Cepuns 2013-II Semana 10
Cepuns 2013-II Semana 10
Cepuns 2013-II Semana 10
=
=
=
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2013-II
TRIGONOMETRA
Identidades Trigonomtricas para el ngulo Triple
IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS PARA EL
NGULO TRIPLE
x Tg
x Tg Tgx
x Tg
Cosx x Cos x Cos
x Sen Senx x Sen
2
3
3
3
3 1
3
3
3 4 3
4 3 3
=
=
=
Formulas Especiales:
|
.
|
\
|
+
=
=
+ =
1 x 2 Cos 2
1 x 2 Cos 2
Tgx x 3 Tg
) 1 x 2 Cos 2 ( Cosx x 3 Cos
) 1 x 2 Cos 2 ( Senx x 3 Sen
Formulas de Degradacin:
x Cos Cosx x Cos
x Sen Senx x Sen
3 3 4
3 3 4
3
3
+ =
=
Propiedades:
x 3 Tg ) x 60 ( Tg ) x 60 ( TgxTg
x 3 Cos ) x 60 ( Cos ) x 60 ( CosxCos 4
x 3 Sen ) x 60 ( Sen ) x 60 ( SenxSen 4
= +
= +
= +
x tg x tg x tg tgx 3 3 ) 120 ( ) 60 ( = + + + +
Observacin:
4
1 5
36 Cos
4
1 5
18 Sen
+
=
=
Tringulo Notable de 18 y 72
4
72
18
5 1
10+ 2 5
Tringulo Notable de 36 y 54
4
36
5 + 1
10 2 5
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Si:
x
72
t
=
; Calcular:
M 2sen12x 2cos8xcos4x cos4x = (
A)
3
2
B)
3
3
C)
3
6
D)
3
4
E)
3
12
RESOLUCIN
M 2sen12x cos4x 2cos8x 1 = (
cos12x
M 2sen12x cos4x
cos4x
=
M sen24x =
3
M sen
3 2
t
= =
RPTA.: A
2. Si:
tg3x mtgx, =
calcule:
M sen3x cscx cos3x secx = +
A)
m 1
m 1
+
B)
( ) 2 m 1
m 1
C)
( ) 2 m 1
m 1
+
D)
( )
m 1
2 m 1
+
E) 1
RESOLUCIN
( )
sen3x cos3x
M 2cos2x 1
senx cosx
= + = + +
( )
2cos2x 1 4cos2x + =
Pero:
tg3x 2cos2x 1 m
m
tgx 2cos2x 1 1
+
= =
Semana N 10
Lic. Rodolfo Carrillo Velsquez Trigonometra.
2
Centro Preuniversitario de la UNS S-10 Ingreso Directo
4cos2x m 1 m 1
2cos2x
2 m 1 m 1
+ +
= =
m 1
M 2
m 1
+ | |
=
|
\ .
