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489–511 489
1. Introducción y motivación
El estudio de las ecuaciones de los fluidos incompresibles tiene cada vez un mayor
interés, tanto desde el punto de vista más teórico (integrales singulares. . . ) como
desde el enfoque más aplicado (simulaciones numéricas. . . ).
Las ecuaciones que aparecen modelizando problemas de mecánica de fluidos son
variadas, pero las más importantes son las de Euler y Navier-Stokes. De hecho, por
demostrar (o refutar) la existencia global de solución clásica para Navier-Stokes el
Instituto Clay otorga un premio de un millón de dólares.
Consideramos como dominio espacial el plano o el espacio, i.e. Rd con d = 2, 3, y
exigimos que la velocidad del fluido sea cero en el infinito. Sea además f el campo de
velocidades inicial. Entonces las ecuaciones de Euler (1707–1783) para la velocidad
u de un fluido incompresible son
Aceleración Fuerzas internas Fuerzas externas
Masa
z}|{z }| { z }| { z}|{
ρ (∂t u + (u · ∇)u)= −∇p + F (Conservación del momento),
∇ · u = 0, (Conservación de la masa),
(1)
∗ Agradecimientos: R. Granero está financiado por el proyecto MTM2008-03754 del Ministerio
∂t ω + u · ∇ω = 0, (3)
La diferencia entre ambos casos aparece también en las longitudes de onda que
están íntimamente relacionadas con el fenómeno de la turbulencia (ver [13]). La
turbulencia tiene como efecto principal facilitar que dos fluidos se mezclen, por lo
tanto, llegados a este punto podemos experimentar un teorema. Para este pequeño
juego necesitamos dos vasos pequeños llenos hasta arriba, uno de ellos de agua y
el otro de vino. La cuestión es: ¿cómo conseguimos cambiar los líquidos de vaso sin
usar un tercer recipiente y sin que se mezclen? Para responder a esta pregunta hemos
de conocer cómo es la turbulencia en tres dimensiones y qué diferencia hay con dos
dimensiones. Así, si conseguimos una manera de reducir el problema tridimensional
a uno bidimensional hemos acabado, porque en dos dimensiones no hay turbulencia
y esta es la culpable de que los líquidos se mezclen. Para conseguir esta reducción
en las dimensiones lo que hacemos es tapar el vaso de agua con un carné y colocarlo
con cuidado encima del vaso de vino. Si lo hemos hecho bien no se ha salido ni una
gota. Ahora abrimos una rendija minúscula entre los vasos y el carné. El agua es
más densa, por lo tanto comenzará a bajar mientras que el vino subirá. . . ¡y todo
esto sin mezclarse! (ver figura 1).
Figura 1: Experimento.
Tras esta excursión por las ciencias experimentales volvamos a las matemáticas.
La vorticidad ω es una cantidad que aparece en el conocido criterio de existencia
global de Beale-Kato-Majda (ver [1]):
Teorema 1 (Beale-Kato-Majda). Sean T ∗ y M dos constantes tales que
Z T
kωkL∞ ≤ M ∀T < T ∗ .
0
Entonces una solución clásica de las ecuaciones de Euler (1) existe al menos hasta
tiempo T ∗ . Además, si T máx es el tiempo máximo de existencia (es decir, aparece
una singularidad), entonces
Z T
lı́m kωkL∞ = ∞.
T →T máx 0
492 La ecuación de Burgers y los fluidos incompresibles
Este teorema nos dice que si controlamos lo que gira el fluido entonces no hay
singularidades, por lo tanto conocer cómo se comporta la vorticidad es crucial para
intentar entender qué hace el fluido. En efecto, también es interesante porque si
la conocemos podemos recuperar la velocidad gracias a la fórmula de Biot-Savart
(ver [4]). En el caso bidimensional, la ley de Biot-Savart es
Z
u= K(x − y)ω(y) dy = K(ω)
R2
con
1 −x2 x1
K(x) = , .
2π |x|2 |x|2
Ahora bien, con lo que acabamos de mencionar podemos ver que el problema de
las ecuaciones de Euler (1) en el caso bidimensional podemos formularlo de manera
equivalente como un escalar activo, es decir, un escalar que es transportado por el
fluido de manera que además podemos recuperar la velocidad del fluido si conocemos
el escalar. En efecto: recordemos que teníamos la ecuación para la vorticidad (que en
dos dimensiones es un escalar) (3); esto unido a u = K(ω) cierra el problema para
la vorticidad. Además, si asumimos que nuestro dato inicial está acotado, usando el
teorema 1, tenemos que la solución clásica del sistema (1) existe globalmente.
