UNIVERSIDADE LÚRIO

Faculdade de Engenharia
Campus Universitário – Bairro Eduardo Mondlane, C.P. 958
Cabo Delgado – Moçambique

CADEIRA: CAL I I Semestre, 1o Ano - 2024

Docente Piliquito Curso: LEM/LEI

1. Achar as seguintes integrais:

(𝑥 2 + 1)(𝑥 2 − 2)
𝑎) ∫(6𝑥 3 − 𝑥 2 + 5𝑥 − 2)𝑑𝑥 𝑏) ∫ 𝑥(𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 𝑐) ∫ 3 𝑑𝑥
√𝑥 2

𝑑𝑥 3𝑑𝑥 5 3 𝑑𝑥 √2 + 𝑥 2 − √2 − 𝑥 2
𝑑) ∫ 2
𝑒) ∫ 𝑓) ∫ 2
𝑑𝑥 𝑔) ∫ ℎ) ∫ 𝑑𝑥
𝑥 − 10 √8 − 𝑥 2 𝑥 +7 5 √4 + 𝑥 2 √4 − 𝑥 2

2. Aplicando o método de substituição, resolva:

2𝑑𝑥 1 − 3𝑥 2𝑥 + 3 𝑥 2 + 5𝑥 + 7
𝑎) ∫ 𝑏) ∫ 𝑑𝑥 𝑐) ∫ 𝑑𝑥 𝑑) ∫ 𝑑𝑥
2−𝑥 3 + 2𝑥 2𝑥 + 1 𝑥+3
𝑥
√𝑥 + 𝑙𝑛𝑥 𝑥+3 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝑎 𝑥 − 𝑏 𝑥 )
2 𝑥2
𝑒) ∫ 𝑑𝑥 𝑓) ∫ 𝑑𝑥 ℎ) ∫ 𝑑𝑥 𝑖) ∫ 𝑥. 7 𝑑𝑥 𝑗) ∫ 𝑑𝑥
𝑥 √𝑥 2 − 4 𝑥2 + 4 𝑎𝑥 𝑏 𝑥

𝑠𝑒𝑛3𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑘) ∫ 𝑥𝑠𝑒𝑛(1 − 𝑥 2 ) 𝑑𝑥 𝑙) ∫ 𝑑𝑥 𝑚) ∫ 𝑑𝑥 𝑛) ∫ 𝑑𝑥
3 + 𝑐𝑜𝑠3𝑥 (𝑠𝑒𝑛2𝑥)5 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥

3. Aplicando as substituições trigonométricas, calcule:

𝑥2 √𝑥 2 + 1 √𝑥 2 − 𝑎2
𝑎) ∫ 𝑑𝑥 𝑏) ∫ 𝑑𝑥 𝑐) ∫ √1 − 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑) ∫ 𝑑𝑥
√1 − 𝑥 2 𝑥 𝑥

𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑒) ∫ 𝑓) ∫
𝑥√𝑥 2 −1 𝑥 2 √4 − 𝑥2

4. Aplicando a fórmula de integração por partes, achar os seguintes integrais:

𝑎) ∫ ln(𝑥)𝑑𝑥 𝑏) ∫ 𝑥. cos(3𝑥) 𝑑𝑥 𝑐) ∫ 𝑥 2 . 𝑙𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑) ∫ 𝑥. 3𝑥 𝑑𝑥

𝑒) ∫ 3𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 𝑓) ∫ 𝑥 2 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 𝑔) ∫ 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 ℎ) ∫ 𝑥 2 𝑒 3𝑥 𝑑𝑥 𝑖) ∫(𝑙𝑛𝑥)2 𝑑𝑥

𝑑𝑥 3𝑑𝑥 3𝑥−1 𝑥2 5𝑑𝑥

5. 𝑎) ∫ 𝑥 2 +2𝑥+5 𝑏) ∫ 𝑥 2 +2𝑥 𝑐) ∫ 𝑥 2 −4𝑥+5 𝑑𝑥 𝑑) ∫ 𝑥 2 −6𝑥+10 𝑑𝑥 𝑒) ∫ √2+3𝑥−2𝑥 2

3𝑥−6 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑓) ∫ √𝑥 2𝑥 𝑑𝑥 𝑔) ∫ 𝑑𝑥 ℎ) ∫ 𝑑𝑥 𝑖) ∫ √𝑐𝑜𝑠𝑥 2 𝑑𝑥
−4𝑥+5 𝑥√𝑥 2 +𝑥−1 (𝑥+1)√𝑥 2 +2𝑥 +4𝑐𝑜𝑠𝑥+1

