Derivada.

Matemática 1 2020

30 de abril de 2024

1. Introducción.
Este repartido está dedicado a la derivada, donde analizaremos los siguientes
puntos.

1. Repasamos la definición rigurosa y la noción intuitiva que habı́amos pre-

sentado.
2. Planteamos herramientas de cálculo.
3. Discutimos la interpretación fśica de la derivada y un concepto fundamen-
tal: Primitiva de una función.
4. Estudiaremos su utilidad para determinar la imagen de una función: bus-
cando máximos y mı́nimos relativos y absolutos.

2. Definición formal y noción intuitiva de deri-

vada.
La idea fundamental que tomamos como noción intuitiva de derivada es la
siguiente: f : D ⊂ R → R es derivable en un punto x de su dominio si existe
una única recta que es la que mejor aproxima a f cerca del punto x. Esta recta
se llama recta tangente en el punto x y se llama derivaba de f en x al valor de la
pendiente de la recta: es decir siendo la recta tangente de la forma r(x) = ax+b,
se llama derivada de f en x al valor a. Esta noción tiene solo sentido estudiarla
para funciones que son continuas, ya que si el gráfico presenta saltos no tiene
sentido aproximarlo con una recta cerca de los puntos donde se dan los saltos.
Este valor, es decir la pendiente de la recta tangente en x, se denota por f ′ (x).
Para formalizar esta noción intuitiva la herramienta clave es el lı́mite que
formalizamos en el tercer repartido del curso. En este caso la clave es estudiar el

1
cociente incremental en el punto x: Fijado x en el dominio el cociente incremental
es la función de variable h 6= 0 que tiene la siguiente forma:

f (x + h) − f (x)
∆(h) =
h
Tal cociente representa la tangente del ángulo alfa que vemos en la siguiente
figura.

Gráfico de f

f (x + h)

f (x) ∆h
α

x x+h

Figura 1: Triángulo cuya hipotenusa intenta aproximar la recta tangente al

gráfico de f en x.

La idea es que a medida achicamos el valor de h, el valor de ∆(h) se estabilice,

es decir se acerque a un valor L, y entonces en esta buena situación podremos
decir que la recta que mejor aproxima a f en el punto x de su dominio debe
tener pendiente L. Entonces: decimos que f es derivable en el punto x de su
dominio si existe el lı́mite
lı́m ∆(h)
h→0

a cuyo valor le llamamos derivada de f en x y lo denotamos por f ′ (x).

Teniendo ahora la definición formal de la derivada de f , nos preguntamos
cómo se establece la recta tangente de f en el punto x0 (ponemos el cero debajo
de x para evitar confusión con la variable en el desarrollo que sigue). Buscamos
una recta r(x) = ax+b, es decir debemos establecer los valores de a y b. Sabemos
según lo desarrollado que a debe ser la derivada de f en x0 , es decir, a = f ′ (x0 ).
¿Cómo establecemos b? Tenemos definida la inclinación de la recta por f ′ (x0 ),

2
ahora hay que determinar un punto del plano xy por el cual ella debe pasar. Este
punto es obviamente (x0 , f (x0 )). Entonces para hallar b planteamos la ecuación:

f (x0 ) = ax0 + b, es decir, f (x0 ) = f ′ (x0 )x0 + b, de donde

b = f (x0 ) − f ′ (x0 )x0

La recta tangente en x0 tiene entonces la siguiente forma:

r(x) = f ′ (x0 )x + [f (x0 ) − f ′ (x0 )x0 ]

Practiquemos esto en el siguiente ejercicio.

Ejercicio 2.1. En cada caso determinar la recta tangente a f en el punto x0 y
representar en un mismo gráfico la recta hallada y la función correspondiente.
Luego usar la recta encontrada para estimar los valores pedidos.
1. f (x) = x2 + 2, x0 = 2, f ′ (x0 ) = 4. Estimar f ( 23 ).
√ √
2. f (x) = x, x0 = 14 , f ′ (x0 ) = 1. Estimar 2.
3. f (x) = ex−2 + 1, x0 = 2, f ′ (x0 ) = 1. Estimar f (1).
4. f (x) = cos(x + π4 ), x0 = 0, f ′ (x0 ) = − √12 . Estimar f ( 21 ) (expresar numéri-
camente sin usar calculadora).

3. Herramientas de Cálculo
En los ejercicios que hemos dispuesto hasta ahora para calcular derivadas,
se da el dato f ′ (x) para ciertos x pero no hemos discutido como calcularlos.
Para efectivamente hacer estos cálculos se debe estudiar el lı́mite del cociente
incremental. En lo que sigue revisaremos algunos casos.

