Capı́tulo 4

La derivada de una función

4.1. La Recta Tangente

Intuitivamente la recta tangente en un punto P de una curva y = f (x) es la recta
que pasa por dicho punto y no tiene otro punto de contacto con la curva en una vecindad
del punto de paso.

Sabemos que para determinar completamente una recta se necesitan dos puntos de
paso o bien un punto de paso, que en nuestro caso es P , y la pendiente m. Para una
curva y = f (x) se define la pendiente en el punto x0 del siguiente modo:
f (x) − f (x0 )
m(x0 ) = lı́m (4.1)
x→x0 x − x0
o, equivalentemente, mediante el cambio de variable h = x − x0
f (x0 + h) − f (x0 )
m(x0 ) = lı́m (4.2)
h→0 h

68
 CAPÍTULO 4. LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

Esta definición quiere decir que la recta tangente a la gráfica de la función en un punto
P se obtiene como la posición lı́mite de las rectas secantes que pasan por dicho punto.
Podemos ver esto en el siguiente gráfico.

√
Ejemplo 51. Dada la función f (x) = x, obtener la ecuación de la recta tangente a
la gráfica de la función en el punto P = (4,2).
Veamos Aplicando la fórmula (4.2) en el punto x = 2 tenemos

f (x + h) − f (x0 )
m = lı́m
h→0
√ h √
4+h− 4
= lı́m
√ h
h→0
√ √ √
( 4 + h − 4)( 4 + h + 4)
= lı́m √ √
h→0 h( 4 + h + 4)
(4 + h) − 4
= lı́m √ √
h→0 h( 4 + h + 4)
1
= lı́m √ √
h→0 4+h+ 4
1
= √
2 4
1
=
4
1
Luego, la ecuación es LT : y = 4
x + b. Como el punto P = (4,2) pertenece a LT ,
entonces cuando x = 4, y = 2, de donde reemplazando en la ecuación se obtiene b = 1,
por lo que la ecuación es y = 14 x + 1.

69
 CAPÍTULO 4. LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

1
Observe que en la derivación anterior, se tiene m = √ y resulta claro que en un
2 4
1
punto general x se tiene m(x) = √ .
2 x

Ejemplo 52. Dada la curva C : y = x2 , hallar la ecuación de la recta tangente que es

paralela a la recta L : y = 4x + 6.
Solución. Sea LT la recta tangente a la curva C en el punto P = (x, f (x)). Como
LT es paralela a la recta L, entonces la pendiente en el punto P es m = 4. Ahora bien,

f (x + h) − f (x)
m = lı́m
h→0 h
(x + h) − x2
2
= lı́m
h→0 h
x2 + 2xh + h2 − x2
= lı́m
h→0 h
= lı́m 2x + h
h→0

= 2x

Entonces 2x = 4, de donde x = 2 y el punto de tangencia es P = (2, 4). La ecuación

de la recta tangente es LT : y = 4x − 4

70
 CAPÍTULO 4. LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

El lı́mite (4.1) es muy importante y aparece mucho en las aplicaciones de la

0
matemática. Denotamos este lı́mite por f (x0 ) y se conoce como la derivada de la
función en el punto x0 :

0 f (x0 + h) − f (x0 )
f (x0 ) , lı́m (4.3)
h→0 h

Ası́ pues la recta tangente a una curva y = f (x) en el punto P = (x0 , f (x0 )) es aquella
recta que pasa por el punto P y que tiene como pendiente la derivada de la función
0
en x0 . Note que para calcular la derivada f (x0 ) el punto x0 no solo debe ser un punto
de acumulación del dominio de la función sino también debe pertenecer a él. En el
ejemplo anterior se calculó la pendiente m de f (x) = x2 y se obtuvo m = 2x0 , por lo
0
que la derivada de la función en el punto x0 es f (x0 ) = 2x0 . En general, en un punto
0
cualquiera tenemos f (x) = 2x.
La derivada de la función y = f (x) en el punto x se denota de diversas maneras,
por ejemplo,
0 dy df (x)
f (x) = = = Df (x).
dx dx
0
Una función f (x) para la cual existe f (x0 ) se dice que es derivable en x0 ; en caso
contrario, simplemente se dice que no es derivable en tal punto. Veamos el siguiente
ejemplo.