RPTA.: B
3. Halle: m si:
m ctg20
tg10 tg40
=
A)
3
3
B) 3 C) 1 D)
1
3
E)
1
2
RESOLUCIN
ctg20
m tg10
tg40
=
m ctg20 ctg40 ctg80 =
m ctg60 =
3
m
3
=
RPTA.: A
4. Reducir:
( ) ( ) ( ) H 1 cos40 1 cos80 1 cos160 =
A)
1
8
B) 2 C)
3
8
D) 4 E) 6
RESOLUCIN
( ) ( ) ( )
1 cos40 1 cos80 1 cos160
( ) ( ) ( )
2 2 2
2sen 20 2sen 40 2sen 80
2 2 2
1
H 16sen 20sen 40sen 80
2
( =
( )
2
2 1 1 3
H sen60
2 2 2
(
= =
(
(
( )
3
1 3
H
2 4 8
(
= =
(
RPTA.: C
5. Si:
( )
tg 15 x 2 =
; Halle: ctg 3x
A)
11
9
B)
13
9
C)
14
9
D)
16
9
E)
17
9
RESOLUCIN
Si:
( ) ( )
tg 30 x tg 45 15 x ( + =
( )
( )
( )
tg45 tg 15 x
tg 30 x
1 tg45tg 15 x
+ =
+
( )
1
tg 30 x
3
+ =
Se pide:
( ) ctg3x tg 90 3x = +
( ) ( )
( )
3
2
3tg 30 x tg 30 x
ctg3x
1 3tg 30 x
+ +
=
+
13
ctg3x
9
=
RPTA.: B
PROBLEMAS DE CLASE
1) Si: cos 40 = 2n, entonces el valor de la
expresin :
4
1
20 cos 20 . 3
3 3
+ + = sen E
a) n b) 2n c) 3n d) 4n e) 5n
(Segundo examen sumativo 2012 III)
2) Si:
2 , sec
2
= = n ntgx x
, entonces
( )
( )
3
3 3
cos
cos
x senx
x x sen
es igual a:
a)
2
3
+
n
n
b)
2
1
n
n
c)
2
1
+
n
n
d)
2
3
n
n
e)
2
2
+
n
n
(Segundo examen sumativo 2012 II)
3) Del grfico, hallar la longitud de
CD
24
36
16
A
B
C
D
E
6
a) 1,23 b) 2,23 c) 1,36
d) 3,23 e) 2,32
4) Del grfico, hallar :
y
x
A
B
C
5
45 80 20
D E
x y
a)
5 Csc 2
b)
10 Csc 2
CLAVE
c
Lic. Rodolfo Carrillo Velsquez Trigonometra.
3
Centro Preuniversitario de la UNS S-10 Ingreso Directo
c)
5 Csc
2
2
d)
10 Csc
2
2
e)
5 Csc
4
2
5) Calcular la suma de: m + n + p, para para que la
siguiente igualdad sea su identidad:
pa Cos m Cos Sen Sen
n
. cos . 3 . 3
3 3
= + o o o o
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
(Segundo examen sumativo 2013 I)
6) Si
( )
2
3
3
2 cos 1
6 cos 1
B A A
x
x
+ =
+
+
Determinar:
B
A
E
2
=
a)
|
.
|
\
|
3
2
2
x
Cos
b)
|
.
|
\
|
3
4
2
x
Cos
c)
|
.
|
\
|
3
2x
Cos
d)
|
.
|
\
|
3
4x
Cos
e)
|
.
|
\
|
3
2
2
x
Cos
7) Calcule:
13 Cos 17 Sen
13 Cos 17 Sen
M
3 3
+
+
=
a)
2
1
b)
4
3
c)
8
3
d)
2
3
e)
4
1
8) Si: senx + cosx = a , Calcular P = Cos3x Sen3x
a)2a-3a
2
b) a
2
-3a c) 3a
5
+2a
d) 3a 2a
3
e) a
2
+ 2a
(Segundo examen sumativo 2012 II)
9) Al reducir:
|
.
|
\
|
+
u u
u u
u
Cos Sen
Cos Sen
Sen
3 3
2 2
,
se obtiene:
a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) 4
2 EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2012 I
10) Si:
2
5
= o tg
, determinar el valor de
2
3o
Cos
a)
6
5
.
2
1
b)
3
2
.
2
1 c)
6
5
.
3
1
d)
5
5
e)
5
6
(Segundo examen sumativo 2011 II)
11) Si : Sen3x Cscx + Cos3x Secx = K Cosp . x,
Calcular: K + p
a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8
12) Simplificar:
( ) ) 120 ( cos 120 cos cos
3 3 3
x x x E + + + =
a)
4
3 cos x
b)
5
3 cos 2 x c)
4
3 cos 3 x
d)
7
3 cos 2 x e)
4
3 cos 5 x
13) Calcular el valor de n
x sen n
senx x
x x sen
2 . 1
cos
3 cos 3
+ =
+
a) 0 b)1 c) 2 d) -1 e) 2
14) Si:
3
2
cos 3 = senx x
Calcular sen 3x
a) 23/27 b) - 23/27 c) 25/27
d) -25/27 e) -2/3
15) Seale el valor de "Senx", si: Sen2x = Cos3x
a)
4
1 5
b)
4
1 5
c) a y c son respuestas.
d)
1
e) a, b y c son respuestas.
