School Work > Homework">
Capitulo de Optimizacion de Funciones e Integrales
Capitulo de Optimizacion de Funciones e Integrales
Capitulo de Optimizacion de Funciones e Integrales
TRABAJO DE MATEMTICAS 2
CURSO: CA 2- 5
ENERO 2013
1) Se dispone de 320 m de cerca, para encerrar un campo rectangular. Cmo debe usarse la cerca, para que el rea encerrada sea lo ms grande posible? DATOS Cerca Terreno 320m Rectangular
PERMETRO DEL RECTNGULO P= a + a +b +b P= (2a + 2b) P= f (x) 320 = 2a +2b 160 = a + b a = 160 + b
A= f (b) A= A' = 160 - 2b A''= -2 A'= 0 160 2b = 0 b = 80m Si A'' < 0 E M Si A'' > 0 E m Como A'' -2 < 0 a = (160 - b) a = 160 - 80 =a A=ab* 80m A= 80 m x 80 m EM
A= 6400
SOLUCIN GRAFICA A= b 0 40 50 60 70 80 90 100 A 0 4800 5500 6000 6300 6400 6300 6000
2) Un terreno rectangular va a cercarse, y a dividirse en tres partes iguales por dos cercas paralelas a uno de los lados. Si se va a usar un total de 800m de cerca. Encuentre las dimensiones del terreno para que su rea sea mxima
DATOS Terreno: Divisin: Cercas: Total de cerca: Condicin: Rectangular 3 partes iguales 2 cercas paralelas 800m Maximizacin
b 200 m a 100 m 1 6666,67 m^2 a 100m 2 6666,67 m^2 b 200 m a 100 m 3 6666,67 m^2 a 100 m
GENERACIN DE VARIABLES rea= Base x Altura A = a.b Permetro del Rectngulo P= a + a + a + a +b +b P= (4a + 2b) P= f (x) 800 = 2a + b a = (400-b)/2 a = 200 b/2 REEMPLAZAMOS EL VALOR DE A EN LA ECUACIN DEL REA A=a.b A= (200-b/2) b A= 200b b2/2 A=f (b) A' = 200 - 2b/2 A'= 200 b A''= -1 A'= 0 200 b = 0 b = 200m Si A'' < 0 E M Si A'' > 0 E m Como A'' -1 < 0 a = (400-b)/2 a = (400-200)/2 a = 100m
EM
A= b *a A= 200 m x 100 m A= 20000 rea total a cercarse A = 20000/3 A= 6666.67 El rea de cada lote es de 6666.66 m2 SOLUCIN GRFICA 6666.66 m2 El rea de cada lote es de b 0 40 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 A 0 7200 12800 15000 16800 18200 19200 19800 20000 19800 19200 18200 16800 15000 12800 10200 7200 3800
3) Una caja abierta se va a construir con un pedazo de cartn cuadrado de 42cm de lado, recortando un pequeo rectngulo de cada esquina y luego doblando las aletas para formar los lados. Cules son las dimensiones de la caja, que debe tener el volumen mximo? x x x x
42 2x
x x x
V = A.A V = (42-2x) (42-2x) x V = (42-2x) (42-2 V = 1764x 168 V=4 V' = 12 V' = 0 12 - 336x + 1764 = 0 - 28x +147 = 0 VOLMEN V=4 - 168 + 1764x - 168 ) +4 + 1764x
- 336x + 1764
X2 = 7cm
V'' = 168 336 V'' = -168 Si V'' < 0 E M Si V'' > 0 E m Como V'' 168 < 0 V'' SOLUCIN GRAFICA 1764x 168 x 0 3 5 7 9 11 13 14 +4 V 0 3888 4120 5488 5184 4400 3328 8400
EM
4) Una imprenta recibe un pedido para hacer un cartel rectangular, que contiene 60 de impresin rodeada por mrgenes de 3cm a cada lado y 4cm en la parte superior e inferior. Cules son las dimensiones del pedazo de papel ms pequeo que puede usarse para hacer el cartel? Y+6
4cm
X-8
3cm
60
3cm
X+8
4cm Y-6 GENERACIN DE VARIABLES rea= Base x Altura A = X.Y 60 = X.Y Y= A = f (x) A = (x+8) (y + 6) A = (x+8) ( A = 60 + 6x + A = 108 + 6x + A' = 6 ) + 48
A'= 0 6 =0 = 480 = = 80 x = 8.94 Y= Y = 6.71 X = 16.94 Y = 12.71 A = b*a A = (12.71) (16.94) A = 215.33 A = (8.94) (6.71) A = 59.99 A = b *a A = (8.94+8) (6.71+6) A = 215.33 SOLUCIN GRFICA A = 108 + 6x + x 0 5 7 9 11 15 17 A 0 234 218,57 216 217,63 230 215,33
