Resolución Unidad 2, Función Cuadrática

Matemática en Contextos Económicos
MATEMÁTICA EN
CONTEXTOS ECONOMICOS
CAPITULO N° 2
FUNCION CUADRATICA
RESOLUCION DE
ACTIVIDADES PRACTICAS
Facultad de Ciencias Económicas

ACTIVIDAD 11
Dada las siguientes funciones cuadráticas:
𝒊) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 − 8 𝒊𝒊) 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 10𝑥 − 21

Se te solicita que:
a) Aproximes su comportamiento gráfico identificando puntos notables y
signos de sus coeficientes constantes.
b) Determines Dominio e Imagen.
c) Identifiques los intervalos del dominio de 𝑓 para los cuales la función es
positiva, negativa o nula.
d) Identifiques los intervalos del dominio de 𝑓 para los cuales la función es
creciente ó decreciente.
Antes de comenzar a resolver cada uno de los incisos de la actividad,

intentemos responder algunas preguntas:
¿Cuál es el objetivo que plantea la misma?: Si leemos con atención la
consigna, podemos determinar que la actividad plantea como objetivo:
1. Realizar la GRAFICA las funciones cuadráticas
2. Determinar Dominio, Imagen, intervalos del dominio de f
para los cuales la función es positiva, negativa o nula e
intervalos del dominio para los cuales la función es creciente
o decreciente.
¿Qué datos ofrece la actividad?: La información que nos brinda el
enunciado es la función cuadrática de la forma polinómica.
¿Qué contenidos de la asignatura deben conocerse para resolver esta
actividad?: Para poder resolver esta actividad es necesario que conozcas
y manejes los contenidos abordados durante el cursillo de ingreso, te
ayudarán a resolver los siguientes interrogantes:
1. ¿Cómo se define a una función?
2. ¿Cómo se define una función cuadrática?
3. ¿Cuáles son sus coeficientes constantes y que información me
brinda cada uno de ellos?
4. ¿Cuál es el intervalo del dominio de f para los que la función
crece o decre?
5. ¿En que intervalo del dominio de f la función es positiva,
negativa o nula?
1. ¿Cuál es la estructura de una función lineal? ¿Cuáles son los
coeficientes constantes de la misma y qué información brindan?
2. ¿Cómo se representa gráficamente de una función lineal?
2
3. ¿Cómo se obtienen las intersecciones de una función lineal con los
ejes coordenados?
4. ¿Cuándo dos rectas son paralelas, coincidentes o
perpendiculares?
𝒊) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 − 8
Se te solicita que:
La función cuadrática está expresada en forma polinómica.
Recordemos:
Análisis de los Coeficientes Constantes de las Funciones Cuadráticas Forma polinómica: se
El coeficiente del término cuadrático, coeficiente constante 𝒂, su signo llama así porque la
indica la orientación de las ramas de la parábola. Si el signo de 𝒂 es positivo, función está
expresada como un
𝑎 > 0, las ramas de la parábola están orientadas hacia arriba (Convexa) y si 𝒂 es
polinomio.
negativo, 𝑎 < 0, las ramas de la parábola están orientadas hacia abajo (Cóncava). 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
El signo de 𝒃 indica si la parábola presenta desplazamiento respecto con 𝑎 ≠ 0
del eje de ordenadas, pero por si solo no informa hacia dónde se ha desplazado,
ni la cantidad de unidades que lo ha hecho.
Para poder analizar si una función cuadrática se ha desplazado
horizontalmente hacia la izquierda o hacia la derecha, debe calcularse la abscisa
del vértice “𝑥𝑣 ”, generando la necesidad de observar tanto el signo de 𝑏 como el
signo de 𝑎.
El coeficiente 𝒄 indica la intersección de la parábola con el eje de
ordenadas (0; 𝑐) .
ANÁLISIS DE LOS COEFICIENTES CONSTANTES:
𝑎 > 0 las ramas de la parábola están orientadas hacia arriba (Convexa)

𝑏 = 0 la parábola no presenta desplazamiento horizontal
𝑐 < 0 indica el corte de la parábola con el eje de ordenadas
Intersección con los ejes coordenados

Intersección con el eje de ordenadas (eje 𝒚):
Se evalúa a la función cuando la variable independiente asume el valor 𝑥 = 0
𝑓(0) = 2. 02 − 8 = −8
La función cuadrática interseca al eje de ordenada en el punto ( 0, 𝑓(0)) =
(0, −8)
Intersección con el eje de abscisas (eje 𝒙):

