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Precisión en el inventar io
AO EN ACCIÓN fectamente ensamblados a los almacenes del cliente en
cuestión de días.
de Milton Bradley
Los juegos con un número incorrecto de piezas provo-
Milton Bradley, una división de Hasbro, Inc., fabrica juguetes can descontento de los clientes. También lleva tiempo y es
desde hace más de 100 años. La compañía fue fundada cotoso para Milton Bradley surtir las piezas faltantes o que
por Milton Bradley en 1860 y comenzó haciendo una litogra- regresen juegos o juguetes. Si se encuentran faltantes du-
fía de Abraham Lincoln. Usando sus habilidades de impresor, rante la etapa de ensamble, la corrida completa de pro-
Bradley desarrolló juegos como el Juego de la Vida, Serpien- ducción debe detenerse hasta corregir el problema. El con-
tes y Escaleras, Tierra de Dulce, Scrabble y Lite Brite. En la teo manual o mecánico de partes no siempre es exacto. En
actualidad, la compañía produce cientos de juegos para consecuencia, ahora Milton Bradley pesa las piezas y los
los que se necesitan miles de millones de partes de plástico. juegos completos con la finalidad de determinar si contie-
Una vez que Milton Bradley determina los lotes óptimos nen el número correcto de piezas. Si el peso no es exacto,
para cada corrida de producción, debe fabricarlos y en- hay un problema que debe resolverse antes de que salga
samblarlos para que formen parte del juego adecuado. De el embarque. Gracias al uso de básculas digitales de gran
hecho, ciertos juegos requieren cientos de partes de plásti- precisión, Milton Bradley es capaz de colocar las piezas co-
co, como perinolas, hoteles, personas, animales y carros, rrectas en el juego correcto en el momento correcto. Sin es-
entre otras. De acuerdo con el director de manufactura, ta simple innovación, no tiene sentido el programa de pro-
Gary Brennan, obtener el número correcto de piezas para ducción más elaborado.
los juguetes y la línea de producción correctos es el factor
más importante para la credibilidad de la compañía. Algu- Fuentes: Wall Street Journal (15 de abril de 1999): B1; y Plastics World
nas órdenes significan el envío de más de 20,000 juegos per- (marzo de 1997): 22-26.

Tal vez quiera comparar esta solución con la respuesta del ejemplo 3. Al eliminar la suposición de entre-
ga instantánea, donde p = 8 y d = 4, el resultado es un incremento en Q*, de 200 a 283 en el ejemplo 3.
1
Dicho incremento en Q* se debe a que el costo de mantener baja de $.50 a ($.50 × 2 , haciendo que un
lote mayor sea óptimo. Asimismo observe que

D 1, 000
d = 4= =
Número de días que opera la planta 250

*
También es posible calcular Q p cuando se dispone de datos anuales. El uso de los datos anuales permi-
*
te expresar Q p como

2 DS
Q*p = (10-8)
⎛ tasa de demanda anual ⎞
H ⎜1 − ⎟
⎝ tasa de producción anual ⎠

Modelos de descuentos por cantidad

Descuento por Para aumentar sus ventas, muchas compañías ofrecen a sus clientes descuentos por cantidad. Un des-
cantidad cuento por cantidad es simplemente un precio (P) de un artículo reducido por la compra de grandes
Precio reducido de los cantidades. Los programas de descuento con varios descuentos no son raros en órdenes grandes. En la ta-
artículos que se compran bla 10.2 se presenta un programa típico de descuentos por cantidad. Como se observa en la tabla, el pre-
en grandes cantidades. cio normal del artículo es $5. Sin embargo, cuando se piden a un mismo tiempo de 1,000 a 1,999 unida-
des, el precio por unidad baja a $4.80; cuando la orden es de 2,000 o más unidades, el precio unitario es
$4.75. Como siempre, la administración debe decidir cuánto y cuándo ordenar. Sin embargo, frente a la
oportunidad de ahorrar dinero con los descuentos por cantidad, ¿cómo toma esta decisión el administra-
dor de operaciones?

TABLA 10.2 ■
NÚMERO DE CANTIDAD PARA PRECIO DE
Programa de descuentos DESCUENTO EL DESCUENTO DESCUENTO (%) DESCUENTO (P)
por cantidad
1 De 0 a 999 Sin descuento $5.00
2 De 1,000 a 1,999 4 $4.80
3 A partir de 2,000 5 $4.75
 MODELOS D E A L M AC E N E S PA R A D E M A N DA I N D E P E N D I E N T E 299
Igual que en otros modelos de inventarios analizados, la meta global es minimizar el costo total. Da-
do que el costo unitario para el tercer descuento en la tabla 10.2 es el más bajo, usted podría interesarse
en comprar 2,000 unidades o más, sólo para aprovechar el costo más bajo del producto. Sin embargo, ha-
cer una orden por esa cantidad podría no minimizar el costo total de su inventario, aun con el precio de
descuento. Con toda seguridad, cuanto más sube la cantidad de descuento más baja el costo del producto.
Pero los costos de mantener suben porque las órdenes son más grandes. Por lo tanto, en los descuentos
por cantidad el trueque más importante es entre un costo reducido del producto y un costo de mantener
más alto. Cuando se incluye el costo del producto, la ecuación para el costo total anual del inventario se
calcula como sigue:

