CAPITULO 6. CORRIENTE Y RESISTENCIA.

CORRIENTE Y RESISTENCIA.
6.1 Conductores en equilibrio electrosttico.
Un material conductor es aquel que permite el transporte de carga elctrica.
En general, los slidos metlicos son buenos conductores, ya que sus electrones de valencia estn poco ligados a los ncleos atmicos, lo que permite que
se muevan con facilidad a travs del slido. Este tipo de electrones poco ligados se denominan electrones libres.
Cuando a un slido conductor cargado con una cierta carga q, se le deja evolucionar la suficiente cantidad de tiempo, alcanza una situacin de equilibrio
electrosttico en la que ya no hay movimiento de cargas. En estas condiciones,
el campo elctrico en el interior del conductor es nulo (si no, habra movimiento de cargas y no estara en equilibro), como se muestra en la figura 6.1.
Si situamos una placa conductora como en la figura 6.1, en una regin del espacio en que existe un campo elctrico, los electrones de la placa se vern sometidos a una fuerza opuesta al campo externo y se acumularn en el lado izquierdo de la placa, dejando el lado derecho con un exceso de carga positiva.
Esta distribucin de carga dentro del conductor genera un campo elctrico interno de sentido opuesto al externo y de igual mdulo, de modo que en el interior del conductor el campo elctrico total es nulo. Si el campo en el interior
de un material conductor en equilibrio electrosttico es nulo, no puede haber
carga elctrica en el interior del mismo. Por lo tanto, la carga de un conductor
se acumula en su superficie.

- Eint=0
-

+
+
+
+
+
+
+
+

Eext

Figura 6.1. El campo elctrico en el interior de un conductor en equilibrio es nulo.

73
Juan inzunza

CAPITULO 6. CORRIENTE Y RESISTENCIA.

El campo elctrico externo al conductor no puede tener componente tangencial, ya que las cargas de la superficie se moveran sobre ella y ya no sera un
conductor en equilibrio; es decir, el campo externo es normal a la superficie
del conductor. Este hecho implica que la superficie del conductor es equipotencial puesto que la fuerza elctrica (paralela al campo) no realiza trabajo. El
campo en el exterior de un conductor se calcula empleando la ley de Gauss.
La densidad superficial de carga no es la misma toda la superficie del conductor (depende de la curvatura local de la superficie), por lo que la magnitud
del campo elctrico que crea tampoco ser el mismo en todos los puntos. Si se
considera un pequeo elemento de superficie dA, ste es aproximadamente
plano, como se muestra en la figura 6.2. El campo creado por este pequeo
elemento de superficie se calcula determinando el flujo a travs de la superficie cerrada representada por la tapa del cilindro en la figura 6.2.
dA
Eext
++++

Eint=0

Figura 6.2. Campo elctrico en el exterior de un conductor cargado.

El clculo es anlogo al realizado para determinar el campo creado por un

plano infinito. La nica diferencia es que ahora el flujo a travs de la base del
cilindro que se encuentra en el interior del slido es nulo (puesto que no hay
lneas de campo en el interior). Por la ley de Gauss,
q
E
dA
Tapa

EdA EA o

Tapa

E
o A
o
74
Juan inzunza

CAPITULO 6. CORRIENTE Y RESISTENCIA.

Cuanto mayor sea en una zona de la superficie del conductor, mayor ser el
mdulo del campo elctrico que crea. El campo elctrico es por tanto mayor
en un conductor con puntas (donde se acumulan las cargas) que en uno plano.

Propiedades de los conductores en equilibrio electrosttico

Las propiedades de los conductores en equilibrio electrosttico se pueden resumir en:

El campo elctrico en el interior es nulo.

La carga elctrica se distribuye sobre la superficie, concentrndose en las
zonas de menor curvatura.
La superficie del conductor es una superficie equipotencial.
El campo elctrico en la superficie est dirigido hacia afuera y es perpendicular a la superficie.

