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UNIDAD III. Calameo Mate
UNIDAD III. Calameo Mate
UNIDAD III. Calameo Mate
MXIMOS Y MINIMOS:
1. El municipio de la cuidad pretende construir un parqueadero en una va de alto transito el
parqueadero debe ser rectangular y tener 5000
m2
Ara=5000
Rectangular.
Dimensiones Mnima
Ancho: A
Largo: B
b=
5000
a
L= 2a +
L= f( a,b)
Mtodo de 1 , 2 D
1.- L= 2 +(-1) 5000
2
L = 2-5000
L= 0+10000
a2
a3 =
5000
a2
10000
3
a
2.- L= 0
2
A= 2-5000/ a
a2 =
5000
2
A= +- 50 m
3.- L =
a=5000/2
10000
a3
0L
5000
a
5000
=1000
50
4.-L=
A= 50m
B=100m
Concluciones:
Los dimensiones del cerramiento deben ser 50m de ancho y 100m de largo
TABLA
A
L
10
520
30
226.6
7
50
200
100
250
200
425
GRFICA
a=
2 b320
2
a=b+160
2. A=ab
A= ( b160 ) b
A=b2160 b
Mtodo de 1 , 2 D
a)
A ' =2 b+160
b)
c) A=0
0=2b160
2 b=160
b=80
d) A=0
a=( 80 )+ 160
a=80 m
b=80 m
Con tal longitud de cerca se puede encerrar una cerca de
80 x 80.
Tabla
b
a
GRFICA
o
o
160
0
80
6400
40
4800
120
4800
v =3000+50 x 5 x 2
a)
v ' =5010 x
b)
v =10
''
c)
X =5
descuento
El nuevo precio de venta para maximizar utilidades debe ser
$12.50
TABLA
V
3OOO
X
0
GRFICA
3125
5
3000
1O
2625
15
2000
20
radios und
dias
p=?
U=I C
U=(20 x)(x5)
1.
U ' =( 20x )( 1 ) + ( x5 ) ( 1 )
U ' =20x+ x +5
'
U =2 X +25
2.
1125
25
3.
U=0
2 x +25=0
x=
25
12
x=12.5
I =40x
2.
I =1 si I <0 I M
3.
I ' =0
''
''
40x=0
x=40
El tamao de grupo tiene que ser de 80 personas para producir ingresos enla compaia de buses
GRFICA
Costo $80
Operacin $5.76
X=N Maquinas * P.v
Y=N Horas
Variables
x=N de maquinasP. u
cm=80 x
$
x maq=$
maq
Costo operacin =N-H * Pc/h
400000 med
=2000 h
N de horas = 2000 med
n
$
Cop=2000(h)*5.76 h =$ 11520
CT=80 x +
11520
=80 x +1150 x1
x
CT '=8011520 x
C T =0
80
x=
11520
X2
1150
80
operacin es de 12 mquinas
xy=128
x+ y 2=s
y=
128
x
128 2
x
s=x +
s=f ( x , 4 )
s=x +
128
x2
s=x +1282 x2
Mtodo de la primera y segunda derivada
1.
S 1=1+32768 x3
2.
S =0+ 98304 x
3.
s 1=0
0=1+
4.
32768
x3 =32768 x=32
x
S >0
32 y =128
y=
128
=4
32
8. Encontrar dos nmeros cuyo producto sea 240 y que el producto del
doble del menor ms diez veces el mayor sea un mximo.
DATOS
Producto de 2 nmeros = 240
VARIABLES
N = nmero mayor
M= nmero menor
PLANTEAMIENTO
nm=240
2 n+10 m=s
s=2
s=10 m480 m
( 240m )+ 10 m
1
1.
s ' =1 o480 m2
2.
3.
s ' =0 s m
480
+10
m2
m2 = 48
m=6.93
GRAFICO
Rectangular
rea de 1200m
Dividido en 4 lotes
Tres cercas paralelas
la=5 a
ab=1200
GRAFICO
l=5 a+2 b
l=5 a+2
( 1200
a )
l=5 a+
2400
a
l=5 a2400 a1
1
l ' =52400 a2
l =4800 a
0=5
''
2400
a2
2400
=5
a2
a2=
2400
5
a2=480
a=21.91
10.
Una librera puede comprar cierto libro a un costo de $
3.00 la librera ofrece a un costo de $ 15.00 cada ejemplar y a este
precio vendido 200 ejemplares por mes. La librera planea bajar los
precios para estimular las ventas y estima que por cada reduccin de
$1.00 se vendern 20 libros ms cada vez. A qu precio se deber
vender el libro para generar una utilidad mxima.
DATOS
Costo 3
$
libro
Ventahistorica :200
libros
mes
X =N descuentos
U=I C
U= (200152003 )
U (200 20 x)(15 x) (200 x 20 x)3
U 300 200 x 300 x 20 x 2 1600 x 60 x
U 20 x 2 40 x 2400
1ra y 2 nda derivada
1.
U '=40 x+ 40
2.
3.
U =0
'
40 x+ 40
40 x=40
x=1
GRFICA
11.
Los agricultores pueden obtener $2.00 por cada arroba de
papas el primero de junio y despus el precio cae en 0.2centavos por
arroba al da. El primero de junio el agricultor tiene 80 arrobas en el
campo y estima que la cosecha se incrementara a razn de una
arroba por da. Cundo se deber cosechar la papa para maximizar
la produccin?
DATOS
v (80 x )( 2 0.02 x)
v 160 1.6 x 2 x 0.02 x 2
v 0.02 x 2 0.04 160
Primera y segunda derivada
'
1.
v =0.04 x +0.4
2.
3.
v =0
'
004 x +0.4
x=
0.4
0.04
x=10 dias
GRFICO
12.
Un alambre de 20cm de largo se corta en dos pedazos.
Uno de los pedazos se dobla para formar un crculo y el otro en
cuadrado.
a) Cul es la menor rea total que puede encerrarse de esta manera.
b) El rea total puede tener hasta un tamao de 32cm 2
DATOS
20cm de alambre
Corte en 2 pedazos
20cm de alambre
A= 2 +a 2
10 2a
A
a2
100 40a 4a 2
a2
100 40a 4a 2
A
a2
100 40a
4
a 2 1
2.
3.
A ' =0
''
12.74 +4.54 a
a=
12.74
4.54
a=2.80 cm
GRFICO
13.
Un estudiante emprendedor ha hecho un contrato para
producir 150 velas con el nombre dela mascota de la institucin.
Planea comprar una cantidad de moldes de so repetido para moldear
las velas a un taller meta a $ 3.00 cada una y luego contratar un
estudiante de primer ao por $ 1.80 la hora para que llene los moldes
con cera. Se necesitan tres horas para preparar una sola vela con un
molde.
a) Cuantos moldes debe comprar el estudiante para mantener
sus costos en el menor nivel posible?
b) Cunto dinero genera el estudiante de primer ao si se usa el
nmero ptimo de moldes?
DATOS
Producir
Velas
150 velas
$ 3.00
Trabajador
1.80 la hora
3 horas
C CF CV
1.80
C 3x
x
810
C 3x
x
3 150
C =3 x810 x
1.