Se obtiene buscando las soluciones reales de la ecuación 𝑓(𝑥) = 0
3

2𝑥 2 − 8 = 0
Para resolver esta ecuación debemos aplicar la fórmula cuadrática, también
denominada fórmula resolvente.
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
𝑥𝑖 =
2𝑎
Muchas veces es recomendable averiguar si la parábola interseca al eje de
abscisas obteniendo el valor del discriminante ∆= 𝑏 2 − 4𝑎𝑐
En este caso particular el discriminante es:
∆= 02 − 4.2. (−8) = 64 > 0
La función tiene dos raíces reales y distintas. Interseca al eje de abscisas en los
valores 𝑥1 y 𝑥2 , siendo sus respectivos puntos (𝑥1 , 0) y (𝑥2 , 0).
Para averiguar los valores 𝑥1 y 𝑥2 reemplazamos en:
−0 ± √64
𝑥𝑖 = = ±2
2.2
𝑥1 = −2 y 𝑥2 = 2
Eje de simetría de la parábola y vértice
Las parábolas son simétricas con respecto a una recta vertical,

denominada eje de simetría de la parábola. El eje no forma parte de la
parábola, pero es un auxiliar útil para trazar su gráfico.
Por ser una recta vertical, la ecuación del eje de simetría es:
𝑏
𝑥 = 𝑥𝑣 = −
2. 𝑎
La intersección de la parábola con su eje de simetría se llama vértice
𝑉 = (𝑥𝑣 ; 𝑦𝑣 ) y sus coordenadas las obtendremos calculando:
𝑏 𝑏
𝑉 = (𝑥𝑣 ; 𝑦𝑣 ) = (− ; 𝑓 (− ))
2. 𝑎 2. 𝑎
Para nuestro caso en particular:

𝑏 𝑏 0
𝑉 = (𝑥𝑣 , 𝑦𝑣 ) = ((− ) , 𝑓 (− )) = (− , 𝑓(0)) = (0, −8)
2𝑎 2𝑎 2𝑎

Debes prestar mucha

atención, intervalo del
dominio se refiere a
valores que asume la
variable
b) Determines Dominio e Imagen. independiente “𝑥” por
lo tanto debes
El dominio de definición de f es 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ y su imagen es observar en el gráfico
𝐼𝑚 𝑓 = [−8, ∞) los valores de 𝑥 que
determinan que la
función asuma
valores positivos,
c) Identifiques los intervalos del dominio de 𝑓 para los cuales la función es negativos o nulos.
Intervalo de positividad: (−∞, −2) ∪ (2, ∞)

Intervalo de negatividad: (−2,2) Debes prestar mucha
Nula: en 𝑥1 = −2 y 𝑥2 = 2 atención, intervalo del
dominio se refiere a
d) Identifiques los intervalos del dominio de 𝑓 para los cuales la función es valores que asume la
variable
creciente ó decreciente. independiente “𝑥” por
Recuerda que una función creciente 𝑓 es una función tal que al lo tanto debes
aumentar la variable independiente 𝑥, aumenta la variable dependiente 𝑦. observar en el gráfico
los valores de 𝑥 que
Intervalo de crecimiento: (0, ∞)
determinan que la
Intervalo de decrecimiento: (−∞, 0) función sea creciente,
decreciente o no
crezca ni decrezca

𝒊𝒊) 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 10𝑥 − 21

Se te solicita que:
La expresión analítica en que se ha expresado la función cuadrática es de la forma
polinómica.
𝑎 < 0 las ramas de la parábola están orientadas hacia abajo (Cóncava).

𝑏 > 0 la parábola presenta desplazamiento horizontal, para poder analizar si
esta función se ha desplazado hacia la izquierda o hacia la derecha, debe
calcularse la abscisa del vértice, 𝑥𝑣 , generando la necesidad de observar el
signo de 𝑎 y el signo de 𝑏.
10
𝑥𝑣 = − = 5 > 0 desplazamiento 5 unidades hacia la derecha.
2(−1)
Es decir, si el signo de 𝑎 es distinto al signo de 𝑏, el desplazamiento es hacia
la derecha.
𝑐 < 0 indica el corte de la parábola con el eje de ordenadas.
Intersección con los ejes coordenados
Intersección con el eje de ordenadas (eje y):

𝑓(0) = 02 + 10.0 − 21 = −21
La función cuadrática interseca al eje de ordenada en el punto ( 0, 𝑓(0)) =
(0, −21)
Intersección con el eje de abscisas (eje x):

−𝑥 2 + 10𝑥 − 21 = 0
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
𝑥𝑖 =
2𝑎
∆= 102 − 4. (−1). (−21) = 16 > 0
Para averiguar los valores 𝑥1 y 𝑥2 reemplazamos en:

−10 ± √16 −10 ± 4

𝑥𝑖 = =
2. (−1) −2
𝑥1 = 3 y 𝑥2 = 7
Eje de simetría de la parábola y vértice

Las parábolas son simétricas con respecto a una recta vertical, denominada eje de
simetría de la parábola.
Por ser una recta vertical, la ecuación del eje de simetría es:
𝑏
𝑥𝑣 = −
2𝑎
La intersección de la parábola con su eje de simetría se llama vértice 𝑉 =
(𝑥𝑣 , 𝑦𝑣 )y sus coordenadas las obtendremos calculando:
𝑏 𝑏 10
𝑉 = (𝑥𝑣 , 𝑦𝑣 ) = ((− ) , 𝑓 (− )) = (− , 𝑓(5)) = (5,4)
2𝑎 2𝑎 2(−1)
b) Determines Dominio e Imagen.