3.1. Polinomio de primer grado o recta.

Tomemos por ejemplo un polinomio de primer grado o recta dado por f (x) =
3x − 1. Queremos calcular la derivada f ′ (x0 ) en un punto x0 del dominio, y
obviamente esperamos que esta sea 3 sin importar quien es x0 . Planteamos
entonces el lı́mite que define la derivada
f (x0 + h) − f (x0 ) [3(x0 + h) − 1] − [3x0 − 1]
f ′ (x0 ) = lı́m = lı́m =
h→0 h h→0 h
3x0 + 3h − 1 − 3x0 + 1 3h
lı́m = lı́m ,
h→0 h h→0 h
donde llegamos a esta expresión simplemente operando. Ahora bien, podemos
dar un paso más en la operación y vemos que los h se cancelan y queda el lı́mite
de la función constante igual a 3, es decir

f ′ (x0 ) = lı́m 3
h→0

3
que obviamente es igual a 3, llegando a que f ′ (x0 ) = 3. Este razonamiento vale
para cualquier recta f (x) = ax + b, obteniendo que f ′ (x) = a sin importar que
valor de x tomemos.

3.2. Polinomio de segundo grado.

Estudiemos ahora la derivada de f (x) = x2 . Fijamos un x cualquiera y
tenemos por definción que

(x + h)2 − x2
f ′ (x) = lı́m , operando tenemos
h→0 h
x2 + 2xh + h2 − x2 2xh + h2
lı́m = lı́m =
h→0 h h→0 h
h2
lı́m 2x + donde según las propiedades de lı́mites tenemos
h→0 h
f ′ (x) = lı́m 2x + lı́m h
h→0 h→0

El primer lı́mite tiene una función que NO depende de h, recordar: x está fijo.
Entonces el lı́mite es la constante 2x. El segundo lı́mite es simplemente 0, ya
que la función h se estabiliza en 0 cuando la variable tiende a cero. Tenemos
entonces
f ′ (x) = 2x.
Esto concuerda con la idea de que conforme x aumenta, la recta tangente tiene
una pendiente más grande, como muestra la siguiente figura.

4
 r(x) = 0
r(x) = 2x−1

8
r(x) = 4x−4

6
Eje y

4
2
0

−0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Eje x

Figura 2: Las pendientes de las rectas tangentes a la parábola crecen según

f ′ (x) = 2x.

3.3. Exponencial.
Pasemos ahora a la derivada de f (x) = ex . Tenemos que calcular

ex+h − ex
f ′ (x) = lı́m , lo cual usando propiedades de la exponencial es igual a
h→0 h
 h 
ex eh − ex x e −1
lı́m = lı́m e ,
h→0 h h→0 h
donde ex es un constante ya que nuevamente la variable es h. Entonces haciendo
uso de las propiedades de los lı́mites tenemos

eh − 1
f ′ (x) = ex lı́m ,
h→0 h
donde este último lı́mite resulta indeterminado, pero es parte de nuestra lista
de lı́mites tipo que nos dice que vale 1. Llegamos ası́ a

f ′ (x) = ex

5
Esto hace a la exponencial f (x) = ex extremadamente particular ya que tenemos
para ella
f = f ′,
es decir la función es igual a su derivada. Esto si se quiere representa lo que en
el segundo repartido llamamos ecuación diferencial : si planteamos el siguiente
problema: Hallar una función que cumple x = x′ , es decir ella es idéntica a su
derivada podemos proponer f (x) = ex como solución. Esta tipo de ecuaciones
es uno de los elementos matemáticos más mentados por la ciencia determinista.
Debe quedar claro que lo expuesto para la exponencial no es del todo satisfacto-
rio: utilizamos un lı́mite tipo que nos permitió resolver la indeterminación, pero
no sabemos realmente en este curso como demostrar este misterioso lı́mite tipo.
Lo mismo sucederá en nuestro próximo caso.

3.4. Trigonométricas.
Intentemos calcular la derivada de f (x) = sin(x). Planteamos

sin(x + h) − sin(x)
f ′ (x) = lı́m
h→0 h
Parece muy complicado salir de esta primer expresión, pero para quienes conocen
con detalle a las funciones trigonométricas, o que estudiaron el repartido del pre-
curso sobre estas funciones, saben que el sin(x + h) es igual a sin(h) cos(x) +
cos(h) sin(x), de donde

sin(h) cos(x) + cos(h) sin(x) − sin(x)

f ′ (x) = lı́m =
h→0 h
sin(x)(cos(h) − 1) + sin(h) cos(x)
lı́m de donde por porpiedades de los lı́mites tenemos
h→0 h
(cos(h) − 1) sin(h)
f ′ (x) = lı́m sin(x) + lı́m cos(x)
{z h h }
h→0 h→0
| } | {z
I II

Resolvemos cada lı́mite por separado:

(cos(h) − 1)
I = sin(x) lı́m de donde aplicando nuevamente lı́mite tipo tenemos
h→0 h
I = 0, y por otro lado
sin(h)
II = cos(x) lı́m de donde por lı́mite tipo tenemos
h→0 h
II = cos(x).
Llegamos ası́ a que para f (x) = sin(x) la derivada es f ′ (x) = cos(x). No de-
biera sorprendernos demasiado que la derivada de una función periódica como
sin resulte también periódica. Además siendo que la función cos es positiva en