'
C =3 x810 x
C' =3810 x2
2.
3.
C' =0
3810 x 2
2
810 x =3
810
=3
x2
x=16
GRFICA
14.
Se ha pedido a un carpintero construir una caja abierta con
una base cuadrada, los lados de la caja costaran $3.oo por
metro cuadrado y las base costara $ 4.00 por metro cuadrado.
Cules son las dimensiones de la caja de volumen mximo
que puede construirse por $ 48.00?
DATOS
Invertir
Base
Lados
$ 48.00
$ 4.00/ m2
z
$ 3/m
VARIABLES
X = lado base
Y = altura base
48 4 x 2 3(4 xy)
4 x 2 12 xy 48
x 2 3 y 12
12 x 2
3x
4 1
y x
x 3
y
v x2 y
4 1
x
x 3
1
v 4x x3
3
v x2
v ' = y x 2
2.
v =2 x
3.
v ' =0
''
4x =0
x 2=4
x=2
GRFICA
UNIDAD IV
INTEGRALES
REGLA DEL EXPONENTE
n
X dx
x n 1
c
n 1
2. y ' 5 x 7 8 x
(5 x 8x)dx
5 x dx 8 xdx
7
x 7 1
x 11
8
c
7 1
11
x8
5 4x 2 c
8
5
1. y x 5
y ' 5x 4
5x
5 x 4 dx
x 41
5
c
4 1
x5 c
EJEMPLOS
3. y ' x
y x
'
1
2
1
y x 2 dx
y
1
1
2
x
c
1
1
2
3
x2
y
c
3
2
2 32
y x c
3
4. y '
1
1
y dx
x
x
dx
x
y ln x c
y
5. y ' e x
y e x dx
y ex c
7. ( x 3
2 )dx
2 x
1
x 3 dx
dx 2dx
2 x
x 2 dx
1 2
x dx 2 dx
2
3
1
2
1
1
2
x
1 x
2x c
3
1
2
1
1
2
2
5
x2 1 x2
2x c
5 2 1
2
2
5
1
1
2 2
2
x 2x 2x 2 c
5
2 1 2
x )dx
x 2
2
1 2
x
3e dx x dx 2 x dx
dx 1 x 3
x
3 e 2
x 2 3
1
3e x 2 ln x x 3 c
6
6. (3e x
1
3
x
2 e2
)dx
3x 2 x
2
1
3
x
2
3x dx 2 x 2 dx e dx 2 dx
1
1 dx 3 dx 2
1 2
e
dx
x
2 dx
3 x 2 x2
9. (
1
3 x 21
1 x2
ln x
e2 x
3
2 2 1
2 1 1
2
3
1
3 x 1
1 x2
2
x
ln
x
e
x
e
8. ( x x ) dx 3
2 1
2 3
2
2
3
ex
3
( 2 dx x 2 dx) 1 ln x 3 1 e 2 x 1 ( 2 ) x 2
3
2x
2 3
5
3
x
e
x2
1
31 2
1 2
ln
x
e
x
x
c
2 5
3
2x
3
x 2 2x 1
10.
dx
x2
x2
2x
1
dx 2 dx 2 dx
2
1
x
x
x
11. ( x 3 2 x 2 )( 5)dx
dx
x
dx 2 x 2
2
3
2
x
( x 5x 2 x 10 x )dx
x 21
2
3
2
x 2 ln x
c
x
dx
5
x
dx
2
x
dx
10
x
dx
2 1
x3
x4
x2
x3
x 1
5 2 10
x 2 ln x
c
3
4
2
3
1
1
x3
x4
x3
x 2 ln x c
5 x 2 10
x
3
4
3
13. (2e x
6
ln 2)dx
x
2e dx x dx ln 2dx
x
dx
ln 2 dx
x
2e x 6 ln x ln 2 x c
2 e x 6
12. x ( x 2 1)dx
1
2
1
( x 2 1)dx
1
x 2 dx x 2 dx
5
x 2 dx x 2 dx
5
x2
x2
c
5
1
1
1
2
2
7
2
3
2
x
x
3 c
7
2
2
7
3
2 2 2 2
x x c
7
3
METODO DE SUSTITUCIN
4. 4 x 1dx
( 4 x 1) u
4dx du
dx
du
4
1
(u ) 2
2. (2 x 6) 5 dx
3
2
du
4
1 (u )
c
4 3
2
3
1 2
(u ) 2
4 3
X
dx
X 1
x 1 u x u 1
dx du
1.
(u 1)
u 1
du * du
u
u u
1
du du
u
u ln u c
y ( x 1) ln( x 1) c
( 2 x 6) u
2dx du
du
dx
COMPROBACI ON
2
3
1
1
1
5 du
5
(u ) 2
y' 1 0
*1 0
(u ) 2 2 (u ) du
6
x 1
3
1 ( 2 x 6) 6 ( 2 x 6) 5
1
1
x 11
x
c (4 x 1) 2 c y 1
2
6
12
x 1
x 1
x 1
6
3. 9( x 2 3 x 5) 8 (2 x 3)dx
( x 2 3 x 5) u
(2 x 3)dx du
du
dx
2x 3
9 (u ) 8 du
(u ) 9
c
9
u9 c
9
( x 2 3x 5) 9 c
3
4
6. x ( x 1) dx
2
( x 3 1) u
3x 2 dx du
dx
du
3x 2
(u )
3
4
3
du
3x 2
1
4
du
2 (u )
x
3 3x 2
1
4
7
4
(u ) du
7 3x 2
4
7
x 2 (u ) 4
3x 2 7
4
7
1 4
* (u ) 4
3 7
7
4
(u ) 4
21
7
4 3
( x 1) 4 c
21
5.
10 x 3 5 x
x x 6
4
dx
10 x 3 5 x
( x 4 x 2 6)
( x 4 x 2 6) u
COMPROBACI ON
7
4
(4 x 3 2 x)dx du
du
du
dx
3
(4 x 2 x) 2(2 x 3 x)
4 3
( x 1) c
21
7
1
3
4 7
du
y * ( x 3 1) 4 (3x 2 ) 5(2 x x)
1
21 4
2( 2 x 3 x )
2
3
(
u
)
1
y ( x 3 1) 4 (3x 2 )
1
5 du
5
3
2
ln
u
1
3
2
2
2
3x
y
( x 3 1) 4
(u ) 2
3
1
5
3
4
2
ln( x x 6) 2 c
y x 2 ( x 3 1) 4
2
y
1
2
dx
1
2
7. ( x 1)( x 2 x 5) dx
2
( x 2 2 x 5) u
(2 x 2)dx du
du
du
dx
2 x 2 2( x 1)
( x 1)(u )
1
2
du
2( x 1)
1
(u ) 2
2
1
1
2
1 (u )
2 1
1
2
3
1 (u ) 2
c
2 3
2
3
1 2
(u ) 2
2 3
3
1
(u ) 2
3
3
1 2
( x 2 x 5) 2 c
3
COMPROBACI ON
2
ln x
dx
x
ln x
2 x dx
ln x u
8.
