Ejercicio 125

Ejercicio 125
Marı́a Jesús DE LA PUENTE

Departamento de Álgebra
Facultad de Matemáticas
Universidad Complutense
28040 Madrid, Spain
mpuente@ucm.es
Sea el endomorfismo f : R3 → R3 cuya matriz es

 √ √ 
0√ −1/√ 3 2/√6
M =  1/√2 1/ √3 1/ √6  .
1/ 2 −1/ 3 −1/ 6
a) Comprobar que f es una isometrı́a, y determinar si f conserva la orientación (i.e.,

detf = 1) o la invierte (i.e., detf = −1). √ √ √ √ √
b) Comprobar que f (w) = −w, donde w = ( 3 − 2, 1 + 2 − 6, 1 − 2)t .
c) Demostrar que f es composición de una rotación y una simetrı́a respecto del plano
ortogonal al eje de la rotación; hallar la simetrı́a y la rotación.
Solución basada en el ejercicio 29 de NUEVOS EJERCICIOS 29: Escribamos
 
0 −p 2
1 
M= q p 1 , (1)
pq
q −p −1
√ √
donde p = 2 y q = 3.
a) Como det f = det M = −1, sabemos que f invierte la orientación. Se trata bien de
una simetrı́a respecto de un plano o de una roto–simetrı́a (i.e, rotación alrededor de un eje E
compuesta con simetrı́a respecto del plano E ⊥ ). La traza
p−1 q pq
trM = = −
pq 3 6
no es 1, luego M no representa
 una simetrı́a
 respecto de un plano (pues la matriz de f res-
1 0 0
pecto de otra base serı́a  0 1 0 , de traza 1). Ası́ pues, M representa una ROTO–
0 0 −1
SIMETRÍA. Sean E el eje de rotación y α ∈ [0, 2π) la amplitud del giro, en sentido positivo.
1
M.J. de la Puente Problema 125
b) El vector w = (q − p, 1 + p − pq, 1 − p)t satisface √

M w = −w, i.e., w es autovector
de M asociado al autovalor −1. La norma de w vale n = 17 − 4q − 4pq, luego un vector
unitario que genere E es u = (a, b, c)t = w/n, con
−p + q 1 + p − pq 1−p
a= , b= , c= .
n n n
 
−1 0 0
c) Como la traza de f es invariante, y la matriz de f respecto de otra base es  0 cos α − sen α ,
0 sen α cos α
sabemos que
q pq
−1 + 2 cos α = trM = − ,
3 6
de donde
1 q pq p pqr
cos α = + − , sen α = ± 1 − cos2 α = ± ,
2 6 12 12
√
con r = 15 + 2p − 4q + 2pq. Sustituimos estos valores en la expresión
SR = RS = S + (sen α)B + (cos α − 1)(I − A) (2)
del ejercicio 29 de NUEVOS EJERCICIOS 29, donde

