UPC – Departamento de Ciencias – MATEMATICA COMPUTACIONAL (MA475)

Filtros de suavizado y agudizamiento

CONTENIDO

Unidad 1: PROCESAMIENTO DE IMÁGENES Y ARITMÉTICA MODULAR

Filtros de suavizado y agudizamiento
▪ Procesamiento espacial de imágenes
▪ Filtros de suavizado
▪ Filtros de agudizamiento

Profesores MA475 1
UPC – Departamento de Ciencias – MATEMATICA COMPUTACIONAL (MA475)

Filtrado espacial de imágenes

Un píxel p con coordenadas (x, y) tiene cuatro vecinos entre horizontales y verticales, cuyas
coordenadas son (x+1, y), (x-1, y), (x, y-1), (x, y+1). Nótese que para cada uno de estos píxeles
hay una distancia de 1 del píxel p. En los bordes de la imagen algunos de estos píxeles quedan
fuera.

También existen 4 vecinos diagonales de p con coordenadas (x+1, y+1), (x+1, y-1), (x-1, y-1),
(x-1, y+1)

¿Qué es el procesamiento espacial de una imagen?

Todo aquel procesamiento de imagen que manipula directamente los píxeles de una imagen
(en todo su dominio espacial) se dice que es un procesamiento espacial.
Las dos principales categorías del procesamiento espacial son las transformaciones de
intensidad y el filtrado espacial.
Las transformaciones de intensidad operan individualmente en los píxeles para lograr cambiar
su contraste (por ejemplo, la ecualización por histograma).
El filtrado espacial opera los píxeles, pero usando la vecindad de dicho píxel y su principal labor
es el realce de las imágenes (reducción de ruido, mejora de la nitidez).
Filtrado Espacial
Un filtro espacial consiste en:
Seleccionar una vecindad de un píxel (normalmente un pequeño cuadrado de orden impar).
Una operación predefinida realizada sobre los píxeles de la imagen incluidos en la vecindad y
cuyo valor final crea un nuevo píxel cuyas coordenadas son las del píxel central de la vecindad.

Profesores MA475 2
UPC – Departamento de Ciencias – MATEMATICA COMPUTACIONAL (MA475)

Una imagen procesada (filtrada) es generada a medida que el centro del filtro recorre cada
píxel en la imagen de entrada.

X (maneja la columna de la matriz)

Y (maneja la fila de la matriz) Coeficientes del filtro (valores

de la máscara de 3x3)

Aquí 𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ representa la intensidad de cada píxel

en la coordenada ሺ𝑥, 𝑦ሻ. El píxel central es aquel
que aparece en el centro de la matriz y al aplicar el
filtro se tiene que el valor de la intensidad del píxel
Intensidad de los píxeles de la
en la posición ሺ𝑥, 𝑦ሻ de la nueva imagen estará
sección de la imagen bajo la
dado por g(x, y).
máscara

𝑔ሺ𝑥, 𝑦ሻ = 𝑤ሺ−1, −1ሻ𝑓ሺ𝑥 − 1, 𝑦 − 1ሻ + 𝑤ሺ0, −1ሻ𝑓ሺ𝑥, 𝑦 − 1ሻ + … + 𝑤ሺ1,1ሻ𝑓ሺ𝑥 + 1, 𝑦 + 1ሻ

Profesores MA475 3
UPC – Departamento de Ciencias – MATEMATICA COMPUTACIONAL (MA475)

Ejemplo del proceso de filtrado espacial

Supongamos que se tiene una imagen de 5x5 donde se han usado 3 bits por píxel y su
representación matricial se muestra en la figura, al igual que la máscara del filtro.

Máscara
Imagen original

Para filtrar la imagen, se tomará la máscara y se coloca sobre la matriz de la imagen. Se

comenzarán a calcular los valores cuando la posición central de la máscara coincida con la
posición de un píxel de la imagen y dicho valor se cambiará en la nueva imagen.

Profesores MA475 4
UPC – Departamento de Ciencias – MATEMATICA COMPUTACIONAL (MA475)

¿Qué hacen las siguientes máscaras?

¿Cómo elegir los coeficientes de una máscara?