El dominio de definición de f es 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ y su imagen es
𝐼𝑚 𝑓 = (−∞, 4]
c) Identifiques los intervalos del dominio de 𝑓 para los cuales la función es
Intervalo de positividad: (3,7)
Intervalo de negatividad: (−∞, 3) ∪ (7, ∞)
Nula: en 𝑥1 = 3 y 𝑥2 = 7
d) Identifiques los intervalos del dominio de 𝑓 para los cuales la función es
creciente ó decreciente.
Intervalo de crecimiento: (−∞, 5)
Intervalo de decrecimiento: (5, ∞)

ACTIVIDAD 12
Dada las siguientes funciones cuadráticas:
𝒊) 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)2 − 1 𝒊𝒊) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)2 + 4
Se te solicita que:
a) Determines la ecuación del eje de simetría y las coordenadas del vértice.
b) Analices si presentan desplazamientos horizontales o verticales a partir
de la función elemental 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 .
c) Aproximes su comportamiento gráfico identificando puntos notables y
d) Determines Dominio e Imagen.
e) Escribas su expresión analítica en la forma polinómica y factorizada (en
caso de ser posible).

¿Cuál es el objetivo que plantea la misma?: Si leemos con atención la
consigna, podemos determinar que la actividad plantea como objetivo:
1. Determinar la ecuación del eje de simetría
2. Determinar coordenadas del vértice.
3. Analizar desplazamientos de la función
4. Realizar la GRAFICA de la función.
5. Determinar Dominio e Imagen de la función
6. Identificar las distintas formas de expresar una función cuadrática.
enunciado es la función cuadrática de la forma canónica.
y manejes los contenidos abordados durante el cursillo de ingreso, los del
inciso anterior y contenidos que te ayuden a responder los siguientes
interrogantes:
1. ¿Cuáles son las diferentes formas de expresar una función
cuadrática?
2. ¿Cómo se encuentran las coordenadas del vértice?
3. ¿Cómo podemos visualizar analítica y gráficamente los
desplazamientos verticales y horizontales de una función?
𝒊) 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)2 − 1
8

Se te solicita que:
canónica. Forma canónica:
𝑓(𝑥) = 𝑎. (𝑥 − 𝑥𝑣 )2 + 𝑦𝑣 Toda función
Siendo (𝑥𝑣 , 𝑦𝑣 ) las coordenadas del vértice. cuadrática puede ser
expresada mediante el
Sabiendo esto la ecuación del eje de simetría es 𝑥𝑣 = −1 y las coordenadas del
cuadrado de un
vértice (𝑥𝑣 , 𝑦𝑣 ) = (−1, −1) binomio de la
siguiente manera:
𝒇(𝒙) = 𝒂. (𝒙 − 𝒙𝒗 )^𝟐 + 𝒚𝒗
con 𝒂 ≠ 𝟎
de la función elemental 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 . Siendo ( 𝒙𝒗 ; 𝒚𝒗 ) las
coordenadas del
Antes de resolver este inciso, repasemos: vértice.
Para poder analizar si una función cuadrática se ha desplazado
horizontalmente hacia la izquierda o hacia la derecha, debe calcularse la abscisa
del vértice “𝑥𝑣 ”, generando la necesidad de observar tanto el signo de 𝑏 como el
signo de 𝑎. En el siguiente cuadro se presentan las diferentes alternativas que Analizaremos el
pueden ocurrir: desplazamiento
horizontal y el vertical
Si 𝑏 = 0 Si 𝑏 > 0 Si 𝑏 < 0 de la función
0 cuadrática, a partir de
𝑥𝑣 = =0 𝑥𝑣 < 0 𝑥𝑣 > 0 la función elemental:
2. 𝑎
Si 𝑎 > 0 No presenta
Desplazamiento 𝑥𝑣 Desplazamiento 𝑥𝑣 𝑓(𝑥) = 𝑥 2
unidades hacia la unidades hacia la
desplazamiento
izquierda derecha
horizontal
0
𝑥𝑣 = =0 𝑥𝑣 > 0 𝑥𝑣 < 0
2. 𝑎
Si 𝑎 < 0 Desplazamiento 𝑥𝑣 Desplazamiento 𝑥𝑣
No presenta
unidades hacia la unidades hacia la
desplazamiento
derecha izquierda
horizontal
Repasemos también lo visto en la Unidad 1 de este módulo:
Transformaciones, 𝒄 > 𝟎
Cómo transformar la gráfica de 𝒚 = 𝒇(𝒙)
Ecuación
para obtener la gráfica de la ecuación.
𝒚 = 𝒇(𝒙) + 𝒄 Desplaza 𝑐 unidades hacia arriba.
𝒚 = 𝒇(𝒙) − 𝒄 Desplaza 𝑐 unidades hacia abajo.
𝒚 = 𝒇(𝒙 − 𝒄) Desplaza 𝑐 unidades hacia la derecha.
𝒚 = 𝒇(𝒙 + 𝒄) Desplaza 𝑐 unidades hacia la izquierda.

