 101,
2 3 2 3
c. 3ap + 3aq – 2bp – 2bq 2 3 + 102, 13 + 103, 14 + 104}
5ap2 + 5aq3 + 4bp2 + 4bq3
3 a. Dom = {5, 6, 7, 8, 9}, Rec = {–5, –6, –7, –8, –9}
4 3 2
d. x – 5x + 11x –15x + 24 b. Dom = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13},
x 5 – 4x 3 – 21x
Rec = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24}
9 a. 2x + 2 b. x + 3 c. 7x – 35 d. 4x
c. Dom = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},
d. 3p – 9
2 2
10 a. 3a b b. b + 3 c. 3 2 1 1 2 4 5 7 8
4c 2 b –1 2 p–6 Rec = –1,– ,– ,0, , ,1, , ,2, , ,3
3 3 3 3 3 3 3 3
11 a. No, se debe simplificar por a.
4 a. No. b. Si. c. No. d. Si. e. No.
b. No, ya que ninguna de ellas es la amplificación o
simplificación de la otra.
Y Y
6 a)
5 = −1
3
30
25
d) 30
25
2
20 20
1 = −6
15 15
X
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 10 10
−1
5 5
−2 X X
− 30 − 25 − 20 − 15 − 10 −5 5 10 15 20 25 30 − 30 − 25 − 20 − 15 − 10 −5 5 10 15 20 25 30
−3
−5 −5
−4
− 10 − 10
−5
− 15 − 15
−6
− 20 − 20
− 25 − 25
− 30 − 30
b) 30
e) 30
20
25
20
10 10
5 5
b. 160 ventas.
X X
− 30 − 25 − 20 − 15 − 10 −5 5 10 15 20 25 30 − 30 − 25 − 20 − 15 − 10 −5 5 10 15 20 25 30
−5 −5
− 10 − 10
− 15 − 15
− 25
− 20
− 25
− 30 − 30
Página 200 Y
c)
Y
1
Y
f)
30
30
25
6 25
20
C 20
5 15
15
G A 10
4
10
5
I X
3 5
− 30 − 25 − 20 − 15 − 10 −5 5 10 15 20 25 30 X
B D −5 − 30 − 25 − 20 − 15 − 10 −5 5 10 15 20 25 30
2
−5
− 10
L K
1 − 10
− 15
X
− 15
− 20
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
− 20
− 25
−1
− 25
− 30
E
−2 − 30
J
−3
F H
−4
−5
−6
Página 201
Y Y
7 a) 30
d) 30
25 25
2 a)
Y Y
b)
20 20
15 15
24 24
23 10 10
23
22 22 5 5
X X
21 21
− 30 − 25 − 20 − 15 − 10 −5 5 10 15 20 25 30 − 45 − 40 − 35 − 30 − 25 − 20 − 15 − 10 −5 5 10 15
20 20 −5 −5
19 19 − 10 − 10
18 18 − 15
− 15
17 17 − 20
− 20
16 16
− 25 − 25
15 15
− 30 − 30
14 14
13 13
Y
12 12
b) e)
Y
11 11
30
10 10 30
25
9 9 25
20
8 8 20
15
7 7 15
10
6 6
10
5
5 5 X 5
4 − 30 − 25 − 20 − 15 − 10 −5 5 10 15 20 25 30 X
4
−5 − 30 − 25 − 20 − 15 − 10 −5 5 10 15 20 25 30
3 3
−5
− 10
2 2
− 10
− 15
1 1
X X − 15
− 20
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
− 20
− 25
b − 30
− 25
5
− 30
3 a) 6 c) e) a + 3b Y
26 c) 30
25
15
10
4 a) Sí. − 30 − 25 − 20 − 15 − 10 −5
5
5 10 15 20 25 30
X
− 10
imágenes.
