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    Taller 1

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    Juan Pablo Pineda Ortiz
    Este documento presenta una serie de ejercicios relacionados con series de Fourier y transformadas de Fourier. Se piden calcular series de Fourier para diferentes funciones, determinar a qué valores convergen dichas series, y aplicar conceptos como convolución y transformadas inversas.

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    Taller 1

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    Taller #1 Matemáticas especiales

    1. Encuentre la serie de Fourier de cada función.

    a) f (x) = 4, −3 ≤ x ≤ 3 e) f (x) = sen(2x), −π ≤ x ≤ π


    b) f (x) = −x, −1 ≤ x ≤ 1 (
    c) f (x) = 1 − |x|, −2 ≤ x ≤ 2 −x, −5 ≤ x < 0
    f ) f (x) =
    d) f (x) = x2 − x + 3, −2 ≤ x ≤ 2 2
    1+x , 0≤x≤5

    2. Use el teorema de convergencia para determinar la suma de la serie de Fourier en el


    intervalo dado. Encuentre la serie de Fourier.
    ( (
    2x − 2, −π ≤ x < 1 cos x, −2 ≤ x < 0
    a) f (x) = c) f (x) =
    3, 1≤x≤π sen x, 0 ≤ x ≤ 2

    ( 2x, −3 ≤ x < −2

    x2 , −π ≤ x ≤ 0 d ) f (x) = 0, −2 ≤ x ≤ 1
    b) f (x) =  2
    2, 0 < x ≤ π 
    x , 1<x≤3

    x2
    e) Sea f (x) = para x ∈ [−π, π]. Encuentre la serie de Fourier de f y evalúela en un
    2 ∞
    X 1
    punto adecuado para encontrar la suma de la serie
    n=1
    n2

    3. Halle la serie de Fourier de los cosenos y de los senos para cada función.
    (
    a) f (x) = 3, 0 ≤ x ≤ 5. x, 0≤x≤2
    d ) f (x) =
    2
    b) f (x) = x , 0 ≤ x ≤ 2. 2 − x, 2 < x ≤ 3
    c) f (x) = e−x , 0 ≤ x ≤ 1. e) f (x) = 1 − x3 , 0 ≤ x ≤ 2.

    f ) Muestre que toda función f (x) para x ∈ [−p, p] se puede escribir como la suma de
    una función par y una función impar.

    4. Sea f (x) = |x| para x ∈ [−1, 1].

    a) Escriba la serie de Fourier de f .


    b) Pruebe que esta serie puede diferenciarse término a término y halle la serie de Fourier
    de f 0 .
    c) Dtermine f 0 y halle su serie de Fourier en [−1, 1] y compare con b)
    (
    0, −π ≤ x ≤ 0
    5. Sea f (x) =
    x, 0 < x ≤ π

    a) Esciba la serie de Fourier y pruebe que converge a f (x) en (−π, π).


    b) Pruebe que esta serie se puede integrar término a término.
    c) Use los dos resultados anteriores para obtener un desarrollo en series trigonométricas
    para la integral definida de f .

    6. Sean f, g funciones con periodo p. Muestre que k1 f + k2 g tiene también periodo p, para
    constantes k1 , k2 .

    7. Si f es una función con periodo p, muestre que g(t) = f (kt) tiene periodo p/k, con k 6= 0.

    8. Si f es una función diferenciable con periodo p, muestre que f 0 también tiene periodo p.

    9. Para cada uno de los siguientes problemas,


     encuentre la forma del ángulo fase de la serie
    1,
     0≤x<1
    de Fourier de la función f (x) = 0, 1≤x<2

    f (x + 2), x ∈ R

    10. Halle la serie de Fourier compleja de cada función y determine a qué valores converge.

    a) f tiene periodo 2 y f (x) = x2 para 0 ≤ x < 2.


    (
    0, 0 ≤ x < 1
    b) f tiene periodo 4 y f (x) =
    1, 1 ≤ x < 4
    (
    −1, 0 ≤ x < 2
    c) f tiene periodo 4 y f (x) =
    2, 2≤x<4
    d ) f tiene periodo 5 y f (x) = e−x para 0x < 5

    11. En cada ejercicio, desarrolle la función como una integral de Fourier y determine a qué
    valores converge.
     

     −1, −π ≤ x ≤ 0 sen x, −4 ≤ x ≤ 0

    a) f (x) = 1, 0<x≤π b) f (x) = cos x, 0 < x ≤ 4
     
    0, |x| > π 0, |x| > 4
     

    12. Halle la integral de Fourier de senos y de cosenos para cada función.

    a) f (x) = e−kx para x ≥ 0 y k constante positiva, son llamadas las integrales de Laplace.
    (
    x2 , 0 ≤ x ≤ 10
    b) f (x) =
    0, x > 10

    13. Encuentre la transformada de Fourier de cada función y luego la integral de Fourier


    compleja.
    1 c) f (t) = H(t)e−at , donde H(t) es la función
    a) f (t) =
    1 + t2 de Heaviside o la función escalón unita-
    b) f (t) = 3e−4|t+2| rio.

    2
    14. Encuentre la transformada de Fourier inversa de cada función.

    e−5iω e(2ω−6)i
    a) c)
    3 + iω 5 − (3 − ω)i
    1
    b)
    4 + i(ω − 3)

    15. Encuentre la transformada de Fourier.

    a) t2 e−3|t| t
    c)
    d 9 + t2
    b) [H(t)e−3t ]
    dt
    16. Use la convolución para encontrar la transformada inversa de Fourier
    1 1
    a) b)
    (1 + iω)2 (1 + iw)(2 + iw)

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