A partir de la función elemental 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 , y analizando el cuadro mencionado

anteriormente, se puede observar la función se desplazó horizontalmente, una
unidad hacia la izquierda y verticalmente, una unidad hacia abajo.
𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)2 − 1

canónica, la llevaremos a la forma polinómica para poder hacer el análisis
𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)2 − 1
Resolvemos el cuadrado del binomio:
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥 + 1 − 1 = 𝑥 2 + 2𝑥

𝑏 > 0 la parábola presenta desplazamiento horizontal hacia la izquierda
𝑐 = 0 indica el corte de la parábola con el eje de ordenadas
Intersección con los ejes coordenados:
Intersección con el eje de ordenadas (eje y):

𝑓(0) = 02 + 2.0 = 0
La función cuadrática interseca al eje de ordenada en el punto (0, 𝑓(0)) = (0,0)
Intersección con el eje de abscisas (eje x):

𝑥 2 + 2𝑥 = 0
Para resolver esta ecuación podemos utilizar un caso de factoreo, sacando factor
común 𝑥.
𝑥(𝑥 + 2) = 0
𝑥1 = 0 y 𝑥 + 2 = 0 ⇒ 𝑥2 = −2
También podemos averiguar si la parábola interseca al eje de abscisas obteniendo
el valor del discriminante ∆= 𝑏 2 − 4𝑎𝑐
∆= 22 − 4.1.0 = 4 > 0
Para averiguar los valores 𝑥1 y 𝑥2 utilizando la formula resolvente reemplazamos
en:
−2 ± √4 −2 ± 2
𝑥𝑖 = =
2.1 2
10

𝑥1 = 0 y 𝑥2 = −2
Que es lo que habíamos obtenido anteriormente factorizando la expresión.

El dominio de definición de f es 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ y su imagen es 𝐼𝑚 𝑓 = [−1, ∞)

11

Recordemos:
Otras Formas de Expresar a una Función Cuadrática
Tres maneras en las que podemos expresar a una función cuadrática:
Forma polinómica: se llama así porque la función está

expresada como un polinomio.
𝑓(𝑥) = 𝑎. 𝑥 2 + 𝑏. 𝑥 + 𝑐 con 𝑎 ≠ 0
Forma factorizada: Las raíces de una función, si es que existen, nos

permitirán expresar la fórmula de una función cuadrática en forma factorizada.
𝑓(𝑥) = 𝑎. (𝑥 − 𝑥1 ). (𝑥 − 𝑥2 ) con 𝑎 ≠ 0
Siendo 𝑎 el coeficiente del término cuadrático de la función, por ello se

extrae siempre como factor común, de no escribirse, el coeficiente de 𝑥 2 sería
siempre 1. En caso de existir, los valores 𝑥1 y 𝑥2 representan las raíces de 𝑓(𝑥).
En el caso de que el discriminante 𝛥 = 0 entonces 𝑥1 = 𝑥2 por lo que podríamos
escribir:
𝑓(𝑥) = 𝑎. (𝑥 − 𝑥1 )2
Forma canónica: Toda función cuadrática puede ser expresada

mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera:
𝑓(𝑥) = 𝑎. (𝑥 − 𝑥𝑣 )2 + 𝑦𝑣 con 𝑎 ≠ 0
Siendo (𝑥𝑣 ; 𝑦𝑣 ) las coordenadas del vértice.
Forma Polinómica: 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥

Forma Factorizada: 𝑓(𝑥) = 𝑥. (𝑥 + 2)
12

𝒊𝒊) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)2 + 4

Se te solicita que:
canónica.
𝑓(𝑥) = 𝑎. (𝑥 − 𝑥𝑣 )2 + 𝑦𝑣
Siendo (𝑥𝑣 , 𝑦𝑣 ) las coordenadas del vértice.
Sabiendo esto la ecuación del eje de simetría es 𝑥𝑣 = 1 y las coordenadas del
vértice (𝑥𝑣 , 𝑦𝑣 ) = (1,4)
de la función elemental 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 .
A partir de la función elemental 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 se puede observar la función se
desplazó horizontalmente, una unidad hacia la derecha y verticalmente, cuatro
unidades hacia arriba.
canónica, la llevaremos a la forma polinómica para poder hacer el análisis
𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)2 + 4
Resolvemos el cuadrado del binomio:
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 + 4 = 𝑥 2 − 2𝑥 + 5

𝑏 < 0 la parábola presenta desplazamiento horizontal hacia la derecha
𝑐 = 5 indica el corte de la parábola con el eje de ordenadas
Intersección con los ejes coordenados:

Intersección con el eje de ordenadas (eje 𝒚):
𝑓(0) = 02 − 2.0 + 5 = 5
La función cuadrática interseca al eje de ordenada en el punto (0, 𝑓(0)) = (0,5)
Intersección con el eje de abscisas (eje 𝒙):
𝑥 2 − 2𝑥 + 5 = 0
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
𝑥𝑖 =
2𝑎
13


∆= (2)2 − 4.1.5 = −16 < 0
La función no tiene raíces reales. No interseca al eje de abscisas.

