Probabilidad Básica y Condicional

La probabilidad es simplemente qué tan posible es que ocurra un evento determinado.

Cuando no estamos seguros del resultado de un evento, podemos hablar de la
probabilidad de ciertos resultados: qué tan común es que ocurran. Al análisis de los
eventos gobernados por la probabilidad se le llama estadística

FENÓMENO (EXPERIMENTO): Es todo aquel acto o acción que se realiza con el fin de
observar sus resultados y cuantificarlos.
Los fenómenos pueden clasificarse de acuerdo al tipo de resultados en:

 Determinístico: Es aquel cuyos resultados se pueden predecir de antemano.

 Probabilístico (aleatorio): Es aquel en el que, para las limitaciones actuales del
conocimiento científico, no se puede predecir con certeza el resultado.

ESPACIO MUESTRAL
El espacio Muestral es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio y
se suele representar como E (o bien como omega, Ω, del alfabeto griego).

EVENTO
Al conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio se le denomina ESPACIO
DE EVENTOS (S).

A cada posible resultado del espacio le llamaremos ELEMENTO.

Un EVENTO en general es un conjunto de eventos simples (o posibles resultados del experimento).

Si el evento está compuesto por un único elemento le llamaremos EVENTO SIMPLE.

Si el evento no tiene ningún resultado posible se le denomina EVENTO VACÍO.

EJEMPLOS
1.
EXPERIMENTO: águila o sol. Se arroja una moneda al aire
¿Cuál es la probabilidad de que caiga águila? ¿La podemos encontrar al usar la ecuación P(A)=?, y
tal vez, intuitivamente, sepas que la probabilidad es mitad y mitad, o sea 50%. ¿Pero cómo
podemos resolver eso?
1
𝑃 (𝐴) = = 0.5 = 50%
2
P(A) = (# de maneras en las que A puede suceder) / (número total de resultados)

2.
EXPERIMENTO: Lanzamiento de un dado
Hay seis resultados distintos
¿Cuál es la probabilidad de sacar un uno?
1
𝑃(1) =
6
¿Cuál es la probabilidad de sacar un 1 y un 6?
2 1
𝑃(1 𝑜 6) = =
6 3
¿Cuál es la probabilidad de sacar un número par (es decir, sacar un dos, un cuatro o un seis)?
3 1
𝑃(𝑝𝑎𝑟) = =
6 2
3.
EXPERIMENTO: arrojar dos dados y observar la suma de los puntos de las caras que quedan
arriba

𝑃 = 𝑌1 + 𝑌2
¿Cuál es el espacio de eventos?

S= (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12)

Algunos eventos de este espacio son:

 A = ( 2, 4, 6, 8, 10, 12 )
 B = ( 7, 10, 11 )
 C = ( 3, 5, 7, 9, 11 )
 D=(9)

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTE

Si se tienen dos o más eventos que pertenecen a S y al realizar el experimento solo puede ocurrir
uno u otro, pero no simultáneamente.

Por ejemplo: A ∩ B = ∅

 Una persona que está en México no puede estar a su vez en Colombia.

 Si hace calor, no puede hacer frío.
  Tiramos un dado, el resultado no puede ser 3 y 6 a la vez, será uno u otro.
 El ejemplo que hemos mencionado previamente, tirar una moneda y que salga cara y cruz.

MÉTODOS PARA EL CÁLCULO DE PROBABILIDAD

SUBJETIVA O DE JUICIO

De acuerdo con esta interpretación, la probabilidad de un evento es el grado de certidumbre que

tiene una persona, o grupo de personas, acerca de la ocurrencia de un evento.

puede ser que se base en la experiencia o en cierta información que se tenga.

Una probabilidad igual a cero indica una certeza absoluta de que el evento no ocurrirá y una
probabilidad igual a 1 (100%) indica una certeza absoluta de que el evento ocurrirá.

METODO CLASICO

Sea n(S) es el número de elementos, igualmente posibles y mutuamente excluyentes, del espacio
muestral S de un experimento aleatorio, y sea n(A) el número de elementos de un evento
cualquiera A de ese espacio muestral.