5) El propietario de una licorera espera vender 800 botellas de un popular vino blanco. El costo del vino es de 0,85 ctvs. por botella, el derecho s de pedido son de $ 10,00 por despacho y el costo de almacenamiento de una botella durante todo el ao, es de 0,40 ctvs. El vino se consume a una tasa uniforme durante todo el ao y cada despacho llega penas se ha terminado el anterior. a) Cuantas botellas debe pedir el propietario en cada despacho, para bajar al mnimo sus costos. b) Con que frecuencia debe pedirse el vino c) Como cambiaran las respuestas de los literales anteriores, si el costo del vino aumento a 0,95 ctvs. DATOS Venta Costo del vino Costo del Pedido Costo de Almacenamiento 800 Botellas 0,85 ctvs. Por Botella $ 10 por Despacho 0,40 ctvs. /ao
GENERACIN DE VARIABLES X = Numero de botellas COSTO = COSTO DE VINO + COSTO DEL PEDIDO + COSTO DE ALMACENAMIENTO C = 0.85x + 0.40x + 10 ( C = f (x) C = 1.25x + C ' = 1.25 C '' = C'=0 1.25 = 1.25 = = 6400 X = 80 C '' > 0 Em. =0 )
6) Se ha pedido a un carpintero construir una caja abierta con una base cuadrada. Los lados de la caja costaran $3,00 por pie cuadrado y la base costara $4,00 por pie cuadrado. Cules son las dimensiones de la caja de volumen mximo que pueda construirse con $48,00? DATOS $48,00 $ 4,00 $ 3,00 Para construir Base por pie cuadrado Lados por pie cuadrado
Y X x : lado base y : altura base V = BASE*ALTURA Base = x2 V = f(x, y) COSTO = COSTO BASE + COSTO PAREDES C = x2 (4) + xy (3) C =4x2 + 3xy C = f(x, y) 48 = 4x2 + 3xy
V= x2((48-4x2)/3x) V= (48x 4x3)/3 V= 16x 4/3x3 V= f(x) V'= 160-4x2 V''=-8x V'=0
CONDICION Si V'' < 0 E M Si V'' > 0 E m Como V'' -2x < 0 16-4x2=0 4x2=16 x =2 x = 2 pies ( ) ( ) y= 5,33 C = 48 48 = 4x2 + 3xy 4x2 + 3xy 48 4(2)2 + 3(2)(5,33) 48 47.98<48 RESPUESTA.- La caja de volumen mximo puede construirse con $48,00. 7) Una librera puede obtener del editor de un libro, un libro a un costo de $ 3.00, la librera calcula que puede vender 200 ejemplares a un precio de $ 15.00 y que podr vender 10 ejemplares ms por cada reduccin de 0.50ctvs. A qu precio debe vender los libros, la librera para elevar al mximo su utilidad? DATOS Precio de compra $3,00 por libro
EM
Venta estimada
X = Numero de incremento T = nombre que se le da a la funcin T = (200 + 10x) (15 - 0,50x) T = 3000 100x + 150x 5x2 T = -5X2 + 50x + 3000 T'= - 10x + 50 T''= - 10 T'=0 -10x + 50 = 0 -10x = -50
Si T'' < 0 E M Si T'' > 0 E m Como T'' -10 < 0 EM SOLUCIN GRAFICA
X 0 4 8 12 16 20 5
8) Un alambre de 20cm de largo se corta en 2 pedazos. Uno de los pedazos se dobla para formar un circulo y el otro un cuadrado. a) Cul es el rea total que puede encerrase de esta manera (suma de las 2 areas)? b) El rea total puede tener hasta un tamao de 88
20cm
10cm
10cm
REA TOTAL
( ( )
( (
) ) ( )
9) Un estudiante ha hecho un contrato para producir 150 velas con la forma de una mascota de un colegio, planea comprar una cantidad de moldes de uso repetido para velas, en un taller mecnico a $ 3.00 cada uno y luego contratara a un trabajador al que le paga a $ 1.50 la hora, para que llene los moldes con cera. Se necesitan 3 horas para producir una sola vela con un molde a) Cuntos moldes debe comprar el estudiante para mantener sus costos en el menor nivel posible? b) Cunto dinero ganara el estudiante, si se usa el nmero ptimo de moldes?
