Matemática, ¿estás ahí?.

Adrián Paenza

Distintos tipos de infinito

CONTAR
Un niño, desde muy pequeño, sabe contar. Pero ¿qué quiere decir contar? En realidad, dado un
conjunto de objetos cualquiera, digamos los discos que alguien tiene en su colección, ¿cómo hace para saber
cuántos tiene? La respuesta parece obvia (y en realidad, parece porque lo es). Pero quiero contestarla. La
respuesta es: para saber cuántos discos tiene uno en su colección, lo que tiene que hacer es ir y contarlos.
De acuerdo. Es un paso que había que dar. Pero ¿qué quiere decir contar? Van al sitio donde tienen
guardados los discos y empiezan: 1, 2, 3,… etcétera.
Pero:
a) Para poder contar se necesita conocer los números (en este caso, los números naturales).
b) Los números que usamos están ordenados, pero a nosotros el orden no nos interesa. ¿Se entiende
esto? A ustedes sólo les importa saber cuántos tienen y no en qué orden está cada uno. Si yo les
pidiera que los ordenaran por preferencia, entonces sí importaría el orden. Pero para saber cuántos
hay, el orden es irrelevante.
c) Ustedes saben que el proceso termina. Es decir, su colección de discos, por más grande que sea, en
algún momento se termina.
Ahora supongamos que estamos dentro de un cine. Todavía no ha llegado nadie para presenciar la
próxima función. Sabemos que hay mucha gente en la calle haciendo cola y esperando que se abran las
puertas.
¿Cómo haríamos para saber si las butacas que tiene el cine alcanzarán para poder sentar a las personas
que esperan afuera? O, en todo caso, ¿cómo haríamos para saber si hay más butacas que personas, o más
personas que butacas, o si hay la misma cantidad? Evidentemente, la respuesta inmediata que todo el mundo
está tentado a dar es: “Vea. Yo cuento las butacas que hay. Después cuento las personas. Y para terminar el
proceso, comparo los números”.
Pero eso requiere contar dos conjuntos. Es decir: hay que contar las butacas y luego (o antes) hay que
contar las personas.
¿Es necesario saber contar para poder contestar si hay más butacas que personas, o personas que
butacas o la misma cantidad? La respuesta que podríamos dar es la siguiente: abramos las puertas del cine,
permitamos a la gente que entre y se siente en el lugar que quiera, y cuando el proceso termine, repito,
cuando el proceso termine (ya que tanto las butacas como las personas son conjuntos finitos), nos fijamos si
quedan butacas vacías; eso significa que había más butacas que personas. Si hay gente parada sin asiento (no
se permite más de un asiento por persona), entonces había más gente que lugar. Y si no sobra ninguna butaca
y nadie está parado, eso quiere decir que había el mismo número de butacas que de personas. Pero lo notable
de esto es que uno puede dar la respuesta sin necesidad de haber contado. Sin necesidad de saber cuál es ni
el número de personas ni el número de butacas.
Éste no es un dato menor en este contexto: lo que uno está haciendo es aparear a los dos conjuntos. Es
como si tuviéramos dos bolsas: una en donde están las personas y otra en donde están las butacas. Y lo que
hacemos es trazar “flechitas” que le “asignen” a cada persona una butaca. Sería el equivalente a cuando uno
compra una entrada en el cine. Si sobran entradas o si faltan entradas o si hay la misma cantidad, es en
realidad una manera de haber trazado las flechitas. Pero lo bueno de este proceso es que no hace falta
saber contar.
El segundo paso importante es que cuando yo quiera comparar el número de elementos de dos conjuntos,
no necesito saber contar. Lo que tengo que hacer es aparearlos, establecer flechitas entre uno y otro.
Sólo para ponernos de acuerdo con las notaciones, vamos a llamar cardinal de un conjunto A (y lo vamos
a notar #(A)) al número de elementos de ese conjunto.
Por ejemplo,
• (el cardinal del conjunto “jugadores titulares de un equipo de fútbol profesional”) = # {jugadores titulares
de un equipo de fútbol profesional} = 11,
• (el cardinal del conjunto “presidentes de la nación”) = # {presidentes de la nación} = 1,
• (el cardinal del conjunto “universidades nacionales en la argentina”) = # {universidades nacionales en la
argentina} = 36,
• (el cardinal del conjunto “puntos cardinales”) = # {puntos cardinales} = 4.

