S08 - s1 - Distribución Probabilidad Continua - Normal

SESIÓN N° 15
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
CONTINUA
LOGRO DE LA SESIÓN:
Al finalizar la sesión de clase, el estudiante
aplicará las probabilidades asociadas de
una distribución de probabilidad normal en
diferentes situaciones, a fin de poder
aplicarlos en el campo de la ciencia e
ingeniería.
DUDAS SOBRE LA CLASE ANTERIOR:
Los estudiantes comparten con el docente las dudas que hubieran existido
en la sesión anterior y responde a la siguiente pregunta
Dada una distribución normal estándar, encuentre el área bajo la curva que
está:
a) A la izquierda de z = 1.43.
b) A la derecha de z = -0.89.
c) Entre z = -2.16 y z = -0.65.
d) Entre z = -0.48 y z = 1.74.
Datos/Observaciones
CONOCIMIENTOS PREVIOS:
¿Qué conozco de Distribución Normal?
¿Para que sirve?
Datos/Observaciones
UTILIDAD DEL TEMA:
Cuando hacemos investigación nos

interesa inferir si los hallazgos de un
grupo de pacientes son similares a los
de la población general, o a los de otro
grupo, o bien si se trata de valores
distintivos. Para inferir si hay o no
diferencias es que resulta fundamental
trabajar con la distribución normal.
Datos/Observaciones
DESARROLLO DEL TEMA:
A continuación el estudiante va a revisar los conceptos básicos,
propiedades y tablas de distribución normal y se plantea ejercicios para
poder desarrollar los conceptos revisados en la sesión anterior.
Tabla Distribución Normal ( Positivo y Negativo)
Recordemos el uso de la tabla normal estándar: Z
a) 𝑃[𝑍 ≤ 0.93] (𝑐𝑎𝑠𝑜1)
b) 𝑝 −0.52 < 𝑧 < 1.03 (𝑐𝑎𝑠𝑜3)
𝑐) 𝑝 𝑧 > 1,27 (𝑐𝑎𝑠𝑜2)
Solución:
a) 𝑃(𝑍 ≤ 0.93) = 0.82381(Á𝑟𝑒𝑎)
Enlace: https://www.youtube.com/watch?v=D2u4VZmRWmw
DESARROLLO DEL TEMA: Conclusiones
Propiedades
𝑃(𝑍 < 𝑎) = 𝑃(𝑍 < 𝑎)

𝑃(𝑍 > 𝑎) = 1 − 𝑃(𝑍 ≤ 𝑎)
𝑃(𝑎 < 𝑍 < 𝑏) = 𝑃(𝑍 < 𝑏) − 𝑃(𝑍 < 𝑎)
b) 𝑝 −0.52 < 𝑧 < 1.03
𝑝 −0.52 < 𝑧 < 1.03 = 𝑝 𝑧 < 1.03 − 𝑝 𝑧 < −0.52 = 0.54696

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c) 𝑝 𝑧 > 1.27 1-0.89796= 0.10204

Distribución Normal Distribución Normal estándar
𝑿~𝑁(𝜇, 𝜎 2 ) 𝒁~𝑁(0,1) Tabla
𝑋−𝜇
𝑧=
𝜎
Fórmula de
Estandarización
𝜇 0
https://www.youtube.com/watch?v=D2u4VZmRWmw
Conclusiones
ESPACIO PRACTICO AUTONOMO:
Se somete a un grupo de estudiantes de una cierta universidad a un
experimento para medir el tiempo de reacción cuando se ingesta una bebida
energizante que ha salido al mercado. Si este tiempo sigue una distribución
normal con media de 20 segundos y varianza de 16 segundos2.
Calcular la probabilidad que un estudiante de la universidad elegido al azar
tenga un tiempo de reacción:
a. Menos de 25 segundos.
b. Más de 17 segundos.
c. Entre 15 y 27 segundos.
Conclusiones
a. Piden: P(X < 25) X: Tiempo de reacción
Datos
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 = 𝜇 = 20 𝑠𝑒𝑔
Estandarizamos el valor de x 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = 𝜎 2 = 16 ,
𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟 → 𝜎 = 4
𝑥 − 𝑢 25 − 20
𝑍= = = 1,25
𝜎 4
P(Z ≤ 1.25)= 0.89435
La probabilidad de que un estudiante de la universidad elegido al azar tenga

