CMO DESARROLLAR EL PENSAMIENTO MATEMTICO DE LOS ESTUDIANTES: DEL APRENDIZAJE A LAS COMPETENCIAS

Dr. Ricardo Cantoral Uriza

La Matemtica Educativa
Es una disciplina acadmica que busca democratizar el aprendizaje de las matemticas. Cmo lograr que disfruten y entiendan las matemticas la mayora de los estudiantes de una clase?, cmo hacerlo al nivel de la ciudadana?

Pregunta fundamental
Existe una manera matemtica de pensar que pueda ser difundida socialmente? cmo?
ALGUNOS EJEMPLOS:

La cuestin terica
4

Cmo construimos nuestros sistemas conceptuales?

Cmo los institucionalizamos? La naturaleza del saber Las funciones normativa, discursiva y pragmtica de la prctica social Bsqueda de articulaciones terica entre nociones y mecanismos

Respuesta contempornea en tres planos:

El sistema didctico contextual

5

Contexto social. p
Institucional, histrica y culturalmente situado

Mirada sistmica
Matemtica Educativa contempornea
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Prctica Social:
Aquello que regula las actividades y las prcticas relativas a la construccin de conocimiento matemtico epistemolgica

social

cognitiva

didctica

Articulaciones tericas, G. Montiel

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Construccin social del conocimiento Articulando prcticas

PRCTICA SOCIAL
PRCTICA DE REFERENCIA ACTIVIDAD ACTIVIDAD ACTIVIDAD
P. R. A A A P. R. A A A

Tendencias de cambio en ME
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Programa Clsico

Programa emergente

Racionalidad universal Currculum fijo Basado en objetos Discurso matemtico escolar Fijo Reificacin como norma Centrada en el sujeto

Racionalidad contextual Currculum flexible Basado en prcticas Rediseo del discurso matemtico escolar Prctica social como norma Centrada en instituciones

La Ciencia en las Calles

Programa del Instituto de Ciencia y Tecnologa del Distrito Federal - Mxico

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Programa de Ni@s Talento

Programa organizado por el DIF DF, la SE DF, ICyT DF, Consejo de Nios Talento, Cinvestav, AMC, UNAM, IPN, UAM, SC DF, Sogem, INJUVE DF, ID DF

Matemtica escolar: electivdad

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12

Rendimiento en matemticas. OCDE PISA 2006

La ubicacin no muestra el nivel de comprensin en matemticas, da una idea del funcionamiento del sistema educativo con relacin a un cierto tipo de tareas

Gnero y niveles de logro 3

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Niveles de logro 3 de primaria

14

Niveles de logro 3. Los baos

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Estudio regional en Amrica Latina

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De aulas a aulas

De ros a ros

Aulas?

Educacin Bsica. M. Martnez

 7 + 8 = 14 ?
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Corrige la afirmacin siguiente: 7 + 8 = 14

6 + 8 = 14 7 + 7 = 14 7 + 8 = 15 7 + 8 14

Test : profesores de matemticas

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Preguntas a profesores

Estrategias recurrentes

Encuentra una funcin cuya grfica tenga a los puntos (1, 0) y (2, 1). Construye una funcin que contenga los puntos (0, 0), (1, 2) y (4, 0). Encuentra otra funcin con esos puntos.

Trazan una lnea recta por esos puntos para determinar su ecuacin. Encuentran la ecuacin de la parbola para los puntos dados. Slo 1 de 50 profesores respondi.

Ejemplos

1 x

9 10n

Es f una funcin continua, si es respectivamente

1/x,

1/x2, lnx, 1/lnx, x+1, ?

Es igual o menor que 1, la expresin siguiente?

0.9

+ 0.09 + 0.009 + 0.0009 + = 0.999 =

No

basta con conocer las respuestas que los alumnos producen ante una tarea especfica, sino que se precisa del conocimiento de las condiciones de produccin de dichas respuestas. Tesis # 1

Un ejemplo de gestin de clase

Ingeniera R. Pulido

Problema: Sea V = ax2 + ay2 az2 el potencial elctrico con a constante. Encuentra el campo elctrico y el valor de a para que el Trabajo W de llevar una carga q de 2 C del punto (0, 0, 2) al punto (0, 0, 0) sea de 5 105 J. Profesor: Cul es el Trabajo? Estudiante: W = F D Prof.: Pero, ... no es un producto cruz... Est.: Entonces W = F D

Ayer, hoy y ojal no maana

Prof.: Pero la D... Es grandota?, acurdate que es una integral Est.: Ah, s!, W = F d Prof.: Pero se necesita el diferencial de longitud no? Est.: S claro!, W = F ddl Prof.: Qutale una d y usa vectores Est.: W = F dl

26

Cmo aprenden las personas?

Debate sobre conocimiento y saber. De la racionalidad a la experiencia. Inferencias vlidas, inferencias plausibles, inferencias contextualizadas.

27

La racionalidad
Los estudios empricos de la psicologa experimental han sealado que es cuestionable el concepto tradicional de la racionalidad, segn el cual, ser racional reside nicamente en pensar y actuar de acuerdo con reglas abstractas y universalmente aplicables, como las reglas lgicas, probabilsticas, matemticas, ...

28

La racionalidad
En su lugar, una alternativa para entender la racionalidad, ha sido sugerida por muchos filsofos y psiclogos. sta insiste en que debemos entender los principios normativos del razonamiento dentro de los contextos especficos bajo los que se realiza una inferencia.

Imagen estndar de la racionalidad

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El ser racional se identifica con la capacidad de realizar procesos inferenciales cuyo funcionamiento se realiza con base en principios normativos abstractos, tales como las reglas de la lgica, la teora de la probabilidad, los clculos matemticos, las reglas gramaticales ...

