Probabilidad

Bioestadística
2
Introducción
La probabilidad está muy ligada a los juegos de azar y por
esta razón, la teoría de la probabilidad se popularizo como
un área muy importante de las matemáticas.
Inicialmente esta rama de las matemáticas estudiaba
únicamente la aleatoriedad en los juegos; hasta que Blaise
Pascal la aplicó a otras áreas como la genética, la psicología
y la economía.

3
Introducción
En nuestra cotidianidad, la probabilidad se ha convertido
en un método muy efectivo para describir con exactitud
valores de datos económicos, políticos, sociales,
psicológicos, biológicos o físicos, y sirve como una
herramienta muy potente para relacionar y analizar dichos
datos.
• Un paciente pregunta al médico cual es el riesgo de
morir en una cirugía; el médico basándose en estudios
epidemiológicos dice “la probabilidad de que fallezca es
baja”
• Elijo un estudiante de medicina adulto al azar en la
ciudad de Tunja, ¿cuál es la probabilidad de que mida
más de 1.75 m?
• Cuál es la probabilidad de pasar bioestadística?

4
Introducción
.

• El desarrollo de la teoría de la probabilidad ha

sobrepasado el alcance de las aplicaciones de la
estadística.
• Muchos conjuntos de datos se pueden aproximar, con
gran exactitud, utilizando determinadas distribuciones
probabilísticas.
• La probabilidad es útil para comprobar la fiabilidad de
las inferencias estadísticas y para predecir el tipo y la
cantidad de datos necesarios en un determinado
estudio estadístico.

5
Introducción
.

• Estadística y probabilidad se ocupan de dar un valor a la

incertidumbre generada por fenómenos aleatorios
• La estadística se ocupa de los datos observados en una
muestra y quiere dar un valor numérico a la
incertidumbre que implica inferir estos datos al universo
• La probabilidad se ocupa de los modelos teóricos y
aplica estos conocimientos para darle un valor numérico
a la incertidumbre que se genera cuando se suponen
condiciones que cumplen con ciertas condiciones
teóricas

6
Conceptos
generales
Probabilidad

7
Conceptos generales
¿Qué caracteriza un experimento aleatorio?

• Todos los posibles resultados del experimento son

conocidos de antemano
• El resultado en cualquier ejecución del experimento no
es predecible (aleatoriedad)
• El experimento es reproducible
• Existe un patrón de regularidad después de muchas
ejecuciones (regularidad estadística)

8
Conceptos generales

El azar :
• Una casualidad, un caso fortuito.
• En ocasiones el azar significa “sin orden”.
• La idea de Probabilidad está íntimamente ligada a la idea
de azar y nos ayuda a comprender nuestras
posibilidades de ganar un juego de azar o analizar las
encuestas.

9
Conceptos generales
Espacio de resultados o Espacio Muestral: Llamaremos
espacio muestral a un conjunto que contiene a todos los
resultados posibles de un experimento, y lo
representaremos con la letra (S). Observemos algunos
ejemplos:

• Cuando lanzamos un dado, decimos que el espacio

muestral son todos las posibles respuestas a esa acción
S={ 1,2,3,4,5,6}

S siempre es mayor o igual a cero. S ≥ 0

10
Conceptos generales
Espacio muestral de un experimento aleatorio es un
conjunto de puntos (puntos muestrales) en los que:

• Cada punto denota un posible resultado

del experimento
• Cada uno de todos los posibles
resultados del experimento están
representados en un punto
El espacio muestral puede ser discreto o
continuo

11
Ejercicio

• Describa el espacio muestral para el ejemplo de la moneda

Ejercicio

• Describa dos eventos posibles al lanzar dos monedas

Conceptos generales
Espacio de resultados o Espacio Muestral: Llamaremos
espacio muestral a un conjunto que contiene a todos los
resultados posibles de un experimento, y lo
representaremos con la letra (S). Observemos algunos
ejemplos:

• Cuando lanzamos una moneda, decimos que el espacio

muestral son todos las posibles respuestas a esa acción
S={ Cara, Sello }

S siempre es mayor o igual a cero. S ≥ 0

14
Conceptos generales
Sucesos o Eventos: La teoría de probabilidad llama a un
“suceso” o “evento” cualquier subconjunto de S.
En ocasiones nos interesa estudiar un resultado
específicamente.