un tiempo de reacción menor a 25 segundos es 0.8943.
Conclusiones
b. Piden: P (X > 17)
Estandarizamos el valor de x
𝑥 − 𝑢 17 − 20
𝑍= = = −0,75
𝜎 4
Propiedad:
P (Z > −0.75) = 1 − P (Z ≤ −0.75)
= 1 − 0.22663 La probabilidad de que un estudiante de
= 0.77337 la universidad elegido al azar tenga un
tiempo de reacción Mayor a 17 segundos
es 0.77337.
Conclusiones
c. 𝑃𝑖𝑑𝑒𝑛: 𝑃 (15 ≤ 𝑋 ≤ 27)
Estandarizando a cada lado los valores de x:
15 − 20 𝑥 − 𝑢 27 − 20
𝑃( < < ) ⟶ 𝑃(−1.25 < 𝑍 < 1.75)
4 𝜎 4
Recordar:
Propiedad
P(a < Z < b) = P(Z < b) - P(Z < a)
P (Z ≤ 1.75)− P (Z < −1.25) Estandarización
𝑇𝑎𝑏𝑙𝑎 𝑇𝑎𝑏𝑙𝑎 𝑋−𝜇
0.95994 - 0.10565 = 0.85429 𝑧=
𝜎
La probabilidad de que un estudiante de la universidad elegido al azar

tenga un tiempo de reacción entre 15 y 27 segundos es 0.85429.
Conclusiones
Un análisis estadístico de 1000 llamadas de larga distancia realizadas en las

oficinas principales de la empresa Movistar indica que la duración de estas llamadas
tiene una distribución normal, con media 240 segundos y desviación estándar 40
segundos.
a. ¿Qué porcentaje de estas llamadas duró menos de 180 segundos?
b. ¿Cuál es la duración de una llamada en particular si sólo 1% de las llamadas

son menos breves?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que cierta llamada dure entre 160 y 320 segundos?
Conclusiones
a. Piden: P (X <180)
X: Duración de la llamada
Datos
Estandarizamos este valor de x
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 = 𝜇 = 240 𝑠𝑒𝑔
x − u 180 − 240 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟 → 𝜎 = 40
Z= = ⟶ 𝑍 = −1.5
σ 40
P (Z < -1.50)= 0.0668= 6,68%
Vemos que el 6,68% de las llamadas duró

menos de 180 segundos.
Conclusiones
b. Piden: P ( X < x ) = 1% = 0.01
Estandarización
x − u x − 240
Z= =
σ 40
Propiedad:
Pero P(Z <x)= 0.01 Luego Z= -2.33
tabla
"#$%&
Resolvemos la ecuación Z= %&
= −2,33 Luego 𝑥 − 240 = 40 ∗ (−2,33)
X = 146,8 seg.
Conclusiones
c. 𝑃𝑖𝑑𝑒𝑛: 𝑃 (160 ≤ 𝑋 ≤ 320)
Estandarizando a cada lado, los valores de x:
160 − 240 𝑥 − 𝑢 320 − 240
𝑃( < < ) ⟶ 𝑃(−2 < 𝑍 < 2)
40 𝜎 40
Propiedad
P( Z ≤ 2) − P( Z < − 2) Recordar:
P(a < Z < b) = P(Z < b) - P(Z < a)
𝑇𝑎𝑏𝑙𝑎 𝑇𝑎𝑏𝑙𝑎
0.97725 - 0.02275 = 0.9545 Estandarización
𝑋−𝜇
𝑧=
𝜎
Conclusiones
Caso Inverso:
Se hizo un test de prueba aptitudinal a un grupo de estudiantes de la UTP. Si