Ejemplo 53. Consideremos la siguiente función desdoblada:


 x2 − 1, x < 1
f (x) = √
 x − 1, x ≥ 1

71
 CAPÍTULO 4. LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

Estudiemos si existe la derivada de f (x) en el punto x0 = 3.

0 f (x) − f (3)
f (3) = lı́m
x→3 x−3
Como en x = 3 la función se desdobla, la regla de correspondencia de la función es
diferente por la izquierda que por la derecha de este punto. Por lo tanto, el lı́mite de
la derivada debe analizarse por la izquierda y por la derecha.
0 x2 − 1 − 0
f (3− ) = lı́m−
x→1 x−1
= lı́m− (x + 1)
x→1

=2

Por otro lado,

0 x2 − 1 − 0
f (3+ ) = lı́m+
x→1 x−1
0
= lı́m−
x→1 x − 1

=0

0
Como estos lı́mites son diferentes, no existe f (3).

Ejemplo 54. Observe que si x0 es un punto donde la función se desdobla, esto no

implica necesariamente que la derivada no exista en tal punto. Para mostrar esto,
considere la función f : R → R definida por

 x2 + 2x, x < 1
f (x) =
 4x − 1, x ≥ 1

0 0
Haciendo los cálculos correspondientes se obtiene f (1− ) = f (1+ ) = 4, de donde
0
f (1) = 4.

4.2. Tasa de Cambio

La diversidad de aplicaciones que tiene el concepto de derivada se debe a la
interpretación que tiene el cociente de la definición (4.3). Cuando una cantidad y
cambia con respecto a otra cantidad x de acuerdo a la función y = f (x), entonces
el cociente (4.3) proporciona la tasa de cambio promedio de y por unidad de cambio
en la variable x en el intervalo [x0 , x0 + h]. En efecto, el denominador h mide el cambio

72
 CAPÍTULO 4. LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

en la cantidad x de x = x0 a x = x0 + h. Por su lado, el numerador f (x0 + h) − f (x0 )

mide el cambio en la cantidad y debido al cambio h en la cantidad x. Por lo tanto, el
cociente (4.3) indica un cambio promedio de y con respecto a x a lo largo del intervalo
0
[x0 , x0 +h]. Cuando h tiende a cero, entonces el lı́mite (4.3), esto es, f (x0 ), proporciona
una tasa instantánea de cambio de la función y = f (x) en el punto x0 .

Ejemplo 55. En macroeconomı́a se asume que el consumo, denotado por C, es una

función de la renta, denotada por Y . Esto es, C = f (Y ). Si esta función es de tipo
lineal entonces
C = C(Y ) = aY + b; a > 0
0
Derivando esta expresión obtenemos C (Y ) = a. Esto es la tasa de cambio del consumo
con respecto a la renta es a. Puesto que esta derivada es la misma para cada nivel de
renta Y , entonces la tasa de cambio se mantiene constante. En economı́a el parámetro
a se conoce como la propensión marginal al consumo.

Ejemplo 56. Retomemos el ejemplo 26, donde nos preguntábamos: ¿En cuánto se
incrementa el costo de producción por unidad adicional producida cuando la empresa
está produciendo x0 unidades? (pregunta (d)). Si consideramos que una unidad de
producción representa un cambio muy pequeño en relación a la cantidad total producida
por una empresa, entonces podemos considerar que

0
∆C(x0 ) = C(x0 + 1) − C(x0 ) ≈ C (x0 )

Como hemos dicho antes, este incremento se conoce en economı́a como el incremento
marginal en el costo de producción. Ası́ pues, podemos definir formalmente el costo
marginal de producción como la derivada de la función costo con respecto a x,
0
C (x). Para la función de costo dada, tenemos