6. Achar os seguintes integrais, aplicando o método dos coeficientes indeterminados:

𝑒 𝑎𝑏 2𝑥 2 + 41𝑥 − 91 5𝑥 3 + 2
𝑎) ∫ 𝑑𝑥 𝑏) ∫ 𝑑𝑥 𝑐) ∫ 3 𝑑𝑥
(𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) (𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 4) 𝑥 − 5𝑥 2 + 4𝑥

Elaborado por: Juvêncio da Silva Piliquito,

 𝑥3 − 1 3𝑥 + 5 𝑥3 + 1 3
𝑑) ∫ 𝑑𝑥 𝑒) ∫ 𝑑𝑥 𝑓) ∫ 𝑑𝑥 𝑔) ∫ 𝑑𝑥
4𝑥 3 − 𝑥 (𝑥 + 2𝑥 + 2)2
2 (𝑥 2 − 4𝑥 + 5)2 𝑥4 +1

7. Aplicando o método de Ostrogradski, calcule:

1 1 1
𝑎) ∫ 2 2 2
𝑑𝑥 𝑏) ∫ 2 𝑑𝑥 𝑐) ∫ 𝑑𝑥
(𝑥 + 1) (𝑥 + 1) (𝑥 − 1)2 (𝑥 2 + 1)2

8. Resolva as seguintes integrais de funções irracionais:

𝑥3 1 √𝑥 − 1 √𝑥 + 1 + 2
𝑎) ∫ 𝑑𝑥 𝑏) ∫ 𝑑𝑥 𝑐) ∫ 3 𝑑𝑥 𝑑) ∫ 𝑑𝑥
√𝑥 − 1 √𝑥 + 1 + √(𝑥 + 1)3 √𝑥 + 1 (𝑥 + 1)2 − √𝑥 + 1

𝑥2 𝑥2 + 𝑥 + 1 𝑑𝑥
𝑒) ∫ 𝑥 2 √𝑥 2 + 4 𝑑𝑥 𝑓) ∫ 𝑑𝑥 𝑔) ∫ 𝑑𝑥 ℎ) ∫ 3
√𝑥 2 − 𝑥 + 1 𝑥√𝑥 2 − 𝑥 + 1 √𝑥 3 √1 + √𝑥 3
4

9. Resolva os seguintes integrais trigonométricos:

𝑎) ∫(𝑐𝑜𝑠𝑥)3 𝑑𝑥 𝑏) ∫(𝑠𝑒𝑛𝑥)5 𝑑𝑥 𝑐) ∫(𝑠𝑒𝑛𝑥)2 (𝑐𝑜𝑠𝑥)3 𝑑𝑥 𝑑) ∫(𝑠𝑒𝑛𝑥)2 (𝑐𝑜𝑠𝑥)2 𝑑𝑥

(𝑐𝑜𝑠𝑥)2
𝑒) ∫ 𝑑𝑥 𝑓) ∫(𝑠𝑒𝑐4𝑥)5 𝑑𝑥 𝑔) ∫(𝑐𝑡𝑔𝑥)3 𝑑𝑥 ℎ) ∫(𝑡𝑔5𝑥)2 𝑑𝑥
(𝑠𝑒𝑛𝑥)6

𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥
𝑖) ∫ 𝑠𝑒𝑛(3𝑥)cos(5𝑥) 𝑑𝑥 𝑗) ∫ cos( )𝑠𝑒𝑛( ) 𝑑𝑥 𝑘) ∫ 𝑙) ∫
2 3 3 + 5𝑐𝑜𝑠𝑥 1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥

10. Calcule:
𝜋
2 1 𝑒2 4
𝑥 1
𝑎) ∫(𝑥 2 − 2𝑥 + 3) 𝑑𝑥 𝑏) ∫ 𝑑𝑥 𝑐) ∫ 𝑑𝑥 𝑑) ∫(𝑐𝑜𝑠𝛼)2 𝑑𝛼
𝑥2 + 3𝑥 + 2 𝑥𝑙𝑛𝑥
1 0 𝑒 0

11. Cálculo de áreas de figuras planas determinadas por curvas:

a) Calcular a área da figura limitada pela parábola 𝑦 = 4𝑥 − 𝑥 2 e pelo eixo das abcissas.
b) Calcular a área do segmento da parábola 𝑦 = 𝑥 2 , que corta a recta 𝑦 = 3 − 2𝑥.
c) Calcular a área da figura limitada pela curva 𝑦 = 𝑙𝑛𝑥, 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑂𝑋 𝑒 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑥 = 𝑒.
𝑥2
d) Calcular a área da figura compreendida entre as parábolas 𝑦 = 𝑥 2 , 𝑦 = 𝑒 𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑦 = 2𝑥.
2

Elaborado por: Juvêncio da Silva Piliquito,