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Como hemos visto, si queremos comparar los cardinales de dos conjuntos no hace falta saber el cardinal
de cada uno para saber cuál es el más grande o si son iguales. Basta con aparear los elementos de cada uno.
Debe quedar claro, entonces, que para comparar cardinales uno se libera del proceso de contar. Y esto será
muy importante cuando tengamos que “generalizar” la noción de contar, justamente.
Una última observación antes de pasar a los conjuntos infinitos. Los números naturales son los conocidos e
hipermencionados en este libro:
N = {1, 2, 3 ,4, 5… }

Vamos a llamar segmento de los naturales de longitud n al subconjunto {1, 2, 3,…, (n-2), (n-1), n}. A este
segmento lo vamos a denotar [1, n]
Por ejemplo, el segmento natural de longitud cinco,
[1, 5] = {1, 2, 3, 4, 5}
[1, 35] = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…, 30, 31, 32, 33, 34, 35}
[1, 2] = {1, 2}
[1, 1] = {1}
Creo que se entiende entonces que todos estos “segmentos naturales” o “segmentos de números naturales”
comienzan con el número uno; la definición entonces es:
[1, n] = {1, 2, 3, 4, 5,…, (n-3), (n-2), (n-1), n}.
En realidad podemos decir que contar los elementos de un conjunto finito significa “aparear” o
coordinar o “poner las flechitas” entre los elementos del conjunto que nos dieron y algún segmento natural.
Dependiendo del n vamos a decir que el conjunto tiene cardinal n. O, lo que es lo mismo, vamos a decir que el
conjunto tiene n elementos.

Una vez entendido esto, ya sabemos entonces lo que son los conjuntos finitos. Lo bueno es que
también podemos aprovecharnos de esta definición para entender lo que significa un conjunto infinito.
¿Qué definición dar? Intuitivamente, y antes de que yo escriba una definición tentativa, piensen un instante:
¿cuándo dirían que un conjunto es infinito? Y por otro lado, cuando piensan en esa definición, ¿en qué
conjunto piensan?, ¿qué ejemplo tienen a mano?

La definición que voy a dar de conjunto infinito les va a parecer sorprendente, pero lo curioso es que
es la más obvia: vamos a decir que un conjunto es infinito si no es finito. ¿Qué quiere decir esto? Que si nos
dan un conjunto A y nos piden que decidamos si es finito o infinito, lo que uno tiene que tratar de hacer es
buscar un segmento natural para coordinarlo o aparearlo con él. Si uno encuentra algún número natural n, de
manera tal que el segmento [1, n] y el conjunto A se pueden aparear, uno tiene la respuesta: el conjunto es
finito. Pero, si por más que uno trate, no puede encontrar el tal segmento natural, o lo que es lo mismo,
cualquier segmento natural que uno busca siempre se queda corto, entonces es porque el conjunto A es
infinito.
Ejemplos de conjuntos infinitos:
a) Los números naturales (todos)
b) Los números pares
c) Los números múltiplos de cinco
d) Los puntos de un segmento
e) Los puntos de un triángulo
f) Los números que no son múltiplos de 7.
Los invito a que busquen otros ejemplos.

Hablemos ahora un poco de los conjuntos infinitos. En este mismo libro hay varios ejemplos (hotel de
Hilbert, cantidad y distribución de los números de primos) que atentan contra la intuición. Y eso es
maravilloso: la intuición, como cualquier otra cosa, se desarrolla, se mejora. Uno intuye distinto cuanto más
datos tiene. Cuanto más acostumbrado está a pensar en cosas diferentes, mejor se prepara para tener ideas
nuevas.
Agárrense fuerte entonces, porque empezamos ahora un viaje por el mundo de los conjuntos
infinitos. Abróchense el cinturón y prepárense para pensar distinto.

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Unos párrafos más arriba vimos cómo hacer para decidir cuál de dos conjuntos tiene más elementos
(o si tienen el mismo cardinal). Decimos, para fijar las ideas, que dos conjuntos son coordinables si tienen el
mismo cardinal. O sea, si tienen el mismo número de elementos. Como vimos, ya no necesitamos contar en el
sentido clásico. Por ejemplo, el conjunto de todos los números naturales sabemos que es un conjunto infinito.
¿Qué pasará con los números pares? Les propongo que hagan el ejercicio de demostrar que también son
infinitos, o lo que es lo mismo, los números pares son un conjunto infinito.