1
Y ( x 2 2 x 5) 2 c
3
3
1
1 3
y ( x 2 2 x 5) 2 ( 2 x 2)
3 2
1
1
y ( x 2 2 x 5) 2 (2 x 2)
dx
du
2
x
1
1
2
2
2
y
2
(
x
1
)(
x
2
x
5
)
u
2 udu 2 c
2
2
1
(ln x) 2 c
y ( x 1)( x 2 2 x 5) 2
3
4
11. x ( x 1) dx
2
( x 3 1) u
3x 2 dx du
du
3x 2
dx
2
x (u ) 4
3
du
3x 2
1
4
du
2 (u )
x
3 3x 2
1
4
7
4
(u ) du
7 3x 2
4
7
4
(u )
7
4
7
1 4
* (u ) 4
3 7
7
4
(u ) 4
21
7
4 3
( x 1) 4 c
21
3x
COMPROBACI ON
7
4 3
( x 1) 4 c
21
7
1
4 7
y * ( x 3 1) 4 (3x 2 )
21 4
3
1 3
y ( x 1) 4 (3x 2 )
3
3
3x 2 3
y
( x 1) 4
3
y x 2 ( x 3 1)
y
9. 4 x 1dx
(4 x 1) u
4dx du
dx
du
4
(u )
1
2
du
4
3
2
1 (u )
c
4 3
2
3
1 2
(u ) 2
4 3
1
(u ) 2
6
3
1
(4 x 1) 2 c
6
10. xe x dx
2
x2 u
( 2 x) dx du
du
dx
2x
u du
xe 2 x
1
(e) u
2
1 2
y ex c
2
3x 4 12 x 3 6
dx
x 5 5 x 4 10 x 12
( x 5 5 x 4 10 x 12) u
2x 4
dx
x5 1
( x 5 1) u
13.
12.
(5 x 4 20 x 3 10) dx du
(5 x 4 )dx du
du
du
du
dx
dx
4
3
4
3
(5 x 20 x 10) 5( x 4 x 2)
5x 4
3( x 4 4 x 3 2)
du
2 x 4 du
4
3
u 5x 4
u
5( x 4 x 2)
2 du
3 du
5 u
5 u
2
3
ln u c
ln u c
5
5
2
3
ln( x 5 1) c
ln( x 5 5 x 4 10 x 12) c
5
5
2
3
15 (3 y 6 y )( y 3 y 1) dy
2
( y 3 3 y 2 1) u
(3 y 2 6 y )dx du
du
dx
2
(3 y 6 y )
(3 y
6 y )(u )
2
3
du
(3 y 6 y )
2
(u ) 3 du
2
(u ) 3
2 c
1
3
5
3
(u )
c
5
3
5
3
(u ) 3 c
5
5
3
Y ( y 3 3 y 2 1) 3 c
5
1
dx
x ln x
ln x u
dx
du
x
dx xdu
1
xu xdu
du
u
y ln u c
y ln(ln x) c
14.
COMPROBACI ON
1 1
ln x x
1
y
x ln x
3
dx
(3 x 1) 3
(3 x 1) u
3dx du
du
dx
3
3 du
(u ) 3 3
16.
(u ) 31
c
3 1
COMPROBACI ON
1
(u ) 2
y (3 x 1) 2
c
2
2
2(2)(3 x 1) 3 (3)
1
2
y
(u ) c
4
2
3
1
y (3 x 1) 2 c y
(3 x 1)3
2
COMPROBACI ON
(2 x 2 7) 9
9
9(9)( 2 x 2 7) 10 (4 x)
y
81
2
y 4 x (2 x 7) 10
4x
y
2
(2 x 7)10
17.
4x
dx
( 2 x 7) 10
2
( 2 x 2 7) u
( 4 x) dx du
du
dx
4x
4 x du
(u )10 4 x
(u )
10
du
(u ) 9
9 c
(2 x 2 7) 9
Y
c
9
INTEGRAL DEFINIDA
xdx
x2
x2
c
2
(b) 2 (a) 2 b 2 a 2
2
2
2
EJERCICIOS
3
2. 4 xdx
0
1. 5 xdx
x2 3
1
4
2 0
x2 5
5
4
2 1
(3) 2 (0) 2
2
5
(5) 2 (1) 2 60unidades
2(9) 18unidades 2
3. ( x x )dx
0
4.
1
2
( x 1dx ( x 1) dx
2
x3 x 2 1
( x 2 1) u x 2 u 1 x u 1 (u 1) 2
3
2 0
du 2 xdx
3
2
3
2
(1)
(1) (0)
(0)
du
dx
2 3
2
2x
3
1
3
du 1
1 1 5
(u ) 2
2
2x 2
3 2 6
x3
6.
x3
1 x4
dx
1
4 2
dx
(1 x )
(1 x ) u x u 1
4
(4 x 3 )dx du
du
4 x3
3
1 x
du
1
0
4 x3
(u ) 2
dx
1 1 2
(u )
4 0
1
2
1 (u )
4 1
2
1
1
(u ) 2
2
1
1
1
(1 x 4 ) 2
0
2
1
1
1
4 2
4 2
(1 (1) ) (1 (0) )
2
1
1
1 (1) 4 1 (0) 4
2 1
2
2
1
2 1
2
5. (3x 2 x 6)dx
1
3 x dx xdx 6dx
2
3
x
x
dx
dx 6 x
1 3
1
2
x3 x2
3
6x
2
3
3
x2
x
6 x
1
2
(3) 2
(1) 2
(3) 3
6(3) (1) 3
6(1)
2
2
9
1
27 18 1 6
2
2
48
3
dr
2000
dq
300q
PROBLEMAS DE APILCACIONES
La funcin de ingreso marginal de un fabricante
; si r est
en dlares, encuentre el cambio en el ingreso total del fabricante si la
produccin aumenta de 500 a 800 unidades
dr
2000
dq
300q
dr
r
r
r
2000
dq
300q
2000
300q
4000
800
500
dq
1
2000
q2
1
2
300
* 2q
1
2
800
500
1
2
(800) (500)
300
4000
300
dolares
0.2 x 4 800 ao
Si una hectrea vales en la actualidad $500
Cunto valdr dentro de 10 aos?
X: aos
Precio actual: $500
En 10 aos: precio?
