Taller 5 - 2022 - Derivadas

Universidad de Santiago de Chile
Matemáticas I
Taller 5
Facultad de Quı́mica y Biologı́a
Coordinación
1. Determine la primera derivada de las siguientes funciones
1 3 √
a) F (y) = ( 2 − 4 )(y + 5y 3 ) f ) f (x) = x sen x
y y
b) f (z) = (1 − e )(z + ez )
z g) h(t) = (t + 1)2/3 (2t2 − 1)3
x3 x2 + 1 3
c) y(x) = h) y(x) = ( )
1 − x2 x2 − 1
x+1 r
s2 + 1
d ) y(x) = 3 i ) f (s) =
x +x−2 s2 + 4
t2 + 2 √
e) y(t) = 4 j ) y(x) = 1 + 2e3x
t − 3t2 + 1
2. En cada caso hallar la segunda derivada de la función dada.
a) f (x) = xe5x d ) y(x) = x2 ln(2x)
b) f (x) = cos2 (3x + 1) ln x
e) y(x) = 2
ex − 3 x
√
c) f (x) = f ) y(x) = ln(x + 1 + x2 )
e2x − 4
3. Verifique que :
d d
(csc x) = − csc x cot x (cot x) = − csc2 x
dx dx
d
(sec x) = sec x tg x
dx
sin(x)
4. Verificar si la función y = , es solución de la ecuación diferencial;
x
xy 00 (x) + 2y 0 (x) + xy(x) = 0
5. Halle una ecuación de la recta tangente a la gráfica de y = g(x) en x = 5 si

g(5) = −3 y g 0 (5) = 4
6. Si la ecuación de la recta tangente a la curva y = f (x) en el punto donde x = 2
es y = 4x − 5, encuentre f (2) y f 0 (2)
7. Si la recta tangente a y = f (x) en (4, 3) pasa a través del punto (0, 2), halle f (4)
y f 0 (4)
8. Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva y = 9 − 2x2 en el punto
(2, 1).
1
Puntos crı́ticos
Determine los valores crı́ticos en cada una de las siguientes funciones:
q
1. 3 (x + 1)4 .
x3 + 1
2. f (x) = .
x2
3. f (x) = 5 + 6x − 2x3 .
r
4. f (r) = .
r2 +1
z+1
5. f (z) = .
z2 +z+1
Análisis del gráfico de una función

Determine: Dominio, intercepto con el eje x ( si es posible), puntos crı́ticos, puntos
máximos (mı́nimos), crecimiento (decrecimiento), puntos de inflexión, concavidad hacia
arriba(hacia abajo), gráfico de la función.
1. f (x) = 5x2 + 4x 6. f (x) = x4 − 3x3 + 3x2 − x
2. f (x) = 5 + 6x − 2x3 7. f (x) = x3 − 12x + 1
3. f (x) = 3x2 − 12x + 5 8. f (x) = 5 − 3x2 + x3
9. f (x) = x6 + 192x + 17
4. f (x) = 2x3 + 3x2 + 4
1
5. f (x) = x4 − 4x2 + 2 10. f (x) =
1+x
Interprete y resuelva los siguientes problemas de aplicación:

1. Por prevención se desea cercar un terreno donde uno de sus lados colinda con un
rı́o, este lado no se piensa cercar. Se dispone de 1200 metros lineales de cerca.
¿Cómo deben ser las dimensiones del terreno a fin de maximizar el área a cercar.
2. De entre todos los triángulos rectángulos cuyos catetos tienen longitudes que
suman 10 cm, halla las dimensiones de aquel cuya área es máxima.
3. Una superficie tiene forma de triángulo rectángulo. Si la hipotenusa debe medir

6 m, calcula sus dimensiones para que la superficie sea máxima.
2
4. Una fábrica que elabora un producto tiene una capacidad de producción de 3.000
unidades al mes. La función de utilidad por producir y vender q unidades men-
suales está dada por
q3
U (q) = −100,000 + 60,000q + 985q 2 −
3
Encuentre el nivel de producción que maximiza la utilidad mensual.
5. La población de cierta especie esta dada por por la función:

100t
P (t) = a + t
e2
t ≥ 0 donde P (t) es el numero de individuos de la población(medida en miles), t

el tiempo medido en meses y a una constante positiva.
a) Calcular a sabiendo que inicialmente la población contaba de 300
individuos.
b) ¿ En que momento se puede predecir que alcanzará la población
su máximo?
¿Cuánto es el valor de dicho máximo?
c) ¿ A qué tiende la población a largo plazo?
6. Un apicultor estima que t meses después de establecida una colmena, la cantidad

de abejas que tendrá estará dada por.
1000
Q(t) =
1 + 9e−t
a) Determine la población inicial de abejas.
b) ¿Cuántas abejas habrán al cabo de 3 meses?
c) ¿A qué tasa se reproducen las abejas luego de 3 meses?
d ) ¿Cuándo las abejas se reproducen con mayor rapidez?
e) Determine la capacidad máxima de la colmena.
7. El número de personas ingresadas en un hospital por una infección después de t

semanas viene dado por la función:
350t
n(t) =
2t2 − 3t + 8
Siendo t > 0. Halle el máximo de personas ingresadas y la semana en que ocurre.

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5. Halle una ecuación de la recta tangente a la gráfica de y = g(x) en x = 5 si

Análisis del gráfico de una función

1. f (x) = 5x2 + 4x 6. f (x) = x4 − 3x3 + 3x2 − x

2. f (x) = 5 + 6x − 2x3 7. f (x) = x3 − 12x + 1

3. f (x) = 3x2 − 12x + 5 8. f (x) = 5 − 3x2 + x3

Interprete y resuelva los siguientes problemas de aplicación:

3. Una superficie tiene forma de triángulo rectángulo. Si la hipotenusa debe medir

5. La población de cierta especie esta dada por por la función:

t ≥ 0 donde P (t) es el numero de individuos de la población(medida en miles), t

6. Un apicultor estima que t meses después de establecida una colmena, la cantidad

7. El número de personas ingresadas en un hospital por una infección después de t

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