Pero la pregunta cuya respuesta parece atentar contra la intuición es la siguiente: si N son todos los
números y P son los números pares, ¿en qué conjunto hay más elementos? Yo sé que esto invita a una
respuesta inmediata (todos los números tienen que ser más, porque los números pares están contenidos
entre todos). Pero esta respuesta está basada en algo que no sabemos más si es cierto para conjuntos
infinitos: ¿es verdad que por el simple hecho de que los pares forman parte de todos los números entonces
son menos? ¿Por qué no tratamos de ver si podemos usar lo que aprendimos en el ejemplo de las butacas y
las personas? ¿Qué habría que hacer? Deberíamos tratar de coordinar o aparear o unir con flechitas a todos
los números y a los números pares. Eso nos va a dar la respuesta correcta.
Veamos. De un lado, en una bolsa, están todos los números naturales, los que forman el conjunto N.
Del otro lado, en otra bolsa, están los números pares, los que forman el conjunto P.
Si yo hago la siguiente asignación (teniendo en cuenta que a la izquierda están los números del conjunto N y
a la derecha, los elementos del conjunto P):
1↔2
2↔4
3↔6
4↔8
5 ↔ 10
6 ↔ 12
7 ↔ 14
(¿Entienden lo que estoy haciendo? Estamos asignando a cada número de N un número de P)
Es decir, a cada número de la izquierda, le hacemos corresponder su doble. Si siguiéramos así, al
número n le hacemos corresponder el número 2n. Por ejemplo, al número 103 le corresponde el 206. Al
número 1.751, le corresponde el 3.502, etcétera.
Ahora bien: ¿está claro que a todo número de la izquierda le corresponde un número de la derecha?
¿Y que cada número de la derecha es par? ¿Y está claro también que a cada número par (de la derecha) le
corresponde un número de la izquierda (justamente la mitad)? ¿Queda claro que hay una correspondencia
biunívoca o una coordinación entre ambos conjuntos? ¿Queda claro que este proceso muestra que hay la
misma cantidad de números naturales que de números pares? Esta afirmación es algo que en principio atenta
contra la intuición. Pero es así. Liberados del problema de tener que contar, ya que en este caso no
podríamos hacerlo porque el proceso no terminaría nunca en la medida en que los conjuntos son infinitos, lo
que acabamos de hacer es mostrar que N y P son coordinables. O sea, que tienen el mismo número de
elementos.
En el camino queda destruido un argumento que sólo es válido para conjuntos finitos: aunque un
conjunto esté contenido en otro, eso no significa que por eso tenga menos elementos. Para conjuntos
infinitos, eso no necesariamente es cierto, como acabamos de ver en el ejemplo de todos los números y los
números pares.
Éste es ya un juguete nuevo. Con esto podemos divertirnos un rato y empezar a preguntar: ¿y los
impares? Bueno, supongo que cualquiera que haya seguido el argumento de los párrafos anteriores está en
condiciones de decir que también hay tantos impares como números todos. Y por supuesto que hay tantos
impares como pares.

A esta altura, conviene que diga que al cardinal de estos conjuntos infinitos que vimos hasta acá
(naturales, pares, impares), se lo llama “aleph cero”. (Aleph es la primera letra del alfabeto hebreo, y aleph
cero es la notación que se usa universalmente para indicar el número de elementos de conjuntos infinitos
coordinables con el conjunto de los números naturales).