dp
0. 4 x 3
dx
0.2 x 4 800
0 .4 x 3
p
dx
0.2 x 4 800
(0.2 x 4 800) u
(0.8 x 3 )dx du
du
0 .8 x 3
x 3 du
p 0 .4
1
0 .8 x 3
(u ) 2
dx
1
1
0.4 (u ) 2
p
0 .8 1 1
2
1
1 (u ) 2
p
1
2
2
1
1
p * 2(u ) 2
2
p (u )
1
2
1
2
p (0.2 x 800) c
4
c 410.55
1
p 510.55
1. y 9 x 2
2. y x 2 1
Desde x=0
x
0
+/- 3
Y
9
0
; x=3
+/- 2
GRFICO
x
0
+/- 1
+/2
+/3
Y
1
0
2
5
10
A1 (9 x 2 aa )dx
0
A1 9 x
x3
3
(3) 3
(0) 3
A1 (9(3)
) (9(0)
) 18
3
3
A2 ( x 2 1)dx
0
2
x3
x
0
3
A2
( 2) 3
( 0) 3
A2 (
2)
0
3
3
14
A2
3
3
A3 (9 x 2 )dx
2
A3 9 x
x3
3
(3) 3
( 2) 3 8
A3 (9(3)
) (9(2)
)
3
3 3
Aovcao ( x 2 1)dx
0
Aovcao A2
3
x3
x
0
3
(3) 3
( 0) 3
Aovcao A2 (
3)
0 12
3
3
respuestas
14 8 32
A5 A1 A2 A3 18
3 3 3
8 14 14
A4 Aovcao A3 A2 12
3 3
3
AREATOTAL
AT A5 A4
32 14 46
2
3
3
x
0
1
-1
2
-2
3
y
-1
0
-2
1
-3
2
x
0
+/1
2
3
-2
-3
Y
5
3
1
-1
9
14
25
0
4
2
1
A1 (5 2 X )dx
2
4
2
1
A2 ( X 1)dx
1
2
2.5
A (5 2 X )dx
Aoabca A A1 A2
25 1 1 11
4 4 2 2
Y
0
0
1
1.41
1.73
2
2.24
2.45
0.71
1
2
x
0
0
1
Y
0
0
1
1
2
A1 ( X )dx
0
1
1
2
x
1
1
2
3
x
A1 2
3
2
3
2 2 1
A1 x
0
3
3
3
2
2
2
A1 (1) (0) 2
3
3
A1
A2 ( x )dx
0
x2 1
2 0
(1) 2 (0) 2 1
A2
2 2
2
A2
AT A A2
2 1 1
3 2 6
2X
1 3X 2
2x
y'
1 3x 2
dy
2x
dx 1 3 x 2
2x
y
dx
1 3x 2
(1 3 x 2 ) u
(6 x)dx du
du
dx
6x
2 x du
(u ) 6 x
1
y ln u c
3
1
y ln( 1 3x 2 ) c
3
1
5 ln( 1 3x 2 ) c
3
1
5 ln 1 c
3
c5
1
y ln( 1 3x 2 ) 5
3
m
personas
mes
POBLACION : 9MESES
PLANTEAMIENTO
dp
26 X
dx
P f( x)
P (2 6 X )dx
1
2
P (2 6 x )dx
1
2
P 2dx 6 x dx
1
x2
P 2x 6
1
1
2
3
2
x
3
2
2 3
P 2 x 6 x 2
3
P 2x 6
3
2
P 2x 4x c
x0
p 5000
3
P 2x 4x 2 c
3
P 2 x 4 x 2 5000( personas )
3
CONCLUSION
LA POBLACION SE INCREMENTO EN 126 PERSONAS DESPUES DE 9
MESES.
dolares
aos
D 220(t 10) dt
D (220t 2200)dt
D (220t )dt (2200)dt
t2
2200t
2
D 110t 2 2200t c
x0
D 220
depreciaci on 12000
D 110t 2 2200t c
12000 110(0) 2 2200(0) c
c 12000
D 110t 2 2200t 12000
Dt 10 110(10) 2 2200(10) 12000
D 1000
bicicletas
mes
80 3 X
A UN PRECIO DE
dolares
bicicletas
bicicletas
mes
dolares
bicicletas
INGRESO PRECIO * CANTIDAD
PRECIO : 80 3 X
I (80 3 X )(5000 60 X )
I m 400000 4800 X 15000 X 180 X
I m 400000 19800 X 180 X
I (400000 19800 X 180 X )dx
1
2
I 0
C 0
1
I 400000 X 13200 x 2 90 X 2
1
metros
min utos
V( t )
dD
D (1 4t 3t 2 ) dt
dt
DEBER N 1
1. Encuentre dos nmeros cuya suma sea 82 y cuyo producto sea mximo
DATOS
Numeros x ; 82x Entonses si:
x+ y=82
A=x ( 82x )
A=82 xx 2
4182=4
y=41
P =822 x
P =02 Si2<0
P =0
822 x
x=
82
2
X =41
2. Encuentre dos nmeros no negativos cuya suma sea 20 y cuyo producto sea
dos veces uno de los nmeros por el cuadrado del otro sea un mximo
DATOS
1Numero =x
2Numero=y
20=x + y
y=20x
p=2 x ( y 2 )
20x 2
P=(2 x )
3
P=2 x 80 x + 800 x
2
1.
P =6 x 160 x+ 800
2.
P =12 x160
P =0
3.
3 x=20 ;2 x=40
x=
20
40
; X=
3
2
x=
20
; x=20
3
4 P =12 x160
P =12
( 203 )160
P 80160
P =80
P <0 P M
S=x + y
20=
Y=
( 203 + y)
40
3
GRFICA
20 40
;
3 3
15 x+ 9 ( 2 x )=900
y=
900015 x
se maximiza el area A
18
A=xy
A=x
A=
x
( 900015
)
18
1
( 900015 x 2 )
18
A =
1
( 900030 x )
18
A=30
ComoA < 0 A Maxima
A =0
30 x=9000
x=300
A si Y =
900015 (300 )
18
y=250
500
q2
c=0 rendimientos
0,05=
500
q2
q2= 10000
q=100
c=
100
> 0 para q >0
3
q
C=600+35 q
Beneficio=Ingreso total Costo total
0,1 q=50
q=500
P=850,05 ( 500 )
P=60
GRFICA
210
donde 3 q 12
q
A qu nivel dentro del intervalo [3,12], debe fijarse la produccin para minimizar
el costo total? Cul es el costo total mnimo?
Simla produccin tuviese que encontrarse dentro del intervalo [7,12]? Qu valor
de q minimizara el costo total?
3
2
a) c=cq=2q 42q + 228 q+210
dc
2
=6 q 84 q+228
dq
dc
=6 ( q 214+ 38 )
dq
dc
=0 q=7 11=3,68
dq
q=7+ 11=10,32
Evaluando C en q=3, 7 11 , 7+ 11 y 12 da
434 +44 11=579,93 ; 43444 11=228,07 y 354 respectivamente
El coste mnimo es cuando q=7+ 11=10,32
c (10 )=290 ; c ( 11 )=298
La produccin debe fijarse en
para un costo mnimo de $290
b) C ( 7 ) =434
GRFICA
7. Ingreso: Una empresa de bienes races posee 100 departamentos .Cada uno
puede rentarse a $400 por mes, sin embargo por cada 10 mensuales de
incremento, habr 2 departamentos vacos, sin posibilidad de rentarlos
Qu por departamento maximizara el ingreso mensual?
DATOS:
x=numero de $ 10 por mes se incrementa
x=5
Respuesta: La tasa mensual de un departamento es de 450
GRFICO
8. Ingreso: Una empresa de televisin por cable tiene 4800 suscriptores que
pagan $18 mensuales cada uno, y pueden conseguir 150 suscriptores ms
por cada reduccin de $0,50 en la renta mensual Cul ser la renta que
maximice el ingreso y cual ser este ingreso?