6
aquellos puntos donde la función sin muestra crecimiento y negativa en aquellos
donde muestra decrecimiento, era posible que cos fuera la derivada de sin.
Con el mismo tipo de trucos se puede mostrar que para f (x) = cos(x) se
tiene f ′ (x) = − sin(x) y que para f (x) = tg(x) se tiene f ′ (x) = cos21(x) .
Imaginen ahora que nos proponen lo siguiente: resolver la ecuación diferen-
cial x′′ = −x, es decir hallar una función cuya derivada segunda es idéntica al
opuesto de ella misma.
Bien, para este problema podemos presentar un candidato a solución dada
por f (x) = sin(x), ya que su derivada primera es f ′ (x) = cos(x) y a su vez la
derivada segunda queda dada por f ′′ (x) = − sin(x), es decir f ′′ = −f . ¿Habrá
otra posible solución? sı́, por ejemplo f (x) = cos(x). Las ecuaciones diferenciales,
por si solas, admiten varias soluciones.
Ejercicio 3.1. Demuestre a partir de la definición que para f : R\{0} ⊂ R → R
dada por f (x) = x1 se cumple que f ′ (x) = − x12 .

3.5. Operaciones:
Veamos ahora algunas propiedades que nos facilitan el cálculo de derivadas.
En el segundo repartido hay un interesante ejercicio en el cual ya se vislumbraba
algunas de las propiedades que numeraremos a continuación.
1. Derivada de la suma: Siendo f : D ⊂ R → R y g : D ⊂ R → R dos
funciones derivables se tiene que la suma f + g : D ⊂ R → R es también
derivable, y vale
(f + g)′ (x) = f ′ (x) + g ′ (x)
Eso no debe sorprender ya que es de esperar que la recta tangente en un
punto x para la suma, sea la suma de las rectas tangentes, y para esta
suma la pendiente resulta ser la suma algebraica de las pendientes de las
rectas a sumar.
2. Derivada de la multiplicación: Siendo f : D ⊂ R → R y g : D ⊂ R → R
dos funciones derivables se tiene que la multiplicación f g : D ⊂ R → R es
también derivable. En este caso desafortunadamente la fórmula para (f g)′
no es tan sencilla como f ′ (x)g ′ (x) (en el mencionado ejercicio se pide
observar que esta fórmula sencilla NO vale). La fórmula de la derivada de
un producto queda dada por lo que se conoce como regla de Leibnitz:
(f g)′ (x) = f ′ (x)g(x) + f (x)g ′ (x)

3. Derivada de la división: Siendo f : D ⊂ R → R y g : D ⊂ R → R

dos funciones derivables se tiene que la división fg : D∗ ⊂ R → R con
D∗ = {x ∈ D : g(x) 6= 0} es también derivable. Para este caso la fórmula
no es sencilla, pero se puede deducir de la regla de Leibnitz y la regla para
derivar la composición de funciones. La misma dice que
 ′
f f ′ (x)g(x) − g ′ (x)f (x)
(x) =
g g(x)2

7
Planteamos el siguiente ejercicio para practicar las herramientas planteadas.
Ejercicio 3.2. En los siguientes casos determinar el dominio y calcular la fun-
ción derivada. Justificar cada paso.
1. f (x) = x2 cos(x) + xex
3x2 +x−sin(x)
2. f (x) = cos(x)

ex
3. f (x) = tg(x)

3.6. Composiciones.
Habiendo resuelto las fórmulas para derivar operaciones de funciones, nos
interesa ahora hacer lo mismo para la composición de funciones: recordamos
que si tenemos f : D∗ ⊂ R → R y g : D ⊂ R → R siempre que el conjunto
imagen de g esté contenido en D∗ , es decir Im(g) ⊂ D∗ , se puede definir la
función composición f ◦ g : D ⊂ R → R dada por
f ◦ g(x) = f (g(x)), es decir, a x le asociamos el valor que surge de de primero
aplicar g y luego a lo que resulta aplicar f .
El dibujo que se suele asociar a la composición es el siguiente.

R R R

f ◦g
g(f (x))
x
f
g
f (x)

Figura 3: Diagrama de composición. La recta tangente a x para f ◦ g será la

composición de las rectas tangentes de g en x con la de f en g(x).

Ahora bien, ¿cómo podrı́amos estimar el valor de (f ◦ g)′ (x)?. Estamos bus-
cando una recta tangente para f ◦ g en el punto x. Tenemos:

Por un lado la recta tangente rg a g en x que tendrá pendiente g ′ (x).

Por otro lado la recta tangente rf a f en g(x) (NO en x) que tendrá
pendiente f ′ (g(x)).

