Ana Maria Acevedo Combariza - Bacteriología

Karol Mariana Cardenas Sarmiento - Bacteriología

Daniel Felipe Melo Cardenas - Bacteriología
Alexandra Turriago Ferreira - Bacteriología

Departamento de física - Física biomecánica

Laboratorio #1: Fundamentación teórica del método de mínimos cuadrados

Fecha de la práctica: 26/07/2021

Fecha de entrega: 02/08/2021

Resumen

El laboratorio tuvo el propósito de explicar procesos como la Ley de Hook y la Ley de

mínimos cuadrados, para así dar respuesta a las preguntas sobre cómo se emplea y su

utilidad. Igualmente, este se hizo con el fin de contestar los objetivos como lo son poder tener

un entendimiento más claro las relaciones que existen entre variables, aplicar como se

realizan gráfica teniendo en cuenta tres métodos: Mínimos Cuadrados en linealización,

linealización mediante funciones logarítmicas y regresión potencial. Para evaluar y

comprender más sobre los conceptos, se realizaron dos pruebas: la primera con el objetivo de

medir la longitud del resorte al aplicarle pesos diferentes, comparar los datos con la inicial y

registrar en una tabla. El segundo consistía en agregar distintas masas y comparar el tiempo

que realiza 10 oscilaciones. De acuerdo a lo mencionado anteriormente, se efectuaron las

tablas y gráficas correspondientes para concluir que la relación entre masa y elongación del

resorte utilizado fue directamente proporcional, esto se comprobó al hacer los cálculos del

punto de corte y la pendiente con los datos recolectados. Para la siguiente prueba también se

llegó a la conclusión de que cuando dicha longitud del resorte sea mayor, la oscilaciones de

éste disminuyen.

Abstract

The laboratory had the purpose of explaining processes such as Hooke's Law and

Least Squares Method, in order to answer questions such as how it is used. Likewise, this was

done in order to answer the objectives such as having a clear understanding of the

relationships that exist between variables, applying graphs while taking into account three

methods: Least Squares method in linearization, linearization using logarithmic functions and

potential regression. To evaluate and understand more about the concepts, two tests were

performed: the first one consisted of measuring the length of a spring by applying different

2
weights, comparing the data with the initial one and recording it in a table. The second

procedure consisted of adding different masses and comparing the time it takes to perform 10

oscillations. According to what was mentioned beforehand, the corresponding tables and

graphs were useful to conclude that the relationship between mass and elongation of the

spring used was directly proportional, this result was verified by calculating the y-intercept

and the slope with the data collected. For the following test it also came to the conclusion that

when the length is greater, the oscillations of the spring decrease.

Objetivos

● Identificar el tipo de relación existente entre dos variables.

● Repasar la construcción de gráficas.

● Emplear el método de Mínimos Cuadrados en linealización.

● Emplear el método de linealización mediante funciones logarítmicas.

● Emplear el método de regresión potencial.

Marco teórico

Las variables dependientes son aquellas que cambian según la variable independiente,

lo que quiere decir que son variables que se miden para poder observar cambios en algunas

condiciones y de esta misma forma poder interpretar los resultados. Por otro lado, las

variables independientes, son variables experimentales, que se pueden manipular para poder

llegar a algunas hipótesis, estas pueden alterar otras variables, sin necesidad de alterar su

valor, de esta forma es que se puede llegar a establecer los posibles resultados.

Y= mx + b (y = v. dependiente, m = grado de inclinación de la recta, x= v.

independiente y b= distancia que hay entre un punto y el otro). El método de mínimos

cuadrados es un procedimiento de análisis en el que su punto de inicio es el conjunto, donde

se trata de buscar la función continua que se aproxime a la información ya dada, este método

3
permite calcular la recta que mejor se aproxima a los puntos del plano. El método de

regresión de potencias, permite realizar una gráfica potencial, en donde el valor de R es

importante, ya que esta tabla suele tener mayor precisión cuando el valor se encuentra muy

cerca de uno.