0 C(x + h) − C(x)
C (x) = lı́m
h→0 h
(x + h) − 800(x + h) + 160200 − (x2 − 800x + 160200)
2
= lı́m
h→0 h
x2 + 2xh + h2 − 800x − 800h + 160200 − x2 + 800x − 160200
= lı́m
h→0 h
2
2xh + h − 800h
= lı́m
h→0 h
= lı́m 2x + h − 800
h→0

= 2x − 800

73
 CAPÍTULO 4. LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

Note que el costo marginal de producción, para la función de costo dada, depende
del punto donde se calcule. En general esto es ası́, sin embargo, el incremento marginal
puede ser constante. Para mostrar esto, tomemos el ejemplo 30, donde se describe la
demanda, Q, como una función lineal del precio, P :

Q(P ) = −0.15P + 0.14.

Calculemos la demanda marginal de acuerdo a la definición formal, esto es, usando el

concepto de derivada.
0 Q(P + h) − Q(P )
Q (P ) = lı́m
h→0 h
−0.15(P + h) + 0.14 − (−0.15P + 0.14)
= lı́m
h→0 h
−0.15P − 0.15h + 0.14 + 0.15P − 0.14
= lı́m
h→0 h
−0.15h
= lı́m
h→0 h
= lı́m −0.15
h→0

= −0.15

Observamos que la demanda marginal para cualquier valor del precio P es constante
e igual a −0.15, lo que indica que cuando el precio del bien aumenta ligeramente
(marginalmente) el consumo disminuye a una tasa constante de 0.15 unidades. Este
0
resultado tiene absoluto sentido, pues la derivada Q (P ), interpretada geométricamente,
proporciona la pendiente de la recta tangente en el punto (P, Q(P )) de la gráfica de la
función Q(P ) = −0.15P + 0.14. Como esta función es lineal, la gráfica es una recta y
la tangente en todo punto es la propia recta y, por lo tanto, la pendiente es constante
e igual al coeficiente −0.15.
En economı́a, el cociente
0
f (x)
f (x)
es muy usado y mide la tasa de porcentual de cambio, o la tasa relativa de cambio
de la variable y = f (x) con respecto a x en el punto x.

4.3. Reglas básicas de Derivación

Enseguida proporcionamos una tabla básica de derivadas, que son muy fáciles de
obtener.

74
 CAPÍTULO 4. LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

Algunas derivadas básicas

0
1. Si f (x) = c, entonces, f (x) = 0
0
2. Si f (x) = ax + b, entonces f (x) = 1
0
3. Si f (x) = ax2 + bx + c, entonces f (x) = 2ax + b
√ 0 1
4. Si f (x) = x, entonces f (x) = √
2 x
Enseguida mostramos la prueba de estos resultados. Para (1) tenemos

0 f (x + h) − f (x)
f (x) = lı́m
h→0 h
c−c
= lı́m
h→0 h
0
= lı́m
h→0 h

= lı́m 0
h→0

=0

Este resultado es intuitivamente obvio. Si la función f es constante, entonces la tasa

de cambio instantánea debe ser cero. Para (2) tenemos

0 f (x + h) − f (x)
f (x) = lı́m
h→0 h
a(x + h) + b − (ax + b)
= lı́m
h→0 h
ah
= lı́m
h→0 h

= lı́m a
h→0

=a

Este resultado indica que la tasa de cambio de una función lineal es siempre la misma
independientemente donde se calcula esta tasa de cambio. La gráfica de una función
lineal es una recta y precisamente la tasa de cambio de la función es la pendente de

75
 CAPÍTULO 4. LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

dicha recta. Enseguida probamos (3) y (4)

0 f (x + h) − f (x)
f (x) = lı́m
h→0 h
a(x + h)2 + b(x + h) + c − (ax2 + bx + c)
= lı́m
h→0 h
2axh + ah2 + bh
= lı́m
h→0 h
2axh + ah2 + bh
= lı́m
h→0 h
= lı́m 2ax + ah + b
h→0