El dominio de definición de f es 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ y su imagen es 𝐼𝑚 𝑓 = [4, ∞)

Forma Polinómica: 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 + 5
Forma Factorizada: No es posible escribirla porque la función no tiene raíces
reales.
14

ACTIVIDAD 13
Dados los comportamientos gráficos de las funciones cuadráticas:
𝑮𝒓á𝒇𝒊𝒄𝒐 𝑵°𝟏 𝑮𝒓á𝒇𝒊𝒄𝒐 𝑵°𝟐
𝑦 𝑦
−1 𝑥
−1,5 1,5 𝑥 −1
−4,5
𝑮𝒓á𝒇𝒊𝒄𝒐 𝑵°𝟑 𝑮𝒓á𝒇𝒊𝒄𝒐 𝑵°𝟒

𝑦 𝑦
𝑥 4
1
−2
−5 2 𝑥

¿Cuál es el objetivo que plantea la misma?: A partir de la gráfica de la
función hacer un análisis del signo de los coeficientes, ecuación del eje de
simetría, intersecciones, intervalos de crecimiento, y decrecimiento de la
función, intervalos de positividad, negatividad y nula.
enunciado es el gráfico de la función cuadrática.
y manejes los contenidos abordados durante el cursillo de ingreso, y
función cuadrática.
15

Se te solicita que completes las siguientes tablas:

Signo Intersección
Eje 𝒚
Eje 𝒙
Gráfico 𝒂 𝒃 𝒄 ∆ (∩ 𝒚)
(∩ 𝒙)
𝒇(𝟎) = 𝒄
+ − + 𝑥1 = −1,5
𝟏 𝑏=0 𝑓(0) = −4,5
𝑎>0 𝑐 = −4,5 ∆> 0 𝑥2 = 1,5
− − −
𝟐 ∆= 0 𝑥1 = 𝑥2 = −1 𝑓(0) = −1
𝑎<0 𝑏<0 𝑐 = −1
− + − − ∄
𝟑 𝑓(0) = −5
𝑎<0 𝑏>0 𝑐 = −5 ∆< 0 𝑁𝑜 𝑃𝑜𝑠𝑒𝑒
− + + + 𝑥1 = 0
𝟒 𝑓(0) = 0
𝑎<0 𝑏>0 𝑐=0 ∆> 0 𝑥2 = 4
¿Es una
Ecuación del Eje de
Vértice función Par?
Gráfico Simetría
(𝒙𝒗 ; 𝒚𝒗 ) 𝒇(𝒙)
(𝒙 = 𝒙𝒗 )
= 𝒇(−𝒙)
𝟏 𝑥 = 𝑥𝑣 = 0 (0; 𝑓(0)) = (0; −4,5) 𝑆í
𝟐 𝑥 = 𝑥𝑣 = −1 (−1; 𝑓(−1)) = (−1; 0) 𝑁𝑂
𝟑 𝑥 = 𝑥𝑣 = 1 (1; 𝑓(1)) = (1; −2) 𝑁𝑂
𝟒 𝑥 = 𝑥𝑣 = 2 (2; 𝑓(2)) = (2; 4) 𝑁𝑂
16

Intervalos del dominio donde la función es
Positiva Negativa Nula

Gráfico Creciente Decreciente
𝒇(𝒙) > 𝟎 𝒇(𝒙) < 𝟎 𝒇(𝒙) = 𝟎
𝟏 (−∞; −1,5) ∪ (1,5; ∞) (−1,5; 1,5) 𝑥1 = −1,5 (0; ∞) (−∞; 0)

𝑥2 = 1,5
𝟐 𝑁𝑜 𝑃𝑜𝑠𝑒𝑒 (−∞; −1) ∪ (−1; ∞) 𝑥 = −1 (−∞; −1) (−1; ∞)
𝟑 𝑁𝑜 𝑃𝑜𝑠𝑒𝑒 (−∞; ∞) 𝑁𝑜 𝑃𝑜𝑠𝑒𝑒 (−∞; 1) (1; ∞)
𝑥1 = 0
𝟒 (0; 4) (−∞; 0) ∪ (4; ∞) (−∞; 2) (2; ∞)
𝑥2 = 4
ACTIVIDAD 14
Un Ejemplo de Marketing. Una consultora de marketing ha estimado que, desde
la introducción al mercado de un nuevo producto, el número de compradores que
lo adquirirán por día viene dado por:
10
𝑓(𝑥) = − . 𝑥. (𝑥 − 24)
9
Se te solicita que:
a) Grafiques la situación bajo estudio y determines cuál es el intervalo de
tiempo (medido en días) para el que tiene sentido el análisis en cuestión.
Forma factorizada: Las raíces de una función, si es que existen, nos

permitirán expresar la fórmula de una función cuadrática en forma factorizada.
𝑓(𝑥) = 𝑎. (𝑥 − 𝑥1 ). (𝑥 − 𝑥2 ) con 𝑎 ≠ 0
Siendo 𝑎 el coeficiente del término cuadrático de la función, por ello se

extrae siempre como factor común, de no escribirse, el coeficiente de
𝑥 2 sería siempre 1. En caso de existir, los valores 𝑥1 y 𝑥2 representan
las raíces de 𝑓(𝑥).
17

En este ejemplo de Marketing la función 𝑓(𝑥) esta expresada en forma

factorizada, podemos observar las raíces, es decir el corte con el eje de abscisas
y el coeficiente 𝑎.
10
𝑎 = − 9 < 0 las ramas de la parábola están orientadas hacia abajo, los cortes
con el eje de abscisas son en 𝑥 = 0 y 𝑥 = 24 .
10 𝑥 =0
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑗𝑒 𝑥, 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑓(𝑥) = 0 ↔ − 𝑥. (𝑥 − 24) = 0 ↔ { 1
9 𝑥2 = 24
Gráficamente, el análisis tiene sentido, para el primer cuadrante del eje de

coordenadas cartesianas.
El intervalo de tiempo para el cual tiene sentido el análisis es desde el día 0 al

