Guias 7 8 9 Geometria Grado 8°
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Geometría en el espacio
Al observar nuestro alrededor podemos notar una infinidad de objetos que ocupan un lugar en el espacio
físico en el cual nos desenvolvemos. Cada uno de estos posee un largo, un alto y un ancho determinado,
es decir, tienen tres dimensiones. De acuerdo a lo anterior, todo lo que percibimos son seres y objetos
tridimensionales.
A continuación estudiaremos los cuerpos geométricos que corresponden a aquellos objetos tridimensionales
con algunas características particulares que nos hacen más fácil su estudio, como por ejemplo, aquellos
cuerpos que están compuestos por polígonos iguales, como lo es un dado, o aquellos cuerpos que son
completamente redondos, como lo es una bola de billar.
? Un cuerpo geométrico es un sólido, que ocupa un lugar en el espacio, limitado por una o más
superficies.
? Los cuerpos geométricos los podemos clasificar en poliedros o cuerpos redondos de acuerdo a la
naturaleza de sus caras. A continuación estudiaremos cada uno de ellos por separado.
Los poliedros
Definición 1 (Caras...).
Son las superficies poligonales planas que limitan al poliedro. En la figura 1 se muestra una de las caras de
un poliedro.
Definición 2 (Aristas...).
Son los lados de los polígonos que forman al poliedro. Hay que tener en cuenta que siempre dos caras
van a tener una arista en común correspondiente a la intersección de ambas superficies. En la figura 1, se
muestra una de las 12 aristas que tiene el poliedro.
Definición 3 (Vértices...). Un vértice es el punto donde coinciden tres o más aristas de un polígono.
Se llama área lateral (AL ) a la suma de de las áreas de las caras laterales. En el desarrollo, el área lateral
corresponde con el área del rectángulo. Así
AL = p · h p : perímetro de la base
Se llama área total (AT ) al área del desarrollo en el plano. Se obtiene sumando el área lateral y el área de
las dos bases.
AT = AL + 2AB AB : área de la base
Ejemplo 1.
Solución .
6cm
Definición 5 (Pirámide...). V
El volumen de una pirámide es igual a un tercio del producto de la base por la medida de la altura.
V = 13 · AB · h V : Volumen, h : Altura
Ejemplo 2. Hallar el área lateral , el área total y el volumen del siguiente prisma.
Solución .
Área lateral
AL = (perímeto).(altura)
h = 12cm
4cm
3cm
5cm
AT = (144cm2 ) + 2( (3cm)(4cm)
2
) V = ( (3cm)(4cm)
2
)(12cm)
Solución .
5c
6cm
Volumen
Área de la base
1
V = · AB · h
AB = (Lado) (Lado) 3
1
V = · 36cm2 · (4cm)
AB = (6cm)(6cm) 3
AB = 36cm2 V = 36cm3
Actividades a presentar.
Ejercicio 1.
Determine el área total y el volumen de cada una de las figuras que se dan a continuación
ASESORÍA:
En caso de tener dudas o no entiende algo sobre esta guía, comuníquese con el número que aparece en la
parte de arriba de este documento”.
Dónde consultar...
2. Los vídeos relacionados con el tema serán colocados en el grupo de whatsapp por parte del profesor.
Geometría en el espacio
Al observar nuestro alrededor podemos notar una infinidad de objetos que ocupan un lugar en el espacio
físico en el cual nos desenvolvemos. Cada uno de estos posee un largo, un alto y un ancho determinado,
es decir, tienen tres dimensiones. De acuerdo a lo anterior, todo lo que percibimos son seres y objetos
tridimensionales.
A continuación estudiaremos los cuerpos geométricos que corresponden a aquellos objetos tridimensionales
con algunas características particulares que nos hacen más fácil su estudio, como por ejemplo, aquellos
cuerpos que están compuestos por polígonos iguales, como lo es un dado, o aquellos cuerpos que son
completamente redondos, como lo es una bola de billar.
? Un cuerpo geométrico es un sólido, que ocupa un lugar en el espacio, limitado por una o más
superficies.
? Los cuerpos geométricos los podemos clasificar en poliedros o cuerpos redondos de acuerdo a la
naturaleza de sus caras. A continuación estudiaremos cada uno de ellos por separado.