6.2 Corriente elctrica.

Desde ahora se considerarn situaciones en las cuales las cargas se encuentran
en movimiento. Cuando sobre un conductor se aplica un campo elctrico, las
cargas experimentan una fuerza y por tanto estn en movimiento. La corriente
elctrica es el flujo de estas cargas en movimiento a travs del conductor,
donde las cargas del mismo signo estn en movimiento. Para definir ms formalmente la corriente elctrica, supongamos que las cargas se mueven perpendicular a un rea A, como en la figura 6.3. La intensidad de corriente elctrica i se define como la cantidad de carga dq que atraviesa una seccin de
rea A de un conductor en cada unidad de tiempo dt, en la forma:

dq
dt

A
q

vd

Figura 6.3. Movimiento de cargas en un conductor.

75
Juan inzunza

CAPITULO 6. CORRIENTE Y RESISTENCIA.

La corriente elctrica es una magnitud fsica escalar, su unidad de medida en

el Sistema Internacional es C/s que se llama Ampere (A). La corriente es una
de las siete magnitudes fsicas fundamentales.

Ejemplo 6.1. La corriente que circula por un cable es 0.6A. Calcular la cantidad de cargas que fluyen por el cable en media hora.
Solucin. Los datos son i = 0.6 A, t = 30 min = 1800 s. Usando la definicin
de corriente, se tiene:

dq
q it 0.6 1800
dt
q 1080C
*********

Las cargas que fluyen a travs del rea A pueden ser positivas, negativas o
ambas. Pero en los conductores la carga elctrica que est en movimiento bajo
la accin del campo elctrico son los electrones libres, llamados los portadores
de carga, por lo tanto, la direccin de la corriente ser opuesta a la direccin
del flujo de electrones. Estos electrones, experimentan una fuerza dada por la
ecuacin:

F qE
El vector fuerza elctrica que acta sobre los electrones tiene sentido contrario
al del vector campo elctrico. Sin embargo, histricamente se crea que la corriente elctrica estaba producida por el movimiento de las cargas positivas, y
por ello se adopt como sentido de la corriente elctrica el contrario al que en
realidad llevan los electrones; este sentido se dibuja con una flecha, que puede
ser curva, como se muestra en la figura 6.4, aunque la corriente no es un vector. Esta convencin sigue mantenindose en nuestros das. En otros materiales no conductores, la corriente puede ser por el movimiento de protones. Y
tambin existen materiales en los cuales la corriente es el resultado del flujo
neto de cargas positivas y negativas, como en los materiales semiconductores.
76
Juan inzunza

CAPITULO 6. CORRIENTE Y RESISTENCIA.

+ E

FE

e
i

Figura 6.4. Circulacin de la corriente i en un conductor.

Los electrones (portadores de carga), tienen en la red cristalina un movimiento

aleatorio. Sin embargo, debido al campo elctrico externo, su movimiento no
es completamente aleatorio sino que se desplazan tambin en la direccin del
campo elctrico y en sentido contrario. Se puede relacionar la corriente con el
movimiento de las cargas, que pasan por una seccin A de un conductor y recorren una longitud x=vdt , como en la figura 6.5. La velocidad a la que lo
hacen se llama velocidad de desplazamiento vd. Esta velocidad de desplazamiento es muy pequea, del orden de 1 mm/s.

vdt

vd

Figura 6.5. Esquema del movimiento de cargas con velocidad vd en un conductor.

Si N es el nmero de portadores de carga q que hay en un volumen V y n es el

nmero de portadores de carga q por unidad de volumen, que circulan por el
hilo conductor, entonces la carga total Q en el volumen V = Ax que se mueven con velocidad vd viene dada por:

N
N nV nAx
V

Q Nq Q (nAx)q (nAvd t )q
77
Juan inzunza

CAPITULO 6. CORRIENTE Y RESISTENCIA.