DATOS:
x=numero de $ 0,50
0 x 36
Cuota mensual por cada suscriptor es 180,50 x
# Total de abonados es 4800+150x
r = total de ingresos mensuales
Ingresos (tasa mensual) (nmero de abonados)
r=(180,50 x )(4800+150 x )
+( 4800+150 x )(0,50)
r =(180,50 x )(150)
r =300150 x
r =150 ( 2x )
r =0respectivamente x =2
2x
x=2
GRFICA
2
9. Diseo de un cartel: Un cartel rectangular de cartn debe tener 150 plg
A= ( x +10 ) ( y +6 )
A= ( x +10 )
( 240x +6)
A=300+ 6 x+2400 x
A =62400 x2
A =480 02
A =
4800
3
x
A =0
2400 x2 =6
2400
=6
3
x
2400=6 x 2
400=x 2
20=x
A =
4800
>0 A m
2
x
A =
4800
203
A =20
GRFICA
DEBER N 2
1.
3 x
c dx
5
COMPROBACIN
3 x
3
c dx= c x dx
5
5
y=
3 x
c
5
3 x
c +c
5
2.
c x dx
COMPROBACIN
c x dx= c x dx
y = c x
c +c
3.
x3 dx
1
COMPROBACIN
1
6 x3 dx= 6 x 3 dx
y =x3 ( 12 ) +c
3+1
1 x
+c
6 3+1
()
y=
1
6 x3
x 2
+c
12
4.
( x 2 +2 x ) dx
COMPROBACIN
x 2 dx=
2+1
x
x
+c = +c 1
2+1 1 3
y =3 x 2+ 32 x
y =x 2 +2 x
1+1
x
c 2=x 2 +c 2
2 xdx=2 xdx =( 2 ) 1+1
3
( x 2 +2 x ) dx= x + x 2 +c
3
( x 2 +2 x ) dx= x3 +( 2 ) x2 + c= x3 + x 2+ c
5.
x1
2 x 7 x3 +10 e
7.
2 x 5 dx7 x 3 dx+ 10 e x dx 1 dx
4
+1
5
4
x4
2
7
+10 e x x+ c
4
3+1
+1
5
9
x5
x4
2 7 +10 e x x +c
9
4
5
10 7 4
x
x +10 e x+ c
9 4
COMPROBACIN
4
9
y =10 x 5 (9 )74 x3 ( 4 ) +101
5
5
y =2 x 47 x 3 +10 e x 1
3 t 24 t +5 dt
8.
3 t 2 dt4 t dt+ 5 dt
2 +1
1+1
t
t
4
+5 t+ c
2+1
1+1
COMPROBACIN
y =3 t 222 t + 5
y =3 t 24 t+5
t
t
4 +5 t+ c
3
2
t 3 2t 2 +5 t+ c
9.
2x
7
2x
9
4
9
4
dx
7
dx= x
2
COMPROBACIN
9
4
dx
y =145 x
5
4
y=
2x4
5
4
7 x
+c
2 5
4
14
5x
5
4
+c
( 521 ) dx
10.
(5 12 ) dx
9
2 dx+ c
COMPROBACIN
y =9 x21
1
y =52
9
x +c
2
e x +e 2 x
e x dx
11.
e x e2 x
+
dx
ex ex
COMPROBACIN
y=
e x +e 2 x
x
e
+1
7 x4
+c
2 9
+1
4
( 1+e x ) dx
x
x+ e + c
z
z +10
3
2z
12.
1 z 10 z
+ z2
2 z2
dz
COMPROBACIN
2 ( z 42 +10 z 32) dz
y =3 z 2 (6 ) +10 z (2 )
y=
z 4 +10 z3
2
2z
z + 10 z
1
dz
2
1 z 10 z
+
+c
2 3
2
3
z 5z
+
6 2
+c
x ( x +3 ) dx
13.
(x
3
2
1
2
+3 x ) dx
3
+1
2
1
+1
2
x
x
+3
+c
3
1
+1
+1
2
2
5
COMPROBACIN
3
y =2
5 2 3 2
x +2 x
2
2
3
2
x2
x2
+ 3 +c
5
3
2
2
5
2 x2
+2 x 2 + c
5
3
y =15 x + x 2
2
y = x ( x+ 3)
x 55 xx 2+ 2 x dx
14.
COMPROBACIN
1
x4 5 x2 2 x
x 2 x2 + x2 dx 15 x 25+ 2x dx
5
y=
x 45 x 2+ 2 x
5 x2
1 x3
5 x +2 lnx + c
5 3
( 3 t 2 5 t+2 ) dt
15.
COMPROBACIN
1
2
(3 t 5 t +2 ) dt
2
y =3 t 5t +2 t
1
2
3 t dt5 t + 2 dt
2
+1
3 t 2+1
5t 2
5
+2 t+ c
2+1
1
+1
2
3
t3
t2
3 5 +2 t+ c
3
3
2
3
10
t t 2 +2 t + c
3
3
16.
x ( x 21 ) dx
3
2
1
2
( x x ) dx
y=
1
+1
2
x
x
+c
5
1
+1
+1
2
2
7
y =x 2 x 2 + c
y= x 2 dx x 2 dx
5
+1
2
COMPROBACIN
2
2
y= x 2 x 2 +c
7
3
y = x ( x 21 )
17.
3 y 32 y 2
ey
dy
6
y=3 y 3 dy2 y 2 dy +
COMPROBACIN
1
e y dy
y=
3 y4
y3 1 y
y=
2 + +e +c
4
3 6
y=
18.
12 y 3 6 y 2 e y
+
4
3
6
ey
y =3 y 2 y
6
3
3 y4 2 y3 ey
+ +c
4
3
6
1
1
4
3
2x x
()dx
COMPROBACIN
y=
1
x3 x4 dx
y=
1 x
x
+c
2 2 3
y=
1
1
3 +c
2
4 x 3x
y=
8 x3
x 4
4
y=
1
x 4
3
2x
3 x
19. 4
y=
y=
COMPROBACIN
4
dx
27 x 3
4
x3 dx
27
y =227 x2
3
3 x
y =4 /
20.
21.
y=
4 x
+c
27 2
y=
2
+c
2
27 x
2 x2 8 4
x dx
7 3
COMPROBACIN
y=
2
8
x 2 dx x 4 dx
7
3
y=
2 x3 8 x5
+c
7 3 3 5
y=
2 x 3 8 x5
+c
21 15
x 2
7
+ 6 x dx
5
2 x
y=
y=
x 3 7 x 2
+6 x dx
5
2
1
7
x 3 dx x
5
2
5
1
2
dx+6 xdx
1 x 3 7 x 2 6 x 2
y=
+
+c
5 5 2 1
2
3
2
5
3 x 3
y=
7 x 2 +3 x 2+ c
25
COMPROBACIN
2
7
y=5 x 3 (25 ) x 2 + 6 x
2
y=
3 x 2
5
7
2 x
+6 x
2 x2 8 x 4
7
3
22.
1
3 u + u
( )
1
u3 +
1
2
) du
du
u 3 du+ u
4
3
COMPROBACIN
1
2
y =4 u 3 (4 ) +u
y =3 u+
du
1
2
1
u
1
2
u u
+ +c
4 1
3 2
4
3u3
+2 u 2 +c
4
23.
( x3 4 x ) dx
1
2
1
4
COMPROBACIN
1
y= 2 x 3 x dx
1
2
1
4
y=2 x dx3 x dx
2
6 x 2 15 x 4
y=
3
5
4
y =2 x3 x
x3
x4
y=2 3 +c
3
5
2
4
3
4 x2
x4
y=
12 +c
3
5
24.