Costo total = costo de ordenar + costo de mantener + costo del producto

o
D QH
TC = S+ + PD (10-9)
Q 2

donde Q = cantidad ordenada

D = demanda anual en unidades
S = costo de ordenar o preparar por orden o por preparación
P = precio por unidad
H = costo de mantener por unidad por año

Ahora debemos determinar la cantidad que minimizará el costo total anual del inventario. Como existen
varios descuentos, el proceso comprende cuatro pasos:
Paso 1: Para cada descuento, calcule el valor del tamaño óptimo de la orden Q*, mediante la siguiente
ecuación:

2 DS
Q* = (10-10)
IP

Observe que el costo de mantener se expresa como IP en lugar de H. Ya que el precio del ar-
tículo es un factor del costo anual de mantener, no es posible suponer un costo de mantener in-
ventario constante cuando el precio unitario cambia para cada descuento por cantidad. Por lo
tanto, es común expresar el costo de mantener (I) como porcentaje del precio unitario (P), y no
como un costo constante anual por unidad, H.
Paso 2: Para cualquier descuento, si la cantidad de la orden es muy baja para calificar para el descuen-
to, ajuste la cantidad hacia arriba hasta la menor cantidad que califica. Por ejemplo, si Q* para
el descuento 2 de la tabla 10.2 fuera de 500 unidades, se ajustaría su valor a 1,000 unidades.
Observe el segundo descuento en la tabla 10.2. Califican para 4% de descuento las órdenes
No olvide ajustar hacia que están entre 1,000 y 1,999 unidades. Entonces, si Q* es menor que 1,000, la cantidad de la
arriba la cantidad a ordenar, orden debe ajustarse a 1,000 unidades.
si ésta es demasiado baja Quizás el razonamiento del paso 2 no sea evidente. Si la cantidad de la orden, Q*, está aba-
para calificar para el jo del intervalo que califica para el descuento, tal vez alguna cantidad dentro de este intervalo
descuento. todavía dé el costo total más bajo.
Como se ilustra en la figura 10.7, la curva del costo total se descompone en tres curvas de
costo total diferentes. Hay una curva de costo total para el primer descuento (0 ≤ Q ≤ 999),
otra para el segundo (1000 ≤ Q ≤ 1999) y una más para el tercero (Q ≥ 2000). Observe la cur-
va del costo total (CT ) para el descuento 2. El valor Q* está abajo del intervalo del descuento
2, que va de 1,000 a 1,999 unidades. Como se ilustra en la figura, la cantidad menor permitida
en este intervalo, 1,000 unidades, es la que minimiza el costo total. En consecuencia, el segun-
do paso es necesario para asegurar que no se descartará una orden que podría generar el costo
mínimo. Note que podría descartarse un lote económico calculado en el paso 1 que fuera ma-
yor que el intervalo que califica para el descuento.
Paso 3: Con la ecuación del costo total anterior, calcule un costo total para cada Q* determinada en los
pasos 1 y 2. Si fue necesario ajustar Q* hacia arriba por ser menor que el intervalo de la canti-
dad aceptable, asegúrese de emplear el valor ajustado para Q*.
Paso 4: Seleccione la Q* con el costo total más bajo, según se calculó en el paso 3. Ésta será la canti-
dad que minimiza el costo total del inventario.
Veamos cómo aplicar este procedimiento con un ejemplo.
300 C A P Í T U L O 10 A D M I N I S T R AC I Ó N D E I N V E N TA R I O S

FIGURA 10.7 ■

Curva de costo total para Curva de Curva de costo total para el descuento 2
costo total
el modelo de descuentos
para el
por cantidad descuento 1

Costo total $
Curva de costo total para el descuento 3
b
Q* para el descuento 2 está abajo del intervalo
a permitido en el punto a y debe ajustarse hacia
arriba a 1,000 unidades en el punto b.

1er. corte 2o. corte

de precio de precio

0 1,000 2,000
Cantidad de la orden

Ejemplo 9 Wohl’s Discount Store tiene en inventario carritos de carreras. Recientemente le ofrecieron un programa de des-
cuentos por cantidad para estos juguetes. El programa se presenta en la tabla 10.2. El costo normal de los carritos
es de $5.00. Para órdenes entre 1,000 y 1,999 unidades, el costo unitario baja a $4.80; para 2,000 unidades o más,
el costo unitario es sólo $4.75. Además, el costo de ordenar es de $49.00 por orden, la demanda anual es de 5,000
carritos y el cargo por mantener el inventario como porcentaje del costo, I, es de 20% o 0.20. ¿Qué cantidad orde-
nada minimizará el costo total del inventario?
El primer paso consiste en calcular Q* para cada descuento de la tabla 12.2. Esto se hace como sigue:

2( 5,000)(49)
Q1* = = 700 carritos ordenados
(.2)( 5.00 )

2( 5,000)(49)
Q2* = = 714 carritos ordenados
(.2)( 4.80 )