− 15
− 20
− 25
− 30
SOLUCIONARIO 353
1 2 3 4 5 6 7 8 9
d) Dom = [–1,5, + [, Rec = [0, + [
v+5 e) Dom = [5, + [, Rec = ]– , 0]
b) Debe frenar m antes. Y este valor depende de 1
5 f) Dom = [0, + [, Rec = – ,
la velocidad. 3
g) Dom = [0, + [, Rec = [30, + [
Lección 30: Función raíz cuadrada h) Dom = [1, + [, Rec = [3, + [
Página 204 8 a) Dom = [1, + [, Rec = [1, + [, no interseca al eje
1 a) 0,3 b) 2,4 c) 4,0 d) 1,0 X, no interseca al eje Y.
2 a) 8a3 cm3 b) d = 2a 3 cm c) D = 2a 2 cm b) Dom = [-2, + [, Rec = [1, + [, no interseca al eje
121 X, intersección con el eje Y en (0, 2+ 1).
3 a) x = d) x = 12
2 c) Dom = [1, + [, Rec = [-2, + [, intersecta al eje X
8
b) x = 80 e) x = en (5, 0), no interseca al eje Y.
3
c) La ecuación no tiene d) Dom = [-0,5, + [, Rec = [-5, + [, interseca al eje X
solución.
49 1
4 a) La gráfica de la función no interseca a los ejes. en ,0 , interseca al eje Y en 0, 2 – 5 .
2
b) La gráfica de la función no interseca al eje X.
9 Dom = [a, + [, Rec = [b, [, interseca al eje
Intersección eje Y: (0, 40 + 10 )
X en ((–b) + a,0)si b < 0 , interseca al eje Y en
2
c) Intersección eje X: (48, 0), intersección eje Y: (0, 12)
d) La gráfica de la función no interseca al eje X. (0, –a + b ) si a < 0.
Intersección eje Y: (0, 22,5)
9 a) El objeto se lanza desde 4 metros más arriba.
Página 205 b) Es la misma función solo que la gráfica de la función
se traslada en forma horizontal 4 unidades a
5 a)
Y Y
6 d) 6
la izquierda.
5 5
4 4
2
3
2
Lección 31: Función exponencial
1 1
Página 208
X X
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1 −1
−2 −2
−3
−4
−3
−4 1 a) 2 c) 4 e) 3 g) 2
d) 3 f) 3 h) 2
−5 −5
−6 −6
b) 2
2 a) 343 c) 15,625 e) 33
Y Y
b) 6 e) 6
d) 1225
5 5
4 4
b) 289
g) 1
3 3
3 a) 32 c) 8 e) 1024
2 2
1 1
9
X X
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1
−2
−1
−2 b) 49 d) 4096 f) 5 h) 81
−3 −3
−4 −4
−5
−6
−5
−6
4 a) –40x6y5 c) x22 e) c18x17y16
f) 16 6
12
Y Y
b) –25x8y7 d) x
c) f) 625x
6
5
6
5 390625
4 4
5 a)
Y Y
b)
3 3
2 2 6 6
1 1 5 5
X X
4 4
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1 −1 3 3
−2 −2 2 2
−3 −3 1 1
X X
−4 −4
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−5 −5 −1 −1
−6 −6 −2 −2
−3 −3
−4 −4
−5 −5
−6 −6
c) 6 h) 6 V
5 5
3
4
3
b) F, la base puede ser mayor con lo que sería creciente.
2
1
X
2
1
X
c) V
d) V
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1 −1
−2 −2
−3
−4
−3
−4
10 a) Aproximadamente 3, 60 y 7112 respectivamente.
b) La respuesta depende de cada estudiante.
−5 −5
−6 −6
Y
11 a) Es decreciente.
i)
Y
d) 6 6
5 5
4
b) Mientras mayor es la base, los valores de la función
son menores entre 0 y 1. La situación se invierte para
4
3 3
1 1
X X
−6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
1 2 3 4 5 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
−2
1 2 3 4 5 6
−3 −3
−5 −5
−6 −6
Y Página 212
j)
Y
e)
1 a)
6 6
4
5
4
x = 16 e) x = 4096
b) x = 0,01 f) x = –2
3 3
2 2
c) g)
1
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1 −1
−2
−3
−2
−3
d) x = 0,001 h) x = –4
2 a)
−4 −4
−5
−6
−5
−6
V
Y b) F, es log x – log y
k)
Y
f)
c) V
6 6
5 5
3 3
puede separar.