• Ejemplo 1: Al lanzar un dado, nos interesa saber si

obtendremos los números pares.
El evento se representaría como
A = { 2,4,6 }
Numero de eventos posibles = 3 de 6

15
Conceptos generales
Sucesos o Eventos: La teoría de probabilidad llama a un
“suceso” o “evento” cualquier subconjunto de S.
En ocasiones nos interesa estudiar un resultado
específicamente.

• Ejemplo 2: Al escoger una carta al azar de la baraja de

Póker, nos interesa saber si obtendremos el AS de
corazones. El evento se representaría como
B={1}
Numero de eventos posibles = 1 de 52

16
Conceptos generales
La Probabilidad: Es la rama de la matemática cuyo estudio
son experimentos llamados aleatorios, o sea regidos por el
azar, en que puedes conocer todos los resultados posibles,
pero no es posible tener certeza de cuál será en particular
el resultado del experimento.

La medición o cuantificación de la probabilidad es asignada por un valor en una escala

de 0 a 1, o dada en porcentaje.
17
18
Conceptos generales
Axiomas de la probabilidad

• La probabilidad siempre será positiva y

asumirá valores entre cero y uno
• La probabilidad asociada al espacio
muestral es 1

19
PROBABILIDAD

SUCESOS COMPATIBLES: Dos sucesos 𝐴y𝐵son compatibles cuando tienen algún suceso elemental en común. Por ejemplo:
Si 𝐴 es sacar puntuación par al tirar un dado y 𝐵 es obtener múltiplo de 3, 𝐴y𝐵 son compatibles porque el 6 es un suceso
elemental común.

SUCESOS INCOMPATIBLES: Dos sucesos 𝐴 y son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común. Por ejemplo:
Si 𝐴 es sacar puntuación par al tirar un dado y 𝐵 es obtener múltiplo de 5, 𝐴y𝐵son incompatibles.

SUCESOS INDEPENDIENTES: Dos sucesos 𝐴y𝐵 son independientes cuando la probabilidad de que suceda 𝐴 no se ve
afectada porque haya sucedido o no 𝐵. Por ejemplo, lanzar dos dados.

20
PROBABILIDAD

21
Conceptos generales
Axiomas de la probabilidad

22
Conceptos generales
Axiomas de la probabilidad

23
Ejercicio
• En una población con 1000 sujetos con sospecha de
SIDA, se evalúan 2 factores de riesgo: múltiples parejas
sexuales (MPS) y el uso de drogas parenterales (UDP).
540 estaban expuestos a MPS y 410 a UDP. No habían
estado expuestos a ningún factor 200 pacientes. Estar
expuestos a MPS y UDP son hechos compatibles.
• Cuál es la probabilidad de MPS?
• Cuál es la probabilidad de UDP?
• Cuál es la probabilidad de no MPS, no UDP?
• Complete la siguiente tabla
UDP NO UDP TOTAL

MPS

NO MPS

TOTAL

• Cuál es la probabilidad de MPS y UDP? 24

 SE INICIAR
ACABÓ EL LÍMITE DE TIEMPO:
TEMPORIZADOR
TIEMPO
30 minutos
26
27
 Probabilidad condicionada Diabetes No Diabetes TOTAL

• Es el cociente entre los casos favorables y los casos

posibles dentro de aquellos que cumplen una condición.
Glucosuria 60 8 68
• Es la probabilidad de ocurrencia de un fenómeno dentro
de un subgrupo.
• La probabilidad de presentar glucosuria condicionada a No Glucosuria 140 792 932
ser diabético

𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑔𝑙𝑢𝑐𝑜𝑠𝑢𝑟𝑖𝑎 𝑦 𝑑𝑖𝑎𝑏𝑒𝑡𝑒𝑠)

TOTAL 200 800 1000
P (glucosuria|𝑑𝑖𝑎𝑏𝑒𝑡𝑒𝑠) = 𝑑𝑖𝑎𝑏é𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠

P(𝑔𝑙𝑢𝑐𝑜𝑠𝑢𝑟𝑖𝑎 ∩ 𝑑𝑖𝑎𝑏𝑒𝑡𝑒𝑠) 60/1000

=) = = 0.3 • Cuál es la probabilidad de Diabetes y Glucosuria?
𝑃(𝑑𝑖𝑎𝑏é𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠) 200/100

𝑃(𝐴∩𝐵)
P 𝐴|𝐵 =
𝑃(𝐵)

28
Arboles de probabilidad P(GΠD)
• Representación de probabilidades condicionadas al Glucosuría 0.3*0.2 0.06
suceso que aparece inmediatamente antes ( a la 0.3
izquierda en el árbol) SI Σ=1
0.2
Diabetes No Diabetes TOTAL
No Glucosuría
0.7
Glucosuria 60 8 68

No Glucosuria 140 792 932 Diabetes(D) Σ=1

TOTAL 200 800 1000 Glucosuría

0.01
𝑃(𝐴∩𝐵)
0.8 Σ=1
P 𝐴|𝐵 = NO
𝑃(𝐵)
P𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃𝐵 𝑥𝑃(𝐴|𝐵) 0.99
PD∩ 𝐺 = 𝑃𝐺 𝑥𝑃(𝐺|𝐷) No Glucosuría
• Cuál es la probabilidad de no presentar glucosuria y ser diabético:
P(no G∩ 𝐷)=0.14
• Cuál es la probabilidad de no presentar glucosuria y no ser diabético:
P(no G∩ 𝑛𝑜 𝐷)=0.792
29
Ley multiplicativa o probabilidad
compuesta
«La probabilidad de la intersección es igual a la probabilidad
condicionada multiplicada por la probabilidad de la
condición»
Para sucesos compatibles
Establece que la probabilidad de que dos sucesos ocurran
simultáneamente será igual a la probabilidad de uno de
ellos, por la probabilidad condicionada del otro al resultado
del primero
𝑃(𝐴∩𝐵)
P 𝐴|𝐵 = 𝑃(𝐵)
P𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃(𝐵)𝑥𝑃(𝐴|𝐵)
PD∩ 𝐺 = 𝑃(𝐺)𝑥𝑃(𝐺|𝐷)

30
Ley multiplicativa o probabilidad
compuesta
Para sucesos independientes o incompatibles: 100
𝑃 𝑀𝑢𝑗𝑒𝑟 =
La probabilidad condicionada P(A|B) sería igual a la 300
probabilidad total de P(A), al no tener influencia el
resultado de un suceso sobre otro. Por lo tanto se simplifica
60
en: 𝑃 𝐹𝑢𝑚𝑎𝑟 =
300
P𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃(𝐵)𝑥𝑃(𝐴)
Eventos independientes Tabaco en hombres y mujeres
100 60
𝑃 𝑀𝑢𝑗𝑒𝑟 ∩ 𝐹𝑢𝑚𝑎𝑟 = =0.067
Fuman No Fuman TOTAL 300 300

Mujeres 20 80 100

Hombres 40 160 200

TOTAL 60 240 300

31
Teorema de Bayes

Inversión de las condiciones: cuál es la probabilidad de que

un paciente sea diabético si presentó glucosuria?