8
 Ensayemos a partir de esto la siguiente idea: si componemos dos rectas cuales
quiera obtenemos una nueva recta. Entonces, si componemos la recta tangente
para g en x con la recta tangente para f en g(x) el resultado será una recta, que
es de esperar sea la recta tangente para f ◦ g en x. Efectivamente, esto es ası́.
Ahora bien, ¿Cuál será el valor de (f ◦ g)′ (x)?. Basta observar que si tengo dos
rectas r1 (x) = ax + b y r2 (x) = cx + d entonces su composición queda dada por

r2 ◦ r1 (x) = c(ax + b) + d que es igual a la expresión

r2 ◦ r1 (x) = acx + (bc + d),

por lo cual concluimos que la composición de dos rectas tienen como pendiente
el producto de las pendientes!. Entonces según lo visto antes, la recta tangente a
f ◦ g en x tiene pendiente f ′ (g(x))g ′ (x) y llegamos ası́ a la fórmula para derivar
una composición
(f ◦ g)′ (x) = f ′ (g(x))g ′ (x)
Debe quedar claro que en estas lı́neas no hay una prueba formal, sino una
acercamiento intuitivo a la fórmula.
Ejercicio 3.3. En cada caso determinar el dominio y hallar f ′ (x). Justificar
cada paso usando claramente las reglas para derivar operaciones y composicio-
nes.
2
+x−1
1. f (x) = ex .
2. f (x) = (sin(x) + x)2 .
3. f (x) = cos(x)etg(x) .
4. f (x) = sin(ex − x) + cos(x2 − 1).

3.7. Inversa.
Recordemos que cuando una función f : D ⊂ R → R es inyectiva, esto es,
asocia a cada elemento y de la imagen de la función, Im(f ), un único elemento
del dominio x, entonces podemos dar vuelta la relación y obtener la función
inversa:
f −1 : Im(f ) ⊂ R → R dada por f −1 (y) = x donde x el único valor en el
dominio que cumple f (x) = y.
Esta definición trae naturalmente una relación entre los gráficos de f y f −1 ,
donde el gráfico de f −1 se puede mirar siendo el de f pero como el dominio
viviendo en el eje de las y! (ver figura). A partir de esto, si quisiéramos dibujar
el gráfico de f −1 con dominio en el eje de las x, basta simetrizar la gráfica de
f respecto del eje x = y del plano coordenado. De todas formas en lo que sigue
NO hacemos esto, y dejamos el dominio de f −1 en el eje y.
Entonces si queremos ver la recta tangente a f −1 en el punto y vemos que
simplemente tiene el mismo dibujo que la recta tangente a f en el correspon-
diente x. ¿Dice esto que (f −1 )′ (y) es simplemente igual a f ′ (x)? Aunque ası́

9
parezca la respuesta es NO! no podemos olvidar que cambiamos el dominio del
eje x al eje y. Entonces lo que en el triángulo del cociente incremental era el
cateto opuesto ahora pasa a ser el cateto adyacente y lo que era el cateto ad-
yacente ahora pasa a ser el cateto opuesto. En resumen, el cociente incremental
para f −1 es el inverso algebraico del cociente incremental de f . Esto nos da la
siguiente fórmula para derivar la función inversa:
1
(f −1 )′ (y) = siendo x el único valor tal que f (x) = y.
f ′ (x)

Esta fórmula tiene sentido siempre que f ′ (x) sea distinta de cero, si este no es
el caso NO existe la derivada de f −1 en el correspondiente y.
Ensayemos una aplicación de esto. Como vimos, si tomamos la función
f (x) = x2 no es inyectiva, pero si la restringimos al dominio [0, +∞) sı́ es
inyectiva, y su imagen es [0, +∞). Para esta función f : [0, +∞) ⊂ R → R
podemos entonces definir f −1 : [0, +∞) ⊂ R → R que se llama raı́z. Se suele
√
notar a esta función como f −1 (y) = y (el cambio de nombre en la variable
no debe asustar, se hace para trabajar de forma clara separando el dominio de
f del de f −1 ). Ahora bien ¿cómo podemos calcular (f −1 )′ (y)?. Aplicando la
fórmula deducida tenemos
1
(f −1 )′ (y) = con f (x) = y, es decir
f ′ (x)
1
(f −1 )′ (y) = siendo x el único valor tal que f (x) = y,
2x
√
y por su parte el único valor x tal que f (x) vale y es y, de forma que llegamos
a la fórmula
1
(f −1 )′ (y) = √
2 y

En el siguiente ejercicio se pide aplicar lo desarrollado.

Ejercicio 3.4. En cada caso determinar f ′ (x). Justificar cada paso.
√
1. f (x) = x, x = 4.
2. f (x) = ln(x) con x = 2 y x = 5.
3. f (x) = ln(x) para cualquier x.
4. f (x) = arcsin(x) con x = 0 y x = √1 .
2

3.8. Otros casos.

Finalizamos con una tabla de derivadas que incluyen a los casos ya vistos y
agrega otros que serán relevantes más adelante. Luego proponemos un ejercicio
para seguir practicando.

