UNIVERSIDAD DE CHILE

FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELECTRICA
Avda. Tupper 2007 – Casilla 412-3 - Santiago – Chile
Fono: (56) (2) 978 4207, Fax: (56) (2) 695 3881

APUNTES DE
FI 2A2
ELECTROMAGNETISMO

CAPITULO 5
CORRIENTE ELECTRICA
Luis Vargas D.

Departamento de Ingeniería Eléctrica

Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
Universidad de Chile

Versión Primavera 2008

1
 INDICE
CAPITULO 5. CORRIENTE ELECTRICA ..................................................................... 3
5.1 Modelo de Medios Materiales Conductores............................................................. 3
5.2 Definición de Corriente .............................................................................................. 4
5.3 Densidad de Corriente................................................................................................ 7
5.4 Ley de Ohm ............................................................................................................... 11
5.5 Fuerza electromotriz ................................................................................................ 15
5.6 Efecto Joule ............................................................................................................... 17
5.7 Cargas en medios materiales ................................................................................... 19
5.8 Corriente de Convección.......................................................................................... 21
5.9 Ecuación de Continuidad......................................................................................... 23
5.10 Ecuación de Continuidad en Medios Materiales ................................................. 24

5.11 Condiciones de Borde para J ............................................................................... 26
5.12 Ley de Voltajes de Kirchoff ................................................................................... 32
5.13 Ley de Corrientes de Kirchoff............................................................................... 34
5.14 Problemas Resueltos............................................................................................... 37
5.15 Problemas Propuestos ............................................................................................ 43

INDICE FIGURAS

INDICE TABLAS
Tabla 3. Conductividad (aproximada)de algunos materiales a 20°C. .................................. 13

2
CAPITULO 5. CORRIENTE ELECTRICA

5.1 Modelo de Medios Materiales Conductores

En electrostática modelamos un conductor como un medio material que dispone de

abundante carga libre, la cual puede desplazarse sin obstáculos hasta alcanzar el estado de
equilibrio cuando se le ha aplicado un campo eléctrico externo. En el estado de equilibrio
vimos que el campo eléctrico al interior del conductor era nulo.

Ahora veremos el fenómeno de la conducción eléctrica y utilizaremos un modelo más

elaborado de la materia, pero que incluye al visto anteriormente en electrostática. La
principal diferencia con el caso anterior radica en el hecho de que ahora los conductores no
terminan en una pared definida, sino que se extienden en circuitos cerrados, tal como se
muestra en la Figura 89.


E 
E

Figura 89. Corriente en circuitos.

Supongamos que en la Figura 89 se aplica un campo eléctrico circular de magnitud

constante en todo el medio conductor. Si usamos el modelo de conductor visto hasta aquí,
las cargas al interior se moverán debido a la fuerza ejercida por dicho campo, pero no se
alcanzaría la situación de equilibrio ya que el conductor no termina en ninguna parte. Como
 
la fuerza sobre cada carga es constante F  q  E (5.1), las cargas se acelerarían
indefinidamente, cosa que no ocurre en la realidad.

Por ello es necesario ampliar este modelo incorporando las colisiones que experimentan las
cargas cuando se desplazan en el medio material. En efecto, al avanzar las cargas bajo la
influencia de la fuerza eléctrica colisionan con la estructura de la red atómica hasta alcanzar
una velocidad de desplazamiento estacionaria en promedio (vd). Esta es la nueva situación
de equilibrio dinámico del fenómeno de la conducción eléctrica, es decir, al aplicar un
campo eléctrico constante a un conductor como en la Figura 89, los electrones (y cargas de
desplazamiento en general) alcanzan una velocidad de desplazamiento constante en
régimen permanente (para un tiempo suficientemente largo). Dicha velocidad dependerá
desde luego del campo eléctrico y de la estructura del medio material. Los electrones con
capacidad de movimiento en el medio forman un tipo especial denominado electrones de
conducción o electrones libres.

3
5.2 Definición de Corriente

La corriente eléctrica es el fenómeno de desplazamiento de cargas en un medio material.

Como vimos anteriormente, dicho desplazamiento incluye mayoritariamente a los
electrones, ya que éstos disponen de mayor movilidad al interior de los medios.

Consideremos un trozo de material al cual se le aplica un campo eléctrico externo como en

la Figura 90.


Area A E Movimiento
Movimiento de electrones
de electrones

Area A'
Figura 90. Corriente eléctrica.

Si tomamos el plano A que corta transversalmente el medio material de la figura, se define

la corriente I como:
I
dQ
C / seg   [ A] (5.2) esta unidad se llama Ampere.
dt 
donde Q es la carga total que atraviesa el plano A en el sentido de E .

Sin entrar en mayores detalles, físicamente lo que ocurre es que en el estado estacionario
los electrones se desplazan con velocidad promedio constante y sin acumularse en ningún
punto. Así, para una misma área desplazada una pequeña distancia de A, tal como A' en la
Figura 90, la corriente será la misma.

De esta forma, para cualquier volumen  de un conductor, tal como el ilustrado en la

Figura 91, en estado estacionario los electrones se desplazan manteniendo la carga neta
nula.

Volumen 
Figura 91. Carga neta nula.
Si designamos por e la densidad volumétrica de electrones de conducción y R a la del
resto de las cargas en el volumen , entonces

4
   dv   

e

R dv  0 (5.3) para todo tiempo t en estado estacionario.

Así, al aplicar un campo externo se moverán los electrones, pero el número total de
electrones por unidad de volumen sigue constante.

Consideremos que en este material existe n electrones libres por unidad de volumen que
pueden desplazarse en presencia de un campo externo. Supongamos que vd es la velocidad
de desplazamiento promedio de esos electrones.

E

A
x  vd t

Figura 92. Electrones de combinación.

Entonces, en un tiempo t las partículas avanzarán una distancia x y atravesarán el área A.

En otras palabras, todas las partículas contenidas en el volumen Avdt pasan a través del
área A en un tiempo t. La carga total que atraviesa el área A es por lo tanto:

Q  qnAvd t (5.4)

donde q es la carga de una partícula. Luego la corriente que atraviesa la superficie es:
Q qnAvd t
I 
t t
 I  qnAvd  A (5.5)

Así, la corriente es positiva en el sentido contrario al movimiento de los electrones.

