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Introduction To Time Series and Forecasting - Cap 06
Introduction To Time Series and Forecasting - Cap 06
Introduction To Time Series and Forecasting - Cap 06
Definición
Si d es un entero no negativo, entonces {Xt } es un proceso Au-
toregresivo Integrado de Media Móvil, ARIMA(p, d, q) si el proceso
Yt = (1 − B)d Xt es un proceso ARMA(p, q).
Esta definición satisface la siguiente ecuación:
Ejemplo
Consideremos {Xt } un proceso ARIMA(1, 1, 0), con |φ| < 1.
(1 − φ B) (1 − B) Xt = εt
{εt } ∼ RB(0, σ 2 )
donde
∞
X
Yt = (1 − B) Xt = φj εt−j
j=0
Series de Tiempo NO Estacionarias y Estacionales
Test de Raı́z Unitaria
Introducción
El problema de la raı́z unitaria surge cuando el polinomio autoregre-
sivo o de media móvil de un modelo ARMA tiene una raı́z cercana al
circulo unitario. Un raı́z unitaria en cualquiera de estos polinomios
tiene importantes implicaciones al modelar.
Por ejemplo, una raı́z cercana a uno de un polinomio autoregresivo
sugiere que los datos deben ser diferenciadas antes de ajustar un
modelos ARMA, mientras que una raı́z cercana a uno en el polinomio
de media móvil indica que los datos están sobre diferenciados.
Series de Tiempo NO Estacionarias y Estacionales
Test de Raı́z Unitaria
Xt − µ = φ1 (Xt−1 − µ) + εt
{εt } ∼ RB(0, σ 2 )
n
!−1/2
X
c φ̂∗ ) = σ̂
SE( (Xt−1 − X )2 ,
1
t=2
Series de Tiempo NO Estacionarias y Estacionales
Test de Raı́z Unitaria
Xt − µ = φ1 (Xt−1 − µ) + · · · + φp (Xt−p − µ) + εt
{εt } ∼ RB(0, σ 2 )
φ(B) Xt = θ(B) εt ,
∇k Xt = a + Vt
y
Xt = c0 + c1 t + · · · + ck t k + Wt ,
donde Vt y Wt son procesos ARMA invertibles.
Series de Tiempo NO Estacionarias y Estacionales
Test de Raı́z Unitaria
Definición
Si d y D son enteros no negativos, entonces {Xt } es un proceso
SARIMA(p, d, q) × (P, D, Q)s si el proceso Yt = (1 − B)d (1 −
B s )D Xt es un proceso ARMA definido como.
donde
φ(Z ) = 1 − φ1 Z − · · · − φp Z p
Φ(Z ) = 1 − Φ1 Z − · · · − ΦP Z P
θ(Z ) = 1 + θ1 Z + · · · + θp Z q
Θ(Z ) = 1 + Θ1 Z + · · · + ΘP Z Q
Series de Tiempo NO Estacionarias y Estacionales
Modelo ARIMA Estacional
SARIMA(0, 0, 0) × (1, 0, 0)12
(1 − 0.5 B 12 ) Xt = εt
{εt } ∼ RB(0, σ 2 )
1.0
0.5
0.4
0.8
0.3
0.6
Partial ACF
ACF
0.2
0.4
0.1
0.2
0.0
0.0
Lag Lag
Series de Tiempo NO Estacionarias y Estacionales
Modelo ARIMA Estacional
SARIMA(0, 0, 0) × (0, 0, 1)12
Xt = (1 + 0.8 B 12 ) εt
{εt } ∼ RB(0, σ 2 )
1.0
0.4
0.8
0.2
0.6
Partial ACF
ACF
0.4
0.0
0.2
−0.2
0.0
Lag Lag
Series de Tiempo NO Estacionarias y Estacionales
Modelo ARIMA Estacional
SARIMA(0, 0, 0) × (1, 0, 1)12
(1 − 0.5 B 12 ) Xt = (1 + 0.8 B 12 ) εt
{εt } ∼ RB(0, σ 2 )
1.0
0.6
0.8
0.4
0.6
Partial ACF
0.2
ACF
0.4
0.0
0.2
−0.2
−0.4
0.0
Lag Lag
Series de Tiempo NO Estacionarias y Estacionales
Modelo ARIMA Estacional
SARIMA(1, 0, 0) × (1, 0, 0)12
(1 − 0.6 B) (1 − 0.4 B 12 ) Xt = εt
{εt } ∼ RB(0, σ 2 )
1.0
0.6
0.8
0.4
0.6
Partial ACF
0.2
ACF
0.4
0.0
0.2
−0.2
0.0
0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50
Lag Lag
Series de Tiempo NO Estacionarias y Estacionales
Modelo ARIMA Estacional
SARIMA(1, 0, 0) × (0, 0, 1)12
(1 − 0.6 B) Xt = (1 + 0.8 B 12 ) εt
{εt } ∼ RB(0, σ 2 )
1.0
0.6
0.8
0.4
0.6
0.2
Partial ACF
ACF
0.4
0.0
0.2
−0.2
0.0
0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50
Lag Lag