2
1 1
X X
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1 −1
Y Y
3 a) e)
−2 −2
−3 6 6
−3
−4 5 5
−4
−5 4 4
−5
−6 3 3
−6
2 2
1 1
l)
Y
g)
Y
X X
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
6 6
−1 −1
5 5
−2 −2
4 4
−3 −3
3 3
−4 −4
2 2
−5 −5
1 1
−6 −6
X X
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1 −1
Y Y
b) f)
−2 −2
6 6
−3 −3
5 5
−4 −4
4 4
−5 −5
3 3
−6 −6
2 2
1 1
X X
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−2 −2
−3 −3
−4 −4
−5 −5
Página 209 −6
Y
−6
5
g) 6
7 a) y = 2 × 2x b) y = –2x + 1 c) y = 2 – x + 3
4 4
3 3
1 1
X X
en (0, 0).
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1 −1
−2 −2
−4 −4
−6
−5
−6
5
h) 6
3 3
1 1
X X
−3 −3
−4 −4
−6
−5
−6
en (0, 0).
SOLUCIONARIO 355
e. 30
f. 30
4 a)
25 25
15
20
15
5 5
X X
− 10 − 10
− 20 − 20
e)
− 25 − 25
4 a. 6
5
c. 6
3
4
1 2 3 4 5 6
X
−6 −5 −4 −3 −2 −1
1
1 2 3 4 5 6
X
−2 −2
−3 −3
−5 −5
−6 −6
log10 log10 Y Y
log3 10 = log2 10 = b. 6
d. 6
log3 log2 5
4
5
1 1
3 3
log3 10 = log2 10 =
2 2
1 1
log3 log2 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
1 2 3 4 5 6
X
−6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
1 2 3 4 5 6
X
−2 −2
−4
−3
−4
1 1 −5 −5
log3 log2 Y Y
5 a. 6
c. 6
c) V 5
4
5
2 2
1 1
X X
9 El pH disminuye. −6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
1 2 3 4 5 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
1 2 3 4 5 6
−2 −2
−3 −3
−4 −4
Integrando lo aprendido
−5 −5
−6 −6
Página 216
Y Y
Y Y b. 6
d. 6
1 a. c.
5 5
30 30 4 4
25 25 3 3
20 20 2 2
15 15 1 1
X X
10 10
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
5 5 −1 −1
X X
−2 −2
− 30 − 25 − 20 − 15 − 10 −5 5 10 15 20 25 30 − 30 − 25 − 20 − 15 − 10 −5 5 10 15 20 25 30
−5 −5 −3 −3
− 10 − 10 −4 −4
− 15 − 15 −5 −5
− 20 − 20 −6 −6
− 25 − 25
− 30 − 30
Y Y
6 a. y = 3x + 1
b. d.
b. y = –3x + 3
30 30
25 25
20 20
15 15
10 10
− 30 − 25 − 20 − 15 − 10 −5
5
5 10 15 20 25 30
X
− 30 − 25 − 20 − 15 − 10 −5
5
5 10 15 20 25 30
X
Página 217
−5 −5
7 a. T 3 6 9 12 15 18 21 24 27
− 10 − 10
− 15 − 15
− 20 − 20
− 25
− 30
− 25
− 30
P 500 1000 2000 4000 8000 16000 32000 64000 128000
4
5
4
6 a. 6
5
d. 6
5
3 3
4 4
2 2
3 3
1 1
X X 2 2
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
1 1
−1 −1
X X
−2 −2 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1 −1
−3 −3
−2 −2
−4 −4
−3 −3
−5 −5
−4 −4
−6 −6
−5 −5
−6 −6
Y Y
b. 6
d. 6 Y Y
b. e.
5 5
6 6
4 4
5 5
3 3
4 4
2 2
3 3
1 1
X X 2 2
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
1 1
−1 −1
X X
−2 −2 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1 −1
−3 −3
−2 −2
−4 −4
−3 −3
−5 −5
−4 −4
−6 −6
−5 −5
−6 −6
c. 6
f. 6
4
5
2 2
1 1
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1 −1
−3 −3
−4 −4
2 5 2 −5 −5
3 6 3
1 1 3 2
c. Creciente si a < – , decreciente si – < a < 0 . 7 a) f(x) = x + 3 b) f(x) = – x + 1
3 3 2 3
5 5
d. Creciente si a < , decreciente si < a < 2.