 2   
a ab ac 0 −c b
A =  ab b2 bc  , B =  c 0 −a  , S = I − 2A
ac bc c2 −b a 0
obteniendo
M = SR
cuando el signo del seno es NEGATIVO, i.e., sen α = −pqr/12. Conocidos sen α y cos α,
deducimos que α ' 306◦ .
Habitualmente, los libros de texto usan otros procedimientos para calcular α. Hallan la
amplitud
1 q pq
α = arc cos + − ,
2 6 12
que tiene DOS soluciones, α1 , α2 ∈ [0, 2π), con α1 < α2 = 2π − α1 . En este caso, α1 '
54◦ . Luego se determina, mediante algún argumento geométrico, si α = α1 ó α = α2 . En
cambio, nuestro razonamiento ha tenido lugar en la extensión algebraica Q(p, q, n, r) del
cuerpo Q(p, q). Lo importante del cuerpo Q(p, q) es que sus elementos se expresan, de modo
único, como a1 + a2 p + a3 q + a4 pq, con aj ∈ Q (ver más abajo).
En nuestro caso tenemos cos α ' 0,169101, sen α ' −0,811356 y α = α2 .
OBSERVACIÓN: Determinante y traza son valores invariantes de f , pero NO caracteri-
zan la isometrı́a, pues queda por determinar el signo de sen α (o equivalentemente, determinar
si α = α1 ó α = α2 ).
2
M.J. de la Puente Problema 125
Por definición, los elementos de Q(p, q) son las expresiones racionales en p y q con
coeficientes en Q. Por ejemplo: 7/2 + 3q + 8p2 + pq 6 ó
2p + 4q 3
.
7/2 + 3q + 8p2 + pq 6
Ahora bien, toda expresión polinomial en p y q con coeficientes racionales se puede escribir,
de modo único, de la forma a1 + a2 p + a3 q + a4 pq, con aj ∈ Q (para ello, basta con sustituir
p2 por 2 y q 3 por 3). A continuación, observemos que el inverso de a1 + a2 p + a3 q + a4 pq se
expresa, de modo único, de la forma b1 + b2 p + b3 q + b4 pq, con bj ∈ Q (para ello, primero
multiplicamos numerador y denominador por el conjugado b1 − b2 p − b3 q + b4 pq, obteniendo
una fracción equivalente cuyo denominador es de la forma c1 + c2 pq. Después multiplicamos
numerador y denominador por el conjugado c1 − c2 pq, obteniendo una fracción equivalente
con denominador racional.) En resumen, los elementos de Q(p, q) son las expresiones de la
forma a1 + a2 p + a3 q + a4 pq, con aj ∈ Q. (Obs: cuerpos como Q(p, q) se estudian en la
asignatura Estructuras Algebraicas.)
Otra forma de resolver el problema. Como antes, calculamos det M y trM , obteniendo
que f es una roto–simetrı́a de amplitud α ' 54◦ ó α ' 306◦ . El plano E ⊥ queda invariante
por f . Calculamos una base {v2 , v3 } de E ⊥ (no necesariamente ortogonal) tal que la base
B = {u, v2 , v3 } esté positivamente orientada (i.e., det(u, v2 , v3 ) > 0). Tenemos
E ⊥ : (q − p)x + (1 + p − pq)y + (1 − p)z = 0
y
v2 = (−2 + 2p + q − pq, 1, 0)t , v3 = (p + q, 0, 1 + p)t ,
por ejemplo. A continuación expresamos
M v3 = λv2 + µv3
y nos fijamos en los signos de λ y µ ∈ R. En nuestro caso, λ = 4+p+pq
pq > 0yµ = 2−p+pq
pq(1+p) >
◦
0. Si fuese α ' 54 , la matriz de f respecto de cierta base ortonormal serı́a
 
−1 0 0
 0 cos 54◦ − sen 54◦ 
0 sen 54◦ cos 54◦
cuyos signos son  
− 0 0
 0 + − 
0 + +
mientras que para α ' 306◦ , tendrı́amos
   
−1 0 0 − 0 0
 0 cos 306◦ − sen 306◦ ,  0 + + .
0 sen 306◦ cos 306◦ 0 − +
Los signos de λ y µ coinciden con los de la última columna del SEGUNDO CASO. Luego
α ' 306◦ .

Ejercicio 125

Cargado por

Copyright:

Formatos disponibles

Ejercicio 125

Cargado por

Información del documento

Descripción original:

Título original

Derechos de autor

Formatos disponibles

Compartir este documento

Compartir o incrustar documentos

Opciones para compartir

¿Le pareció útil este documento?

¿Este contenido es inapropiado?

Copyright:

Formatos disponibles

Ejercicio 125

Cargado por

Copyright:

Formatos disponibles

Ejercicio 125

Marı́a Jesús DE LA PUENTE

Sea el endomorfismo f : R3 → R3 cuya matriz es

a) Comprobar que f es una isometrı́a, y determinar si f conserva la orientación (i.e.,

b) El vector w = (q − p, 1 + p − pq, 1 − p)t satisface √

SR = RS = S + (sen α)B + (cos α − 1)(I − A) (2)

del ejercicio 29 de NUEVOS EJERCICIOS 29, donde

También podría gustarte