La probabilidad de que ocurra el evento A, al realizar el experimento, es la proporción de n(A) con

respecto a n(S).
𝑛(𝐴)
𝑃(𝐴) =
𝑛(𝑆)

APROXIMACIÓN DE PROBABILIDAD POR FRECUENCIAS RELATIVAS

Si un experimento aleatorio se ejecuta n veces bajo las mismas condiciones, y m de los resultados
son favorables al evento A, la probabilidad de que ocurra el evento A al realizar nuevamente el
experimento es:

𝑚
𝑃(𝐴) = lim ( )
𝑛→∞ 𝑛

Una forma común de calcular la probabilidad aproximada de un evento A, desde el punto de vista
frecuentista, es dividiendo el número de veces que ocurre A, n(A); entre el número total de veces
que se efectúa el experimento, n(S) ó simplemente n.
𝑛(𝐴)
𝑃(𝐴) =
𝑛
EJEMPLO:
SUBJETIVA:
Está nublado, hay un 70% de probabilidad de lluvia.

CLÁSICA:
Si en un grupo hay 40 ingenieros y 20 arquitectos, la probabilidad de que, al seleccionar
aleatoriamente a una persona del grupo, su profesión sea de ingeniero es:
40/60 = 4/6

FRECUENTISTA:
Al sacar de una urna muy grande 100 pelotas, se observaron 30 rojas y 70 blancas. La probabilidad
de que, al sacar otra pelota, ésta sea blanca es: 70/100 =7/10.
(se desconoce cuántas pelotas hay dentro de la urna)

TECNICAS DE CONTEO O METODO DE CONTEO

Son estrategias utilizadas para determinar el número de posibilidades diferentes que existen al
realizar un experimento.

DIAGRAMA DE ARBOL

El diagrama de árbol es otro método sencillo para calcular el número total de resultados y
probabilidades. Al aplicar este método, se hace una representación gráfica que incluye cierto
número finito de pasos.

Ejemplo:

En el menú de una fonda, solo ofrecen limonada que puede ser pequeña, mediana o grande y con
hielo o sin hielo.

En total tenemos seis posibilidades.

EJERCICIOS DE PRACTICA I

1. Escoge un sándwich de pan blanco o integral que sea de jamón, pavo o bistec.
2. Comprar un carro o camioneta; estándar (manual) o automática; gris, roja o azul marino
3. Elegir un postre, puede ser pastel o helado de tamaño pequeña, mediana o grande de
chocolate, vainilla o fresa.
4. Calcular la probabilidad y las combinaciones de arrojar tres monedas al aire y que las tres
salgan cara.

Una manera mas fácil para calcular el número posible de resultados posibles, si no se tienen
cantidades muy grandes, es simplemente contar las variables.
Para calcular los posibles resultados, idéntica los eventos y el numero de maneras en que puede
ocurrir.

Ejemplo:

Carlos tiene la opción de tomar un examen el lunes, miércoles o el viernes a las 9:00 A.M.,
1:00 P.M., 5:00 P.M. o a las 7:00 P.M. ¿Cuántas oportunidades tiene Carlos para tomar su examen?

PERMUTACIONES

La permutación consiste en ordenar objetos de un grupo en un orden definido, sin repeticiones

donde el número de posibilidades va disminuyendo. Para resolver la permutación se hace uso de
la multiplicación descomponiendo en factores el número que queremos permutar (n) ordenándolo
de mayor a menor (1). Se representa con estos símbolos (n!)

Ejemplo: 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 (Tip: Para obtener los factoriales, empieza con el número dado y
se multiplica por cada número menor hasta llegar al uno.

Ejemplo II:

Pensemos que tienen las siguientes figuras geométricas, a cada una le asignamos un número,
¿cómo podemos ordenar las figuras? En total son ocho.
Identificamos la función factorial: 8!