DATOS Produccin Moldes Trabajador Tiempo 150 velas $ 3.00 c/u $ 1.50 Hora 3 horas
( )
C''= C'=0
x = 15 moldes
SOLUCIN GRAFICA
Cf(x) 234 130,5 102 92,25 90 91,5 95,14 x 3 6 9 12 15 18 21
10) Una compaa de buses alquila sus unidades solamente a un grupo de 40 0 ms personas. Si un grupo contiene exactamente, 40 personas a cada una se le cobra $ 60.00. Sin embargo al grupo ms grande, la tarifa se reduce a 0.50 ctvs. Por cada persona que pase de 40. Qu tamao de grupo producir, los mayores ingresos para la compaa de buses?
DATOS
GENERACION DE VARIABLES
SOLUCIN GRAFICA
X 20 30 40 50 60
11) El producto de 2 nmeros positivos es 128, el primero se suma al cuadrado del segundo. a) Qu tan pequea puede ser esta suma? b) Qu tan grande puede ser esta suma?
Em
REEMPLAZO
12) La funcin en dlares del costo promedio de un fabricante est dado por :
( )
C C
( (
)q
) )] [ ( )] ( )
[ (
q =50 [ ( [ ( )] ( )] )
) ( )
13) Para una empresa la produccin diaria en el da T est dado por: ( ) Encuentre la razn de cambio con respecto a q cuando t = 10 das. q = f (t) [ ( ( [ ( ( ( ) ( )] )
( )
] ) ( )
( ( (
) ) )
CORRECION DE LA PRUEBA
1) La funcin de la demanda para la lnea de lap - tops de una compaa de electrnica es: , donde p es el precio ($/unidad) cuando los consumidores demandan q unidades. Encontrar el nivel de produccin que maximizara el ingreso total del fabricante y determine este ingreso.
DATOS
( ) ( )
( )
2) Un muchacho est parado en una azotea y lanza una flecha directamente hacia arriba a una velocidad inicial de 85m/seg. La altura de la flecha en mt,t segundos sobre despus de que se lanzo se describe mediante la funcin ( ) Cul es la altura mxima alcanzada por la flecha? ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
RESPUESTA.- No existe
( (
( ) )( )
)( (
( )
REEMPLAZO ( ( ) ( ) )( )
SOLUCION GRAFICA
EJERCICIOS DE APLICACIN
FUNCIONES EXPLICITAS
1) ( ) ( )
))
X 0 1 2 -1 -2
Y 0 1 8 -1 -8
( ) ( ) ( )
TCNICAS DE INTEGRACIN
( )
CONSTANTE DE INTEGRACION
INTEGRAL DIRECTA
FORMULAS DE INTEGRACIN
1) 2) 3) 4)
EJERCICIOS:
( (
) )
Y =
3X dx -
12X dx +
12X dx
3X 3+1
12X 2+1
12X 1+1
+ C
3 X - 4X + 6X + C 4 2 3 X) + 3X 2
Y =
Y =
(3X+3X
) dX
Y =
3X dX
3X
dX
+1 Y = 3X 1+1 + 3X + C - 1/2+1 Y = 3X 2 + 3X + C
3 2 =
+ 6X
+ C
Y'
(3X-1)+ 6X (3X1)
9X-6X+18X-6X+1
Y =
(9X-6X+18X-6X+1) dx
27X dx
12x dx +
1 dx
27X 12x 3 2
+ X + C
= 9X - 6X + X + C
INTEGRAL DIRECTA
ARTIFICIO
ARTIFICIO
ARTIFICIO
( ) (
) ) ) [ ]
) (
) [( ) ]
(
) ( )
( ( )
) [
)(
) [(
[(
( ( )
)[
) ( )
) ( ( ) )
) ( )
y=
( )
y=
y= 15)
(
y =
)
dy = (
y= (
y=
y= 16) y= ( )
( ( )
) ( )
y= 2a
y= 2a
y= a
EJERCICIOS DE APLICACIN
y= ma ( ma ( ( ) ) )
( ) ) ( (
) ) ) (
(
)dt ( )
)
y= ma(
)(
y=
y= a
y=
y=6a
(6a [
( (
) ) ) ]
Y = *
) +
Y = 6a(
) (
Y = 6a(
Y = 6a(
y = a(
y=
y= - (
y= -
y= y= y= y= 2
y= 2 (
( ) dx 3
y=2
-3
+c
y=2
-3
+c
y=3
y=
y=
[(
)]
dy = *( y= (
) )
( (
)+dx )
y=
y=
y = -6
MTODO DE SUSTITUCIN
INDEFINIDAS
1) y= ( )
dy = f(x)dx y= 2) y = ( )
y = x(7+e) +c
