Geometria Analitica
Geometria Analitica
Geometria Analitica
a) (5 , 2)
b) (0 , 0)
c) 1 3 ,1 3
d) (0,3)
2) Un cuadrado tiene 10 unidades de longitud. ¿Cuáles son las coordenadas de sus vértices:
3) Respóndase la tercera pregunta para el caso de un cuadrante cuyo lado tiene (a) unidades
de longitud.
5) En un sistema de ejes rectangulares, ubicar los siguientes pares de puntos y calcular sus
distancias respectivas. a) ( 3 , 7 ) y ( 17 , - 5 ) b) ( 0 , - 9 ) y ( 9 , 0 ).
6) Los vértices de un cuadrilátero son los puntos A(1 , 3), B(7 , 3), C(9 , 8) y D(3 , 8),
demostrar que el cuadrilátero es un paralelogramo y calcular su perímetro.
7) Comprobar que los puntos A(1 , 1), B(0 , 5), C(-3 , 0) son los vértices de un triángulo
rectángulo.
8) Comprobar que el triángulo cuyos vértices son A(-1 , -6), B(-6 , 4), C(5 , 2) es un triángulo
isósceles.
División de un segmento en una razón dada.
1) Hallar las coordenadas del punto Q que divide al segmento cuyos extremos son:
2
Q1(-2 , 3), Q2(3 , -2), en la razón r .
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2) Calcular las coordenadas del punto P(x , y) que dividen al segmento A(8 , -4), B(2 , 4), en la
razón r = - 2.
2) Demostrar Analíticamente que los puntos cuyas coordenadas son: A(-7 , 5), B(1 , 1) y
C(-3 , 3), son colineales.
3) Hallar las áreas de los polígonos cuyas coordenadas de los vértices son:
2) Los vértices de un triángulo son los puntos A(2 , -2), B(-1 , 4) y C(4 , 5), calcular la
pendiente de cada uno de los lados.
a) 1? b) - 1? c) 3 ?
4) Una recta de pendiente 3 pasa por el punto A(3 , 2), la abscisa del punto B de la recta es 4,
encontrar el valor de la ordenada.
5) Tres de los vértices de un paralelogramo son A(-1 , 4), B(1 , -1), C(6 , 1), si la ordenada del
cuarto vértice es 6, ¿Cuál es su abscisa?
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Ángulo entre dos rectas.
1) Hallar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son los puntos A(-2 , 1), B(3 , 4), y
C(5 , -2).
2) Demostrar que los puntos A(1 , 1), B(5 , 3), y C(6 , -4), son vértices de un triángulo
isósceles y encontrar el valor de uno de los ángulos iguales.
3) Dos rectas se cortan formando un ángulo de 135°, y sabiendo que la recta final tiene una
pendiente de –3, calcular la pendiente de la recta inicial.
4) Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45°, la recta inicial pasa por los puntos
A(-2 , 1) y B(9 , 7) y la recta final pasa por el punto D cuya abscisa es de – 2, encontrar la
ordenada de D.
5) Demostrar que los cuatro puntos A(2 , 2), B(5 , 6), C(9 , 9) y D(6 , 5) son vértices de un
rombo y que sus diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio.
2) Demuestre que los triángulos que tienen los siguientes vértices son rectángulos.
3) Encuentre la pendiente de una recta perpendicular a la que pasa por los puntos de
coordenadas: (3 , -2) y (-3 , -1).
2) Una recta que pasa por el punto A(7 , 8) y es paralela a la recta C(-2 , 2) y D(3 , -4), hallar
su ecuación.
3) Demostrar que los puntos A(-5 , 2), B(1 , 4) y C(4 , 5) son colineales, encontrar la ecuación
de la recta que pasa por dos de estos puntos.
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2) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-6 , -3) y tiene un ángulo de
inclinación de 45°.
3) Hallar la pendiente, el ángulo y las intersecciones de la recta que pasa por el punto A(2 , 3)
y es perpendicular a la recta 2x – 7y + 2 = 0.
2) La ecuación de una recta es: 3x + 8y - 47 = 0, hallar la ecuación de la paralela que pasa por
el punto A(3 , 2).
3) Encuentre las coordenadas en el origen y las pendientes de cada una de las siguientes
rectas. Trace su gráfica. 3x – 2y – 12 = 0.
4) Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto dado y que tiene la pendiente
dada: P(2 , 3) , m = 2.
6) Encuentre la tangente del ángulo que forma la primera de las rectas siguientes con la
segunda.
a) x – 3y + 7 = 0, 3x – 4y + 6 = 0
7) Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento que une los puntos A(-3 , 2) y B(1 , 6).
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Distancia de un punto a una recta.
1) Hallar la distancia de la recta 3x – 4y + 6 = 0 al punto A(7 , -3).
CIRCUNFERENCIA.
i. r = 10
ii. r 5
i. x2 + y2 – 8x – 6y – 40 = 0
ii. 9x2 + 9y2 + 18x – 36y – 90 = 0
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2) Encuentre la ecuación de la recta en su forma general que es tangente a la circunferencia
x2 + y2 – 10x – 2y – 3 = 0, en el punto P (0 , - 3).
PARÁBOLA.
i. y2 = - 9x
ii. 2x2 = 12y
iii. y2 + 16x = 0
2) Encuentre la ecuación de las parábolas que tengan las propiedades indicadas. Dibuje cada
curva.
i. Foco ( 0 , 2 ), directriz: y = - 2
ii. Puntos extremos del lado recto P1 ( 2 , - 1 ) y P2 ( - 2 , - 1 )
iii. Vértice en V ( 0 , 0 ), eje vertical y un punto de la curva P1 ( 2 , 4 )
iv. Vértice en V ( 0 , 0 ), abre hacia abajo y su lado recto mide L r = 12
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4) Encuentre los elementos de cada una de las siguientes parábolas y represéntelas
gráficamente.
i. y2 – 8x – 8y + 64 = 0
ii. x2 + 10x + 2y + 29 = 0
iii. x2 – y + 7 = 0
i. Parábola x2 + 4x – y – 5 = 0 ; recta 6x – y – 2 = 0
ii. Parábola y2 - x + 9y – 25 = 0 ; recta x – 6y – 15 = 0
3) Encuentre la ecuación de la elipse de centro el origen, focos sobre el eje (x) y que pase por
4 5
los puntos
P1 3,2 3 y P2 4, .
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5) Encuentre la ecuación de la elipse cuyo eje mayor es AB y cuyo eje menor es CD.
A ( 4 , 6 ), B ( 12 , 6 ), C ( 8 , 3 ), D ( 8 , 9 ).
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6) Encuentre la ecuación de la elipse que satisfaga las condiciones indicadas.
i. V (1 , 4), V´ (- 5 , 4) y excentricidad e = 1/4.
ii. V (3 , - 5/2), centro C(3 , - 1) y excentricidad e = 1/6.
iii. C (1 , 4), F (1 , 8) y excentricidad e = 1/5.
iv. F (10 , 2), F´(2 , 2) y que pase por el punto P (6 , 7)
a) V (1 , 4), V´ (- 5 , 4) y excentricidad e = 3.
b) V (3 , 5), centro C (3 , - 1) y excentricidad e = 4/3.
c) C (1 , 4), F (1 , 8) y semieje imaginario 6.
d) V (- 9 , 3), C (- 5 , 3) y una asíntota: x+ 2y –1 = 0.
8) Encuentre la ecuación de la hipérbola con vértices en V (2 , 7), V’(2 , - 7) y que pase por el
punto rP 4, 7 2 .
9) Dadas las siguientes hipérbolas determinar sus elementos y representarlas gráficamente.
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Coordenadas polares.
1) Representa los siguientes puntos en el 4) Obtenga las coordenadas polares de los siguientes
plano polar. puntos.
Ecuaciones paramétricas
a) x = 2 – t b) x = t c) x = t + 1 d) x = 2 + 3 t + 1
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y = 2 + 3t y=1–t y = t2 y=1-t
2) Hallar las ecuaciones paramétricas, para las siguientes ecuaciones tomando en cuenta el
valor que aparece de ( x ) o de ( y ).
a) y = 1 – x b) x - 4y = 16 c) x – xy = 2 d) x = t - 3
x = 2t x = 4 sec y=1–t y + 3xy – 5 = 0
e) y = t + 2
2x + xy + 3 = 0
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