 I  enAvd  A (5.6)

EJEMPLO 23
Determine la velocidad promedio de desplazamiento de los electrones en un alambre de
cobre típico de radio 0.0814 cm que transporta una corriente de 1[A]. Suponga que existen
8.461022 electrones libres de moverse por cada cm3 de cobre.

Sol:
I
I  n  q  vd  A  vd  (5.7)
nq A

5
A    0.0814 cm 2
2


n  8.46  1022 es / cm3 
q  1.6  1019 [C ]
I  1[C / seg ]

1[C / seg ]
 vd  [C / cm3 ]  [cm 2 ]
  0.0814  8.46  10  1.6  10 19
2 22

vd  3.55  10 3[cm / s ]

6
5.3 Densidad de Corriente

Consideremos un conductor muy delgado por donde transita una corriente I, según se
ilustra en la Figura 93.
x , iˆ
I

A
Figura 93.Corriente por unidad de superficie.

Se define la densidad de corriente J como un vector que indica la corriente por unidad de
superficie. Para el caso de la Figura 90.
 I

J  iˆ A / m2
A

(5.8)


Así, J tiene la dirección de la corriente. Para el caso de las partículas visto en el ejemplo
 I
anterior se tiene J  iˆ  qnv d iˆ (vector en sentido contrario al movimiento de electrones).
A

Por extensión, cuando se tienen superficies mayores como en la Figura 94 se define J
como
  I ˆ (5.9)
J (r )  lim i
S 0 S

donde I es la cantidad de corriente que atraviesa en forma ortogonal al elemento de área

S e iˆ es la dirección de la corriente (y normal al elemento de área).

Area total A

S
I

r
O x̂
Figura 94. Vector densidad de corriente.

Así, la corriente que atraviesa el área A (en el sentido de dS  dS xˆ ) es
 
I   J  dS . (5.10)
A

En general el vector densidad de corriente variará con la posición.

7
EJEMPLO 24.
Un conductor ideal tiene la forma irregular de la Figura 92.

I b 90-

l x, iˆ
Figura 95.

La curva del limite superior del conductor es y = ax2+2b, la cual es válida en todo el largo l
del conductor. Por el conductor circula una corriente I, la cual ingresa y sale del conductor
perpendicular a los planos que lo limitan. Se pide calcular el vector densidad de corriente
en los planos extremos del conductor.

Soln
Supondremos que la corriente se distribuye en forma homogénea al interior del conductor.
Por ello, en el extremo x=0, el vector densidad de corriente se distribuye homogéneamente
en el disco de radio b y apunta en dirección iˆ . Así,
 I ˆ
J i
b
2

En el otro extremo, el plano de salida del conductor forma un ángulo  con el eje x. Dicho
ángulo se forma entre la ortogonal a la tangente de la curva y = ax2+2b, evaluada en x=l, y
el eje x. La tangente esta definida por la curva y =2ax, que por definición corresponde a
tg(90- ) en x=l, es decir,
tg (90   )  2a l

aplicando identidades trigonométricas cos(90   )  1  tg 2 (90   ) 
1 / 2

 1  4a l
2

2 1 / 2
y

sin(90   )  2al 1  4 a l
2

2 1 / 2
.
De las leyes de semejanza de triángulos obtenemos el radio del disco en el extremo de
salida del conductor

1 1 1
r (al 2  2b) 2  (al 2  2b) 2 tg 2 (90   )  (al 2  2b) (1  tg 2 (90   )  (al 2  2b) 1  4a 2l 2
2 2 2

Con ello finalmente el vector densidad de corriente en el plano de salida es

 I
J (cos(90   )iˆ  sin(90   ) ˆj )
r
2

8
En forma análoga podemos definir un vector densidad de corriente superficial cuando se
estudian distribuciones de corriente en superficie. Supongamos que tenemos una corriente
fluyendo en el plano y-z, según se muestra en la Figura 96.

z , kˆ

l

y, ˆj

Figura 96. Densidad superficial de corriente.


Se define el vector densidad de corriente superficial K [A/m] como
  I ˆ (5.11)
K (r )  lim j
l  0 l

Inversamente, cuando disponemos del vector podemos calcular la corriente atravesando un

tramo de ancho L como
L

I   K  ˆj dl (5.12)
0

EJEMPLO 25.
Considere un conductor toroidal que trasporta una corriente I según se muestra en la Figura
97. Suponga que se desea tener una representación equivalente en dos dimensiones de este
conductor a través de una cinta. Se pide determinar la corriente superficial por esta cinta
resultante (imagine que resulta de aplastar al toroide hasta dejarlo plano).

Area A
I I

Diámetro 2a Ancho 2a
Figura 97
Sol.
En la Figura 94, en el lado izquierdo esta representado el toroide (de tres dimensiones) de
sección transversal A. En el lado derecho se presenta la cinta (dos dimensiones) de ancho

9
2a. Ambos elementos conducen la misma corriente total I, es decir la sección transversal
del toroide es atravesada por la misma corriente que atraviesa por un corte transversal de la
cinta. Esta situación se ilustra en la Figura 98. La figura del lado derecho es una
amplificación de la sección del toroide. La proyección bajo esa sección es un trozo
transversal de la cinta.

dy

Area A
I x
I
JS lx
a

x
I y
Diámetro 2a Kdy

Figura 98

Si J es la densidad de corriente homogénea del toroide (J =I /a2 A/m2) y K la densidad

superficial de corriente de la cinta (A/m), entonces la condición de equivalencia impone
Kdy  JS . Desarrollando obtenemos

lx  2 a 2  y 2
I
Kdy  2 a 2  y 2 dy
a 2

2I a 2  y 2
 K 
a 2
 2I a 2  y 2
Luego el vector densidad de corriente superficial es K  ˆj .
a 2
Este resultado indica que la corriente no se distribuye en forma homogénea en la cinta, ya
que es mayor en el centro (y=0) y decrece hacia los bordes, llegando a ser nula para (y=a).
Este resultado es coherente con la intuición, ya que si miramos el toroide desde arriba (un
punto perpendicular al plano de la hoja de papel), efectivamente veremos pasar más
corriente en el centro y menos hacia la orilla (convénzase de este resultado!).
Propuesto. Determinar K si imponemos que la corriente se distribuya en forma homogénea
en la cinta.