𝑃(𝐴∩𝐵)
P D|𝐺 = 𝑃(𝐵)
P𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃(𝐵)𝑥𝑃(𝐴|𝐵)
PD∩ 𝐺 = 𝑃(𝐺)𝑥𝑃(𝐺|𝐷)
Se aplica en el campo de la salud en pruebas de laboratorio
o diagnósticas y criterios de diagnóstico. Permite a los
médicos mayor capacidad de predecir correctamente la
presencia o ausencia de una enfermedad a partir del
conocimiento de los resultados

32
Teorema de Bayes

Una enfermedad se presenta en 5 de 100 pacientes, y se

aplica un examen que es 90% exacto( 90% de resultados
correctos) a 100 personas. Si una persona en el grupo
resulta positiva en el examen, cuál es la probabilidad que
esa persona tenga la enfermedad?

33
Teorema de Bayes

Población: 100
A: 5 enfermos
B:90% de los que tienen la enfermedad
10% de la población que no tiene la enfermedad tiene un
resultado positivo

34
Teorema de Bayes

Población: 100
A: 5 enfermos
B:90% de los que tienen la enfermedad
10% de la población que no tiene la enfermedad tiene un
resultado positivo

35
Teorema de Bayes

4.5+9.5=14
4.5/14=0.3214=32.14%

36
TÉCNICAS DE CONTEO

37
 Principios del conteo I

• Permutaciones (muestras ordenadas)

 Principios del conteo I

• Permutaciones (muestras ordenadas)

• ¿De cuántas maneras diferentes se pueden arreglar las
a, b , a, c , a, d , b, a , b, c , b, d ,
letras a, b, c y d si se conforman grupos de a dos letras,
se considera que (a,b) es diferente que (b,a) y no se
 
incluyen repetidos?
c, a , c, b , c, d , d , a , d , b , d , c  
N! 1 2  3  4
 ?  12
( N  n)! 1 2
• ¿De cuántas maneras diferentes se pueden arreglar las
letras a, b, c y d si se conforman grupos de a dos letras,
se considera que (a,b) es diferente que (b,a) y se
a, b , a, c , a, d , b, a , b, c , b, d , 
pueden incluir repetidos?
 
c, a , c, b , c, d , d , a , d , b , d , c ,
a, a , b, b , c, c , d , d  
 
N n  4 2  16 ?
 Principios del conteo I

• Permutaciones (muestras ordenadas)

• ¿De cuántas maneras diferentes se pueden arreglar las
a, b , a, c , a, d , b, a , b, c , b, d ,
letras a, b, c y d si se conforman grupos de a dos letras,
se considera que (a,b) es diferente que (b,a) y no se
 
incluyen repetidos?
c, a , c, b , c, d , d , a , d , b , d , c  
N! 1 2  3  4
  12
( N  n)! 1 2
• ¿De cuántas maneras diferentes se pueden arreglar las
letras a, b, c y d si se conforman grupos de a dos letras,
se considera que (a,b) es diferente que (b,a) y se
a, b , a, c , a, d , b, a , b, c , b, d , 
pueden incluir repetidos?
 
c, a , c, b , c, d , d , a , d , b , d , c ,
a, a , b, b , c, c , d , d  
 
N n  4 2  16
 SE INICIAR
ACABÓ EL LÍMITE DE TIEMPO:
TEMPORIZADOR
TIEMPO
10 minutos
 Principios del conteo I

• Combinaciones (muestras no ordenadas)

• Combinaciones posibles son:

abc, cab, bca
Principios del conteo II

• Combinaciones (muestras no ordenadas)

• ¿De cuántas maneras diferentes se pueden arreglar las
a, b , a, c , a, d ,
letras a, b, c y d si se conforman grupos de a dos letras,
no se incluyen repetidos y el grupo (a,b) se considera
 
igual al (b,a)?
b, c , b, d , c , d  
N N! 4! 1 2  3  4 24

n 
  n!( N  n)!  2!2!  1 2 1 2  4  6
• ¿De cuántas maneras diferentes se pueden arreglar las  
letras a, b, c y d si se conforman grupos de a dos letras,
se incluyen repetidos y el grupo (a,b) se considera igual
al (b,a)? a, b , a, c , a, d , 
 
b, c , b, d , c , d , 
a, a , b, b , c, c , d , d 
 
 N  (n  1)   5  5! 1 2  3  4  5 120

 
 
