U NIVERSIDAD DE I NVESTIGACIÓN DE

T ECNOLOGÍA E XPERIMENTAL YACHAY

C ÁLCULO I • L ECTURA #7
D ERIVADAS
Quiloango Chimarro Paola
El presente documento es un resumen elaborado por Paola Quiloango Chima-
rro, utilizando como base los apuntes de Pablo Rosero Pozo, y complementando
con los libros de base [1, 2, 3] y [4].

1. D ERIVADAS Y RAZONES DE CAMBIO

Si una curva C tiene la ecuación y = f ( x ) y quiere usted hallar la recta tangente

a C en el punto P( a, f ( a)), entonces considere un punto cercano Q( x, f ( x )), donde
x ̸= a, y calcule la pendiente de la recta secante PQ:

f ( x ) − f ( a)
m PQ := ,
x−a
Después, acerque Q a P a lo largo de la curva C, haciendo que x tienda a a. Si m PQ
tiende un número m, entonces definimos la tangente t como la recta que pasa por
P con pendiente m.
D EFINICIÓN 1: Recta Tangente
La recta tangente a la curva y = f ( x ) en el punto P( a, f ( a)) es la recta que
pasa por P con pendiente

f ( x ) − f ( a)
m := lı́m ,
x→a x−a

siempre que este límite exista.

O BSERVACIÓN . Note que conforme x se aproxima a a, h se acerca a 0 (puesto que

h = x − a) y, por ende, la expresión de la pendiente de la recta tangente, en la
definición anterior se convierte en
f ( a + h) − f ( a)
m = lı́m .
h →0 h

1
Derivadas Lectura #7

D EFINICIÓN 2: Derivada de una función

La derivada de una función f en un número x = a, denotada por f ′ ( a), es

f ( x ) − f ( a) f ( a + h) − f ( a)
f ′ ( a) := lı́m = lı́m , (1)
x→a x−a h →0 h

siempre que este límite exista.

E JEMPLO 1. Encuentre la derivada de la función f ( x ) = x2 en el número x = 3.

Solución. Por la definición anterior, tenemos

f (3 + h ) − f (3) (3 + h)2 − 32
f ′ (3) = lı́m = lı́m
h →0 h h →0 h
6h + h2
= lı́m = lı́m (6 + h) = 6.
h →0 h h →0

E JERCICIO 1. Encuentre la derivada de la función f ( x ) = 3/x en el número

x = a, donde a ̸= 0.

O BSERVACIÓN . La recta tangente a y = f ( x ) en ( a, f ( a)) es la recta que pasa por

( a, f ( a)) cuya pendiente es igual a f ′ ( a), la derivada de f en x = a.
Si utilizamos la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta, podemos
escribir la ecuación de la recta tangente a la curva y = f ( x ) en el punto ( a, f ( a)):

y − f ( a ) = f ′ ( a ) ( x − a ).

E JEMPLO 2. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la parábola y = x2 en el

punto (3, 9).

Demostración. Del Ejemplo 1 sabemos que la derivada de f ( x ) = x2 en el número

x = 3 es f ′ (3) = 6. En estos términos, la ecuación de la recta tangente, es

y − 9 = 6( x − 3) ⇔ y = 6x − 8.

E JERCICIO 2. Sea f ( x ) = sen x, encuentre f ′ ( x ) y la ecuación de la recta tan-

gente en el punto (π/4, sen(π/4)).

E JERCICIO 3. Sea f ( x ) = e x , encuentre f ′ ( x ) y la ecuación de la recta tangente

en el número x = 3.

2
Lectura #7 Derivadas

2. R AZONES DE CAMBIO
Suponga que y es una cantidad que depende de otra cantidad x. Así, y es una
función de x y lo expresamos como y = f ( x ). Si x cambia de x1 a x2 , entonces el
cambio en x (también conocido como incremento de x) es

∆x := x2 − x1 ,

y el cambio correspondiente en y es

∆y := f ( x2 ) − f ( x1 ).