10
5.4 Ley de Ohm

En la mayoría de los materiales conductores se encuentra que al aplicar un campo eléctrico

se verifica la relación
 
J  g E (5.13)
donde g es en general constante y se denomina conductividad. Las unidades de g son
[A/Vm]. Es común llamar Mho (o MHO) a la unidad [A/V], con ello también se usa
[MHO/m] como la unidad de g.

Todos los materiales que satisfacen la relación anterior se denominan óhmicos y g puede
depender de otras variables como la temperatura o la presión, pero no del campo eléctrico.
Existen también materiales no óhmicos en donde g depende del campo eléctrico aplicado,
pero en este curso no los estudiaremos.

Consideremos un conductor alargadode sección uniforme S por donde circula una corriente
I debido a la presencia de un campo E según se muestra en la Figura 99.

1 l 2
Sección S

E
I

x , iˆ
Figura 99. Ley de Ohm.
  
Por la ley de ohm J  g E , pero suponiendo distribución homogénea de corriente J  I iˆ y
S
 2

de la definición de campo E  V    E  dxiˆ  V2  V1  V2  V1   E  l
1
 V V
 V1  V2  E  l  E  1 2 iˆ
l
Reemplazando valores en la ley de ohm se tiene
I ˆ V V
i  g  1 2 iˆ
S l
 l 
 V1  V2     I
 Sg 
Se define   1 (5.14) como la resistividad del material y R    l (5.15) como la
g S
resistencia. Las dimensiones de la resistencia son [Volt/Ampere] y se llama OHM. Con esto
podemos escribir
 V  RI (5.16)

Esta es la Ley de Ohm en conductores.

11
También es usual definir G = 1/R como la conductancia del material.

En general, mientras menor sea la resistencia de un material será un conductor más

eficiente, y en el límite, si la resistencia se hace nula hablamos de un conductor perfecto
donde V  0 . Este último caso ocurre en algunos materiales pero en condiciones de muy
baja temperatura, son los llamados superconductores.

Para un material es posible medir su voltaje y corriente y determinar así la característica V-

I , y con ello la conductividad, según se muestra en la Figura 100.

V[v] Material ohmico

Material no ohmico

I [A]
Figura 100. Característica V-I.

En la Tabla 3 se presentan valores de conductividad para diferentes materiales.

12
Tabla 3. Conductividad (aproximada)* de algunos materiales a 20ºC
Material Conductividad g
(mhos/meter)
Conductores
Plata 6.1 x 107
Cobre (standard) 5.8 x 107
Oro 4.1 x 107
Aluminio 3.5 x 107
Tungsteno 1.8 x 107
Zinc 1.7 x 107
Bronce 1.1 x 107
Hierro (puro) 107
Plomo 5 x 106
Mercurio 106
Carbon 5 x 104
Agua (mar) 4

Semiconductores
Germanium (pure) 2.2
Silicon (pure) 4.4 x 10-4

Aisladores
Agua destilada 10-4
Earth 10-5
Bakelita 10-10
Papel 10-11
Vidrio 10-12
Porcelana 10-12
Mica 10-15
Parafina 10-15
Goma (dura) 10-15
Cuarzo (fusionado) 10-17
Cera 10-17
(*) Estos valores pueden variar en otras Tablas ya que hay muchas
variedades y aleaciones de cada material y la conductividad es además
sensible a la temperatura, impurezas, etc.

13
En el caso general se tienen conductores irregulares como en la Figura 101.

V 1
V
2

 S
E
J

Figura 101. Corriente en conductor irregular.

1
  2  
Aquí la diferencia de potencial entre los extremos es V  V1  V2    E  dl   E  dl
2 1
y dado que la corriente en las caras extremas es la misma (no hay corriente que se acumule
o salga por otra superficie del conductor) se puede definir la resistencia como
  2
  dl
E
R 1
  (5.17)
 g E  dS
S
donde el recorrido de la integral de línea es cualquiera y el área es cualquier sección
transversal del conductor.

EJEMPLO 26
Un alambre de diámetro 1mm. y de conductividad g  5  10 7 mho / m tiene 10 29 electrones
libres por m3. Si se aplica un campo eléctrico de 10 2V / m en la dirección axial se pide:
a) la densidad de carga de electrones libres
b) densidad de corriente
c) corriente
d) velocidad media de los electrones

Solución:

iˆ E

Area A
Figura 102. Conductor unifilar.

a)  e  n  e  10 29   1.6  10 19   1.6  1010 [C / m3 ]

 
   
b) J  g E  5  10 7  10  2 iˆ  500000 iˆ[ A / m 2 ]
 2

c) I   J  dS  J  A  5  105    10    0.393[ A]
  3

 
  2  

14
 J 500000
d) J  q  n  vd  vd    vd  3.125  10 5 m / s
q  n 1.6  1010

5.5 Fuerza electromotriz

Llamaremos fuerza electromotriz FEM a un dispositivo con la propiedad de mantener una

diferencia de potencial definida entre sus terminales. Esquemáticamente se muestra en la
Figura 103.

1 V1
V1  V2  V independiente de lo que se
FEM conecte entre los terminales 1 y 2.

2 V2

Figura 103. Fuerza electromotriz.

Una pila común, una batería de auto, un generador son ejemplos de fuerza
electromotriz. Si V  0 Se acostumbra a anotar como:

Conductor perfecto R=0

+ +

V - ó -

Figura 104. Notación FEM.

Recordemos que por “conductor perfecto” entenderemos un conductor con una

conductividad muy grande y que por lo tanto presenta una resistencia (R) despreciable y no
registra diferencia de potencial alguna. Sin embargo, en la práctica las FEM poseen una
resistencia interna RIN, por lo que la representación más usada es la siguiente:

+ Rin

-

Figura 105. FEM en circuitos.

15
Examinemos la configuración de la Figura 106.

Conductor perfecto Conductor perfecto

V1 V2
g,   
E, I , J

x, iˆ A
I I
+ -

Cable conductor perfecto 

Figura 106. Conductor real.