Para generar un filtro espacial lineal 𝑚 × 𝑛, debemos especificar los coeficientes de la
máscara. Estos coeficientes, a su vez, son seleccionados en base a lo que el filtro debe hacer.
Por ejemplo, supongamos que queremos cambiar los píxeles de una imagen por la intensidad
media de una vecindad 3x3 centrada en esos píxeles.
En este caso, podríamos usar la siguiente máscara:

Ya que el promedio de 9 números es igual a la suma de todos ellos entre 9; y es lo mismo que
sumar 1/9 de cada número.
Observaciones:
• Si el resultado de aplicar la máscara sobre un píxel da un número decimal, entonces se
debe redondear al entero más cercano.
• Si el resultado de aplicar la máscara sobre un píxel da un número que está fuera del
intervalo [0, L-1], entonces se puede calcular su complemento módulo L y se toma el
menor valor positivo resultante como el nuevo valor del píxel.
Ejemplo 1: si L = 8, y el resultado de aplicar la máscara da 14, entonces el valor final de la
intensidad del nuevo píxel será 6, ya que 14 mod 8 es 6.
Ejemplo 2: si L = 8, y el resultado de aplicar la máscara da -3, entonces el valor final de la
intensidad del nuevo píxel será 5, ya que -3 mod 8 es 5.

Profesores MA475 5
UPC – Departamento de Ciencias – MATEMATICA COMPUTACIONAL (MA475)

Tipos de Filtrado Espacial

En el curso trabajaremos dos tipos de filtrado espacial, según su objetivo:
1. Filtro de suavizado: para la reducción de ruido

2. Filtro de agudizamiento: para el aumento de la nitidez de una imagen realzando los bordes.

Filtros de suavizado
Dos de los filtros de suavizado más usados son el filtro de la media y el filtro de la mediana.
1. Filtro de la Media
La idea detrás del filtro de la media es la reducción de irregularidades y de cambios bruscos
de niveles de intensidad (discontinuidades en la imagen). Como el ruido normalmente resulta
de cambios bruscos de los niveles de intensidad, entonces logra reducirlo.
Pero, esto también tiene un efecto negativo y es la pérdida de nitidez en la imagen ya que los
bordes también son “discontinuidades de la imagen” y, generalmente, los elimina.
Algunos filtros de media usan las siguientes máscaras:

Profesores MA475 6
UPC – Departamento de Ciencias – MATEMATICA COMPUTACIONAL (MA475)

Por ejemplo, a la imagen original se le agregó ruido y se aplicó un filtro de media de 5x5 a
dicha imagen logrando la reducción total del ruido.

A continuación, se muestra una imagen de 500 x 500 píxeles y se muestran algunos resultados
de aplicar filtros de la media con máscaras de tamaño 3, 5, 9, 15 y 35

Desventajas:
• El filtro de la media es bastante sensible a cambios locales.
• El filtro de la media puede crear nuevas intensidades de grises que no aparecían en la
imagen.
Ejemplo de aplicación del filtro de media
Supongamos que se tiene una imagen de 5x5 donde se han usado 3 bits por píxel y su
representación matricial se muestra en la figura, al igual que la máscara del filtro de media.
Apliquemos el filtro de media.

Solución:
Analizando las intensidades de los píxeles, se puede notar que hay “discontinuidades” en
algunos cambios adyacentes. Estas discontinuidades se dan por el cambio brusco de
intensidades (un cambio brusco se da de 5 a 0 y un cambio continuo es de 2 a 3).
Debido al análisis de la imagen, veremos que, al aplicar el filtro de la media, deben
desaparecer estas discontinuidades.
Al aplicar la máscara dada sobre la matriz de la imagen, veremos que la matriz resultante es:

Profesores MA475 7
UPC – Departamento de Ciencias – MATEMATICA COMPUTACIONAL (MA475)