El cociente de diferencias
∆y f ( x2 ) − f ( x1 )
= .
∆x x2 − x1
se llama razón de cambio promedio de y respecto a x sobre el intervalo [ x1 , x2 ], y
puede interpretarse como la pendiente de la recta secante PQ.
D EFINICIÓN 3: Razón de Cambio
Llamaremos razón de cambio (instantánea) de y respecto a x en x = x1 , como
la pendiente de la recta tangente a la curva y = f ( x ) en P( x1 , f ( x1 )):

∆y f ( x2 ) − f ( x1 )
f ′ ( x1 ) := lı́m = lı́m , (2)
∆x →0 ∆x x2 → x1 x2 − x1

siempre que este límite exista.

O BSERVACIÓN . Si usamos la notación tradicional y = f ( x ) para indicar que la va-

riable independiente es x y la dependiente es y, entonces algunas otras notaciones
comunes para la derivada son:

dy df d
f ′ ( x ) = y′ = = = f ( x ) = D f ( x ) = d x f ( x ).
dx dx dx
Los símbolos D y d/dx se llaman operadores de derivación porque indican la
operación de derivación, que es el proceso de calcular una derivada.
El símbolo dy/dx, introducido por Leibniz, no debe considerarse como una
razón (por ahora); es sencillamente un sinónimo de f ′ ( x ). No obstante, es una
notación útil y sugerente, en especial cuando se usa en la notación de incrementos.
Con base a (2), puede volver a escribir la definición de derivada en la notación de

3
Derivadas Lectura #7

Leibniz en la forma
dy ∆y
= lı́m .
dx ∆x →0 ∆x

Si desea indicar el valor de una derivada dy/dx en la notación de Leibniz en un

número específico x = a, use la notación

dy dy
o bien ,
dx x= a dx x= a

que es un sinónimo para f ′ ( a).

dy
E JERCICIO 4. Sea y = sen x, encuentre .
dx x =π/4

√
E JERCICIO 5. Sea f ( x ) = 3
x, encuentre f ′ ( x ) y la ecuación de la recta tan-
gente en el número x = 0.

D EFINICIÓN 4: Función Derivable

Diremos que una función f es derivable puntualmente si existe f ′ ( a), donde
a ∈ Dom( f ).
Por otra parte, diremos que f es derivable sobre un intervalo abierto si
es derivable puntualmente en todo número de dicho intervalo.

E JERCICIO 6. ¿La función valor absoluto es diferenciable en 0?

T EOREMA 1
Si f es derivable en x = a, entonces f es continua en x = a.

Demostración. Para demostrar que f es continua en x = a, debemos demostrar

que
lı́m f ( x ) = f ( a). (3)
x→a

Para esto primero demostraremos que

lı́m [ f ( x ) − f ( a)] = 0. (4)

x→a

Por hipótesis sabemos que f es derivable en x = a, i.e., existe f ′ ( a) tal que

f ( x ) − f ( a)
f ′ ( a) = lı́m .
x→a x−a
Ahora usando la propiedad de producto de los límites junto con la anterior igual-

4
 Lectura #7 Derivadas

dad obtenemos (4), porque

f ( x ) − f ( a)
 
lı́m [ f ( x ) − f ( a)] = lı́m · ( x − a)
x→a x→a x−a
f ( x ) − f ( a)
 
= lı́m · lı́m ( x − a) = f ′ ( a) · 0 = 0,
x→a x−a x→a

gracias a la anterior ecuación concluimos (3), ya que usando la propiedad de suma

de límites tenemos

lı́m f ( x ) = lı́m [( f ( x ) − f ( a)) + f ( a)]

x→a x→a
= lı́m [ f ( x ) − f ( a)] + lı́m f ( a) = 0 + f ( a) = f ( a).
x→a x→a

E JERCICIO 7. ¿El inverso del teorema anterior es verdadero o falso? En otras

palabras ¿Hay funciones que son continuas, pero que no son derivables?