Habíamos probado que la diferencia de potencial entre los “conductores perfectos” es

1  
  E  d l  V1  V2
2
E l  V1  V2

donde l es la distancia entre los conductores. Esta diferencia de potencial es

exactamente el valor de la fuerza electromotriz. Luego

  V1  V2

   E l ,
Por otra parte, la corriente que atraviesa el área A es I  J  A . Además la densidad de
corriente cumple con J  g E . Luego, si l es el largo del conductor de sección A,
tenemos
g l
I  A  I
l gA

R
   RI
Esta expresión corresponde a la Ley de Ohm vista anteriormente.
La fuerza electromotriz  realiza el trabajo de tomar cargas a un potencial y entregarlas
a uno de mayor magnitud. Al circuito analizado se le representa como:
I
R

+-
Figura 107. Convención signos.

16
5.6 Efecto Joule

Consideremos la configuración de la figura:

A1   A2
1 2
I E, J

A1

+  -

Figura 108. Efecto Joule.

La energía de la carga en el disco 1 es
U1  Q1  V1

donde Q1 es la carga que atraviesa el plano A1 y V1 es el potencial en 1.

Similarmente la energía en el disco 2 es U 2  Q2V2 .

Por lo tanto la diferencia de energía es

U  Q1V1  Q2V2

pero Q1 y Q2 son iguales (no hay acumulación de carga)

 U  QV1  V2 

Por otra parte la potencia es el cambio de la energía en el tiempo, o sea

U Q
P  V1  V2  , pero Q  I
t t t
 P  I V1  V2 
y haciendo coincidir 1 con el comienzo del conductor y 2 con el fin tenemos que

 P  IV (5.18)
es la potencia disipada en el material.

Dicha potencia se expresa en un calentamiento del material producto de las colisiones

entre las partículas. Esta potencia es suministrada por la FEM.

Como V=RI , una expresión usual de esta potencia es:

17
 P  RI 2
(5.19) ó P
V 
2
(5.20)
R

En general, para un material cualquiera tendremos

dV

 
J dS


E


dr
Figura 109. Energía en elemento diferencial.
   
La potencia disipada en el elemento de volumen es dP   J  dS    E  dr  (5.21)
    
I dV
 
ó dP  J  E  ds  dr . (5.22)

Como todos los vectores son paralelos dS  dr  dv y podemos escribir finalmente la
expresión

 
 P   J  Edv (5.23)


la cual representa la potencia disipada en un material de volumen .

18
5.7 Cargas en medios materiales

Resumiendo lo que hemos visto hasta aquí es lo siguiente:

(i) Dieléctricos

Figura 110. Cargas en dieléctricos.

  
D  0E  P
 
D E
Los medios se componen de dipolos que pueden girar en torno a su posición de
equilibrio, pero no se desplazan.

(ii) Conductores:

Equilibrio electrostático


E 0
V  cte

Figura 111. Conductores en equilibrio electroestático.

Sólo tiene distribución superficial. La carga al interior es nula =0 y no hay polarización

P 0 .
Equilibrio Dinámico: corrientes


E

Figura 112. Conductores en equilibrio dinámico.

Electrones se desplazan con velocidad constante. Carga total por unidad de volumen es

nula. También puede existir una polarización del material P  0 (órbitas de electrones se
desplazarán de su centro).

19
Si llamamos  e a la densidad de carga de electrones por unidad de volumen y  R a la
densidad del resto de las cargas, se cumple

  dV   

e

R dV  0 (5.24) en todo el volumen .

 
Además los materiales óhmicos cumplen con J  g E .

Así, en general un medio material puede presentar características de dieléctricos (), o sea
aisladores, o conductores (g) como se muestra en la Figura 113.

Figura 113. Cargas en materiales reales.

Si g  conductor perfecto

Si   aislante perfecto

Ambas características son contrarias, es decir, si es un buen aislante tendrá pocas cargas
libres y será por lo tanto un conductor pobre, y viceversa.

20
5.8 Corriente de Convección

La corriente de convección se produce cuando se tiene una masa con carga en

desplazamiento, por ejemplo un líquido con carga fluyendo por una cañería. Consideremos
que esto ocurre en la Figura 114, con una masa eléctricamente cargada que se desplaza con
velocidad vc.
l

S
m,q


r
O A

Figura 114. Corriente de convección.

Si la masa contenida en el cilindro elemental tiene velocidad vc , y si designamos por c la

densidad de carga en dicho volumen, entonces la cantidad de carga contenida en el
volumen Sl es c(Sl). Por lo tanto, la corriente atravesando al área S en un
intervalo t es

Q  c S  l l
I     c S , (5.25)
t t t
l
pero vc   I   c Svc (5.26)
t
Luego el vector densidad de corriente es
 
J r    c vcuˆ , (5.26)
donde û es el vector unitario en la dirección de desplazamiento de la masa cargada.

Se cumple
  
I   J (r )  dS (5.27)
A
Donde I es la corriente total que atraviesa el área A (la cual desde luego no se mueve).

Conviene precisar que en las corrientes

  de convección NO tiene sentido la ley de ohm, es
decir, no se cumple la relación J  g E .

21
EJEMPLO 27
El sistema de la figura 115 representa una cinta transportadora de un polvo cargado que
puede modelarse como una densidad superficial de carga   10 2 C / m 2 . La cinta tiene un
ancho de 1m se mueve a una velocidad de 2 m/s. Se pide:

a) calcular la corriente que atraviesa el área A

b) ¿cuánta carga ha pasado en 5 segundos?

d

A
Ancho 1 m

Figura 115. Cinta transportadora de carga.

Solución:
  d  l C  m
a) I    dvc  10 2  2   1 m 2  
t m  s
I  2  10 C / S   20 mA
2

b) Q  I  t  2  10 2 [C / S ]  5S   10 1 C 

La corriente de convección tiene gran importancia en el entendimiento de los seres vivos.

Por ejemplo el intercambio de sustancias entre células se puede explicar mediante un
modelo eléctrico en base a corriente de convección de proteínas.

22
5.9 Ecuación de Continuidad

Consideremos un volumen  del espacio en el cual se tiene un flujo neto de corriente

saliendo del volumen.
 