Como se puede notar, no existen cambios entre píxeles adyacentes. Los cambios son suaves y
por esto se dice que se ha suavizado la imagen. Incluso los cambios ahora, en su mayoría son
de valor 1.
2. Filtro de la Mediana
El filtro de la mediana cambia el valor del píxel central por la mediana de los valores de
intensidad en la vecindad de ese píxel.
Los filtros de la mediana son bastante populares porque, para ciertos tipos de ruido aleatorio,
proporcionan excelentes resultados en la reducción del ruido, con un suavizado
considerablemente menor que el filtro de la media.
Los filtros de la mediana son particularmente eficaces para eliminar ruidos del tipo “sal y
pimienta” (se llama así porque presenta puntos blancos y negros superpuestos en una
imagen).
Debemos tener en cuenta que la mediana M de un conjunto de valores es tal que la mitad de
los valores del conjunto es menor o igual que M y la otra mitad es mayor o igual que M.
Para realizar el filtrado de la mediana en un punto de la imagen, primero ordenamos los
valores de los píxeles de la vecindad, calculamos su mediana y atribuimos ese valor al píxel
correspondiente en la imagen filtrada.
De esta manera, la principal misión del filtro de la mediana es forzar a los puntos con niveles
de intensidad distintos a ser más semejantes a sus vecinos.

Ejemplo de aplicación del filtro de mediana

Supongamos que se tiene una imagen de 5x5 donde se han usado 3 bits por píxel y su
representación matricial se muestra en la figura. Apliquemos el filtro de mediana.

Profesores MA475 8
UPC – Departamento de Ciencias – MATEMATICA COMPUTACIONAL (MA475)

Solución:
Analizando las intensidades de los píxeles, se puede notar que hay puntos blancos y negros
(ruido “sal y pimienta”).
Veamos cómo se va calculando cada intensidad de los píxeles en la nueva imagen.
Calculemos g (2,1)

Imagen original

En la imagen, se indican los píxeles alrededor de la posición (2,1): 0, 1, 1, 0, 7, 1, 7, 0, 1

Los datos se ordenan de menor a mayor: 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 7, 7
La mediana es 1. Entonces la imagen nueva en esta posición será:

Imagen nueva

Calculemos g (0,2).

Imagen original

En la imagen, se indican los píxeles alrededor de la posición (0,2): 2, 0, 1, 7, 7, 0

Los datos se ordenan de menor a mayor: 0, 0, 1, 2, 7, 7
La mediana es (1+2) /2= 1,5 que, redondeado, es 2. Entonces
la imagen nueva en esta posición será:

Imagen nueva

Profesores MA475 9
UPC – Departamento de Ciencias – MATEMATICA COMPUTACIONAL (MA475)

Siguiendo con el mismo cálculo, obtendremos la imagen nueva:

Imagen original Imagen nueva

Como hemos notado, ha desaparecido el ruido y la imagen nueva ha llenado el ruido por los
valores que estaban a su alrededor. De esta manera ha eliminado el ruido y ha hecho la imagen
mucho más suave. Ese es el efecto del filtro de la mediana.
Comparación entre los filtros de la media y de la mediana
Veamos el efecto sobre la matriz del ejemplo anterior, de ambos filtros.

Imagen original Imagen nueva usando Imagen nueva usando

filtro de la mediana 3x3 filtro de la media 3x3
con coeficientes 1/9

Podemos notar que el filtro de la mediana ha logrado llenar el ruido “sal y pimienta” usando
los datos a su alrededor, logrando una imagen más continua, mientras que el filtro de la media
lo llena con valores nuevos.

Debido a que el filtro de la mediana llena el ruido con valores que existen a su alrededor y por
esto lo reduce con mayor efectividad que el de la media (que coloca nuevos valores) como se
ve en la foto.

Profesores MA475 10
UPC – Departamento de Ciencias – MATEMATICA COMPUTACIONAL (MA475)

Imagen resultante tras Imagen resultante tras

Imagen original realizar un filtro de media realizar un filtro de
de tamaño 3x3 mediana de tamaño 3x3