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¿Qué pasará ahora si consideramos los números enteros? Recuerden que los números enteros son
todos los naturales, pero a los que se les agregan el cero y todos los números negativos. A los enteros se los
denomina con la letra Z (del alemán Zahl) y son:
Z = {… -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
Está claro, entonces, que los enteros forman un conjunto infinito. De paso, es bueno observar que si
un conjunto contiene como subconjunto a un conjunto infinito, éste tiene que ser infinito también (¿no les
dan ganas de pensarlo solos?).
Pero volvamos al problema original. ¿Qué pasa con Z? Es decir, ¿qué pasa con los enteros? ¿Son más
que los naturales?
Para mostrar que el cardinal de ambos conjuntos es el mismo, lo que tenemos que hacer es encontrar
una correspondencia biunívoca (es decir, flechitas que salgan de un conjunto y lleguen al otro sin dejar
“libre” ningún elemento de ninguno de los dos conjuntos).
Hagamos las siguientes asignaciones:
Al 0 le asignamos el 1
Al -1 le asignamos el 2
Al +1 le asignamos el 3
Al -2 le asignamos el 4
Al +2 le asignamos el 5
Al -3 le asignamos el 6
Al +3 le asignamos el 7

Y así podremos asignarle a cada número entero un número natural. Está claro que no quedará ningún entero
sin que le corresponda un natural, ni recíprocamente, ningún natural sin que tenga un entero asignado a su
vez. Es decir, hemos comprobado con esto que el conjunto Z de los números enteros y el conjunto N de los
números naturales tienen el mismo cardinal. Ambos tienen cardinal aleph cero. Es decir, los enteros y
naturales tienen la misma cantidad de elementos.

Como ejercicio, los invito a que prueben que también tienen cardinal aleph cero (y por lo tanto tienen
la misma cantidad de elementos que los enteros o los naturales) los números múltiplos de cinco, las potencias
de dos, de tres, etcétera. Si llegaron hasta acá y todavía están interesados, no dejen de pensar los distintos
casos y cómo encontrar la correspondencia que demuestra que todos estos conjuntos (aunque parezca que
no) tienen todos el mismo cardinal.

Ahora peguemos un pequeño salto de calidad. Consideremos los números racionales, que llevan el
nombre de Q (por “quotient”, o “cociente” en inglés). Un número se llama racional si es el cociente de dos
números enteros: a/b (excluyendo el caso, obviamente, en que b sea cero). Ya sabemos, como hemos visto en
otra parte del libro, que no se puede dividir por cero.

En realidad, los números racionales son los que se conocen como “las fracciones”, con numerador y
denominador números enteros. Por ejemplo, (-7/3), (17/5), (1/2), 7, son números racionales. Es interesante
notar, que cualquier número entero es también un número racional, porque todo número entero a se puede
escribir como una fracción o como cociente de él mismo por 1. O sea:

a = a/1

Lo interesante es tratar de ver que, aunque parezcan muchísimos más, los racionales también tienen
a aleph cero como cardinal. O sea, también son coordinables con los naturales. Así, en el lenguaje común (que
es el útil), hay tantos racionales como naturales.

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La demostración es interesante porque lo que vamos a hacer es una asignación que irá en espiral. Ya
se va a entender. Hacemos así:
Al 0 le asignamos el 1
Al 1/1 le asignamos el 2
Al 1/2 le asignamos el 3
Al 2/2 le asignamos el 4
Al 2/1 le asignamos el 5
Al 3/1 le asignamos el 6
Al 3/2 le asignamos el 7
Al 3/3 le asignamos el 8
Al 2/3 le asignamos el 9
Al 1/3 le asignamos el 10
Al 1/4 le asignamos el 11
Al 2/4 le asignamos el 12
Al 3/4 le asignamos el 13
Al 4/4 le asignamos el 14
…
Como se ve, a cada número racional no negativo (o sea, mayor o igual que cero) le asignamos un
número natural. Esta asignación es biunívoca, en el sentido de que a todo racional le corresponde un natural y
viceversa. La única observación que habría que considerar es que hice todo esto para los racionales positivos.
Si uno quiere agregar los negativos, la asignación debe ser diferente, pero creo que el lector sabrá
ingeniarse para hacerla (en todo caso, en la página de soluciones hay una propuesta para hacerlo).
Una observación que surge es que en la columna de la izquierda yo estoy pasando varias veces por el
mismo número. Por ejemplo, el 1 en la columna de la izquierda aparece como 1/1, 2/2, 3/3, 4/4, etcétera; o
sea, aparece muchas veces. ¿Afecta esto la cardinalidad? Al contrario. En todo caso, si uno tiene que
conjeturar algo a priori, es que el conjunto de los racionales parece tener más elementos que los naturales y,
sin embargo, la asignación que acabo de ofrecer muestra que tienen el mismo cardinal. En todo caso, muestra
que a pesar de repetir varias veces el mismo racional, sigue habiendo naturales para todos ellos. Lo cual es
un hecho francamente notable y antiintuitivo.

