FuncionesTeoría (Resumen)
FuncionesTeoría (Resumen)
FuncionesTeoría (Resumen)
VICERRECTORADO ACADÉMICO
DECANATO DE DOCENCIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y FÍSICA
MATEMÁTICA I (febrero 2018)
Material elaborado por: Prof. Maldonado Keith
Unidad I: Línea Recta y Funciones
FUNCIONES
SECCIONES CÓNICAS
Las siguientes ecuaciones son ecuaciones canónicas de las secciones cónicas, las cuales es sabido que son
cuatro: circunferencia, elipse, hipérbola y parábola.
a) Circunferencia:
Ecuación canónica Gráfica
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2
Siendo 𝑥 y 𝑦 las coordenadas del conjunto de puntos (𝑥, 𝑦) que conforman una circunferencia y 𝑟 el
radio de la circunferencia.
b) Elipse:
Ecuación canónica Gráfica
𝑥2 𝑦2
𝑎2
+ 𝑏2 = 1 , 𝑎 > 𝑏
𝑥2 𝑦2
𝑏2
+ 𝑎2 = 1 , 𝑎 > 𝑏
Siendo 𝑥 y 𝑦 las coordenadas del conjunto de puntos (𝑥, 𝑦) que conforman una elipse, 𝑎 es la distancia
del extremo 𝐴1 al origen y del extremo 𝐴2 al origen; 𝑏 es la distancia del extremo 𝐵1 al origen y del
extremo 𝐵2 al origen; 𝑐 es la distancia del foco 𝐹1 al origen y del foco 𝐹2 al origen.
La ecuación que relaciona los parámetros 𝑎, 𝑏 y 𝑐 es
𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2
c) Hipérbola:
Ecuación canónica Gráfica
𝑥2 𝑦2
𝑎2
− 𝑏2 = 1
Por ser el término que contiene la 𝑥
positivo se concluye que el eje donde
estan los focos de la hipérbola es el eje 𝑿.
Ecuación canónica Gráfica
𝑦2 𝑥2
𝑎2
− =1
𝑏2
Por ser el término que contiene la 𝑦 positivo
se concluye que el eje donde estan los focos
de la hipérbola es el eje 𝒀.
a) Parábola:
a.1)
Ecuación canónica Gráfica
𝑥 2 = 4𝑝𝑦
Por ser la variable 𝑦 de grado 1 el eje que
contiene el foco de la parábola es el eje 𝒀.
El parámetro 𝑝 es la distancia del vértice 𝑉
al foco 𝐹1 , donde a su vez es la distancia del
vértice 𝑉 y la recta 𝑙 llamada directriz de la
parábola.
Nota:
Si el parámetro 𝑝 > 0 la parábola
abre hacia arriba.
Si el parámetro 𝑝 < 0 la parábola
abre hacia abajo.
a.2)
Ecuación canónica Gráfica
𝑦 2 = 4𝑝𝑥
Por ser la variable 𝑥 de grado 1 el eje que
contiene el foco de la parábola es el eje 𝑿.
El parámetro 𝑝 es la distancia del vértice 𝑉
al foco 𝐹1 , donde a su vez es la distancia del
vértice 𝑉 y la recta 𝑙 llamada directriz de la
parábola.
Nota:
Si el parámetro 𝑝 > 0 la parábola
abre hacia la derecha.
Si el parámetro 𝑝 < 0 la parábola
abre hacia la izquierda.
Figura 1 Figura 2
El diagrama de Venn de la figura 1 es El diagrama de venn de la figura 2 es
una función una relación
b) Definición 2 (Función real de variable real): una función real de variable real es una relación que asocia a
cada número real 𝑥 de un subconjunto 𝐴 de ℝ, un único número real y de algún subconjunto 𝐵 de ℝ.
Una función se denota 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵 y se lee 𝑓 es una función que va de 𝐴 en 𝐵, asi
c) Definición 3 (Gráfica de 𝑦 = 𝑓 𝑥 ): sea 𝑓 una función, entonces la gráfica de 𝑓 es el conjunto de todos los
puntos 𝑥, 𝑦 del plano ℝ2 que satisfacen la igualdad 𝑦 = 𝑓 𝑥 . Así
d) Definición 4 (Dominio de una función): es el conjunto formado por todos los 𝑥 ∈ ℝ para los cuales la
función está definida.