Cuerpos Redondos
Los tres cuerpos redondos más conocidos son: cilindro, cono y esfera.
Definición 1 (Cilindro...). Un cilindro es un cuerpo redondo limitado por una cara curva y dos caras
planas con forma de círculo (Figura 1.)
Base 2
r r
Superficie
Lateral h
Generatriz
h
Base 1 2.π.r
Figura 1. Figura 2.
r
Para hallar el área total y el volumen de un cilindro es necesario identificar en él las siguientes medidas.
También es necesario recurrir al desarrollo del cilindro (Figura 2.) para deducir las fórmulas de área lateral
y área total.
El área lateral corresponde al área del rectángulo. Como la base del rectángulo es igual a la longitud de la
circunferencia, entonces
AL = (2π · r) · h
V = AB · h o V = π · r2 · h
..............................................................................................
Definición 2 (Cono...). Un cono es un cuerpo redondo limitado por una cara curva y una cara plana
con forma de círculo, llamada base {Figura 3).
θ
g
h g
2.π.r
r Figura 4.
r
Desarrollo del cono
Figura 3.
Para deducir las fórmulas de área total y volumen de un cono es necesario recurrir a su desarrollo en el
plano (Figura 4).
De acuerdo con el desarrollo en el plano, el área lateral (AL ) del cono es el área del sector circular:
AL = π · r · g
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Institución Educativa "El Recuerdo"
Resolución de Aprobación Oficial No. 0143 de 2017
DANE. 123001800064 NIT. 901048820-9
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El área total es la suma del área lateral más el área de la base, luego,
AT = AL + AB
AT = (π · r · g) + π · r 2 = π · r (g + r)
El volumen de un cono es la tercera parte del producto del área de la base por la altura.
V = 31 πr 2 · h
Diámetro
curva. Todos los puntos de la superficie de la radio
esfera equidistan de un punto llamado cen-
tro. La distancia de un punto de la superficie
Círculo
de la esfera al centro se llama radio {Figura máximo
8).
Figura 8.
El área total de la superficie de una esfera de radio r es igual a cuatro veces el área del círculo máximo.
AL = 4 · π · r 2
El volumen de una esfera es igual a cuatro tercios del producto de pi (π) por el radio al cubo.
V = 34 π · r 3
Ejemplo 1.
Determine la longitud de la generatriz, el área de
la superficie total y el volumen de la figura dada.
Solución .
? Generatriz:
Aplicando el teorema de Pitágoras tengo que
g 2 = 82 + 152
g 2 = 64 + 225 = 289
√
g = 289 = 17cm
? Área total:
El área total es la suma del área lateral más el área de la base, luego,
AT = (π · r · g) + π · r2
AT = (π · 8 · 17) + π · 82
AT = 200πcm2
? Volumen:
El volumen del cono es un tercio de pi (π) por el radio al cuadrado, por la altura, luego,
1
V = π · r2 · h
3
1
V = π · 82 · 15
3
V = 320πcm3
Ejemplo 2.
Determine el área de la superficie total y el
volumen de la figura dada.
Solución .
El área total es la suma del área lateral más el área de las dos bases, luego,
AT = (2π · r · h) + 2π · r2
AT = (2π · 8 · 35) + 2π · 82
? Volumen:
El volumen del cilindro es pi (π) por el radio al cuadrado, por la altura, luego,
V = π · r2 · h
V = π · (8)2 · (35)
V = 2240πcm3
Actividades a presentar.
Ejercicio 1.
Determine el área total y el volumen de cada una de las figuras que se dan a continuación
3.
1.
2. 4.
ASESORÍA:
En caso de tener dudas o no entiende algo sobre esta guía, comuníquese con el número que aparece en la
parte de arriba de este documento”.
Dónde consultar...
2. Los vídeos relacionados con el tema serán colocados en el grupo de whatsapp por parte del profesor.
Las regiones circulares, son regiones del plano contenidas entre un arco de una circunferencia y radios,
cuerdas o diámetros, o bien con otra circunferencia.
L = 2πr , π = 3,14159 . . .