( 3 y2 y3 ) dy
COMPROBACIN
1
2
y= 3 y 2 y3 dy
1
2
y=3 y dy2 y3 dy
9 y2
3
y=
2 y
3
y =3 y2 y3
y2
y2
y=3 2
+c
3
2
2
3
6 y2
y=
y2+ c
3
25.
1
x 3 2 x + 2 dx
3
2
y= x
+ 2 dx
1
2 x2
3
2
1
y= x dx x 2 dx+ 2 dx
2
5
COMPROBACIN
5 x2 3 x 2
y =
+ 2
5
6
y = x 3
1
2 x
+ 2
x2 1 x2
y=
+ 2 x +c
5 2 3
2
2
y=
26.
5
2
3
2
2x
2x
+ 2 x+ c }
5
6
( x1 x1 ) dx
2
COMPROBACIN
y= x dx x dx
2
x1 x2
y=
1 2
1
3
1/ x
2
x
27.
1
2 3
2+
dy
2 y y y
COMPROBACIN
1
y= y1 dy2 y2+3 y
2
1
2
dy
1
y = 2 y 23 y 2
2y
1
2 y1
y2
y= y
+3 +c
2
1
1
2
y=
1
2
3
2+
2y y y
1
y= 2 y1 +6 y 2 +c
2
28.
( 52 w6 w2 ) dw
COMPROBACIN
y= 5 dw 2 wdw6 w2 dw
y =52 w6 w
y=5 w2
w1+1
w 2+1
6
+c
1+1
2+1
w2
w3
y=5 w2 6 +c
2
3
y=5 ww22 w3 + c
29.
( 1+t 2+ t 4 +t6 ) dt
2
COMPROBACIN
4
y= 1 dt + t dt+ t dt + t dt
t3 t 5 t 7
y=1 d + + + +c
3 5 7
30.
( x 8,3 9 x6 +3 x4 + x3 ) dx
y= x 8,3 dx9 x 6 dx+ 3 x4 dx + x3 dx
y=
x 9,3
x7
x3 x2
9 +3
+
+c
9,3
7
3
2
y =1+
3 t2 5 t 4 7 t 6
+
+
3
5
7
y =1+t 2+ t 4 + t 6
COMPROBACIN
y=
9,3 x 8,3 63 x 6 9 x4 2 x3
+
+
9,3
7
3
2
y =x 8,39 x 6 +3 x4 + x3
31.
1
8
4 x2
dx
1
y= x
4
1
4
COMPROBACIN
3
x
4
y=
3
dx
1
4
+1
1
x 4
4
y=
+c
1
+1
4
y=
1
8
4 x2
1 4
x
4
y=
+c
3
4
3
1 4
x
4
y=
+c
3
4
y=
32.
3
4
x
+c
3
1
5
+e
3y y
y
2
dy
COMPROBACIN
y=
1
y
1
1/ 2
y dy5 y + e
dy
3
2
1
y=
5 y
3y
1
2
+e
1
2
1
y2
y= y 5
+ e 2 +c
3
1
2
1
1
y= y 10 y 2 +e
3
y=
1
5
+e
3y y
y
2
y
2
DEBER N 3
En los problemas del 1 al 26, halle la integral indicada y compruebe su
respuesta mediante derivacin
1.
2 x +6 5 dx
y= u5 du
COMPROBACIN
5
u=2 x +6
du=2 dx
2 x +6
6
y =
y=
u
6
2 x +6
y =
2 x +6 5
y =
2.
4 x 1 dx
4 x 1 2 dx
y=
COMPROBACIN
u=4 x1
4 x 1 2 [4 dx ]
1
y=
2
4 x 1 2
y =
du=4 dx
y=
1
u 2 du
2
y = 4 x1
3
1 u2
y=
+c
2 3
2
3
4 x 1 2 + c
1
y=
3
3.
e 5 x dx
5x
y= e [5 dx ]
COMPROBACIN
u
u=5 x
y= e du
du=5 dx
y=e +c
y=e5 x
y=e5 x +c
4.
3 x +5 dx
y=
1
1
[3 dx ]
3 3 x+5
COMPROBACIN
u=3 x +5
du=3 dx
y=
1 1
du
3 u
y=
1
3 x+5
1
y= u+ c
3
1
y= (3 x+5)+c
3
5.
e 1x dx
u=x 1
y= e udu
u
y=e +c
COMPROBACIN
y =e
1x
1x
du=dx
6.
y=e
+c
x1 5 +3 ( x1 2+5 ] dx
y =
x1 5 +3 ( x1 2+ 5 ] dx
u=x 1
y=
(x1)6 (x 1)3
+3
+ 5 dx+ c
6
3
du=dx
COMPROBACIN
x1 2+ 5
6(x1)5
y=
+3
6
x1 2 +5
y =( x1)5 +3
7.
xe x dx
y=
1
x
e [ 2 x ] dx
y=
1
e udu
COMPROBACIN
u=x 2
1
x
y = 2 e
2
du=2 xdx
8.
2 xe x 1 dx
COMPROBACIN
1
1
y= e u +c= e x +c
2
2
2
y=2 xe x 1 dx
y =x e x
y=
u=x 1
21
x 1
e [2 xdx]
2
2
y =2 x e x 1
y= e du=e du
du=2 x dx
y=e x 1 +c
9.
x +1 dx
x
x 2+1 5 [2 xdx]
y =x
COMPROBACIN
y=x u5 du
u=x +1
du=2 xdx
y=x
x +1
6x
y =
u6
+c
6
x 2 +1 5
y =x
x 2+1 6
y=x
10.
x + 8 [4 xdx ]
3
y=
4
3 x x + 8 dx
2
x + 8
u=
1
2
1
2
3
2
x + 8
y=
1
2
x + 8
2
y =
x + 8
3
y=
4
COMPROBACIN
3
2
y =3 x x 2+ 8
11.
3
4
x 3+1 4 [ 3 x 2 dx]
2
y=
3
x +1 dx
x2
COMPROBACIN
y=
u=x +1
x 3+1 4
14
y =
3
4
2
u du
3
7
2 u4
y=
+c
3 7
4
du=3 x 2 dx
7
4
x +1
2
y=
3
3
x +1
8
y=
12.
x 5 e1 x dx
y=
7
4
1 ( 1x ) 5
e
[ 6 x dx ]
6
6
COMPROBACIN
u=1x
y=
1
eu du
y =x 5 e1 x
du=6 x5 dx
1
y= eu +c
6
1
y= e1 x + c
6
6
5 x du
2
[]
5
x +1
2
y=
5
2 x4
13. x5 +1 dx
u=x 5 +1
du=5 x
y=
2 2
du
5 u
2
y= u+ c
5
2
y= ( x 5 +1 ) +c
5
3+5 2
14.
x2
u=x 3 +5
du=3 x 2 dx
3+ 5 2
1
y=
2
y=
1 2
du
2 u2
y=
1
u2 du
y=
1 u1
+c
2 1
3+5 1
1
y=
2
COMPROBACIN
x2
y=
15.