= 2ax + b

Finalmente para (4), tenemos

0 f (x + h) − f (x)
f (x) = lı́m
h→0 h
p √
(x + h) − x
= lı́m
h→0 h
p √ p √
(x + h) − x (x + h) + x
= lı́m ×p √
h→0 h (x + h) + x
x+h−x
= lı́m p √
h→0 h( (x + h) + x)
1
= √
2 x

Para calcular derivadas de funciones más complejas necesitamos algunas reglas de

derivación. En las reglas que damos a continuación se asume que existen todas las
derivadas involucradas.

Reglas básicas de derivación

0 0
1. Si F (x) = cf (x), entonces F (x) = cf (x)
0
2. Si F (x) = xa , entonces F (x) = axa−1 ∀ a ∈ R
0 0 0
3. Si F (x) = f (x) + g(x), entonces F (x) = f (x) + g (x)
0 0 0
4. Si F (x) = f (x)g(x), entonces F (x) = f (x)g(x) + f (x)g (x)
0 0
f (x) 0 f (x)g(x) − f (x)g (x)
5. Si F (x) = , entonces F (x) =
g(x) (g(x))2
Tomemos dos ejemplos citados en Sydaseater para explicar las propiedades (3) y
(4).

76
 CAPÍTULO 4. LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

Ejemplo 57. Supongamos que denotamos por x(t) la cantidad de barriles de petróleo
extraı́dos en el instante t por una compañı́a petrolera. Si el precio por barril en ese
instante es p(t), entonces el ingreso producido por la venta de este petróleo en el instante
t, que denotamos por R(t), está dado por

R(t) = p(t)x(t)

Según la regla del producto tenemos

0 0 0
R (t) = p (t)x(t) + p(t)x (t)

Supongamos que por diversos factores tanto el precio como la cantidad extraı́da están
0
creciendo en el instante t. En este caso las tasas de cambio de x (t) y p(t) también son
positivas. Por consiguiente, el ingreso también tiene una tasa de crecimiento positiva

Las pruebas de las reglas establecidas (1)-(4) se basan en las propiedades de los
lı́mites, por ejemplo veamos la prueba de (3) y (4). Sea F (x) = f (x) + g(x), entonces

0 F (x + h) − F (x)
F (x) = lı́m
h→0 h
[f (x + h) + g(x + h)] − [f (x) + g(x)]
= lı́m
h→0 h
[f (x + h) − f (x)] + [g(x + h) − g(x)]
= lı́m
h→0 h
f (x + h) − f (x) g(x + h) − g(x)
= lı́m + lı́m
h→0 h h→0 h
0 0
= f (x) + g (x)

77
 CAPÍTULO 4. LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

Sea ahora F (x) = f (x)g(x), entonces

0 F (x + h) − F (x)
F (x) = lı́m
h→0 h
[f (x + h) · g(x + h)] − [f (x) · g(x)]
= lı́m
h→0 h
[f (x + h) · g(x + h)] + [f (x) · g(x + h) − f (x) · g(x + h)] + [f (x) · g(x)]
= lı́m
h→0 h
[f (x + h) − f (x)] g(x + h) + f (x) [g(x + h) − g(x)]
= lı́m
h→0 h
f (x + h) − f (x) g(x + h) − g(x)
   
= lı́m g(x + h) + lı́m f (x)
h→0 h h→0 h
f (x + h) − f (x) g(x + h) − g(x)
   
= lı́m lı́m g(x + h) + lı́m f (x) lı́m
h→0 h h→0 h→0 h→0 h
0 0
= f (x) lı́m g(x + h) + f (x)g (x)
h→0
(g(x + h) − g(x))h + g(x)h
 
0 0
= f (x) lı́m + f (x)g (x)
h→0 h
g(x + h) − g(x)
 