Y la intensidad de corriente ser:

Q nqAvd t

t
t

Simplificando por t, la intensidad de corriente finalmente queda:

i nqAvd

6.3 Resistencia. Ley de Ohm.

Si las cargas estn en movimiento dentro de un conductor, se produce una corriente elctrica, y en este caso existe un campo elctrico dentro del conductor.
Para un conductor de seccin transversal A que lleva una corriente i, la magnitud del vector densidad de corriente j se define como:

i
j nqv
A

En el sistema internacional se mide en A/m2. Cuando se mantiene una diferencia de potencial en un conductor, se produce una densidad de corriente j y un
campo elctrico E, ambos vectores se relacionan proporcionalmente en la
forma:

j E
donde se llama conductividad (no confundir con la densidad superficial de
carga). Esta ecuacin se conoce como ley de Ohm, pero no es una ley universal de la Naturaleza, ya que es vlida slo para algunos materiales, la mayora
metales. La conductividad elctrica es una medida de la capacidad de un material que deja fluir la corriente elctrica, su aptitud para dejar circular libremente las cargas elctricas. La conductividad depende de la estructura atmica y
molecular del material, los metales son buenos conductores porque tienen una
estructura con muchos electrones con vnculos dbiles y esto permite su mo78
Juan inzunza

CAPITULO 6. CORRIENTE Y RESISTENCIA.

vimiento. La conductividad tambin depende de otros factores fsicos del propio material y de la temperatura.
Si en un conductor de longitud l se aplica una diferencia de potencial V, est
se relaciona con el campo elctrico E por:
V El

Al establecerse el campo elctrico en el conductor, circula una corriente i, entonces la densidad de corriente j se puede escribir en la forma:

V
i
V
l
V i
l
A
l
A

Se define la resistencia R del conductor en la forma:

l
A

Al inverso de la conductividad se le llama resistividad (no confundir con

la densidad volumtrica de carga), entonces:

l
A

De aqu se deduce que la unidad de medida de es m, y de la conductividad

es 1/m. La resistividad elctrica es una medida de la resistencia especfica
de cada material para oponerse al paso de una corriente elctrica. En la tabla
6.1 se dan valores de resistividad para algunos materiales.
De esta forma se puede reescribir la ley de Ohm como sigue:
V iR

Se observa que la unidad de medida de R en el sistema internacional es V/A

que se llama ohm, smbolo .
79
Juan inzunza

CAPITULO 6. CORRIENTE Y RESISTENCIA.

Tabla 6.1. Valores de resistividad de algunos materiales comunes.

Material
Plata
Cobre
Hierro
Platino
Mercurio
Nicromo (Ni, Fe, Cr)

(m) x 10-8
1,59
1,68
9.71
10.6
98
100

Material
Vidrio
Hule

(m)
109 - 1012
1013 - 1015

Carbn (grafito)*
Germanio*
Silicio*

(3 - 60)x10-5
(1 - 500)x10-3
0,1- 60

* Son materiales semiconductores y los valores dependen de impurezas presentes.

Ejemplo 6.2. Por un cable de 50gr de cobre de 1mm de dimetro circula una
corriente de 10A. Calcular la diferencia de potencial entre los extremos del
cable. Densidad del cobre 8600kg/m3, resistividad 1.7x10-8m. Respuesta:
62.3V.
Solucin. Los datos son m=0.05kg, r=5x10-4m, i=10A. Se puede calcular la
diferencia de potencial V con la Ley de Ohm V = iR. Antes de debe calcular la
l
resistencia R, de su definicin R , y de aqu se observa que se debe ahoA
ra calcular la longitud l del cable, pues se conocen la resistividad y el rea A.
Como se conoce la densidad del cobre, podemos obtener el largo l del cable:

m
m
m
m
m
V Al l
2
V

A r

Con los datos hacemos los clculos de l, R y V:

0.05

5 10

R 1.7 10 8

4 2

8600

7.4

5 10

4 2

l 7.4m

R 0.16

V iR V 10 0.16 1.6(V )
80
Juan inzunza

CAPITULO 6. CORRIENTE Y RESISTENCIA.