Filtros de agudizamiento
Su principal objetivo es el aumento de la nitidez de una imagen. Las aplicaciones de este tipo
de filtro son variadas e incluyen aplicaciones como: impresión electrónica, imágenes médicas,
inspección
Los filtros de agudizamiento se basan en derivadas de primer y segundo orden y, debido a
esto, primero hallaremos una fórmula para cada una de las derivadas que necesitaremos y
luego seguiremos con los filtros de agudizamiento (nitidez).
Derivadas de funciones digitales
En Cálculo, se define la primera derivada de una función f(x) como:
𝑑𝑓ሺ𝑥ሻ 𝑓ሺ𝑥 + ∆𝑥ሻ − 𝑓ሺ𝑥ሻ 𝑑𝑓ሺ𝑥ሻ 𝑓ሺ𝑥ሻ − 𝑓ሺ𝑥 − ∆𝑥ሻ
= lim o = lim
𝑑𝑥 ∆𝑥→0 ∆𝑥 𝑑𝑥 ∆𝑥→0 ∆𝑥
La primera derivada digital se hace tomando en cuenta que ∆𝑥, debido a que son datos
discretos, puede tomar 1 o -1 como cambio mínimo. Entonces, tenemos que la definición
digital de la primera derivada es:

𝑑𝑓ሺ𝑥ሻ 𝑑𝑓ሺ𝑥ሻ
= 𝑓ሺ𝑥 + 1ሻ − 𝑓ሺ𝑥ሻ o = 𝑓ሺ𝑥ሻ − 𝑓ሺ𝑥 − 1ሻ
𝑑𝑥 𝑑𝑥

Como en Procesamiento de imágenes las funciones tienen dos variables, entonces la primera
derivada (con respecto a cada una de sus variables x, y) se define sobre cada variable de la
siguiente manera:

𝜕𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ 𝜕𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ
= 𝑓ሺ𝒙 + 𝟏, 𝑦ሻ − 𝑓ሺ𝒙, 𝑦ሻ o = 𝑓ሺ𝒙, 𝑦ሻ − 𝑓ሺ𝒙 − 𝟏, 𝑦ሻ
𝜕𝒙 𝜕𝒙

Profesores MA475 11
UPC – Departamento de Ciencias – MATEMATICA COMPUTACIONAL (MA475)

𝜕𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ 𝜕𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ
= 𝑓ሺ𝑥, 𝒚 + 𝟏ሻ − 𝑓ሺ𝑥, 𝒚ሻ o = 𝑓ሺ𝑥, 𝒚ሻ − 𝑓ሺ𝑥, 𝒚 − 𝟏ሻ
𝜕𝒚 𝜕𝒚

La segunda derivada se define en función de la primera derivada. De hecho, en cálculo,

tenemos:
𝑑𝑓 𝑑𝑓
𝑑 2 𝑓ሺ𝑥ሻ ሺ𝑥 + ∆𝑥ሻ − ሺ𝑥ሻ
= lim 𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑥 2 ∆𝑥→0 ∆𝑥
𝑑𝑓 𝑑𝑓
Tomando para ሺ𝑥 + ∆𝑥ሻ y ሺ𝑥ሻ la segunda forma de expresar la derivada digital
𝑑𝑥 𝑑𝑥
tenemos:
𝑑2 𝑓ሺ𝑥ሻ (𝑓ሺ𝑥 + 1ሻ − 𝑓ሺ𝑥 + 1 − 1ሻ) − (𝑓ሺ𝑥ሻ − 𝑓ሺ𝑥 − 1ሻ)
=
𝑑𝑥 2 1

𝑑 2 𝑓ሺ𝑥ሻ
= 𝑓ሺ𝑥 + 1ሻ + 𝑓ሺ𝑥 − 1ሻ − 2𝑓ሺ𝑥ሻ
𝑑𝑥 2

Como en Procesamiento de imágenes las funciones tienen dos variables, entonces la segunda
derivada (con respecto a cada una de sus variables x, y) se define sobre cada variable de la
siguiente manera:

𝜕 2 𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ
= 𝑓ሺ𝒙 + 𝟏, 𝑦ሻ + 𝑓ሺ𝒙 − 𝟏, 𝑦ሻ − 2𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ
𝜕𝒙2

𝜕 2 𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ
= 𝑓ሺ𝑥, 𝒚 + 𝟏ሻ + 𝑓ሺ𝑥, 𝒚 − 𝟏ሻ − 2𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ
𝜕𝒚2

Filtrado espacial de agudizamiento (nitidez)

Los bordes en las imágenes digitales, muchas veces, son transiciones parecidas con las
pendientes (ya que indican cambios de intensidad) por lo que las derivadas son las más
adecuadas para realzarlas. De hecho, la segunda derivada es mucho más eficiente en esta
misión (realce) que la primera derivada ya que logra producir un borde doble con espesor de
un píxel.

