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    Guia 3

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    Este documento presenta una guía de práctica para el curso de Cálculo II en la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Incluye 14 problemas de integración de funciones racionales, un modelo epidemiológico y una reacción química. El objetivo es que los estudiantes practiquen la integración de funciones racionales y aprendan a modelar procesos de propagación de enfermedades y reacciones químicas mediante ecuaciones diferenciales.

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    Este documento presenta una guía de práctica para el curso de Cálculo II en la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Incluye 14 problemas de integración de funciones racionales, un modelo epidemiológico y una reacción química. El objetivo es que los estudiantes practiquen la integración de funciones racionales y aprendan a modelar procesos de propagación de enfermedades y reacciones químicas mediante ecuaciones diferenciales.

    Descripción original:

    Guía de práctica del curso de calculo ii, de la universidad nacional mayor de san marcos

    Título original

    GUIA 3

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    Este documento presenta una guía de práctica para el curso de Cálculo II en la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Incluye 14 problemas de integración de funciones racionales, un modelo epidemiológico y una reacción química. El objetivo es que los estudiantes practiquen la integración de funciones racionales y aprendan a modelar procesos de propagación de enfermedades y reacciones químicas mediante ecuaciones diferenciales.

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    Este documento presenta una guía de práctica para el curso de Cálculo II en la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Incluye 14 problemas de integración de funciones racionales, un modelo epidemiológico y una reacción química. El objetivo es que los estudiantes practiquen la integración de funciones racionales y aprendan a modelar procesos de propagación de enfermedades y reacciones químicas mediante ecuaciones diferenciales.

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    UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

    (Universidad del Perú, Decana de América)


    ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES
    AREA DE INGENIERIA

    ASIGNATURA: CÁLCULO II 2020-II SEMESTRE DE RECUPERACIÓN

    GUÍA DE PRÁCTICA N°03


    TEMA: INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES

    1. Calcule las siguientes integrales:


    5𝑥 + 3 2𝑥 2 − 1
    𝑎) ∫ 2 𝑑𝑥 𝑏) ∫ 3 𝑑𝑥
    𝑥 + 4𝑥 + 4 𝑥 −𝑥
    2𝑥 + 1 𝑑𝑥
    𝑐) ∫ 𝑑𝑥 𝑑) ∫ , 𝑎>0
    𝑥3 − 7𝑥 + 6 𝑥(𝑎2 − 𝑥 2 )
    𝑑𝑥 𝑥 2 − 3𝑥 − 8
    𝑒) ∫ 𝑓) ∫ 𝑑𝑥
    𝑥3 + 𝑥2 𝑥 2 − 2𝑥 + 1
    𝑥2 + 1 𝑥+1
    𝑔) ∫ 𝑑𝑥 ℎ) ∫ 𝑑𝑥
    (𝑥 + 2)2 𝑥 3 + 4𝑥
    6𝑥 3 𝑑𝑥 𝑥 3 + 2𝑥 2 + 5𝑥 + 8
    𝑖) ∫ 2 𝑗) ∫ 𝑑𝑥
    (𝑥 + 1)2 𝑥(𝑥 2 + 4)2
    𝑥3 4𝑥 + 5
    𝑘) ∫ 𝑑𝑥 𝑙) ∫ 𝑑𝑥
    𝑥−2 𝑥 2 + 2𝑥 + 2

    2. Halle las siguientes integrales:


    𝑥 5𝑥 2 + 12𝑥 + 1
    𝑎) ∫ 𝑑𝑥 𝑏) ∫ 𝑑𝑥
    (𝑥 + 1) (𝑥 2 + 1)
    2
    𝑥 3 + 3𝑥 2 − 4
    𝑥 3 + 2𝑥 2 + 5𝑥 + 8 𝑥2 + 1
    𝑐) ∫ 𝑑𝑥 𝑑) ∫ 3 𝑑𝑥
    𝑥(𝑥 2 + 4)2 (𝑥 + 3𝑥 − 7)2
    𝑥−2 𝑑𝑥
    𝑒) ∫ 𝑑𝑥 𝑓) ∫
    𝑥(𝑥 2 − 4𝑥 + 5)2 𝑥(𝑥 2 + 4)2 (1 + 𝑥 2 )