6.4 Potencia elctrica.

Las bateras se usan para establecer una corriente elctrica en un conductor.
Un circuito, que se muestra en la figura 6.6, consta de una batera V (que tambin se puede indicar con el smbolo ) y resistencias R, cuyo smbolo se ve en
la figura. El terminal positivo de la batera tiene mayor potencial que el negativo. Al pasar la corriente i por la resistencia R se pierde energa U, prdida
que est dada por la potencia P en la forma:

U q

V P iV
t
t
V

i
i

R
Figura 6.6. Circuito elctrico.

Como V = iR, se puede escribir

P i(iR) P i 2 R P

V2
R

En los circuitos a las bateras se les llama fuerza electromotriz, conocidas como fem ; no es una fuerza, sino una diferencia de potencial, tal que, en el circuito anterior V = Vb - Va = .
Ejemplo 6.3. Una ampolleta de 100 W se conecta a la red domiciliaria de 220
V. Calcular la corriente que pasa por el filamento y su resistencia.
Solucin: los datos son V=220V, P=100W

81
Juan inzunza

CAPITULO 6. CORRIENTE Y RESISTENCIA.

P iV i
V iR R

P 100

i 0.45 A
V 220
V 220

R 484
i 0.45

6.5 Fuerza electromotriz.

En un circuito cerrado se puede mantener una corriente con una batera, llamada fuerza electromotriz o fem , que se mide en el sistema internacional en
volt. Las bateras reales tienen una resistencia interna r. El voltaje V entre los
puntos a y b, en la figura 6.7, es Vb - Va, dado por
V = ir
a

V
R

Figura 6.7. Circuito elctrico.

Este voltaje V es igual a la diferencia se potencial a travs de la resistencia R

externa, esto es:
V = iR => ir = iR => = i(r + R)
o la corriente i es:
i

Rr

Ejemplo 6.4. Una batera tiene una fem de 12 V y una resistencia interna de
0.05. Se conecta a una resistencia de 3. Calcular a) la corriente en el circuito, b) la potencia disipada por la resistencia interna y externa.
82
Juan inzunza

CAPITULO 6. CORRIENTE Y RESISTENCIA.

Solucin: a)

Rr

12
i 3.93 A
3 0.05

V ir 12 (3.93)(0.05) V 11.8V
o bien

b)

V iR (3.93)(3) V 11.8V
PR i 2 R (3.93) 2 (3) PR 46.3W
Pr i 2 r (3.93) 2 (0.05) Pr 0.77W

6.6 Resistencias en serie.

Dos o ms resistencias se conectan en serie, como se muestra en la figura 6.8.
Se puede obtener una sola resistencia equivalente Req que reemplace a todas
las resistencias parciales, manteniendo el mismo efecto elctrico.
a

i
R1

R2

Figura 6.8. Combinacin de dos resistencias en serie.

En esta combinacin, la corriente i que pasa por cada resistencia R1, R2, , Rn,
es la misma, y el potencial V total es:

V V1 V2 ... Vn iR iR1 iR2 ... iRn

Simplificando por i se obtiene la resistencia equivalente de la combinacin en
serie.
Req R1 R2 ... Rn

83
Juan inzunza

CAPITULO 6. CORRIENTE Y RESISTENCIA.

6.7 Resistencias en paralelo.

Dos o ms resistencias R1, R2, , Rn, se conectan en paralelo, como en la figura 6.9, donde se muestran solo dos resistencias. En esta combinacin tambin
se puede obtener una sola resistencia equivalente Req que reemplace a todas las
resistencias parciales, manteniendo el mismo efecto en el circuito.

a
+
V-

i
i1

R1

i2

R2

b
Figura 6.9. Combinacin de dos resistencias en paralelo.