Profesores MA475 12
UPC – Departamento de Ciencias – MATEMATICA COMPUTACIONAL (MA475)

Filtrado espacial de agudizamiento con el Laplaciano

El Laplaciano es una función matemática que se define por:

𝜕 2𝑓 𝜕 2𝑓
𝛻2𝑓 = +
𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2

Usando las fórmulas de la segunda derivada, deducidas anteriormente, tenemos que el

Laplaciano se puede escribir como:

𝛻 2 𝑓 = 𝑓ሺ𝑥 + 1, 𝑦ሻ + 𝑓ሺ𝑥 − 1, 𝑦ሻ + 𝑓ሺ𝑥, 𝑦 + 1ሻ + 𝑓ሺ𝑥, 𝑦 − 1ሻ − 4𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ

Recordemos que la zona de la imagen sobre la que se aplican las máscaras o filtros es de la
siguiente forma:

Entonces, observando los coeficientes del Laplaciano

𝛻 2 𝑓 = 𝟏𝑓ሺ𝑥 + 1, 𝑦ሻ + 𝟏𝑓ሺ𝑥 − 1, 𝑦ሻ + 𝟏𝑓ሺ𝑥, 𝑦 + 1ሻ + 𝟏𝑓ሺ𝑥, 𝑦 − 1ሻ − 𝟒𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ

Tenemos que una máscara, para aplicar este filtro, será:

Según, las diferentes formas en que podemos expresar la primera y segunda derivadas
digitales y la aplicación práctica, el Laplaciano puede expresarse con diferentes fórmulas. Por
esto, es que aparecen las siguientes máscaras para el filtro Laplaciano:

Profesores MA475 13
UPC – Departamento de Ciencias – MATEMATICA COMPUTACIONAL (MA475)

Ejemplo gráfico:

Filtro Laplaciano
Imagen Imagen
Original Filtrada

Filtro Laplaciano
Imagen Imagen
Original Filtrada

Aplicación

+ =

Imagen Original Aplicando el Laplaciano Imagen Resultante

Profesores MA475 14
UPC – Departamento de Ciencias – MATEMATICA COMPUTACIONAL (MA475)

Ejemplo de aplicación del filtro Laplaciano

Supongamos que se tiene una imagen de 5x5 donde se han usado 3 bits por píxel y su
representación matricial se muestra en la figura, al igual que las máscaras del filtro Laplaciano.

1 1 1 1 0
1 5 5 1 0 0 1 0 0 -1 0
1 5 5 1 0 1 -4 1 -1 4 -1
1 1 1 1 0 0 -1 0
0 1 0
0 0 0 0 0
Máscara 1 Máscara 2
Imagen original

Al aplicarle los filtros Laplacianos dados obtenemos los siguientes resultados:

1 1 1 1 0 -2 3 3 -2 1 2 -3 -3 2 -1
1 5 5 1 0 3 -8 -8 3 1 -3 8 8 -3 -1
1 5 5 1 0 3 -8 -8 3 1 -3 8 8 -3 -1
1 1 1 1 0 -2 3 3 -2 1 2 -3 -3 2 -1
0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 -1 -1 -1 -1 0
Imagen original Resultado de aplicar Resultado de aplicar
la máscara 1 la máscara 2

Usando la operación módulo 8 para asegurarnos que los valores se mantengan en el intervalo
[0; 7]:

1 1 1 1 0 6 3 3 6 1 2 5 5 2 7
1 5 5 1 0 3 0 0 3 1 5 0 0 5 7
1 5 5 1 0 3 0 0 3 1 5 0 0 5 7
1 1 1 1 0 6 3 3 6 1 2 5 5 2 7
0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 7 7 7 7 0
Imagen original Resultado de aplicar Resultado de aplicar
la máscara 1 la máscara 2

Profesores MA475 15
UPC – Departamento de Ciencias – MATEMATICA COMPUTACIONAL (MA475)

Re-escalamiento
Otra técnica para que los valores se mantengan en el intervalo deseado es la de cambio de
escala, que describiremos ahora:
1. Se calculan el mínimo y el máximo valor de los resultados obtenidos al aplicar la
máscara. Digamos que estos valores son 𝑥1 y 𝑥2 , respectivamente.
2. Se halla la ecuación de la recta que une los extremos ሺ𝑥1 , 0ሻ y ሺ𝑥2 , 𝐿 − 1ሻ. Esta
ecuación realizará el cambio de escala.
3. Se aplica la fórmula encontrada a cada punto resultante de la aplicación de la máscara
y los resultados son redondeados.
Ejemplo de cambio de escala
Como vimos anteriormente, luego de aplicar el filtro Laplaciano obtuvimos la matriz

Ahora vamos a cambiarle la escala.