El estudio matemático de los escalares activos tiene una gran relevancia en cuanto
que son sistemas sencillos que conservan el carácter no local de un fluido incompre-
sible. Además de que hay multitud de aplicaciones donde el problema físico se puede
modelizar con un escalar activo. Por ejemplo tenemos el caso de la ecuación cuasi-
geostrófica (ver [5], [8], [16], [7] y las referencias allí expuestas) o de la ley de Darcy
(ver [10], [11], [12], [9], [2], [20]). La ecuación cuasigeostrófica modeliza la evolución
de la temperatura de grandes masas de aire en grandes escalas espaciales y es muy
estudiada como modelo de la frontogénesis (la formación de frentes de aire a distinta
temperatura). Este problema es de interés en meteorología, porque ya se sabe que
La falta de acierto de quienes predicen el tiempo se ha hecho ya prover-
bial, y sin embargo no hay ningún meteorólogo competente que no opine
que los procesos atmosféricos están causalmente determinados.
Max Planck (extraído de [21])
La ecuación cuasigeostrófica en dos dimensiones espaciales es
∂t θ + u · ∇θ = 0,
(5)
u = R⊥ u = (−R2 θ, R1 θ),
donde Ri es la transformada de Riesz i-ésima (ver [22]) y θ es la temperatura del
aire.
La ley de Darcy modeliza un fluido incompresible que se mueve a bajas velo-
cidades por un medio poroso. Así, si ρ(x, t) es la densidad del fluido se tiene el
problema
∂t ρ + u · ∇ρ = 0,
u = −(∇p + ge2 ρ),
∇ · u = 0.
La Gaceta ? Artículos 493
Este problema puede reducirse a un escalar activo tomando el rotacional dos veces
en la ecuación, obteniendo
∂t ρ + u · ∇ρ = 0,
(6)
u = (−∆)−1 (rot rot ge2 ρ).
[ = |ξ|2 û.
−∆u
√
Podemos definir el operador Λ = −∆ mediante
c = |ξ|û,
Λu (7)
y, equivalentemente,
α u = |ξ|α û.
Λd (8)
Notemos que también podemos escribir el resultado de aplicar el laplaciano fraccio-
nario como la siguiente convolución:
u(x) − u(y)
Z
Λα u(x) = β(α, d) v. p. d+α
dy (9)
Rd |x − y|
donde β(α, d) es una constante de normalización. Los operadores (7) y (8) (o su ver-
sión (9)) son lo que nosotros entendemos por potencias fraccionarias del laplaciano.
Así, las ecuaciones (5) y (6) con difusión no local son
∂t θ + u · ∇θ = −γΛα θ,
u = R⊥ u = (−R2 θ, R1 θ),
y
∂t ρ + u · ∇ρ = −γΛα ρ,
u = (R1 R2 , −R12 )ρ.
Para irnos aproximando a estos problemas podemos plantearnos otros más sen-
cillos o simplificados. Por ejemplo, consideremos un escalar activo
∂t η + u · ∇η = −γΛα η,
(10)
u = T (η),
De aquí se sigue la parte a) del resultado. Para obtener la parte b) hemos de utilizar
el teorema de Plancherel:
Z Z Z 2
Λα uu dx = ¯ dξ =
|ξ|α ûû Λα/2 u dx.
R R R
∂t uγ + uγ ∂x uγ = −γΛα uγ ,
f0 = −sin(x)
1
ν=1
ν=0.5
ν=0.1
0.8
ν=0
0.6
0.4
0.2
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−3 −2 −1 0 1 2 3
Las integrales que faltan son las más singulares por tener el mayor número de de-
rivadas, sin embargo sólo nos hemos de preocupar de I3 , porque I4 es igual. En
efecto,
−I3
Z Z
1 1
u∂x (∂x3 u)2 dx = − ∂x u(∂x3 u)2 dx =
I4 = .
2 R 2 R 8
Por lo tanto sólo hemos de acotar la integral I3 . Se tiene que
y concluimos que
d 3 2
k∂ uk 2 ≤ ckuk3H 3 .
dt x L
Usando la proposición 1 obtenemos
d
kukH 3 ≤ ckuk2H 3 .
dt
Sin más que integrar la EDO se concluye la primera parte del resultado.
Comentario 1. Es más, si f ∈ H k (R), k > 3, se tiene la siguiente cota:
kf kH k
kukH k (t) ≤ . (14)
1 − ckf kH k t
ρ(x) = R 1 1
− 1−y
.
2
−1
e dy
e integrando por partes tenemos unas estimaciones para uε como las de la proposi-
ción 1.
Proposición 3. Sea uε solución de (15) con dato inicial f ∈ H k (R), k ≥ 3. En-
tonces se tiene la siguiente cota:
kf kH k
kuε kH k (t) ≤ .