Y ahora llegamos al punto central. La pregunta que uno tiene que hacerse es la siguiente: da la
sensación de que todos los conjuntos infinitos tienen el mismo cardinal. Es decir, hemos revisado los
naturales, los pares, los impares, los enteros, los racionales, etcétera. Todos los ejemplos que hemos visto
de conjuntos infinitos resultaron ser coordinables a los naturales, o lo que es lo mismo, tienen todos el
mismo cardinal: aleph cero.

Con todo derecho, entonces, uno podría decir: “Bueno. Ya sabemos cuáles son los conjuntos infinitos.
Habrá muchos o pocos, pero todos tienen el mismo cardinal”. Y aquí es donde aparece un punto central en la
teoría de conjuntos. Hubo un señor que hace muchos años, alrededor de 1880, se tropezó con un problema.
Tratando de demostrar que todos los conjuntos infinitos tenían el mismo cardinal, encontró uno que no. El
señor, por más esfuerzos que hacía por encontrar “las flechitas” para poder coordinar su conjunto con los
números naturales, no podía. Tal era su desesperación que en un momento cambió de idea (e hizo algo genial,
claro, porque tuvo una idea maravillosa) y pensó: “¿y si no puedo encontrar las flechitas porque no es posible
encontrarlas? ¿No será preferible que trate de demostrar que no se pueden encontrar las flechitas porque
no existen?”.
Este señor se llamó Georg Cantor. Van a encontrar una breve reseña biográfica de él en otra parte
del libro, pero al margen de lo que allí diga, a Cantor lo volvieron loco. La comunidad científica especialista en
el tema lo enloqueció, literalmente.
Cuando Cantor descubrió que había infinitos más grandes que otros, dijo: “Lo veo y no lo creo”.
Pero ¿qué es lo que hizo Cantor? Para entenderlo, necesito recordar aquí por un momento qué es el
desarrollo decimal de un número (sin entrar en demasiados detalles). Por ejemplo, cuando definí los números
racionales, digamos el número 1/2, quedó claro que este número también se puede escribir así:
1/2 = 0,5

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Y agrego otros ejemplos:
1/3 = 0,33333…
7/3 = 2,33333…
15/18 = 0,8333…
37/49 = 0,75510204…
Es decir, cada número racional tiene un desarrollo decimal (que se obtiene, justamente, haciendo el
cociente entre los dos números enteros). Lo que sabemos de los números racionales es que al hacer el
cociente, el desarrollo decimal es, o bien finito (como en el caso de 1/2 = 0,5, porque después vendrían sólo
ceros a la derecha de la coma), o bien es periódico, como 1/3 = 0,33333…, en donde se repite un número (en
este caso el 3), o podría ser un conjunto de números (que se llama período), como en el caso de (17/99) =
0,17171717… en donde el período es 17, o bien, en el caso de (1743/9900) = 0,176060606… en donde el
período es 60.
Es más: podemos decir que todo número racional tiene un desarrollo decimal finito o periódico. Y al
revés: dado un desarrollo decimal finito o periódico cualquiera, eso corresponde a un único número racional.
A esta altura, yo creo que puedo suponer que los lectores entienden lo que es el desarrollo decimal.
Con todo, hay números que no son racionales. Son números que tienen un desarrollo decimal pero que
se sabe que no son racionales. El ejemplo más famoso es π (pi). Se sabe (no lo voy a probar aquí) que π no es
un número racional. Si siguen interesados en más ejemplos, en este mismo libro está la demostración que
“enloqueció” a los pitagóricos de que “la raíz cuadrada de 2” ( 2) no es racional. Y por otro lado, por allí
también anda el número e, que tampoco es racional.
Ustedes saben que el número π tiene un desarrollo decimal que empieza así:
π = 3,14159…
El número √2 tiene un desarrollo decimal que empieza así:
2 = 1,41421356…
El número e tiene un desarrollo decimal que empieza así:
e = 2,71828183…
La particularidad que tienen todos estos números es que tienen un desarrollo decimal que no termina
nunca (en el sentido de que no aparecen ceros a la derecha de la coma a partir de ningún momento) y
tampoco son periódicos (en el sentido de que no hay un lugar del desarrollo a partir del cual se repita
indefinidamente un segmento de números). Estos dos hechos están garantizados porque los números en
cuestión no son racionales. Es más: las cifras de cada número son imposibles de predecir en función de las
anteriores. No siguen ningún patrón.
Creo que se entiende entonces cuáles son esta clase de números. Más aún: todo número real que no
sea racional se llama irracional. Los tres ejemplos que acabo de poner son tres números irracionales.
Cantor propuso entonces: “voy a probar que hay un conjunto infinito que no se puede coordinar con los
naturales”. Y para eso, siguió diciendo: “el conjunto que voy a tomar es el de todos los números reales que
están en el segmento [0,1]”.
Un momento: tomen una recta, marquen un punto cualquiera y llámenlo cero. Los puntos que están a la
derecha se llaman positivos y los que están a la izquierda se llaman negativos.