24 , es decir, (0,24). Los compradores adquirirán el producto durante los
primeros 24 días.
b) Estimes el número máximo de compradores que adquirirán el producto.
Si observamos la gráfica anterior, el día en el que un número máximo de
compradores adquirirán el producto lo encontraremos en el vértice de la parábola,
es decir, en el punto (𝑥𝑣 , 𝑦𝑣 ).
10 240
Se obtiene la forma polinómica de la función 𝑓(𝑥) = − 𝑥 2 + 𝑥
9 9
240
𝑏 9
𝑥𝑣 = − =− = 12
2𝑎 10
2 (− 9 )
10 2 240
𝑦𝑣 = − 12 + 12 = 160
9 9
El número máximo de compradores que adquirirán el producto es de 160.
ACTIVIDAD 15
El Gasto en Publicidad. Una empresa determina que sus beneficios en miles de
dólares dependen del gasto en publicidad que realizan. Su presupuesto para gastos
en publicidad es de 4900 𝑈$𝑆 para destinarlos a la difusión de sus productos. Si
𝐵(𝑥) = −𝑥 2 + 12𝑥 − 20 es el beneficio ante el gasto en publicidad de 𝑥 miles
de dólares, se te solicita que:
18


¿Cuál es el objetivo que plantea la misma?: A partir de la gráfica de la
función hacer un análisis del signo de los coeficientes, ecuación del eje de
simetría, intersecciones, intervalos de crecimiento, y decrecimiento de la
función, intervalos de positividad, negatividad y nula.
enunciado es el gráfico de la función cuadrática.
y manejes los contenidos abordados durante el cursillo de ingreso, y
función cuadrática.
a) Identifiques si toda la información disponible está medida en la misma

unidad monetaria.
La función Beneficio esta medida en miles de dólares y el presupuesto para gastos
de publicidad esta medido en dólares.
b) Determines si la empresa tendrá ganancia o pérdida si gasta todo su
presupuesto.
El presupuesto para gastos en publicidad en miles de dólares es de 4,9
𝐵(4,9) = −(4,9)2 + 12.4,9 − 20 = −24,01 + 58.8 − 20 = 14,79
Si la empresa gasta en publicidad todo su presupuesto de 4,9 miles de dólares,
obtiene una ganancia de 14,79 miles de dólares, esto es, 14.790 𝑈$𝑆
c) Indiques cuántos dólares necesita gastar la empresa para obtener el
beneficio máximo. Indica si dicho monto respeta el presupuesto
disponible.
Para obtener el beneficio máximo, si se analiza la función 𝐵(𝑥), la misma es una
función cuadrática, el coeficiente 𝑎 indica la orientación de las ramas, en este
caso particular 𝑎 < 0, lo que indica que las ramas están orientadas hacia abajo,
𝑏 > 0 lo que indica que la parábola se desplazó horizontalmente hacia la derecha
y 𝑐 = −20 indica el corte con el eje de ordenadas.
Gráficamente la función Beneficio presenta el siguiente comportamiento:
19

Si observamos la grafico la función 𝐵(𝑥) alcanza su máximo beneficio para

gastos de publicidad iguales a la cantidad 𝑥𝑣
𝑏 12
𝑥𝑣 = − =− =6
2𝑎 2(−1)
Si reemplazamos en 𝐵(𝑥)
𝐵(6) = −(62 ) + 12.6 − 20 = −36 + 72 − 20 = 16
La empresa necesita invertir en publicidad 6.000 𝑈$𝑆, para obtener el beneficio
máximo. Dicho monto es mayor al presupuesto disponible de 4900 𝑈$𝑆.
d) Indiques el intervalo de gasto en publicidad para que la empresa tenga
ganancias considerando el presupuesto disponible.
La empresa obtiene ganancias gráficamente cuando la función 𝐵 se encuentra por
encima del eje de abscisas y analíticamente cuando 𝐵 > 0, es decir, cuando 𝐵
es positiva.
Intervalo de positividad es el conjunto formado por los valores de

𝑥 para los cuales 𝒇(𝒙) > 𝟎 . Gráficamente corresponde al intervalo o
intervalos del dominio (los valores de 𝑥), en los cuales la curva se encuentra
por encima del eje 𝒙.
Intervalo de negatividad es el conjunto formado por los valores de
𝑥 para los cuales 𝒇(𝒙) < 𝟎 . Gráficamente corresponde al intervalo o
intervalos del dominio (los valores de 𝑥), en los cuales la curva se encuentra
por debajo del eje 𝒙.
Para indicar el intervalo de gasto en publicidad para que la empresa obtenga

ganancias se obtiene el corte con el eje de abscisas.
Para ellos se utiliza la fórmula resolvente:
20

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 −12 ± √122 − 4(−1)(−20) −12 ± 8