Gráficamente el dominio de la función 𝑦 = 𝑓 𝑥 es la proyección de 𝑓 sobre el eje de las abscisas.
𝐷𝑜𝑚 𝑓 ≔ 𝑥 ∈ ℝ 𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑
e) Definición 5 (Rango de una función): es el conjunto de todos los valores que la función 𝑓 toma.
Gráficamente el rango de 𝑦 = 𝑓 𝑥 representa la proyección de la gráfica de 𝑓 sobre el eje de las
ordenadas.
𝑅𝑔𝑜 𝑓 ≔ 𝑦 ∈ ℝ 𝑦 = 𝑓 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓)
Nota: la gráfica básica de la función seno puede ser considerada como la curva azul que se traza en el
intervalo de 𝑥 ∈ 0,2𝜋 .
Nota: la gráfica básica de la función coseno puede ser considerada como la curva azul que se traza en el
intervalo de 𝑥 ∈ 0,2𝜋 .
g.3) Gráfica de la función tangente
La gráfica de la función 𝑦 = tan(𝑥) es
Gráfica Características de 𝒚 = 𝐭𝐚𝐧(𝒙)
𝜋
Dominio: 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ − + 𝑛𝜋
2
Rango: 𝑅𝑔𝑜 𝑓 = ℝ
Amplitud: no tiene
Periodo: 𝜋
Intercepciones con eje 𝑿: 𝑛𝜋, 𝑛 ∈ 𝕫
𝜋
Asíntotas verticales: 𝑛𝜋 + , 𝑛∈ 𝕫
2
Desplazamiento de fase:
𝜋
Inicio de fase: 𝑥 = −
2
𝜋
Fin de fase: 𝑥 =
2
Nota: la gráfica básica de la función tangente puede ser considerada como la curva azul que se traza en el
𝜋 𝜋
intervalo de 𝑥 ∈ − 2 , 2 .
Dominio: 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ − 𝑛𝜋
Rango: 𝑅𝑔𝑜 𝑓 = ℝ − −1,1
Amplitud: no tiene
Periodo: 2𝜋
Asíntotas verticales: 𝑛𝜋 , 𝑛 ∈ 𝕫
Nota: la gráfica básica de la función cosecante puede ser considerada como la curva azul que se traza en
el intervalo de 𝑥 ∈ 0,2𝜋 .
Nota: la gráfica básica de la función cosecante puede ser considerada como la curva azul que se traza en
el intervalo de 𝑥 ∈ 0,2𝜋 .
g.6) Gráfica de la función cotangente
La gráfica de la función 𝑦 = cot(𝑥) es
Gráfica Características de 𝒚 = 𝐜𝐨𝐭(𝒙)
Dominio: 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ − 𝑛𝜋
Rango: 𝑅𝑔𝑜 𝑓 = ℝ
Amplitud: no tiene
Periodo: 𝜋
𝜋
Intercepciones con eje 𝑿: 𝑛𝜋 + , 𝑛∈ 𝕫
2
Asíntotas verticales: 𝑛𝜋 , 𝑛 ∈ 𝕫
Desplazamiento de fase:
𝜋
Inicio de fase: 𝑥 = −
2
𝜋
Fin de fase: 𝑥 =
2
Nota: la gráfica básica de la función cotangente puede ser considerada como la curva azul que se traza en
el intervalo de 𝑥 ∈ 0, 𝜋 .