Continuar desde
aquí
3. D ERIVADAS DE FUNCIONES POLINOMIALES ,
TRIGONOMÉTRICOS Y EXPONENCIALES

En esta sección aprenderá la manera de derivar funciones constantes, potencia,

polinomiales y exponenciales.
T EOREMA 2: Álgebra de Derivadas
Sean f y g derivables, c ∈ R, entonces
1. (c)′ = 0;

2. ( x n )′ = nx n−1 , donde n ∈ R ∖ {0};

3. (c f )′ ( x ) = c f ′ ( x );

4. ( f + g)′ ( x ) = f ′ ( x ) + g′ ( x );

5. ( f − g)′ ( x ) = f ′ ( x ) − g′ ( x );

6. ( f · g)′ ( x ) = f ′ ( x ) · g( x ) + f ( x ) · g′ ( x ); y
 ′
f f ′ ( x ) · g( x ) − f ( x ) · g′ ( x )
7. (x) = si g( x ) ̸= 0.
g ( g( x ))2

5
Derivadas Lectura #7

E JERCICIO 8. Demuestre que se cumple los literal 1 y 2 (en el caso particular

cuando n ∈ N).

Demostración (literal 3). Usando las definiciones de multiplicación y derivada de

funciones tenemos
(c f )( x + h) − (c f )( x ) c f ( x + h) − c f ( x )
(c f )′ ( x ) = lı́m = lı́m
h →0 h h →0 h
f ( x + h) − f ( x ) f ( x + h) − f ( x )
   
= lı́m c = lı́m c lı́m = c f ′ ( x ).
h →0 h h →0 h →0 h

Demostración (literal 4). Usando las definiciones de suma y derivada de funciones

tenemos
( f + g)( x + h) − ( f + g)( x )
( f + g)′ ( x ) = lı́m
h →0 h
f ( x + h) + g( x + h) − f ( x ) − g( x )
= lı́m
h →0 h
f ( x + h) − f ( x ) g( x + h) − g( x )
 
= lı́m +
h →0 h h
f ( x + h) − f ( x ) g( x + h) − g( x )
= lı́m + lı́m = f ′ ( x ) + g ′ ( x ).
h →0 h h →0 h

E JERCICIO 9. Demuestre que se cumple el literal 5.

Demostración (literal 6). Usando las definiciones de multiplicación y derivada de

funciones tenemos
( f · g)( x + h) − ( f · g)( x )
( f · g)′ ( x ) = lı́m
h →0 h
f ( x + h) · g( x + h) − f ( x ) · g( x )
= lı́m
h →0 h
f ( x + h) · g( x + h) − f ( x ) · g( x + h) + f ( x ) · g( x + h) − f ( x ) · g( x )
= lı́m
h →0 h
f ( x + h) − f ( x )
   
= lı́m · lı́m g( x + h)
h →0 h h →0
g( x + h) − g( x )
   
+ lı́m f ( x ) · lı́m
h →0 h →0 h
= f ′ ( x ) · g ( x ) + f ( x ) · g ′ ( x ).

E JERCICIO 10. Demuestre que se cumple el literal 7.

6
Lectura #7 Derivadas

E JERCICIO 11. Usando el Álgebra de Derivadas encuentre:

d 2 
• t − 3t5 + 1 ; y
dt
ds
• si s = 3t2 − 5t3 + 4t2 calcule .
dt t =1

C OROLARIO 3 (Formulas de Derivación).