I salida   J  dS (5.28)
S ()

aquí dS  dSnˆ apunta hacia afuera del volumen .

n̂ dS


Figura 116. Continuidad de carga eléctrica.
Si llamamos Qin a la carga contenida en el volumen , entonces se debe cumplir
dQ
I salida   in (5.29)
dt
O sea, la corriente que sale corresponde a la variación de carga encerrada en el volumen.
Supongamos que Qin se describe a través de una densidad de carga libre   1.
Luego:

Qin     (r )dV (5.30)


d 
I salida   
dt 
 (r )dV (5.31)

Dado que el volumen  es fijo (no depende de t) podemos escribir:

  
I salida       (r )  dV (5.32)
  t 
y reemplazando en la expresión original tenemos:
    
     (r ) dV   J  dS (5.33)
 
t  S ( )

Aplicando el teorema de la divergencia al lado derecho

  
     (r ) dV     JdV (5.34)
 
t  

Como se cumple  espacio  (contenga este un medio material o no)

  
   J    (r )  0 (5.35) Ecuación de continuidad.
t
La carga no aparece ni desaparece espontáneamente, sino que se conserva.

1
Notar que la carga de polarización no se desplaza, ya que sólo gira en torno a la posición
de equilibrio.

23
5.10 Ecuación de Continuidad en Medios Materiales

Consideremos un medio material que posee tanto características dieléctricas () como
conductoras (g). Supongamos que en t=0 se inyecta instantáneamente una densidad de
carga 0 (r) en el material. Determinaremos la variación que experimenta la carga para t  0.


 g

Figura 117. Ecuación de continuidad en medios materiales.

Tenemos
   
J  g E    J  g  E , donde hemos supuesto g constante.
Pero
   g  g
D   E    J    D   (t ) , y reemplazando en la ecuación de continuidad
 
obtenemos
g  (t )
 (t )   0   (t )   0 e  t / T R (5.36)
 t

donde TR / g (5.37) es la constante de relajación y mide la rapidez con que la carga en
volumen emigra hacia la superficie. Así, en régimen estacionario no hay carga en volumen
y sólo hay carga superficial.

EJEMPLO 28
Considere un medio material que forma una esfera de radio R, el cual tiene características
dieléctricas  y conductividad g, según se muestra en la Figura 118. En t=0 se carga dicha
esfera con una carga Q0 uniformemente distribuida.

R g, R

Figura 118.Carga en función del tiempo.

Se pide:

a) Determine la ecuación que rige la carga en la esfera para t  0 ,

b) Evalúe el tiempo que toma la carga en volumen en disminuir 36.8% de su valor
inicial,

24
 c) Cuánto vale el tiempo calculado en b) para los siguientes materiales:

g R
Cobre 5.8 10 7
1
Cuarzo fusionado 10 17 5

Soln
a) la ecuación que rige la carga es:
g  (t )
 (t )  0
 t
Integrando en el volumen
g  (t ) 
    (t )  dV  0
V  t 
g 
   (t )dV    (t )dV  0
 V   t  V  
Q(t ) Q(t )

g Q (t )
 Q(t )   0  Q (t )  Q0 e t / T R

 t
4
Para t=0 Q0   0 R 3 y T  
3 R
g
 t / TR
b) 0.368Q0  Q0e  t  TR

c)
cobre Cuarzo fusionado
TR 1.53  10 19 seg 51.2 días

25
 
5.11 Condiciones de Borde para J

Consideremos la interfaz de dos medios materiales como en la Figura 119. A ambos lados
hay campos y densidades de corriente.


     
J1 , D1 , E1 J 2 , D2 E2
1 , g1  2 , g2

Figura 119. Condiciones de borde.

De las condiciones de borde para dieléctricos teníamos que la componente tangencial del

campo eléctrico se mantiene (aquí sigue cumpliéndose   E  0 ) y que la diferencia de la
componente normal del vector desplazamiento es igual a la densidad de carga superficial

(sigue cumpliéndose la primera ecuación de Maxwell   D   ). Por lo tanto
 
  J1t J 2t
E1t  E2t  
g1 g2
 
D1 N  D2 N   libre
 
  J J (5.38)
 1 E1n   2 E2 n   l   1 1n   2 2 n   l
g1 g2
Por otra parte, también usaremos la ecuación de continuidad   J    0 para obtener
t
condiciones sobre J. Tendremos dos casos interesantes.

I. Situación Estacionaria  (t )  0 . Cuando no existe variación de carga en la interfaz se

t

cumple   J  0 . Si tomamos un volumen como el del cilindro de la Figura 118
obtenemos (se procede en forma  similar a la usada para derivar la continuidad de la
componente normal del vector D )
J 1n  J 2 n (5.39)

Aquí claramente habrá una carga acumulada en la interfaz ya que las condiciones

(5.38) deben cumplirse. Así, al reemplazar la componente normal de J en (5.38) se
tiene

 1  2 1  1  2 1 (5.39)
J 1n   l (  ) y J 2n   l (  )
g1 g 2 g1 g 2

Cuando se cumple esta condición de borde diremos que el sistema esta en estado
estacionario o en régimen permanente, la cual es equivalente a suponer   0 .
t

26
 II. Situación Transitoria. Cuando hay variación de carga tenemos que   0 . Haremos
t
uso ahora de la ecuación de continuidad en el volumen  indicado en la Figura 106.

    Q
J 
t
 0 ó en su versión integral   dS  t  0 .
S ()
J

Aquí Q es la carga en  y haciendo tender el largo del cilindro a cero

 
  J  dS  J 2 n S  J 1n S (5.40)
S ()

y Q solo se concentra en la interfaz, luego

t
Q 
    S  (5.41)
t t

 J 2 n S  J1n S  S  0
t

 J 2 n  J 1n  0
t
Esta es la condición que deben satisfacer las componentes normales del vector densidad de
corriente de ambos medios. Esta situación se llama transitoria o transiente.

Caso en que uno de los medios es un conductor perfecto.

Consideremos la interfaz entre un medio material y un conductor puro tal como se muestra
en la Figura 120.

 g,    
J , E, D n̂ Medio material
S Conductor puro

Figura 120. Dieléctrico y conductor perfectos.

Al tomar la superficie Gaussiana S, se tiene

  (5.42)
 D  dS  D2 n S  D1n S   S
S
Al interior del conductor perfecto el vector polarización es nulo. Luego, los campos
cumplen

 0 E 2   E1   (5.43)

Las condiciones de borde para el vector J en este caso son las mismas que desarrollamos
anteriormente.

