1

COMPORTAMIENTO DE Pn (z) en ∞

Todo polinomio Pn (z) = a0 + a1 z + · · · + an z n , n ≥ 1, an 6= 0 satisface lim Pn (z) = ∞. Lo

z→∞
anterior es muy claro geométricamente a través de la proyección estereográfica. De cualquier
forma lo probaremos de forma inductiva sobre el grado del poliniomio:

Para n = 1, P1 (z) = a1 z claramente, si |z| → ∞, |a1 z| → ∞.

Si P1 (z) = a0 + a1 z, como el módulo de P1 (z) viene dado por la diagonal del paralelogramo de
lados a0 & a1 z, si z → ∞, |a0 + a1 z| → ∞.

Supongamos ahora que es cierto para n = k. Entonces si tenemos un polinomio de grado k + 1

de la forma

Pk+1 (z) = a1 z1 + · · · + ak z k + ak+1 z k+1 = z(a1 + · · · + ak z k−1 + ak+1 z k ),

ası́
|Pk+1 (z)| = |z||a1 + · · · + ak z k−1 + ak+1 z k |,
luego si z → ∞ por la hipótesis inductiva |Pk+1 (z)| → ∞.

Cuando Pk+1 (z) = a0 + a1 z + · · · + ak+1 z k+1 , procedemos como en el casi n = 1

EL MAPEO (z − a)n

Consideremos el mapeo w = (z − a)n = f (z), esta función es polinomial y cada w tiene

n-imágenes inversas distintas con excepción de 0 e ∞. Para encontrar esas imágenes inversas
de 0 6= w 6= ∞, resolveremos la ecuación

√ p
n
 Arg w Arg w 
z =a+ n
w = a + |w| cos + i sin ,
n n
cuyas soluciones,
p sabemos nos dan los vértices de un polı́gono regular de n- lados con centro
n
en a y radio |w|.

Si w = f (z) = (z − a)n , f 0 (z) = n(z − a)n−1 6= 0 es conforme con toda z excepto z = a.

Consideremos las coordenadas trigonométricas de w = f (z)

|w| = |z − a|n , Arg w = nArg(z − a).

2

Lo anterior implica que todo cı́rculo con centro en ”a” y radio r es enviado a un cı́rculo con
centro en w0 = 0 y radio rn .

Además conforme z recorre el cı́rculo |z − a| = r en la dirección positiva de manera que

Arg(z − a) incrementa en 2π, la imagen w recorre el cı́rculo |w| = rn , n-veces. Asimismo,
conforme el punto z, barre el rayo {Arg(z − a) = ϕ0 + 2kπ}k∈N de a hacia ∞.

El punto imagen barre el rayo {Arg w = nϕ0 + 2mπ}m∈Z de 0 a ∞.

Cuáles son las regiones de inyectividad de w = (z − a)n ?

Consideremos w = f (z) = 0, e imaginemos el plano fibrado por cı́rculos concéntricos en a.
2π
Por lo anteriormente mencionado cuando hayamos recorrido |z − a| = r un ángulo , la im-
n
n
agen le habrá dado una vuelta completa al cı́rculo |w| = r , es decir, la velocidad de recorrido
angular de multiplicador n.

Luego si consideramos dominios dados por sectores angulares

2π
{ϕ0 + 2kπ < Arg(z − a) < ϕ1 + 2kπ} con 0 < ϕ1 − ϕ0 <
n

2π
ϕ1 − ϕ0 ≤
n
a

Como las imágenes inversas de todo punto w describen los vértices de un polı́gono regular in-
2π
scrito en un cı́rculo. Dos imágenes inversas estarán en un mismo sector angular si, = ϕ1 −ϕ0
n
n
, ası́ la función w = f (z) = (z − a) es un mapeo conforme y 1 − 1 del interior de un sector
2π
angular 0 < ϕ1 − ϕ0 < . Mapeando todo cı́rculo centrado en ”a” en cı́rculos centrados en
n
w = 0 y rayos que emanan de ”a” en rayos que emanan de w = 0.

De lo anterior no podemos inferir que f (z) = (z − a)n manda rectas en rectas y cı́rculos en
cı́rculos. Por ejemplo, consideramos a = 0, n = 2, es decir, f (z) = z 2 y tomamos lı́neas parale-
las a los ejes coordenados:
Consideremos {z = b + it}, −∞ < t < ∞, b 6= 0 luego w = (b + it)2 = (b2 − t‘2) + i2bt, ası́
 3

u = b2 − t2 , v = 2bt.