Primero: el mínimo es -8 y el máximo es 3.
Segundo: Hallamos la recta que pasa por (-8; 0) y (3; 7) ya que 𝐿 = 8 y lo que se quiere es
reescalar al intervalo [𝟎; 𝑳 − 𝟏].
Dicha recta es:
7 56
𝑦 = 11𝑥 + 11
Tercero: Aplicamos la función a cada uno de los puntos y resulta:

7 56
𝑦 = 11𝑥 + 11

Resultado original Resultado reescalado

(valores de x) (valores de y)

Profesores MA475 16
UPC – Departamento de Ciencias – MATEMATICA COMPUTACIONAL (MA475)

Ejercicio propuesto:
Aplique el método de cambio de escala al resultado de aplicar el segundo filtro laplaciano y
verifique que la nueva matriz obtenida es:

Filtrado espacial de agudizamiento con el Gradiente

Las derivadas de primer orden, en procesamiento de imágenes son implementadas usando la
magnitud del vector gradiente

𝜕𝑓
‫ې ۍ‬
𝑓𝑥 𝜕𝑥
𝛻𝑓 = 𝑔𝑟𝑎𝑑ሺ𝑓ሻ = ൤ ൨ = ‫ۑ𝑓𝜕ێ‬
𝑓𝑦 ‫ۑ ێ‬
‫ے𝑦𝜕ۏ‬

El módulo o magnitud del vector gradiente está dado por

|𝛻𝑓| = 𝑀ሺ𝑥, 𝑦ሻ = ට𝑓𝑥 2 + 𝑓𝑦 2 ≈ |𝑓𝑥 | + |𝑓𝑦 |

Tomando una de las formas de las derivadas digitales, pero tomando en cuenta los términos
diagonales de las intensidades de una imagen, obtenemos las siguientes fórmulas:
𝜕𝑓
𝑓𝑥 = = ሺ𝑓ሺ𝑥 + 1, 𝑦 − 1ሻ + 2𝑓ሺ𝑥 + 1, 𝑦ሻ + 𝑓ሺ𝑥 + 1, 𝑦 + 1ሻሻ − ሺ𝑓ሺ𝑥 − 1, 𝑦 − 1ሻ + 2𝑓ሺ𝑥 − 1, 𝑦ሻ + 𝑓ሺ𝑥 − 1, 𝑦 + 1ሻሻ
𝜕𝑥

𝜕𝑓
𝑓𝑦 = = ሺ𝑓ሺ𝑥 − 1, 𝑦 + 1ሻ + 2𝑓ሺ𝑥, 𝑦 + 1ሻ + 𝑓ሺ𝑥 + 1, 𝑦 + 1ሻሻ − ሺ𝑓ሺ𝑥 − 1, 𝑦 − 1ሻ + 2𝑓ሺ𝑥, 𝑦 − 1ሻ + 𝑓ሺ𝑥 + 1, 𝑦 − 1ሻሻ
𝜕𝑦

Usando las fórmulas anteriores, y tomando en cuenta que |𝛻𝑓| ≈ |𝑓𝑥 | + |𝑓𝑦 | tenemos que
algunas de las máscaras son los filtros u operadores de Sobel:

𝑓𝑦 = 𝑓𝑥 =

Profesores MA475 17
UPC – Departamento de Ciencias – MATEMATICA COMPUTACIONAL (MA475)

Ejemplo gráfico 1:

|𝛻𝑓| ≈ |𝑓𝑥 | + |𝑓𝑦 |

Original

Ejemplo gráfico 2:

Imagen Filtrada usando

el filtro de Sobel

Ejemplo gráfico 3:

Original Sobel Laplaciano

Profesores MA475 18