27
EJEMPLO 29
Considere el sistema de la Figura 121. Se pide:
  
a) Calcular J , E y D entre las placas conductoras en la condición de equilibrio.
b) Idem pero en la situación transitoria.
conductor
Potencial Vo

d/2
  
1 , g1 D1 , E1 , J1 d/2
   
z, k  2 , g2 D2 , E 2 , J 2

conductor
Potencial cero V=0
Figura 122. Condensador compuesto sin acumulación de carga.
Sol.

a) Supondremos que campos y densidades de corrientes tienen dirección según z.

Dado que estamos en la condición de equilibrio, no hay variación en la carga
 S 
superficial  entre los dos medios, es decir, se cumple  0 en la interfaz y
t

por lo tanto de la ecuación de continuidad    J  0 en régimen permanente.
Según vimos esto conduce a la condición

 J 2 n  J1n

Para los campos eléctricos supondremos Ei  Ei ( kˆ) , con Ei constante para ambos
medios. De la Ley de Ohm se tiene
   
J 1  g 1 E1 y J 2  g 2 E2 ,
Por lo tanto,
 
g1 E1  g 2 E 2 (5.44)
Por otro lado, sabemos que la relación entre el voltaje y el campo eléctrico entre dos
puntos (1,2) cualquiera es
2
 
V2  V1    E  dl
1
y haciendo coincidir 1 con el potencial cero y 2 con el potencial V0 tenemos
d / 2 d

 V0    E2 (kˆ)  dzkˆ   E1 (kˆ)  dzkˆ 
0 d /2 
d d   2V
V0  E 2  E1  E1  E2   0 kˆ
2 2 d

28
 Usando la condición (5.44) obtenemos
g2   2V
E 2  E 2   0 kˆ
g1 d
 2 g 1V0  2 g 2V 0 ˆ
 E2   kˆ y E1   k
d ( g1  g 2 ) d ( g1  g 2 )
Luego las densidades de corriente son
 2 g 1 g 2V 0 ˆ  2 g 1 g 2V 0 ˆ
J2   k y J1   k
d ( g1  g 2 ) d ( g1  g 2 )
Claramente se cumple la continuidad de la componente normal del vector densidad
de corriente en la interfaz. Para los vectores desplazamiento tenemos
 2  2 g 1V0 ˆ  2  1 g 2V 0 ˆ
D2   k y D1   k
d ( g1  g 2 ) d ( g1  g 2 )

Por lo tanto existirá una distribución de carga  entre los dos medios materiales
dada por la condición

D2  D1   , donde usamos la notación Di  Di ( kˆ) .
Luego,
2 V ( g   1 g 2 )
 0 2 1
d ( g1  g 2 )
Es importante notar además que habrá una densidad de carga en la cara interior de
los conductores (interfaz entre conductor puro y medio material). Si llamamos
 1 y  2 a las densidades en la placa superior e inferior, sus expresiones son
 2 1 g 2V0
D1  ( kˆ)   1   1 
d ( g1  g 2 )
 2 2 g1V0
D2  kˆ   2   2  
d ( g1  g 2 )
b) Consideramos ahora el período transiente para la  distribución  de carga  en la
interfaz . Usamos la misma notación anterior Di   Di  k , Ei   Ei  kˆ
ˆ
Donde los campos tienen la dirección de la Figura 123.

V=V0
     1 , g1
D1 , E1 , J 1 
  
 D2 , E 2 , J 2  2 , g2
z, k

V=0 S
Figura 123. Condensador compuesto con acumulación de carga.

Según vimos la ecuación de continuidad en el régimen transitorio conduce a la

condición de borde

J 2  J1  0
t

29
Por otra parte, de las condiciones de borde para el vector desplazamiento
D2  D1  
  2 E 2   1 E1   (5.45)
Además sabemos que
d
  d /2
  d  
V0  0    E  dl    E1  dl   E2  dl
0 0 d /2

  E kˆ  dzkˆ    E kˆ  dzkˆ
d /2 d
V0   1 2
0 d /2

d d 2V
V0  E1  E2  E1  E2  0 (5.46)
2 2 d
De (5.45) y (5.46) tenemos el sistema:
2V0
E1  E2 
d
 1E1   2 E2  
2V0
1  (5.45)  (5.46)  1 E2   2 E2  1  
d
1  2V0 
 E2   1   
1   2  d 
2V0 2
 2  (5.45)  (5.46)   2 E1  1 E1  
d
1  2V0 2 
 E1   
1   2  d 
 1  2V0 2   1  2V0 2 
 E1       kˆ  D1       kˆ
1   2  d  1   2  d 
 1  2V01    2  2V01 
E2       kˆ  D2       kˆ
1   2  d  1   2  d 
Luego las densidades de corriente son:
 g1  2V0 2 
J1      kˆ   J1kˆ
1   2  d 
 g 2  2V01 
J2      kˆ   J 2 kˆ
1   2  d 
Tomando la diferencia
g 2  2V01  g1  2V0 2 
J 2  J1        
1   2  d 
 1 2   d 

J 2  J1 
g 2 2V01 g 2V 
 1 0 2  1
g  g 2 
d (1   2 ) d 1   2  1   2
 J 2  J1    

30
 
Reemplazando en la ecuación de continuidad      0
t
Solución Homogénea  t   ke  t


Solución Particular  


  t   ke  t 


C.I.  t  0   0  k 

  t
 t  

e  1

2V0  g 21  g1 2 

 d 1   2  2V  g   g1 2 
  0 2 1
 g1  g 2 d  g1  g 2 
1   2
g1  g 2
2V  g   g1 2     t 
 t   0 2 1 e 1
 2
 1
d  g1  g 2   


Notar que para t

2V0  g1 2  g 21 
 t       
d  g1  g 2 

que es el resultado obtenido en la parte a).

31
5.12 Ley de Voltajes de Kirchoff

Consideremos un sistema de conductores como el de la Figura 124.

Conductor perfecto
1 g1, 1 2

3 g2 ,  2 4 n-1 g n1 ,  n1 n
 
E1 E2 E n 1

+ 
- Ley de voltajes de Kirchoff.
Figura 124.