4) y = (
y = ( )
y = ( )
) dx
y=
y=
5) y =
dx
y=
y= y = x+ y=x+
( )
6)
du=
) )
du= 2( 2
y = y=
y=
7) y= y= ( y= ( ) )
( )
( )
y=
2=
( )
C = +2
y=
y = (
y= (
( )
y =
-1 =
( )
( )
( )
-1 = C =-
y=
8) Y= 8X 4 ; y = ( )
( )
( )
y = 8 ( )
y = ( ) -4 x +c
( )
( )
( )
y= (
y=
y = (
y = (
y=
c=2
y=
10) Si el ingreso anual promedio y que a una persona de grupo humano con x aos de educacin puede esperar recibir al buscar un empleo ordinario, estimando que la razn a la que el ingreso cambia con respecto a la educacin est dada por
Donde y = 28720; x = 9
y = 100 ( )
y = 100
y = 40
+c
28720 = 40 (9)
C = 19000 y = 40 +19000
11)
La funcin del costo marginal para el producto de un fabricante esta dado por , el costo total esta dado en dlares ($), cuando se producen 100
unidades, el costo promedio es de $ 50.00 por unidad. Determinar el costo fijo del fabricante
C = ( C=
C = 50; q = 100 C= 50 =
( )
50 = 10(100) 100ln (100+10) + 5000 = 1000 470 = 4770 C = 10q+100ln (q+100) + 4470
EJERCICIOS DE APLICACION
1) ARTIFICIO u= du = =
dx
Y = 5 ( Y= Y= Y= ( (
) )
Y=
2) Se estima que dentro de x meses la poblacin de cierto pueblo cambiara a una razn de personas por mes. La poblacin actual es de 5000 personas. Cul ser la poblacin dentro de 9 meses? DATOS X = meses dp = ( P= ( P = ( P= P= P= P = f (x) P = 5000 5000 = 2(0) + 4( ) C = 5000 P= +C ) ) ) ( )
P= ( )
( )
P = 5126 PERSONAS 3) Un fabricante ha encontrado que el costo marginal es en dlares ($) por unida, cuando se ha producido q unidades del total de la produccin de las 2 primeras unidades es CT = 2 sobre unidades; $ 900.00 Cul es el costo total de produccin de las 5 primeras unidades?
( (
) )
( )
( )
4) Hallar la funcin f (x) cuya tangente tiene la pendiente valor de x y cuya recta pase por el punto (2,6)
, para cada
( (
) )
SOLUCIN GRAFICA
X 0 2 -2 -2
Y -4 6 -14 -1
INTEGRALES INDEFINIDAS
( ) ( )
f (x)
X a b h (x)
ENCONTRAR 1) ( * * + + *( ) ( ) ( ) + )
REGLAS DE INTEGRACION
1)
( )
( )
2) ( ( )
( ))
( )
( )
EJERCICIOS DE APLICACIN
1)
ARTIFICIO
* (
* (
)+
( [( (
) ) ) ( ) ]
2) [
) ] ( )
[ [ ( 3) y ( ( ) ) )
( (
) ] ) ( ) ( ) ]
[ ( [ y 4) ( [
)]
( ) ( )
] )
5) ( [ [ ( )
) ] ] ( [ ) ]
6)
, si
8) El valor presente ($) del fuljo continuo de $2000.00 al ao durante 5 aos al 6%, compuesto continuamente esta dado por la siguiente integral
( )
( )
] del eje
X 0 1 -1 -2 3
Y 2 5 1 1 17
COMPROBACION * +
( )+
( )+
( )+
( )+
AREA TOTAL
EJERCICIOS
1) Hallar el rea de la regin limitada por la recta vertical DATOS ; por el eje x y la recta
X 0 2
Y 0 4
[ ]
y el eje x
( )+
( )+
3) Halle el rea de la regin R en el primer cuadrante, que se encuentra bajo la curva y est limitada por la curva y las rectas y = x ; y = 0 ; x = 2 X 0 2 4 3 1 Y 0.5 0.25 0.33 1
[ ]
5) Dado que
( )
( )
6) Encontrar el rea de ( ) X 0 1 2 -1 Y 1 2 9 0
7) Encontrar el rea de ( ) X 0 1 4 9 16 Y 4 3 2 1 0
* ( )
* ( )
y la recta
)+
( )+
( ) ( )
ANEXOS DE TUTORIAS
INTEGRALES
( ( ) )
)[
)]
ARTIFICIO ( ( ( ) ) )
)]