Lectura Clase15

612 Capítulo 18 Sistemas de colas
La notación estándar para representar las distribuciones de las llegadas y salidas

(símbolos a y b) es
M 5 Distribución markoviana (o de Poisson) de llegadas y salidas (o de forma

equivalente distribución exponencial del tiempo entre llegadas y de servicio)
D 5 Tiempo constante (determinístico)
Ek 5 Distribución Erlang o gama del tiempo (o de forma equivalente, la suma
de distribuciones exponenciales independientes)
GI 5 Distribución general (genérica) del tiempo entre llegadas
G 5 Distribución general (genérica) del tiempo de servicio
La notación para la disciplina en colas (símbolo d) incluye
FCFS 5 Primero en llegar, primero en ser servido

LCFS 5 Último en llegar, primero en ser servido
SIRO 5 Servicio en orden aleatorio
GD 5 Disciplina general (es decir, cualquier tipo de disciplina)
Para ilustrar el uso de la notación, el modelo (M/D/10): (GD/20/q) utiliza llega-

das Poisson (o tiempo entre llegadas exponencial), tiempo de servicio constante, y 10
servidores paralelos. La disciplina en colas es GD, y hay un límite de 20 clientes en
todo el sistema. El tamaño de la fuente de donde llegan los clientes es infinito.
Como nota histórica, los primeros tres elementos de la notación (a/b/c) los ideó
D.G. Kendall en 1953, y se conocen en la literatura como la notación de Kendall. En
1966, A.M. Lee agregó los símbolos d y e a la notación. Este autor agregó el último ele-
mento, el símbolo f, en 1968.
Antes de presentar los detalles de las colas de Poisson especializadas, demostra-
mos cómo se pueden derivar las medidas de desempeño de estado estable de la situa-
ción de colas generalizada a partir de las probabilidades de estado estable pn dadas en
la sección 18.5.
18.6.1 Medidas de desempeño de estado estable

Las medidas de desempeño más comúnmente utilizadas en una situación de colas son
Ls = Cantidad esperada de clientes en un sistema

Lq = Cantidad esperada de clientes en una cola
Ws = Tiempo de espera en el sistema
Wq = Tiempo de espera anticipado en la cola
cq = Cantidad esperada de servidores ocupados
Recuerde que el sistema incluye tanto la cola como las instalaciones de servicio.
18.6 Colas de Poisson especializadas 613
Demostramos ahora cómo se derivan estas medidas (directa o indirectamente) a

partir de la probabilidad de estado estable de n en el sistema pn como
q
Ls = a npn
n=1
q
Lq = a (n - c)pn
n=c+1
La relación entre Ls y Ws (también entre Lq y Wq) se conoce como fórmula de

Little y se da como
Ls = lefecWs
Lq = lefecWq
Estas relaciones son válidas en condiciones más bien generales. El parámetro lefec es
la tasa de llegadas efectiva al sistema. Es igual a la tasa de llegadas l (nominal) cuando
todos los clientes que llegan pueden unirse al sistema. De lo contrario, si algunos clien-
tes no pueden unirse porque el sistema está lleno (por ejemplo un estacionamiento),
entonces lefec , l. Más adelante demostraremos cómo se determina lefec.
También existe una relación directa entre Ws y Wq. Por definición
a b = a b + a b
Tiempo de espera Tiempo de espera Tiempo de servicio
anticipado en el sistema anticipado en la cola esperado
Esto se traduce como
1
Ws = Wq +
m
Luego podemos relacionar Ls con Lq multiplicando ambos lados de la última

fórmula por lefec, la que junto con la fórmula de Little da
lefec
Ls = Lq +
m
La diferencia entre la cantidad promedio en el sistema, Ls, y la cantidad prome-