3 3 Lección 33: Sistemas de ecuaciones lineales con
12 a. Dom = R+, Rec = R dos incógnitas
b. Dom = R+, Rec = R Página 221
c. Dom = R+, Rec = R 1 a) x = -6 d) x = 3 g) x = 8,4
d. Dom = ]–8, + [, Rec = R b) x = –3,5 e) x = 22,5 10
h) x =
c) x = 2 f) x = –4 13
Sección 3: Sistemas de ecuaciones lineales 2 a) m = 24 + y d) t = 3 × 50
Página 219 b) h + y = 132 e) x – 40 = 28
¿Qué debes saber? c) 10e = 100 f) x : 6 = 3
1 3 a)
1 a. x=5 e. x = h. x = 2 ancho = 34 cm, largo = 68 cm.
6
b. x = 14 i. x = 1,5 b) 75 años
f. x = 3,5
c. x = 12 j. x = 4 c) 14,8 cm, x = 3,6
g. x = 16
d. x = 1,6 d) Miriam lleva 5 bandejas y Raúl 7.
SOLUCIONARIO 357
g) 6
d) Si f) Si
5
b) No 4
5
c) 26 , 4
2
5 a) (2, 2) e) –2, 1
2
X
21 3
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1
b) 2 , 6
−2
d) (2, 2) f) 13 ,– 3
−3
7 7
−4
10 5
−5
−6
3 a) 6
d) 6 e) Sistema incompatible.
f) Sistema compatible determinado.
5 5
4 4
3 3
1
2
1
g) Sistema compatible determinado.
X X
−6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
1 2 3 4 5 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
1 2 3 4 5 6
h) Sistema incompatible.
i)
−2 −2
−3
−4
−3
−4
Sistema compatible indeterminado.
−5
−6
−5
−6
j) Sistema compatible indeterminado.
Y Y
b) 6
e) 6 8 a) x – 2y = 0 c) 4x – 3y = –1
5 5
3
4
3
5x –10y = 0 3x + y = –4
2 2
d) x – 2y = 4
1 1
−6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
1 2 3 4 5 6
X
−6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
1 2 3 4 5 6
X
b) 6x – 8y = 0
−2
−3
−2
−3
15x – 20y = –5 –x – 2y = 0
−4 −4
−5 −5
Y
Y
c) 6
f) 6
–5x + 3y = –30
Sistema compatible determinado
5
5
4
5x + 2y = 5
4
3
3
2
2
1
x + 2y = 11
X 1
X
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
3x + 6y = 33
−2
−3
−3
−4
−4
−5
−6
−5
2x + y = 10
Sistema incompatible
−6
2x + y = 13
SOLUCIONARIO 359
j) 29 , 3
6 6
3 9 4 4
3
2
3
1 1
X X
−2 −2
−4 −4
−5 −5
ae + 2e – af – f af – ae – e , como el denominador es
−6 −6
,
–1 –1
d) Sistema compatible f) Sistema
distinto de 0, el sistema es compatible determinado determinado. incompatible.
y como a, e y f son números enteros las expresiones Y Y
5 5
3 3
1 1
X X
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
ax + by = 0
−1 −1
−3 −3
0 0 cx + dy = 0 −4
−5
−4
−5
, .
−6 −6
ad– cd ad – cd
Si ad = cd el sistema es compatible indeterminado. 3 a) m = 4, n = 5 e) m = 7, n = 0
Si ad ≠ cd, la solución del sistema es (0, 0). b) m = –3, n = 8 f) m = 5, n = –4
14 a) (1, 3, 2) e) (93, –25, –2) 2 g) m = 1, n = –4
=
c) m =
,n 10
3 h) m = 2, n = 1,2
643 287 239 2 2 1
b) – , , f) , , 5
5 5 5 3 9 9 d)=m –=
9
,n –1
6
6
Página 235
5
5
4
4
3
3
2
k = –5 el sistema es incompatible.