NEGATIVOS CERO POSITIVOS

Cada punto de la recta corresponde a una distancia del cero. Ahora marquen un punto cualquiera más
a la derecha del cero. Ése va a ser el número 1 para ustedes. A partir de allí, uno puede construir los
números reales. Cualquier otro punto de la recta está a una distancia del cero que está medida por la
longitud del segmento que va desde el cero hasta el punto que usted eligió. Ese punto es un número real. Si
está a la derecha del cero, es un número real positivo. Si está a la izquierda, es un número real negativo. Por
ejemplo el 1/2 es el punto que está a la mitad de la distancia de la que usted marcó como 1. El (4/5) está a
cuatro quintas partes del cero (es como haber partido el segmento que va desde el 0 hasta el 1 en cinco
partes iguales, y uno se queda con el punto que queda al elegir las primeras cuatro).

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Está claro, entonces, que a cada punto del segmento que va entre el 0 y el 1, le corresponde un
número real. Ese número real, puede ser racional o irracional. Por ejemplo, el número ( 2- 1) =
0.41421356…. es un número irracional que está en ese segmento. El número (π/4), también. Lo mismo que el
número (e - 2).
Cantor tomó entonces el segmento [0,1]. Son todos los números reales del segmento unitario. Este conjunto
es un conjunto infinito de puntos. Piénsenlo así: tomen el 1, dividan al segmento por la mitad: tienen el 1/2.
Divídanlo ahora por la mitad: tienen el número (1/4). Divídanlo por la mitad: tienen el (1/8). Como se
advierte, dividiendo por la mitad cada vez, uno obtiene siempre un punto que está en la mitad de la distancia
del que tenía antes. Eso va generando una sucesión infinita de puntos: (1/2n), todos los cuales están en el
segmento [0,1].
Falta poco. Cantor dijo entonces: “voy a suponer que este conjunto (segmento unitario) se puede
coordinar con los naturales”. O sea, supuso que tenían el mismo cardinal. Si esto fuera cierto, entonces
debería haber una asignación (o lo que llamamos “las flechitas”) entre los elementos del segmento [0,1] y los
números naturales. Resultaría posible, como en los ejemplos anteriores, que podríamos poner en una lista a
todos los elementos del segmento [0,1].
Y eso hizo:
1→ 0, a11 a12 a13 a14 a15 a16…
2→ 0, a 21 a 22 a 23 a24 a25 a26…
3→ 0, a31 a32 a33 a34 a35 a36…
4→ 0, a41 a42 a43 a44 a45 a46…
..........
n→ 0, an1 an2 an3 an4 an5 an6…