𝑥𝑖 = = =
2𝑎 2(−1) −2
𝑥1 = 2 ∧ 𝑥2 = 10
Para que la empresa tenga ganancias debe gastar entre 𝟐 y 𝟒, 𝟗 miles de dólares,
es decir, el intervalo de gasto de publicidad es: (𝟐 ; 𝟒, 𝟗]
ACTIVIDAD 16
Carlos, tiene una empresa que fabrica calefactores y quiere conocer el número de
unidades que ha de vender para no ganar ni perder dinero y también la cantidad
de unidades que debe producir y vender para obtener ganancias.
Luego de una semana muy atareada, se reúne con Pedro, su gerente de
producción y le pide información sobre los costos de su empresa. Éste le informa
que sus costos variables unitarios ascienden a $1800 por calefactor producido y
que sus costos fijos mensuales ascienden a $210000. Además, le aclara que,
2000 unidades es la capacidad máxima de producción mensual de su fábrica.
La empresa hace algún tiempo ha puesto en alquiler un inmueble de su
propiedad del que recibe mensualmente $10000. Además, Pedro sabe que sus
ingresos se comportan como una función cuadrática par y que si mensualmente
vende 50 calefactores el ingreso total (alquiler del inmueble y venta de
calefactores) de la empresa es de $510000.
Se te solicita que:
a) Escribas las ecuaciones que representa la Función de Costo Total, Ingreso
Total y Beneficio Total.
Algunos datos que extraemos del enunciado:
𝑥 = 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑒𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
La capacidad máxima de producción mensual de calefactores es de 2000
unidades.
𝐷𝑜𝑚 𝐶(𝑥) = [0,2000]
La función de Costo Total se expresa de la siguiente manera:
Costo Variable ⇒ 𝐶𝑉(𝑥) = 1800𝑥 Costo Fijo ⇒ 𝐶𝐹 = 210.000
Costo Total ⇒ 𝐶(𝑥) = 1800𝑥 + 210.000
𝐶(𝑥) = 1.800𝑥 + 210.000
𝑥: 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑒𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
21

La función Ingreso Total:

Los ingresos se comportan como una función cuadrática par, lo que significa que
la parábola no está desplazada horizontalmente y es simétrica con respecto al eje
𝑦, 𝑏 = 0. Además, tiene un ingreso fijo de $10.000. Con estos datos la función 𝐼
es.
𝐼(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 10.000. Si vende 50 calefactores mensualmente, el ingreso es de
510.000, este dato me permite obtener el valor de 𝑎, corresponde a un punto que
pertenece a la parábola.
Se reemplaza el punto (50, 510.000) en la función 𝐼 y se despeja el valor de 𝑎.
𝐼(50) = 𝑎502 + 10000 = 510.000
𝑎. 2500 = 510.000 − 10.000
500.000
𝑎= = 200
2.500
La función ingreso Total es: 𝐼(𝑥) = 200𝑥 2 + 10.000
𝐼(𝑥)
(50; 510.000)
La función 𝐵(𝑥) es la diferencia entre la función 𝐼(𝑥) y 𝐶(𝑥):
𝐵(𝑥) = 𝐼(𝑥) − 𝐶(𝑥) = 200𝑥 2 + 10.000 − (1800𝑥 + 210.000)

= 200𝑥 2 + 10.000 − 1800𝑥 − 210.000
𝐵(𝑥) = 200𝑥 2 − 1800𝑥 − 200.000
b) Halles el número de calefactores que ha de producir y vender para no

ganar ni perder dinero.
Para no ganar ni perder dinero los ingresos deben ser igual a los costos o lo que
es lo mismo, el beneficio sea nulo.
Algebraicamente:
𝐼(𝑥) = 𝐶(𝑥) ⟺ 𝐼(𝑥) − 𝐶(𝑥) = 0 ⟺ 𝐵(𝑥) = 0 ⟺ 𝐵𝑒𝑛𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑁𝑢𝑙𝑜
𝐵(𝑥) = 200𝑥 2 − 1800𝑥 − 200.000
200𝑥 2 − 1800𝑥 − 200.000 = 0
22

Se utiliza la formula resolvente:

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 1800 ± √(−1800)2 − 4 . 200(−200.000)
𝑥𝑖 = = ⟹ 𝑥1
2𝑎 2.200
= 36,44 ∧ 𝑥2 = −27,44
La raíz con signo negativo se descarta, debido a que no se puede producir
calefactores negativos. En este caso particular, no podemos hablar de 36.44
calefactores, se toma la cantidad entera superior, es decir 37 calefactores.
La empresa debe producir y vender 37 calefactores para no ganar ni perder
dinero, es decir para que su beneficio sea nulo.
Representación gráfica de la Función de Costo Total, Ingreso Total y Beneficio
Total y punto de Beneficio Nulo.
𝐼(𝑥) 𝐵(𝑥 )
(36,44; 275.592)
𝐷𝑜𝑚 𝐶(𝑥) = 𝐷𝑜𝑚 𝐼(𝑥) = 𝐷𝑜𝑚 𝐵(𝑥) = [0; 2000]
c) Indiques al menos cuántos calefactores ha de producir y vender para

obtener ganancias.
𝑥 = 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑒𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 ⟹ 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑥 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝐵(𝑥) > 0
𝐼𝑇(𝑥) > 𝐶𝑇(𝑥) ⇔ 𝐼𝑇(𝑥) − 𝐶𝑇(𝑥) > 0 ⇔ 𝐵(𝑥) > 0
𝐵(𝑥) > 0 ⇔ 𝑥 > 36,44
𝑎 = 200 > 0 ⇒ Las ramas de la parábola están orientadas hacia arriba.
A partir de 37 calefactores y hasta 2000 unidades (capacidad máxima de
producción mensual de la fábrica), la empresa obtendrá ganancias, esto es, el
𝐵(𝑥) > 0.
d) Halles la cantidad de calefactores debe vender Carlos para ganar