−5
−5
−6
−6
11 No, ya que si L1 y L2 forman un sistema compatible deter- h) Andrés tiene 32 años y Jaime 16 años.
minado, al formar L3 y L1un sistema indeterminado, L3 y L2 i) El sistema tiene solución, pero no es pertinente
al problema.
formarían un sistema compatible determinado ya que L3
sería coincidente con L1. j) Tenía 7 años.
12 Camilo tiene razón y se puede ver resolviendo el sistema k) Hay 20 mujeres.
l) El sistema tiene solución, pero no es pertinente
l + a = 11 al problema.
l – a = 3 . Luego, a = 4 cm y l = 7 cm. m) 546 niños.
n) El hijo tiene 98 años, y el padre, 202 años.
3 3
Lección 37: Resolución de problemas que involucran
sistemas de ecuaciones lineales o) Hay 25 autos y 30 motos.
SOLUCIONARIO 361
Integrando lo aprendido 2 P= x y
xy
Página 244 3 13,5
1 a. (0, 4) b. (2,5; 1,5) c. (10, –2) 4 55
2 a. Se usaron 2000 botellas de 2 litros y 400 de 5 litros. 5 a. mcm = 36x3, mcd = 3x
b. Se vendieron 12 revistas de $1600 y 8 de $2400. b. mcm = 40pqr, mcd = 2p
3 a. (–1, 1) b. (7, 2) c. (3, –1) 6 En 24a3b3c2 horas.
x–y=0
4 a. x – 3y = –1 b.
3
7 a. 6x + 4x
2
2x + y = 1 x–y=3 2x 3 + 10x 2
5 a. (2, 3) d. (5, 6) g. (0,5; 1) x 3 y + 5x 2 y 2 + xy 3
e. (5, –15) h. (1, 1) b.
b. (1, –4) 4x 3 y – 9xy 2
c. (–1, 1) f. (–13, 12) i. (0, 6)
c. x+5
6 a. (0,2; –1) b. (1, 0,125) c. (-1; -0,25) ( x + 5) 3
7 a. 5 , 2 a b 31 3 1 b. b – 2 2
7
b. ,– c. , ,– 8 a. 5b c. b + 4 d.
9a 9b 11 9 10 4 5 3 2
ac b2 –1 b+2 x +1
9 a. x x2 – x – 2
Página 245 b.
8ay x 2 + 4x + 4
8 a. Infinitas soluciones. d. Solución única.
b. No tiene solución. e. Solución única. 10 a. 6a – 6b b. y + 2
c. Solución única. f. Infinitas soluciones. y–5
9 a. 4a ≠ –3b 7
c. b = 4a 11 $
b. a = 10, b = 1,2 m+1
10 La respuesta depende de cada estudiante. 3 2
2
c. –6x + 42x + 35 19 a. 6
b. 6
2m x 2 – 25
5
4
5
3 3
2
b. 5x – 8x + 11
2 2
2
d. 21x + 148x + 181
1 1
X X
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
6x – 2 4x + 6
−1
−2
−1
−2
−3 −3
−4 −4
−5 −5
Página 251 −6 −6
14 a. x = –94
20 azul: 3x + 1; verde: 10x – 1; rojo: 0,2x
= b. x 7 –=
4 3, x 7 + 4 3
3 21 a. Intersección eje X = (0,5; 0), Intersección eje
15 Y = (0, –1), Dom = R, Rec = ] –2, + [
8
Y
b. No interseca al eje X, Intersección eje Y = (0, 6)
16 a. 6
5
Dom = R, Rec = ]5, + [
4
22 a.
Y Y
b.
3
2
6 6
1
5 5
X
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 4
−1
3 3
−2
2 2
−3
1 1
X X
−4
−2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−5
−1 −1
−6
−2 −2
−3 −3
−4 −4
Y
b.