12
x +2 x +5 dx
( x+1)
COMPROBACIN
12
x +2 x +5
13
y =
y=
x 2+2 x +5 13
y=
16.
( 3 x 1 ) e
2
12
x +2 x +5
y =(x +1)
x x
dx
xx
[( 3 x 1) dx]
y=
y= e u du=eu + c
u=x 3x
2
3 x
du=3 x 1
y=ex
+c
COMPROBACIN
y =( 3 x 21 ) e x x
17.
x +6
dx
x53+5x x+12
4
+10 x +12
y=3
x 4 +4 x3 +2
dx
x5 +5 x 4 +10 x+ 12
du=5 x + 20 x +10 dx
du=5 ( x 4 +4 x 3 +2 ) dx
du
4
3
=( x + 4 x + 2 ) dx
5
y=3
y=
du
1
u
u
3 du
5 u
3
y= u+ c
5
3
5
4
y= ( x +5 x +10 x+12 ) + c
5
COMPROBACIN
5 x +20 x +10
3
1
y=
5
4
5 x +5 x +10 x+12
x 4 + 4 x 3 +2
y =3 5
4
x +5 x +10 x+12
y =
3 x 4 +12 x3 +6
x 5 +5 x 4 +10 x+12
18.
104x 52 x dx
x x + 6
4
y=5
2 x3 x
dx
x 4 x 2+ 6
du
1
2
y=5
u
u=x x + 6
5
y= u
2
du=( 4 x 2 x ) dx
1
2
du
y=
du=2 ( 2 x x ) dx
du
3
=( 2 x x ) dx
2
( )
5 21
u
+c
2
1
2
y= 2 ( u )
1
2
y=5 u+c
y=5 x 4x 2 +6+ c
COMPROBACIN
1
1 4 2
x x +6 2 ( 4 x 32 x )
2
y =5
4
1
2
x x +6 ( 2 x x )
y =5
y=
10 x 35 x
x 4x 2+ 6
19.
x 22 x +6 2
3 x3
COMPROBACIN
x 22 x +6 2
3 x 3
y=
x 22 x +6 2 [ (1+ x ) dx ]
y=3
x 22 x +6 3
y =3
x 22 x +6 3 + c
y=1
20.
2 x1 2
2 x1
y=3
6 x 3
4 x 24 x +1 dx
u=2 x1
y=3
1
dx
2 x1
du=2 dx
y=3
du
=dx
2
y=
y=
du
2
COMPROBACIN
3
y = (2 x1)(2)
2
y =6 x3
31 d
2 u
3
u
2
3
y= ( 2 x1 ) +c
2
21.
5x
dx
x
y=
du
u
COMPROBACIN
u2
+c
2
u=5 x
y=
1
du= ( 5 ) dx
5
5x
y=
y=
1 1
1
x x
()
du=
22.
y=
1
x (ln x)
dx
x
y=
u= x
y= u+ c
x x dx
1
du= dx
x
du
u
y= ( x ) +c
COMPROBACIN
y=
1 1
1
x x
y=
1
x ( ln x )
()
x
23.
1
u= x
1
du= dx
x
y=
du
u2
COMPROBACIN
1
y=u1 +c
1
y=u1 +c
1 1
x
y =
x 2
1
y=
2
y=
1
x
x
x
1
y=
24.
xx
y= duu
dx
COMPROBACIN
1
ln x 2 ( )
x
1
y = 3
3
u= x
y=
u
+c
3
x 3
y =
1
du= dx
x
x
y=
x
2 x ( x 2+1 )
25. x 2 +1 dx
y= duu
u= ( x 2 +1 )
y=
u3
+c
2
x 2+1 2
y=
1
du= 2 ( 2 x ) dx
x +1
COMPROBACIN
1
ln x ( )
x
1
y = 2
2
2
y =
26.
exx dx
2 x x 2+1
x 2 +1
y=2 e x
u
2 x
u
dx
y=2 e du=2 e + c
u= x
1
1
du= x 2 dx
2
du=
[ ]
1
2x
y=2 e x +c
dx
COMPROBACIN
( ( ))
y =2 e x
y=
2 x
ex
x
27.
x1 dx
y=
u+1
du
u
u=x 1
y= u ( u+1 ) du
x=u+1
u
( 0+u1 )du
y=
du=1 dx
1
y= 1+ du
u
y= du+
1
du
u
y=u+ u+ c
y=x1+ ( x1 ) + c
COMPROBACIN
1
y =1+
( 1)
x1
28.
y=
x1+1
x1
y=
x
x1
x x +1 dx
y= ( u 21 ) u
du
2u
u= ( x +1 )
y= u 1du
u= (x+1)
y=
1
2
u du du
2
y=
x=u 1
1 u
u +c
2 3
( x 1 ) 3
y =
du=2u du
x+ 1
du
=dx
2u
3
2
1
x+ 1 2
y =
COMPROBACIN
1
x +1 2 (1)
1
1
x+ 1 2 ( 1 )
4
1
3
6
y=
2
x+1
1
2
1
x+ 1 2
4
1
y=
4
y=
1
1
1
( x+1 )
4
4 ( x+ 1 )
1
1
y = = ( x +1 )
4
( x +1 )
x+ 1 21
( )
( x +1 )
1
y =
4
y=
1 ( x+1 ) 1 1
=
4 x +1
4
x
( x +1 )
y=
u+5
du
u6
( x +1 ) 2
x
1 ( ( x+ 1 ) )
y=
4
y=
x ( x+ 1 )
4 x +2
29.
x5
u=x 5
y= u ( u+5 ) du
x=u+5
y= u5 +5 u6 du
du=dx
y=
4
x5
5
u5
y =
4
x5
x5 5 +c
y=
COMPROBACIN
u
u
+5
+c
4
5
x5
x5 5 +5
1
y = (4)
4
5
x5
x5 6
1
y=
x 5 6
x5 ( 1 )+ 5
y=
x5 6
x
y =
30.
x2 9 dx
( x +1)
x2 dx
9
x2 dx+
x
y=
9
u=x 2
y= ( u+2 ) u + u du
x=u+2
y= u10 +2 u9 du+ u9 du
y=
du=dx
y=
1 11 1 10 1 10
u + u + u
11
5
10
1 11 3 10
u + u
11
10
x2 10
3
x2 11 +
10
1
y=
11
DEBER N4
CRECIMIENTO DE LA POBLACIN
Se Estima que dentro de (t) meses la poblacin de cierto pueblo cambiar a razn de
2
4 +5 t 3
dp
=4 +5 t 3
dt
8
p= 4+5 t 3 dt
0
2
3
p= 4 dt+ 5t dt
0
5
3
5 t (3)
p=4 t+
5
0
p=4 t+ 3t
5 8
3
p=[ 4 ( 80 ) +3(8) 0 ]
5
3
5
3
p=32+3( 8)
p=128
p=10.000+128
p=10.128 habitantes
La poblacin dentro de 8 meses ser de 10128 habitantes en el pueblo.
DISTANCIA Y VELOCIDAD
Un objeto se mueve de manera que su velocidad despus de (t) minutos es
v ( t )=1+ 4 t +3 t
( 1+4 t +3 t ) dt
v =
2
v =t+
4 t 3t
+
+c
2
3
v =0 y s=0 ; c=0
v =t+2 t 2+t 3
v ( 3)=3+2 (3 ) +(3) = 48m .