 
     10
 n   2 2! (5  2)! 1  2  1  2  3 12
Principios del conteo II

• Combinaciones (muestras no ordenadas)

• ¿De cuántas maneras diferentes se pueden arreglar las
a, b , a, c , a, d ,
letras a, b, c y d si se conforman grupos de a dos letras,
no se incluyen repetidos y el grupo (a,b) se considera
 
igual al (b,a)?
b, c , b, d , c , d  
N N! 4! 1 2  3  4 24

n 
  n!( N  n)!  2!2!  1 2 1 2  4  6
• ¿De cuántas maneras diferentes se pueden arreglar las  
letras a, b, c y d si se conforman grupos de a dos letras,
se incluyen repetidos y el grupo (a,b) se considera igual
al (b,a)? a, b , a, c , a, d , 
 
b, c , b, d , c , d , 
a, a , b, b , c, c , d , d 
 
 N  (n  1)   5  5! 1 2  3  4  5 120

 
 
 
     10
 n   2 2! (5  2)! 1  2  1  2  3 12
 SE INICIAR
ACABÓ EL LÍMITE DE TIEMPO:
TEMPORIZADOR
TIEMPO
10 minutos
Principios del conteo II

• Permutaciones Vs Combinaciones
DISTIBUCIONES
DE
PROBABILIDAD
47
DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
Variable aleatoria: observaciones o medidas que se originan
como resultado de factores aleatorios (al azar), que no
pueden predecirse con exactitud y anticipación. Estatura de
los adultos
Variable aleatoria discreta: se caracteriza por separaciones
ó interrupciones en la escala de valores que puede tomar.
Estas separaciones ó interrupciones indican la ausencia de
valores entre los valores específicos que puede asumir la
variable.
Números enteros: número de hijos, pacientes
Variable aleatoria continua: Una variable aleatoria continua
no posee las separaciones ó interrupciones típicas de una
variable aleatoria discreta. Puede tomar cualquier valor
dentro de un intervalo especificado de valores asumidos
por la variable.
Estatura, peso, perímetro cefálico
DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
Distribución de probabilidad: mecanismo que estudia la
relación entre los valores de la variable aleatoria y las
probabilidades de su ocurrencia
DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
La distribución de probabilidad de una variable aleatoria
discreta es una tabla, gráfica, fórmula u otro sistema
utilizado para especificar todos los valores posibles de una
variable junto con sus probabilidades respectivas

DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD

VARIABLES DISCRETAS,
VARIABLES CONTINUAS,
CATEGORICAS O
CUANTITATIVAS
CUALITATIVAS
Decimales
Enteros

BINOMIAL POISSON NORMAL

DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
función de densidad de probabilidad

