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    Ayudant Ia 06: Funci On Inversa - Exponencial - Logaritmo

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    Este documento presenta cuatro problemas relacionados con funciones inversas, exponenciales y logarítmicas. El primer problema involucra determinar la función inversa de f(x) = (x - 1)^2 + 1. El segundo problema involucra determinar el dominio, recorrido y ceros de la función f(x) = 2 - ln(5 - 2x), y encontrar su función inversa. El tercer problema modela el crecimiento poblacional de aves usando una función logística. El cuarto problema modela el crecimiento exponencial de bacterias y

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    Este documento presenta cuatro problemas relacionados con funciones inversas, exponenciales y logarítmicas. El primer problema involucra determinar la función inversa de f(x) = (x - 1)^2 + 1. El segundo problema involucra determinar el dominio, recorrido y ceros de la función f(x) = 2 - ln(5 - 2x), y encontrar su función inversa. El tercer problema modela el crecimiento poblacional de aves usando una función logística. El cuarto problema modela el crecimiento exponencial de bacterias y

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    06 (2)

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    Universidad de Santiago de Chile

    Facultad de Ciencia
    Departamento de Matemática y C.C.
    Coordinación Cálculo I
    Coordinador: Mauricio Bravo V.

    Ayudantı́a 06
    Función inversa - exponencial - logaritmo

    1. Considere f :] − ∞, 1] → [1, +∞[ definida como

    f (x) = (x − 1)2 + 1.

    Determine f −1 indicando su dominio y recorrido.

    2. Considere la función
    f (x) = 2 − ln(5 − 2x)
    Determine:

    a) Dom(f ) y Rec(f ).
    b) Encuentre los ceros de la función.
    c) Demuestre que f es biyectiva y encuentre f −1

    3. La población de cierta especie de ave está limitada por el tipo de hábitat requerido para anidar. La
    cantidad de aves se comporta de acuerdo con el modelo de crecimiento logı́stico
    5600
    n(t) =
    0, 5 + 27, 5e−0,0455t
    donde t está dado en semanas.

    a) Encuentre la población inicial de aves.


    b) Determine la cantidad de aves a las 10 semanas.
    c) Determine el momento en que la población será de 380 aves.

    4. La cantidad, en el instante t, de una población que experimenta un crecimiento exponencial, está


    dada por el modelo
    n(t) = n0 ert ,
    donde n0 es la población inical, y r es una constante.
    Suponga que un cultivo de bacterias, comienza inicialmente con 10.000 y el número se duplica cada
    40 minutos (crecimiento exponencial).

    a) Encuentre la función que modela el número de bacterias en el tiempo t


    b) Encuentre el número de bacterias después de una hora
    c) ¿Después de cuánto tiempo el cultivo tendrá 50.000 bacterias?
    Ayudantı́a Inversa, exponencial, logaritmo

    Soluciones
    √
    1. f −1 : [1, +∞[→] − ∞, 1]. f −1 (x) = 1 − x−1

    2. a) Dom(f ) =] − ∞, 5/2[. Rec(f ) = R


    5 − e2
    b) x =
    2
    5 − e2−x
    c) f −1 (x) =
    2
    3. a) 200 aves
    b) 312 aves
    c) A las 14,47 semanas.
    ln(2)t
    4. a) n(t) = 10.000e 40

    3 ln(2)
    b) n(60) = 10.000e 2 ≈ 28.284
    40 ln(5)
    c) A los t = ≈ 92, 87 minutos
    ln(2)

    Coordinación de Cálculo I

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