dio en la cola, Lq debe ser igual al promedio de servidores ocupados. Por lo tanto,
lefec
cq = Ls - Lq =
m
Se deduce que
a b =
Uso de la c
instalación c
Ejemplo 18.6-1
El estacionamiento para visitantes en el Colegio Ozark se limita a sólo 5 espacios. Los autos que
utilizan estos espacios llegan de acuerdo con una distribución de Poisson a razón de 6 por hora.
El tiempo de estacionamiento está distribuido exponencialmente con una media de 30 minutos.
Los visitantes que no pueden encontrar un espacio vacío pueden esperar temporalmente en el
estacionamiento hasta que un auto estacionado salga. El espacio temporal tiene cabida sólo para
3 autos. Otros que no pueden estacionarse o encontrar un espacio de espera temporal deben irse
a otra parte. Determine lo siguiente:
(a) La probabilidad, pn, de que haya n autos en el sistema.
(b) La tasa de llegadas efectiva de los autos que por lo general utilizan el estacionamiento.
(c) El promedio de autos en el estacionamiento.
(d) El tiempo promedio que un auto espera un espacio de estacionamiento.
(e) El promedio de espacios de estacionamiento ocupados.
(f) La utilización promedio del estacionamiento.
Observamos primero que un espacio de estacionamiento actúa como un servidor, de modo
que el sistema cuenta con un total de c 5 5 servidores paralelos. Asimismo, la capacidad máxima
del sistema es 5 1 3 5 8 autos.
La probabilidad pn puede determinarse como un caso especial del modelo generalizado en
la sección 18.5 por medio de
ln = 6 autos/hora, n = 0, 1, 2, Á , 8
n A 60
30 B = 2n autos/hora, n = 1, 2, 3, 4, 5
5 A 60
30 B
mn = c
= 10 autos/hora, n = 6, 7, 8
De acuerdo con la sección 18.5, obtenemos

3n
p, n = 1, 2, 3, 4, 5
n! 0
pn = d
3n
p0, n = 6, 7, 8
5! 5n - 5
El valor de p0 se calcula sustituyendo pn, n 5 1,2,…, 8, en la siguiente ecuación
p0 + p1 + Á + p8 = 1
o
32 33 34 35 36 37 38
p0 + p0 a b = 1
3
+ + + + + + 2
+
1! 2! 3! 4! 5! 5!5 5!5 5!53
Esto da p0 5 .04812 (¡compruébelo!). Con p0, ahora podemos calcular p1 a p8 como
n 1 2 3 4 5 6 7 8
pn .14436 .21654 .21654 .16240 .09744 .05847 .03508 .02105
La tasa de llegadas efectiva lefec se calcula observando el diagrama esquemático en la figu-

ra 18.4, donde los clientes llegan de la fuente a razón de l autos por hora. Un auto que llega
puede entrar al estacionamiento a la razón lefec o puede irse a otra parte a la razón lperdida. Esto
quiere decir que l 5 lefec 1 lperdida.
18.6 Colas de Poisson especializadas 615
l lefec
Fuente Sistema
FIGURA 18.4
lperdida Relación entre l, lefec y lperdida
Un auto no podrá entrar al estacionamiento si ya entraron 8. Esto significa que la propor-

ción de autos que no podrán entrar al estacionamiento es p8. Por lo tanto,
l perdida = lp8 = 6 * .02105 = .1263 autos/hora
lefec = l - lperdida = 6 - .1263 = 5.8737 autos/hora
El promedio de autos en el estacionamiento (los que esperan que se desocupe un espacio)
es igual a Ls, el promedio en el sistema. Podemos calcular Ls con pn como
Ls = 0p0 + 1p1 + Á + 8p8 = 3.1286 autos
Un auto que espera en el espacio temporal es en realidad un auto que está haciendo cola. Por
lo tanto, su tiempo de espera hasta que encuentra un espacio es Wq. Para determinar Wq usamos
1
Wq = Ws -
m
Por tanto,
Ls 3.1286
Ws = = = .53265 horas
lefec 5.8737
1
Wq = .53265 - = .03265 horas
2
El promedio de espacios de estacionamiento ocupados es igual al promedio de servidores
ocupados,
lefec 5.8737
cq = Ls - Lq = = = 2.9368 espacios
m 2
A partir de cq, obtenemos
cq 2.9368
Uso del lote de estacionamiento = = = .58736
c 5
CONJUNTO DE PROBLEMAS 18.6A