La corriente i se separa en cada unin en el circuito, en esta figura en la unin

a, en diferentes valores i1 e i2, que despus se vuelven a sumar en la unin b.
En esta combinacin la diferencia de potencial es la misma en cada resistencia, pero la corriente en cada resistencia es diferente, tal que:

i i1 i2 ... in

V V V
V

...
R R1 R2
Rn

Simplificando por V se obtiene la expresin que permite calcular la resistencia

equivalente de la combinacin en paralelo.

1
1
1
1

...
Req R1 R2
Rn

84
Juan inzunza

CAPITULO 6. CORRIENTE Y RESISTENCIA.

6.8 Reglas de Kirchhoff.

El anlisis de un circuito en serie y en paralelo, aplicando la ley de Ohm, se
simplifica usando las reglas de Kirchhoff. El conductor, comnmente llamado
cable, es un alambre de resistencia despreciable (idealmente cero) que une los
elementos para formar el circuito. Se llama malla en un circuito a cualquier
trayectoria cerrada dentro del circuito. Se llama nodo o unin en el circuito al
punto donde concurren ms de dos conductores.
Las reglas de Kirchhoff para analizar circuitos, se enuncian como se indica:
1. La suma de las corrientes que entran en una unin o nodo de un circuito,
debe ser igual a la suma de las corrientes que salen de la unin.
2. La suma de las diferencia de potencial a travs de todos los elementos en
cualquier trayectoria cerrada o malla en un circuito debe ser cero.
Al aplicar la regla 2 se deben considerar los siguientes signos para las diferencias de potencial:
-iR si se recorre la resistencia en la direccin de la corriente, +iR si se
recorre la resistencia en la direccin opuesta a la corriente.
+ o +V si la fuente se recorre del terminal negativo al positivo (direccin
de la fem), - o V si la fuente se recorre del terminal positivo al negativo.

Ejemplo 6.5. En el circuito de la figura 6.10, calcular las corrientes en cada

parte del circuito. Considere V1=14V, V2=10V, R1=4, R2=6, R3=2.
d

a
+
V1 b

R1

e
V2

i1

i2

R3

R2
f

c
Figura 6.10. Ejemplo 6.5.

85
Juan inzunza

CAPITULO 6. CORRIENTE Y RESISTENCIA.

Solucin: se pueden aplicar las reglas de Kirchhoff. Para la regla 1 en el nodo

d, se eligen las corrientes y sus direcciones como se muestran:

i i1 i2
Hay tres mallas en el circuito: abcda, cdefc, abfea. Con la regla dos de Kirchhoff, para la malla abcda:
V1 iR1 V2 i1R2 0
14 4i 10 6i1 0
24 4i 6i1 0
2i 3i1 12

Para la malla cdefc:

V2 i1R2 i2 R3 0
10 6i1 2i2 0
3i1 i2 5

Se ha formado un sistema de 3 ecuaciones:

i i1 i2
2i 3i1 12
3i1 i2 5
Reemplazando la primera en la segunda:

2(i1 i2 ) 3i1 12 5i1 2i2 12

De la tercera en la anterior:

3i1 i2 5 i2 3i1 5
5i1 2(3i1 5) 12
11i1 22 i1 2 A
i2 3i1 5 3 2 5 i2 1A
i i1 i2 2 1 i 3 A
86
Juan inzunza

CAPITULO 6. CORRIENTE Y RESISTENCIA.

