Identidades Trigonométricas de Un Ángulo Mitad y Triple

Curso:
Trigonometría
Ciclo:
Escolar
Tema:
Identidades
Trigonométricas
del ángulo Mitad
𝜶 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝜶
Partimos de: 𝒄𝒐𝒔 =±
𝟐 𝟐
𝛼
2sen2 = 1 − cosα
2
𝛼 1 − 𝑐𝑜𝑠𝛼 Partimos de:
2 𝛼
sen =
2 2 𝛼 𝑠𝑒𝑛
2
𝑡𝑎𝑛 = 𝛼
2 𝑐𝑜𝑠 2
𝜶 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜶
𝒔𝒆𝒏 =±
𝟐 𝟐
𝜶 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜶
𝒕𝒂𝒏 = ±
𝟐 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝜶
Partimos de:
𝛼 El signo depende del cuadrante al
2cos 2 = 1 + cosα 
2 que pertenece 2
𝛼 1 + 𝑐𝑜𝑠𝛼
cos 2 =
2 2
Calcule tan15°
Partimos de:
30°
𝛼 (1 − 𝑐𝑜𝑠𝛼) (1 − 𝑐𝑜𝑠𝛼) Notamos que: 𝑡𝑎𝑛15° = 𝑡𝑎𝑛
𝑡𝑎𝑛 =± . 2
2 (1 + 𝑐𝑜𝑠𝛼) (1 − 𝑐𝑜𝑠𝛼)
𝑡𝑎𝑛15° = 𝑐𝑠𝑐30° − 𝑐𝑜𝑡30°
𝑠𝑒𝑛2 𝛼 ∴ 𝑡𝑎𝑛15° = 2 − 3
𝜶
𝒕𝒂𝒏 = 𝒄𝒔𝒄𝜶 − 𝒄𝒐𝒕𝜶
𝟐
𝜶
𝒄𝒐𝒕 = 𝒄𝒔𝒄𝜶 + 𝒄𝒐𝒕𝜶
𝟐 75° 4
𝟔− 𝟐
Por ejemplo :
15°
csc4x ⎯ cot4x = tan2x
𝑥 𝑥 𝑥 𝟔+ 𝟐
𝑐𝑠𝑐 + 𝑐𝑜𝑡 = 𝑐𝑜𝑡
2 2 4
𝟏
𝑺𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 𝜶 𝐮𝐧 á𝐧𝐠𝐮𝐥𝐨 𝐭𝐚𝐥 𝐪𝐮𝐞: 𝐜𝐨𝐬𝜶 = ∧ 𝜶 𝝐 < 𝟐𝟕𝟎°; 𝟑𝟔𝟎° >,
𝟐𝟓
𝜶
c𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒆 𝒄𝒐𝒔 𝟐
26
𝛼 1 + 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝛼 25
Aplicaremos: 𝑐𝑜𝑠 = ± 𝑐𝑜𝑠 = −
2 2 2 2
Como 270° < 𝛼 < 360° 𝛼 13