$1209000.
𝑥: 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑒𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 ⟹ 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑥 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝐵(𝑥) = 1.209.000
𝐵(𝑥) = 200𝑥 2 − 1800𝑥 − 200.000
1.209.000 = 200𝑥 2 − 1800𝑥 − 200.000
1.209.000 = 200𝑥 2 − 1800𝑥 − 200.000
0 = 200𝑥 2 − 1800𝑥 − 200.000 − 1.209.000
0 = 200𝑥 2 − 1800𝑥 − 1.409.000
23

Se utiliza la formula resolvente:

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
𝑥𝑖 = =
2𝑎
1800 ± √(−1800)2 − 4 . 200(−1.409.000)
𝑥𝑖 = ⟹ 𝑥1 = 88,56 ≅ 89 ∧ 𝑥2 = −79,56
2.200
Carlos debe vender 89 calefactores para ganar $1.209.000, es decir, para que su
beneficio sea $1.209.000.
e) Representes gráficamente todas las funciones e intérpretes la situación si

450 es el número de calefactores que se producen y venden.
40.510.000
39.490.000
1.020.000
𝑥: 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑒𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
𝐵(450) = 200. 4502 − 1800.450 − 200.000 = 39.490.000

𝐼(450) = 40.510.000
𝐶(450) = 1.020.000
𝐼(450) − 𝐶(450) = 39.490.000
Si se producen y venden 450 calefactores la empresa tendrá un beneficio de

$39.490.000.
24

Resolución Unidad 2, Función Cuadrática

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Matemática en Contextos Económicos

Facultad de Ciencias Económicas

𝒊) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 − 8 𝒊𝒊) 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 10𝑥 − 21

Antes de comenzar a resolver cada uno de los incisos de la actividad,

La función cuadrática está expresada en forma polinómica.

ANÁLISIS DE LOS COEFICIENTES CONSTANTES:

𝑎 > 0 las ramas de la parábola están orientadas hacia arriba (Convexa)

Intersección con los ejes coordenados

Intersección con el eje de abscisas (eje 𝒙):

Facultad de Ciencias Económicas

Eje de simetría de la parábola y vértice

Las parábolas son simétricas con respecto a una recta vertical,

Para nuestro caso en particular:

Facultad de Ciencias Económicas

Debes prestar mucha

Intervalo de positividad: (−∞, −2) ∪ (2, ∞)

Facultad de Ciencias Económicas

𝒊𝒊) 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 10𝑥 − 21

ANÁLISIS DE LOS COEFICIENTES CONSTANTES:

𝑎 < 0 las ramas de la parábola están orientadas hacia abajo (Cóncava).

Intersección con los ejes coordenados

Intersección con el eje de ordenadas (eje y):

Intersección con el eje de abscisas (eje x):

Facultad de Ciencias Económicas

−10 ± √16 −10 ± 4

Eje de simetría de la parábola y vértice

b) Determines Dominio e Imagen.

Facultad de Ciencias Económicas

Antes de comenzar a resolver cada uno de los incisos de la actividad,

Facultad de Ciencias Económicas

Repasemos también lo visto en la Unidad 1 de este módulo:

Facultad de Ciencias Económicas

A partir de la función elemental 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 , y analizando el cuadro mencionado

c) Aproximes su comportamiento gráfico identificando puntos notables y

𝑎 > 0 las ramas de la parábola están orientadas hacia arriba (Convexa)

Intersección con los ejes coordenados:

Intersección con el eje de ordenadas (eje y):

Intersección con el eje de abscisas (eje x):

Facultad de Ciencias Económicas

d) Determines Dominio e Imagen.

e) Escribas su expresión analítica en la forma polinómica y factorizada (en

Facultad de Ciencias Económicas

Forma polinómica: se llama así porque la función está

Forma factorizada: Las raíces de una función, si es que existen, nos

Siendo 𝑎 el coeficiente del término cuadrático de la función, por ello se

Forma canónica: Toda función cuadrática puede ser expresada

Forma Polinómica: 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥

Facultad de Ciencias Económicas

𝒊𝒊) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)2 + 4

𝑎 > 0 las ramas de la parábola están orientadas hacia arriba (Convexa)

Intersección con los ejes coordenados:

Facultad de Ciencias Económicas

Muchas veces es recomendable averiguar si la parábola interseca al eje de

d) Determines Dominio e Imagen.

e) Escribas su expresión analítica en la forma polinómica y factorizada (en

Facultad de Ciencias Económicas

𝑮𝒓á𝒇𝒊𝒄𝒐 𝑵°𝟑 𝑮𝒓á𝒇𝒊𝒄𝒐 𝑵°𝟒

Antes de comenzar a resolver cada uno de los incisos de la actividad,

Facultad de Ciencias Económicas