• La función de densidad de probabilidad es un

modelo para definir cómo se distribuye una variable
numérica en una población. Es una teoría o una función
matemática que viene a ser lo mismo.
• La función de densidad es una línea continua que
representa la distribución de densidad de TODA LA
POBLACIÓN. el área de toda las barras del histograma
suma 1. Es la probabilidad total de la distribución
• Hay muchas distribuciones teóricas que se han inventado
a lo largo de la historia. La más conocida la distribución
normal. También la distribución de t-student, la de
Poisson, la Gamma etc…
• Son teorías matemáticas para expresar como se
distribuye una variable numérica en la población.
DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
Función de densidad de probabilidad
Imagínate que quieres estudiar la altura de las personas de
una población de una gran ciudad. La variable numérica es
la altura de las personas en cm.
En esta ciudad son 2 MILLONES de personas. Quieres ves
como se distribuye la altura en cm de todas las personas
que habitan en la gran ciudad.
Pero recoger todos los datos de la población es imposible.
Así que decides encuestar a 100 personas al azar (es decir
escoges una muestra aleatoria) y miras el histograma de
densidad. (Recuerda que el de densidad significa que la
suma de las áreas del histograma suma 1)
DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
Función de densidad de probabilidad
Pero ves que aún no te queda claro como se distribuyen las
alturas de las personas. Crees que son pocas las personas
que has encuestado. Te sientes con energía y encuestas
a 1000 personas. Y graficas el histograma de densidad.
DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
Función de densidad de probabilidad
Empiezas a intuir cómo de distribuye tu variable numérica
pero eres ambicioso. Contratas a 10 personas para hacer la
encuesta a 1000 personas cada una. En total tienes una
muestra de 10.000 personas. Y graficas el histograma de
densidad.
Cada vez la distribución de tu variable es cada vez más
suave y puedes intuir mejor como es la forma de la
densidad de la distribución.
DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
Función de densidad de probabilidad
Imagínate que eres capaz de obtener los
valores de la altura de 100.000 personas. Y
graficas el histograma de densidad y podrías
dibujar el contorno fácilmente.
La función de densidad es precisamente este
contorno. Es una línea continua que
representa la distribución de densidad de
TODA LA POBLACIÓN.
DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
Función de densidad de probabilidad
Se denomina distribución de probabilidad a
aquella que nos presenta el conjunto de
todos los valores que teóricamente puede
tomar una variable, junto con sus
correspondientes probabilidades calculadas
ordinariamente siguiendo la ley de Laplace
http://digitalfirst.bfwpub.com/stats_applet/stats_applet_10_prob.html

57
DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
En un articulo de la revista AmericanJournal of Obstetrics
and Gynecology, Buitendijk y Bracken aseguran que
durante 25 años se ha tornado mayor conciencia de los
efectos potencialmente dañinos de los medicamentos y
químicos en el desarrollo de los fetos.
En una población de mujeres dadas de alta en maternidad,
en un hospital del este de EUA, entre 1980 y 1982, los
autores valoraron y estudiaron la asociación del uso de
medicamentos con varias características de la madre, por
ejemplo uso de alcohol, tabaco y adicción a fármacos.
Sus hallazgos sugieren que la mujer que muestra un
comportamiento mas propenso a correr riesgos durante el
embarazo, también esta más propensa a utilizar
medicamentos durante el mismo.

EJERCICIO EXCEL:
1. Construir la distribución de probabilidad de la
variable discreta x=número de medicamentos
prescritos y no prescritos consumidos por las
mujeres embarazadas.
DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
se observa que los valores de P(X = x) son todos positivos
menores que 1 y la suma de los mismos es igual a 1. Estas
son características para todas las distribuciones de
probabilidad de variable discreta.

EJERCICIO EXCEL:
2. Representar gráficamente la distribución de
probabilidad
DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
Cuando se tiene disponible la distribución de probabilidad,
es posible hacer afirmaciones acerca de la variable
aleatoria X

EJERCICIO EXCEL:
3. Cual es la probabilidad que una mujer
seleccionada aleatoriamente sea una de las que
consumieron 3 medicamentos con ó sin
prescripción? P(X=3)
DISTRIBUCIONES DE EJERCICIO EXCEL:
PROBABILIDAD 4. Cuál es la probabilidad de que una mujer
seleccionada aleatoriamente haya consumido 1 ó 2
Cuando se tiene disponible la distribución de probabilidad, medicamentos? P(1 ∪ 2)
es posible hacer afirmaciones acerca de la variable Eventos incompatibles o mutuamente excluyentes
aleatoria X
5. Calcular y graficar la distribución de probabilidad
acumulada de la variable aleatoria

6. Cuál es la probabilidad de que una mujer

seleccionada aleatoriamente sea una de las que
consumieron 2 ó menos medicamentos?
7. Cuál es la probabilidad de que una mujer
seleccionada aleatoriamente sea una de las que
consumieron menos de 2 medicamentos?