1 − ckf kH k t
es localmente (es decir, si kukH k < λ para cierto λ) de Lipschitz con respecto a
la norma H k . Para empezar hemos de asegurarnos que no perdemos derivadas al
aplicar Fε . Esto se consigue porque en lugar de derivar uε derivamos el núcleo ρε ,
de manera que uε no pierde derivadas. Veamos que Fε es de Lipschitz:
Lema 1. Sea λ > 0, entonces para todo ε > 0 Fε es una función de Lipschitz en
{g : g ∈ H k (R), kgkH k ≤ λ} con k ≥ 3.
Demostración. Se tiene que
Utilizamos ahora que, si s > 1/2, H s (R) es un álgebra de Banach, es decir, que se
cumple
kf gkH s ≤ kf kH s kgkH s .
Gracias a esta propiedad de los espacios de Sobolev tenemos que
Para la integral I2 se hace igual. Hay que sumar y restar los términos
kuε kH k ≤ C(T, kf kH k ),
2.5. Regularidad de u
Gracias a los lemas anteriores podemos demostrar el siguiente resultado:
Teorema 2 (Existencia local de solución clásica). Sea f ∈ H k , k ≥ 3. Entonces
existe una única u ∈ C([0, T ], H k ) ∩ C 1 ([0, T ], H k−2 ), definida como el límite uni-
forme en compactos de R de uε , solución clásica del problema (12) con γ ≥ 0 y
0 < α ≤ 2.
Para concluir que u ∈ C 1 ([0, T ], H k−2 ) tenemos que obtener una cota para
k∂t ukH k−2 ,
k∂t ukH k−2 ≤ γkΛα ukH k−2 + kukH k−2 k∂x ukH k−2 ≤ C(kf kH k , T, γ),
y entonces
kukC 1 ([0,T ],H k−2 ) = máx kukH k−2 + k∂t ukH k−2
0≤t≤T
≤ máx kukH k−2 + máx γkΛα ukH k−2 + máx kukH k−2 k∂x ukH k−2
0≤t≤T 0≤t≤T 0≤t≤T
≤ C(kf kH k , T, γ),
de donde
| máx u(t1 , x) − máx u(t2 , x)| ≤ máx máx(∂t u(s, x))(t1 − t2 ) = L(t1 − t2 ).
x x s∈[0,T ] x
504 La ecuación de Burgers y los fluidos incompresibles
Usando el teorema de Rademacher tenemos que M (t) es derivable en casi todo punto,
M (t + hj ) − M (t) u(t + hj , xt+hj ) − u(t, xt )
M 0 (t) = lı́m = lı́m
hj →0 hj hj →0 hj
u(t + hj , xt+hj ) ± u(t, xt+hj ) − u(t, xt )
= lı́m = ∂x u(t, xt ) + ∂t u(t, xt )
hj →0 hj
= ∂t u(t, xt ).
De manera que, si γ = 0,
1
M 0 (t) = ∂t u(t, xt ) = −u(t, xt )∂x u(t, xt ) = − ∂x (u2 (t, xt )) = 0
2
donde en la última igualdad hemos usado que u(t, xt ) es máximo. En el caso en el
que γ ≥ 0 tenemos que dar signo al término −γΛα u(t, xt ). Usaremos la expresión
como una convolución (9). Se tiene que
u(t, y) − u(t, xt )
Z
α
−γΛ u(t, xt ) = c v. p. dy ≤ 0.
R |x − y|1+α
En el caso en el que α = 2 el resultado se reduce a conocer qué signo tiene la segunda
derivada en un punto de máximo.
Para el mínimo se hace de manera análoga.
5. Buscando singularidades
Consideramos la ecuación (12) con γ = 0. Se trata de una ecuación de transporte
unidimensional no-lineal, por lo tanto es susceptible de aplicarle el método de las
características. Esa técnica aplicada a esta ecuación se puede encontrar en casi todos
los manuales de ecuaciones diferenciales. Nosotros utilizaremos una técnica similar
a la que utilizamos para probar el principio del máximo en la sección 2. Queremos
encontrar una singularidad para u. Por la proposición 5 tenemos que u no explota,
por lo tanto si hay una singularidad debe estar en alguna de las derivadas espaciales
de u. Como estamos en el caso no viscoso solamente tenemos una derivada espacial,
así que ∂x u es nuestra candidata a cantidad que explota.
Así sea u ∈ H 3 (R) una solución clásica de (12). Por la inmersión de Sobolev se
tiene que ∂x u ∈ C 1 (R). Ahora la idea es aplicar el teorema de Rademacher a ∂x u.
De manera análoga a la de la demostración de la proposición 5 se demuestra que, si
mx (t) = mı́nx∈R ∂x u = ∂x u(t, xt ), se cumple
m0x = −m2x .
mx (0)
mx (t) = .