10
 f f′
xα αxα−1
ex ex
1
ln(x) x
sin(x) cos(x)
cos(x) − sin(x)
1
tg(x) cos2 (x)
arcsin(x) √ 1
1−x2
arc cos(x) √ −1
1−x2
1
arc tg(x) 1+x2

En el primer caso que se expone α es cualquier real√ diferente de cero. Por

ejemplo, si queremos derivar usando esta tabla f (x) = x, basta tomar α = 12 y
1 1
llegamos a que f ′ (x) = 21 x− 2 que nos da como ya habı́amos visto f ′ (x) = 2√ x
.

Ejercicio 3.5. En cada caso encontrar f ′ (x) y establecer su signo representándo-

lo gráficamente.
x3
1. f (x) = 3 + 2x2 − 5x + 10.
2. f (x) = arc tg(ex + 2).
3. f (x) = (sin(x))2 + 1
4. f (x) = cos(x) + ex + x3 + 1.
5. f (x) = ln(x2 + 1).
6. f (x) = ex cos(x).

4. Interpretación fı́sica y el importante concepto

de Primitiva
La derivada tiene varias interpretaciones posibles. Discutiremos algunas de
estas en la sección. Durante la misma, siempre que aparezca una función asu-
miremos que es derivable para no tener que aclararlo en cada momento.
Si f es una función que relaciona dos variables x, y de forma que y = f (x),
la derivada f ′ (x) estima como cambiará la magnitud y al variar la magnitud
x. Despejando del cociente incremental, esta estimación queda dada por la si-
guiente expresión
δy ∼ f ′ (x)δx,
donde en cada caso δ representa una pequeña variación de la magnitud x e y.
Esta estimación es más precisa conforme a la magnitud x se la deja variar en
un rango menor.

11
 Contra mayor sea la derivada en f ′ (x) mayor será la variación de la magnitud
y cuando variamos x, y cuando la derivada está cerca de ser 0, una variación de
la magnitud x se puede transmitir en una variación muy chica, e inclusive nula,
de la magnitud y.
Si pasamos ahora a consider una función x(t) donde la variable es t que
identificamos con el tiempo y x = x(t) la posición en la recta de cierta partı́cula,
entonces el cociente incremental en un cierto tiempo t es de la forma

x(t + h) − x(t)
∆(h) =
h
que se puede interpretar como el cociente
variación de posición transcurrido un tiempo h
el intervalod de tiempo h
Este cociente para h fijo es una suerte de velocidad media ya que si el movimiento
fuera rectilı́neo uniforme, entonces la velocidad del movimiento debiera coincidir
con este valor. Cuando el movimiento no es rectilı́neo uniforme, al elegir distintos
intervalos de tiempo h se obtienen distintos valores de ∆(h). Esto hace que no
se pueda definir una velocidad media que sirva parar todos los h. Sin embargo,
al ser x derivable tenemos que

∆(h)
x′ (t) = lı́m ,
h→0 h
o sea, las velocidades medias se estabilizan al tomar h cada vez más pequeño en
el valor x′ (t). En fı́sica se suele llamar velocidad instantánea a la derivada x′ de
x en tiempo t.
Ejercicio 4.1. En los siguientes casos determinar la velocidad instantánea de
x en el tiempo t.
1. x(t) = 5t + 1 en cualquier t.
2. x(t) = −10t2 + 5t + 100 en t = 10.
2
π
3. x(t) = e−t + sin(t) en t = 2.

4. x(t) = ln(t4 ) − t en t = 1.
Si cambiamos la magnitud posición x por otra magnitud f que también se
estudia en función tel tiempo, es decir estudiamos f (t) en alguna ciencia, siendo
t el tiempo, entonces f ′ (t) siempre tiene un sentido importante. Veamos un
ejemplo fundamental que pertenece también a la fı́sica, y que motivará otro de
los grandes ingredientes del curso: Primitiva de una función.

12
4.1. La aceleración y la noción de Primitiva
Volviendo al área de la fı́sica, dada la posición x(t) de una partı́cula su
velocidad queda definida según lo dicho por v(t) = x′ (t), o sea, la velocidad de
la partı́cula es la función derivada de la posición. Si ahora estudiamos la función
v(t) podemos preguntarnos qué representa su derivada: está nos dirá como varı́a
instantáneamente la velocidad, lo cual se conoce en fı́sica como la aceleración.
Quien lee estas lı́neas podrá encontrar antojadizo estudiar la derivada de la
derivada, y proponer irónicamente que se sigan haciendo derivadas y no terminar
nunca con el proceso. El asunto aquı́ es que en cada ciencia las magnitudes tiene
un sentido, y en la fı́sica la aceleración resulta clave.
El hecho fundamental que hace de la aceleración una magnitud clave es la se-
gunda ley de Newton que establece una relación entre la aceleración instantánea
de una partı́cula y la fuerza que sobre ella se ejerce:

F (t) = |m{z· a}
|{z}
Fuerza masa por aceleración
Entonces cuando analizamos un sistema mecánico y estamos interesados en en-
contrar la función posición x(t) de la partı́cula, a partir de la ley de Newton
tenemos que podemos despejar la aceleración algebraicamente como
F (t)
a(t) = donde F (t) surge del contexto del problema.
m
Entonces la segunda ley de Newton nos determina la aceleración que tendrá
nuestra partı́cula, pero nosotros queremos hallar la posición. Bien, para
esto hay que ingeniarse y descubrir quien es la velocidad primero, y luego quien
es la posición. Es decir, antes tenı́amos el siguiente diagrama
derivada derivada
Posición −−−−−−−→ Velocidad −−−−−−−→ Aceleración

Pero ahora queremos invertir las flechas, y obtener

? ?
Posición ←−− Velocidad ←−− Aceleración

El importante proceso de invertir la flecha está ı́ntimamente relacionado a

lo que se conoce como integral en matemática. Este concepto lo veremos con
cuidado más adelante, pero volviendo a nuestro diagrama:
? ?
Posición ←−− Velocidad ←−− Aceleración

La operación que se debe considerar se llama Primitiva y la podemos definir

ya mismo: Decimos que una función real F : D ⊂ R → R es primitiva de
f : D ⊂ R → R si se tiene que F ′ = f , es decir, la derivada de F es f . Entonces
podrı́amos completar el diagrama como sigue:

Primitiva Primitiva
Posición ←−−−−−−−− Velocidad ←−−−−−−−− Aceleración

13
 Esto es casi correcto, pero tiene un problema: cuando hicimos el diagrama
de flechas para la derivada la operación derivar estaba bien definida, es decir,
tomo una función f y la derivo, obteniendo una única función f ′ . Sin embargo
a la hora de buscar una primitiva F de f no tenemos una única función F
que al derivarla dé f : veamos esto con un ejemplo. Si considero f (x) = 2x, una
primitiva de ella es F0 (x) = x2 , otra primitiva es F1 (x) = x2 + 1 ya que al
derivarla la constante 1 desaparece. Ası́ mismo tenemos las primitivas F2 (x) =
x2 + 2, F3 (x) = x2 + 3, . . . para f (x) = x2 , y finalmente tenemos una notación
abstracta:

las funciones Fk (x) = x2 + k con k cualquier constante real

son todas primitivas de f (x) = 2x. Entonces cuando hacemos la flecha primitiva,
no esperamos obtener una única función, sino que esperamos obtener una familia
de funciones Fk donde el ı́ndice k recorre todos los posibles reales:

Primitiva
Fk ←−−−−−−− f

Por ejemplo si volvemos a f (x) = 2x tenemos que las primitivas son las fun-
ciones de la forma Fk (x) = x2 + k. Si tenemos f (x) = cos(x) tenemos que las
primitivas son todas las funciones de la forma Fk (x) = sin(x) + k. Podemos de
esta forma, usando la tabla de derivadas que generamos antes, armar una tabla
de primitivas.

f Familia de primitivas Fk
α xα+1
x , α 6= −1 α+1 + k
ex ex + k
1
x ln(x) + k
cos(x) sin(x) + k
sin(x) − cos(x) + k
√ 1 arcsin(x)+k
1−x2
√ −1 arc cos(x)+k
1−x2
1
1+x2 arc tg(x) + k

A partir de las reglas de la derivada se puede determinar más primitivas.

Proponems el siguiente ejercicio.
Ejercicio 4.2. Completar la tabla siendo a, b dos valores fijos.

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 f Tabla de primitivas Fk
(ax)α +b
eax
1
ax +b
cos(ax)
sin(ax) + b
√ 1 2
1−(ax)
√ −1
1−(ax)2
1
1+(ax)2 + b

Ahora bien, si partimos de una f que tiene sentido en alguna ciencia, y

queremos determinar una primitiva F dentro de todas las de la familia F + k
¿cómo se debe proceder?. Necesitamos de un dato extra. Recordemos que sumar
una constante k a una función tiene el efecto de levantar o bajar el gráfico de
la función. Entonces para encontrar una primitiva en particular, nos tienen que
decir su valor
√ en algún punto: por ejemplo, la primitiva
√ que buscamos debe
valer 7 en 2, o sea buscamos una F tal que F ( 2) = 7. Con este dato, que
se suele llamar condición inicial, podemos dar una única primitiva. Veamos
esto en un ejemplo concreto.
Buscamos la primitiva de f (x) = cos(x) que cumple que en π2 vale 8. Enton-
ces vamos a la tabla de primitivas (que debe estar en nuestra cabeza) y vemos
que la familia de posibles primitivas de cos(x) es Fk (x) = sin(x) + k. Usando la
condición inicial vamos a encontrar la primitiva buscada, para esto hacemos:
π
Fk ( ) = 8, es decir
2
π
sin( ) + k = 8, o sea
2
1 + k = 8, de donde k = 7, llegando ası́ a la primitiva
F (x) = sin(x) + 7
Lo expresado en estás lı́neas es muy importante y ası́ lo es el siguiente ejer-
cicio.
Ejercicio 4.3. En cada caso encontrar la primitiva que cumple con la condición
inicial.
1. f (x) = ex + 1, F (2) = 2.
√
2. f (x) = cos(x), F (0) = 2.
3. f (x) = x1 , F (e) = 10.
4. f (x) = √ 1 , F (0) = 1.
1−x2