PROBLEMAS.
6.1. Calcular la resistencia equivalente de la combinacin de la figura 6.11.
Respuesta: 41.1.
6.2. Para el circuito de la figura 6.12: a) Calcular la resistencia equivalente
entre los terminales A y B. b) Calcular el largo del alambre requerido para construir estas resistencias si ste es de cobre, de radio igual a 1 mm.
Considere una temperatura de 20C. Respuesta: 2.43 ; 454 m.
1
3

12
8
V

2
5

15
25

Figura 6.11

Figura 6.12

6.3. Para el circuito de la figura 6.13, calcular: a) la corriente que circula por
cada resistencia, b) la potencia disipada en cada resistencia y la potencia
entregada por la batera. Verifique que son iguales. Respuesta: Se indica
(R, i, P) en (, A, W) respectivamente, as: (2; 8/3; 128/9), (4; 8/3;
256/9), (3; 2/3; 4/3), (1; 2; 4), Pbatera = 48 W.
6.4. Para el circuito de la figura 6.14, calcular: a) la corriente en la resistencia
de 20 , b) la diferencia de potencial entre los puntos A y B. Respuesta:
0,227 A; 5,68 V.
10 25V

2
3

18V

10

Figura 6.13

20

Figura 6.14

87
Juan inzunza

CAPITULO 6. CORRIENTE Y RESISTENCIA.

6.5. Para la combinacin de resistencias de la figura 6.15, calcular: a) la resistencia equivalente entre los puntos A y B. b) Si la corriente en la resistencia de 5 es 1 A, calcular la diferencia de potencial entre los puntos
A y B. Respuesta: 31/7 ; 46,5 V.
6.6. Tres resistencias de 100 se conectan como muestra la figura 6.16. La
mxima potencia que puede ser disipada en cualquiera de las resistencias
es de 25 W. a) Cul es el mximo voltaje que puede ser aplicado en los
terminales A y B? b) Para el voltaje calculado en a) cul es la potencia
disipada en cada resistencia? Respuesta: 75 V; 12,5 W; 12,5 W; 25 W.
A

100

100

100

Figura 6.15

Figura 6.16

6.7. Para el circuito de la figura 6.17 se ha encontrado que i1= 13 (A), i2=(A)
e i3= 56 (A). Verifique estos resultados. En particular, compruebe las reglas
de Kirchhoff.
6.8. El ampermetro A de la figura 6.18 tiene una lectura i = 2A. Calcular las
corrientes i1 e i2 y el valor de . Indicacin: escriba las ecuaciones que resultan de aplicar las reglas de Kirchhoff a una unin (P por ejemplo) y a
dos trayectorias cerradas (superior e inferior, por ejemplo). A continuacin, resuelva el sistema de ecuaciones. Respuesta: 9/7 A; 5/7 A; 52/7 V.
9V
3

6V

i1

i3

i1

15V

P
i2

i2

Figura 6.17

Figura 6.18

88
Juan inzunza

CAPITULO 6. CORRIENTE Y RESISTENCIA.

6.9. El circuito de la figura 6.19 est conectado a un potencial de 33V. Los

ampermetros marcan, el 1 400mA y el 3 600mA. a) Qu valores marcan
los ampermetros 2 y 4? b) Calcular los valores de las resistencias. c)
Calcular la resistencia equivalente. Respuesta: a) 200mA y 600mA, b)
82.5 y 165, c) 55.
6.10.En el circuito de la figura 6.20, V1=25V, V2=5V, calcular los valores que
miden el: a) ampermetro, b) voltmetro. Respuesta: a) 0.25A, b) 8.5V.
A

A3
A1

A2

V1

2
10

2
A4

V2

Figura 6.19

Figura 6.20

6.11.Se desea hervir agua usando un hervidor elctrico. Se puede conectar a la

red domiciliaria 220V y tiene una resistencia de 50. Se tiene la informacin que en este hervidor slo el 85% de la energa elctrica consumida se gasta en calentar el agua. El resto se emplea en calentar el depsito
o se disipa al ambiente. a) Cunto tiempo demoran en hervir 2 litros de
agua que inicialmente estn a 20C? b) Encuentre el costo mensual que
implica calentar diariamente esta cantidad de agua para desayunar con su
familia. Suponga que 1 kW-h vale $60 (no es as, vea en una boleta de la
luz el costo real del kW-h). Respuesta: 814 s; $ 394.

89
Juan inzunza