1 + tmx (0)
T = 0.15 T = 0.3
1 1
0.8 0.8
0.6 0.6
0.4 0.4
0.2 0.2
0 0
−3 −2 −1 0 1 2 3 −3 −2 −1 0 1 2 3
T = 0.45 T = 0.6
1 1
0.8 0.8
0.6 0.6
0.4 0.4
0.2 0.2
0 0
−3 −2 −1 0 1 2 3 −3 −2 −1 0 1 2 3
Si y = u(t, x) es la superficie del agua (entonces la ola viene dada por la curva
(x, u(t, x))), y v = (v1 , v2 ) es el campo de velocidades del agua, entonces la ecuación
de la interfase entre el agua y el aire es
Ahora observamos que en las olas la parte más alta se mueve a mayor velocidad que
la parte más baja. Por lo tanto parece natural (al menos como primera aproximación)
hacer la hipótesis v1 (x, u(t, x), t) = cu(t, x) (la constante c podemos tomarla igual
a 1 si hacemos un cambio de variables). Así, si despreciamos la velocidad vertical,
v2 (x, u(t, x), t) ≈ 0, tenemos la ecuación de Burgers no viscosa como modelo del perfil
de una ola. Podemos razonar también que la curva cambia según sea su curvatura,
de manera que v2 (x, u(t, x), t) ≈ κ[u] con κ[u] la curvatura de la curva u. Además,
si suponemos curvas suaves de amplitud pequeña podemos linealizar la curvatura
obteniendo el operador γ∂x2 u(t, x). Así, con hipótesis razonables al menos en primera
aproximación, obtenemos la ecuación de Burgers viscosa como modelo simplificado
del perfil de una ola.
Una ola unidimensional con unas ciertas características (longitud de onda, am-
plitud. . . ) puede modelizarse en un mejor nivel de aproximación con la ecuación
Korteveg-de Vries siguiente:
∂t u + ∂x uu = ∂x3 u. (16)
Veamos de manera muy resumida cómo puede derivarse formalmente esta ecuación.
Para describir una ola consideramos que el agua bajo la superficie tiene un flujo
irrotacional, i.e. v = ∇φ para cierta función escalar φ. Si suponemos válidas las
La Gaceta ? Artículos 507
ecuaciones de Euler para el agua bajo la superficie tenemos que φ sigue la ley
1
∂t φ + |∇φ|2 + p + gy = 0.
2
Además, por la incompresibilidad se tiene ∆φ = 0.
La coordenada y se distingue de la x en que actúa la gravedad, P∞ por lo tanto
parece natural hacer un desarrollo de φ en potencias de y, φ = n=0 y n φn (t, x). Si
consideramos olas pequeñas en amplitud con respecto a la longitud de onda, entonces
tenemos que despreciar los términos de orden grande en y en nuestra expresión
para φ.
Si además suponemos que ∂x φ0 ≈ u podemos concluir la ecuación (16). Esta
hipótesis se motiva por los desarrollos en serie de potencias anteriores.
Observamos que la hipótesis para obtener la ecuación de KdV es menos restric-
tiva que para obtener la ecuación de Burgers, pues exclusivamente suponemos que
∂x φ0 (t, x) = u(t, x), no que ∂x φ(x, f (t, x), t) = v1 (x, f (t, x), t) = u(t, x). Considera-
mos por lo tanto discrepancias en los ordenes mayores.
6. Método numérico
En la siguiente sección nos proponemos dar una aproximación numérica al pro-
blema (11) propuesto en T. Las técnicas que ahora explicamos se han usado para
generar las gráficas de las figuras 4 y 5.
T = 0.2 T = 0.4
1 1
0.5 0.5
0 0
−0.5 −0.5
−1 −1
−3 −2 −1 0 1 2 3 −3 −2 −1 0 1 2 3
T = 0.6 T = 0.8
1 1
0.5 0.5
0 0
−0.5 −0.5
−1 −1
−3 −2 −1 0 1 2 3 −3 −2 −1 0 1 2 3
IN u(xj ) = u(xj ), j = 0, . . . , N − 1.
y puede demostrarse que están relacionados con los coeficientes ûk de la serie de
Fourier de u(x) mediante
∞
X
ũk = ûk + ûk+N m , k = −N/2, . . . , N/2 − 1.
m6=0,m=−∞
Sabiendo cómo aproximar u(x), es importante saber cómo aproximar ∂x u(x). Para
ello derivamos el interpolante trigonométrico anterior obteniendo
N/2−1
X
∂x IN u(x) = ikũk eikx .
k=−N/2
T = 0.75 T = 1.5
1 1
0.5 0.5
0 0
−0.5 −0.5
−1 −1
−3 −2 −1 0 1 2 3 −3 −2 −1 0 1 2 3
T = 2.25 T=3
1 1
0.5 0.5
0 0
−0.5 −0.5
−1 −1
−3 −2 −1 0 1 2 3 −3 −2 −1 0 1 2 3
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