Consumió 1 ó ninguno
DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
DISTRIBUCION BINOMIAL

La distribución binomial es una de las

distribuciones utilizadas mas ampliamente
en estadística aplicada.
Cuando en un proceso aleatorio ó
experimento, llamado ensayo, puede ocurrir
solo uno de dos resultados mutuamente
excluyentes, como vida ó muerte, enfermo ó
sano, masculino ó femenino, el ensayo se
llama ensayo de Bernoulli.
Un experimento de Bernoulli se caracteriza
por ser dicotómico, esto es, sólo son
posibles dos resultados.
DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
DISTRIBUCION BINOMIAL
Secuencia de ensayos de Bernoulli
condiciones:
1. En cada ensayo ocurre uno de dos
posibles resultados, mutuamente
excluyentes. Uno delos posibles resultados
se denota (arbitrariamente) como un éxito y
el otro como fracaso.
2. La probabilidad de un éxito, denotado p,
permanece constante de un ensayo a otro, y
la probabilidad de fracaso, 1 - p, se denota
con q.
3. Los ensayos son independientes, es decir,
el resultado de algún ensayo en particular
no es afectado por el resultado de cualquier
otro ensayo.
DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
DISTRIBUCION BINOMIAL

Si lanzamos 1 moneda sólo una vez la Si lanzamos 2 monedas a la vez la

distribución de probabilidad sería: distribución de probabilidad sería:
 DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
DISTRIBUCION BINOMIAL

2 parámetros definen los posibles resultados Muy útil en control de calidad e

en una distribución binomial: investigación.

n: número de intentos Es asimétrica a la derecha y cuando

π: probabilidad de éxito en cada intento aumenta el número de experimentos o la
Se requiere un dato adicional probabilidad de éxito se va pareciendo
más a la normal.
k: número de sucesos favorables
Distribución de Poisson

• Es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una

frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad de que ocurra un
determinado número de eventos durante cierto período de tiempo.
• Aplicable para eventos infrecuentes
• Es asimétrica a la derecha y cuando aumenta la media de aparición de los
eventos la curva se va pareciendo más a la normal
2 parámetros definen los posibles resultados en una distribución de Poisson:
λ: numero promedio de ocurrencias del evento aleatorio dentro del intervalo
℮:constante (con cuatro decimales) 2.7183 base de logaritmos naturales
Distribución de Poisson
Poisson Distribution
• La media y la varianza son iguales.
• Las ocurrencias de los eventos son 0,15 Mean
independientes. La ocurrencia de un 8
evento en un intervalo de espacio ó 0,12

probability
tiempo no tiene efecto en la probabilidad
de una segunda ocurrencia del evento en 0,09
el mismo, ó en algún otro intervalo.
• La distribución de Poisson se emplea 0,06
cuando se cuentan los eventos o
entidades, distribuidos al azar en espacio 0,03
o tiempo
0
0 4 8 12 16 20 24
x
Distribución de Poisson
En este tipo de experimentos
los éxitos buscados son
expresados por unidad de
área, tiempo, pieza, etc, etc,:
• # de casos de una
enfermedad por año
• # de bacterias por cm2 de
cultivo
• # de llamadas telefónicas a
un conmutador por hora,
minuto, etc, etc.
 DISTRIBUCIONES DE Caracteres morfológicos de individuos como la
PROBABILIDAD estatura y el peso
CONTINUA Caracteres fisiológicos como el efecto de un
Una variable continua es aquella que fármaco; valor de creatinina
puede asumir cualquier valor en un Caracteres sociológicos como el consumo de
intervalo especifico de valores. cierto producto por un mismo grupo de
Consecuentemente, entre individuos;
Caracteres psicológicos como el cociente
cualesquiera dos valores asumidos
intelectual
por la variable continua existe un
OTROS
numero infinito de valores. • El ancho de una pelota de fútbol.
• Volumen de agua en una piscina.
• La velocidad a la que va a un tren.
• El volumen de cerveza en una jarra.
• Tiempo que esperas al amor de tu vida.
• Distancia que recorren los autos en una
ciudad.
Distribución normal