Montaje y procedimientos

Parte A

4
Parte B

5
Tratamiento de datos

Parte A

∆𝑙 = 𝑙𝑓 − 𝑙𝑜
1. ∆𝑙 = 13, 2𝑐𝑚 − 10, 3𝑐𝑚 = 2, 9 𝑐𝑚
2. ∆𝑙 = 22, 3𝑐𝑚 − 10, 3𝑐𝑚 = 12 𝑐𝑚
3. ∆𝑙 = 30, 5𝑐𝑚 − 10, 3𝑐𝑚 = 20, 2𝑐𝑚
4. ∆𝑙 = 39, 5𝑐𝑚 − 10, 3𝑐𝑚 = 20, 2 𝑐𝑚
5. ∆𝑙 = 48, 1𝑐𝑚 − 10, 3𝑐𝑚 = 37, 8𝑐𝑚
6. ∆𝑙 = 11𝑐𝑚 − 10, 2𝑐𝑚 = 0, 8𝑐𝑚
7. ∆𝑙 = 11, 8𝑐𝑚 − 10, 2𝑐𝑚 = 1, 6 𝑐𝑚
8. ∆𝑙 = 13, 2 𝑐𝑚 − 10, 2𝑐𝑚 = 3 𝑐𝑚
9. ∆𝑙 = 14, 4 𝑐𝑚 − 10, 2𝑐𝑚 = 4, 2 𝑐𝑚
10. ∆𝑙 = 15, 6 𝑐𝑚 − 10, 2𝑐𝑚 = 5, 4 𝑐𝑚

● Pendiente 1
𝑁·∑𝑥𝑖 ·𝑦 −∑𝑥 𝑖 ·∑𝑦 𝑖
𝑖
𝑎=
2 2
𝑁·∑𝑥 𝑖
− (∑𝑥 𝑖
)

5 ·19665 − 750 · 102,1

𝑎= 2
5 · 137500 − (750)

98325 − 76575
𝑎= 687500 − 562500

21750
𝑎= 125000

𝑎 = 0, 174

● Punto de corte 1
2
∑𝑥 𝑖 ·∑𝑦 𝑖 − ∑𝑥 𝑖 · ∑𝑥 𝑖 · 𝑦 𝑖
𝑏=
2 2
𝑁·∑𝑥 𝑖
− (∑𝑥 𝑖
)

137500 · 102,1 − 750 · 19665

𝑏= 2
5 · 137500 − (750)

14038750 − 14748750
𝑏= 687500 − 562500

− 710000
𝑏= 125000

6
𝑏= − 5, 68

● Ecuación 1

𝑦 = 0, 174𝑥 − 5, 68

● Pendiente 1,2

𝑁·∑𝑥𝑖 ·𝑦 −∑𝑥 𝑖 ·∑𝑦 𝑖

𝑖
𝑎=
2 2
𝑁·∑𝑥 𝑖
− (∑𝑥 𝑖
)

5 ·2840 − 750 · 15
𝑎= 2
5 · 137500 − (750)

14200 − 11250
𝑎= 687500 − 562500

2950
𝑎= 125000

𝑎 = 0, 0236

● Punto de corte 1,2

2
∑𝑥 𝑖 ·∑𝑦 𝑖 − ∑𝑥 𝑖 · ∑𝑥 𝑖 · 𝑦 𝑖
𝑏=
2 2
𝑁·∑𝑥 𝑖
− (∑𝑥 𝑖
)

137500 · 15 − 750 ·2840

𝑏= 2
5 · 137500 − (750)

2062500 − 2130000
𝑏= 687500 − 562500

−67500
𝑏= 125000

𝑏= − 0, 54

● Ecuación 1,2
𝑦 = 0, 0236𝑥 − 0, 54

7
Parte B

● Logaritmo masa
𝐿𝑜𝑔 (50) = 1, 70
𝐿𝑜𝑔 (100) = 2, 00
𝐿𝑜𝑔 (150) = 2, 18
𝐿𝑜𝑔 (200) = 2, 30
𝐿𝑜𝑔 (230) = 2, 36
𝐿𝑜𝑔 (250) = 2, 40