(sen x )′ = cos x, (cos x )′ = sen x,

1
(ln x )′ = , ( a x )′ = a x · ln x, a>0
x

E JERCICIO 12. Calcule la primera derivada de la función exponencial e x , don-

de e es el número de Euler.

d
E JERCICIO 13. Explique por qué se cumple sen x = cos x, pero en el caso
dx
d n
x = x n (i.e. no se cumple el cumple el literal 2 del Teorema 2).
dt

E JERCICIO 14. Usando el Álgebra de Derivadas y las Formulas de Derivación

encuentre:
d  2  d   d d d
x sen x , t − x cos x + sen2 x , tan x, csc x, sec x.
dx dx dx dx dx

E JERCICIO 15. Calcule

d
• (sen x cos x ) ;y
dx x =π/4

t2 − 5 sen t
• si f (t) = calcule f ′ (0).
t + cos t

D EFINICIÓN 5: n-ésima derivada

En general, la n-ésima derivada de f se denota mediante f (n) y se obtiene
derivando n veces a f , o derivando la (n − 1)-ésima derivada de f , i.e.,
 ′
f (n) ( x ) = f ( n −1) ( x ) , f (1) ( x ) : = f ′ ( x ) , f (0) ( x ) : = f ( x ) .

7
Derivadas Lectura #7

Si y = f ( x ) al usar la notación de Leibniz podemos escribir

dn y d n −1 y
 
(n) d dy (0)
y = n = , y (1) = , y = y.
dx dx dx n−1 dx

E JERCICIO 16. Sea f ( x ) := 10x5 − 3x4 + 12x2 − sen x, calcule:

f ′ : = f (1) , f ′′ := f (2) , f ′′′ := f (3) , f (4) .

E JERCICIO 17. Calcule

d2  4  d2
3x + sen x y (sec x tan x ) .
dx2 dx2

4. R EGLA DE LA CADENA

Suponga que se le pide derivar la función sen(2x ). Las fórmulas de derivación

que usted aprendió en las secciones anteriores de este capítulo no le permiten
d
calcular (sen(2x )).
dx
Observe que sen(2x ) es una función compuesta. De hecho, si hacemos y =
f (u) = sen u y u = g( x ) = 2x, entonces podemos escribir

y = sen(2x ) = f ( g( x )) = f ◦ g( x ).

Sabemos cómo derivar tanto f como g, de modo que sería útil contar con una regla
que nos indique cómo hallar la derivada de sen(2x ) = f ◦ g( x ) en términos de las
derivadas de f y g.
T EOREMA 4: Regla de la Cadena
Si g es derivable en x y f es derivable en g( x ), entonces:
(i) la función compuesta f ◦ g es derivable en x; y

(ii) ( f ◦ g)′ ( x ) = f ′ ( g( x )) g′ ( x ).

E JERCICIO 18. Calcule

" 5 #
d h 2 i d h i d 2
( x − 10x + 1)2 , sen(2x2 + x ) , ,
dx dx dx x−1

8
Lectura #7 Derivadas

d h sen( x2 ) i d d h i
e , [sen(cos(2x ))] , 2 sen2 x e x/2 ,
dx dx    dx
d d 5 1 d
[sen(cos t)] , r sen , [tan w] .
dt dr r dx

O BSERVACIÓN . Al usar en la Regla de Cadena la notación de Leibniz, si y = f (u)

y u = g( x ) son funciones derivables, entonces

dy dy du
= .
dx du dx
Esta ecuación es fácil de recordar porque si dy/du y du/dx fueran cocientes, en-
tonces podría cancelar du. Sin embargo, recuerde que du no se ha definido y no
debe concebir du/dx realmente como un cociente.

2
 
E JERCICIO 19. Calcule la primera derivada de las funciones e x y sen e2x .

4. R EFERENCIAS
[1] D EMIDOVICH , B. P., ET AL . Problemas y ejercicios de análisis matemático.

[2] L EITHOLD , L., ET AL . El cálculo, vol. 343. Oxford University Press México,
1998.

[3] M AYORGA -Z AMBRANO , J. Cálculo Diferencial para Ciencias e Ingeniería, vol. 1.

Asociación AMARUN, 2019.

[4] S TEWART, J., ET AL . Cálculo de una variable: trascendentes tesmpranas.