    3. Calcule las siguientes integrales:


    (𝑥 + 1)4 1
    𝑎) ∫ 2 𝑑𝑥 𝑏) ∫ 𝑑𝑥
    (𝑥 + 2𝑥 + 2)3 (𝑥 2 + 9)3
    2𝑥 𝑥7 + 2
    𝑐) ∫ 𝑑𝑥 𝑑) ∫ 2 𝑑𝑥
    (1 + 𝑥)(1 + 𝑥 2 )2 (𝑥 + 𝑥 + 1)2
    𝑥2 + 𝑥 + 1 𝑥 6 + 𝑥 4 − 4𝑥 2 − 2
    𝑒) ∫ 𝑑𝑥 𝑓) ∫ 𝑑𝑥
    𝑥 5 − 2𝑥 4 + 𝑥 3 𝑥 3 (𝑥 2 + 1)2

    2020-II Semestre de Recuperación Equipo de los Docentes de Cálculo II


    1
    Cálculo II: Integración de funciones racionales

    4. Calcule las siguientes integrales:


    1 1
    𝑎) ∫ 𝑑𝑥 𝑏) ∫ 𝑑𝑥
    (1 + 𝑥 3 )2 (𝑥 4 − 1)3
    1 5𝑥 − 8
    𝑐) ∫ 𝑑𝑥 𝑑) ∫ 𝑑𝑥
    (𝑥 4 + 1)2 𝑥3 − 4𝑥 2 + 4𝑥

    𝑓(𝑥)
    5. Halle una función 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑥 2 (𝑥+1)3 𝑑𝑥, si 𝐹 es una función racional y 𝑓 una función
    cuadrática que verifica 𝑓´´(0) = 2𝑓(0) = 2.

    6. Modelo epidémico. Un solo individuo infectado entra en una comunidad de 𝑛 individuos


    susceptibles de infectarse. Sea 𝑥 el número de individuos recientemente infectados en el
    momento 𝑡. El modelo epidémico común supone que la enfermedad se propaga a una
    velocidad proporcional al producto del número total de infectados y el número de los aún
    no infectados. Por lo que, 𝑑𝑥⁄𝑑𝑡 = 𝑘(𝑥 + 1)(𝑛 − 𝑥) y se obtiene
    1
    ∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑘 𝑑𝑡
    (𝑥 + 1)(𝑛 − 𝑥)
    Resuelva para 𝑥 como una función de 𝑡.

    7. Reacción química. En una reacción química, una unidad de compuesto 𝑌 y una unidad de
    compuesto 𝑍 se convierten en una sola
    unidad del compuesto 𝑋. Sea 𝑥 la
    cantidad de compuesto 𝑋 formado. La
    velocidad de formación de 𝑋 es
    proporcional al producto de las
    cantidades de compuestos no
    convertidos 𝑌 y 𝑍. Por lo tanto, 𝑑𝑥⁄𝑑𝑡 =
    𝑘(𝑦0 − 𝑥)(𝑧0 − 𝑥), donde 𝑦0 y 𝑧0 son las
    cantidades iniciales de compuestos 𝑌 y
    𝑍. De esta ecuación, se obtiene
    1
    ∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑘 𝑑𝑡
    (𝑦0 − 𝑥)(𝑧0 − 𝑥)
    a) Realice las dos integraciones y resuelva para 𝑥 en términos de 𝑡.
    b) Utilice el resultado del inciso a) para encontrar 𝑥 cuando 𝑡 → ∞ para (1) 𝑦0 < 𝑧0 , (2)
    𝑦0 > 𝑧0 y (3) 𝑦0 = 𝑧0 .

    2020-II Semestre de Recuperación Equipo de los Docentes de Cálculo II


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