En este caso, lo que representan los distintos símbolos de la forma apq, son los dígitos del desarrollo de cada
número. Por ejemplo, supongamos que éstos son los desarrollos decimales de los primeros números de la
lista:
1→ 0,783798099937…
2→ 0,523787123478…
3→ 0,528734340002…
4→ 0,001732845…
Es decir,
0, a11 a12 a13 a14 a15 a16… = 0,783798099937…
0, a21 a22 a23 a24 a25 a26… = 0,523787123478…
y así siguiendo.
O sea, lo que Cantor hizo fue suponer que existe una manera de “poner flechitas”, o de hacer
“asignaciones”, de manera tal que todos los números reales del segmento [0,1] estuvieran coordinados con los
naturales.
Y ahora, la genialidad de Cantor: “voy a construir un número que está en el segmento [0,1], pero que no está
en la lista”.
Y lo fabricó así: se construyó el número
A = 0, b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 b8…
Uno sabe que este número está en el segmento [0,1], porque empieza con 0,…
¿Pero quiénes son las letras bk? Bueno, Cantor dijo:
Tomo
b1 de manera que sea un dígito diferente de a11
b2 de manera que sea un dígito diferente de a22
b3 de manera que sea un dígito diferente de a33
............…
bn de manera que sea un dígito diferente de ann
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De esta forma, tengo garantizado que el número A no está en la lista. ¿Por qué? No puede ser el primero de
b1 difiere de a11. No puede ser el segundo, porque el b2 difiere de a22. No puede ser el
la lista, porque el
tercero, porque el b3 difiere de a33. No puede ser el enésimo, porque el bn difiere de ann. Luego, Cantor se
fabricó un número real que está en el segmento [0,1] que no está en la lista. Y esto lo pudo construir
independientemente de cuál fuera la lista.
Es decir, si viene cualquier otra persona y le dice “yo tengo una lista diferente de la suya, y la mía sí
funciona y contiene todos los números reales del intervalo [0,1]”, Cantor puede aceptarle cualquier desafío,
porque él puede construir un número real que debería estar en la lista, pero que no puede estar.
Y eso culmina la demostración, porque prueba que si uno quiere hacer una correspondencia biunívoca
entre los números reales y los números naturales, va a fracasar. Cualquier lista que presuma de tenerlos a
todos pecará por dejar alguno afuera. Y no hay manera de arreglarlo.
Este método se conoce con el nombre de método diagonal de Cantor; fue uno de los saltos
cualitativos más importantes de la historia, en términos de los conjuntos infinitos. A partir de ese momento,
se supo entonces que había infinitos más grandes que otros.

La historia sigue y es muy profusa. Daría para escribir muchísimos libros sobre el tema (que de
hecho están escritos). Pero sólo para dejarnos a todos con un sabor bien dulce en la boca, quiero proponerles
pensar algunas cosas:
a) Supongamos que uno tiene un “dado” con diez caras y no seis, como los habituales. Cada cara tiene
anotado un dígito, del 0 al 9. Supongamos que uno empieza a tirar el dado hacia arriba. Y va anotando
el numerito que va saliendo. Empieza poniendo 0,… de manera que el resultado termine siendo un
número real del intervalo [0,1]. Piensen lo siguiente: para que el resultado sea un número racional, el
“dado” de diez caras tiene que empezar a repetirse a partir de un determinado momento, ya sea
porque da siempre cero, o bien porque repite un período. En cualquier caso, si no repite o no empieza
a dar cero constantemente, es porque dio un número irracional. Si repite o empieza a dar siempre
cero es racional. ¿Qué les parece que es más posible que pase? De las dos alternativas, ¿cuál les
parece más factible? Esto sirve para que intuitivamente advirtamos cuántos más son los irracionales
que los racionales.
b) Si uno tuviera una recta, y pudiera excluir los racionales, no se notarían virtualmente los agujeros.
En cambio, si excluyéramos a los irracionales, casi no se verían los puntos que quedan. Tanto más
grande en tamaño es el conjunto de los reales comparado con el de los naturales. (La palabra casi
está usada adrede, porque no es que no se verían los racionales sino que la idea que quiero dar es que
los irracionales son muchísimos más que los racionales).
c) Hay muchas preguntas para hacerse, pero la más inmediata es la siguiente: ¿es el conjunto de
números reales el que tiene infinito más grande? La respuesta es no. Uno puede construirse
conjuntos arbitrariamente grandes y con un cardinal infinito “más grande” que el anterior. Y este
proceso no termina nunca.
d) Otra dirección de pregunta podría ser la siguiente: vimos recién que los reales son más que los
naturales, pero ¿hay algún conjunto infinito que tenga cardinal más grande que el de los naturales y
más chico que el de los reales? Este problema es un problema abierto de la matemática, pero se
supone que no hay conjuntos infinitos en el medio. Sin embargo, la hipótesis del continuo dice que la
matemática seguirá siendo consistente, se pruebe que hay o no hay conjuntos con infinitos más
grandes que el de los naturales y más chicos que el de los reales.