2( 5,000)(49)
Q3* = = 718 carritos ordenados
(.2)( 4.75)

El segundo paso es ajustar hacia los valores de Q* menores que el intervalo permitido para el descuento. Q*1 está
entre 0 y 999 y no es necesario ajustarlo. Ya que Q*2 está abajo del intervalo de 1,000 a 1,999, debe ajustarse a
1,000 unidades. De igual forma, Q*3 debe ajustarse a 2,000 unidades. Después de este paso, las siguientes cantida-
des a ordenar tienen que probarse en la ecuación del costo total:

Q1* = 700
Q2* = 1,000—ajustada
Q3* = 2,000—ajustada

El tercer paso es usar la ecuación del costo total y calcular el costo total para cada cantidad a ordenar. Este paso se
desarrolla con ayuda de la tabla 10.3, que contiene los cálculos para cada nivel de descuento presentado en la ta-
bla 10.2.

TABLA 10.3 ■ Cálculos del costo total para Wohl’s discount store

PRECIO CANTIDAD COSTO COSTO COSTO

NÚMERO DE POR A ANUAL DEL ANUAL DE ANUAL DE
DESCUENTO UNIDAD ORDENAR PRODUCTO ORDENAR MANTENER TOTAL
1 $5.00 700 $25,000 $350 $350 $25,700
2 $4.80 1,000 $24,000 $245 $480 $24,725
3 $4.75 2,000 $23,750 $122.50 $950 $24,822.50
 MODELOS P RO BA B I L Í S T I C O S C O N T I E M P O D E E N T R E G A C O N S TA N T E 301

En el cuarto paso se selecciona la cantidad a ordenar con el menor costo total. Si observa la tabla 10.3, verá que
una orden de 1,000 carritos minimizará el costo total. No obstante, el costo total de una orden de 2,000 carritos es
apenas un poco mayor que el costo total de 1,000. Así, si el costo con el tercer descuento baja, por ejemplo a
$4.65, entonces esta cantidad sería la que minimice el costo total del inventario.

MODELOS PROBABILÍSTICOS CON TIEMPO DE ENTREGA

CONSTANTE
Todos los modelos de inventario analizados suponen que la demanda de un producto es constante y cier-
ta. Ahora se relajará esta suposición. Los siguientes modelos de inventario se aplican cuando la demanda
del producto no se conoce, pero sí se especifica mediante una distribución de probabilidad. Este tipo de
Modelo probabilístico modelos se denominan modelos probabilísticos.
Modelo estadístico que se Una de las principales preocupaciones de la administración es mantener un nivel de servicio adecua-
aplica cuando la do ante la demanda incierta. El nivel de servicio es el complemento de la probabilidad de faltantes. Por
demanda del producto o ejemplo, si la probabilidad de que ocurra un faltante es 0.05, entonces el nivel de servicio es 0.95. Cuan-
cualquiera otra variable se do la demanda es incierta la posibilidad de faltantes aumenta. Una de las técnicas para reducir los faltan-
desconoce, pero es posible tes consiste en mantener en inventario unidades adicionales. Como se indicó, nos referimos a éste como
especificarla por medio inventario de seguridad e implica agregar cierto número de unidades al punto de reorden, como un amor-
de una distribución de tiguador. Como recordará del análisis anterior:
probabilidad.
Punto de reorden = ROP = d × L
Nivel de servicio
Complemento de la donde d = demanda diaria
probabilidad de que L = tiempo de entrega de la orden o número de días hábiles necesarios para
ocurran faltantes. la entrega

Incluir un inventario de seguridad (is) cambia la expresión

ROP = d × L + is (10-11)

La cantidad de inventario de seguridad depende del costo de incurrir en faltantes y costo de mantener el
inventario adicional. El costo anual por faltantes se calcula como sigue:

Costo anual por faltantes = suma de las unidades faltantes

la probabilidad
el costo de faltantes/unidad
el número de órdenes por año (10-12)

En el ejemplo 10 se ilustra este concepto.

Ejemplo 10
David Rivera Optical determinó que 50 unidades (d × L) es el punto de reorden para los armazones de lentes. Su
costo de mantener por armazón por año es de $5, y el de faltantes (o la pérdida de una venta es de $40 por arma-
zón. Durante el periodo de reorden, la tienda ha experimentado la siguiente distribución de probabilidad para la
demanda del inventario. El número óptimo de órdenes por año es seis.

Número de unidades Probabilidad

30 .2
40 .2
ROP → 50 .3
60 .2
70 .1
1.0

¿Cuánto inventario de seguridad debe mantener David Rivera?

Solución
La meta es encontrar el inventario de seguridad que minimiza la suma de los costos de mantener el inventario adi-
cional y los costos por faltantes. El costo anual de mantener es simplemente el costo de mantener una unidad mul-
tiplicado por las unidades añadidas al ROP. Por ejemplo, un inventario de seguridad de 20 armazones, —es decir, el
nuevo ROP con inventario de seguridad, es 70 (= 50 + 20)— eleva el costo anual de manejo en $5(20) = $100.