−5 −5
6
−6 −6
+ +
Dom = , Rec =
X
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−1
−3
−5
−6
c. 6
Página 252
3
24 a. x = 5, y = –15
X
b. x = –2, y = 6
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
−1
−2
7
−3
−4
−5
25 a. =
x =
, y –2 b. x = 0, y = 4 c. x = 6, y = –10
−6
3
x–y=3 x + y = 0,5
Y
d. 6
26 a. b.
3x + 2y = –6 x + y = 2,5
5
27 a. x = –3, y = 0 1 1
b.=x –= ,y –
X
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
5 4
−1
−2
−3
11 1
−4
−5
−6 28=
a. x – =,y b. x = 1, y = 0, z = 0
17a 17b
17 a. No interseca a los ejes X e Y. Dom = [9, + [, 29 a. Compatible determinado.
Rec= [4, + [ b. Compatible indeterminado.
b. Intersección eje X = (44, 0), Intersección eje c. Incompatible.
Y = (0,7 – 5 ), Dom = [–5, + [, Rec = ]– , 7] 31 60
Y Y 32 $300 000
18 a. 6
5
b. 6
Evaluación de la Unidad 3
4 4
3 3
2 2
Página 254
1 1
X X
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1 −1
−2
−3
−2
−3 1 E
2 C
−4 −4
−5 −5
−6 −6
3 D
SOLUCIONARIO 363
n
2 a. La respuesta depende de cada estudiante. Un ejemplo
(x − x) +(x − x) + ... +(x − x)
2 2 2
σ ( x + a) =
2 b) Conjunto X: x = 9; R = 16; σ2 = 36,2; σ ≈ 6,02; Q1 = 3;
n Q2 = 9; Q3 = 15
Conjunto Y: y= 9; R = 10; σ2 = 13,4; σ ≈ 3,66; Q1 = 5;
( x − x) + ( x − x) + ... + ( xn − x)
2 2 2
1 2 Q2 = 9; Q3 = 13
σ ( x + a) = a
2 2
El promedio es más representativo en el conjunto Y.
n
c) x = {x1, x2, …, xn} y ax = {ax1, ax2, …, axn}. Sea max(x) = 4 a) CV(X) = 76%, CV(Y) = 63%. El conjunto Y es más
xr y min(x) = xs entonces max(ax) = axr y min(ax) = axs. homogéneo.
Luego, R(ax) = axr – axs = a(xr – xs) = aR(x) b) CV(X) = 100%, CV(Y) = 75%. El conjunto Y es más
homogéneo.
d) (x − x) + ... + (x
2
− x)
2
σ 2 ( x) =
1 n
5 a) Sin fertilizante Con fertilizante
n
Rango 5 5
σ 2 ( x) =
( 2
)
x12 − 2x1 x + x + ... + x 32 − 2x 3 x + x ( 2
) Promedio 12,35 13,3
n Q1 11 12
Q2 12 13
( x12 + ... + x 32 )−(2x1 x + ... + 2x 3 x) + ( x )
2 2
+ ... + x
σ ( x) =
2 Q3 13,5 14,5
n Varianza 2,33 2,11
( x12 + ... + x32 ) 2x( x1 + ... + x 3 ) nx
2
Desviación estándar 1,53 1,45
σ 2 ( x) = − +
n n n Coeficiente de variación 12% 11%
( x + ... + x 32 )
1
2
2 2
σ 2 ( x) = − 2x + x Observando los datos de la tabla se observa que el
n crecimiento promedio es mayor en las plantas con
( x1 + ... + x 32 )
2
2 fertilizante. La variabilidad en el crecimiento en ambos
σ 2 ( x) = −x
n grupos es similar. Se puede decir que las plantas
12 σ2 ≈ 2,27 con fertilizante crecieron un poco más, pero no de
manera significativa.
13 La respuesta depende de cada estudiante. b) Se podría decir que algunas plantas crecieron mucho,
mientras que otras no. Pero si el promedio aumentó
Lección 39: Comparación de conjuntos de datos igual podría decirse que fue efectivo.
c) Si el promedio se mantiene y disminuye la dispersión,
Página 267
se puede decir que las plantas tuvieron un crecimiento
1 a) Q1 = 3, Med = 4, Q3 = 4,5 más parejo, pero no que hayan crecido más. En ese
b) Q1 = 5, Med = 11,5, Q3 = 14 caso, el fertilizante no sería efectivo.
c) Q1 = –2, Med = 1,5, Q3 = 6 6 a) La empresa A.
d) Q1 = –5,5, Med = –1, Q3 = 5,5 b) El coeficiente de variación, ya que permite comparar
2 a) La respuesta depende de cada estudiante. la variación en porcentaje.