Definición 2 (Radio...). Cualquier recta que una algún punto de la circunferencia con su centro será
denominada radio, el elemento básico de cualquier círculo y circunferencia, ya que sirve para calcular otras
magnitudes como la superficie.
m Aunque pueden trazarse infinitas líneas entre una circunferencia y su centro, todas tendrán siempre la
misma longitud.
r= L
2π
, π = 3,14159 . . .
Definición 3 (Diámetro...). Segmento que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. La
longitud del diámetro es dos veces la del radio (d = 2r).
Definición 4 (Arco...). Una porción cualquiera de una circunferencia, recibe el nombre de «arco» de la
circunferencia. Se representa con la letra L.
Definición 6 (Perímetro del círculo...). Corresponde a la longitud de la circunferencia y está definida como
el producto del diámetro por el valor del número irracional π.
P = 2πr
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Definición 7 (Área del círculo...). Corresponde a la superficie limitada por la circunferencia y está definida
de la siguiente manera.
A = πr2
r r
Círculo Circunferencia
Es la porción del círculo limitada por dos circunferencias concéntricas (tienen el mismo centro). También
se le conoce como anillo circular.
m Observa que el área de la corona circular se calcula como la diferencia entre el área del círculo mayor
(Amayor ) y el área del círculo menor (Amenor ). Es decir:
Corona circular
Definición 9 (Longitud de arco...). En una circunferencia de radio «r» un ángulo central de «θ» radianes
determina una longitud de arco «L», que se calcula multiplicando el número de radianes «θ» y el radio de
la circunferencia.
2π·R·θ
L=θ·R= 360◦
2
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Observación .
Notemos que en la anterior definición apareció un nuevo elemento llamado «Radián», para saber de que se
trata damos la siguiente...
Definición 10 (Radián...). Un «Radián», es el ángulo central de una circunferencia que abarca un arco de
igual longitud que el radio «r» de la misma, es decir, un radián es el pedazo de arco de una circunferencia
que mide lo mismo que el radio de dicha circunferencia.
α π · α · (R2 − r2 )
Área = π · (R − r)2 · o Área =
360◦ 360◦
2π·(R+r)·θ
Perı́metro = 360◦
+ 2 (R − r)
Definición 12 (Sector Circular...). Un sector circular es la porción de un circulo delimitada por dos radios r
y un arco de circunferencia L:
El Área del sector circular depende del radio (r) del círculo y el ángulo del sector circular (θ).
θ
Área = π · r2 · 360◦
θ
Perı́metro = 2r + L; L=2·π·r· 360◦
Definición 13 (Segmento Circular...). Un segmento circular corresponde a la región limitada por una cuerda
y el arco de circunferencia L que se determina:
Definición 14 (Cuerda...). Es una línea que une 2 puntos cualesquiera de una circunferencia y no está sujeta
a ninguna condición (como es el caso del diámetro). Dentro de una circunferencia pueden existir infinitas
cuerdas.
El Área del segmento circular se calcula restando el área del 4ABC de la figura, del área del sector
circular comprendido entre los radios AC y AB, esto es,
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θ
Ásegmento = π · r2 · 360◦
− A4ABC
..............................................................................................
Actividades Resueltas
Solución.
La fórmula a utilizar es: Área = π · r · 2 θ
360◦
, de la figura obtenemos que r = 6m y θ = 30◦ .
Luego,
θ
Área = π · r2 ·
360◦
30◦
Área = π · (6m)2 ·
360◦
30 ◦
2·
Área = π ·
36m
36
0
◦
2
Área = 3πm
Solución.
π · r2 · θ b·h
ASector = AT riángulo = ASegmento = ASector − AT riángulo
360◦ 2
π · (18)2 · 90◦ (18) (18) ASegmento = 254,47 cm2 − 162 cm2
ASector = AT riángulo =
360◦ 2 ASegmento = 92,47 cm2
ASector = 254,47 cm2 AT riángulo = 162 cm2
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Solución.
Vemos las fórmulas para calcular el área y el perímetro del trapecio circular
Solución.
Vemos las fórmulas para calcular el área y el perímetro del trapecio circular
ACorona = π · R2 − r2
8cm
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Ejercicio 1.
Ejercicio 2.
Ejercicio 3.
..............................................................................................
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