Si eliminamos el parámetro t, obtenemos

v2
t2 = , t2 = b2 − u,
4b2
igualando llegamos a
v 2 = 4b2 (b2 − u).
Que es la ecuación de una parábola abriendo a la izquierda en los ejes (u, v). Similarmente toda
recta paralela al eje real (excepto el eje real) tiene ecuación de la forma

{z = t + ic}, −∞ < t < ∞, c 6= 0.

De la misma forma llegamos a que

(t + ic)2 = (t2 − c2 ) + 2itc,

entonces
u = t2 − c2 , v = 2tc,
eliminando t, en la misma forma llegamos a la ecuación v 2 = 4c2 (c2 + u) que es una parábola
que abre a la derecha en el plano (u, v).

Como la familia de rectas {z = b + it} & {z = t + ic} son ortogonales y f 0 (z) = 2z 6= 0 si z 6= 0,

tenemos que la familia de parábolas {v 2 = 4c2 (c2 + u)} debe resultar ortogonal a la familia de
parábolas
{v 2 = 4b2 (b2 − u)},

Es decir, en la nisma forma en que siguieron siendo ortogonales las imágenes de los cı́rculos
{|z − a = r} y {Arg(z − a) = ϕ0 + 2kπ}. en el análisis anterior

√
n
Mapeo w = z
√
Como vimos la inversa de w = f (z) = (z − a)n serı́a z = n w. Como en general el
√ plano Z lo
n
tomamos como dominio y el contradominio como el plano W , estudiaremos w = z:
√
Recordemos entonces que w = n z tiene n-valores distintos, ası́
√ no se puede considerar una
n
función (univaluada). Para hablar entonces de la función w = z resulta necesario considerar
4

el análisis que hicimos sobre las regiones de inyectividad de la función f (z) = (z − a)n . Ası́ los
conjuntos de inyectividad de (z − a)n = w eran conjuntos angulares limitados por rayos
2π
ϕ0 + 2kπ < Arg(z − a) ≤ ϕ1 + 2kπ con 0 < ϕ1 − ϕ0 ≤ .
n
Como la imagen de cada rayo es otro rayo y queremos trabajar en dominios consideramos

ϕ0 + 2kπ < Arg(z − a) < ϕ1 + 2kπ,

y los dominios máximos se obtendrán cuando

2π
ϕ1 − ϕ0 = .
n

Como la imagen de cada rayo bajo w = (z − a)n multiplica su ángulo por n, tendremos que
ambos rayos tendrán la misma imagen, que será un rayo que parte de w = 0, mientras que la
imagen del sector angular será el plano menos un rayo.

π
G2 2k
+
ϕ1
=
a)
− π
g (z 2m
Ar
Z W =
nϕ
0
+

G1 gw
Ar
2π
a
n
Arg
(z −
a)
=ϕ
1 +2
kπ
Gn

2π
De manera que vamos a tener n sectores angulares de ángulo interior . De ahı́ para definir
n
la inversa como función tendremos n formas distintas que las llamaremos las n ramas de raı́z
 5

n-ésima.

Si hablamos de la k-ésima rama, 1 ≤ k ≤ n simplemente tendremos que escoger el sector

k-ésimo en que se dibujó a partir de a donde deseamos que esté el rango de la función.

Obsérvemos que al recorrer el plano menos un rayo con la raı́z k-ésima barremos todo el sector
k-ésimo y al dar otra vuelta alrededor de w = 0 en la imagen inversa, pasaremos del sector
k-ésimo al sector k + 1, si lo hacemos en sentido contrario de las manecillas del reloj.

Considerando
√
n
w= z
 Arg z Arg z 
= |z|1/n cos + i sin
n n
1/n
 arg z + 2kπ arg z + 2kπ 
= |z| cos + i sin , k = 0, 1, · · · , n − 1.
n n
Ası́mismo, el quitar un rayo al plano nos permite que cada rama sea una función no solo
continua sino además diferenciable, la cual por la regla de derivación de la inversa
√

d nz k 1 1
= n−1
= √
n−1 .
dz nw n nz k