Descomponemos en factores del mayor al menor:

8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40320

En total hay 40320

También pueden pedir que elegir que se elija solo las primeras tres, en ese caso tendríamos:

8 x 7 x 6 = 336

Aplicando la formula nos debe dar el mismo resultado:

Donde n! representa el valor que se va a factorizar

r representa el n
COMBINACIONES

Un arreglo o lista de cosas en que el orden no es importante se llama combinaciones. En estas el

orden no importa.

Si aplicamos usando el ejemplo de las figuras geométricas enumeradas, pero ahora usamos las
figuras 1, 2 y 3, veamos las posibilidades que tenemos si están ordenadas y sin estarlo.

En la permutación son 6 veces más posibilidades. 3! = 3 x 2 x 1 = 6

Aplicando la fórmula:

El número de combinaciones de cosas se puede calcular dividiendo cada número de

permutaciones del conjunto completo entre el número de maneras en que se puede arreglar cada
conjunto mas pequeño.
Si es que tenemos los números 1, 2, 3, 4, 5 y tenemos que escoger 3 números, podemos obtener
los siguientes conjuntos:

 123, 234, 345, 124, 125, 134, 145, 135, 235, 245.

Encuentra el número de combinaciones si n=10 y r=3.

Encuentra el número de permutaciones si n=10 y r=3.

PROBABILIDAD CONDICIONAL

La Probabilidad condicional, o probabilidad condicionada, es la posibilidad de que ocurra un

evento, al que denominamos A, como consecuencia de que ha tenido lugar otro evento, al que
denominamos B.

Es decir, la probabilidad condicional es aquella que depende de que se haya cumplido otro hecho
relacionado.

Si tenemos un evento, que denominamos A, condicionado a otro evento, al cual denominamos B,

la notación sería P(A|B) y la fórmula sería la siguiente:

P(A|B)=P(A ∩ B)/P(B)

Es decir, en la fórmula de arriba se lee que la probabilidad de que suceda A, dado que ha
acontecido B, es igual a la probabilidad de que ocurra A y B, al mismo tiempo, entre la
probabilidad de B.

Lo opuesto a la probabilidad condicional es la probabilidad independiente. Es decir, aquella que no

depende de la ocurrencia de otro evento.

En un grupo de 100 estudiantes, 35 jóvenes juegan al fútbol y al baloncesto, mientras que 80 de

los miembros practican fútbol. ¿Cuál es la probabilidad de que uno de los estudiantes que juega al
fútbol, también juegue al baloncesto o básquet?

Como se puede advertir, en este caso conocemos dos datos: los estudiantes que juegan al futbol y
al baloncesto (35) y los estudiantes que juegan al fútbol (80).

Evento A: Que un estudiante juegue al baloncesto (x)

Evento B: Que un estudiante juegue al fútbol (80)

Evento A y B: Que un estudiante juegue al fútbol y al baloncesto (35)

P (A / B) = P (A∩B) / P (B)

P (A / B) = 35 / 80

P (A / B) = 0,4375

P (A / B) = 43,75%

Por lo tanto, esta probabilidad condicional indica que la probabilidad de que un estudiante juegue
al baloncesto dado que también juega al fútbol es del 43,75%.

PROBABILIDAD COMPUESTA

La probabilidad compuesta o conjunta es el cálculo de la probabilidad cuando un experimento de

probabilidad simple se repite varias veces o se relaciona un experimento con otro.

Imaginemos que tenemos una caja con 2 bolas azules, 3 bolas amarillas y 3 bolas rojas.
Imaginemos que sacamos 1 bola y la volvemos a meter en la caja. Después, sacamos otra bola y la
volvemos a meter ¿Qué probabilidad hay de que saquemos la misma bola dos veces?