● Logaritmo Tiempo (resorte 10,2 cm)

𝐿𝑜𝑔 (5, 89) = 0, 77
𝐿𝑜𝑔 (7, 75) = 0, 89
𝐿𝑜𝑔 (9, 97) = 1, 00
𝐿𝑜𝑔 (11, 11) = 1, 05
𝐿𝑜𝑔 (11, 56) = 1, 06
𝐿𝑜𝑔 (12, 025) = 1, 08

● Logaritmo Tiempo (resorte 10,3 cm)

𝐿𝑜𝑔 (5, 69) = 0, 76
𝐿𝑜𝑔 (9, 3) = 0, 97
𝐿𝑜𝑔 (10, 9) = 1, 04
𝐿𝑜𝑔 (12, 16) = 1, 08
𝐿𝑜𝑔 (13, 25) = 1, 12
𝐿𝑜𝑔 (13, 48) = 1, 13

● Pendiente 2
𝑁·∑𝑥𝑖 ·𝑦 −∑𝑥 𝑖 ·∑𝑦 𝑖
𝑖
𝑎=
2 2
𝑁·∑𝑥 𝑖
− (∑𝑥 𝑖
)

6 ·10452 − 980 · 58,31

𝑎= 2
6 · 190400 − (980)

62712 − 57144
𝑎= 1142400 − 960400

5568
𝑎= 182000

8
𝑎 = 0, 0306

● Punto de corte 2
2
∑𝑥 𝑖 ·∑𝑦 𝑖 − ∑𝑥 𝑖 · ∑𝑥 𝑖 · 𝑦 𝑖
𝑏=
2 2
𝑁·∑𝑥 𝑖
− (∑𝑥 𝑖
)

190400 · 58,31 − 980 · 10452

𝑏= 2
6 · 190400 − (980)

11102224 − 10242960
𝑏= 1142400 − 960400

859264
𝑏= 182000

𝑏 = 4, 72

● Ecuación 2
𝑦 = 0, 0306𝑥 + 4, 715

● Pendiente 2,1

𝑁·∑𝑥𝑖 ·𝑦 −∑𝑥 𝑖 ·∑𝑦 𝑖

𝑖
𝑎=
2 2
𝑁·∑𝑥 𝑖
− (∑𝑥 𝑖
)

6 ·11699 − 980 · 64,78

𝑎= 2
6 · 190400 − (980)

70.194 −63484,4
𝑎= 1142400 − 960400

6709,6
𝑎= 182000

𝑎 = 0, 0368

● Punto de corte 2,1

2
∑𝑥 𝑖 ·∑𝑦 𝑖 − ∑𝑥 𝑖 · ∑𝑥 𝑖 · 𝑦 𝑖
𝑏=
2 2
𝑁·∑𝑥 𝑖
− (∑𝑥 𝑖
)

9
 190400 · 742,81 − 980 · 11699
𝑏= 2
6 · 190400 − (980)

141431024 − 11465020
𝑏= 1142400 − 960400

𝑏 = 4, 77

● Ecuación 2,1
𝑦 = 0, 0369𝑥 + 4, 77

Resultados

Parte A

Tabla 1
Datos tomados y calculados parte A.

Longitud inicial resorte 1 (lo, cm) = 10,3

Masa (g) Longitud final (lf, cm) △l (cm)

50 13,2 2,9

100 22,3 12

150 30,5 20,2

200 39,5 29,2

250 48,1 37,8

Tabla 1,2
Datos tomados y calculados parte A.
Longitud inicial resorte 2 (lo, cm) = 10,2

Masa (g) Longitud final (lf, cm) △l (cm)

50 11 0,8

100 11,8 1,6

10
 150 13,2 3

200 14,4 4,2

250 15,6 5,4

Figura 1. Elongación vs Masa resorte 10,3

Figura 1,2. Elongación vs masa resorte 10,2

Parte B

Tabla 2
Datos tomados y calculados parte B.
Masa (g) Tiempo promedio que tarda en dar 10 oscilaciones (s)