Trazado de la gráfica de una función trigonométricas
Para la gráfica de funciones trigonométricas seno o coseno de la forma
𝑦 = 𝑎 sin(𝑏𝑥 + 𝑐); 𝑎 > 0 y b > 0
se recomienda determinar
Amplitud: 𝑎
2𝝅
Periodo:
𝑏
Inicio de fase: 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Fin de fase: 𝑏𝑥 + 𝑐 = 2𝜋
Si la función trigonométrica es tangente de la forma
𝑦 = 𝑎 tan(𝑏𝑥 + 𝑐); 𝑎 > 0 y b > 0
se sugiere determinar
𝝅
Periodo: 𝑏
𝜋
Inicio de fase: 𝑏𝑥 + 𝑐 = − 2
𝜋
Fin de fase: 𝑏𝑥 + 𝑐 =
2
Si la función trigonométrica es cotangente de la forma
𝑦 = 𝑎 cot(𝑏𝑥 + 𝑐); 𝑎 > 0 y b > 0
se sugiere determinar
𝝅
Periodo: 𝑏
Inicio de fase: 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Fin de fase: 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝜋
Si la función trigonométrica es secante o cosecante se recomienda graficar inicialmente la función
recíproca, es decir,
SE RECOMIENDA
GRAFICAR
𝑦 = 𝑎 csc(𝑏𝑥 + 𝑐) 𝑦 = 𝑎 sin(𝑏𝑥 + 𝑐)
𝑦 = 𝑎 sec(𝑏𝑥 + 𝑐) 𝑦 = 𝑎 cos(𝑏𝑥 + 𝑐)
Nota:
Se recomienda verificar inicialmente si 𝑏 sea negativo, en caso de serlo se sugiere por propiedad
distributiva sacar el negativo y luego aplicar la identidad trigonométrica que corresponda según el
caso
sin(−𝜃) = −sin(𝜃) csc(−𝜃) = −csc(𝜃)
cos(−𝜃) = cos(𝜃) sec(−𝜃) = sec(𝜃)
tan(−𝜃) = −tan(𝜃) cot(−𝜃) = −cot(𝜃)
Ejemplo:
𝑦 = 5 sin(−2𝑥 + 7)
𝑦 = 5 sin(− 2𝑥 − 7 ) , aplicando sin(−𝜃) = −sin(𝜃) queda
𝑦 = −5 sin(2𝑥 − 7)
De esta forma se grafica es la función
𝑦 = −5 sin(2𝑥 − 7) (1)
i) Operación de funciones
A partir de funciones conocidas se pueden obtener otras funciones mediante la adición, sustracción,
multiplicación y composición.
i.1) Adición de funciones: se denota (𝑓 + 𝑔) y se define como
𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) , y
𝐷𝑜𝑚 𝑓 + 𝑔 = 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚(𝑔)
i.2) Sustracción de funciones: se denota (𝑓 − 𝑔) y se define como
𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥), y
𝐷𝑜𝑚 𝑓 − 𝑔 = 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚(𝑔)
i.3) Multiplicación de funciones: se denota (𝑓 ∙ 𝑔) y se define como
𝑓 ∙ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 ∙ 𝑔(𝑥), y
𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∙ 𝑔 = 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚(𝑔)
𝑓
i.4) División de funciones: se denota 𝑔
y se define como
𝑓 𝑓 𝑥
𝑔
𝑥 = 𝑔(𝑥), 𝑔(𝑥) ≠ 0, y
𝑓
𝐷𝑜𝑚 = 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑔 : 𝑔(𝑥) ≠ 0
𝑔
i.5) Composición de funciones: se denota 𝑓 ° 𝑔 y se define como
𝑓 ° 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔(𝑥) , y
𝐷𝑜𝑚 𝑓 ° 𝑔 = 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑔 : 𝑔(𝑥) ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓
k) Función inyectiva
Una función es llamada función inyectiva o función uno a uno si se cumple la proposición siguiente
𝑓 𝑥1 = 𝑓 𝑥2 ⇒ 𝑥1 = 𝑥2
Nota: el criterio de la línea horizontal indica que una función es uno a uno si y solo si no existe
una línea horizontal que corte a la grafica en más de una vez.
l) Función inversa
l.1) Sea 𝑓 una función inyectiva, la función 𝑓 −1 es la inversa de la función 𝑓 si
𝑓 ° 𝑓 −1 𝑥 = 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓 −1 y
𝑓 −1 °𝑓 𝑥 = 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓
Nota:
𝑓 −1 es la función inversa de 𝑓 y 𝑓 es la función inversa de 𝑓 −1 .
Diagrama de Venn
Bibliografía
Lehmann, C. (2007). Geometría Analítica. Editorial LIMUSA S.A. de C.V., México.
Leithold, L. (2013). “EL CÁLCULO”. 7ma edición. Oxford University Press México, S.A. de C.V.
Stewart, J. (2008). “CÁLCULO DE VARIAS VARIABLES”. 6ta edición. CENGAGE Learning. México.
Apostol, T. (2009). CACULUS I. Editorial Reverté. Barcelona, España.