las puntuaciones obtenidas sigue una distribución normal con media 65 y
desviación estándar 18. Un docente desea clasificar a los examinados en tres
grupos (de baja cultura general, de cultura general aceptable, de excelente
cultura general) de modo que hay en el primer grupo un 20% la población, un
65% el segundo y un 15% en el tercero. Si Astryd obtiene 55 puntos, ¿a qué
grupo pertenece?
Conclusiones
Solución:
Conclusiones
ESPACIO PRACTICO AUTONOMO 1:
Si las puntuaciones en un test X siguen una distribución Normal (25,25), es

decir con media 25 y varianza 25 ¿Qué puntuación será superada por el
24.83% de los sujetos con mejores puntuaciones?
Conclusiones
La estatura de los estudiantes de una Universidad sigue una distribución
Normal de media 180 cm. y desviación típica 5 cm.
Calcular: La probabilidad de que un estudiante mida menos de 172 cm.
Conclusiones
El gerente de personal de una gran compañía requiere que los solicitantes

a un puesto efectúen cierta prueba y alcancen una calificación de 500. Si
las calificaciones de la prueba se distribuyen normalmente con media de
485 y desviación estándar de 30 ¿Qué porcentaje de los solicitantes
pasará la prueba?
Conclusiones
ESPACIO PRÁCTICO AUTONOMO 4:
Los salarios mensuales de los recién graduados que acceden a su primer
empleo se distribuyen según una ley normal de media S/ 1300 y desviación típica
S/ 600. Calcular la probabilidad de que los graduados cobren entre S/ 1000 y S/
1500 al mes.
CIERRE:
¿Qué hemos aprendido?
1.¿Qué distribuciones de
probabilidad de variable aleatoria
continua conoces?
2.¿Para qué se utiliza la tabla estadística

de distribución normal estándar?

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SESIÓN N° 15

¿Para que sirve?

Cuando hacemos investigación nos

Recordemos el uso de la tabla normal estándar: Z

a) 𝑃[𝑍 ≤ 0.93] (𝑐𝑎𝑠𝑜1)

b) 𝑝 −0.52 < 𝑧 < 1.03 (𝑐𝑎𝑠𝑜3)

𝑐) 𝑝 𝑧 > 1,27 (𝑐𝑎𝑠𝑜2)

𝑃(𝑍 < 𝑎) = 𝑃(𝑍 < 𝑎)

𝑃(𝑎 < 𝑍 < 𝑏) = 𝑃(𝑍 < 𝑏) − 𝑃(𝑍 < 𝑎)

b) 𝑝 −0.52 < 𝑧 < 1.03

𝑝 −0.52 < 𝑧 < 1.03 = 𝑝 𝑧 < 1.03 − 𝑝 𝑧 < −0.52 = 0.54696

c) 𝑝 𝑧 > 1.27 1-0.89796= 0.10204

Distribución Normal Distribución Normal estándar

𝑿~𝑁(𝜇, 𝜎 2 ) 𝒁~𝑁(0,1) Tabla

a. Piden: P(X < 25) X: Tiempo de reacción

P(Z ≤ 1.25)= 0.89435

La probabilidad de que un estudiante de la universidad elegido al azar tenga

La probabilidad de que un estudiante de la universidad elegido al azar

Un análisis estadístico de 1000 llamadas de larga distancia realizadas en las

a. ¿Qué porcentaje de estas llamadas duró menos de 180 segundos?

b. ¿Cuál es la duración de una llamada en particular si sólo 1% de las llamadas

P (Z < -1.50)= 0.0668= 6,68%

Vemos que el 6,68% de las llamadas duró

Se hizo un test de prueba aptitudinal a un grupo de estudiantes de la UTP. Si

Si las puntuaciones en un test X siguen una distribución Normal (25,25), es

El gerente de personal de una gran compañía requiere que los solicitantes

2.¿Para qué se utiliza la tabla estadística

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