𝑐𝑜𝑠 =−
2 25
𝛼
Luego 135° < < 180°
2
𝛼 13
𝛼 ∴ 𝑐𝑜𝑠 = −
∈ 𝐼𝐼𝑄 2 5
2
1
𝛼 1+
𝑐𝑜𝑠 = − 25
2 2
Siendo 𝜶 un ángulo tal que: tan𝜶 = 𝟑 𝟕 ∧ 𝜶 𝝐 < 𝟏𝟖𝟎°; 𝟐𝟕𝟎° >,
𝜶
calcule tan𝟐
3 7 𝛼
Del dato: tgα = y 90° < < 135°
1 2
𝛼 𝛼
x=−1
∈ 𝐼𝐼𝑄
𝑦 −3 7 x 2
=
𝑥 −1
y=−3 7 −1
Del plano cartesiano: R=8 𝛼 1 − 8
𝑡𝑎𝑛 = −
2 −1
−1 1+ 8
𝑐𝑜𝑠𝛼 =
8 P(-1; −3 7)
𝛼 9 3 7
𝑡𝑎𝑛 = − =− .
2 7 7 7
𝛼 1 − 𝑐𝑜𝑠𝛼
Aplicaremos: 𝑡𝑎𝑛 =±
2 1 + 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝛼 3 7
∴ 𝑡𝑎𝑛 =−
Como 180° < 𝛼 < 270° 2 7
EJERCICIO : Determina el valor de
𝑬 = 𝒄𝒔𝒄𝟑𝟎° + 𝒄𝒔𝒄𝟔𝟎° + 𝒄𝒔𝒄𝟏𝟐𝟎° + 𝒄𝒔𝒄𝟐𝟒𝟎° + 𝒄𝒔𝒄𝟒𝟖𝟎° + 𝒄𝒕𝒈𝟒𝟖𝟎°
RESOLUCIÓN: 𝛼
Aplicaremos: 𝑐𝑠𝑐𝛼 + 𝑐𝑡𝑔𝛼 = 𝑐𝑡𝑔
2
𝐸 = 𝑐𝑠𝑐30° + 𝑐𝑠𝑐60° + 𝑐𝑠𝑐120° + 𝑐𝑠𝑐240° + 𝑐𝑠𝑐480° + 𝑐𝑡𝑔480°
𝐸 = 𝑐𝑠𝑐30° + 𝑐𝑠𝑐60° + 𝑐𝑠𝑐120° + 𝑐𝑠𝑐240° + 𝑐𝑡𝑔240°
𝐸 = 𝑐𝑠𝑐30° + 𝑐𝑠𝑐60° + 𝑐𝑠𝑐120° + 𝑐𝑡𝑔120°
E=𝑐𝑠𝑐30° + 𝑐𝑠𝑐60° + 𝑐𝑡𝑔60°
𝐸 = 𝑐𝑠𝑐30° + 𝑐𝑡𝑔30°
∴𝐸 =2+ 3
Tema:
Identidades
Trigonométricas
del ángulo Triple
Ejemplos:
Partimos de:
4cos 3 19° ⎯ 3cos19° = cos57°
𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 2𝛼 = 𝑠𝑒𝑛𝛼. 𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝛼. 𝑠𝑒𝑛2𝛼
cos2x ( 2cos4x − 1 ) = cos6x
𝒔𝒆𝒏𝟑𝜶 = 𝟑𝒔𝒆𝒏𝜶 − 𝟒𝒔𝒆𝒏𝟑 𝜶
También:
𝒔𝒆𝒏𝟑𝜶 = 𝒔𝒆𝒏𝜶(𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 + 𝟏) 𝟒𝒔𝒆𝒏𝟑 𝜶 = 𝟑𝒔𝒆𝒏𝜶 − 𝒔𝒆𝒏𝟑𝜶
Ejemplos: 𝟒𝒄𝒐𝒔𝟑 𝜶 = 𝟑𝒄𝒐𝒔𝜶 + 𝒄𝒐𝒔𝟑𝜶

3sen10° ⎯ 4sen3 10° = sen30°
Ejemplo:
sen2x ( 2cos4x + 1 ) = sen6x
4𝑠𝑒𝑛3 15° = 3𝑠𝑒𝑛15° − 𝑠𝑒𝑛45°
❖ Tangente de 3: 𝟑𝐭𝐚𝐧𝜶 ⎯ 𝐭𝐚𝐧𝟑 𝛂

𝒄𝒐𝒔𝟑𝜶 = 𝟒𝒄𝒐𝒔𝟑 𝜶 − 𝟑𝒄𝒐𝒔𝜶 𝒕𝒂𝒏𝟑𝜶 =
𝟏 ⎯ 𝟑𝐭𝐚𝐧𝟐 𝛂
También:
3tan19° ⎯ tan3 19°
𝒄𝒐𝒔𝟑𝜶 = 𝒄𝒐𝒔𝜶(𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 − 𝟏) = tan57°
1 ⎯ 3tan2 19°
Siendo 𝜶 un ángulo agudo, además: 𝐭𝐚𝐧𝛂 = 𝟏𝟓,
calcula : 𝐬𝐞𝐧𝟑𝜶
Del dato: 15 15
𝑡𝑎𝑛𝛼 = Obtenemos que: 𝑠𝑒𝑛𝛼 =
1 4
𝑐. 𝑜. 15 Nos piden: sen3α = 3𝑠𝑒𝑛𝛼 − 4sen3 α
=
𝑐. 𝑎. 1
Factorizando: 𝑠𝑒𝑛3𝛼 = 𝑠𝑒𝑛𝛼(3 − 4𝑠𝑒𝑛2 𝛼)
2
15 15
𝑠𝑒𝑛3𝛼 = 3−4
4 4
4 15 15
15 𝑠𝑒𝑛3𝛼 = 3−
4 4
15 3
𝑠𝑒𝑛3𝛼 = −
𝛼 4 4
1
3 15
∴ 𝑠𝑒𝑛3𝛼 = −
16
Señale un valor agudo de 𝜶 que cumpla:
𝒔𝒆𝒏𝟑𝜶 𝒄𝒐𝒔𝟑𝜶
+ =𝟐 𝟑
𝒔𝒆𝒏𝜶 𝒄𝒐𝒔𝜶
En el dato: 𝑠𝑒𝑛3𝛼 + 𝑐𝑜𝑠3𝛼 = 2 3

𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼
Aplicaremos:
𝒔𝒆𝒏𝜶(𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 + 𝟏) 𝒄𝒐𝒔𝜶(𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 − 𝟏)
+ =2 3
𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼
Queda: 3
2𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 1 + 2𝑐𝑜𝑠2𝛼 − 1 = 2 3 𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 2𝛼 = 30° → 𝛼 = 15°
2
Reduce la expresión:
𝒔𝒆𝒏𝟑 𝜶 + 𝒔𝒆𝒏𝟑𝜶
𝑬=
𝒄𝒐𝒔𝟑 𝜶 − 𝒄𝒐𝒔𝟑𝜶
Aplicando:
𝑠𝑒𝑛3 𝛼 + 𝟑𝒔𝒆𝒏𝜶 − 𝟒𝒔𝒆𝒏𝟑 𝜶 3𝑠𝑒𝑛𝛼. 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜶
𝐸= 𝐸=
𝑐𝑜𝑠 3 𝛼 − (𝟒𝒄𝒐𝒔𝟑 𝜶 − 𝟑𝒄𝒐𝒔𝜶) 3𝑐𝑜𝑠𝛼. 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝛼
𝟑𝒔𝒆𝒏𝜶 − 𝟑𝒔𝒆𝒏𝟑 𝜶 𝑐𝑜𝑠𝛼

𝐸= 𝐸=
𝑐𝑜𝑠 3 𝛼 − 𝟒𝒄𝒐𝒔𝟑 𝜶 + 𝟑𝒄𝒐𝒔𝜶 𝑠𝑒𝑛𝛼
3𝑠𝑒𝑛𝛼 − 3𝑠𝑒𝑛3 𝛼
𝐸= ∴ 𝐸 = 𝑐𝑜𝑡𝛼
3𝑐𝑜𝑠𝛼 − 3𝑐𝑜𝑠 3 𝛼
Factorizando:
3𝑠𝑒𝑛𝛼(1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝛼)
𝐸=
3𝑐𝑜𝑠𝛼(1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼)

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Como 270° < 𝛼 < 360° 𝛼 13

𝐸 = 𝑐𝑠𝑐30° + 𝑐𝑠𝑐60° + 𝑐𝑠𝑐120° + 𝑐𝑠𝑐240° + 𝑐𝑡𝑔240°

𝐸 = 𝑐𝑠𝑐30° + 𝑐𝑠𝑐60° + 𝑐𝑠𝑐120° + 𝑐𝑡𝑔120°

E=𝑐𝑠𝑐30° + 𝑐𝑠𝑐60° + 𝑐𝑡𝑔60°

Ejemplos: 𝟒𝒄𝒐𝒔𝟑 𝜶 = 𝟑𝒄𝒐𝒔𝜶 + 𝒄𝒐𝒔𝟑𝜶

❖ Tangente de 3: 𝟑𝐭𝐚𝐧𝜶 ⎯ 𝐭𝐚𝐧𝟑 𝛂

En el dato: 𝑠𝑒𝑛3𝛼 + 𝑐𝑜𝑠3𝛼 = 2 3

𝟑𝒔𝒆𝒏𝜶 − 𝟑𝒔𝒆𝒏𝟑 𝜶 𝑐𝑜𝑠𝛼

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