La diferencia de potencial entre 1 y n es

2
  4   n
 
V   E1  dl   E2  dl  ...  E n 1  dl (5.47)
1 3 n 1

V   Ei li  (V1  V2 )  (V3  V4 )  ...  (Vn 1  Vn ) (5.48)

Pero V  
  Vi    0 (5.49)
La suma neta de las diferencias de potencial en un loop cerrado es nula. Esto se
conoce cono “Ley de voltajes de Kirchoff”

EJEMPLO 30
Encontrar el voltaje en el condensador de la figura 125 si este se encuentra inicialmente
descargado.
1

i
+

10V 1F
_

Figura 125. Circuito RC serie.

32
Sol:
Aplicando ley de voltajes de Kirchoff:
10V  VR  VC
10  1i  VC
dVC
pero i  iC  C
dt
dVC
 10  C  VC
dt
dV
10  10 6 C  VC Ecuación diferencial ordinaria
dt

Resolvemos la solución particular y luego la homogénea.

Solución homogénea:
dVCh
 10 6  VCh  0
dt
t

 VC h  ke 
  106
Solución particular:
dV
 Cp  0
dt
 VCp  10
Solución completa:
VC  VCp  VCh
t

VC  10  ke 
Aplicando la condición inicial:
VC (t  0)  0  k  10
finalmente
t

VC (t )  10(1  e  )V

Notar que para t   V (t )  10V  no hay corriente en el circuito.

33
5.13 Ley de Corrientes de Kirchoff.

Consideremos ahora un sistema de conductores que convergen a un mismo espacio 

según se muestra en la Figura 126.
I2 I3

I4
I1


In
Figura 126.Ley de corrientes de Kirchoff.

Si no existe acumulación de carga

 
 0    J  0 (5.50)
t

Tomando el volumen  que contiene a todos los conductores convergentes


    JdV  0 (5.51)

y aplicando el teorema de la divergencia
 


S ( )
J  dS 
     

 1 1 
S1
J  dS  
 2 2
J dS 
S2
...  
 n n 0
J 
Sn
dS

 I1  I 2  ...  I n  0 (5.52)

Si no hay acumulación de carga la suma neta de corrientes que convergen a un espacio

cerrado es nula. Esta es la “Ley de corrientes de Kirchoff”.

34
EJEMPLO 31
Calcular la corriente I de la figura 127 si el condensador se encuentra inicialmente
descargado.

I I2

I1
1F
+
1
10V
_ 1

Figura 127. Circuito RC paralelo.

Solución:
De la ley de corrientes de Kirchoff obtenemos que I  I1  I 2
dV
De las ecuaciones del condensador sabemos que I 2  C C
dt
De aplicar ley de voltajes de Kirchoff y ley de Ohm se obtiene
V 10V
I1  R1   10  A
R 1
V 10  VC
I2  R2 
R 1
Igualando las dos expresiones encontradas para la corriente I 2 llegamos a la siguiente
ecuación diferencial:
dV
10 6 C  10  VC
dt
En el ejemplo 30 resolvimos la misma ecuación diferencial con la misma condición inicial,
llegando al resultado que se muestra a continuación:

t

VC (t )  10(1  e  )V con   106
t

d10(1  e  )
 I 2  106
dt
 1 t 
 I 2  106 10 e  
  
t

 I 2  10e 
 A

35
Finalmente
I  I1  I 2
  
t
I (t )  10 1  e    A
 
Notar que para t   I (t )  10 A  solo hay corriente en la resistencia R1, es decir, no hay
corriente en el condensador.

36
5.14 Problemas Resueltos

PROBLEMA 1:
Considere el circuito de la Figura .
I

R1=R
+
E R2=R C

Figura P.5.1.1
Se pide:
a) Determinar la corriente I en función del tiempo si en t = 0 la carga del condensador
es nula (voltaje nulo).
b) Calcular la corriente para la condición estacionaria (t infinito).
Solución:
a) Por la ley de corrientes de Kirchoff:
I  I R1  I R 2  I C
VR 2
I R2 
R
dV
IC  C C
dt
Pero por ley de voltajes de Kirchoff VR 2  VC
V dV
 I  C C C
R dt
Utilizando nuevamente la ley de voltajes de Kirchoff y la ley de Ohm
VR1  E  VC
E  VC
 I  I R1 
R
Entonces formamos la siguiente ecuación diferencial:
E  VC VC dV
 C C
R R dt
dVC
RC  2VC  E
dt
Para resolver esta ecuación debemos encontrar la solución particular y la homogénea.
Solución homogénea:

37
 dVC
 0  2VC  RC
dt
2
 t
VCh (t )  ke RC

Solución particular:
dV
 C 0
dt
2VC  E
E
VCp 
2
Luego
2
E  t
VC (t )   ke RC
2
Aplicando condición inicial:
VC (0)  0
E
0 k
2
E
k 
2
E 
2
t 
 VC (t )   1  e RC

2 
E  VC
Pero lo que buscamos es la corriente I, la que estaba dada por I 
R
E  1 
2
t 
I 1  1  e RC  
R 2 
2t
E 
I (t )  (1  e RC )
2R

b)
E
lim I (t ) 
t  2R
Resulta intuitivo este resultado, pues el condensador durante el régimen transitorio se carga
no conduciendo una vez cargado. Correspondiendo entonces la corriente I en régimen
permanente a la corriente del circuito sin el condensador.

PROBLEMA 2
Se tiene un par de electrodos de placas planas paralelas entre las cuales se aplica una
diferencia de potencia V0. En el interior se coloca un dieléctrico perfecto junto con dos
secciones de dieléctrico con pérdidas. Para este problema se pide determinar:

a) La distribución de campo eléctrico en todo el sistema. (desprecie efectos de borde)

38
 b) La capacidad equivalente C del sistema de electrodos.
c) La conductancia equivalente G del sistema de electrodos.
d) La densidades de cargas en las interfaces del sistema.
 V2 1
Hint: la energía eléctrica w   02 dv y wcondensador  CV02
2 d 2
Considerar profundidad unitaria

V0

Z
d 1 , g 2 1 , g

b 2a b
Figura P.5.2.1
Solución:
  
a) Los campos E 1 , E 2 , E 3 están los tres en la dirección Z y con el sentido de este
mismo vector (van de mayor a menor voltaje). Como estos tres campos son
  
tangenciales a las interfaces del medio, se tienen que E 1t  E 2t  E 3t (condiciones
   
de borde)  E1  E 2  E 3  E
Habíamos visto que:
d
  V
V    E  dl  E  0 (entre las placas)
0
d
 V
Luego: E  0 z
d
Fuera de las placas el campo es nulo, pues la carga encerrada será cero.