0 0
= f (x) lı́m h + g(x) + f (x)g (x)
h→0 h
g(x + h) − g(x)
 
0 0
= f (x) lı́m lı́m h + lı́m g(x) + f (x)g (x)
h→0 h h→0 h→0
0
h 0
i 0
= f (x) g (x)(0) + g(x) + f (x)g (x)
0 0
= f (x)g(x) + f (x)g (x)

Observe que de la propiedad (2) se obtiene que si f (x) = xn , n ∈ Z, entonces

0
f (x) = nxn−1 . Una consecuencia inmediata de las reglas (2)-(3) es la siguiente.
Supongamos que F (x) es la suma de n funciones todas derivables en el punto x:
F (x) = ni=1 fi (x). Entonces
P
n
0 0
X
F (x) = fi (x) (4.4)
i=1
n n−1
En particular si F (x) = an x + an−1 x + · · · + a1 x + a0 , entonces
0
F (x) = an nxn−1 + an−1 (n − 1)xn−2 + · · · + a1

Veamos tres ejemplos para aplicar las reglas anteriores.

√
5
Ejemplo 58. 1. Sea f (x) = x3 .
3 3 3 3
Podemos escribir f (x) = x3/5 por lo que f (x) = x( 5 −1) = x−2/5 = √
0
5
5 5 5 x2
3
4x − 2x − 5
2. Sea la función racional f (x) = . Entonces
x2 + 2x
0 (x2 + 2x)(12x2 − 2) − (4x3 − 2x − 5)(2x + 2) 12x4 + 22x3 − 2x2
f (x) = =
(x2 + 2x)2 x4 + 4x3 + 4x2

78
 CAPÍTULO 4. LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

Ejemplo 59. Obtengamos la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función

0
f (x) = x3 + 3x2 + 2x en el punto x = 1. La derivada de esta función es f (x) =
3x2 + 6x + 2, por lo que en el punto de tangencia P = (1, f (1)) = (1, 6) la pendiente
0
es m = f (1) = 11. Luego L : y = 11x − 5.

La derivada de una función podrı́a no existir. Recordemos que la derivada es un

lı́mite, por lo que para que exista la derivada deben existir los lı́mites laterales. Veamos,
por ejemplo, la función valor absoluto y analicemos el punto x = 0.

f (0 + h) − f (0) |0 + h| − |0| −h
lı́m− = lı́m− = lı́m− = −1
h→0 h h→0 h h→0 h

Similarmente,

f (0 + h) − f (0) |0 + h| − |0| h
lı́m− = lı́m+ = lı́m− = 1
h→0 h h→0 h h→0 h

f (0 + h) − f (0)
Dado que los lı́mites laterales son diferentes, entonces no existe lı́m ,
h→0 h
por lo que no existe la derivada de la función valor absoluto en el punto x = 0. El
concepto de lı́mite lateral puede extenderse naturalmente a la derivada definiendo la
derivada lateral como el lı́mite lateral correspondiente. La derivada de la función f (x)
existirá en el punto x si existen las derivadas laterales de la función en el punto x y
éstas son iguales, en cuyo caso el valor de la derivada es el valor común de las derivadas
laterales.

4.4. Derivadas de Orden Superior

0
Dada la función f (x), la derivada f (x0 ) es un número que se calcula por la expresión
(4.1). Si para cada x del dominio de f , calculamos su derivada, entonces podemos definir
la función derivada:
0
f : Domf 0 −→ R
0
x 7−→ y = f (x)
Aquı́ Domf 0 es el conjunto de todos los x ∈ Domf donde existe la derivada. Esta
función asigna a cada x su derivada. Por ejemplo, si f (x) = 3x5 − 2x4 + 5x2 + 2x
0
entonces f (x) = 15x4 − 8x3 + 10x + 2.
0
La función f (x) puede volverse a derivar y obtener ası́ la segunda derivada de
00
f (x), esto es, f (x) = 60x3 − 24x2 + 10. Esta función puede derivarse nuevamente
000
para obtener la tercera derivada, esto es, f (x) = 120x2 − 48x. En general, la n-ésima