1. En el ejemplo 18.6-1, haga lo siguiente:
q
*(a) Calcule Lq directamente con la fórmula a n = c + 1(n - c)pn.
(b) Calcule Ws a partir de Lq.
*(c) Calcule el promedio de autos que no podrán entrar al estacionamiento durante un
periodo de 8 horas.
*(d) Demuestre que c - (Ls - Lq), el promedio de espacios vacíos es igual a
c-1
a n = 0(c - n)pn.
2. Resuelva el problema 18.6-1 con los siguientes datos: cantidad de espacios de estaciona-
miento 5 6, cantidad de espacios temporales 5 4, l 5 10 autos por hora y tiempo prome-
dio de estacionamiento 5 45 minutos.
18.6.2 Modelos de un solo servidor

Esta sección presenta dos modelos para el caso de un solo servidor (c 5 1). El primer
modelo no limita el número máximo en el sistema, y el segundo supone un límite fini-
to del sistema. Ambos modelos suponen una capacidad infinita de la fuente. Las llega-
das ocurren a razón de l clientes por unidad de tiempo y la tasa de servicio es m clien-
tes por unidad de tiempo.
Los resultados de los dos modelos (y de hecho de todos los modelos restantes en
la sección 18.6) se derivan como casos especiales de los resultados del modelo genera-
lizado de la sección 18.5.
Se utilizará la notación ampliada de Kendall para caracterizar cada situación.
Debido a que las derivaciones de pn en la sección 18.5 y de todas las medidas de de-
sempeño en la sección 18.6.1 son totalmente independientes de una disciplina de colas
específica, se utilizará el símbolo GD (disciplina general) con la notación.
(M/M/ 1):(GD/q/q). Utilizando la notación del modelo general, tenemos
f, n = 0, 1, 2, Á
ln = l
mn = m
Incluso, lefec 5 l y lperdida 5 0, porque todos los clientes pueden unirse al sistema.
Si r = ml , la expresión para pn en el modelo generalizado se reduce a
pn = rnp0, n = 0, 1, 2, Á
Para determinar el valor de p0 usamos la identidad
p0(1 + r + r2 + Á ) = 1
La suma de la serie geométrica es A 1 -1 r B , siempre que r , 1. Por lo tanto
p0 = 1 - r, r 6 1
En consecuencia, la siguiente distribución geométrica da la fórmula general para pn
pn = (1 - r)rn, n = 1, 2, Á (r 6 1)
La derivación matemática de pn impone la condición r , 1, o l , m. Si l $ l, la serie
geométrica diverge, y las probabilidades de estado estable pn no existen. Este resulta-
do tiene un sentido intuitivo, porque a menos que la tasa de servicio sea mayor que la
tasa de llegadas, la longitud de la cola continuará creciendo y no puede alcanzarse
ningún estado estable.
La medida de desempeño Lq se deriva como sigue:
q q
Ls = a npn = a n(1 - r)rn
n=0 n=0
d q n
dr na
= (1 - r)r r
=0
a b =
d 1 r
= (1 - r)r
dr 1 - r 1- r

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La notación estándar para representar las distribuciones de las llegadas y salidas

M 5 Distribución markoviana (o de Poisson) de llegadas y salidas (o de forma

La notación para la disciplina en colas (símbolo d) incluye

FCFS 5 Primero en llegar, primero en ser servido

Para ilustrar el uso de la notación, el modelo (M/D/10): (GD/20/q) utiliza llega-

18.6.1 Medidas de desempeño de estado estable

Ls = Cantidad esperada de clientes en un sistema

Demostramos ahora cómo se derivan estas medidas (directa o indirectamente) a

La relación entre Ls y Ws (también entre Lq y Wq) se conoce como fórmula de

Esto se traduce como

Luego podemos relacionar Ls con Lq multiplicando ambos lados de la última

La diferencia entre la cantidad promedio en el sistema, Ls, y la cantidad prome-

De acuerdo con la sección 18.5, obtenemos

pn .14436 .21654 .21654 .16240 .09744 .05847 .03508 .02105

La tasa de llegadas efectiva lefec se calcula observando el diagrama esquemático en la figu-

Un auto no podrá entrar al estacionamiento si ya entraron 8. Esto significa que la propor-

CONJUNTO DE PROBLEMAS 18.6A

18.6.2 Modelos de un solo servidor

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