15
 Si volvemos al problema de la fı́sica donde la ley de Newton nos da la ace-
leración de una partı́cula y queremos hallar la posición, necesitamos dos con-
diciones iniciales: una para la flecha hacia la velocidad y otra para la flecha
hacia la posición.
Ejercicio 4.4. Consideramos una partı́cula que tiene como aceleración a x′′ (t) =
sin(t). Sabiendo que para t = 0 la velocidad es x′ (0) = 1 y la posición es x(0) = 3,
encontrar la función posición x(t).

5. Aplicación al análisis del conjunto imagen de

la función f
Para cerrar el capı́tulo de derivada nos interesamos en su uso a la hora de
determinar la imagen de una función continua. Recordamos que los teoremas de
Bolzano-Weiersrtrass nos indican que si tenemos una función f : [a, b] ⊂ R → R
continua, entonces el conjunto imagen será también un intervalo cerrado. Ahora
bien, ¿cómo podemos hacer para buscar a los bordes c, d de dicho intervalo?.
Una respuesta apresurada nos dirı́a c, d son f (a) y f (b), y serı́a un grave
error según vemos en la siguiente figura.

d = f (e)

f (a)

f (b)

c = f (i)

a e i b

Figura 4: Se tiene que Im(f ) = [c, d] con c = f (i), d = f (e), mientras que
f (a), f (b) son valores que están entre c y d.

En casos como el de la figura vemos que c será la imagen de un punto e

entre a y b y d será correspondido por i también entre a y b. La pregunta clave

16
es entonces ¿Cómo detectar los elementos como e, i en el dominio de la función
f ?. Veamos como responder a esto.
Antes de ensayar la respuesta pondremos una hipótesis para que formalmente
funcione el planteo, aunque no explicaremos porqué esta es la hipótesis correcta.
Consideramos f siendo derivable y tal que su derivada f ′ es continua. Todos los
ejemplos elementales cumplen con esta hipótesis, por lo tanto la pueden asumir
para tales casos.
Ahora bien, bajo estas hipótesis vale lo siguiente:

Si tenemos una función con las hipótesis mencionada f y x en su dominio

de forma que f ′ (x) > 0 entonces cerquita de x tenemos que la función f
es creciente. Como ejemplo tomar x entre a y e en la figura anterior.
Si tenemos una función f con las hipótesis mencionadas y en x de su
dominio se tiene f ′ (x) < 0, entonces cerca de x la función será decreciente.
Como ejemplo tomar x entre e, i en la figura anterior.

Entonces como cerca de e y i la función NO es creciente ni decreciente,

necesariamente tenemos lo siguiente:

f ′ (e) = 0 , f ′ (i) = 0

Encontramos lo siguiente. Si tenemos f : [a, b] ⊂ R → R en las hipótesis que

acabamos de mencionar entonces:

1. Sabemos por Bolzano-Weierstrass que Im(f ) = [c, d]

2. Si c no es ni f (a) ni f (b), se debe tener que c = f (e) donde para e se
cumple que f ′ (e) = 0.
3. Si d no es ni f (a) ni f (b), se debe tener que d = f (i) donde para i se
cumple que f ′ (i) = 0.

Apliquemos esto a un ejemplo sencillo. Consideramos f : [− π2 , π] ⊂ R → R

dada por f (x) = sin(x). Queremos hallar Im(f ) que sabemos es un intervalo
[c, d]. Sabemos a partir de lo desarrollado antes que tanto c como d son o bien
f (− π2 ) o bien f (π) o bien f (x) para algún x para el cual f ′ (x) = 0. Entonces
confeccionamos una lista con estos posibles valores.
f (− π2 ) = −1
f (π) = 0
Hallamos los x tales que f ′ (x) = 0: tenemos por las reglas de la derivada
que f ′ (x) = cos(x) que tiene por raı́ces dentro del intervalo abierto (− π2 , π)
a π2 . Entonces consideramos en nuestra lista de valores a f ( π2 ).