b) we  w1  w2  w3 como w1  w3  we  2 w1  w2
1 1 V02 1 V02
2 2  d2
 w1  E 2
dv  dv  b  d 1
2 d2
 V2  V2
w2  2  02 dv  2 02 2a  d 1
2 d 2 d
luego
V02
we  (a 2  b1 )
d
Sólo nos queda igual a la energía eléctrica del condensador
1 V2
 CV02  0 (a 2  b1 )
2 d
2
 C  (a 2  b1 )
d

39
   gV
c) J 1  g E1  0 z
d
   
I   J  dS  I  2  J1  dS
A A

2 gb 1
I V0 pero I  GV (ley de ohm G  1/ R )
d
2 gb
G
d  
d) Sabiendo que D1n  D 2 n   s pero el campo solo tiene componente tangencial por lo
tanto no hay densidad de carga en las interfaces.

PROBLEMA 3
Un conjunto de n placas conductoras de áreas A, 2 A, 4 A,.....2k A,.....2n 1 A , están ordenadas
formando una pila vertical. La distancia entre las placas sucesivas es d y entre ellas hay un
material de conductividad G=cte. Experimentalmente se encuentra que la resistencia
eléctrica entre la primera y segunda placa es 1.
a) Calcule la resistencia total cuando n
b) Considere la situación de la Fig P.5.3.2 en el límite cuando n y calcule la
intensidad de corriente que circula por la resistencia de 1. conectada entre la
cuarta placa y la tierra.
R1 Rn 1

V= 1Volt A

2A
1 Volt
4A

2n 1 A

Figura P.5.3.1
 k
1
Indicación:   2 
k 0
2

Solución:

40
I   J  dS   g  E  dS

I   J (k )  dS   J  dx  dy  J  A
 gEA  I
V
R
gE A
dV
V   E    E  dV   E  dz
dz
Integrando
V2 d

 dV    E  dz  V
V1 0
V  E  d
2 1 V  Ed
V

d
R
gA
d d d
RT    
g  A g  2A g  2n 1  A

  k
d  1 d 1 d
Rn    k      2
g  A k  0  2  g  A k 0  2  gA
2d d
RTn  pero  R1  1
gA gA
 d 
 RT  2     2
 g A

b) Ry

R1 R2 R3 1
V= 1Volt A

2A
1 Rx
4A

2n 1 A

Figura P.5.3.2

41
 d d d
R1  R2  R3   
g  A 2g  A 4g  A
1 1 7
 1              
2 4 4
RT  2   
7 1
 Rx  2         
4 4
R R 1/ 4 1 1
R paralelo Rx Ry  x y    
Rx  Ry 1/ 4  1 5
7 1 39
RT         
4 5 20
V 1 20
IT  T 
39
 A   A
RT 39
20
VR1  VR2  VR3  VRy  1V 
IT   R1  R2  R3   VRy  1V 

20 7
  VRy  1
39 4
35
VRy  1  V 
39
4
VRy  V 
39
4
V1 V  4
I1   39   A
1   1   39

42
5.15 Problemas Propuestos

PROBLEMA 1
En el circuito de la figura, el interruptor K1 permanece cerrado y el K 2 abierto hasta que el
condensador C se carga a un potencial V0. En t=0 se abre K1 y se cierra . Para
t  0 determinar:
a) El voltaje en el condensador.
b) El tiempo que demora el condensador en descargarse.
c) La potencia en la resistencia en función del tiempo.
K1 K2

V C
R

Figura PP.5.1

PROBLEMA 2
Se tiene un tren de juguete que se mueve sobre rieles colocados en forma de circunferencia.
Los rieles tienen una resistencia r por unidad de longitud y el tren tiene una resistencia R.
Se aplica una diferencia de potencial V0 entre los rieles.
a) Encuentre y dibuje el circuito equivalente.
b) Encuentre la corriente que pasa por el tren cuando este se encuentra formando un
  con la dirección de referencia.

 a

V0 b

Figura PP.5.2

43
 PROBLEMA 3
Se quiere energizar un circuito electrónico por el que circulan 20 mA a 2400 Volts. Para
esto se dispone de una fuente de tensión de corriente continua de 3000 Volts que tiene una
resistencia interna de 10 k ; y de un divisor de tensión formado por dos resistencias; como
se indica en la siguiente figura:
R1

Ri  10k 
R2 2400 Vcc
20 mA
+
E=3000 Vcc

Figura PP.5.3.1
a) Se pide calcular las resistencias R1 y R2 para alimentar el circuito de modo que la
potencia entregada por la fuente de tensión sea mínima; calcule esta potencia.

b) En el mismo circuito se quiere además hacer funcionar un galvanómetro ideal (sin

resistencia interna), que funciona solamente si la corriente es igual o mayor que 20
mA. El circuito a emplear en esta parte es el que se muestra a continuación:
R1

Ri  10k 
R2 2400 Vcc
20 mA
+
E=3000 Vcc G I G  20mA

Figura PP.5.3.2

Se pide calcular las resistencias R1 y R2 para alimentar el circuito de modo que la

entrega de potencia por la fuente sea mínima; calcule esta potencia.

44
PROBLEMA 4

Una barra de cobre de conductividad g y sección rectangular ha sido deformada como se

indica en la Figura PP.5.3.4. Los parámetros del sistema son:
 g = 5,8x107
 h1 = 1 m
 h2 = 0,2 m
 b = 0,3 m

I. Suponiendo que una corriente I constante fluye atravesando el conductor en el sentido

radial ( ̂ )se pide:

o El vector densidad de corriente J ,
o La resistencia entre las caras definidas por =h1 y =h2,
o Calcule las pérdidas joule en el conductor
II. Suponiendo que una corriente I constante fluye atravesando el conductor en el sentido
tangencial ( ˆ ) se pide:

o El vector densidad de corriente J ,
o La resistencia entre las caras definidas por =0 y =/2,
o Calcule las pérdidas joule en el conductor

h1 h2

h1 b

h2
b ̂


Figura PP.5.3.4

45