Resorte 10,2cm Resorte 10,3cm

50 5,89 5,69

100 7,75 9,30

11
 150 9,97 10,90

200 11,11 12,16

230 11,56 13,25

250 12,02 13,48

Tabla 2,1
Tiempo promedio (s) en función de la Masa (g). Resorte 10,2 cm.
Masa (g) Tiempo promedio (s) (Resorte 10,2 cm)

50 5,89

100 7,75

150 9,97

200 11,11

230 11,56

250 12,02

Tabla 2,2
Tiempo promedio (s) en función de la Masa (g). Resorte 10,3 cm.
Masa (g) Tiempo promedio (s) (Resorte 10,3 cm

50 5,69

100 9,30

150 10,90

200 12,16

230 13,25

250 13,48

Tabla 2,3
Logaritmo del tiempo (T) en función del logaritmo de la masa (M). Resorte 10,2 cm.
Resorte 10,2 cm

Log (M) Log (T)

12
 1,70 0,77

2 0,89

2,18 1

2,30 1,05

2,36 1,06

2,40 1,08

Tabla 2,3
Logaritmo del tiempo (T) en función del logaritmo de la masa (M). Resorte 10,3 cm.
Resorte 10,3 cm

Log (M) Log (T)

1,70 0,76

2 0,97

2,18 1,04

2,30 1,08

2,36 1,12

2,40 1,13

Figura 2. Masa vs Tiempo (Resorte 10,2cm)

13
 Figura 3. Masa vs Tiempo (Resorte 10,3 cm)

Figura 4. Logaritmo masa vs Logaritmo tiempo (Resorte 10,2cm)

Figura 5. Logaritmo masa vs Logaritmo tiempo (Resorte 10,3 cm)

Análisis

Es posible utilizar el método de mínimos cuadrados para linealizar cuando a los datos

que se obtienen durante la práctica, normalmente no forman una línea recta, tienen un patrón

general de linealidad en la dispersión de los puntos. De esta forma, se forman varias líneas

14
rectas que pueden proporcionar un buen ajuste, por medio del método de mínimos cuadrados

es posible obtener la ecuación de la recta con el mejor ajuste. Los puntos que se pueden

encontrar sobre la nueva recta son, siete de los diez puntos, son aquellos que caen sobre la

recta obtenida por el método de Mínimos cuadrados en Excel. Podemos observar que siete de

los diez puntos experimentalmente obtenidos caen en la línea recta y que los puntos que no lo

hacen no están tan alejados, se podría decir que no hay un error en el registro de los datos, y

que la dispersión de los datos es lineal. Este método suele ser muy útil para linealizar ya que

permite obtener la ecuación de la recta con el mejor ajuste, en la práctica al obtener

linealidad en la dispersión de los puntos, son varias las opciones de rectas pueden llegar a

ajustarse a este método; la regresión examina la relación que existe entre dos variables, pero

normalmente restringiendo una de ellas a la hora de analizar las variaciones de la otra, este

,este método se utiliza cuando se desea el valor de una variable por medio de una función.

Conclusiones

Durante el desarrollo de los cálculos pudimos identificar que la relación entre

elongación del resorte y masa es directamente proporcional, es decir la elongación del resorte

va a aumentar entre mayor masa se le ponga a este. Además, al comparar los resultados de

elongación obtenidos entre ambos resortes pudimos verificar que el resorte de 10,3 cm

presentaba una mayor elongación que el resorte de 10,2 cm, por ende suponemos que esto se

debe a que el que el primer resorte era más ancho que el otro. También se evidenció a la hora

de realizar los cálculos de la pendiente, punto de corte y finalmente la ecuación empleando el

método de mínimos cuadrados. Por último, al realizar las gráficas pudimos notar en ambas un

comportamiento similar ascendente y lineal. Por otro lado, se puede determinar que la

cantidad de elongaciones es dependiente de la longitud del resorte; esto quiere decir que a

mayor longitud del resorte, se generan menos elongaciones.Esto se da, ya que al poseer una

15
longitud mayor la amplitud también aumenta, lo que genera una disminución en la cantidad

de elongaciones en un determinado tiempo.

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