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Guia Geometria 8
Guia Geometria 8
Guia Geometria 8
Geometría en el espacio
Al observar nuestro alrededor podemos notar una infinidad de objetos que ocupan un lugar en el
espacio físico en el cual nos desenvolvemos. Cada uno de estos posee un largo, un alto y un ancho
determinado, es decir, tienen tres dimensiones. De acuerdo a lo anterior, todo lo que percibimos son
seres y objetos tridimensionales.
٨ Un cuerpo geométrico es un sólido, que ocupa un lugar en el espacio, limitado por una o
más superficies.
Un poliedro es un cuerpo geométrico que está de- limitado por superficies planas en forma de polígonos.
- En un poliedro se distinguen los siguientes elementos: caras, aristas y vértices. (Figura 1.)
- Los ejemplos más comunes de poliedros son los prismas y las pirámides
CARAS
Son las superficies poligonales planas que limitan al poliedro. En la figura 1 se muestra una de las caras de
un poliedro
ARISTAS
Son los lados de los polígonos que forman al poliedro. Hay que tener en cuenta que siempre dos caras van
a tener una arista en común correspondiente a la intersección de ambas superficies. En la figura 1, se
muestra una de las 12 aristas que tiene el poliedro.
VERTICES
1
PRISMA
Se llama área lateral (AL) a la suma de las áreas de las caras laterales. En el desarrollo, el área
lateral corresponde con el área del rectángulo. Así
AL = p · h p : perímetro de la base
Se llama área total (AT ) al área del desarrollo en el plano. Se obtiene sumando el área lateral y el
área de las dos bases.
2
EJEMPLO.
4cm
PIRAMIDE
La altura h de la pirámide es la
distancia que hay desde el vértice
hasta su base, tomada
perpendicularmente a la base ver
(Figura 4).
Para hallar el área total y el volumen
de una pirámide es necesario recurrir
a su desarrollo en el plano.
El desarrollo en el plano de una
pirámide está formado por el polígono
de la base y tantos triángulos como
lados tiene la base (Figura 5).
El área lateral (AL) de la pirámide es
la suma de las áreas de las caras
laterales. El área total (AT ) se
obtiene sumando el área lateral con el
área de la base (AB).
El volumen de una pirámide es igual a un tercio del producto de la base por la medida de la altura.
V : Volumen, h : Altura
3
Ejemplo 3. Hallar el área total y el volumen de la siguiente pirámide.
Solución .
6cm
(base) · (altura) AT = AL + AB
A =4 2 2
L
2
AT = 24cm + 36cm
(3cm) · (4cm)
AL = 4
AT = 60cm2
2
AL = 24cm2
Volumen
Área de la base
1
AB= (Lado) (Lado) V = · AB · h
3
1
AB = (6cm)(6cm) V = · 36cm2 · (4cm)
3
A B = 36cm2 V = 36cm3
4
Los tres cuerpos redondos más conocidos son: cilindro, cono y esfera.
Definición 1 (Cilindro...). Un cilindro es un cuerpo redondo limitado por una cara curva y dos caras
planas con forma de círculo (Figura 1.)
Base 2
r
Superfici
e Lateral h Generatriz
h
Base 1
Figura 1.
Para hallar el área total y el volumen de un cilindro es necesario identificar en él las siguientes medidas.
AL = (2π · r) · h
1
CONO Un cono es un cuerpo redondo limitado por una cara curva y una cara plana con forma de
círculo, llamada base {Figura 3).
4.
Para deducir las fórmulas de área total y volumen de un cono es necesario recurrir a su
desarrollo en el plano (Figura 4).
De acuerdo con el desarrollo en el plano, el área lateral (AL ) del cono es el área del sector circular:
AL = π · r · g
El área total es la suma del área lateral más el área de la base, luego
2
El volumen de un cono es la tercera parte del producto del área de la base por la altura.
Diámetro
equidistan de un punto llamado cen- tro.
La distancia de un punto de la superficie de Círculo
la esfera al centro se llama radio {Figura 8). máximo
Figura 8.
El área total de la superficie de una esfera de radio r es igual a cuatro veces el área del círculo máximo.
El volumen de una esfera es igual a cuatro tercios del producto de pi (π) por el radio al cubo.
EJEMPLO1.
٨ Generatriz:
Aplicando el teorema de Pitágoras tengo que
g 2 = 82 + 152
g 2 = 64 + 225 = 289
√
g = 289 = 17cm
٨ Área total:
El área total es la suma del área lateral más el área de la base, luego,
AT = (π · r · g) + π · r2
A = (π · 8 · 17) + π·
2
8T
AT = 200πcm2
٨ Volumen:
El volumen del cono es un tercio de pi (π) por el radio al cuadrado, por la altura, luego,
1
V= π · r2 · h
3
1 2
V = π · 8 · 15
3
V = 320πcm3
Ejemplo 2.
Solución .
El área total es la suma del área lateral más el área de las dos bases, luego,
AT = (2π · r · h) + 2π ·
AT = (2π · 8 · 35) + 2π · 82
r2 A T = 560π + 128π
=688πcm2
Institución Educativa "El Recuerdo"
Resolución de Aprobación Oficial No. 0143 de 2017
- Volumen:
El volumen del cilindro es pi (π) por el radio al cuadrado, por la altura, luego,
V = π · r2 · h
V = π · (8) · (35)
2
V = 2240πcm3
NOTA: en clase se realizará la retroalimentación de cada cuerpo geométrico, como hallar el área y el
volumen, es importante tener el resumen en sus cuadernos así realizar lluvia de idea o preguntas referente al
tema