Un ejemplo es: 1, 2, 3, 6, 7, 8, 9 c) Sí, según los datos, los indicadores de dispersión
pueden no ser útiles. Se puede utilizar el coeficiente
b) La respuesta depende de cada estudiante.
de variación.
Un ejemplo es: –1, 0, 1, 4, 5, 13, 17, 19, 20, 20, 21, 25
7 a) No, ya que las notas están en una escala diferente.
c) La respuesta depende de cada estudiante.
Un ejemplo es: 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, b) El coeficiente de variación, ya que permite comparar
3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5 la variación en porcentaje.
d) La respuesta depende de cada estudiante.
Un ejemplo es: –8, –7, –7, –7, –6, –6, –5, –5, –5, –4, Página 269
–3, –3, –2, –1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2 8 a) Rango 6 y rango 9.
e) La respuesta depende de cada estudiante. b) Dm = 1,8 y Dm = 2,26. Los datos de la segunda quincena
Un ejemplo es: –5, –4, –3, –2, –1, –1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
están más separados.
0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3
SOLUCIONARIO 365
SOLUCIONARIO 367
SOLUCIONARIO 369
3 a) P = 1 c) P =
25
e) P =
1
Lección 46: Combinatoria y probabilidades
5 49 6
1 1 1 Página 306
b) P = d) P = f) P =
5 2 6 1 a) 32 c) 23425600
b) 24 d) 2176782336
Página 301
2 a) 1 1 e) 462 / 1
4 a) 91 b) 18 c) 1 d) 0 c)
139 40320 60 462
139
b) 1 d) 360 / 1
5 11 3628800 360
40
6 La probabilidad de que el examen indique que una Página 307
persona está sana es del 78,84% y que indique que está 3 a) 1 b) 1 c) 2 d) 9
enferma es del 21,16%. 5 5 9 16
7 Si en cada grupo de 6 personas, 2 son de la misma 1
4
edad, solo puede haber 5 edades diferentes, ya que si 30
hubiese 6 edades diferentes o más podríamos escoger a
una persona de cada edad y tendríamos 6 personas de 5 2
edades distintas. 5
SOLUCIONARIO 371
SOLUCIONARIO 373
Aproximar: determinar un valor cercano a un nú- Cuerda: segmento cuyos extremos pertenecen a
mero dado, utilizando algún método establecido una circunferencia.
para aquello.
Decimal finito: número decimal con una cantidad
Arco: parte de una circunferencia. Se nombra por finita de cifras decimales.
sus puntos extremos en sentido contrario a las
agujas del reloj. Decimal infinito: número cuya parte decimal
nunca termina.
Asíntota: recta a la que se aproxima indefinida-
mente la gráfica de una función sin intersecarse Decimal periódico: número en el cual su parte deci-
nunca con ella. mal se repite infinitamente.
GLOSARIO 377
Diagrama de Venn: diagrama que representa con- Evaluar: calcular el valor de una expresión alge-
juntos las relaciones entre ellos. braica al remplazar las variables con valores
numéricos.
Diámetro: segmento cuyos extremos pertenecen
a una circunferencia, y que contiene al centro Evento: posible resultado o conjunto de resultados
de ella. de un experimento aleatorio.
Diferencia: en conjuntos, aquel formado por los Eventos dependientes: aquellos tales que la ocu-
elementos que perteneces a uno de ellos pero no rrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de
al otro. ocurrencia del otro.
Dominio de una función: conjunto de todos los va- Eventos dicotómicos: aquellos sin resultados en
lores que puede tomar la variable independiente común.
en una función.
Eventos independientes: aquellos tales que la ocu-
E (e) o Euler: número irracional cuyo valor es rrencia de uno de ellos no afecta la probabilidad
e = 2,7182818… de ocurrencia del otro.