La tarea de seleccin
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el experimento presenta cuatro cartas marcadas: la primera con una E, la segunda con una C, la tercera con un 5 y la cuarta con un 4. Posteriormente se les explica que cada una de las cartas tiene de un lado un nmero y del otro una letra.

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Centracin en los objetos

This study introduces terms such as concept image and concept definition, but instead in relation to the conceptual image that has been created by means of their experience and which represents the entire cognitive structure associated with the concept that includes all the mental images, associated properties and procedures. (Tall & Vinner, 1981).

E
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4
Porcentaje de respuestas Cartas elegidas

Su tarea es determinar cules cartas tienen que voltear para probar la verdad de la frase: Si hay una vocal en un lado de la carta, entonces hay un nmero par en su otro lado. (Wason y Johnson-Laird, 1972: 182, Stein, 1996: 82).

5% 33 %

Ey5 E

46 % E y 4

Un ejemplo: Libros de texto

6. Trev
6.1.

Gr

Bir f fonksiyonunun grafii uzerinde P(a, f(a)) noktasi alalim. Eri zerinde diger bir nokta ise Q(a+h, f(a+h)) olsun. Burada h, Q ve P noktalarinin apsisleri arasindaki farktir. (ekil 6.1.1) P ve Q noktalarindan geen dorunun (kiriin) eimi. (Akdenis, et al., 1997, p. 133)

Derivada y lnea tangente

mPQ
Q(a+h, f(a+h))

f ( a + h) f ( a ) = h

P(a, f(a))

f ( a + h) f ( a ) m = lim h 0 h

ekil 6.1.1

DAlembert, 1748
Competencia Acadmie des Sciences Paris
l

Pn

P3 P2 P1

Qu significa el lmite P matemtico?

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Prctica Social
Even when I carry out mathematical work, etc., an activity which I can seldom conduct in direct association with other men I perform a social, because human, act. It is not only the material of my activity like the language itself which the thinker uses which is given to me as a social product. My own existence is a social activity. (Marx, 1845)

Cul fue la prctica social asociada a la cinemtica?

Calcular la distancia A a P, inaccessible

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x =d A'P' d '

A
B

Proporcionalidad La vara, O. Covin

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Construccin de vivienda

Construccin social de la inclinacin

5 nios y adolescentes, T. Nunhes

42

Examen informal vs examen formal

98.2% de los problemas de examen informal fueron resueltos correctamente. 36.8% de las operaciones en el examen formal fueron resueltos correctamente
3

Prcticas y nociones, G Cabaas

43

Figura 2. Aproximacin socioepistemolgica al estudio del rea

Prctica y gesticulacin, E Aparicio

44

45

Centracin en prcticas. J. Arrieta

Prctica Social, G Montiel

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Anticipacin

Prediccin

Formalizacin

Prctica de Referencia

Matematizacin de la Astronoma Esttico Proporcional

Matematizacin de la Fsica Dinmico Peridico

Matematizacin de la Transferencia del Calor Estable Analtico

Contexto Natural

Objeto Matemtico Asociado Variables en juego

Razn Trigonomtrica

Funcin Trigonomtrica

Serie Trigonomtrica

sen -longitud ngulos (grados)

sen x -distanciax tiempo (radian - real)

sen t -temperaturat tiempo (real)

Identificacin de genes, I. Tuyub

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ADN
Grficas experimentales Diseo de tablas Amplificacin de genes

47

47

Prctica de referencia, R. Farfn

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y
B

x
- / 2

A
/ 2

Prctica de referencia

Pesas y medidas, E. Sierra

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no hagis injusticia, ni en los juicios, ni en las medidas de longitud, ni en los pesos, ni en las medidas de capacidad. Tened balanzas justas, pesos justos, un ef justo y un hin justo.

Texto tipo de Clculo Diferencial

Qu es aprender?

Una situacin de aprendizaje

Situacin problema:

Docente:
Anlisis

a priori Conocimiento de obstculos de su aprendizaje Conocimiento de intencin didctica

Estudiantes:
Conflicto

Este es el dibujo de un rompecabezas con algunas medidas de sus partes. Hay que fabricar un rompecabezas que sea igual a ste, pero ms grande, de manera que un lado que en este mide 3cm, en el otro mida 5cm

cognitivo Confrontacin de estrategias Validacin consensual

En qu regin es f positiva
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ANLISIS: En este caso, los estudiantes usualmente recuerdan que los cuadrantes I, II, III y IV determinan los signos de la imagen: son positivos en los primeros dos y negativos en el resto. De modo que la respuesta es organizada sobre la base de los signos de referencia.

Dnde f(x) > 0?

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ANLISIS: los estudiantes confunden con frecuencia el signo de la derivada con el de la funcin; o recuerdan que la pendiente de la tangente determina el signo de la derivada as que saben que crecimiento indica derivada positiva. Este cambio de registro, de lo simblico a lo visual, es mucho ms complejo para los estudiantes y eso se observa en la proporcin de respuestas correctas.

Dnde f(x) > 0?

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ANLISIS. Esta es ms compleja. Requiere de progresivos niveles de abstraccin. El recurso dominante es la memoria, recuerdan que la segunda derivada corresponde con la concavidad hacia arriba y viceversa; pero no construyen argumentos de tipo variacional para esta cuestin

Dnde f(x) > 0?

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Esta cuestin plantea una verdadera situacin de aprendizaje, pues cambia las condiciones de partida significativamente. Esta dificultad crece con el orden de la variacin. Ningn estudiante ha podido resolver esta cuestin adecuadamente tampoco los profesores en su primer intento

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Dr. Ricardo Cantoral Uriza DME Cinvestav, IPN

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