Relevancia
• Muchas variables continuas se portan normal Normal Distribution

• A esta distribución convergen las demás

0,4 Mean,Std. dev.
0,1

distribuciones 0,3

density
• Es la base de la inferencia por el teorema del 0,2

límite central 0,1

• Es de fácil uso ya que se cuenta con una normal 0

-5 -3 -1 1 3 5
estándar x

Propiedades
• Forma acampanada
• Simétrica
DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
La función de densidad de probabilidad por excelencia:
la distribución normal

• Los porcentajes son probabilidades. Las áreas debajo de

la función densidad de probabilidad son, en
definitiva, probabilidades.
• Mu µ es la media de la población. La media o promedio.
El valor central.
• Y sigma σ es la desviación estándar de la población. La
dispersión.
•
Distribución normal

La distribución normal se puede utilizar como

modelo para normalizar la distribución de
muchas variables de interés.
Al utilizar la distribución normal como
modelo, es posible establecer afirmaciones de
probabilidad mas útiles y mucho mas
convenientes para algunas variables que si se
utilizara un modelo mas complicado.
Distribución normal

Muchas variables aleatorias continuas presentan

una función de densidad cuya gráfica tiene forma
de campana.
A esta distribución frecuentemente se Ie llama
distribución de Gauss como reconocimiento a las
contribuciones de este matemático.
Los dos parámetros de la distribución son: µ la
media, y σ la desviación estándar.
La grafica de la distribución normal produce la ya
conocida curva en forma de campana
Distribución normal

CARACTERISTICAS DE LA DISTRIBUCION NORMAL

1. Es simétrica respecto a su media, la curva hacia
cualquiera de los lados de µ es una imagen de espejo
de la del otro
lado.
2. La media, la mediana y la moda son todas iguales.
3. EI área total bajo la curva sobre el de las x es 1
unidad de área. 50% del área esta a la derecha de la
perpendicular levantada sobre la media y el otro 50 %
del lado izquierdo
Distribución normal

Si se levantan perpendiculares a una

distancia de 1 σ desde µ hacia ambos lados,
el área delimitada por esas perpendiculares,
eI eje de las x y la curva será de 68% del área
total, aproximadamente.
Si los límites laterales se extienden a 2 σ a
ambos lados de µ , estará incluido
aproximadamente 95% del área, y
extendiéndolos a una distancia de 3 σ ,
aproximadamente 99.7% del área total
estará englobada.
Distribución normal

DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR

La distribución normal es realmente una familia de
distribuciones en la que un miembro se distingue
de otro según los valores de µ y σ.
EI miembro mas importante de esta familia es la
distribución normal estándar.
Esta tiene una media igual a 0 y una desviación
estándar igual a 1.
77
Función de probabilidad acumulada

cumulative probability Normal Distribution

1 Mean,Std. dev.
0,1
0,8

0,6

0,4

0,2

0
-5 -3 -1 1 3 5
x
79
PROBABILIDAD

• SUCESOS COMPATIBLES: Dos sucesos 𝐴y𝐵son compatibles cuando tienen algún suceso elemental en común. Por
ejemplo: Si 𝐴 es sacar puntuación par al tirar un dado y 𝐵 es obtener múltiplo de 3, 𝐴y𝐵 son compatibles porque el 6 es
un suceso elemental común.

• •SUCESOS INCOMPATIBLES: Dos sucesos 𝐴 y son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común. Por
ejemplo: Si 𝐴 es sacar puntuación par al tirar un dado y 𝐵 es obtener múltiplo de 5, 𝐴y𝐵son incompatibles.

• •SUCESOS INDEPENDIENTES: Dos sucesos 𝐴y𝐵 son independientes cuando la probabilidad de que suceda 𝐴 no se ve
afectada porque haya sucedido o no 𝐵. Por ejemplo, lanzar dos dados.

80
81