2
v =v (3 )v(2)
v =48 m18 m
v =30 m.
DISTANCIA Y VELOCIDAD
Un objeto se mueve de manera que su velocidad despus de (t) minutos es
v ( t )=3+2 t +6 t 2
segundo minuto?
v = ( 3+2 t+6 t 2 ) dt
v =3 t+
2t 2 6 t 3
+
+c
2
3
si t =0 y v=0; c=0
v =3 t+t 2+ 2t 3
v ( 2)=3(2)+ (2) +2 (2 ) =26m .
2
v ( 1)=3(1)+(1) +2 (1) =6 m .
2
v =v (2 )v ( 1)
v =26 m6 m
v =20 m.
VALOR DE LA TIERRA
Se estima que dentro de (t) aos el valor de cierta parcela se incrementar a una razn
de r(t) dlares por ao. Halle una expresin para la cantidad en que aumentar el valor
de la tierra durante los prximos 5 aos.
r (t ) =v .t
dr
=v . t
dt
r=v .
52
+c
2
r=v .
25
+c
2
rv .
25
=c
2
dr= ( v .t ) dt
r=v t dt
t2
25
r=v . +rv .
2
2
r=v .
t
+c
2
ACCESO A EVENTOS
Los promotores de una feria de distrito estiman que (t) horas despus de abrir las
puertas a las 9:00 am, los visitantes entrarn a la feria a una razn de r(t) personas por
hora. Halle una expresin para determinar el nmero de personas que entrar a la feria
entre las 11:00 am y la 1:00 pm.
HORARIO
9:00 a.m.
11:00 a.m.
13:00 a.m.
NMERO DE HORAS
0
2
4
r (n )=4 t2t
dn=( 2t ) dt
n=2 t dt
n=2
n=t
t2
+c
2
n=4 222
n=12
P( x)=80+3 x
el ingreso total que el fabricante puede esperar de la venta de las bicicletas en los
prximos 16 meses?
I= n . p
I = ( 5000 ) ( 80+3 x ) dx
1
2
I =400000 dx +15000 x dx
3
2 x2
I =400000 x +15000
+c
3
Si x=0 ; I =0 c=0
3
2 x2
I =400000 x +15000
3
Si x=16
I =400000(16)+15000
2(16)
3
3
2
P( x)=80+3 x
dlares por
bicicleta. Cul es el ingreso total que el fabricante puede esperar de la venta de las
bicicletas en los prximos 16 meses?
I= n . p
(5000+60 x)( 80+3 x)
I =
I = ( 400 000+19800 x+ 180 x ) dx
19800 x 2
x
I =400 000 x +2
+180
3
2
Si x=0 ; I =0 c=0
Si x=16
3
2
2
I =400000 ( 16 ) + 19800 ( 16 ) 2 +90 ( 16 )
3
I =$ 7 267 840.00
COSTO DE ALMACENAMIENTO
Un minorista recibe un cargamento de 12.000 lb de semillas de soya que se consumirn
a una razn constante de 300 libras por semana. Si el costo de almacenamiento de las
semillas de soya es de 0.2 centavos por libra a la semana, cunto tendr que pagar el
minorista en costos de almacenamiento en las prximas 40 semanas?
ds
=0.2 ( 12000300 t )
dt
ds= ( 240060t ) dt
s=2400 dt60 t dt
s=2400 t30 t 2+ c
Si t=0 ; s=0 c=0
s=2400 t30 t
Si t=40
s=2400 ( 40 )30 ( 40 )2
s=$ 48000.00
Se estima que dentro de (t) aos la poblacin de cierta comunidad a la orilla de un lago
cambiar a una razn de
n=
0.1 2
t +0.1 t+ c
2
n=
0.1 2
t +0.1 t+3.14
2
Si t=3
n=
0.1 2
(3 ) + 0.1 ( 3 ) +3.14
2
n=4.15 n . m. c
COSTO MARGINAL
Un fabricante ha encontrado que el costo marginal es 6q + 1 dlares por unidad cuando
se han producido q unidades. El costo total (incluidos los costos indirectos) de
produccin de la primera unidad es US $130. Cul es el costo total de produccin de
las 10 primeras unidades?
Cm= 6q + 1
CT= ( 6 q+1 ) dq
CT =6 q dq+1 dq
6
CT= q2 +q
2
CT=3 q2 +q+ c
Si q=1; CT =130 ; C=126
CT=3 q2 +q+126
Si q=10
CT=3 ( 10 ) +10+126
CT=$ 436.00
UTILIDAD MARGINAL
Un fabricante estima que el ingreso marginal es
100 q
1
2
1
2
1
2
dq
U=IT CT
dq
U=200 q 2 0.2 q2 + j
1
2
q
IT =100 + c
1
2
1
2
IT =200 q +c
CT = (0.4 q )dq
CT=0.4 q dq
0.4 2
CT=
q +k
2
520=200 ( 16 )2 0.2 ( 16 ) + j
520=748.80+ j
228.80= j
1
2
CT=0.2q 2+ k
0=1002 q
du= ( 1002 q ) dq
q=
u=100 dq2 q dq
q=50
u=100 qq 2 +c
si q=50
Si q=10 ; u=700
u=100 (50)(50)2200
700=100(10)(10)2 +c
U=$ 2300.00
100
2
7001000+100=c
200=c
u=100 qq 2200
La mxima utilidad posible de la compaa es de $2300.00
GEOMETRA
Halle la funcin cuya tangente tiene una pendiente 4x + 1 para cada valor de (x) y cuya
grfica pasa por el punto (1, 2).
2=2 ( 1 )2+ 1+ c
dy
=4 x +1
dx
2=2+1+c
dy=( 4 x +1 ) dx
23=c
y=4 x dx +1 dx
Funcin de la curva
y=4
x2
+ x+ c
2
y=2 x + x 1
y=2 x + x +c
GEOMETRA
3 x2 +6 x2
6=0 +3 ( 0 ) 2 ( 0 ) +c
dy
2
=3 x +6 x2
dx
6=c
dy= ( 3 x 2 +6 x2 ) dx
2
y=3 x dx +6 x dx2 dx
Funcin de la curva:
y=x 3 +3 x2 2 x +6
y=x 3 +3 x2 2 x +c
GEOMETRA
x 3
dy= x 3
2
+ 2 para cada valor de (x) y
2
x
1
3= + 2+ 2+c
4
1
3 22=c
4
2
+2 dx
2
x
Funcin de la curva:
5
=c x 4
x1
5
+2 x
4 y= 2
4
1
4
y= x dx2 x dx+ 2 dx
y=
x4
x1
2
+2 x+ c
4
1
GEOMETRA
Halle una funcin cuya grfica tiene un mnimo relativo cuando x = 1 y un mximo
relativo cuando x = 4.
Mnimo x=1 (x 1)
Mximo x=4 (x - 4)
dy
=( x 1 )( x4 )
dx
dy=( x25 x + 4 ) dx
2
y= x dx5 x dx +4 dx
y=
x3 5 2
x +4 x+ c
3 2