16) Simplificar:
R = 36Sen
3
x + 12Sen
3
3x + 4Sen
3
9x + Sen27x
a) 27Senx b) 40Senx
c) 30Senx d) 21Senx e) N.A.
17) Calcular: Tan9+Cot9-Tan27-Cot27
a) 2 b) 4 c) 6 d) 0 e) 8
PROBLEMAS DE REPASO
1) Calcular el valor de: M = Cos5Cos55Sen25
a)
4
6
b)
16
2 6 +
c)
4
2
d)
4
2 6
e)
4
2 6 +
2) Calcular:
+
+
=
40 Cos 20 Cos
40 Cos 20 Cos
M
3 3
a) b) 2/4 c) 2/5 d) e) 3/7
3) Si:
2
cos(60 )
3
o =
; Calcule: cos3a
a)
27
12 b)
27
5 c)
27
22 d)
27
15 e)
27
11
Lic. Rodolfo Carrillo Velsquez Trigonometra.
4
Centro Preuniversitario de la UNS S-10 Ingreso Directo
4) Reducir: P = (4Cos
2
11 1) Sen11Cos33
a) 2tag22 b) cos11 c) sen22
d) 4csc22 e)
2
66 sen
5) Reducir: E = 16Sen18Sen42Sen78 1
a) 5 b) 2 c) 3 d) 7 e) 11
6) De la siguiente identidad:
( ) ( )
( ) B ctx x ctg A
x ctg x tg
x ctg
+ =
+
. 2
60 30
3 . 8
Calcular A + B
a) 0 b) 2 c) -3 d) 1 e) -2
7) Si:
5
sen(30 )
3
+u =
Calcule: cos3u
a)
27
5 7 b)
2
5 7 c)
27
5 d)
27
5 2 e)
5
8) Si:
11 = ctgx
; Calcular ctg y
a)
2
2
b) 2 c)
3
2
d)
4
2
e) 2 2
9) Si:
5
sen(30 )
3
+u =
Calcule: cos3u
a)
27
5 7 b)
2
5 7 c)
27
5 d)
27
5 2 e)
5
10) Calcular:
36 Cos 18 Sen
3 3
+
a)
2
5
b)
8
5
c)
4
5
d)
6
5
e) -
4
5
11) Si: senx + cosx = m
Obtener: "sen
3
x + cos
3
x" en trminos de "m".
A)
3m 2
B)
3
m 3m
C)
2
m
(3 m )
2
D)
2
m
(2 m )
3
E)
2
m(3 2m )
12) Del grfico mostrado, hallar: "x".
A
E
D
C
B
u
u
u
x
4
3
a) 4 b) 7 c) 17 d) 8 e)
7 2
13) Simplificar:
=
64 56 4
66
Cos Cos Cos
Cos
P
a) 8sen12 b) 4Sen12 c) 2Sen4
d) 2Sen24 e) sen12
14) El valor de:
70 Sec 50 Sec 10 Sec 2
2 2 2
Es:
a)
3
128
b)
64
9
c)
64
1
d) 192 e)
9
64
15) Del grfico, hallar la medida del ngulo "
u
"
u
a
4a
43
17
13
a) 39 b) 17 c) 36 d) 51 e) 48
16) Calcular el valor de u.
2
2 2
) Cos Sen (
Cos Sen 3 Cos Sen Cos 3 Sen
u u
u u u u u u
a) 1 b) 1 c) 2 d) 2 e)
17) Si :
1 n
1 n
Tanx
x 3 Tan
+
=
, halle :
x 3 Sen
Senx
en trminos de "n"
a) n + 1 b)
1
) 1 n (
+
c)
n
2
d) n - 1 e)
1
) 1 n (