17
 Los valores listados se pueden ordenar como
π π
−1 = f (− ) < 0 = f (π) < f ( ) = 1
2 2
y concluir que Im(f ) = [−1, 1], es decir c = −1 y d = 1. Además podemos decir
que c = −1 es la correspondido por el borde − π2 del intervalo, mientras que d
no es correspondido por los elementos del borde, sino que es correspondido por
π
2.
Encontramos ası́ un algoritmo bastante simple para hallar la imagen de una
función: armamos una lista de valores f (x) donde o bien x es borde, o x es
un cero de la derivada, es decir x verifica f ′ (x) (debemos tomar todos los
posibles ceros de f ′ !). El valor más chico de la lista será c y el más grande de
la lista será d.
Por ejemplo en la siguiente figura vemos un caso donde la lista tendrá cinco
elementos, f1 , f2 , f3 , f4 , f5 donde f1 , f2 son correspondidos por los bordes a, b,
y el resto son correspondidos por ceros de la derivada e3 , e4 , e5 . Vemos en esta
figura que Im(f ) = [f2 , f3 ].

f (e3 ) = f3

f (e5 ) = f5
f (a) = f1
f (e4 ) = f4
f (b) = f2

a e3 e4 e5 b

Figura 5: Buscamos el conjunto imagen para una función cuya derivada tiene
varios ceros.

Ya sabemos encontrar la imagen de una función (siempre que cumpla la

hipótesis mencionada). Aprovechemos lo desarrollado para además de encontrar
la imagen de una función, poder dar una buena representación de su gráfico. En
el ejemplo de la última figura, tenemos analizados los puntos del dominio
a, e3 , e4 , e5 , b

18
¿Qué podemos decir del resto de los puntos del dominio? Lo que sabemos es que
en ellos la derivada no se anula, o es positiva o es negativa, pero no se anula,
de lo contrario estarı́an en nuestra lista. Entonces si tomamos x fuera de ellos
tenemos dos posibilidades:
1. f ′ (x) > 0 y por lo tanto el gráfico se ve creciente cerca de x.
2. f ′ (x) < 0 y por lo tanto el gráfico se ve decreciente cerca de x.
Con esta información podemos completar un buen dibujo del gráfico. Para el
ejemplo de nuestra última figura, tendrı́amos un signo para la derivada como
sigue:

+ − + −
a e3 e4 e5 b

Figura 6: El signo de la derivada de una función nos ayuda a dibujar su gráfico.

Por último miremos más en detalle los puntos como e1 , e2 , e3 . Cuando tene-
mos un elemento e en el dominio D de una función derivable con f ′ (e) = 0, le
llamamos a e punto crı́tico de f , es decir e1 , e2 , e3 son puntos crı́ticos para la
función de la figura. En nuestro dibujo vemos una particularidad: en un en-
torno de los puntos crı́ticos se tiene que o bien f (e) es mayor que el mayor valor
que toma la función, o bien es el menor valor que toma la función. Cuando esto
se da en un punto crı́tico e decimos que la función f tiene un extremo relativo en
e, máximo relativo si f (e) supera o iguala a todos los valores de f en un entorno
de él, o mı́nimo relativo si f (e) es inferior o iguala a todos los valores de f en un
entorno de e: es decir en el ejemplo e3 es un máximo relativo, e4 es un mı́nimo
relativo y e5 es un máximo relativo. Surge la siguiente pregunta: ¿siempre que
tengamos un punto crı́tico e en el domino, f presentará un extremo relativo
(máximo o mı́nimo)?
La respuesta es negativa: si tomamos la función f (x) = x3 que tiene derivada
f ′ (x) = 3x2 , se tiene que 0 es un punto crı́tico. Sin embargo la función f es
creciente, por lo que en ningún entorno de 0 tendremos a f (0) como un máximo
o mı́nimo valor que la función toma. Para saber si un punto crı́tico representa un
máximo o mı́nimo local se puede recurrir a la derivada segunda f ′′ : si es positiva
en nuestro punto crı́tico tenemos un mı́nimo local, y si es negativa en nuestro
punto crı́tico tenemos un máximo local. No profundizaremos en la justificación
de esto. Finalizamos con el siguiente ejercicio.
Ejercicio 5.1. Encontrar el conjunto imagen de las siguientes funciones, dibujar
su gráfico clasificando los puntos crı́ticos.
1. f : [−π, π3 ] ⊂ R → R dada por f (x) = 2 − cos(3x + π4 ).
2. f : [−1, 1] ⊂ R → R dada por f (x) = (x − 1)ex .

19
 2
3. f : [−10, 0] ⊂ R → R dada por f (x) = xx−1−4
.
√
4. f : [ 21 , 2] → R dada por f (x) = −x + x.
ln(x)
5. f : [1, 10] ⊂ R → R dada por f (x) = x + 2.

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Alejandro Passeggi
CMAT
Facultad de Ciencias, UdelaR,
Iguá 4225, Montevideo, Uruguay,
apasseggi@cmat.edu.uy

Gabriel Illanes
CMAT
Facultad de Ciencias, UdelaR,
Iguá 4225, Montevideo, Uruguay,
gillanes@cmat.edu.uy

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