EVENTOS INDEPENDIENTES

Son aquellos en los que un suceso previo no afecta a lo que puede ocurrir en un siguiente suceso.
Por ejemplo, en el anterior ejemplo se hace lo mismo 2 veces. Imaginad que sacamos la primera
bola:

· 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 (2) 1

𝑃(1 𝐵𝑜𝑙𝑎 𝐴𝑧𝑢𝑙 = = = 0.25 = 25%
· 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 (8) 4

Y, ahora, la bola que acabamos de sacar, la volvemos a meter en la caja, por lo que la siguiente vez
que saquemos una bola, seguirá habiendo 8 bolas en ella, todas las probabilidades serán las
mismas y la probabilidad de sacar una bola azul seguirá siendo un 25%.

En este tipo de experimentos conjuntos, la probabilidad se calcula mediante la siguiente fórmula:

P(A y B)=P(A)×P(B)

P significa probabilidad, y, en nuestro problema, A y B son:

A = Primera bola azul

 B = Segunda bola azul

Apliquemos la fórmula al ejemplo que hemos propuesto:

P(1ª azul y 2ª azul)=P(1ª azul)×P(2ª azul)

Y aplicando las probabilidades del experimento:

2 2
P(1ªazuly2ªazul) = ∗ = 0,0625 = 6,25%
8 8

Por lo que la probabilidad de que saquemos azul dos veces seguidas es de un 6,25%, ¿A que es
menos que lo que te esperabas?

SUCESOS DEPENDIENTES

Son aquellos en los que un suceso previo afecta a lo que puede ocurrir en un siguiente. Volviendo
al ejemplo de la caja, si cambiamos un poco el experimento y cada vez que sacamos una bola no la
volvemos a meter, estaríamos hablando de sucesos dependientes:

Cuando vamos a sacar la primera bola hay 8 bolas en la caja, pero, al sacar una, quedan 7 dentro.

Cuando vamos a sacar la segunda bola hay 7 bolas dentro de la caja, pero, al sacar otra, quedan 6
dentro.

Vamos a ver cómo influye el no volver a meter la bola a las probabilidades. Imaginemos que en la
primera tirada sacamos una bola azul; la probabilidad sería:

N°casosfavorables(2) 1
P(1ªazul) = = = 0.25 = 25%
N°casosposibles(8) 4

E imaginemos ahora que, esa bola azul la dejamos fuera y vamos a sacar otra bola; estas serían las
probabilidades de que esa segunda bola fuera azul:

N°casosfavorables(1) 1
P(2ªazulhabiendosacado1ªazul) = = = 0.14 = 14%
N°casosposibles(7) 7

¡Fijaos en que la operación ha cambiado, porque en la caja hay, ahora, 7 bolas, y solo queda una
bola azul!
Este tipo de experimentos suelen visualizarse muy bien mediante un tipo de diagrama llamado
árbol de probabilidades. He aquí el árbol correspondiente a este problema:

Y ahora vamos a calcular la probabilidad de sacar, primero, una bola azul y, luego, otra bola azul.
En experimentos dependientes como este, la probabilidad se calcula con esta fórmula:

P(A y B)=P(A)×P(B∣A)P(A\, y\, B) = P(A) \times P(B | A)P(AyB)=P(A)×P(B∣A)

Si os fijáis, la diferencia con la fórmula del anterior problema es el P (B | A). Antes teníamos la
probabilidad B, que era la probabilidad de sacar una bola azul en la segunda extracción.

Ahora, en cambio, tenemos P (B | A), porque la probabilidad de sacar una bola azul en la segunda
extracción depende de qué bola saquemos en la primera extracción. Apliquemos la fórmula al
problema:

Probabilidad de que salga “Primera bola azul” y “Segunda bola azul”= Probabilidad Primera bola
azul x Probabilidad segunda bola azul, condicionada por el haber sacado ya una bola azul.

Y aplicando las probabilidades del experimento:

1 1 1
P(1ªazuly2ªazulhabiendosacadoyaunaazul) = × = = 0,036 = 3,6%
4 7 28
Por lo que la probabilidad de sacar azul dos veces seguidas es de 3,6%, y, evidentemente, el no
devolver la primera bola azul sacada de la caja hace que las probabilidades de sacar una bola azul
en la segunda extracción sean menores.