Ecuación de primer grado: aquella cuya incógnita Eventos mutuamente excluyentes: aquellos
tiene grado igual a 1. que no pueden ocurrir simultáneamente en
un experimento.
Ecuación fraccionaria: aquella cuya incógnita se
encuentra en el denominador de una fracción. Experimento aleatorio: aquel cuyos resultados
están determinados por el azar.
Ecuación logarítmica: aquella cuya incógnita se
encuentra en el argumento de un logaritmo. Expresión algebraica fraccionaria: véase
Fracción algebraica.
Ecuación radical: aquella cuya incógnita se encuen-
tra en la cantidad subradical de una raíz. Expresión algebraica: secuencia de números y/o
letras relacionadas por medio de operaciones
Ecuación: igualdad que se cumple para algunos y/o paréntesis.
valores de sus variables.
Factor: 1. Cada uno de los términos de una multipli-
Ecuaciones equivalentes: ecuaciones que tienen cación. 2. Cada uno de los números o expresio-
iguales soluciones. nes de los cuales es múltiplo un número
o expresión.
GLOSARIO 379
Raíz cuadrada: número positivo que elevado a 2 Reducción al absurdo: argumento de demostración
resulta un número dado. en el que se supone que la proposición que se
quiere demostrar no es cierta, y con ello se llega a
Raíz cubica: número que elevado a 3 da como resul- una contradicción. Así, se concluye que la propo-
tado un número dado. sición es verdadera.
Raíz enésima: número que elevado a n da como Regla de Laplace: método de cálculo de la probabi-
resultado un número dado. lidad teórica de un evento, mediante el cociente
entre el número de casos favorables y el de
Rango: diferencia entre los valores máximo y míni- casos totales.
mo de un conjunto de datos.
Restricciones: 1. en una fracción algebraica, condi-
Razón de homotecia: cociente entre las medidas ciones para que su denominador no sea igual a 0.
de los lados correspondientes de dos figuras 2. En una función, valores que no puede tomar su
homotéticas. Su valor es positivo si las figuras variable independiente.
se encuentran del mismo lado que el centro de
homotecia, y negativo si se encuentran a Secante a una circunferencia: recta que se interse-
lados distintos. ca con una circunferencia en dos puntos.
Razón de semejanza: razón entre las medidas linea- Segmentos proporcionales: aquellos cuyas medi-
les de dos figuras semejantes. das se encuentran en una razón dada.
Recíproco de un teorema: proposición que afirma Simplificar: en fracciones, dividir ambos términos
la hipótesis de un teorema a partir de la tesis. de ella por una misma expresión distinta de 0.
Recorrido de una función: conjunto de todos los Solución pertinente: solución que es coherente
elementos pertenecientes a la imagen de la con el contexto de un problema.
función, es decir, los valores que se obtienen al
reemplazar en la función los valores de la
variable independiente.
GLOSARIO 381
Suceso: véase Evento. Unión: en conjuntos, aquel formado por los elemen-
tos que pertenecen a cada uno de ellos o a más
Tangente a una circunferencia: recta que se inter- de uno simultáneamente.
seca con una circunferencia en un solo punto de
ella. Además, es perpendicular en dicho punto al Valorizar: asignar un valor a una variable.
radio de ella.
Variable aleatoria: función que asocia un número
Teorema: proposición demostrada que afirma el real a cada elemento del espacio muestral de
cumplimiento de una tesis a partir de las condi- un experimento.
ciones dadas en una hipótesis.
Variable: expresión que puede tomar distintos
Término libre: en una expresión algebraica, valores valores.
que no son coeficientes ni variables.
Variación: conjunto de objetos escogidos conside-
Términos semejantes: términos algebraicos que rando el orden.
tienen igual parte literal entre sí.
Varianza: medida de dispersión que corresponde al
Transversal: 1. Recta que cruza dos o más rectas. promedio entre los cuadrados de las diferencias
2. Recta trazada desde un punto a otro definido de cada dato con el promedio de ellos.
como opuesto.
BIBLIOGRAFÍA 383