79
 CAPÍTULO 4. LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

derivada de la función f (x) se define por

0 
f (n) (x) = f f (n−1) (x), n ∈ N


n dn
La n-ésima derivada de la función f (x) también se denota por f (x) = n f (x)
x

4.5. La Regla de la Cadena

Las reglas que hemos estudiado hasta ahora no ayudan mucho para calcular de
derivar la función
h(x) = (3x4 + x3 )30

La regla de la cadena se utiliza para derivar funciones de este tipo, que son funciones
compuestas. En efecto, la función de arriba tiene la forma

h(x) = f (g(x)), (4.5)

donde g(x) = 3x4 + x3 y h(x) = f (g(x)) = (g(x))30 . Ası́ pues necesitamos contar con
una regla que nos permita derivar funciones de la forma (4.5), esto es, una regla para
la derivación de composición de funciones.

Teorema 3. Sea la función compuesta h(x) = f (g(x)) tal que g es derivable en x y f

es derivable en g(x). Entonces h es derivable en f (g(x)) y

0 0 0
h (x) = f (g(x))g (x) (4.6)

Esta regla indica que primero se deriva la función exterior (la función f ) la que se
evalúa en la función interior (la función g) y el resultado se multiplica por la derivada
de la función interior. Si aplicamos la regla (4.6) a la función h(x) de arriba, tenemos

0
h (x) = 30(x4 + x3 )29 (4x3 + 3x2 )

Si hacemos u = g(x) y y = h(x), entonces

0 dy dy du
h (x) = = · (4.7)
dx du dx

La regla para derivar la composición de funciones se aplica tantas veces como sea
necesario de acuerdo a si la función h(x) resulta de la composición de dos o más

80
 CAPÍTULO 4. LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

funciones, formándose una especie de cadena, de donde se deriva el nombre de la regla,

por ejemplo
r(x) = f (g(h(x)))

entonces
0 0 0 0
r = f (g(h(x)))g (h(x))h (x)

Haciendo u = h(x), w = g(h(x)) y y = r(x) podemos utilizar la formulación (4.7) para

escribir
0 dy dy dw du
r (x) = = · ·
dx dw du dx
Ejemplo 60. Dada la función
 
n r(z(x))
F (x) = g x h(x) +
2x3
0
apliquemos las reglas estudiadas para obtener F (x). Si escribimos w(x) = xn h(x) +
r(z(x))
, entonces vemos que g es función de w, que a su vez es función de x, por lo
2x3
que debemos aplicar la regla de la cadena para derivar la composición g(w(x)). Más
r(z(x))
aún, w(x) es la suma de dos funciones, xn h(x) y . La primera de éstas es un
2x3
producto de funciones y, por consiguiente, debemos aplicar la regla del producto para
derivarla. La segunda función es en cociente de funciones, pero en el numerador de
este cociente tenemos la composición de la función r con la función z(x), por lo que al
momento de aplicar la regla del cociente debemos tener en cuenta la regla de la cadena
para derivar el numerador.
0 0
r (z(x))z (x)(2x3 ) − r(z(x))(6x2 )
  
0 0 n r(z(x)) n−1 n 0
F (x) = g x h(x) + nx h(x) + x h (x) +
2x3 (2x3 )2
0 0
xr (z(x))z (x) − 3r(z(x))
  
0 n r(z(x)) n−1 n 0
= g x h(x) + nx h(x) + x h (x) +
2x3 2x4

Ejemplo 61. (La función exponencial)

La función exponencial tiene la particularidad de que su derivada es la propia
0
función, esto es, si f (x) = ex entonces f (x) = ex . Luego si h(x) = eg(x) , por la regla
de la cadena tenemos
0 0
h (x) = eg(x) g (x)
5 +x2 0 5 +x2
En particular si h(x) = e2x , entonces h (x) = (10x4 + 2x)e2x

81